Площадь трапеции. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

На этом уроке будет доказана теорема о вычислении площади трапеции и будут рассмотрены примеры на ее применение при вычислении площадей многоугольников.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две портивоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Рис. 1. Трапеция

Дана трапеция  (см. Рис. 1). Параллельные стороны  и  называются основаниями, а

 и  – боковые стороны.  – диагональ трапеции. Из точки  опустим перпендикуляр  на  – получим высоту трапеции.

Прямые  и

 параллельны, поэтому можно из точки  опустить перпендикуляр на прямую , получить точку , и еще раз получить высоту трапеции.

, потому что четырехугольник  по меньшей мере параллелограмм, противоположные стороны

 и  параллельны по условию, противоположные стороны ,  – параллельны как два перпендикуляра параллельным прямым. В прямоугольнике противоположные стороны равны, а значит, .

Мы вспомнили, что такое трапеция, каковы ее основные элементы.

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство (см. Рис. 1)

Чтобы доказать эту теорему, ее нужно свести к предыдущей, которую мы знаем. Мы знаем, как находить площадь треугольника.

Разобьем трапецию на два треугольника,  и , и используем свойство площади любого многоугольника.

ч. т. д.

По рисунку 2, где  – трапеция, найдите ее площадь.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Нам известно основание , , боковая сторона  и . Надо найти площадь трапеции. Нам не хватает высоты, значит задача сводится к нахождению высоты. Для ее нахождения нам нужно выбрать удобную точку, из которой мы и проведем высоту. Такой точкой является точка

. Проведем перпендикуляр  на  и рассмотрим треугольник .

Этот треугольник прямоугольный, с углом . Мы знаем свойство такого треугольника: катет, лежащий против угла в тридцать градусов, равен половине гипотенузы.

Ответ:.

Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны по 6 см, а больший угол равен  (см. Рис. 3).

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Для нахождения площади нам нужна высота. Из точки  опустим перпендикуляр

, и получим высоту.

Перпендикуляр  делит угол  на угол  и . А раз этот угол 45 градусов, значит, угол

 тоже 45 градусов. Треугольник  – прямоугольный, а четырехугольник  – квадрат, потому что противоположные стороны параллельны, а смежные стороны равны между собой и хотя бы один из углов равен 90 градусов.

Теперь найдем , этот отрезок состоит из отрезка , который равен 6, и из отрезка

, который также равен 6, потому что треугольник  – равнобедренный (углы при основании равны) и .

Ответ:.

В трапеции

 c основаниями  и  проведены диагонали, они пересекаются в точке . Доказать, что треугольник  равновелик треугольнику  (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Диагонали трапеции рассекают ее на четыре треугольника. Два треугольника примыкают к боковым сторонам. Нужно доказать, что в любой трапеции такие треугольники равновелики.

Рассмотрим треугольники  и . Они равновелики, т. е. имеют одинаковые площади.

1)  (так как у них одно основание и высота)

2) 

ч. т. д.

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание 18 см, высота 9 см, меньший угол  (см. Рис. 5).

Дано: – трапеция ()

Найти:

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Задача сводится к нахождению большего основания .

 – потому что

interneturok.ru

«Средняя линия трапеции». 8-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи:

• Образовательные – актуализировать субъективный опыт учащихся (опорные знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового материала; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий.
• Развивающие – развивать пространственного воображения учащихся, применять знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, умения работать в парах.
• Воспитательные – создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

Тип урока: урок-открытие.

Методы обучения: беседа, фронтальный опрос, самостоятельная работа.

Средства обучения: доска, учебник, карточки, мультимедийный проектор.

Форма обучения: коллективная, индивидуальная.

Форма учебного занятия: классно-урочная.

Структура урока:

1. Организация класса и рабочий настрой _____ 2 мин
2. Повторение и актуализация знаний        _____ 10 мин
3. Открытие новых знаний                   __________ 20 мин
4. Решение задач                                    __________10 мин
5. Подведение итогов и домашнее задание ____ 3 мин

Итого  ______________ 45 мин

ХОД УРОКА

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. [слайд 1]  Сегодня мы продолжим разговор о средних линиях. И тема сегодняшнего урока «Средняя линия трапеции». Но прежде напомним о четырехугольниках и их свойствами, а также треугольнике, ее средней линии и свойствах средней линии треугольника.

