Атомы в системе ГЦК упакованы как можно ближе друг к другу, причем атомы занимают 74% объема. Эта структура также называется кубической плотнейшей упаковки (CCP) . В CCP есть три повторяющихся слоя гексагонально расположенных атомов. Каждый атом контактирует с шестью атомами в своем собственном слое, с тремя в слое выше и с тремя в слое ниже.В этом расположении каждый атом касается 12 ближайших соседей и, следовательно, имеет координационное число 12. Тот факт, что устройства FCC и CCP эквивалентны, может быть не сразу очевиден, но почему они на самом деле являются одной и той же структурой, показано на рисунке 8.

Рис. 8.

Поскольку более тесная упаковка максимизирует общее притяжение между атомами и минимизирует общую межмолекулярную энергию, атомы в большинстве металлов упаковываются таким образом. Мы находим два типа плотнейшей упаковки в простых металлических кристаллических структурах: CCP, с которой мы уже сталкивались, и гексагональная плотнейшая упаковка (HCP) , показанная на рисунке 9.Оба состоят из повторяющихся слоев гексагонально расположенных атомов. В обоих типах второй слой (B) размещается на первом слое (A), так что каждый атом во втором слое контактирует с тремя атомами в первом слое. Третий слой размещается одним из двух способов. В HCP атомы в третьем слое находятся непосредственно над атомами в первом слое (т.е. третий слой также относится к типу A), а наложение состоит из чередующихся плотноупакованных слоев типа A и типа B (то есть ABABAB). В CCP атомы в третьем слое не находятся над атомами ни в одном из первых двух слоев (т.е.е., третий слой относится к типу C), а наложение состоит из чередующихся плотно упакованных слоев типа A, типа B и типа C (т. е. ABCABCABC). Около двух третей всех металлов кристаллизуются в плотноупакованных массивах с координационным числом 12. Металлы, которые кристаллизуются в структуре HCP, включают Cd, Co, Li, Mg, Na и Zn, а металлы, которые кристаллизуются в структуре CCP, включают Ag , Al, Ca, Cu, Ni, Pb и Pt.

Пример 2

Расчет атомного радиуса и плотности металлов, часть 2
Кальций кристаллизуется в гранецентрированной кубической структуре. Длина ребра его элементарной ячейки составляет 558,8 пм.

(а) Каков атомный радиус Са в этой структуре?

(b) Рассчитайте плотность Ca.

Решение

(a) В структуре ГЦК атомы Са контактируют друг с другом по диагонали грани, поэтому длина диагонали равна четырем атомным радиусам Са (d = 4 r ).2} {16}} = 197,6 \; \ text {pmg \; для \; a \; Ca \; radius} [/ latex].

(b) Плотность определяется как [латекс] \ text {density} = \ frac {\ text {mass}} {\ text {volume}} [/ latex]. Плотность кальция можно определить, определив плотность его элементарной ячейки: например, массу, содержащуюся в элементарной ячейке, деленную на объем элементарной ячейки. Гранецентрированная элементарная ячейка Са имеет по одной восьмой атома в каждом из восьми углов ([латекс] 8 \; \ times \; \ frac {1} {8} = 1 [/ латекс] атом) и один — половина атома на каждой из шести граней [латекс] 6 \; \ times \; \ frac {1} {2} = 3 [/ latex]), всего четыре атома в элементарной ячейке.3 [/ латекс]

Проверьте свои знания
Серебро кристаллизуется в структуре FCC. Длина ребра его элементарной ячейки 409 мкм.

(а) Каков атомный радиус Ag в этой структуре?

(b) Рассчитайте плотность Ag.

Ответ:

(а) 144 пм; (б) 10,5 г / см ³

В общем случае элементарная ячейка определяется длиной трех осей ( a , b и c ) и углами ( α , β и γ ) между ними, как проиллюстрировано на рисунке 10.Оси определяются как длины между точками пространственной решетки. Следовательно, оси элементарной ячейки соединяют точки с идентичной средой.

Рис. 10.

Существует семь различных систем решеток, некоторые из которых имеют более одного типа решетки, всего четырнадцать различных элементарных ячеек, которые имеют форму, показанную на рисунке 11.

Ионные кристаллы состоят из двух или более различных типов ионов, которые обычно имеют разные размеры. Упаковка этих ионов в кристаллическую структуру более сложна, чем упаковка атомов металла того же размера.

Большинство одноатомных ионов ведут себя как заряженные сферы, и их притяжение для ионов противоположного заряда одинаково во всех направлениях. Следовательно, стабильные структуры для ионных соединений возникают (1), когда ионы одного заряда окружены как можно большим количеством ионов противоположного заряда, и (2) когда катионы и анионы контактируют друг с другом. Структуры определяются двумя основными факторами: относительными размерами ионов и соотношением количества положительных и отрицательных ионов в соединении.

В простых ионных структурах мы обычно находим анионы, которые обычно больше, чем катионы, расположенные в виде плотнейшей упаковки. (Как было замечено ранее, дополнительные электроны, притянутые к одному и тому же ядру, делают анионы больше, а меньшее количество электронов, притягиваемых к тому же ядру, делает катионы меньше по сравнению с атомами, из которых они образованы.Катионы меньшего размера обычно занимают один из двух типов лунок, (или пустот), оставшихся между анионами. Меньшее из отверстий находится между тремя анионами в одной плоскости и одним анионом в соседней плоскости. Четыре аниона, окружающие это отверстие, расположены по углам тетраэдра, поэтому отверстие называется тетраэдрическим отверстием и . Дыра большего размера находится в центре шести анионов (три в одном слое и три в соседнем слое), расположенных в углах октаэдра; это называется октаэдрическим отверстием . На рисунке 12 показаны оба этих типа отверстий.

В зависимости от относительных размеров катионов и анионов, катионы ионного соединения могут занимать тетраэдрические или октаэдрические дырки, как показано на рисунке 13. Относительно небольшие катионы занимают тетраэдрические дырки, а более крупные катионы занимают октаэдрические дырки. Если катионы слишком велики, чтобы поместиться в октаэдрические отверстия, анионы могут принять более открытую структуру, такую ​​как простой кубический массив.Тогда более крупные катионы могут занять большие кубические отверстия, что стало возможным благодаря более открытому пространству.

