Как решать тригонометрию – Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ по математике.

Методы решения тригонометрических уравнений

Урок комплексного применения знаний.

Цели урока.

  1. Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
  2. Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
  3. Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, справочный материал.

Ход урока

Вводная беседа.

I.

Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.

Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.

II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)

1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.

Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.

2. Метод разложения на множители.

Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Метод введения дополнительного угла.

4. Метод использования универсальной подстановки.

Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx ) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки

Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.

5. Метод понижения степени.

III. Самостоятельная работа (программированный контроль).

1-й вариант 2-й вариант
1) 2cos2x + 2sin x = 2,5
2) sin2x = -cos2x
3) (cosx  – sinx)2 = cos2x  
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0
2) sin2x – sin3x = 0
3) sin2x = 2sin2x

Таблица ответов.

Коды ответов:1-й вариант: 524, 2-й вариант: 361.

IV. Домашнее задание.

Решить следующие уравнения:

urok.1sept.ru

Решение тригонометрических уравнений. Как решить тригонометрическое уравнение.

Решение тригонометрических уравнений требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью "Основные тригонометрические формулы".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим,

как решить такие тригонометрические уравнения, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

  1. Метод замены переменной и подстановки

  2. Пример.

    Решить уравнение 2cos2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

    Используя формулы приведения получим:

    2cos2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

    Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

    2y2 – 3y + 1 + 0

    Корни которого y1 = 1, y2 = 1/2

    Теперь идем в обратном порядке

    cos(x + /6) = y

    Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

    1. cos(x + /6) = 1

      x + /6 = 2 k

      x1 = - /6 + 2 k

    2. cos(x + /6) = ?

      x + /6 = ±arccos 1/2 + 2 k

      x2 = ± /3 - /6+ 2 k

  3. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

  4. Пример.

    Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

    Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

    sin x + cos x – 1 = 0

    Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

    sin x - 2 sin2 (x/2) = 0

    Делаем разложение на множители:

    2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin2 (x/2) = 0

    2sin(x/2) * [cos(x/2) - sin(x/2)] = 0

    Получаем два уравнения

    1. 2sin(x/2) = 0

      Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого

      х/2 = k

      x1 = 2 k

    2. cos(x/2) - sin(x/2) = 0

      Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.

      Делим уравнение на cos(x/2) и получаем опять же простейшее тригонометрическое уравнение:

      1 - tg(x/2) = 0

      tg(x/2) = 1

      x/2 = arctg 1 + k

      x/2 = /4+ k

      x2 = /2+ 2 k

  5. Приведение к однородному уравнению

  6. Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

    а) переносят все его члены в левую часть;

    б) выносят все общие множители за скобки;

    в) приравнивают все множители и скобки к 0;

    г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

    д) решают полученное уравнение относительно tg.

    Пример.

    Решить уравнение 3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos2x = 2

    Воспользуемся формулой sin2 x + cos2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

    3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin2x + 2cos2x

    sin2x + 4 sin x • cos x + 3 cos2x = 0

    Делим на cos x:

    tg2x + 4 tg x + 3 = 0

    Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

    y2 + 4y +3 = 0, корни которого y1=1, y2 = 3

    Отсюда находим два решения исходного уравнения:

    1) tg x = –1

    x1 = /4+ k

    2) tg x = –3

    x2 = arctg 3 + k

  7. Решение уравнений, через переход к половинному углу

  8. Пример.

    Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

    Переходим к x/2:

    6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) = 7sin2 (x/2) + 7cos2 (x/2)

    Пререносим все влево:

    2sin2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos2 (x/2) = 0

    Делим на cos(x/2):

    tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

    Ну а дальше уже по отработанной схеме …

  9. Введение вспомогательного угла

  10. Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

    где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

    Обе части уравнения разделим на :

    Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

    cos * sin x + sin * cos x = С

    или sin(x + ) = C

    Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

    х = (-1) k * arcsin С - + k, где

    Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

    Пример.

    Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

    В этом уравнении коэффициенты:

    а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

    (/2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2

    cos( /6) * sin 3x – sin( /6) * cos 3x =1/2

    sin(3x – /6) = 1/2

    Получаем ответ

    x = (-1) k * /18 + /18 + k/3

  11. Преобразование произведения в сумму

  12. Здесь мы будем просто использовать тригонометрические формулы

    Пример.

    Решить уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x

    Левую часть преобразуем в сумму:

    cos 4x – cos 8x = cos 4x

    Получаем простейшее уравнение:

    cos 8x = 0

    8x = /2 + k

    x = /16 + k/8

  13. Универсальная подстановка

  14. Пример.

    Решить тригонометрическое уравнение 3sin x – 4cos x = 3

    Здесь возможны 2 случая:

    1. x (2k + 1) ,
      тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:

      3[(2tg(x/2))/(1 + tg2 (x/2)] - 4[(1 – tg2

      (x/2))/(1 + tg2 (x/2)] = 3

      6tg(x/2) – 4 + 4tg2 (x/2) = 3 + 3tg2 (x/2)

      tg2 (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0

      Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:

      y2 + 6y -7 = 0

      корни которого y1 = -7, y2 = 1

      Идем обратно и получаем два простейших уравнения:

      1) tg(x/2) = -7

      х1 = -2arctg 7 + 2 k

      2) tg(x/2) = 1

      x2 = /2 + 2k

    2. x = (2k + 1) ,

      тогда 3sin[(2k +1) ] – 4cos[(2k + 1) ] = 4 3

      Получаем – решение имеет только первое условие.

Основные методы решения тригонометрических уравнений, мы рассмотрели. Если у вас остались какие либо вопросы о том, как решать тригонометрические уравнения, задавайте их в комментариях ниже.

Будем рады любым ваших вопросам.

Заметка: собираетесь выступать http://prezentacii.com портал готовых презентаций.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Методы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».  

Цели урока:

образовательные:

- сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;

- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

воспитательные:

- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

- формирование умения анализировать поставленную задачу;

развивающие:

- формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.

В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:

Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.

Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение однородных уравнений.

4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение однородных уравнений.

Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:

соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 ).

При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.

Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.


4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:

Как видим, получается тот же результат.

Рассмотрим еще один пример:

В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:

Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:

asinx + bcosx = c ,

тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:


которое легко решается.

Решим еще одно уравнение:


Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:

Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:

что тоже легко решается.

Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:

Итогом урока является проверка решения и оценка учащихся.

Домашнее задание: п. 11, конспект, № 164(б, г), 167(б, г), 169(а, б), 174(а, в).

urok.1sept.ru

Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие) | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс

Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)