Опрос:

– Что называется многоугольником?
– Что такое параллелограмм?
– Свойства параллелограмма?
– Что такое прямоугольник?
– Свойства прямоугольника?
– Что такое ромб?
– Свойства ромба?
– Что такое квадрат?
– Свойства квадрата?
– Что такое трапеция?
– Какая трапеция называется равнобокой?
– Свойства равнобокой трапеции?
– Чему равен периметр многоугольника?
– Сформулируйте теорему Фалеса.
– Что такое средняя линия треугольника?
– Какие свойства средней линии треугольника вы знаете?

– Решим задачи на готовых чертежах устно: (рис. 1) и (рис. 2)

1	Дано: EF || AC (рис. 1)   [слайд 2] Найти: PBEF и PABC	Решение: EF – средняя линия треугольника, значит EF = 5 см, АЕ = ЕВ = 4 см (по условию) BF = FC = 5 см ( по теореме Фалеса) Тогда  PBEF = 4 + 5 + 5 = 14(см) PABC = 8 + 10 + 10 = 28(см) Ответ: 14 см и 28 см
2	Дано: MN || AC   (рис. 2)   [слайд 3] Найти: PMBN и PABC	Решение: АВ = 2МВ = 8 см ВС = 2BN= 7 см (теорема Фалеса) АС = 2MN = 6 см (средняя линия треугольника) PABC = 8 + 7 + 6 = 21 (см) PMBN = 4 + 3 + 3,5 = 10,5 (см) Ответ: 21 см и 10,5 см

Учитель: Итак, мы с вами сказали, что средней линией треугольника называется отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника. Дадим определение средней линии трапеции.

Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 3). [слайд 4]

Рис.3

На рисунке 3 средней линией трапеции является отрезок EF.

Учитель: Решим задачу: найти среднюю линию трапеции, зная ее основания.  [слайд 5]

Решение: Пусть ABCD – трапеция, M – середина стороны АВ. BC = a, AD = b. Для решения задачи воспользуемся средней линией треугольника. Но у нас фигура трапеция, где же найти треугольник?

Учащиеся: Сделаем рисунок (рис.4) [слайд 6], дополнительное построение – проведем диагональ АС, она разобьет трапецию на два треугольника АВС и ACD. Проведем через точку М параллельно основаниям прямую, она пересечет  отрезок АС в точке К, а отрезок CD – в точке N. Учитывая следствие о средней линии треугольника (прямая, проходящая, через середину стороны треугольника  параллельно другой ее стороне, делит третью сторону пополам) получим: К – середина АС и N середина CD. Тогда по определению МК – средняя линия треугольника АВС и KN – средняя линия треугольника ACD.
Учитывая теорему о средней линии треугольника получим:

Найдем длину средней линии:

Рис. 4

Ответ: .

Решенная задача является теоремой 1:  средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. [слайд 7]

Задача 1. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции. [слайд 8]

Рис. 5

Решение. Пусть ABCD – трапеция, EF –  её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.5). Поскольку AE = EB, то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM, что и требовалось доказать.

Задача 2. Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции. [слайд 9]

Рис. 6

Решение. Пусть ABCD – трапеция, EF –  её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.6). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC, а точка L – середина отрезка BD. Поэтому отрезок  EK – средняя линия треугольника BAC, а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD. Зная, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине, получаем: , следовательно, , что и требовалось доказать.

Учитель: Проведем исследование: постройте произвольный четырехугольник.

• Найдите середины сторон этого четырехугольника и соедините их последовательно. Какую фигуру вы получили? (Параллелограмм). Докажите, что это параллелограмм. Что вы при этом использовали? (признак параллелограмма)
• Что вы можете сказать о длине сторон полученного параллелограмма? (Они равны половине соответствующей диагонали четырехугольника)

Теорема 2. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. (теорема Вариньона) Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей. [слайд 10]

Рис. 7

Доказательство: [слайд 11] В самом деле, если К и L – середины сторон АВ и ВС (рис. 7), то KL – средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезок KLпараллелен диагонали АС и равен ее половине; если М и N – середины сторон CDи AD, то отрезок MNтакже параллелен АС и равен АС/2. Таким образом, отрезки KLи MN параллельны и равны между собой, значит, четырехугольник KLMN – параллелограмм.