Есть две тетраэдрические дырки для каждого аниона в массиве анионов HCP или CCP. Соединение, которое кристаллизуется в виде плотноупакованного массива анионов с катионами в тетраэдрических отверстиях, может иметь максимальное соотношение катион: анион 2: 1; все тетраэдрические отверстия заполнены при этом соотношении. Примеры включают Li ₂ O, Na ₂ O, Li ₂ S и Na ₂ S. Соединения с соотношением менее 2: 1 также могут кристаллизоваться в виде плотноупакованного массива анионов с катионами. в тетраэдрических отверстиях, если подходят ионные размеры. Однако в этих соединениях часть тетраэдрических дырок остается вакантной.

Пример 3

Заполнение четырехгранных отверстий
Сульфид цинка является важным промышленным источником цинка, а также используется в качестве белого пигмента в красках.Сульфид цинка кристаллизуется с ионами цинка, занимающими половину тетраэдрических дырок в плотноупакованном массиве сульфид-ионов. Какая формула сульфида цинка?

Раствор
Поскольку на каждый анион (сульфид-ион) приходится две тетраэдрических дырки и половина этих дырок занята ионами цинка, должен быть [латекс] \ frac {1} {2} \; \ times \; 2 [/ латекс], или 1 ион цинка на ион сульфида. Таким образом, формула ZnS.

Проверьте свои знания
Селенид лития можно описать как плотнейшую упаковку ионов селенида с ионами лития во всех тетраэдрических отверстиях.Какая у него формула селенида лития?

Отношение октаэдрических дырок к анионам в структуре HCP или CCP составляет 1: 1. Таким образом, соединения с катионами в октаэдрических дырках в плотноупакованном массиве анионов могут иметь максимальное соотношение катион: анион 1: 1. Например, в NiO, MnS, NaCl и KH все октаэдрические отверстия заполнены. Отношения менее 1: 1 наблюдаются, когда некоторые из октаэдрических отверстий остаются пустыми.

Пример 4

Стехиометрия ионных соединений
Сапфир — это оксид алюминия.Оксид алюминия кристаллизуется с ионами алюминия в двух третях октаэдрических отверстий в плотноупакованном массиве оксидных ионов. Какая формула у оксида алюминия?

Раствор
Поскольку на каждый анион (оксидный ион) приходится одна октаэдрическая дырка и только две трети этих дырок заняты, отношение алюминия к кислороду должно быть [латекс] \ frac {2} {3}: 1 [ / latex], что даст [латекс] \ text {Al} _ {2/3} \ text {O} [/ latex]. Простейшее целочисленное отношение 2: 3, поэтому формула Al ₂ O ₃ .

Проверьте свои знания
Белый пигмент оксида титана кристаллизуется с ионами титана в половине октаэдрических отверстий в плотноупакованном массиве оксидных ионов. Какая формула оксида титана?

В простом кубическом массиве анионов есть одно кубическое отверстие, которое может быть занято катионом для каждого аниона в массиве. В CsCl и других соединениях с такой же структурой все кубические дырки заняты. Половина кубических дырок занята в SrH ₂ , UO ₂ , SrCl ₂ и CaF ₂ .

Различные типы ионных соединений часто кристаллизуются в одной и той же структуре, если относительные размеры их ионов и их стехиометрия (две основные характеристики, определяющие структуру) схожи.

Многие ионные соединения кристаллизуются с кубическими элементарными ячейками, и мы будем использовать эти соединения, чтобы описать общие особенности ионных структур.

Когда ионное соединение состоит из катионов и анионов одинакового размера в соотношении 1: 1, оно обычно образует простую кубическую структуру.Примером этого является хлорид цезия, CsCl (проиллюстрированный на рисунке 14), при этом Cs ⁺ и Cl ^— имеют радиусы 174 и 181 мкм соответственно. Мы можем представить это как ионы хлорида, образующие простую кубическую элементарную ячейку с ионом цезия в центре; или в виде ионов цезия, образующих элементарную ячейку с ионом хлорида в центре; или как простые кубические элементарные ячейки, образованные ионами Cs ⁺ , перекрывающими элементарные ячейки, образованные ионами Cl ^— . Ионы цезия и ионы хлора соприкасаются по диагоналям тела элементарных ячеек.Один ион цезия и один ион хлорида присутствуют в элементарной ячейке, что дает стехиометрию 1: 1, требуемую формулой для хлорида цезия. Обратите внимание, что в центре ячейки нет точки решетки, и CsCl не является структурой BCC, потому что ион цезия не идентичен иону хлорида.

Мы сказали, что расположение точек решетки произвольно. Это иллюстрируется альтернативным описанием структуры CsCl, в которой узлы решетки расположены в центрах ионов цезия. В этом описании ионы цезия расположены в точках решетки в углах ячейки, а ион хлорида расположен в центре ячейки. Две элементарные ячейки разные, но они описывают идентичные структуры.

Когда ионное соединение состоит из катионов и анионов в соотношении 1: 1, которые значительно различаются по размеру, оно обычно кристаллизуется с помощью элементарной ячейки FCC, как показано на рисунке 15.Примером этого является хлорид натрия, NaCl, причем Na ⁺ и Cl ^— имеют радиусы 102 и 181 мкм соответственно. Мы можем представить это как ионы хлора, образующие ячейку FCC, причем ионы натрия расположены в октаэдрических отверстиях в середине краев ячейки и в центре ячейки. Ионы натрия и хлора соприкасаются друг с другом по краям ячейки. Элементарная ячейка содержит четыре иона натрия и четыре иона хлорида, что дает стехиометрию 1: 1, требуемую формулой NaCl.

Кубическая форма сульфида цинка, цинковая обманка, также кристаллизуется в элементарной ячейке FCC, как показано на рисунке 16. Эта структура содержит ионы сульфида в узлах решетки решетки FCC. (Расположение сульфид-ионов идентично расположению хлорид-ионов в хлориде натрия.) Радиус иона цинка составляет всего около 40% от радиуса сульфид-иона, поэтому эти маленькие ионы Zn ²⁺ расположены в чередующихся тетраэдрических дырках, то есть в одной половине тетраэдрических дырок. В элементарной ячейке четыре иона цинка и четыре иона сульфида, что дает эмпирическую формулу ZnS.

