Методы решения тригонометрических уравнений
Урок комплексного применения знаний.
Цели урока.
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
- Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
- Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, справочный материал.
Ход урока
Вводная беседа.
I.
Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.
II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)
1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.
Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.
2. Метод разложения на множители.
Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод введения дополнительного угла.
4. Метод использования универсальной подстановки.
Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx ) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки
Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.
5. Метод понижения степени.
III. Самостоятельная работа (программированный контроль).
| 1-й вариант | 2-й вариант |
| 1) 2cos2x + 2sin x = 2,5 2) sin2x = -cos2x 3) (cosx – sinx)2 = cos2x |
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) sin2x – sin3x = 0 3) sin2x = 2sin2x |
Таблица ответов.
Коды ответов:1-й вариант: 524, 2-й вариант: 361.
IV. Домашнее задание.
Решить следующие уравнения:
urok.1sept.ru
Решение тригонометрических уравнений. Как решить тригонометрическое уравнение.
Решение тригонометрических уравнений требует знания основных формул тригонометрии — сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью «Основные тригонометрические формулы».
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Метод замены переменной и подстановки
- cos(x + /6) = 1
x + /6 = 2 k
x1 = — /6 + 2 k
- cos(x + /6) = ?
x + /6 = ±arccos 1/2 + 2 k
x2 = ± /3 — /6+ 2 k
Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители
- 2sin(x/2) = 0
Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого
х/2 = k
x1 = 2 k
- cos(x/2) — sin(x/2) = 0
Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.
Делим уравнение на cos(x/2) и получаем опять же простейшее тригонометрическое уравнение:
1 — tg(x/2) = 0
tg(x/2) = 1
x/2 = arctg 1 + k
x/2 = /4+ k
x2 = /2+ 2 k
Приведение к однородному уравнению
Решение уравнений, через переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Преобразование произведения в сумму
Универсальная подстановка
- x (2k + 1) ,
тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:3[(2tg(x/2))/(1 + tg2 (x/2)] — 4[(1 – tg2 (x/2))/(1 + tg2 (x/2)] = 3
6tg(x/2) – 4 + 4tg2 (x/2) = 3 + 3tg2 (x/2)
tg2 (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0
Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:
y2 + 6y -7 = 0
корни которого y1 = -7, y2 = 1
Идем обратно и получаем два простейших уравнения:
1) tg(x/2) = -7
х1 = -2arctg 7 + 2 k
2) tg(x/2) = 1
x2 = /2 + 2k
- x = (2k + 1) ,
тогда 3sin[(2k +1) ] – 4cos[(2k + 1) ] = 4 3
Получаем – решение имеет только первое условие.
Пример.
Решить уравнение 2cos2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y1 = 1, y2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
cos(x + /6) = y
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Пример.
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x — 2 sin2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) — 2 sin2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * [cos(x/2) — sin(x/2)] = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Пример.
Решить уравнение 3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos2x = 2
Воспользуемся формулой sin2 x + cos2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin2x + 2cos2x
sin2x + 4 sin x • cos x + 3 cos2x = 0
Делим на cos x:
tg2x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y2 + 4y +3 = 0, корни которого y1=1, y 2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
1) tg x = –1
x1 = /4+ k
2) tg x = –3
x2 = arctg 3 + k
Пример.
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) = 7sin2 (x/2) + 7cos2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Ну а дальше уже по отработанной схеме …
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С — + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Пример.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
(/2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2
cos( /6) * sin 3x – sin( /6) * cos 3x =1/2
sin(3x – /6) = 1/2
Получаем ответ
x = (-1) k * /18 + /18 + k/3
Здесь мы будем просто использовать тригонометрические формулы
Пример.
Решить уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x
Левую часть преобразуем в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x
Получаем простейшее уравнение:
cos 8x = 0
8x = /2 + k
x = /16 + k/8
Пример.
Решить тригонометрическое уравнение 3sin x – 4cos x = 3
Здесь возможны 2 случая:
Основные методы решения тригонометрических уравнений, мы рассмотрели. Если у вас остались какие либо вопросы о том, как решать тригонометрические уравнения, задавайте их в комментариях ниже.