В качестве следствия из теоремы 2 получаем интересный факт (т. 2).

Теорема 3. В любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.[слайд 12]

В этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма (см. рис. 7 [слайд 13]), а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка – центр симметрии параллелограмма).

Учитель: Решим задачу на готовом чертеже [слайд 14]:

Дано: ABCD – трапеция.

Найти: х, у.

Рис. 8

Решение: В трапеции PBCK  MK – средняя линия трапеции, тогда , и в трапеции AMND PK – средняя линия трапеции, значит

Тогда x = 4

Ответ: 4; 6

Итак, сегодня на уроке мы с вами узнали, что такое средняя линия треугольника и ее свойства, средняя линия трапеции и ее свойства. Я очень довольна, как вы сегодня работали, особенно хочу отметить…

Домашнее задание: выучить определение и свойства средней линии трапеции. И решить задачи 1 и 2  на готовых чертежах (учащимся раздаются карточки с задачами):

1.  Дано: PABC = 40. Найти: PA1B1C1

2. Дано: ABCD – трапеция Найти: x, y, z.

 [слайд 15]

Использованная литература:

1. Геометрия 7-9 Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
2. Е.М. Рабинович  Геометрия Задачи и упражнения на готовых чертежах
3. Геометрия 8. Дополнительные главы к учебнику. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И.
4. Геометрия в таблицах 7-11. Звавич Л.И., Рязановский А.Р.

urok.1sept.ru

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

egemaximum.ru

Определения, теоремы и формулы геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс

Определения

Многоугольник-геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек.

Выпуклый многоугольник, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция-четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.

Основания трапеции-её параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.

Равнобедренна трапеция, если её боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция, если один из её углов прямой.

Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат-прямоугольник, у которого все стороны равны.

Точки А и А₁ симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему.

Фигура симметрична относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно данной прямой также принадлежит этой фигуре(это осевая симметрия).

Ось симметрии-данная прямая, относительно которой происходит симметрия.

Точки А и А₁ симметричны относительно точки О, если О середина отрезка АА₁.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре(это центральная симметрия).

Отношение отрезков АВ и СD-отношение их длин, т.е. .

Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁, если .

Стороны треугольника АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁ сходственны, если .

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

,

где k- коэффициент подобия.

Средняя линия треугольника-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение синуса к косинусу этого угла.

Касательная к окружности-прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку-точку касания прямой и окружности.

Полуокружность-дуга, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Центральный угол-угол с вершиной в центре окружности.

Серединный перпендикуляр к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Окружность, вписанная в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник, описанный около этой окружности.

Окружность, описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник, вписанный в окружность.

Вектор(направленный отрезок)-отрезок, для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.

Нулевой вектор, если начало совпадает с его концом.

Длина или модуль вектора — длина отрезка АВ.

Векторы коллинеарные , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы сонаправленные , если они направлены в одну сторону.

Векторы противоположно направленные , если они направлены в разные стороны.

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма двух векторов (правило треугольника)-вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора.

Сумма n— векторов (правило многоугольника), если А₁,А₂,…,А_n-произвольные точки плоскости, то , где n_количество векторов.

Разность двух векторов и — вектор , равный сумме векторов и .

Произведение вектора на число k-вектор , длина которого , причем и при и при .

Средняя линия трапеции-отрезок, соединяющий середины её боковых сторон или середины её оснований (вторая средняя линия трапеции).

Правила и теоремы

5.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n-количество сторон многоугольника.

5.2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360⁰.

5.3. Свойства параллелограмма:

1⁰. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2⁰. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

5.4. Признаки параллелограмма:

1⁰. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

2⁰. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

3⁰. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.

5.5. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

5.6. Свойство прямоугольника:

1⁰. Диагонали прямоугольника равны.

5.7. Признак прямоугольника:

1⁰. Если в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.

5.8. Свойство ромба:

1⁰. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

5.9. Свойства квадрата:

1⁰. Все углы квадрата прямые.

2⁰. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

6.1. Свойства суммы многоугольников:

1⁰. Равные многоугольники имеют равные площади.

2⁰. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3⁰. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

6.2. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

6.3. Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6.4. Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Следствия из теоремы:

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

6.5. Теорема (о площади двух треугольников). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

6.6. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

6.7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6.8. Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

6.9. Свойства биссектрис параллелограмма:

1⁰. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2⁰. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3⁰. Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны.