Элементарная ячейка с фторидом кальция, подобная той, что показана на рисунке 17, также является элементарной ячейкой FCC, но в этом случае катионы расположены в точках решетки; эквивалентные ионы кальция расположены в узлах решетки ГЦК-решетки. Все тетраэдрические позиции в массиве ГЦК ионов кальция заняты ионами фтора. В элементарной ячейке четыре иона кальция и восемь ионов фтора, что дает соотношение кальций: фтор 1: 2 в соответствии с химической формулой CaF ₂ . Внимательное изучение рисунка 17 покажет простой кубический массив ионов фтора с ионами кальция в одной половине кубических дырок.Структура не может быть описана в терминах пространственной решетки точек на фторид-ионах, потому что не все фторид-ионы имеют одинаковое окружение. Ориентация четырех ионов кальция относительно ионов фтора различается.

Если мы знаем длину края элементарной ячейки ионного соединения и положение ионов в ячейке, мы можем вычислить ионные радиусы для ионов в соединении, если мы сделаем предположения об индивидуальных формах ионов и контактах.

Пример 5

Расчет ионных радиусов
Длина края элементарной ячейки LiCl (NaCl-подобная структура, FCC) составляет 0,514 нм или 5,14 Å. Предполагая, что ион лития достаточно мал, чтобы ионы хлора контактировали, как показано на рисунке 15, рассчитайте ионный радиус для иона хлорида.

Примечание. Единица измерения длины, Å, часто используется для представления размеров в атомном масштабе и эквивалентна 10 ⁻¹⁰ м.

Раствор
На лицевой стороне элементарной ячейки LiCl ионы хлора контактируют друг с другом по диагонали грани:

Рисуя прямоугольный треугольник на поверхности элементарной ячейки, мы видим, что длина диагонали равна четырем радиусам хлорида (один радиус от каждого углового хлорида и один диаметр, равный двум радиусам, от иона хлорида в центре). грани), поэтому d = 4 r .{-} \; \ text {радиус} [/ латекс].

Проверьте свои знания
Длина края элементарной ячейки KCl (NaCl-подобная структура, FCC) составляет 6,28 Å. Предполагая, что анион-катионный контакт проходит по краю ячейки, рассчитайте радиус иона калия. Радиус иона хлорида составляет 1,82 Å.

Ответ:

Радиус иона калия 1,33 Å.

Важно понимать, что значения ионных радиусов, рассчитанные из длин краев элементарных ячеек, зависят от множества предположений, таких как идеальная сферическая форма для ионов, которые в лучшем случае являются приблизительными.Следовательно, такие расчетные значения сами по себе являются приблизительными, и сравнения нельзя зайти слишком далеко. Тем не менее, этот метод оказался полезным для расчета ионных радиусов на основе экспериментальных измерений, таких как рентгеновские кристаллографические определения.

Размер элементарной ячейки и расположение атомов в кристалле можно определить из измерений дифракции рентгеновских лучей на кристалле, называемых рентгеновской кристаллографией . Дифракция — это изменение направления движения, испытываемое электромагнитной волной, когда она встречает физический барьер, размеры которого сопоставимы с размерами длины волны света.Рентгеновские лучи — это электромагнитное излучение с длиной волны, равной расстоянию между соседними атомами в кристаллах (порядка нескольких Å).

Когда пучок монохроматических рентгеновских лучей попадает на кристалл, его лучи рассеиваются во всех направлениях атомами внутри кристалла. Когда рассеянные волны, распространяющиеся в одном направлении, сталкиваются друг с другом, они претерпевают интерференцию , процесс, посредством которого волны объединяются, приводя к увеличению или уменьшению амплитуды (интенсивности) в зависимости от степени, в которой максимумы объединяющихся волн находятся разделены (см. рисунок 18).

Когда рентгеновские лучи определенной длины волны, λ , рассеиваются атомами в соседних кристаллических плоскостях, разделенных расстоянием, d , они могут претерпевать конструктивную интерференцию, когда разница между расстояниями, пройденными двумя волнами до их комбинация представляет собой целочисленный множитель длины волны n .Это условие выполняется, когда угол дифрагированного луча, θ , связан с длиной волны и межатомным расстоянием уравнением:

[латекс] n {\ lambda} = 2d \; \ text {sin} \; {\ theta} [/ latex]

Это соотношение известно как уравнение Брэгга в честь У. Х. Брэгга , английского физика, который первым объяснил это явление. На рисунке 19 показаны два примера дифрагированных волн от одних и тех же двух плоскостей кристалла. На рисунке слева изображены волны, дифрагированные под углом Брэгга, приводящие к конструктивной интерференции, а на рисунке справа показаны дифракция и другой угол, который не удовлетворяет условию Брэгга, что приводит к деструктивной интерференции.

Посетите этот сайт, чтобы получить более подробную информацию об уравнении Брэгга и симуляторе, который позволяет исследовать влияние каждой переменной на интенсивность дифрагированной волны.

Рентгеновский дифрактометр, такой как показанный на рисунке 20, может использоваться для измерения углов, под которыми рентгеновские лучи дифрагируют при взаимодействии с кристаллом, как описано ранее. Из таких измерений можно использовать уравнение Брэгга для вычисления расстояний между атомами, как показано в следующем примере упражнения.

Пример 6

Использование уравнения Брэгга
В дифрактометре рентгеновские лучи с длиной волны 0,1315 нм использовались для получения дифракционной картины для меди. Дифракция первого порядка ( n = 1) произошла под углом θ = 25,25 °. Определите расстояние между дифрагирующими плоскостями в меди.

Решение
Расстояние между плоскостями находится путем решения уравнения Брэгга, nλ = 2 d sin θ , для d .{\ circ})} = 0,154 \; \ text {nm} [/ latex]

Проверьте свои знания
Кристалл с расстоянием между плоскостями, равным 0,394 нм, дифрагирует рентгеновские лучи с длиной волны 0,147 нм. Каков угол дифракции первого порядка?

