точка и прямая линия, отрезок, луч, ломаная линия

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или

отрезком. Отрезок изображается так:

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

Выше изображена трехзвенная ломаная линия.

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:

Осевая и центральная симметрия — урок. Математика, 6 класс.

Симметрия — соразмерность, соответствие, сходность, порядок в расположении частей. Это слово, как и многие другие математические понятия,  произошли от греческих слов.

  

 Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»

 

Рис. \(1\). Симметрия в архитектуре.

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.

Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

 

Рис. \(2\). Симметрия в природе.

 

Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.

Центральная  симметрия

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки  \(O\), если точка \(O\) является серединой отрезка MM1.

Рис. \(3\). Центральная симметрия.

Точка \(O\) называется центром симметрии.

 

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Рис. \(4\). Треугольники симметричны относительно точки \(O\).

 

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику \(ABC\) относительно центра (точки) \(O\):

 

1. для этого соединим точки \(A\), \(B\), \(C\) с центром \(O\) и продолжим эти отрезки;
2. измерим отрезки \(AO\), \(BO\), \(CO\) и отложим с другой стороны от точки \(O\) равные им отрезки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;
3. соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику \(ABC\).

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Рис. \(5\). Осевая симметрия.
 

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

Рис. \(6\). Треугольники симметричны относительно прямой.

 

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику \(ABC\) относительно красной прямой:

 

1. для этого проведём из вершин треугольника \(ABC\) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику \(ABC\).

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Иногда у фигур несколько осей симметрии:

• для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
• Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
• Для равностороннего треугольника — три оси.
• Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
• Для квадрата — целых четыре.
• Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
• Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Источники:

Рис. 1 Симметрия в архитектуре. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, Архитектура/Здания, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFC5B.

Рис. 2. Симметрия в природе. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFECn.

Рис. 3. Центральная симметрия, © ЯКласс.

Рис. 4. Треугольники симметричны относительно точки O, © ЯКласс.

Рис. 5. Осевая симметрия, © ЯКласс.

Рис. 6. Треугольники симметричны относительно прямой, © ЯКласс.

GraphicsPath Класс (System.Drawing.Drawing2D) | Microsoft Docs

Приложения используют пути для рисования контуров фигур, заполнения внутренних участков фигур и создания областей обрезки. Механизм графики сохраняет координаты геометрических фигур в пути в мировом пространстве координат.

Путь может состоять из любого числа фигур (вложенных путей). Каждая фигура либо состоит из последовательности Соединенных линий, кривых или геометрического примитива фигуры. Начальная точка фигуры — это первая точка в последовательности Соединенных линий и кривых. Конечная точка — это последняя точка в последовательности. Начальная и конечная точки примитива геометрической фигуры определяются спецификацией-примитивом.

Фигура, состоящая из последовательности Соединенных линий и кривых (у которых начальная и конечная точки может быть коинЦидент), представляет собой открытую фигуру, если она не закрыта явным образом. Фигура может быть закрыта явным образом с помощью CloseFigure метода, который закрывает текущую фигуру путем соединения строки от конечной точки к начальной точке.

Фигура, состоящая из геометрического примитива, является замкнутой фигурой.

Для заполнения и обрезки (например, если контур визуализируется с помощью FillPath ) все открытые рисунки закрываются путем добавления линии из первой точки фигуры в ее последнюю точку.

Новая фигура неявно запускается при создании пути или при закрытии фигуры. Новая фигура создается явным образом при StartFigure вызове метода.

При добавлении к контуру примитива геометрической фигуры добавляется фигура, содержащая геометрическую форму, а также неявно запускается новая фигура. Следовательно, в пути всегда существует текущая фигура. Когда линии и кривые добавляются к контуру, при необходимости добавляется неявная линия для соединения конечной точки текущей фигуры с начальной точкой новых линий и кривых, образуя последовательность соединенных линий и кривых.

Фигура имеет направление, описывающее трассировку сегментов линии и кривой между начальной и конечной точками. Направление определяется в том порядке, в котором линии и кривые добавляются к фигуре или определяются примитивом геометрической фигуры. Направление используется для определения внутренних областей пути для обрезки и заливки.

FillMode	Получает или задает перечисление FillMode, определяющее, как заполняются внутренние области фигур в этом объекте GraphicsPath.
PathData	Получает объект PathData, инкапсулирующий массивы точек (points) и типов (types) для этого объекта GraphicsPath.
PathPoints	Получает точки в контуре.
PathTypes	Получает типы соответствующих точек в массиве PathPoints.
PointCount	Получает число элементов в массиве PathPoints или PathTypes.
AddArc(Int32, Int32, Int32, Int32, Single, Single)	Присоединяет дугу эллипса к текущей фигуре.
AddArc(Rectangle, Single, Single)	Присоединяет дугу эллипса к текущей фигуре.
AddArc(RectangleF, Single, Single)	Присоединяет дугу эллипса к текущей фигуре.
AddArc(Single, Single, Single, Single, Single, Single)	Присоединяет дугу эллипса к текущей фигуре.
AddBezier(Int32, Int32, Int32, Int32, Int32, Int32, Int32, Int32)	Добавляет в текущую фигуру кривую Безье третьего порядка.
AddBezier(Point, Point, Point, Point)	Добавляет в текущую фигуру кривую Безье третьего порядка.
AddBezier(PointF, PointF, PointF, PointF)	Добавляет в текущую фигуру кривую Безье третьего порядка.
AddBezier(Single, Single, Single, Single, Single, Single, Single, Single)	Добавляет в текущую фигуру кривую Безье третьего порядка.
AddBeziers(Point[])	Добавляет в текущую фигуру последовательность соединенных кривых Безье третьего порядка.
AddBeziers(PointF[])	Добавляет в текущую фигуру последовательность соединенных кривых Безье третьего порядка.
AddClosedCurve(Point[])	Добавляет замкнутую кривую к этому контуру. Используется кривая фундаментального сплайна, поскольку кривая проходит через все точки массива.
AddClosedCurve(Point[], Single)	Добавляет замкнутую кривую к этому контуру. Используется кривая фундаментального сплайна, поскольку кривая проходит через все точки массива.
AddClosedCurve(PointF[])	Добавляет замкнутую кривую к этому контуру. Используется кривая фундаментального сплайна, поскольку кривая проходит через все точки массива.
AddClosedCurve(PointF[], Single)	Добавляет замкнутую кривую к этому контуру. Используется кривая фундаментального сплайна, поскольку кривая проходит через все точки массива.
AddCurve(Point[])	Добавляет в текущую фигуру кривую сплайна. Используется кривая фундаментального сплайна, поскольку кривая проходит через все точки массива.
AddCurve(Point[], Int32, Int32, Single)	Добавляет в текущую фигуру кривую сплайна.
AddCurve(Point[], Single)	Добавляет в текущую фигуру кривую сплайна.
AddCurve(PointF[])	Добавляет в текущую фигуру кривую сплайна. Используется кривая фундаментального сплайна, поскольку кривая проходит через все точки массива.
AddCurve(PointF[], Int32, Int32, Single)	Добавляет в текущую фигуру кривую сплайна.
AddCurve(PointF[], Single)	Добавляет в текущую фигуру кривую сплайна.
AddEllipse(Int32, Int32, Int32, Int32)	Добавляет эллипс в текущий контур.
AddEllipse(Rectangle)	Добавляет эллипс в текущий контур.
AddEllipse(RectangleF)	Добавляет эллипс в текущий контур.
AddEllipse(Single, Single, Single, Single)	Добавляет эллипс в текущий контур.
AddLine(Int32, Int32, Int32, Int32)	Добавляет отрезок прямой к текущей фигуре.
AddLine(Point, Point)	Добавляет отрезок прямой к этому объекту GraphicsPath.
AddLine(PointF, PointF)	Добавляет отрезок прямой к этому объекту GraphicsPath.
AddLine(Single, Single, Single, Single)	Добавляет отрезок прямой к этому объекту GraphicsPath.
AddLines(Point[])	Добавляет последовательность соединенных отрезков прямых в конец этого объекта GraphicsPath.
AddLines(PointF[])	Добавляет последовательность соединенных отрезков прямых в конец этого объекта GraphicsPath.
AddPath(GraphicsPath, Boolean)	Добавляет указанный объект GraphicsPath к этому контуру.
AddPie(Int32, Int32, Int32, Int32, Single, Single)	Добавляет контур сектора к данному контуру.
AddPie(Rectangle, Single, Single)	Добавляет контур сектора к данному контуру.
AddPie(Single, Single, Single, Single, Single, Single)	Добавляет контур сектора к данному контуру.
AddPolygon(Point[])	Добавляет многоугольник к этому контуру.
AddPolygon(PointF[])	Добавляет многоугольник к этому контуру.
AddRectangle(Rectangle)	Добавляет прямоугольник к этому контуру.
AddRectangle(RectangleF)	Добавляет прямоугольник к этому контуру.
AddRectangles(Rectangle[])	Добавляет последовательность прямоугольников к данному контуру.
AddRectangles(RectangleF[])	Добавляет последовательность прямоугольников к данному контуру.
AddString(String, FontFamily, Int32, Single, Point, StringFormat)	Добавляет строку текста в этот контур.
AddString(String, FontFamily, Int32, Single, PointF, StringFormat)	Добавляет строку текста в этот контур.
AddString(String, FontFamily, Int32, Single, Rectangle, StringFormat)	Добавляет строку текста в этот контур.
AddString(String, FontFamily, Int32, Single, RectangleF, StringFormat)	Добавляет строку текста в этот контур.
ClearMarkers()	Удаляет все токены из этого контура.
Clone()	Создает точную копию этого контура.
CloseAllFigures()	Замыкает все незамкнутые фигуры в этом контуре и открывает новую фигуру. Каждая незамкнутая фигура замыкается путем соединения ее начальной и конечной точек линией.
CloseFigure()	Замыкает текущую фигуру и открывает новую фигуру. Если текущая фигура содержит последовательность соединенных линий и кривых, метод замыкает ее путем соединения начальной и конечной точек линией.
CreateObjRef(Type)	Создает объект, который содержит всю необходимую информацию для создания прокси-сервера, используемого для взаимодействия с удаленным объектом. (Унаследовано от MarshalByRefObject)
Dispose()	Освобождает все ресурсы, используемые этим объектом GraphicsPath.
Equals(Object)	Определяет, равен ли указанный объект текущему объекту. (Унаследовано от Object)
Finalize()	Позволяет объекту попытаться освободить ресурсы и выполнить другие операции очистки, перед тем как он будет уничтожен во время сборки мусора.
Flatten()	Преобразует каждую кривую в данном контуре в последовательность соединенных отрезков прямых.
Flatten(Matrix)	Применяет указанное преобразование, а затем преобразует каждую кривую в данном объекте GraphicsPath в последовательность соединенных отрезков прямых.
Flatten(Matrix, Single)	Преобразует каждую кривую в этом объекте GraphicsPath в последовательность соединенных отрезков прямых.
GetBounds()	Возвращает прямоугольник, ограничивающий этот объект GraphicsPath.
GetBounds(Matrix)	Возвращает ограничивающий прямоугольник для этого объекта GraphicsPath, когда данный контур преобразуется с помощью указанного объекта Matrix.
GetBounds(Matrix, Pen)	Возвращает ограничивающий прямоугольник для этого объекта GraphicsPath, когда данный контур преобразуется с помощью указанного объекта Matrix и отображается с помощью заданного объекта Pen.
GetHashCode()	Служит хэш-функцией по умолчанию. (Унаследовано от Object)
GetLastPoint()	Получает последнюю точку массива PathPoints для этого объекта GraphicsPath.
GetLifetimeService()	Является устаревшей. Извлекает объект обслуживания во время существования, который управляет политикой времени существования данного экземпляра. (Унаследовано от MarshalByRefObject)
GetType()	Возвращает объект Type для текущего экземпляра. (Унаследовано от Object)
InitializeLifetimeService()	Является устаревшей. Получает объект службы времени существования для управления политикой времени существования для этого экземпляра. (Унаследовано от MarshalByRefObject)
IsOutlineVisible(Int32, Int32, Pen)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen.
IsOutlineVisible(Int32, Int32, Pen, Graphics)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen и использовании заданного объекта Graphics.
IsOutlineVisible(Point, Pen)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen.
IsOutlineVisible(Point, Pen, Graphics)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen и использовании заданного объекта Graphics.
IsOutlineVisible(PointF, Pen)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen.
IsOutlineVisible(PointF, Pen, Graphics)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen и использовании заданного объекта Graphics.
IsOutlineVisible(Single, Single, Pen)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen.
IsOutlineVisible(Single, Single, Pen, Graphics)	Указывает, содержится ли определенная точка внутри контура этого объекта GraphicsPath при его отображении с помощью указанного объекта Pen и использовании заданного объекта Graphics.
IsVisible(Int32, Int32)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath.
IsVisible(Int32, Int32, Graphics)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath, путем использования заданного объекта Graphics.
IsVisible(Point)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath.
IsVisible(Point, Graphics)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath.
IsVisible(PointF)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath.
IsVisible(PointF, Graphics)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath.
IsVisible(Single, Single)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath.
IsVisible(Single, Single, Graphics)	Указывает, содержится ли указанная точка внутри этого объекта GraphicsPath в видимой вырезанной области заданного объекта Graphics.
MemberwiseClone()	Создает неполную копию текущего объекта Object. (Унаследовано от Object)
MemberwiseClone(Boolean)	Создает неполную копию текущего объекта MarshalByRefObject. (Унаследовано от MarshalByRefObject)
Reset()	Очищает массивы PathPoints и PathTypes и устанавливает FillMode в Alternate.
Reverse()	Изменяет порядок точек в массиве PathPoints этого объекта GraphicsPath на противоположный.
SetMarkers()	Устанавливает токен на этом объекте GraphicsPath.
StartFigure()	Открывает новую фигуру, не замыкая при этом текущую фигуру. Все последующие точки, добавляемые к контуру, добавляются к этой новой фигуре.
ToString()	Возвращает строку, представляющую текущий объект. (Унаследовано от Object)
Transform(Matrix)	Применяет матрицу преобразования к этому объекту GraphicsPath.
Warp(PointF[], RectangleF)	Применяет преобразование перекоса, определяемое прямоугольником и параллелограммом, к этому объекту GraphicsPath.
Warp(PointF[], RectangleF, Matrix)	Применяет преобразование перекоса, определяемое прямоугольником и параллелограммом, к этому объекту GraphicsPath.
Warp(PointF[], RectangleF, Matrix, WarpMode)	Применяет преобразование перекоса, определяемое прямоугольником и параллелограммом, к этому объекту GraphicsPath.
Warp(PointF[], RectangleF, Matrix, WarpMode, Single)	Применяет преобразование перекоса, определяемое прямоугольником и параллелограммом, к этому объекту GraphicsPath.
Widen(Pen)	Добавляет дополнительное очертание к контуру.
Widen(Pen, Matrix)	Добавляет дополнительное очертание в объект GraphicsPath.
Widen(Pen, Matrix, Single)	Заменяет данный объект GraphicsPath кривыми, окружающими область, заполняемую при отображении контура указанным пером.