6.10. Свойства биссектрис трапеции:

1⁰. Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. .

2⁰. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

3⁰. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

4⁰. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

6.11. Свойство второй средней линии трапеции: Пусть средняя КN-вторая средняя линия трапеции с основаниями ВС и АD, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции М. Тогда .

7.1. Теорема (об отношение площадей подобных треугольников).Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

7.2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

7.3. Признаки подобия треугольников:

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти треугольники подобны.

7.4. Теорема (о средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.5. Свойство медианы треугольника:

1⁰. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношение 2:1, считая от вершины.

7.6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

7.7. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

8.1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность имеют две общие точки.

8.2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

8.3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

8.4. Теорема (о касательной и радиусе). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

8.5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной .

8.9. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360⁰.

8.10. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия из теоремы:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -прямой.

8.11. Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

8.12. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжения).

Теорема (о биссектрисе угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие из теоремы: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Следствие из теоремы: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о пересечении высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

8.13. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

8.14. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

8.15. Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

8.16. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰.

8.17. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180⁰, то около него можно описать окружность.

8.18. Свойства равностороннего треугольника:

1⁰. Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.

2⁰. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

3⁰. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности.

4⁰. Все высоты равностороннего треугольника равны.

9.1. От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.

9.2. Теорема (правило параллелограмма). Для любых векторов и справедливы равенства:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон).

9.3. Теорема (о разности векторов). Для любых векторов и справедливо равенство .

9.4. Произведение любого вектора на 0-это нулевой вектор.

9.5. Векторы и коллинеарны при любых и .

9.6. Свойства произведения вектора на число:

1⁰. (сочетательный закон)

2⁰. (первый распределительный закон)

3⁰. (второй распределительный закон)

9.7. Теорема (о средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.

9.8. Сумма противолежащих углов трапеции равна 180⁰.

Формулы

Основное тригонометрическое тождество

Таблица углов

*знать таблицу наизусть для 8 класса (зелёный), для 9 класса (зелёный и жёлтый).

infourok.ru

Конспект урока геометрии на тему «Трапеция» (8 класс)

Современная система образования в настоящее время, в рамках требования образовательных стандартов второго поколения находится в переходной стадии своего развития от знаниевой к личностной парадигме. При этом основная и очень ответственная задача школы та же — раскрыть индивидуальность ребенка, помочь ему проявиться, развиться, устояться, обрести избирательность и устойчивость к социальным воздействиям. Раскрытие индивидуальности каждого ребенка в процессе обучения обеспечивает построение личностно ориентированного обучения в современной школе. Указанная методическая разработка предназначена для учащихся 8 класса. Ее целью является обеспечение на уроке личностно значимого эмоционального контакта учителя и учеников на основе сотрудничества, сотворчества, мотивации достижения успеха через анализ не только результата, но и процесса его достижения.

Урок геометрии в 8 классе по теме: «Трапеция» является очередной после тем: «Многоугольники», «Параллелограмм», «Признаки параллелограмма».

Тема урока: «Трапеция»

Класс: 8

Учитель: Алексеева Наталия Александровна

МБОУ Скосырская СОШ

Тип урока: изучение нового материала

Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М.: Просвещение, 2010.

Цель урока

— Научить умению различать виды трапеций, формулировать и доказывать свойства трапеции;

— научить применять полученные знания в решение задач.

Этапы урока

I. Пробуждение интереса.

II. Усвоение нового материала .

III. Обратная связь.

Ожидаемый результат

— Ученики справятся с  изучением новой темы;

— повышенная активность деятельности учащихся;

— развитие навыков анализа, осмысления проблемы;

— самостоятельный поиск учащимися решения поставленной задачи;

— критическое мышление.

Методы оценивания урока

Самооценка, оценка экспертов

Ресурсы

Таблица «Самооценка», таблица «Оценка эксперта», разрезной материал для составления трапеции у каждого ученика на парте; карточки с заданиями (распечатки чертежей и заданий из конспекта урока).ИКТ, учебник, интернет-ресурсы

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку. Формирование групп.

II. Постановка цели урока:

— Мы с вами продолжаем знакомиться с четырехугольниками.