Рентгеновский кристаллограф Розалинд Франклин

Открытие структуры ДНК в 1953 году Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном является одним из величайших достижений в истории науки. Они были удостоены Нобелевской премии по физиологии и медицине 1962 года вместе с Морисом Уилкинсом , предоставившим экспериментальное доказательство структуры ДНК.Британский химик Розалинд Франклин внесла неоценимый вклад в это грандиозное достижение благодаря своей работе по измерению рентгеновских дифракционных изображений ДНК. В начале своей карьеры исследования Франклин структуры углей оказались полезными для британских военных действий. В начале 1950-х годов Франклин и докторант Реймонд Гослинг переключили свое внимание на биологические системы и обнаружили, что ДНК состоит из двух форм: длинного тонкого волокна, образующегося при намокании (тип «B»), и короткого широкого волокна, образующегося при сушке ( наберите «А»).Ее рентгеновские дифракционные изображения ДНК (рис. 21) предоставили важную информацию, которая позволила Уотсону и Крику подтвердить, что ДНК образует двойную спираль, и определить детали ее размера и структуры. Франклин также провел новаторское исследование вирусов и РНК, содержащей их генетическую информацию, обнаружив новую информацию, которая радикально изменила совокупность знаний в этой области. После развития рака яичников Франклин продолжала работать до своей смерти в 1958 году в возрасте 37 лет. Среди множества посмертных признаний ее работы, Чикагская медицинская школа Финчского университета медицинских наук изменила свое название на Университет медицины и науки Розалинды Франклин в 2004 году. и приняла изображение ее знаменитого рентгеновского дифракционного изображения ДНК в качестве официального логотипа университета.

Структуры кристаллических металлов и простых ионных соединений можно описать в терминах упаковки сфер. Атомы металла могут упаковываться в гексагональные структуры с плотнейшей упаковкой, кубические структуры с плотнейшей упаковкой, объемно-центрированные структуры и простые кубические структуры. Анионы в простых ионных структурах обычно принимают одну из этих структур, а катионы занимают пространства, оставшиеся между анионами. Маленькие катионы обычно занимают тетраэдрические дырки в плотноупакованном массиве анионов. Катионы большего размера обычно занимают октаэдрические отверстия. Катионы еще большего размера могут занимать кубические дырки в простом кубическом массиве анионов. Структуру твердого тела можно описать, указав размер и форму элементарной ячейки и ее содержимое. Тип структуры и размеры элементарной ячейки могут быть определены путем измерения дифракции рентгеновских лучей.

• [латекс] n {\ lambda} = 2d \; \ text {sin} \; {\ theta} [/ latex]

Химия: упражнения в конце главы

1. Опишите кристаллическую структуру железа, которое кристаллизуется с двумя эквивалентными атомами металла в кубической элементарной ячейке.
2. Опишите кристаллическую структуру Pt, которая кристаллизуется с четырьмя эквивалентными атомами металла в кубической элементарной ячейке.
3. Какое координационное число атома хрома в объемноцентрированной кубической структуре хрома?
4. Какое координационное число атома алюминия в гранецентрированной кубической структуре алюминия?
5. Металлический кобальт кристаллизуется в гексагональной плотноупакованной структуре. Какое координационное число атома кобальта?
6. Металлический никель кристаллизуется в кубической плотноупакованной структуре.Какое координационное число атома никеля?
7. Вольфрам кристаллизуется в объемно-центрированной кубической элементарной ячейке с длиной ребра 3,165 Å.

   (а) Каков атомный радиус вольфрама в этой структуре?

   (б) Рассчитайте плотность вольфрама.

8. Платина (атомный радиус = 1,38 Å) кристаллизуется в кубической плотноупакованной структуре. Рассчитайте длину кромки гранецентрированной кубической элементарной ячейки и плотность платины.
9. Барий кристаллизуется в объемноцентрированной кубической элементарной ячейке с длиной ребра 5.025 Å

   (а) Каков атомный радиус бария в этой структуре?

   (б) Рассчитайте плотность бария.

10. Алюминий (атомный радиус 1,43 Å) кристаллизуется в кубической плотноупакованной структуре. Рассчитайте длину ребра гранецентрированной кубической элементарной ячейки и плотность алюминия.
11. Плотность алюминия 2,7 г / см ³ ; кремния 2,3 г / см ³ . Объясните, почему Si имеет более низкую плотность, хотя в нем более тяжелые атомы.
12. Свободное пространство в металле может быть найдено путем вычитания объема атомов в элементарной ячейке из объема ячейки. Вычислите процент свободного пространства в каждой из трех кубических решеток, если все атомы в каждой имеют одинаковый размер и касаются своих ближайших соседей. Какая из этих структур представляет собой наиболее эффективную упаковку? То есть в каких упаковках меньше всего неиспользуемого места?
13. Сульфид кадмия, иногда используемый художниками в качестве желтого пигмента, кристаллизуется с кадмием, занимая половину тетраэдрических отверстий в плотно упакованном массиве сульфид-ионов.Какая формула сульфида кадмия? Поясните свой ответ.
14. Соединение кадмия, олова и фосфора используется в производстве некоторых полупроводников. Он кристаллизуется с кадмием, занимающим одну четверть тетраэдрических дырок, и оловом, занимающим одну четверть тетраэдрических дырок в плотно упакованном массиве фосфид-ионов. Какая формула соединения? Поясните свой ответ.
15. Какова формула магнитного оксида кобальта, используемого в записывающих лентах, который кристаллизуется с атомами кобальта, занимающими одну восьмую тетраэдрических дырок и половину октаэдрических дырок в плотно упакованном массиве оксидных ионов?
16. Соединение, содержащее цинк, алюминий и серу, кристаллизуется с плотнейшей упаковкой сульфид-ионов.Ионы цинка находятся в одной восьмой тетраэдрических дырок, а ионы алюминия — в половине октаэдрических дырок. Какова эмпирическая формула соединения?
17. Соединение таллия и йода кристаллизуется в виде простого кубического массива иодид-ионов с ионами таллия во всех кубических дырках. Какая формула этого йодида? Поясните свой ответ.
18. Какой из следующих элементов реагирует с серой с образованием твердого тела, в котором атомы серы образуют плотноупакованный массив со всеми занятыми октаэдрическими дырками: Li, Na, Be, Ca или Al?
19. Каков массовый процент титана в рутиле, минерале, содержащем титан и кислород, если структуру можно описать как плотно упакованный массив оксидных ионов с ионами титана в половине октаэдрических отверстий? Какова степень окисления титана?
20. Объясните, почему химически похожие хлориды щелочных металлов NaCl и CsCl имеют разную структуру, тогда как химически разные NaCl и MnS имеют одинаковую структуру.
21. Поскольку минералы образовались из расплавленной магмы, разные ионы занимали одни и те же участки в кристаллах. Литий часто встречается вместе с магнием в минералах, несмотря на разницу в заряде их ионов. Предложите объяснение.
22. Иодид рубидия кристаллизуется с кубической элементарной ячейкой, содержащей иодид-ионы по углам и ион рубидия в центре. Какая формула соединения?
23. Один из различных оксидов марганца кристаллизуется с кубической элементарной ячейкой, содержащей ионы марганца по углам и в центре.Ионы оксида расположены в центре каждого края элементарной ячейки. Какая формула соединения?
24. NaH кристаллизуется с той же кристаллической структурой, что и NaCl. Длина ребра кубической элементарной ячейки NaH составляет 4,880 Å.

