Властивості sin(x), cos(x),tg(x), ctg(x)

Наведені та структуровані основні характеристики тригонометричних функцій sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), які є вкрай необхідними при дослідженні графіків та поведінки цих функцій, спрощенні тригонометричних виразів, обчисленні рівнянь та нерівностей.
Основну частину присутніх тут формул Ви повинні вміти легко застосовувати на практичних, а для цього частину матеріалу потрібно завчити та знати.
Це не стосується всіх формул, але частину основних тригонометричних тотожностей, а також формули синуса чи косинуса подвійного кута слід запам’ятати. 

Cинус y=sin(x)  

Область визначення:    D(y): x∈R
Область допустимих значень:    E(y):y∈[-1;1], тобто  -1≤sin(x)≤1.
Функція непарна:         sin(-a)=sin(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом 2Pi: sin(a+2Pi)=sin(a).
Точки перетину з осями координат: (0,0) на осі Oy; (Pi·k;0), k∈Z на осі Ox.
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(2Pi·k;Pi+2Pi·k), k∈Z;  
y<0, якщо x∈(Pi+2Pi·k;2Pi+2Pi·k),  k∈Z.
Проміжки зростання: [-Pi/2+2Pi·k; Pi/2+2Pi·k], k∈Z, звідси y_max=1 у точках  x_max=Pi/2+2Pi·k.
Проміжки спадання:  [Pi/2+2Pi·k; 3Pi/2+2Pi·k], k∈Z, звідси y_min=-1 у точках  x_min=-Pi/2+2Pi·k.                   

Косинус y=cos(x)

                                 

Область визначення: D(y): x∈R
Область значень:       E(y):y∈[-1;1], тобто  -1≤cos(x)≤1.
Функція парна:          cos(-a)=cos(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом 2Pi: cos(a+2Pi)=cos(a).
Точки перетину з осями координат: (0;1) на осі Oy, (Pi/2+Pi·k;0), k∈Z на осі Ox;
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(-Pi/2+2Pi·k;Pi/2+2Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(Pi/2+2Pi·k;3Pi/2+2Pi·k), k∈Z.
Проміжки зростання: [Pi+2Pi·k; 2Pi·k], k∈Z, звідси  y_max=1  у точках  x_max= 2Pi·k.
Проміжки спадання:  [2Pi·k; Pi+2Pi·k], k∈Z,   звідси  y_min=-1 у точках   x_min= Pi+2Pi·k.             

Тангенс y=tg(x)

Область визначення: D(y):x≠Pi/2+Pi·k, k∈Z;
Область значень:      E(y): y∈R, тобто  -∞≤tg(x)≤+∞.
Функція непарна       tg(-a)=-tg(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом Pi:  tg(a+Pi)=tg(a).
Точки перетину з осями координат: (0;0) на осі Oy;  (Pi·k;0), k∈Z  на осі Ox.
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(Pi·k;Pi/2+Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(-Pi/2+Pi·k; Pi·k), k∈Z .
Проміжки зростання: (-Pi/2+Pi·k; Pi/2+Pi·k), k∈Z.
Найменших і найбільших значень функція не має .  

Котангенс y=ctg(x)

Область визначення: D(y):x≠ Pi·k, k∈Z;
Область значень:      E(y): y∈R, тобто  -∞≤ctg(x)≤+∞.
Функція непарна       ctg(-a)=-ctg(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом Pi: ctg(a+Pi)=ctg(a).
Точки перетину з осями координат:
не перетинає вісь Oy;
(Pi/2+Pi·k;0), k∈Z на осі Ox
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(Pi·k;Pi/2+Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(Pi/2+Pi·k;Pi+Pi·k), k∈Z.
Проміжки спадання: (Pi·k;Pi+Pi·k), k∈Z.
Найменших і найбільших значень функція не має.  