Геометрические фигуры и их свойства с примерами и решением

Содержание:

Геометрия — наука о геометрических фигурах и их свойствах. Самая простая геометрическая фигура — точка. Каждая другая геометрическая фигура состоит из точек, то есть является некоторым множеством точек. Другие фигуры — прямая, плоскость. Их содержание раскрывают не определениями, а описывая их основные свойства. Фигуры, расположенные на одной плоскости, называют плоскими. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на одной плоскости, называется планиметрией.

Мы начинаем изучать планиметрию — раздел геометрии, в котором рассматриваются фигуры на плоскости. Из курса математики вы уже имеете представление о некоторых из них. Наша ближайшая цель — восстановить и дополнить эти начальные знания. Геометрические сведения мы будем излагать в определенной логической последовательности, чтобы они стали прочным фундаментом для дальнейшего изучения геометрии.

Основу любой науки составляют утверждения, которые принимаются как исходные и не требуют обоснования. В математике такие утверждения называют аксиомами. Аксиомы планиметрии, которые мы рассмотрим в этой главе, выражают основные свойства простейших геометрических фигур. На их основе с помощью логических рассуждений мы будем получать более сложные геометрические факты.

Планиметрия — от латинского «планум» и греческого «метрио» — измеряю.

Определения

Основные свойства расположения точек на прямой:

• Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие.
• Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
• Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Части прямой — отрезок и луч. Отрезок АВ — это часть прямой, содержащая точки А, В и все точки, лежащие между ними. Каждому отрезку соответствует его длина. Длина отрезка — расстояние между его концами. Расстояние и длину измеряют метрами, сантиметрами, миллиметрами, километрами, футами, дюймами и другими единичными отрезками.

Основные свойства измерения отрезков:

Каждый отрезок имеет определенную длину.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом, называется углом. Углы бывают острые, прямые, тупые, развернутые и больше развернутого. Меры углов определяют в градусах, минутах, секундах, румбах и некоторых других единицах измерения.

Основные свойства измерения углов:

Каждый угол имеет определенную меру.

Мера угла равна сумме мер углов, на которые данный угол делится его внутренним лучом.

Биссектриса угла — внутренний луч, разбивающий данный угол на два равных угла.

Точки и прямые

Геометрия — это наука о геометрических фигурах и их свойствах. Самая простая геометрическая фигура — точка. Любая другая геометрическая фигура состоит из точек. Например, окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 1).

Отрезок также состоит из точек. Любое множество точек является геометрической фигурой. Часть геометрической фигуры или объединение нескольких фигур — тоже геометрическая фигура (рис. 2).

Одна из геометрических фигур — плоскость. Представление о части плоскости дает поверхность стола, потолка, пола. В геометрии плоскость считается неограниченной, идеально ровной и гладкой.

Фигуры, расположенные на одной плоскости, называют плоскими. Все вышеназванные геометрические фигуры — плоские. А куб, шар, прямоугольный параллелепипед — неплоские фигуры (рис. 3). Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на одной плоскости, называется планиметрией (латинское planum — плоскость).

Мы начинаем изучать планиметрию. Прежде всего рассмотрим, как могут быть расположены на плоскости  точки    и    прямые.

Вы уже знаете, как с помощью линейки проводят прямые (рис. 4).

Прямая в геометрии — идеально ровная и бесконечная в обе стороны. Кик и любая другая фигура, прямая состоит из точек. Если точка А лежит на прямой а, говорят, что прямая а проходит через точку А. Записывают так: А е а. Если точка В не лежит на прямой а, пишут: (рис. 5).

Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие.

Через одну точку можно провести много прямых. На рисунке 6 вы видите прямые а и Ь, проходящие через точку Р. Это их общая точка, других общих точек прямые а и Ъ не имеют. Если две прямые имеют только одну общую точку, говорят, что они пересекаются в этой точке. Прямые а и b Пересекаются в точке Р.

Если прямой принадлежат точки А и В, говорят, что эта прямая проходит через точки А и В. Обозначают ее так: АВ.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Можно ли провести прямую через три точки? Не всегда. Если точки А, B и C расположены, как показано на риcунке 7, через них прямую провести можно. А через точки А, В и D — нельзя. Говорят, что точки А, В и D Не лежат на одной прямой. Точки А, В, (- лежат на одной прямой, причем В — между А и С.

Простейшие геометрические фигуры и их свойства

Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Если точка В лежит между А и С, говорят, что точки А и С лежат по разные стороны от В, а точки А и В — по одну сторону от С.

Напечатанные выше жирным шрифтом три предложения со значком — это основные свойства расположения точек на прямой.

Любая точка А прямой делит эту прямую на две части (рис. 8). Каждую из частей прямой вместе с точкой А называют лучом, выходящим из точки А. Точку А называют началом луча. Если говорят «луч АВ», то имеют в виду, что начало луча находится в точке А (рис. 9).

Два луча, имеющие общее начало и дополняющие друг друга до прямой, называются дополнительными. На рисунке 10 вы видите луч ОК — дополнительный для луча ОР и луч ОР — дополнительный для ОК.

 

Геометрия — часть математики (рис. 11). Геометрическая наука богата содержанием и методами  исследования. Она включает элементарную геометрию, высшую геометрию, неевклидовы геометрии, топологию и др. В школе изучают только элементарную геометрию.

Геометрия тесно связана со многими другими науками, прежде всего с физикой. Но физика занимается изучением материальных тел (имеющих массу, температуру, цвет и т. п.), а в геометрии абстрагируются от всего материального. Абстрагироваться — означает мысленно отвлечься от конкретных объектов, окружающих нас. Абстрагируясь от материальных вещей, мы в воображении создаем идеальные объекты по сходным свойствам. Конец иголки, натянутая струна — это материальные объекты. Они имеют определенную толщину, длину, массу. Абстрагируясь от таких физических свойств, человеческое воображение создало абстрактные геометрические понятия точка, прямая. В природе абстрактной прямой нет, но это понятие существует в человеческом воображении. И очень полезное понятие, поскольку все свойства прямой и ее частей, выявленные в геометрии, переносятся на миллионы и миллиарды всех натянутых струн, прямолинейных рельсов, труб, лент и т. п. Не существует в природе и плоскость без толщины, идеально ровная и гладкая, бесконечная в каждом ее направлении. Но для науки это идеальное понятие очень важно, поскольку свойства, установленные в геометрии для плоскости и ее частей, можно переносить на свойства миллиардов конкретных стен, оконных стекол и других предметов, имеющих плоские поверхности.

Пример №1

На сколько частей могут разбивать плоскость три ее прямые?

Решение:

Если прямые расположены, как показано на рисунке 12, то они разбивают плоскость на 7 частей. Если они расположены, как показано на рисунке 13, то они разбивают плоскость на «4 или 6 частей.

Ответ. Три прямые разбивают плоскость, которой они принадлежат, на 4, 6 или 7 частей.
 

Дополнительное объяснение точки и прямой:

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Плоскость можно представить как лист бумаги, точку — как след, оставленный иголкой на этом листе, а прямую — как тонкую натянутую нить. Точки обычно обозначают прописными латинскими буквами (А, В, С, D, …), а прямые — строчными латинскими буквами (а, b, с, d, …).

Ha рисунке 1 точки А и D лежат на прямой , а точки В и С не лежат на прямой . Можно это же сказать иначе: прямая проходит через точки

А и D, но не проходит через точки В и С.

Рис. 1

Прямая бесконечна и состоит из бесконечного множества точек. На рисунках мы изображаем лишь часть прямой.

Свойства точек и прямых

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых. Рассмотрим прямые и , проходящие через точку С (рис. 2). В этом случае говорят, что прямые

и пересекаются в точке С, а их общая точка С является точкой пересечения прямых и .

Рис. 2

Если на плоскости обозначены две точки ^[1]А и В, то через них можно провести прямую с (рис. 3). Отметим, что через точки А и B невозможно провести другую прямую, которая не совпадала бы с прямой с.

Это свойство называют аксиомой проведения прямой.

Рис. 3

^[1] Здесь и далее, говоря «две точки» («две прямые», «три точки» и т. д.), мы будем считать, что эти точки (прямые) различны.

Аксиома проведения прямой

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Аксиома — от греческого «аксиос» — общепринятый, безоговорочный, не вызывающий сомнения

Из этого следует, что две прямые не могут иметь две или более общих точек: они либо имеют одну общую точку, либо не имеют общих точек вообще. Прямую, с выбранными на ней двумя точками, можно обозначать прописными буквами, которыми названы эти точки. Так, прямую на рисунке 3 можно назвать прямой АВ или прямой ВА.

Через три точки плоскости не всегда можно провести прямую. Так на рисунке 1 нельзя провести прямую через точки А, В, D.

На рисунке 4 точки А, В, С лежат на одной прямой, причем точка С лежит между точками А и В. Можно также сказать, что точки А и В лежат по разные стороны от точки С.