    (a) Рассчитайте ионный радиус H ^— . (Ионный радиус Li ⁺ составляет 0,0,95 Å.)

    (b) Рассчитайте плотность NaH.

25. Иодид таллия (I) кристаллизуется с той же структурой, что и CsCl. Длина ребра элементарной ячейки TlI равна 4.20 Å. Вычислите ионный радиус TI ⁺ . (Ионный радиус I ^— составляет 2,16 Å.)
26. Кубическая элементарная ячейка содержит ионы марганца по углам и ионы фтора в центре каждого края.

    (а) Какова эмпирическая формула этого соединения? Поясните свой ответ.

    (б) Каково координационное число иона Mn ³⁺ ?

    (c) Рассчитайте длину края элементарной ячейки, если радиус иона Mn ³⁺ составляет 0,65 A.

    (d) Рассчитайте плотность соединения.

27. Каково расстояние между плоскостями кристалла, которые дифрагируют рентгеновские лучи с длиной волны 1,541 нм под углом θ 15,55 ° (отражение первого порядка)?
28. Дифрактометр, использующий рентгеновские лучи с длиной волны 0,2287 нм, дает пик дифракции первого порядка для угла кристалла θ = 16,21 °. Определите расстояние между дифрагирующими плоскостями в этом кристалле.
29. Металл с расстоянием между плоскостями 0,4164 нм дифрагирует рентгеновские лучи с длиной волны 0. 2879 нм. Каков угол дифракции для дифракционного пика первого порядка?
30. Золото кристаллизуется в кубической гранецентрированной элементарной ячейке. Отражение второго порядка (n = 2) рентгеновских лучей для плоскостей, составляющих вершину и основание элементарных ячеек, находится при θ = 22,20 °. Длина волны рентгеновского излучения составляет 1,54 Å. Какова плотность металлического золота?
31. Когда электрон в возбужденном атоме молибдена падает с L на K-оболочку, испускается рентгеновское излучение. Эти рентгеновские лучи дифрагируют под углом 7.75 ° плоскостями с расстоянием 2,64 Å. Какова разница в энергии между K-оболочкой и L-оболочкой в ​​молибдене в предположении дифракции первого порядка?

Глоссарий

объемно-центрированная кубическая (ОЦК) твердое тело

Кристаллическая структура, которая имеет кубическую элементарную ячейку с точками решетки по углам и в центре ячейки

объемно-центрированная кубическая элементарная ячейка

простейший повторяющийся элемент объемно-центрированного кубического кристалла; это куб, содержащий точки решетки в каждом углу и в центре куба

Уравнение Брэгга

Уравнение, связывающее углы, под которыми рентгеновские лучи дифрагируют на атомах внутри кристалла

координационный номер

Число атомов, ближайших к любому данному атому в кристалле или к центральному атому металла в комплексе

плотнейшая кубическая упаковка (ПГУ)

Кристаллическая структура, в которой плоскости плотно упакованных атомов или ионов уложены в виде серии из трех чередующихся слоев с различной относительной ориентацией (ABC)

дифракция

перенаправление электромагнитного излучения, возникающее при столкновении с физическим барьером соответствующих размеров

гранецентрированный кубический (FCC) твердый

Кристаллическая структура, состоящая из кубической элементарной ячейки с точками решетки по углам и в центре каждой грани

элементарная гранецентрированная кубическая ячейка

простейший повторяющийся элемент гранецентрированного кубического кристалла; это куб, содержащий точки решетки в каждом углу и в центре каждой грани

Гексагональная плотная упаковка (HCP)

Кристаллическая структура, в которой плотно упакованные слои атомов или ионов уложены в виде серии из двух чередующихся слоев с различной относительной ориентацией (AB)

отверстие

(также межузельное пространство) пространство между атомами внутри кристалла

изоморфный

с такой же кристаллической структурой

восьмигранное отверстие

открытое пространство в кристалле в центре из шести частиц, расположенных по углам октаэдра

простая кубическая элементарная ячейка

(также примитивная кубическая элементарная ячейка) элементарная ячейка в простой кубической структуре

простая кубическая структура

Кристаллическая структура с кубической элементарной ячейкой с узлами решетки только по углам

пространственная решетка

все точки в кристалле, которые имеют идентичное окружение

четырехгранное отверстие

тетраэдрическое пространство, образованное четырьмя атомами или ионами в кристалле

элементарная ячейка

наименьшая часть пространственной решетки, которая повторяется в трех измерениях, образуя всю решетку

Рентгеновская кристаллография

экспериментальный метод определения расстояний между атомами в кристалле путем измерения углов, под которыми рентгеновские лучи дифрагируют при прохождении через кристалл

Решения

Ответы на упражнения в конце главы по химии

1. Структура этой низкотемпературной формы железа (ниже 910 ° C) является объемно-центрированной кубической. В каждом из восьми углов куба находится по одной восьмой атома, а в центре куба — по одному атому.

3. восемь

5. 12

7. (а) 1,370 Å; (б) 19,26 г / см

9. (а) 2,176 Å; (б) 3,595 г / см ³

11. Кристаллическая структура Si показывает, что он менее плотно упакован (координационное число 4) в твердом теле, чем Al (координационное число 12).