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів:

α	0 00	π/6 300	π/4 450	π/3 600	π/2 900	π 1800	3π/2 2700
sinα	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0	-1
cosα	1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1	0
tgα	0	√3/3	1	√3	—	0	—
ctgα	—	√3	1	√3/3	0	—	0

Формули зведення:

Функція	900+α π/2+α	1800+α π+α	2700+α 3π/2+α	-α	900-α π/2-α	1800-α π-α	2700-α 3π/2-α
sinα	cosα	-sinα	-cosα	-sinα	cosα	sinα	-cosα
cosα	-sinα	-cosα	sinα	cosα	sinα	-cosα	-sinα
tgα	-ctgα	tgα	-ctgα	-tgα	ctgα	-tgα	ctgα
ctgα

yukhym.com

чему равно производная от sinx в степени tgx ?

Ну элементарно. Это функция от функции, так что сначала берётся производная от внешней фукнции, и умножается на производную от внутренней (сколько надо раз) . Тут последовательно показательная, потом тригонометрическая. От показательной будет ln(tg x)*sin x, от синуса — cosx. Их произведение и будет производной.

Ну и что тут такого? Просто производная сложной функции. Вначале производная функции типа а^x, помножить на производную tgx, помножить на производную sinx. Это решение если в степень возводится СИНУС. Если в степень возводится Х (потому что у тебя непонятная запись) — тогда тоже сложная функция — практически тоже самое.

= sin(x) в степени tg(x) *(d tg(x)/dx * ln(sin(x)) + tg(x) * cos(x)/sin(x) ) Так глагольствует его величество Мадкад. Мадкадович!

sinx^tgx= e^(tg(x)* ln (sin(x)) ) а дальше как сложную =sinx^tgx* (1/cosx^2 *ln(sinx)) +tgx*1/sin(x)*cosx ) и в школах этому учат парвдо невовсех.

touch.otvet.mail.ru

Интегрирование тригонометрических рациональных функций

Методы интегрирования тригонометрических рациональных функций

Рассмотрим интегралы от тригонометрических рациональных функций:
,
где R – рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы (поскольку они получаются операциями деления синуса и косинуса). Их, чаще всего, стоит преобразовать через синусы и косинусы.

В зависимости от вида подынтегральной функции, применяют несколько методов интегрирования тригонометрических рациональных функций.

Подстановки t = sin x или t = cos x

Если R( cos x, sin x ) умножается на   –1 при замене
cos x  →  – cos x или sin x  →  – sin x ,
то полезно другую из них обозначить через t.

Так, при подстановке
t = cos x ,
dt = (cos x )′ dx = – sin x dx,
sin² x = 1 – cos² x = 1 – t².

При подстановке
t = sin x ,
dt = (sin x )′ dx = cos x dx,
cos² x = 1 – sin² x = 1 – t².

Подстановка t = tg x

Если R( cos x, sin x ) не меняется при одновременной замене
cos x  →  – cos x и sin x  →  – sin x ,
то полезно положить tg x = t или ctg x = t.

Пусть t = tg x, тогда
,
,
,
.

Подстановка t = tg(x/2)

Подстановка

во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.

При этом
,
,
,
,
,
.

Итак,
.

Эта подстановка является универсальной и позволяет во всех случаях привести интегралы от тригонометрических рациональных функций к интегралам от рациональных функций. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям, чем предыдущие, если они применимы.

Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x

Часто встречаются интегралы, в которых подынтегральная функция является произведением степенных функций от синуса и косинуса:

При целых m и n подынтегральная функция является тригонометрической рациональной функцией и, для ее интегрирования, применимы перечисленные выше методы. Однако, в виду особенности, существует ряд дополнительных методов, которые, в некоторых случаях, позволяют упростить вычисление таких интегралов.
Подробнее >>>

Примеры

Ниже подробно рассмотрены три примера интегрирования рациональных тригонометрических функций.

Пример 1

Вычислить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрических функций sin x и cos x. Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x.

Заменим cos x на – cos x:

Вся функция умножилась на   –1 .

По правилу 1, делаем подстановку:
t = sin x.
Тогда
dt = (sin x)′ dx = cos x dx.