Точки В и С лежат по одну сторону от точки А , а точки А и С лежат по одну сторону от точки В.

Аксиома расположения точек на прямой:

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Луч

Любая точка делит прямую на две части (рис. 5). Каждую из этих частей можно условно считать половиной прямой, поэтому образовавшиеся части прямой и получили название «полупрямые», или иначе — лучи

Рис. 5 Точка А делит прямую а на две полупрямые и

Лучом (или полупрямой) называется часть прямой, состоящая из всех Точек этой прямой, лежащих по одну сторону от некоторой данной на ней точки, а также самой этой точки. Данная точка называется начальной точкой (или началом) луча.

На рисунке 5 точка А — начальная точка двух лучей прямой . Лучи, как и прямые, можно обозначать строчными латинскими буквами или двумя точками: начальной (обязательно на первом месте!) и еще какои-нибудь точкой этого луча. Так, луч на рисунке 6 можно обозначить или ВС , но нельзя обозначить СВ.

Два различных луча одной прямой с общей начальной точкой называются дополнительными лучами.

На рисунке 5 и — дополнительные лучи. Они дополняют друг друга до прямой и имеют только одну общую точку — их начало.

Пример №2

На прямой точка С лежит между точками А и В. Могут ли лучи АВ и АС быть дополнительными? Ответ обоснуйте.

Решение:

Пусть А, В и С — данные точки (рис. 7). Поскольку точка С лежит между точками А и В, то точки С и В лежат по одну сторону от точки А, значит, они принадлежат одному лучу с началом А. Этот луч можно назвать АВ или АС. Следовательно, данные лучи совпадают, поэтому они не являются дополнительными.

Ответ: не могут.

Отрезки и их длины

Две точки прямой делят эту прямую на три части: два луча и отрезок.

Отрезком АВ называется та часть прямой, которая состоит из точек А а В и всех точек, лежащих между ними. Точки А и В называют концами отрезка АВ. Все другие точки этого отрезка — его внутренние точки.

На рисунке 19 изображен отрезок АВ.

Точки А и В — его концы, а любая точка, лежащая между А и В, — внутренняя точка отрезка АВ.

Два отрезка пересекаются, если они имеют только одну общую внутреннюю точку.

Чтобы измерять отрезки, нужно иметь единичный отрезок (единицу измерения).

Отрезок, показанный на рисунке 20, будем считать единичным. Его длина равна 1 см.

Если на отрезке АВ единичный отрезок откладывается ровно 3 раза, то это значит, что длина отрезка АВ равна 3 см (рис. 21). Если на отрезке ЕР единичный отрезок откладывается два раза с остатком, а в остатке десятая часть единичного отрезка — 7 раз, то длина отрезка ЕР равна 2,7 см. Записывают так: АВ = 3 см, ЕР = 2,7 см.

За единичный отрезок можно брать отрезки длиной 1 м, 1 км, I фут, 1 дюйм и т. д.

Каждый отрезок имеет определенную длину.

Два отрезка называются равными, если длины их равны. Из двух отрезков большим считается тот, длина которого больше.

В сантиметрах измеряют сравнительно небольшие отрезки. Большие отрезки измеряют в дециметрах, метрах, километрах; меньшие — в миллиметрах. Напомним, что

1 км = 1000 м, 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. Если ХУ = 18 см, то это означает, что расстояние между точками X и У равно 18 см. Расстояние между X и У всегда равно расстоянию между У и X.

Если точка С отрезка АВ разбивает его на две части, длины которых равны, например 2 см и 1,2 см, то длина отрезка АВ равна 3,2 см (рис. 22).
 

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Напечатанные выше жирным шрифтом два предложения со значком  — это основные свойства измерения отрезков.

Серединой отрезка называется его внутренняя точка, разбивающая этот отрезок на две равные части.

Если точка С — середина отрезка АВ, то АС = СВ (рис. 23).

Если точка С не принадлежит отрезку АВ, то сумма длин отрезков АС и СВ больше длины АВ. Таким образом, для любых трех точек А, В и С всегда АВ + ВС > АС.

Измерять длины отрезков приходится многим специалистам. Чертежники измеряют их масштабными линейками, столяры — складными метрами, портные — клеенчатыми сантиметрами, строители — рулетками (рис. 24).

Для любознательных:

Измерительные приборы обеспечивают ту или иную точность. Расстояние между городами обычно определяют с точностью до километра, между берегами реки — с точностью до метра, длину карандаша — с точностью до миллиметра, диаметр детали ручных часов — с точностью до десятой, а то и сотой части миллиметра. Разумеется, для измерений разных длин и расстояний используют соответствующие измерительные приборы: кроме уже названных, циркули, кронциркули, штангенциркули, дальномеры и др. С некоторыми из них вы познакомитесь позже. Единицы длины бывают разные. В англоязычных странах чаще всего используют следующие: фут, дюйм, миля. Подробнее о них — дальше.

На практике для различных расстояний существуют разные названия: длина, ширина, высота, глубина, дистанция, интервал (рис. 25).
 

Пример №3

 Луч — часть прямой. Можно ли утверждать, что луч короче прямой?

Решение:

Прямая и луч не имеют длины, поэтому сравнивать и длины нет смысла.

Ответ. Нет.

Пример №4

Точки К, Р и Т лежат на одной прямой. Найдите расстояние между Р и Т, если КР ~ 1,7 м, КТ = 4,8 м. Сколько решений имеет задача?

Решение:

Отметим точки К и Т так, что КТ = 4,8 м. Точка Р пр* мой КТ находится на расстоянии 1,7 м от К. Возможно два случая (рис. 26):

а) К лежит между PvlT: РТ = 1,7 м + 4,8 м = 6,5 м;

б) Р лежит между К и Т: РТ = 4,8 м — 1,7 м = 3,1 м.
 

Ответ. Задача имеет два решения: 6,5 м; 3,1 м.

Углы и их меры

Два луча, имеющих общее начало, разделяют плоскость на две части.

Часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом, называется углом.

Лучи, ограничивающие угол, называются сторонами, а их общее начало — вершиной уела (рис. 30, а). Такой угол называют углом А О В, или углом В О А, или углом О и записывают соответственно: , или или Все точки угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область этого угла. Внутренняя область угла на рисунке 30, а закрашена. Иногда внутреннюю область угла обозначают дугой, иногда никак не обозначают, а только представляют себе. На рисунке 30, б, в вы видите углы с вершиной О и сторонами ОА и ОВ.

Угол, стороны которого — дополнительные лучи, называют развернутым углом (рис. 31).

Чтобы измерять углы, необходимо иметь единицу измерения. Такой единицей принято считать угол в 1 градус (сокращенно: 1°).

В развернутом угле он вмещается 180 раз.

Представим полуокружность, разделенную на 18 равных дуг (рис. 32). Если из ее центра О через все точки деления и концы полуокружности провести лучи, они разделят развернутый угол на 18 углов по 10°. Один из таких углов (АОВ) делим на 10°. Мера угла АОС равна 1°.

Каждый угол имеет определенную меру.

Мера развернутого угла равна 180°.

Меру угла обозначают так же, как и угол. Например, если мера угла ABC равна 60 градусам, пишут: Очень маленькие углы измеряют в минутах и секундах.

Минутой называют  часть градуса, а секундой —  часть минуты.

Записывают так: 1° = 60′, 1′ = 60″.

Углы в тетради и на классной доске измеряют транспортиром (рис. 33), а на местности — астролябией (рис. 34), теодолитом (рис. 35) или другими угломерными приборами.

Два угла называются равными, если их меры равны.

Из двух углов большим считается тот, мера которого больше.

Угол называется прямым, если его мера равна 90°, острым — если он меньше прямого, тупым — если он больше прямого, но меньше развернутого (рис. 36).

Прямые углы на рисунках чаще обозначают не дугами, а квадратиками.

Углы больше развернутого (см. рис. 30, в) пока рассматривать не будем.

Луч, который исходит из вершины угла и лежит в его внутренней области,
называют внутренним лучом угла.

Внутренний луч делит данный угол на дна меньших угла. Например, внутренний луч ОК угла АОВ делит этот угол на углы АОК и КОВ (рис. 37). При этом Говорят, что угол АОВ равен сумме углов АОК и КОВ.

Мера угла равна сумме мер углов, на которые данный угол делится его внутренним лучом.

Два выделенных выше предложения со значком в — это основные свойства измерения углов.

Внутренний луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой этого угла. На рисунке 38 луч

ОС — биссектриса угла АОВ.

Для любознательных:

Углом часто называют также фигуру, составленную из двух лучей, имеющих общее начало, то есть углом называют и некую линию. Но разделить подобный угол на два или более равных углов нельзя. Таким образом, когда говорят о сложении, вычитании или делении углов, то угол рассматривают вместе с его внутренней областью.  И хотя далее мы будем рассматривать в основном углы меньше развернутого, необходимо помнить, что бывают углы и больше развернутого, то есть больше 180°. Таким, например, является угол  D четырехугольника ABCD (рис. 39).

Существуют и специальные транспортиры,  которыми измеряют углы больше развернутого (рис. 40). Понятие угла часто используют также для характеристики поворотов. Например, велосипедное колесо можно повернуть на 100°, можно на 300°. А если колесо сделало полтора оборота? Считают, что оно повернулось на 360° и еще на 180°, всего — на 540°.

Кроме градусов, минут и секунд, существуют и другие меры углов. Моряки измеряют углы в румбах. Румбом называют одну восьмую часть прямого угла, 1 румб = 11,25° (рис. 41). Научные работники чаще всего измеряют углы в радианах. Что это такое, вы узнаете в старших классах.

Пример №5

Найдите меру угла А О В, если лучи ОС и О К делят его на три равных угла и  

Решение:

Угол СОК — третья часть угла АО В. Поэтому = 40° 3 = 120°.

Ответ. 120°.

Пример №6

Найдите меры углов, образованных стрелками часов: в 3 часа; в 5 часов (рис. 42).

Решение:

На циферблате часов полуокружность соответствует 6 часам. Поэтому одному часу соответствует 1/6 часть развернутого угла, то есть 30°. Когда часы показывают 3 часа, угол между часовой и минутной стрелками равен 30° • 3 =

= 90°. Когда часы показывают 5 часов, угол между стрелками равен 30° 5 = 150°.

Ответ. 90°; 150°.

Определение и его роль в геометрии

В пункте 1.3 описаны два понятия — «луч», которое известно вам из курса математики 5 класса, и новое понятие — «дополнительные лучи». Благодаря этим описаниям можно четко представить, какие именно фигуры рассматриваются. Данные нами описания являются определениями, указывающими на особенности описанной фигуры, которые отличают ее от других фигур.

Прочитаем еще раз определение дополнительных лучей. Если в нем пропустить лишь слова «одной прямой», то лучи MN и МК на рисунке 8, а придется считать дополнительными. Если же не уточнить, что дополнительные лучи должны иметь общее начало, то лучи АВ и CD на рисунке 8, б тоже следует назвать дополнительными. Таким образом, эти измененные определения не будут описывать тот объект, который мы имеем в виду.

Рис. 8. К объяснению понятия «дополнительные лучи»:

а) лучи MN и МК не дополнительные;

б) лучи АВ и CD не дополнительные

Эти соображения свидетельствуют о том, как важно уделять внимание каждому слову в определении: только так можно по-настоящему понять геометрию.

Отрезок. Измерение и откладывание отрезков

Определение отрезка

Любой луч является частью прямой, «ограниченной» с одной стороны начальной точкой. Рассмотрим теперь отрезок — часть прямой, «ограниченную» точками с обеих сторон. Определение Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух данных точек этой прямой (концов отрезка) и всех точек, лежащих между ними. Отрезок обозначают, записывая его концы в произвольном порядке. Так, отрезок на рисунке 10 можно назвать «отрезок АВ » или «отрезок ВА». Очевидно, что отрезок АВ является частью прямой АВ. При этом следует различать, идет ли речь о прямой АВ или об отрезке АВ.