13.В наиболее плотно упакованном массиве для каждого аниона существуют две тетраэдрические дырки. Если занята только половина тетраэдрических дырок, количество анионов и катионов равно. Формула сульфида кадмия — CdS.

15. Co ₃ O ₄

17. В простом кубическом массиве только одно кубическое отверстие может быть занято катионом для каждого аниона в массиве. Соотношение таллия и йодида должно быть 1: 1; следовательно, формула таллия — TlI.

19 59,95%; Степень окисления титана +4.

21. Оба иона близки по размеру: Mg 0,65; Ли 0,60. Это сходство позволяет им довольно легко обмениваться друг с другом. Разница в заряде обычно компенсируется переключателем Si ⁴⁺ на Al ³⁺ .

23. Mn ₂ O ₃

25. 1,48 Å

27. 2,874 Å

29. 20.2 °

31. 1,74 × 10 ⁴ эВ

Кристаллическая решетка: определение и структура — видео и стенограмма урока

Структура кристаллической решетки

Когда мы смотрим на структуру кристаллической решетки, помните о схемах расположения каждой точки, а также об их симметрии.Участки кристаллической решетки просматриваются только под микроскопом и невидимы невооруженным глазом. Чтобы увидеть эти структуры, мы должны взять кристалл (твердый объект), поместить его под микроскоп и рассмотреть узлы кристаллической решетки.

Здесь показана структура кристаллической решетки. Вспомните, что кристаллическая решетка — это расположение атомов в кристалле (черные и белые точки на изображении — это ваши атомы). Такое расположение можно определить как пересечение трех параллельных плоскостей.Итак, если мы разрежем эту диаграмму на три части, вы увидите три разных плоскости. Когда эти плоскости пересекаются друг с другом, в результате получается трехмерная сеть с гранями. Думайте о каждом лице как о параллельном прямоугольнике.

Симметрия

Вы же не думаете, что я забуду о симметрии нашего друга, не так ли? Конечно, нет; Фактически, эти коробки (или грани) вносят вклад в симметрию структуры кристаллической решетки.Каждый блок содержит информацию о симметрии, необходимую для обеспечения трансляционной кристаллической структуры.

Трансляционная симметрия возникает, когда объект перемещается (или перемещается) на определенное расстояние в определенном месте. Например, вы хотите построить деревянный пол с рисунком. Вы кладете один кусок дерева по диагонали через каждые 20 дюймов. Этот стиль дерева с определенным рисунком имеет определенное расстояние (20 дюймов) и направление (диагональ).

Классификация

Кристаллические решетки можно разделить на одноатомные и многоатомные.Эта классификация основана на типе атомов, присутствующих на поверхности в решетчатой ​​структуре. Если для создания грани (или прямоугольника) используется только один тип атома, это одноатомный . Многоатомная кристаллическая решетка содержит более одного типа атомов, используемых для создания грани.

Если мы посмотрим на структуру кристаллической решетки поваренной соли (NaCl) — решетка (а) и алмаза — решетка (б), мы увидим, что обе они имеют разные структуры решетки. Одно лицо в поваренной соли состоит из красных и зеленых точек.Это означает, что присутствует более одного типа атомов. Следовательно, эта структура многоатомна. В структуре алмазной решетки есть только одна цветная точка (синяя). Эта структура одноатомна.

Типы структур кристаллической решетки

Существует 14 различных типов кристаллических решеток. Каждый тип уникально описывает геометрическую симметрию кристалла.В частности, эти типы кристаллических решеток называются решетками Браве. Решетка Браве просто описывает разные типы трех разных решеток, которые могут быть созданы для данного кристалла.

Каждый из 14 типов решеток подразделяется на 7 кристаллических систем. Думайте о каждой системе как о группе структур кристаллической решетки (решетки Браве), которые однозначно описывают геометрическую симметрию кристалла. Приведены таблицы, в которых перечислены семь систем и их структуры.Если мы вернемся к нашему примеру с поваренной солью, как вы думаете, к какому типу кристаллической системы она принадлежит? Верно! Поваренная соль (NaCl) относится к системе кубической решетки.

Кристаллическая решетка является основой структуры твердого объекта.В следующий раз, когда вы будете поливать пищу солью или чистить этот сверкающий алмаз, помните об упорядоченной структуре кристаллической решетки, использованной для создания этого объекта.

Краткое содержание урока

Большинство твердых предметов содержат крошечные взаимосвязанные кристаллы. Кристалл представляет собой твердый материал, который содержит атомы или группы атомов, образующие высокоупорядоченную структуру. Эта структурная схема является трехмерной. Кристаллическая решетка описывает расположение этих атомов в кристалле и характеризуется трансляционной симметрией.Если на поверхности кристаллической решетки присутствует один тип атома, он называется одноатомным . Наличие более одного типа атомов означает, что структура решетки состоит из многоатомных атомов. Существует 14 различных типов кристаллических решеток, называемых решетками Браве . Каждая из этих решетчатых структур подразделяется на семь кристаллических систем.

Ключевые термины для кристаллической решетки

• Кристалл : твердое вещество, содержащее атомы или группы атомов, расположенные в упорядоченной структуре
• Кристаллическая решетка : расположение атомов в кристаллических формах с трансляционной симметрией
• Одноатомный : только один тип атомов в решетке
• Многоатомный : более одного типа атомов в решетке
• Bravais Lattices : 7 кристаллических систем, состоящих из 14 различных типов кристаллических решеток

Результаты обучения

Завершите этот урок, чтобы успешно выполнить следующие задания:

• Опишите кристаллическую решетку
• Покажите, как формируются кристаллические решетки
• Деталь различных типов кристаллических решеток

Crystal: определение, типы, структура и свойства — видео и стенограмма урока

Типы кристаллов

Ковалентные кристаллы — это кристаллы, атомы которых связаны ковалентными связями. Ковалентные связи существуют там, где атомы разделяют электроны. Эти связи чрезвычайно прочные, и их очень трудно разорвать. Из-за этого сами кристаллы также очень прочные и имеют высокие температуры плавления. Представьте себе склеивание бусинок суперклеем. Супер клей — это ковалентная связь. Теперь подумайте о том, чтобы попытаться склеить бусинки вместе с помощью клея. Вероятно, они не очень хорошо держались бы вместе. Клей-карандаш аналогичен другому кристаллу, о котором мы поговорим позже. Примером ковалентного кристалла является алмаз, который является одним из самых твердых веществ, известных человеку.