Предлагаю вам рассмотреть ряд четырехугольников. (Работа по слайду №1)

— Среди представленных фигур, что вы заметили? (Ответ учащихся: «Фигура № 4 выделена цветом».)

— Что общего у этих фигур? (Ответ учащихся: «Все фигуры являются четырехугольниками».)

-Чем отличается выделенный четырехугольник от других? (Ответ учащихся: «Не является параллелограммом. У него две стороны параллельные, а две другие нет».)

-А кто знает, как называется этот четырехугольник? ( Дети либо ответят, либо нет.)

-Эта фигура называется трапеция.

-Как вы думаете какова тема урока? (Учащиеся формулируют тему урока.)

-Ребята, как вы считаете, какой будет цель нашего урока? (формулируют свои цели)

— Какие нужно поставить задачи для достижения нашей цели? (формулируют задачи урока)

III. Актуализация знаний:

Работа по слайду №2

-Перед вами фигуры. Разделите фигуры на классы по какому-либо признаку.

— Дайте определение фигурам известного класса. ( Отвечают на вопросы, выполняют задания. Вспоминают существенные (количество пар параллельных сторон) признаки классификации. Дают определение параллелограмма, называют его виды.)

IV. Исследование.

— Скажите, приходилось ли вам видеть в своей жизни предметы, похожие по форме на трапецию? Приведите примеры.

1. Определение трапеции и ее элементов.

Работа по слайду №3

-Попытайтесь дать определение трапеции, опираясь на существенный признак, и записать это определение с помощью математических символов. (Чертят трапецию в тетрадях. Дают определение трапеции, записывают его с помощью математических символов. АD || BC, AB CD)

— Трапецияот др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») —четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1в.) (портрет ученого на слайде № 4)

Работа по слайду №5

— Приставим к верхнему основанию трапеции крышу. Вот такой у нас получился рисунок:

(учащиеся сравнивают трапецию с домом, основание трапеции – с фундаментом, основанием дома.)

— Назовем элементы трапеции: АD || BC – основания; АD – нижнее основание; BC – верхнее основание; AB CD  – боковые стороны. (Учащиеся записывают элементы трапеции в тетрадях)

Работа по слайду №6

— Посмотрите на эти рисунки:

— Будут ли эти фигуры трапециями? Назовите элементы трапеции.(Учащиеся отвечают на вопросы. Называют элементы трапеции.)

2. Свойство углов трапеции.

На доске прикреплены чистые листы, в центре запись – 180° .

— Предлагаю поиграть в игру “Ассоциации” и вспомнить все, что вы можете связать с 180°. (Вспоминают и отвечают известные теоремы и свойства.)

Учитель открывает на доске листы по ходу ответов учащихся. На доске появляется картина:

— Будут ли какие-либо углы трапеции связаны этим свойством? ( учащиеся находят внутренние односторонние углы при основаниях трапеции и записывают свойство этих углов при параллельных прямых: < А + < В = 180°, < С + < D = 180°)

Работа по слайду №7

— На рисунке найдите неизвестные углы. (Ученики отвечают с места.)

3. Виды трапеции.

— А сейчас проведем работу в парах. Из разрезанных фигур вам необходимо сложить трапеции. (Работают в парах, складывают фигуры.)

— Вот, что должно было у вас получиться. Назовите части, из которых составлены трапеции. (Называют все фигуры, из которых сложена трапеция.)

Работа по слайду №8

— Что общего у фигур № 1 и № 2?

— Как называется треугольник с прямым углом?

— Как можно назвать такую трапецию? (Ученики называют трапецию по аналогии прямоугольной.)

— Что общего у фигур № 3 и № 4? Измерьте боковые стороны этих фигур. Вспомните, как называли треугольник, у которого две стороны равны. Назовите трапецию. (Ученики называют трапецию по аналогии равнобедренной (равнобокой).)

Физкультминутка. Гимнастика для глаз.

Используется методика здоровьесберегающих технологий «зрительные метки». Учитель обращает внимание учащихся на развешанные по периметру класса цветные фигурки четырехугольников и дает задание отыскать среди них трапеции. (все фигурки пронумерованы, учащиеся дают в ответ № четырехугольника).

4. Свойство равнобедренной трапеции.