Если рассмотреть вместе с точками А и В некоторую другую точку прямой, то, в соответствии с аксиомой расположения точек на прямой, она либо лежит между точками А и В , то есть принадлежит отрезку АВ (на рисунке 11 такой точкой является ), либо не лежит между точками А и В , то есть не принадлежит отрезку АВ (на рисунке 11 такой точкой является ).

Равенство отрезков. Середина отрезка

Определение:

Два отрезка называются: равными, если они совмещаются наложением.

Нанесем отрезок на прозрачную пленку и наложим erqm отрезок АВ так, чтобы точка А, совпала с точкой А и эти отрезки имели другие общие точки. Если точка В, совместится с точкой В (рис. 12), то отрезки АВ и равны (пишут так: ). Если же точки В и не совместятся, то меньшим из двух отрезков является тот, который составляет часть другого. На рисунке 13 точка В, совместилась с некоторой точкой отрезка АВ, отличной от точки В, поэтому отрезок больше отрезка . Кратко это обозначают так:

Определение:

Серединой отрезка называется точка отрезка, делящая его пополам (то есть на два равных отрезка).

На рисунке 14 отрезки DE и EF равны, то есть точка Е — середина отрезка DF. Обычно на рисунках равные отрезки обозначают одинаковым количеством черточек.

Измерение и откладывание отрезков

Важным свойством отрезка является его длина. Она выражается положительным числом, которое может быть определено сравнением данного отрезка с отрезком, принятым за единицу измерения,— единичным отрезком. В качестве единичного отрезка можно выбрать отрезок любой длины. На практике выбирают единичные отрезки длиной 1 мм, 1 см, 1 м и др.

Например, на измерительной линейке, которой мы обычно пользуемся, маленькие деления задают единичные отрезки длиной 1 миллиметр, а большие — длиной 1 сантиметр (рис. 15).

Прикладывая линейку к данному отрезку, мы определяем, сколько единичных отрезков и их частей в нем содержится. Это число выражает длину отрезка. Число, выражающее длину отрезка, зависит от единицы измерения.

На рисунке 15 длина отрезка СЕ равна 70 мм, или 7 см, или 0,07 м и т. д. Длина отрезка CD равна 3 см, а отрезка DE — 4 см. Можно сказать, что отрезок СЕ состоит из двух частей — отрезков CD и DE . Точка D лежит между точками С и Е, а длина отрезка СЕ равна сумме длин отрезков CD и DE (пишут так: CD + DE = СЕ ).

Сформулируем аксиомы измерения и откладывания отрезков.

Аксиома измерения отрезков

Каждый отрезок имеет определенную длину, которая выражается положительным числом в заданных единицах измерения. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые отрезок делится любой его точкой.

Аксиома откладывания отрезков

Hа любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок данной длины и только один.

Очевидно, что измерение отрезков состоит в последовательном наложении на данный отрезок определенного количества единичных отрезков. Поэтому равные отрезки имеют равные длины, а больший отрезок имеет большую длину. Верно и другое утверждение: если отрезки имеют равные длины, то они равны, а большим из двух отрезков является тот, который имеет большую длину. Таким образом, для сравнения отрезков можно сравнить их длины.

Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точка ми А и В. Часто, говоря «отрезок AB », мы имеем в виду его длину.

Пример №7

На луче АВ отмечена точка С, причем АВ = 12см, ВС — 7 см. Найдите длину отрезка АС

Решение:

Рассмотрим два случая расположения точки С на луче АВ.

1. Точка С не лежит на: отрезке АВ (рис. 16, а). Тогда точка В лежит на отрезке АС По аксиоме измерения отрезков АС = АВ + ВС, то есть АС = 12 +7 =19 (см).
2. Точка С лежит на отрезке АВ (рис. 16, 6). Тогда АВ = АС + ВС, то есть 12= АС + 7. Таким образом, АС = 12 — 7 = 5 (см).

Ответ: 19 см или 5 см.

Измерение, откладывание и определение углов

При изучении дополнительных лучей мы рассматривали случай, когда два луча имеют общую начальную точку. Рассмотрим теперь случай, когда два луча имеют общую начальную точку, но не обязательно являются полупрямыми одной прямой.

Определение:

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон угла), исходящих из одной точки (вершины угла).

Для обозначения углов используют знак . На рисунке 17, а изображен угол с вершиной В, сторонами которого являются лучи и (или ВА и ВС ). Этот угол можно обозначить одним из следующих способов: . Если угол обозначают по вершине и двум точкам на сторонах, то вершину обязательно указывают на втором месте. Иногда углы обозначают греческими буквами (рис. 17, б), или числами (рис. 17, в).

Стороны угла делят плоскость на две части. Внутренней областью угла считается та из них, которая целиком содержит любой отрезок с концами на сторонах угла (на рисунке 17, а она заштрихована). Луч, который исходит из вершины угла и проходит в его внутренней области, делит данный угол на два угла. На рисунке 18 луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC .

Определение:

Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами.

На рисунке 19 изображен развернутый угол АОВ.

Прямая АВ делит плоскость на две части, каждую из которых можно считать внутренней областью развернутого угла АОВ . Договоримся ту из частей, которую мы рассматриваем как внутреннюю, обозначать дужкой.

Равенство углов. Биссектриса угла

Определение:

Два угла называются равными, если они совмещаются наложением.

Биссектриса — от латинского «бис» — дважды и «секто» — рассекающая пополам.

На рисунке 20 изображены углы 1 и 2. Наложим угол 1 на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, сторона первого угла совместилась со стороной второго, а внутренние области этих углов были расположены по одну сторону от прямой, содержащей совместившиеся стороны. Если другие стороны этих углов тоже совместятся, то углы 1 и 2 являются равными (пишут так: ).

Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, сторона которого принадлежит внутренней области второго угла. На рисунке 21 угол 1 является частью угла 2, то есть он меньше угла 2 (пишут так: ).

Определение

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит угол пополам (то есть на два равных угла).

На рисунке 22 углы DEK и KEF равны, поэтому луч ЕК — биссектриса угла DEF . Обычно на рисунках равные углы обозначают одинаковым количеством дужек.

Измерение и откладывание углов

Измерение углов имеет много общего с измерением отрезков. Величина отрезка количественно выражается мерой (длиной) отрезка, а величина угла — мерой угла. Мера угла выражается положительным числом, которое можно определить измерением, основанным на сравнении данного угла с углом, принятым за единицу измерения.

Обычно такой единицей является 1 гра дус (обозначается 1°) — угол, равный части развёрнутого угла. Градусная мера угла указывает, сколько углов величиной 1° и их частей содержится в данном угле. Для измерения углов обычно используют транспортир, деления которого задают меру угла в градусах (Рис. 23)

Градус — от латинского «градус» — шаг. По наблюдению вавилонян солнечный диск на дневном пути «делает 180 шагов».

Сформулируем аксиомы измерения и откладывания углов.

Аксиома измерения углов

Каждый угол имеет градусную меру. Которая выражается положительным числом. Развернутый угол равен 180°.

Если луч делит Данный угол на два угла, то градусная мера данного угла равна сумме градусных мер двух полученных углов;

Аксиома откладывания углов

От любого луча данной прямой можно отложить в заданную сторону от прямой угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Так, на рисунке 18 градусная мера угла ABC равна сумме градусных мер углов ABD и DBC (это утверждение можно записать в виде равенства: Часто, говоря «угол ABC >, мы имеем в виду градусную меру этого угла.

Биссектриса развернутого угла делит его на два угла, каждый из которых равен 90° (рис. 24). Такие углы называются прямыми. В отличие от других углов, обычно обозначаемых дужками, прямой угол обозначают знаком .

В 7 классе мы будем рассматривать углы, градусная мера которых не превышает 180°. Для более точных измерений используется 1 минута (обозначается ) — часть минуты.

Неразвернутые углы делятся на три вида (рис. 25):

• острые углы, меньше 90°;
• прямые углы, равны 90°;
• тупые углы, больше 90°, но меньше 180°.

На практике для построения углов используют транспортир. Для построения прямых углов используют угольник.

Измерение углов можно считать последовательным наложением на данный угол определенного (не обязательно целого) числа углов, равных 1°. Поэтому равные углы имеют равные градусные меры, а больший угол имеет большую градусную меру. Верно и другое утверждение: если углы имеют равные градусные меры, то они равны, а из двух углов большим является тот, который имеет большую градусную меру. Таким образом, для сравнения двух углов достаточно сравнить их градусные меры.

Пример №8

Луч b делит угол (aс), равный 120° на два угла, один, из которых втрое меньше угла (ас) .

Найдите эти углы.

Решение:

Пусть угол ( ab) втрое меньше угла (ас). Тогда Согласно аксиоме измерения углов, если луч b делит угол (ас) на два угла, то их сумма равна данному углу:

Тогда

Ответ:

Аналогия в геометрии

Иногда при решении задач о свойствах отрезков и углов применяются одни и те же методы и подходы. Это объясняется сходством некоторых свойств этих фигур. Такое сходство в науке называется аналогией.

Объясним суть аналогии на примере двух следующих задач.

Задача 1

На отрезке АВ, равном 20 см, отмечена точка С. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ.

Задача 2

Луч С делит угол (аb), равный 140°, на два угла. Найдите угол между биссектрисами углов (ас) и (ab).

На первый взгляд, перед нами совершенно разные задачи, поскольку в одной речь идет об отрезках, а во второй — об углах. Однако в обеих задачах дано некоторое «целое», разделенное на части. Кроме того, понятия середины отрезка и биссектрисы угла связаны с делением целого пополам, и в обеих задачах нам необходимо найти сумму половин каждой из частей фигуры.

Решение 1

Пусть точка С принадлежит отрезку АВ, точки и — середины отрезков АС и СВ соответственно (рис. 26). Тогда

Найдем длину отрезка

Поскольку по условию задачи АВ = 20 см, имеем:

Ответ: 10 см

Решение 2

Пусть луч с делит угол (аb) на два угла, лучи и — биссектрисы углов (ас) и (cb) соответственно (рис. 27).

Тогда

Найдем градусную меру угла

Поскольку по условию задачи имеем:

Ответ: 70°.

Как видим, в основе обоих решений лежит общая идея. Найдя ее при решении первой задачи, мы можем повторить основные этапы рассуждений применительно к условиям второй задачи, то есть решить ее аналогично.

Рассуждения по аналогии довольно часто применяются и в других науках. Например, биологи установили, что летучая мышь в полете испускает ультразвуковые колебания и, воспринимая колебания, отраженные от преграды, ориентируется по этим сигналам в темноте. По аналогичному принципу ученые создали радиолокатор, определяющий местонахождение объектов в любых погодных условиях. Но аналогия в науке не всегда дает желаемый результат: в течение многих веков человек старался взлететь в небо с помощью искусственных крыльев, аналогичных птичьим, но эти старания были напрасными. И только более основательные научные исследования привели к созданию дельтапланов, самолетов и других летательных аппаратов, с помощью которых человек поднялся в воздух. Выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер считал аналогии «своими верными учителями» и подчеркивал, что «аналогиями менее всего следует пренебрегать в геометрии». Однако при этом нужно учитывать, что аналогия, полезная как способ рассуждений, сама по себе не может служить доказательством каких-либо свойств геометрических фигур.

Определение параллельных прямых

Известно, что если две прямые на плоскости имеют только одну общую точку, то они пересекаются. Рассмотрим теперь случай, когда две прямые не имеют общих точек.

Параллельный — от греческого слова «параляелос» — идущий рядом

Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Представление о параллельных прямых дают, например, железнодорожные рельсы или линейки нотного стана.

На рисунке 29 прямые и параллельны. Кратко это обозначают так: || . Такая запись читается: «Прямая параллельна прямой »

Итак, можно выделить два случая взаимного расположения прямых на плоскости: две прямые на плоскости или параллельны, или пересекаются.

Наряду с параллельностью прямых мы будем рассматривать также параллельность отрезков и лучей.