Ионные кристаллы — это кристаллы, атомы которых удерживаются вместе ионными или заряженными связями. С помощью этих ионных связей один атом заряжен отрицательно и притягивается к другим атомам в кристалле, которые заряжены положительно. Они расположены по схеме, основанной на начислениях. Эти кристаллы обычно твердые с высокой температурой плавления. Примером ионного кристалла является поваренная соль.

Металлические кристаллы — это кристаллы, состоящие из металлических элементов.Эти кристаллы сверкают блестящим блеском, которое мы думаем о металлах. Они очень хорошо проводят тепло и электричество. Медь может быть извлечена из кристаллов меди для образования медного провода, используемого для передачи электричества в наших домах. Температура плавления этих кристаллов зависит от металла, используемого в кристалле. Золотые самородки — пример металлических кристаллов.

Молекулярные кристаллы — это кристаллы, образованные из слабых связей, называемых водородными связями. Это связано с тем, как крошечные заряженные частицы на атомах, называемые электронами, располагаются между разными атомами водорода.Эти связи очень слабые и аналогичны клею-карандашу, о котором мы говорили ранее. Из-за этого молекулярные кристаллы обычно имеют более низкие температуры плавления, чем другие кристаллы. Знакомый пример — это леденец, кристаллический леденец на палочке. Другими примерами являются кристаллы льда и сухой лед или замороженный диоксид углерода. Ученые используют молекулярные кристаллы для определения формы различных микроскопических белков внутри клеток.

Структура кристаллов

Кристаллы получают свою структуру благодаря тому, как атомы внутри них связываются вместе.Это приводит к появлению определенной формы по мере роста кристалла. Ученые используют форму и тип связей между атомами для классификации кристаллов. Кристаллические структуры обозначаются как кристаллических систем . Существует семь типов кристаллических систем, каждая из которых создает кристаллы разного вида. Первый тип — кубический кристалл. Кубические кристаллы имеют равные размеры сторон и имеют форму куба. Этот кристалл пирита, разновидность кубического кристалла, прикрепился к горной породе.

Гексагональные кристаллы имеют шесть сторон равной длины и два параллельных друг другу конца в форме шестиугольника. Тетрагональные кристаллы имеют вид прямоугольников. Есть также орторомбических кристаллов , которые не имеют прямоугольной формы, а выглядят как две пирамиды, соединенные вместе с цилиндром между ними. Тригональные кристаллы похожи друг на друга, но имеют форму двух пирамид, прикрепленных встык. Моноклинные кристаллы образуют призмы и триклинные кристаллы не имеют правильной геометрической формы, а образуют абстрактные формы.

Резюме урока

Итак, кристалл — это любой твердый материал, атомы которого организованы в повторяющийся узор. Есть четыре типа кристаллов. Ковалентные кристаллы возникают, когда атомы образуют прочные ковалентные связи. Такие кристаллы, как и алмазы, очень прочные. Ионные кристаллы , как и поваренная соль, твердые и стабильные, но состоят из атомов, связанных электрическими зарядами. Металлические кристаллы состоят из металлических элементов и хорошо проводят электричество. Молекулярные кристаллы , как и леденцы, образуются за счет водородных связей, обычно являются слабыми и имеют низкую температуру плавления. В зависимости от формы кристалла существует семь основных структур кристаллов. Это кубический, гексагональный, тетрагональный, ромбический, тригональный, моноклинный и триклинный.

Кристальный словарь и определения

• Кристалл : любой твердый материал, атомы которого организованы в повторяющуюся структуру одного из четырех типов: ковалентного, ионного, металлического и молекулярного.
  • Ковалентный кристалл : атомы разделяют электроны; алмаз
  • Ионный кристалл : атомы стянуты противоположными зарядами; поваренная соль
  • Металлические кристаллы : атомы — металлические элементы; золотые самородки
  • Молекулярные кристаллы : атомы образуют слабые водородные связи; рок конфеты
• Кристаллические системы : Атомы в кристаллической связи принимают определенные формы и узоры, известные как системы. Четыре типа кристаллов могут появиться как один из семи структурных / системных типов: кубический, гексагональный, тетрагональный, ромбический, тригональный, моноклинный и триклинный.

Результаты обучения

После того, как учащиеся завершили этот урок, они должны быть готовы:

• Определить кристаллы и кристаллические системы
• Опишите четыре типа кристаллов, включая типы облигаций
• Перечислите примеры четырех типов кристаллов
• Обозначьте семь кристаллических систем

Crystal Lattices — обзор

Кристаллическую решетку можно описать в терминах регулярной или прямой решетки, которая представляет собой набор векторных положений ядер внутри кристалла.Положения ядер регулярной решетки содержат набор пространственных интервалов между каждой точкой решетки и другими точками решетки. Преобразование Фурье пространственных положений ядер регулярной решетки отображается в соответствующий набор обратных интервалов. Эти взаимные интервалы образуют набор плоскостей, разделительные расстояния которых можно приравнять к длинам волн, в которых волновые узлы находятся в этих плоскостях. Максимальная длина волны (и, следовательно, минимальное волновое число) охватывает минимальное расстояние между соседними параллельными плоскостями ядер решетки..

Объем v _r элементарной ячейки обратной решетки равен

(17) vr = a ∗ ⋅b ∗ × c ∗ = b ∗ ⋅c ∗ × a ∗ = c ∗ ⋅a ∗ × b ∗

или

(18) vr = 2π3v0 = 2π3a⋅b × c.

Векторы обратной решетки перпендикулярны двум из трех векторов реального пространства решетки, как видно из приведенных выше перекрестных произведений, где, например,

(19) a ∗ × b = a ∗ × c = 0.