Подставляем в интеграл:

Получили интеграл от рациональной функции (дроби из многочленов). Выделяем целую часть и разложим дробь на простейшие:
.
Интегрируем:

Ответ

Пример 2

Определить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрической функции sin x. Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x.

Заменим sin x на – sin x:

Функция не изменилась.

Заменим cos x на – cos x. Поскольку подынтегральная функция не зависит от cos x, то при этой замене она также не меняется.

Согласно второму правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
t = tg x.
;
;
.
Применим формулу sin² x + cos² x = 1 и разделим числитель и знаменатель на cos² x.
.
Подставляем и раскладываем дробь на простейшие:
.

Ответ

Пример 3

Решить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочлена от тригонометрических функций sin x и cos x. Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x.

Если заменить sin x на – sin x или cos x на – cos x, то функция меняет вид, поэтому правила 1 или 2 не применимы.

Согласно третьему правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
.
;
.
Преобразуем знаменатель, применяя формулы:
,
,
.
.

.

Приводим знаменатель к сумме квадратов:
.

Подставляем:

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 28-10-2014

1cov-edu.ru

sin 2x + tg x = 2

Задание.
Решить уравнение:
sin 2x + tg x = 2.

Решение.
В уравнении видим две разные функции, причем от разных аргументов. Наша задача свести уравнение к одной из функций, а также желательно и к одинаковому аргументу. Для этого используем формулу синуса двойного угла через тангенс:

   

Подставим выражение для синуса двойного угла в исходное уравнение:

   

Избавимся от дроби, умножив все члены уравнения на знаменатель:

   

   

   

Введем новую переменную вместо тригонометрической функции тангенс:

   

Подставим ее в уравнение и получим кубическое уравнение:

   

Воспользуемся формулой сокращенного умножения и разложим на множители:

   

Получаем два возможных варианта уравнений:
или
Решим первое уравнение:

   

   

Вернемся к тригонометрической функции тангенс и найдем его решение:

   

Запишем все корни этого уравнения:

   

Рассмотрим второе уравнение:

   

Вычислим дискриминант этого уравнения:
— действительных корней уравнение не имеет.

Ответ. , может быть любым целым числом.

ru.solverbook.com

Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса (альфа)

Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.

 

 

 

 

 

Синус, косинус в кубе

 

 

 

 

 

 

Синус, косинус, тангенс, котангенс половинного угла

 

 

 

 

 

 

Формулы тригонометрических функций двойного угла

Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

 

sin(2α)- через sin и cos:

 

sin(2α)- через tg и ctg:

 

cos(2α)- через sin и cos:

 

cos(2α)- через tg и ctg:

 

 

tg(2α) и сtg(2α):

 

 

Формулы тригонометрических функций тройного угла

Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):

 

 

 

 

Формулы суммы тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

Формулы разницы тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

Формулы тригонометрических функций суммы углов

 

 

 

 

 

 

Формулы тригонометрических функций разницы углов

Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов

 

 

 

 

 

 

Формулы произведения тригонометрических функций, (sin cos tg ctg)

 

 

 

 

 

 

 

 

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

sin(α)=OA

cos(α)=OC

tg(α)=DE

ctg(α)=MK

R=OB=1

 

Значения функций для некоторых углов, α

 

Тригонометрические формулы приведения

В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).

 

infourok.ru

Напишите тригонометрические формулы!! ! Все!!!