Определение:

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Аналогично формулируются определения параллельности двух лучей, прямой и отрезка, луча и отрезка и т. п.

На рисунке 30 прямые АВ и CD параллельны, поэтому отрезки АВ и CD параллельны, лучи ВА и CD параллельны, отрезок АВ параллелен прямой CD и т. д.

На практике довольно часто приходится проводить прямую, параллельную данной,— например, делать разметку дороги или чертить поля в тетради. Всегда ли можно провести через данную точку прямую, параллельную данной? Сколько таких прямых проходит через точку, не лежащую на данной прямой? Ответ на эти вопросы дает аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида).

Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной¹.

Мы сформулировали лишь некоторые из аксиом планиметрии. Более полный перечень аксиом представлен в Приложении 1.

Теорема о двух прямых, параллельных третьей

На основе аксиом с помощью логических рассуждений (доказательств) мы будем получать новые геометрические факты. В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.

Доказывая теорему, используют определения, ак сиомы и теоремы, доказанные ранее.

Итак, сформулируем и докажем первую теоре му — теорему о параллельных прямых (рис. 31).

Теорема: (о двух прямых, параллельных третьей)

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

‘ На самом деле имеет место такое утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну». Возможность провести такую прямую мы докажем в п. 14.3.

Доказательство:

Пусть а, b и с — данные прямые, причем а || с, b || c. Докажем, что прямые а и b параллельны.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке С (рис. 32). Таким образом, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но согласно аксиоме параллельных прямых через точку вне данной прямой может проходить не более одной прямой, параллельной данной. Следовательно, наше предположение о том, что прямые а и b могут пересекаться, неверно, то есть эти прямые параллельны. Теорема доказана.

Применим доказанную теорему для решения задачи.

Пример №9

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую. Докажите.

Решение:

Пусть а || b, и прямая с пересекает прямую а (рис. 33). Докажем, что прямые b и с пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются. В таком случае b || с. Поскольку с || b и а || b, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, прямые а и с параллельны. Но это невозможно, так как по условию задачи прямые а и c пересекаются. Таким образом, предположение о том, что b || с, неверно. Значит, прямые b и с пересекаются, что и требовалось доказать.

Теорема — от греческого «теоремос» — рассматривать, обдумывать

Обратим внимание на рисунок 32, который использовался в ходе доказательства теоремы. Взаимное расположение прямых а, b, с на этом рисунке не соответствует формулировке теоремы, и это легко объяснить: ведь рисунок отражает предположение, впоследствии оказавшееся неверным. Вообще, рисункам в геометрических теоремах и задачах отводится особая роль — то, что на них изображено, следует из имеющихся у нас сведений, но не наоборот. Недоказанные свойства геометрических фигур, даже если они кажутся очевидными из рисунков, использовать нельзя. Рисунок в геометрии лишь отражает свойства и утверждения, выраженные словами, но сам по себе не является доказательством. К тому же рисунок может не охватывать всех возможных вариантов расположения элементов фигур, которые подразумеваются в задаче или теореме. Недаром геометрию называют «искусством правильно рассуждать на неправильных чертежах».

Условие и заключение теоремы. Доказательство от противного.

В формулировке любой теоремы всегда можно четко выделить две части: то, что дано (условие), и то, что надо доказать (заключение). Переформулируем теорему о двух прямых, параллельных третьей, следующим образом: «Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти прямые параллельны между собой». Нам известно, что две прямые параллельны третьей прямой — это условие теоремы. Требуется доказать, что эти прямые параллельны между собой — это заключение теоремы. Вообще говоря, выделить условие и заключение легче всего для утверждения, представленного в виде: «Если… (условие), то… (заключение)».

Проанализируем доказательство теоремы о двух прямых, параллельных третьей. Сначала мы предположили, что прямые а и b не параллельны, то есть что заключение теоремы ошибочно. Затем, опираясь на известные свойства взаимного расположения прямых, установили, что через некоторую точку С проходят две прямые, параллельные с, то есть пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. На основании этого противоречия мы сделали вывод о том, что наше предположение было неверным, а значит, верным является утверждение теоремы. Этот метод доказательства называется доказательством от противного, им мы воспользовались и в задаче, которую рассматривали после теоремы. Но этот метод не единственный: уже в следующем параграфе мы будем применять и другие методы доказательств.

Метод доказательства от противного иногда используется как в других науках, так и в повседневной жизни. Например, врач, чтобы убедиться, что пациент не болен гриппом, может рассуждать так: «Допустим, что у больного грипп; тогда у него должны быть характерные симптомы: повышение температуры, головная боль и т. п. Но этих симптомов нет, то есть предположение о гриппе неверно. Значит, пациент не болен гриппом».

Схема доказательства от противного

Утверждение:	Если А, то В
	Доказательство:
1. Пусть A, но не B	Предполагаем, что условие теоремы выполняется, а заключение — нет
2.Рассуждения	Проводим рассуждения, опираясь на аксиомы и ранее доказанные теоремы
3.Противоречие	Получаем новое утверждение, противоречащее либо данному условию, либо одной из аксиом, либо ранее доказанной теореме
4. Тогда B	Убеждаемся, что наше предположение ошибочно, т. е. данное утверждение является верным

Определение смежных углов

В предыдущих параграфах мы рассматривали виды углов в зависимости от их градусной меры. Перейдем к изучению углов, имеющих общие элементы.

Пусть на прямой точка О лежит между точками А и В, а С — произвольная точка вне прямой АВ (рис. 35). Тогда углы АОС и СОВ имеют общую сторону, а стороны OA и ОВ данных углов являются дополнительными лучами.

Определение:

Два угла называются смежными, если они имеют общую сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами.

Пропуск хотя бы одного условия в формулировании определения недопустим; это может привести к тому, что будет описан иной геометрический объект. Так, если стороны двух углов не являются дополнительными лучами, то даже при наличии общей стороны такие углы — не смежные (рис. 36). Не являются смежными и углы, которые не удовлетворяют первому условию определения, то есть не имеют общей стороны (рис. 37).

Теорема о смежных углах. Следствия из теоремы

Теорема (о смежных углах)

Сумма смежных углов равна 180° .

Доказательство:

Пусть углы ( аb ) и (bс) — данные смежные углы (рис. 38). Тогда по определению смежных углов лучи а и с дополнительные, то есть угол (ас) развернутый, а его градусная мера равна 180°. Луч b делит угол (ас) на два угла, и по аксиоме измерения углов . Теорема доказана.

Сформулируем теперь несколько утверждений, которые легко обосновать с помощью доказанной теоремы.

1. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

Действительно, по теореме о смежных углах (рис.39). Если то то есть

2. Два угла, смежные с одним и тем же углом, равны.

На рисунке 40 углы 1 и 2, а также углы 1 и 3 являются смежными. Поскольку сумма смежных углов равна 180°, то

3. Угол, смежный с прямым углом, также прямой. Угол, смежный с тупым углом,— острый. Угол, смежный с острым углом,— тупой.

Эти утверждения вытекают из теоремы о смежных углах, поскольку 180°-90° = 90° (рис. 41), а если два неравных угла в сумме составляют 180°, то один из них больше 90° (то есть тупой), а второй — меньше 90° (то есть острый).

В математике утверждения, непосредственно вытекающие из теорем (или аксиом), называют следствиями. Обосновывая следствия 1—3, мы всякий раз упоминали теорему о смежных углах, причем делали это двумя способами: либо указывали ее название, либо пересказывали ее содержание. Такие обращения к известному утверждению с целью обоснования нового называют ссылками.

Решая геометрическую задачу или доказывая новую теорему, необходимо ссылаться на ранее изученные определения, аксиомы, теоремы и их следствия, а также на данные, содержащиеся в условии задачи или вытекающие из него. Например, при доказательстве теоремы о смежных углах мы ссылались на определения смежных углов, развернутого угла и аксиому измерения углов, а при доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, — на аксиому параллельных прямых.

Пример №10

Докажите, что если два смежных угла равны, то они прямые.

Решение:

Если — смежные углы, то (по теореме о смежных углах). Поскольку по условию задачи то каждый из этих углов равен то есть данные углы являются прямыми, что и требовалось доказать.

Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Определение вертикальных углов

Рассмотрим еще один случай взаимного расположения углов с общими элементами. Вертикальный — от латинского «вертикалис» — вершинный

Определение:

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон второго. На рисунке 44 прямые АС и BD пересекаются в точке О. Стороны OD и OA угла AOD являются дополнительными лучами сторон ОВ и ОС угла ВОС , поэтому эти углы — вертикальные. Вертикальными являются также углы АОВ и DОС.

Таким образом, при пересечении двух прямых¹ образуются две пары вертикальных углов. Наглядное представление о вертикальных углах дают, например, обычные ножницы.

Теорема о вертикальных углах. Угол между прямыми

Основное свойство вертикальных углов выражает следующая теорема.

Теорема: (о вертикальных углах )

Вертикальные углы равны.

¹ Здесь и далее, говоря об углах, образованных при пересечении двух прямых, мы будем иметь в виду неразвернутые углы.

Доказательство:

Пусть — вертикальные углы, образовавшиеся при пересечении прямых а и b (рис. 45). Рассмотрим угол 3, сторонами которого также являются полупрямые прямых a и b . Углы 1 и 2 смежные с углом 3 (по определению смежных углов), поэтому по следствию из теоремы о смежных углах . Теорема доказана.

Пример №11

Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 100°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

По условию задачи при пересечении двух прямых образовались два угла, сумма которых составляет 100°. Эти углы могут быть или смежными, или вертикальными. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому данные углы не могух быть смежными, значит, они вертикальные. Пусть (рис. 46). Так как вертикальные углы равны, то каждый из двух данных углов равен 100° : 2 = 50°. Таким образом, Поскольку углы 1 и 2 смежные, то (по теореме о смежных углах).

Поскольку углы 2 и 4 вертикальные, то (по теореме о вертикальных углах).

Ответ: 50°; 130°; 50°; 130°.

Определение:

Углом между двумя прямыми называется меньший из углов, образовавшихся при их пересечении.

На рисунке 47 две прямые при пересечении образуют два угла по 30° и два угла по 150°. Угол между данными прямыми по определению равен 30° (иначе говорят: прямые пересекаются под углом 30°).

Очевидно, что если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то все они равны 90°, то есть данные прямые пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярный— от латинского слова «перпендикулярис» — отвесный.

Определение:

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 48 прямые а и b перпендикулярны. Кратко это обозначают так: .

Отрезки или лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Докажем важное утверждение; связывающее понятия перпендикулярности и параллельности прямых.

Теорема (о двух прямых, перпендикулярных третьей) Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 49. На этом рисунке

Доказательство:

Пусть даны прямые и , перпендикулярные прямой АВ. Докажем методом от противного, что

Предположим, что данные прямые не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке (рис. 50).

Перегнем рисунок по прямой АВ. Поскольку прямые углы 1 и 2 равны, то при перегибе луч _{совместится с лучом . Аналогично луч совместится с лучом . Поэтому точка в которой пересекаются данные прямые, должна совместиться с некоторой точкой , также лежащей на этих прямых. Таким образом, через точки и проходят две прямые и , что невозможно по аксиоме проведения прямой. Следовательно, наше предположение неверно, то есть прямые и параллельны. Теорема доказана.}

Свойство, описанное в теореме, используется для построения параллельных прямых с помощью линейки и угольника (рис. 51). Дважды прикладывая угольник к линейке, можно провести две прямые, перпендикулярные краю линейки. По доказанной теореме такие прямые параллельны.

Историческая справка

Древнейшая наука геометрия как и математика в целом, зарождалась из потребностей практической деятельности. Везде, где жили и работали люди, необходимо было измерять, вычислять, размышлять.

Первые документальные свидетельства о геометрических знаниях дошли до нас из Древнего Египта. Каждый год воды Нила затапливали почти все прибрежные земли, поэтому египтянам приходилось вновь их размежевывать. Именно так в процессе работы устанавливались простейшие свойства геометрических фигур.