Скалярное произведение вектора обратной решетки с его вектором двойной решетки в реальном пространстве равно 2 π , потому что вектор обратной решетки и его вектор двойной решетки являются обратными или обратными друг другу, где

(20 ) a ∗ ⋅a = b ∗ ⋅b = c ∗ ⋅c = 2π. c.

Величина | τhkl | вектора обратной решетки ( h , k , l ) составляет

(23) τhkl = h3a ∗ ⋅a ∗ + k2b ∗ ⋅b ∗ + l2c ∗ ⋅c ∗.

Векторы трансляции обратной решетки ( a *, b *, c *) могут быть выражены через векторы трансляции прямой решетки ( a, b, c ), где величина τhkl вектор обратной решетки принимает вид

(24) τhkl = 2πh3a2 + k2b2 + l2c2.

Равномерное расстояние d _hkl между определенным набором параллельных плоскостей ( h , k , l ) в обратной решетке составляет

(25) dhkl = 2πτhkl = 1h2a2 + l2c2b .

Ориентация кристаллической плоскости определяется тремя неколлинеарными, определяющими плоскость, а именно осями ( a, b, c ). Более полезный метод адресации подмножеств кристаллических плоскостей — это индексы Миллера ( h , k , l ). Чтобы определить индексы Миллера для набора плоскостей, сначала определяют точки пересечения (a1, b1, c1) через тройной целочисленный адрес [ m , n , o ] плоскостей на ( a , b, c ) оси, где

(28) a1 = mab1 = nbc1 = oc.

Возьмите обратные числа [ m , n , o ], которые представляют собой три дроби, а затем уменьшите эти дроби до целых чисел с таким же соотношением, которые являются индексами обратной решетки; т.е. индексы Миллера ( h , k , l ). То есть плоскость, имеющая [ м , n , o ] на осях ( a, b, c ), дает дроби (1 m, 1 ∕ n, 1 ∕ o). Затем находят три наименьших целых числа с одинаковым соотношением.Это соотношение получается путем умножения (1 m, 1 ∕ n, 1 ∕ o) на их ненулевое обратное произведение, mno , в котором mno ≠ 0. Умножение триплетных дробей (1 ∕ m, 1 ∕ n, 1 ∕ o) их обратным произведением mno дает ( no , mo , mn ). Затем получают индексы Миллера ( h , k , l ) путем нахождения наибольшего общего делителя, отличного от 1; то есть наибольший общий знаменатель ( no , mo , mn ), который обозначается GCD , где

(29) h = noGCDk = moGCDl = mnGCD.

Представляется, что плоскость кристалла, параллельная определенной оси кристалла, пересекает эту ось кристалла на бесконечности. Если один из точек пересечения m , n или o находится на бесконечности ∞, то заменяется 1/ m , 1/ n или 1/ o , обратное (1 / ∞) на ноль. Например, если (m, n, o) = (m, n, ∞), то соответствующие дроби равны

(30) (1 ∕ m, 1 ∕ n, 1 ∕ ∞),

Здесь 1 / ∞ = 0, и обратное произведение равно mn , а деление на наибольший общий знаменатель (НОД), отличный от 1, дает

(31) (h, k, l) = (n, m, 0) НОД.

Если точка пересечения m , n или o находится на бесконечности, то эта точка пересечения на бесконечности не включается во обратное произведение. Например, (1) если точки пересечения (a1, b1, c1) элементарной ячейки равны (2, 1, 3), то индексы Миллера ( h , k , l ) равны (3, 6, 2) и (2), если элементарная ячейка пересекает (a1, b1, c1) равны (1 ∕ 2,1, ∞), то индексы Миллера ( h , k , l ) равны (2, 1, 0). .

Определение кристаллической решетки — химический словарь

Что такое решетка?

Решетка — это упорядоченный массив точек, описывающий расположение частиц, образующих кристалл.

Элементарная ячейка кристалла определяется узлами решетки. Элементарная ячейка — это наименьшая часть кристалла, которая регулярно повторяется посредством трансляции в трех измерениях, создавая весь кристалл.

Например, показанное здесь изображение представляет собой элементарную ячейку примитивной кубической структуры.

В нарисованной структуре все частицы (желтые) одинаковы. В этом частном случае точки решетки, определяющие элементарную ячейку, совпадают с центрами частиц кристалла. Так должно быть не всегда.

Ионная решетка

Если кристалл состоит из ионов, соединение можно описать как ионную решетку.

Хорошо известными примерами ионных решеток являются хлорид натрия, перманганат калия, бура (борат натрия) и сульфат меди (II).

Кристаллы перманганата калия. Изображение Бена Миллса.

Элементарная ячейка перманганата калия. Изображение Бена Миллса.

Ковалентная решетка

Если кристалл состоит из ковалентно связанных атомов, его можно описать как ковалентную решетку или бесконечную ковалентную решетку.

Хорошо известными примерами ковалентных решеток являются алмаз, кварц (диоксид кремния), кремний и серое олово.

Кристаллический кремний. Изображение Энрикорос.

Небольшой участок кристаллической структуры кремния.

Константы решетки

Постоянные решетки (или параметры решетки) — это длины и углы между краями элементарной ячейки.

На этой решетчатой ​​диаграмме параллелепипеда постоянные решетки — это a, b и c (длины) и α, β и γ (углы).

Решетчатые конструкции

Решетки Браве. На основе изображения Napy1 Kenobi.

Кристаллические материалы вписываются в одну из четырнадцати известных структур решетки. Они известны как решетки Браве .

Названия систем кристаллической решетки, соответствующие номерам на диаграммах, следующие:

1. Примитивная кубическая
2. Кубическая центрированная по телу
3. Кубическая центрированная по граням
4. Примитивная четырехугольная
5. Телоцентрированная четырехугольная
6. Примитивная орторомбическая
7. Орторомбическая с центрированием по основанию
8. Орторомбическая с центрированием по телу
9. С центрированием по граням Орторомбическая
10. Примитивная моноклинная
11.Моноклиническая форма с центром в основании
12. Триклиническая форма
13. Ромбоэдрическая форма
14. Гексагональная

Дефекты решетки

Если предположить, что кристалл основан на математически совершенной ионной решетке, его расчетная прочность на растяжение была бы намного больше, чем наблюдается на самом деле.

Реальные кристаллы имеют дефекты решетки, которые являются источниками слабости.