На доске чертит равнобокую трапецию, просит учащихся начать построение трапеции в тетради с прямоугольника. (Чертят равнобокую трапецию в тетради. )

— Назовите свойство равнобедренного треугольника.

— Какую гипотезу можно выдвинуть? (Выдвигают гипотезу о равенстве углов при основаниях равнобокой трапеции.)

На доске учитель записывает условие. Первая группа учащихся самостоятельно доказывают теорему о равенстве углов при основании равнобокой трапеции.

— А теперь проведите диагонали равнобокой трапеции, измерить их. (Ученики измеряют длину диагоналей трапеций в своих тетрадях. Выдвигают гипотезу: диагонали равнобокой трапеции равны.)

— Вторая группа учащихся самостоятельно доказывают теорему о равенстве диагоналей равнобокой трапеции.

После обсуждения два учащихся от каждой группы записывают доказательство теорем у доски.

v. Применение знаний.

Учащимся предлагается 7 разноуровневых задач. Необходимо решить от 1 до 3. Для получения статуса «Эксперт» обязательно решить 3 задачи, 1 из них повышенной сложности. Справившийся с заданием получает статус «эксперта» (по желанию). Эксперт приобретает право объяснять и проверять правильность решения.

Работа в мини-группах «Эксперт – ученик».

Каждый ученик выбирает себе «эксперта». Задача эксперта: ответить на вопросы учащегося, при необходимости, объяснить решение задачи. После объяснения учащемуся предлагается решить любую задачу с подробным объяснением. Эксперт наблюдает за решением и заполняет графу «Оценка эксперта» Учащийся может выбирать неограниченное количество экспертов.

В ходе работы заполняется графа «Самооценка». Шкала 4-балльная от 0 до 3.

 0 – ничего не могу;

 1 – пытаюсь, ничего не получается;

 2 – выполняю, но допускаю ошибки;

 3 – всё верно, без ошибок.

Ф. И.

 

 

 

 

Краткая запись

Составление плана

решения

задачи

Решение

задачи

Математические

вычисления

Единицы измерения

Общее количество

1

Самооценка

 

2

Что нужно для того, чтобы было 3 балла

 

 

 

Объяснение эксперта

Решение задачи вместе с экспертом

3

Оценка эксперта

 

 

 

 

 

 

4

Учитель – ученик

 

 

 

 

 

 

Задачи для решения

I уровень

1. Найдите углы трапеции:

II уровень

2. Найдите периметр трапеции АВСD:

III уровень

1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции АВСD проведен перпендикуляр СE к прямой AD, содержащий большее основание. Докажите, что AE=(AD+BC)/2.

VI. Рефлексия:
Заполнение графы «Что нужно для того, чтобы было 3 балла».

VII. Домашнее задание.

1) ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА

Сложить трапецию из:

а) четырёх прямоугольных треугольников;

б) из трёх прямоугольных треугольников;

в) из двух прямоугольных треугольников. Выяснить, каким условиям при этом должны удовлетворять данные трапеции. 

2) Творческое задание: сочинить сказку о трапеции, сделать презентацию на тему: «Трапеция в жизни человека»

infourok.ru

Площадь трапеции

На этом уроке мы рассмотрим вопрос о вычислении площади трапеции.

Давайте вспомним  одно из свойств площадей: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Также вспомним, что высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение.

А теперь докажем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию .

 – высота.

Докажем, что .

,

.

Так как ,

то .

,

.

Что и требовалось доказать.

Для закрепления решим несколько задач.

Задача. Найдите площадь трапеции , если  см,  см,  см, а .

Решение

Рассмотрим прямоугольный .

,

 (см).

,

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Градусная мера острого угла прямоугольной трапеции равна , а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит трапецию на треугольник и квадрат, площадь которого равна  см². Вычислите площадь трапеции.

Решение.

 Пусть ABCD – прямоугольная трапеция. Градусная мера острого угла C равна 45º. Высота BE, проведённая из тупого угла B делит трапецию на квадрат ABED и треугольник BCE.

Из условия задачи известно, что  см², значит,  (см).

 – прямоугольный,  так как  – высота.

,

,

.

 – равнобедренный.

 (см).

,  (см).

,

 (см²).

Ответ:  см².

Итак, на этом уроке мы доказали, что площадь трапеции  равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. А также закрепили это на практике.

videouroki.net