Становление геометрии. Становление геометрии как строгой науки связано с работами древнегреческих ученых: Фалеса (ориент. 625-547 гг. до н.э.), Пифагора (ориент. 570-500 гг. до н. э.), Евдокса (ориент. 408-355 гг. до н. э.). Одной из выдающихся фигур в истории геометрии по праву считается Евклид Александрийский (ориент. 330-275 гг. до н. э.). Его произведение «Начала» стало учебником, по которому изучали геометрию на протяжении почти двух тысяч лет. Евклид первым применил именно тот подход к изложению геометрии, которым мы пользуемся сейчас: сначала сформулировал основные определения и свойства простейших фигур (аксиомы), а затем, опираясь на них, доказал многие другие утверждения.

Возведенные за две-четыре тысячи лет до нашей эры, египетские пирамиды и сегодня поражают точностью метрических отношений; строители уже тогда знали немало геометрических положений и расчетов.

Профессор Харьковского университета Алексей Васильевич Погорелое (1919-2002) обогатил современную геометрию новейшими исследованиями и создал школьный учебник, по которому занимались несколько поколений учащихся.

Исследования и открытия ученых- геометров нашли применение во многих областях человеческой деятельности. Геометрия стала элементом общечеловеческой культуры — ведь без знания основ геометрии невозможно представить себе современного просвещенного человека.

Герметрия в Украине Интересные страницы истории развития геометрии, в частности ее преподавания в школе, связаны с Украиной. Именно здесь, в одной из харьковских гимназий, в конце XIX в. начинал свою деятельность известный русский педагог Андрей Петрович Киселев (1852-1940). по учебнику которого изучали геометрию нэ протяжении почти 60 лет.

Справочный материал по простейшим геометрическим фигурам

1. Точки и прямые

• ✓ Основное свойство прямой. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
• ✓ Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
• ✓ Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

2. Отрезок и его длина

• ✓ Точки А и В прямой а (рис. 239) ограничивают часть прямой, которую вместе с точками А и В называют отрезком, а точки А и В — концами этого отрезка.
• ✓ Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.
• ✓ Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот, если длины отрезков равны, то равны и сами отрезки.
• ✓ Основное свойство длины отрезка. Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и СВ, то есть АВ = АС + СВ.
• ✓ Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то считают, что расстояние между ними равно нулю.

3. Луч. Угол

• ✓ Точка О прямой АВ (рис. 240) разбивает прямую на две части, каждую из которых вместе с точкой О называют лучом или полупрямой. Точку О называют началом луча.
• ✓ Два луча, имеющих общее начало и лежащих на одной прямой, называют дополнительными.
• ✓ Два луча ОА и ОВ, имеющие общее начало (рис. 241), разбивают плоскость на две части, каждую из которых вместе с лучами ОА и ОВ называют углом. Лучи ОА и ОВ называют сторонами угла, а точку О — вершиной угла.
• ✓ Угол, сторонами которого являются дополнительные лучи, называют развернутым.
• ✓ Два угла называют равными, если их можно совместить наложением.
• ✓ Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.

4. Измерение углов

• ✓ Каждый угол имеет определенную величину (градусную меру).
• ✓ Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым. Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым. Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.
• ✓ Равные углы имеют равные величины, и наоборот, если величины углов равны, то равны и сами углы.
• ✓ Основное свойство величины угла. Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ (рис. 242), то

5. Смежные и вертикальные углы

• ✓ Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.
• ✓ Сумма смежных углов равна 180°.
• ✓ Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.
• ✓ Вертикальные углы равны.

6. Перпендикулярные прямые. Серединный перпендикуляр

• ✓ Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол.
• ✓ Неперпендикулярные прямые при пересечении образуют пару равных острых углов и пару равных тупых углов. Величину острого угла называют углом между неперпендикулярными прямыми.
• ✓ Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними равен 90°.
• ✓ Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.
• ✓ На рисунке 243 изображены прямая а и перпендикулярный ей отрезок АВ, конец В которого принадлежит прямой а. В таком случае говорят, что из точки А на прямую а опущен перпендикуляр АВ. Точку В называют основанием перпендикуляра АВ.

• ✓ Длину перпендикуляра AB называют расстоянием от точки А до прямой а. Если точка А принадлежит прямой а, то считают, что расстояние от точки А до прямой а равно нулю.
• ✓Опустим из точки А на прямую а перпендикуляр АВ (рис. 244). Пусть X — произвольная точка прямой а, отличная от точки В. Отрезок АХ называют наклонной, проведенной из точки А к прямой а.
• ✓ Через данную точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
• ✓ Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
• ✓ Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
• ✓ Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Элементарные геометрические фигуры и их свойства

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Отрезком называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, которые лежат между двумя ее точками, вместе с этими точками. На рисунке 257: отрезок  точки и — концы отрезка.

Точка делит прямую на две части (рис. 258). Каждую из полученных частей

вместе с точкой называют лучом, выходящим из точки  Поэтому называют началом каждого из лучей.

•  Два луча, имеющие общее начало и дополняющие друг друга до прямой, называют дополняющими.

Угол — это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, которые выходят из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. На рисунке 259: угол  точка — его вершина; и — стороны угла. Записать этот угол можно так:

Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит его пополам.

Аксиомы планиметрии

• I.    Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей, и точки, ей не принадлежащие.
• II.    Через две точки можно провести прямую и к тому же только одну.
• III.    Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
• IV.    Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
• V.    Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой. (На рисунке 260
• VI.    Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°.
• VII. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. (рис. 261).

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

 

Геометрический материал не выделяется в программе для начальных классов в качестве самостоятельного раздела. В учебном процессе изучение элементов геометрии непосредственно связывается с изучением арифметических вопросов.

Преимущественно уроки математики построены так, что главную часть их составляет арифметический материал, а геометрический материал входит составной частью. Это создает большие возможности для осуществления связи геометрических и других знаний, а также позволяет вносить определенное разнообразие в учебную деятельность детей на уроках математики, что очень важно для детей этого возраста, а, кроме того, содействует повышению эффективности обучения.

Методика ознакомления учащихся с геометрическими фигурами связана с задачами изучения темы:

1. Формировать четкие представления о таких геометрических фигурах, как точка, отрезок, угол, многоугольник, прямоугольник, квадрат и.т.д.

2. Формировать практические умения и навыки построения геометрических фигур, как с помощью чертёжных инструментов так и без них.

3. Развивать пространственные представления учащихся.

На установление связи знаний и умений с практикой, применение математических знаний

в жизни направлены и современные Федеральные образовательные стандарты (ФГОС).

Во ФГОС для начальной школы развитие пространственного воображения,

пространственных представлений (основа и продукт деятельности ПМ) рассматривается как одна из основных целей изучения геометрического материала. Учитывая, что

в стандартах развивающие цели определяются как приоритетные, описанный выше подход к построению геометрической линии в курсе математики начальной школы

считаем целесообразным.

Как же он может быть реализован?

В курсе математики геометрический материал должен представлять четкую систему, которая позволит ученику последовательно (в логике развития ПМ младших школьников как основной развивающей цели) овладеть образами геометрических фигур и геометрических отношений, которые в курсе основной и старшей школы будут изучаться на уровне понятий. Иными словами, в начальной школе фактически формируется база геометрических понятий.

Целесообразно выделить следующие цели изучения геометрической линии:

1) развитие ПМ как разновидности образного мышления;

2) развитие рефлексивных способностей учащихся;

3) познание окружающего мира с геометрических позиций;

4) подготовка к изучению курса геометрии в основной школе.

Эти цели соответствуют задачам, поставленным во ФГОС, и способствуют достижению личностных, метапредметных и предметных образовательных результатов.

Ведущую роль при изучении геометрического материала играют систематически проводимые практические работы по формированию умений и навыков, связанных с применением чертежных и измерительных инструментов, с выполнением простейших чертежей с построением геометрической фигур. При этом необходимо формировать умение давать словесно описание выполняемых действий, умение применять символику и терминологию.

Программой предусмотрено следующее распределение геометрических понятий по классам:

1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Точка. Линия. Прямая и кривая линии. Отрезок.	Углы. Прямой угол. Прямоугольник. Квадрат. Периметр прямоугольника и квадрата. Ломаная. Звенья ломаной. Длина ломаной.	Луч. Треугольник. Равносторонний треугольник. Прямоугольный треугольник. Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник.	Представление о телах: куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар.

В программе четко определены и требования к знаниям и умениям детей о геометрических фигурах. Учитель должен добиться усвоения детьми названий изучаемых геометрических фигур и их свойств, а также сформировать умение выполнять их построение на клетчатой бумаге. Отмечая особенности изучения геометрических фигур в начальных классах, следует обратить внимание на то обстоятельство, что свойства всех изучаемых фигур выявляются экспериментальным путем в ходе выполнения соответствующих упражнений. Систематически должны проводиться такие виды работ, как изготовление геометрических фигур из бумаги, палочек, пластилина, их вырезание, моделирование и др. При этом важно учить детей различать существенные и несущественные признаки фигур. Большое внимание при этом следует уделить использованию приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур.

Общие представления у учащихся о геометр ических фигурах уточняются при усвоении темы «Изучение чисел в пределах 10» сначала эти фигуры (круги, треугольники, квадраты, и другие) используются как счетный материал. Дети оперируют ими, отчитывая, например, 5. треугольников, 3 квадрата, 8 кружков, считая большие и маленькие круги, красные и синие треугольники. При этом уточняются названия геометрических фигур. Знакомя учащихся с отрезком, учитель использует окружающие предметы (ручку, карандаш, планку) и называют, как изобразить отрезок на бумаге.

Дети учатся находить отрезки на окружающих их предметах (край, доски, стола и т.д.) и на геометрических фигурах (стороны треугольников и.т.п.). При этом важно научить детей правильно показывать точки и отрезк

Разработка открытого урока «Основные понятия и аксиомы стереометрии»

Тема урока: Основные понятия и аксиомы стереометрии

Тип занятия: теоретическое

Вид занятия: урок усвоения новых знаний.

Цели урока:

Обучающая (образовательная)

·         активизировать интерес к изучаемому материалу, используя практико-ориентированные примеры,

·         создать условия для формирования знаний о предмете стереометрии, о ее логической структуре, об основных фигурах стереометрии, аксиомах и следствиях из них,

·         формировать представления о прикладном значении стереометрии – применении ее методов в быту, других науках и будущей профессии,

Развивающая

·         способствовать развитию пространственных представлений, логического мышления,

·         формировать и развивать навыки самостоятельной работы, самооценки, исследовательские умения (наблюдение, анализ, формулирование выводов)

Воспитательная

·         воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, самостоятельность

 

Материально-техническое обеспечение занятия: мультимедийная установка

Методическое и дидактическое обеспечение занятия: макеты геометрических тел, раздаточный материал, презентация «Основные понятия и аксиомы стереометрии»

 

«Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Неслучайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора»  

архитектор XX столетия Ле Корбюзье (франц.)

 

Ход Занятия

1. Организационный момент (1мин)

— здравствуйте. Садитесь

— староста, кто сегодня отсутствует?

2. Мотвационный этап и  этап целеполагания   (4мин)

— Итак, начнем занятие. Внимание на экран

— Просмотр  видеоролика «Родной Бузулук» (1,5 мин)

— Вы просмотрели фрагмент видеоролика о нашем родном городе – Бузулуке.  Песня, которая прозвучала, является гимном города Бузулука. Написал его и  исполнял известный бузулукский поэт и композитор Андрей  Петров.  А какое знаменательное событие ожидает наш город в этом году?

— Что больше всего привлекло ваше внимание при просмотре видеоролика? А как связаны архитектура города Бузулука и математика?  (в городе много зданий, которые в свою очередь являются геометрическими фигурами?)

— сегодня мы переходим к изучению одного из разделов геометрии.

— А как вы думаете,  свойства каких фигур мы  с вами будем изучать?  Городские здания – это какие фигуры? Каким общим свойством они обладают?  (данные фигуры обладают объемом; объемные)

– Действительно, с этого занятия мы начинаем изучение одного из разделов геометрии —    стереометрии, в котором изучаются свойства  объемных фигур, расположенных в пространстве.