Будем рады любым ваших вопросам.
Заметка: собираетесь выступать http://prezentacii.com портал готовых презентаций.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Методы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс
Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».
Цели урока:
образовательные:
— сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;
— углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
воспитательные:
— воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
— формирование умения анализировать поставленную задачу;
развивающие:
— формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.
Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.
Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.
В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:
Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.
Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.
1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.
2. Решение уравнений методом разложения на множители.
3. Решение однородных уравнений.
Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:
соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 ).
При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.
Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.
4. Введение вспомогательного аргумента.
Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:
Как видим, получается тот же результат.
Рассмотрим еще один пример:
В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:
Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:
asinx + bcosx = c ,
тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:
которое легко решается.
Решим еще одно уравнение:
Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:
Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:
что тоже легко решается.
Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:
Итогом урока является проверка решения и оценка учащихся.
Домашнее задание: п. 11, конспект, № 164(б, г), 167(б, г), 169(а, б), 174(а, в).
urok.1sept.ru
Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие) | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс
Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)
09.07.2015 11218 1075Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
Решите неравенство:
Вариант 2
Решите неравенство:
III. Изучение нового материала
На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.
1. Простейшие системы уравнений
К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.
Пример 1
Решим систему уравнений
Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную и подставим во второе уравнение: Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение или Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3t2 — 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого Теперь легко найти неизвестную: Итак, система уравнений имеет решения где n ∈ Z.
Пример 2
Решим систему уравнений
Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим: Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем: откуда
Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х — у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k. Если бы вместо k было также поставлено n, то решения имели бы вид: При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными xи у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k= n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.
2. Системы вида
Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы или Отметим очевидное ограничение: и Само же решение подобных систем сложностей не представляет.
Пример 3
Решим систему уравнений
Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство Получим: Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим Теперь имеем систему уравнений Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем: или Запишем решения этой простейшей системы: Складывая и вычитая эти линейные уравнения, находим:
3. Системы вида
Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.
Пример 4
Решим систему уравнений
Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим: Используя второе уравнение, имеем: откуда Выпишем решения этого уравнения: С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений Из этой системы находим Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем: для нижних знаков —
4. Системы вида
Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого — cos у. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.
Пример 5
Решим систему уравнений
Запишем систему в виде Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим: Сложим уравнения этой системы: или Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде или Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда ), где n, k ∈ Z. Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x, получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; дляcos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.
С учетом этого получим решения данной системы уравнений и где n, m, k, l ∈ Z. При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.
В частном случае система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.
Пример 6
Решим систему уравнений
В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим: Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим: откуда Подставим найденное значение например, в первое уравнение: Учтем, что Тогда откуда
Получили систему линейных уравнений Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем и где n,k ∈ Z.
5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных
Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.
Пример 7
Решим систему уравнений
Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе: или Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и b2= -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:
а) ее решение где n, k ∈ Z.
б) решений не имеет, так как sin у ≥ -1.
Пример 8
Решим систему уравнений
Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sinх и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим: (откуда ) и (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид: или Получили систему тригонометрических уравнений Введем новые переменные a = sin х и b= cos у. Имеем симметричную систему уравнений единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений решение которой где n, k ∈ Z.
6. Системы, для которых важны особенности уравнений
Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы — тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.
Пример 9
Решим систему
Обратим внимание на левые части уравнений, например на Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим: Тогда система уравнений имеет вид: Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим: или 1 = sin3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим и Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n. Для четных n (n = 2k, где k ∈ Z) Тогда из первого уравнения данной системы получим: где m ∈ Z. Для нечетных Тогда из первого уравнения имеем: Итак, данная система имеет решения
Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.
Пример 10
Решим систему уравнений
Прежде всего преобразуем первое уравнение системы: или или или или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin2 2х = 1 и sin2 у = 1.
Второе уравнение системы запишем в виде sin2 у = 1 — cos2 z или sin2 у = sin2 z, и тогда sin2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде или тогда
Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.
Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.
tak-to-ent.net