sin&#8289;&#945;±sin&#8289;&#946;=2sin&#8289;&#12310;1/2 (&#945;±&#946;)&#12311; cos&#8289;&#12310;1/2 (&#945;&#8723;&#946;)&#12311; cos&#8289;&#945;+cos&#8289;&#946;=2cos&#8289;&#12310;1/2 (&#945;+&#946;)&#12311; cos&#8289;&#12310;1/2 (&#945;-&#946;)&#12311; sin^2 x + cos^2 x = 1 tg x = sin x/ cos x ctg x = cosx/sinx tg x * ctgx = 1 tgx = 1/ctgx 1+ctg^2x = 1/sin2x 1+tg^2x = 1/cos2x sin2x=2sinxcosx cos2x = cos^2-sin^2x=2cos^2x – 1= 1 – 2sin^2x tg2x = 2tgx/(1-tg2x) sin^2(x/2) = (1-cosx)/2 cos^2(x/2) = (1+cosx)/2 tg^2(x/2) = (1- cosx)/(1+cosx) sinx = 2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2)) cosx = (1-tg2(x/2))/ (1+tg^2(x/2)) tgx = 2tg(x/2)/ (1-tg2(x/2)) ctgx = (1-tg^2(x/2))/2tg^2(x/2) cos(x+&#945;)= cosx*cos&#945; – sinx*sin &#945; cos(x-&#945;)= cosx*cos&#945; + sinx*sin &#945; sin(X+&#945;)=sinx*cos &#945; + cosxsin &#945; sin(X-&#945;)=sinx*cos &#945; — cosxsin &#945; tg(x+&#945;)=(tgx+tg&#945;)/(1-tgxtg&#945;) tg(x-&#945;)=(tgx-tg&#945;)/(1+tgxtg&#945;) cosx-cos &#945;=-2sin((x+ &#945;)/2)cos((x- &#945;)/2) tgx±tg &#945;=sin(x± &#945;)/cosxcos &#945; sinxsin &#945;=1/2(cos(x- &#945;)-cos(x+ &#945;)) cosxcos &#945;=1/2(cos(x+ &#945;)+cos(x- &#945;)) sinxcos &#945;=1/2(sin(x+ &#945;)+sin(x- &#945;))

А все слова русского языка не надо написать?

(Sinx*sinx)+(cosx*xosx)=1 sin2x=2sinx*cosx cos2x= 1-(cosx*xosx)=(sinx*sinx)-1=(sinx*sinx)-(cosx*xosx) остальные забыл ((((

Жми сюда: <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_формул С‹» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_формул С‹</a>

их ровно 200 штук…

О­ль­га, с­п­аси­б­о, чт­о пос­о­ве­то­в­а­ла <a rel=»nofollow» href=»https://ok.ru/dk?cmd=logExternal&amp;st.cmd=logExternal&amp;st.link=http://mail.yandex.ru/r?url=http://fond2019.ru/&amp;https://mail.ru &amp;st.name=externalLinkRedirect&amp;st» target=»_blank»>fond2019.ru</a> В­ы­п­л­ати­ли 28 т­ы­с­яч за 20 м­ину­т как т­ы и на­п­и­с­ал­а. Ж­а­ль что ра­н­ь­ше не з­нал­а про т­а­кие ф­о­нды, н­а раб­о­т­у б­ы ходить не п­ришл­ось:)

touch.otvet.mail.ru

Внеклассный урок — Простейшие тригонометрические уравнения cos t = a, sin t = a, tg x = a, ctg x = a

Простейшие тригонометрические уравнения 

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

 

Уравнение cos x = a.

Принцип:

arccos a = x. Следовательно, cos x = a. Условия: модуль а не больше 1;  x не меньше 0, но не больше π (| a | ≤ 1;  0 ≤ x  ≤ π)

 

Формулы:

x = ± arccos a  +  2πk,     где k – любое целое число                                            arccos (-a) = π – arccos a,    где 0 ≤ a ≤ 1

 

Пример 1: Решим уравнение

                √3
cos x  =  ——.
                 2

Решение.

Применим первую формулу:

                      √3
x = ± arccos —— + 2πk
                      2

Сначала находим значение арккосинуса:

             √3       π
arccos —— = —
              2        6

Осталось подставить этот число в нашу формулу:

            π
x = ± —— + 2πk
            6

Пример решен.

 

Пример 2: Решим уравнение

                  √3
cos x  =  – ——.
                   2

Решение.

Сначала применим первую формулу из таблицы:

                        √3
x = ± arccos (– —) + 2πk
                         2

Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:

                 √3                         √3                 π        π        π       6π       π         5π
arccos (– ——) = π – arcos ——  =  π  –  —  =  —  –  —  =  —  –  —  =  ——
                  2                           2                   6        1        6        6        6          6

Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.

Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:

           5π
x = ± —— + 2πk
            6

Пример решен.

 

Уравнение sin x = a.

Принцип:

arcsin a = x, следовательно sin x = a. Условия: модуль а не больше 1;  x в отрезке [-π/2; π/2] (| a | ≤ 1;  –π/2 ≤ x  ≤ π/2)

 

Формулы.

(1 из 3)

x = arcsin a  +  2πk x = π – arcsin a  +  2πk   Эти две формулы можно объединить в одну: x = (–1)narcsin a + πn   (k – любое целое число;  n – любое целое число; | a | ≤ 1) Значение четного n: n = 2k Значение нечетного n: n = 2k + 1 Если n – четное число, то получается первая формула. Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

                                                                  √3
Пример 1: Решить уравнение sin x  =  ——
                                                                  2

Решение.

Применяем первые две формулы:

                        √3
1) x  =  arcsin —— + 2πk
                         2

                              √3
2) x  =  π – arcsin —— + 2πk
                               2

Находим значение арксинуса:

             √3        π
arcsin ——  =  —
             2          3

Осталось подставить это значение в наши формулы:

            π
1) x =  — + 2πk
           3

 

                 π                   2π
2) x =  π – —  + 2πk = —— + 2πk
                 3                    3

Пример решен.

 

Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.

Решение.

               π
x = (–1)ⁿ — + πn
               3

Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.

Пример решен.

 

(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:

Если sin x = 0,  то x = πk Если sin x = 1,  то x = π/2 + 2πk Если sin x = –1,  то x = –π/2 + 2πk

 

Пример 1: Вычислим arcsin 0.

Решение.

Пусть arcsin 0 = x.

Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].

Синус 0 тоже равен 0. Значит:

x = 0.

Итог:

arcsin 0 = 0.

Пример решен.

 

Пример 2: Вычислим arcsin 1.

Решение.

Пусть arcsin 1 = x.

Тогда sin x = 1.

Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:

arcsin 1 = π/2.

Пример решен.

 

(3 из 3)

arcsin (–a) = –arcsin a

 

Пример: Решить уравнение

                √3
sin x = – ——
                2

Решение.

Применяем формулы:

                          √3
1) x = arcsin (– ——) + 2πk
                           2

                                √3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
                                 2

Находим значение арксинуса:

                 √3                        √3           π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
                  2                          2             3

Подставляем это значение arcsin в обе формулы:

              π
1) x = – — + 2πk
              3
                     π                         π                    4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π +  —  +  2πk = ——  +  2πk
                     3                         3                     3

Пример решен.

 

Уравнение tg x = a.

Принцип:

arctg a = x, следовательно tg x = a. Условие: x больше –π/2, но меньше π/2 (–π/2 < x < π/2)

 

Формулы.

(1)

x = arctg a + πk где k – любое целое число (k ∈ Z)

 

(2)

arctg (–a) = –arctg a

Пример 1: Вычислить arctg 1.

Решение.

Пусть arctg 1 = x.

Тогда tg x = 1,  при этом x ∈ (–π/2; π/2)

Следовательно:

       π                       π
x = —    при этом  — ∈ (–π/2; π/2)
       4                       4

                            π
Ответ: arctg 1 = —
                            4

 

Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.

Решение.

Применяем формулу:

x = arctg (–√3) + πk

Решаем:

arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

Подставляем:

x = –π/3 + πk.

Пример решен.

 

Уравнение ctg x = a.

Принцип:

arcctg a = x, следовательно ctg x = a. Условие: x больше 0, но меньше π (0 < x < π)

 

Формулы.

(1)

x = arcctg a + πk (k ∈ Z)

 

(2)

arcctg (–a) = π – arcctg а

                                                 
Пример 1: Вычислить arcctg √3.

Решение.

Следуем принципу:

arcctg √3 = х

ctg х = √3.

х = π/6.

Ответ: arcctg √3 = π/6

Пример 2: Вычислить arcctg (–1).

Решение.

Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.

Пример решен.

 

raal100.narod.ru