—  В школьном курсе математики вы изучали раздел «Планиметрия».

— Что изучает планиметрия? (Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости)
– Какие фигуры Вам известны из курса планиметрии? (Точка, прямая, отрезок, многоугольники – треугольники, четырехугольники разного вида, круг, окружность)

– Стереометрия – это один из самых интересных и важных разделов математики. «Стереометрия» – греческое слово, состоящее из двух частей: «стереос» – «пространственный» и «метрео» — «измеряю». Т.е. «стереометрия» обозначает «измерение в пространстве». Стереометрия знакомит нас с разнообразием пространственных форм, законами их восприятия и изображения. Это геометрия в пространстве.

– При изучении любого нового раздела или темы возникает вопрос «Зачем это изучать?» Давайте порассуждаем, где нам может пригодиться стереометрия. Какие у Вас возникают предположения?

 (Стереометрия может применяться при измерении и изображении окружающих нас предметов, которые похожи на объемные фигуры)

— А с какими пространственными фигурами вы уже встречались ранее? (куб, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар)

–– Как Вы думаете, в какой сфере деятельности человека наиболее актуально применение законов стереометрии? (В промышленности, в архитектуре, в строительстве)
– Действительно, геометрические формы находят применение в архитектуре, строительстве, дизайне.

– Стоит ли серьезно отнестись к изучению стереометрии? Почему? (Да, она может пригодиться в жизни, в будущей профессии)

– В жизни Вам пригодится знание свойств геометрических фигур, умение производить измерения на плоскости и в пространстве и связанные с этим вычисления. Согласно словам французского архитектора Ле Корбюзье: (эпиграф)

– С чего обычно начинают изучать новые разделы математики? (С изучения новых понятий, определений, теории)

– Итак, как вы бы определили нашу задачу на сегодняшний урок (познакомиться с основными понятиями стереометрии, изучить определения и теоремы).

 — Да, мы сегодня должны с вами определить, что же является основными понятиями стереометрии и рассмотреть те факты, которые связывают основные понятия стереометрии.

3. Первичное усвоение новых знаний

-Запишите тему занятия «Основные понятия и аксиомы стереометрии».

– Все геометрические формы, имеющие разное внешнее представление, тем не менее, составляются из одних и тех же простейших элементов. (Рассматривают изображения и модели геометрических фигур – плоских (отрезков прямых, многоугольников, круга), объемных (выпуклых многогранников, круглых тел, звездчатых многогранников)

– Рассмотрите несколько изображений и моделей геометрических фигур и попробуйте увидеть, из каких самых простых объектов они составлены. (Фигуры и тела состоят из отрезков, углов, вершин, плоских частей, …)

– Вершины геометрических тел можно рассматривать как точки.

 —  А что такое точка? Как обозначаются точки? ( Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, … )

– Стороны многоугольников, ребра многогранников, отрезки представляют собой части прямых. Что  такое прямая? Как обозначаются  прямые? ( Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, …)  

– Плоские грани многогранников – это части плоскостей. Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности воды, стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ,. ..

—  Другие поверхности – искривленные (например, сфера или цилиндр) рассматриваются как множество точек или отрезков

— Давайте теперь заполним рабочую карту: какие фигуры являются основными в стереометрии? Как обозначаются точки? Прямые? Плоскости?

– Введем обозначения, которых придерживаются при построении изображений (В рабочих картах  зарисовывают иллюстрацию с доски (выполнятся совместно с преподавателем) и записывают обозначения «принадлежит», «не принадлежит», «лежит», «пересекает»)

 

– Итак, в стереометрии основными фигурами являются точка, прямая и плоскость. Основные фигуры не имеют размерности. Кроме того, понятия «точка», «прямая» и «плоскость» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах и теоремах.

– Что такое «аксиома»? Что такое «теорема»? (Аксиома – это утверждение, принимаемое без доказательства. Теорема – это утверждение, требующее доказательства)

— Прежде чем переходить к изучению аксиом, ответьте пожалуйста на следующий вопрос: какой стул устойчивее – с четырьмя или тремя ножками? ( как вариант ответа: с четырьмя).  
— Правильно ответить на данный вопрос вам помогут аксиомы стереометрии.

— Используя материал учебника, стр. 4-6, заполните ячейки таблицы рабочей карты. Выпишите аксиомы, которые соответствуют рисунку и обозначениям, а так же  правильно пронумеруйте аксиомы, в соответствии с учебником.  На выполнение данной работы вам дается 3 мин.

(В рабочих картах заполняют ячейки с аксиомами (даны чертежи и краткое обозначение, из учебников нужно выписать для каждого рисунка соответствующую аксиому) «Аксиомы стереометрии»). (5 мин)

Проверка (3 мин)

 

Аксиома 1: Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна

 

– Эта аксиома иллюстрируется жизненной ситуацией: какой из табуретов более устойчив: с 3 или 4 ножками? (У табурета на 4 ножках одна из них может быть короче, и он будет качаться)

—   у вас на втором курсе будет учебная практика по геодезическим измерениям. Вам придется работать с теодолитом, так вот,  штатив теодолита имеет три ноги. Почему? (потому что, согласно аксиоме 1 – три точки не лежащие на одной прямой,  всегда проходит одна плоскость.)

— и еще один вопрос: когда три птенца, вылетевшие из гнезда, будут находиться в одной плоскости? (когда они не будут находиться на одной прямой)

 

Аксиома 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

– Эта аксиома иллюстрируется карандашами и ручками, лежащими на ваших партах

Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку.

 

– Эта аксиома подтверждается тем, что плоскости бесконечны во всех направлениях и, значит, не могут иметь только одну общую точку – их бесконечно много, они образуют прямую. Аксиома может быть проиллюстрирована пересекающимися полом и стеной в кабинете, листами Вашей тетради и т.д.

 

 

4. Первичная проверка понимания (10мин)

— А теперь я предлагаю вам выполнить  небольшую самостоятельную работу. Вашему вниманию будут представлены пять рисунков.  Прочитайте чертеж и запишите словами и с помощью обозначений то, что изображено на этом чертеже. При  описании вы должны обязательно использовать слова: точка, прямая, плоскость.

1.      Точка А принадлежит плоскости α.Точка С не принадлежит плоскости α

2.      Плоскости α и β пересекаются по прямой с. (две плоскости имеют общую прямую)

3.      Прямая а принадлежит плоскости α; прямая в пересекает плоскость α в точке В, прямая с не принадлежит плоскости α.

4.      Точка и не лежащая на ней точка принадлежат одной плоскости

5.      Две пересекающиеся прямые лежат в одой плоскости.

 

Взаимопроверка  (с одновременным опросом)  (показ слайдов с обозначениями)

Критерии оценки: 5 – если правильно составлено 8 высказываний

        4 – если правильно составлено 6-7 высказываний

        3 – если правильно составлено 5 высказываний

 

 5. Первичное закрепление изученного материала  (10 мин)

–  А теперь продолжим экскурс по нашему замечательному городу. Я предлагаю вам  ответить на вопросы небольшой викторины: «Знаешь ли ты город Бузузук?». Вашему вниманию будет представлено несколько зданий и сооружений нашего города. Вам нужно угадать, что это за место и определить, какие геометрические объекты изображены на этой фотографии.

1. Здание БСК

3.  Межрайонная поликлиника

7. Фотография 3 микрорайона

8. Виадук   (прямые параллельные – рельсы железной дороги, скрещивающиеся – автомобильная и железная дорога)

9. Водонапорная башня (призма, пересекающиеся прямые)

— А  какого здания,  по вашему мнению, в нашем городе не хватает?

— Роман Мирошник подготовил макет здания, которое он бы построил в нашем городе. Послушаем его.

 

6. Домашнее задание

1.      Выучить формулировки аксиом и теорем, учиться делать к ним иллюстрации.

2.       Привести примеры из окружающей действительности для каждой аксиомы и теоремы.

3.      Стр 8 № 3,4,8 (подготовиться к математическому диктанту)

4.      ^* Подготовить сообщение на тему «Геометрия Лобачевского»

 

5. Рефлексивно — оценочный этап «Фишбоун» (3-5 мин)

– Итак, давайте подведем итог нашего занятия: изобразим схематично то, что мы сегодня изучили.

 — Сегодня Вы начали изучать новый раздел. Как он называется? (голова рыбы — Стереометрия)

– Какие фигуры принято считать основными в стереометрии? Почему? (Точка, прямая, плоскость.  Из них составляются все геометрические объекты)

—Какими утверждениями связаны основные фигуры? (Аксиомами)

О чем говорится в первой аксиоме? (о трех точках и плоскости)

Во второй аксиоме? (о прямой и плоскости)

В третьей аксиоме? (о двух плоскостях и точке)

Что описывает первая аксиома ? (построение плоскости)

Что описывает вторя аксиома? ( взаимное расположение прямой и плоскости)

Что описывает третья аксиома? (взаимное расположение плоскостей)

точка, прямая, отрезок, луч, ломаная линия.

Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Посещая дополнительные занятия мы поняли, что не умеем оперировать понятиями точка, линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии и рисовать их, точнее рисовать можем, но идентифицировать не получается.

Дети должны различать линии, кривые, окружности. Это развивает у них графику и чувство правильности при занятиях рисованием, аппликацией. Важно знать, какие основные геометрические фигуры существую, что из себя представляют. Разложите карточки перед ребенком, попросите нарисовать точно так же как на картинке. Повторите несколько раз.

На занятиях нам выдали следующие материалы:

Небольшая сказка.

В стране Геометрии жила-была точка. Она была маленькой. Ее оставил карандаш, когда наступил на лист тетради, и никто ее не замечал. Так и жила она, пока не попала в гости к линиям. (На доске рисунок.)

Посмотрите, какие это были линии. (Прямые и кривые.)

Прямые линии похожи на натянутые веревочки, а веревочки, которые не натянули, — это кривые линии.

Сколько прямых линий? (2.)

Сколько кривых? (3.)

Прямая линия начала хвастаться: «Я самая длинная! У меня нет ни начала, ни конца! Я бесконечная!»

Очень интересно стало точке посмотреть на нее. Сама-то точка малюсенькая. Вышла она да так увлеклась, что не заметила, как наступила на прямую линию. И вдруг исчезла прямая линия. На ее месте появился луч.

Он тоже был очень длинный, но все-таки не такой, как прямая линия. У него появилось начало.

Испугалась точка: «Что же я наделала!» Хотела она убежать, да как назло наступила опять на луч.

И на месте луча появился отрезок. Он не хвастался, какой он большой, у него уже были и начало, и конец.

Вот так маленькая точка смогла изменить жизнь больших линий.

Так кто догадался кто вместе с котиком пришел к нам в гости?(прямая линия, луч, отрезок и точка)

Правильно вместе с котиком пришли прямая линия, луч, отрезок и точка к нам на урок.

Кто догадался, что мы будем делать на этом уроке? (Учиться распознавать и чертить прямую линию, луч, отрезок.)

О каких линиях вы узнали? (О прямой, луче, отрезке.)

Что узнали о прямой линии? (Она не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечная.)

(Берем две катушки ниток, натягивает их, изображая прямую линию, и разматывая то одну, то другую, демонстрирует, что прямую можно продолжать в оба конца до бесконечности.)

Что узнали о луче? (У него есть начало, но нет конца.) (Педагог берет ножницы, разрезает нитку. Показывает, что теперь линию можно продолжать только в один конец.)

Что узнали об отрезке? (Унего есть и начало, и конец.) (Педагог отрезает другой конец нитки и показывает, что нитка не тянется. У нее есть и начало, и конец.)

Как начертить прямую линию? (Провести по линейке линию.)

Как начертить отрезок? (Поставить две точки и соединить их.)

И конечно прописи:

Прямая линия — одно из фундаментальных понятий геометрии.

Наглядно прямую линию может продемонстрировать туго натянутый шнур, кромка стола, край листа бумаги, место, соединения двух стен комнаты, луч света. При начертании прямых линий на практике применяют линейку.

Прямой линии присущи такие характерные особенности :

1.У прямой линии нет ни начала ни конца, то есть она бесконечна. Существует возможность начертить только ее часть.

2.Через две произвольные точки можно провести прямую линию , и притом только одну.

3. Через произвольную точку можно провести не ограниченное количество прямых на плоскости .

4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны .

Для обозначения прямой линии используют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, написанные в двух различных местах этой прямой.

Если на прямой линии указать точку , то в результате получим два луча :

Лучом называют часть прямой линии , ограниченную с одной стороны. Для обозначения луча применяют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, из которых одна обозначается в начале луча.

Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, именуют ее отрезком . Отрезок, как и прямая линия , обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.

Линию, сформированную несколькими отрезками, не лежащими на одной прямой, принято называть ломаной . Когда концы ломаной совпадают, то такая ломаная именуется замкнутой .

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки «А» и предложить ребёнку провести линию через две точки «А». Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая на плоскости — понятие.

Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).

Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости .

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости .

Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F . В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d .

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости : либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ «». К примеру, если точка А лежит на прямой а , то можно записать . Если точка А не принадлежит прямой а , то записывают .

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Множество всех точек, расположенных между двумя заданными на прямой точками, вместе с этими точками называют отрезком прямой или просто отрезком . Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими точкам концов отрезка. К примеру, пусть точки А и В являются концами отрезка, тогда этот отрезок можно обозначить АВ или ВА . Обратите внимание, что такое обозначение отрезка совпадает с обозначением прямой. Чтобы избежать путаницы, рекомендуем к обозначению добавлять слово «отрезок» или «прямая».

Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а , можно кратко записать .

Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А , В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С . Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В . Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А , а точки А и В лежат по одну сторону от точки С .

Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – два луча . Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О , принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точки О , а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О .

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?

Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать .

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться .

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом «», к примеру, запись означает, что прямые а и b пересекаются в точке М . Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми . Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными (рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a перпендикулярна прямой b , то можно использовать краткую запись .

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой . В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.

Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой . О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости .

Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.

Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:

• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой;
• если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой;
• если на плоскости некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Способы задания прямой на плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.

Во-первых, прямую можно задать, указав две точки на плоскости.

Действительно, из аксиомы, рассмотренной в первом пункте этой статьи, мы знаем, что через две точки проходит прямая, и притом только одна.

Если в прямоугольной системе координат на плоскости указаны координаты двух несовпадающих точек, то есть возможность записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Во-вторых, прямую можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна. Этот способ справедлив, так как через данную точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Доказательство этого факта проводилось на уроках геометрии в средней школе.

Если прямую на плоскости задать таким способом относительно введенной прямоугольной декартовой системы координат, то есть возможность составить ее уравнение. Об этом написано в статье уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .

В-третьих, прямую можно задать, если указать точку, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Если прямая линия задана в прямоугольной системе координат таким способом, то легко составить ее каноническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости .

Четвертый способ задания прямой заключается в том, что следует указать точку, через которую она проходит, и прямую, которой она перпендикулярна. Действительно, через заданную точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой. Оставим этот факт без доказательства.

Наконец, прямую на плоскости можно задать, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой.

Если известны координаты точки, лежащей на заданной прямой, и координаты нормального вектора прямой, то есть возможность записать общее уравнение прямой .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

---

Введение в геометрию | SkillsYouNeed

Когда вы начинаете изучать геометрию, важно знать и понимать некоторые основные концепции.

Эта страница поможет вам понять концепцию размеров в геометрии и понять, работаете ли вы в одном, двух или трех измерениях.

Он также объясняет некоторые основные термины и указывает на другие страницы для получения дополнительной информации.

На этой странице представлены точки, линии и плоскости.

На других страницах этой серии рассказывается об углах и формах, включая многоугольники, круги и другие изогнутые формы, а также трехмерные формы.

Что такое геометрия?

---

Геометрия , н. та часть математики, которая рассматривает свойства точек, линий, поверхностей и твердых тел…

---

Chambers English Dictionary, издание 1989 г.

Геометрия происходит от греческого слова «измерение земли» и представляет собой визуальное изучение форм, размеров и узоров, а также того, как они сочетаются друг с другом в пространстве.Вы обнаружите, что наши страницы геометрии содержат множество диаграмм, которые помогут вам понять предмет.

Когда вы столкнулись с проблемой, связанной с геометрией, может быть очень полезно нарисовать диаграмму самостоятельно.

---

Работа в разных размерах

Нет, не континуум пространства-времени! Мы говорим о формах в одном, двух и трех измерениях.

То есть объекты, которые имеют длину (одно измерение), длину и ширину (два измерения) и длину, ширину и глубину или высоту (три измерения).

очков: особый случай: без размеров

точка — это отдельная точка в пространстве. Он часто представлен точкой на странице, но на самом деле не имеет реального размера или формы.

Вы не можете описать точку с точки зрения длины, ширины или высоты, поэтому она является безразмерной . Однако точку можно описать координатами. Координаты ничего не определяют о точке, кроме ее положения в пространстве по отношению к контрольной точке с известными координатами.Вы встретите координаты точек во многих приложениях, например, когда вы рисуете графики или читаете карты.

Практически все в геометрии начинается с точки, будь то линия или сложная трехмерная форма.

линий: одно измерение

Линия — кратчайшее расстояние между двумя точками. Он имеет длину, но не ширину, что делает его одномерным.

Везде, где встречаются или пересекаются две или более прямых, есть точка, и считается, что эти две линии имеют общую точку:

---

Отрезки и лучи

Есть два типа линий: те, у которых есть определенная начальная и конечная точки, и те, которые продолжаются вечно.

Линии, которые перемещаются между двумя точками, называются отрезками линии . Они начинаются с определенной точки и переходят к другой, конечной точке. Как и следовало ожидать, они нарисованы как линия между двумя точками.

Второй тип линий называется ray , и они продолжаются бесконечно. Их часто проводят в виде линии, начинающейся от точки со стрелкой на другом конце:

---

Параллельные и перпендикулярные линии

Есть два типа линий, которые особенно интересны и / или полезны в математике. Параллельные линии никогда не пересекаются и не пересекаются. Они просто идут вечно бок о бок, как железнодорожные пути. Условием показа параллельности линий на диаграмме является добавление «перьев», которые выглядят как наконечники стрелок.

Перпендикулярные линии пересекаются под прямым углом, 90 °:

---

Плоскости и двумерные формы

Теперь, когда мы разобрались с одним измерением, пора перейти к двум.

Плоскость — это плоская поверхность, также известная как двумерная.Технически он неограничен, что означает, что он продолжается вечно в любом заданном направлении, и поэтому его невозможно нарисовать на странице.

Один из ключевых элементов геометрии — это количество измерений, с которыми вы работаете в любой момент времени. Если вы работаете в одной плоскости, то это либо одна (длина), либо две (длина и ширина). При наличии более чем одной плоскости он должен быть трехмерным, потому что высота / глубина также учитываются.

Двумерные фигуры включают многоугольники, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники, у которых есть прямые линии и точки в каждом углу.

Больше о полигонах можно узнать на нашей странице Полигоны . Другие двумерные формы включают круги и любую другую форму, которая включает кривую. Вы можете узнать больше об этом на нашей странице Curved Shapes .

Три измерения: многогранники и изогнутые формы

Наконец, есть также трехмерных фигур , таких как кубы, сферы, пирамиды и цилиндры.

Чтобы узнать больше об этом, посетите нашу страницу Трехмерные формы .

---

Знаки, символы и терминология

Форма, показанная здесь, представляет собой неправильный пятиугольник, пятиугольный многоугольник с разными внутренними углами и длинами линий (подробнее об этих формах см. Нашу страницу о Многоугольники ).

Градусы ° являются мерой поворота и определяют величину угла между двумя сторонами.

Углы обычно обозначаются в геометрии с использованием сегмента окружности (дуги), если только они не являются прямым углом, когда они «возведены в квадрат».В данном примере угловые метки обозначены зеленым цветом. См. Нашу страницу Уголки для получения дополнительной информации.

Отметки (показаны оранжевым цветом) обозначают стороны формы, которые имеют одинаковую длину (стороны формы, которые соответствуют или совпадают). Одиночные линии показывают, что две вертикальные линии имеют одинаковую длину, а двойные линии показывают, что две диагональные линии имеют одинаковую длину. Нижняя горизонтальная линия в этом примере отличается по длине от остальных 4 линий и поэтому не отмечена.Отметки также могут называться « штриховок ».

Вершина — это точка пересечения линий (линии также называются лучами или ребрами). Множественное число вершин — это вершины. В этом примере пять вершин помечены как A, B, C, D и E. Называть вершины буквами — обычное дело в геометрии.

В замкнутой форме, такой как в нашем примере, математическое соглашение гласит, что буквы всегда должны располагаться в порядке по часовой стрелке или против часовой стрелки.Нашу форму можно описать как «ABCDE», но было бы неправильно обозначать вершины так, чтобы форма была, например, «ADBEC». Это может показаться несущественным, но в некоторых сложных ситуациях очень важно избежать путаницы.

Символ угла ‘’ используется как сокращенный символ в геометрии при описании угла. Выражение ∠ABC является сокращением для описания угла между точками A и C в точке B. Средняя буква в таких выражениях всегда является вершиной угла, который вы описываете — порядок сторон не важен. ABC совпадает с ∠CBA, , и оба описывают вершину B в этом примере.

Если вы хотите записать измеренный угол в точке B в сокращенном виде, вы должны использовать:

m∠ABC = 128 ° (m просто означает «мера»)

или

м∠CBA = 128 °

В нашем примере мы также можем сказать:

м∠EAB = 90 °

м∠BCD = 104 °

---

Почему эти концепции имеют значение?

Точки, линии и плоскости лежат в основе почти всех остальных геометрических концепций.Углы образуются между двумя линиями, начинающимися от общей точки. Фигуры, двухмерные или трехмерные, состоят из линий, соединяющих точки. Плоскости важны, потому что двумерные формы имеют только одну плоскость; трехмерные их два и более.

Другими словами, вам действительно нужно понять идеи на этой странице, прежде чем вы сможете перейти к любой другой области геометрии.

---

Дополнительная литература по навыкам, которые вам нужны

---

Навыки, которые вам нужны. Руководство по счету

Это руководство из четырех частей познакомит вас с основами математики от арифметики до алгебры с остановками на дробях, десятичных дробях, геометрии и статистике.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.

---

точек, линий и плоскостей

Точки, линии и плоскости

Точка , линия и плоскость вместе с набором — это неопределенные термины, которые обеспечивают отправную точку для геометрии. Когда мы определяем слова, мы обычно используем более простые слова, а эти более простые слова, в свою очередь, определяются с помощью еще более простых слов.В конечном итоге этот процесс должен прекратиться; на каком-то этапе в определении должно использоваться слово, значение которого интуитивно понятно. Поскольку это значение принимается без определения, мы называем эти слова неопределенными терминами . Эти термины будут использоваться для определения других терминов. Хотя эти термины не имеют формального определения, необходимо их краткое интуитивное обсуждение.

точка

точка — самый фундаментальный объект в геометрии.Он обозначен точкой и назван заглавной буквой. Точка представляет только позицию; он имеет нулевой размер (то есть нулевую длину, нулевую ширину и нулевую высоту). На рисунке 1 показана точка C , точка M и точка Q .

Рисунок 1

Три очка.

Линия

Линия (прямая линия) может рассматриваться как связанный набор из бесконечно большого числа точек.Он распространяется бесконечно далеко в двух противоположных направлениях. Линия имеет бесконечную длину, нулевую ширину и нулевую высоту. Назовите его любыми двумя точками на линии. Символ ↔, написанный над двумя буквами, используется для обозначения этой строки. Линия также может быть названа одной маленькой буквой (рисунок 2).

Рисунок 2

Две линии.

Коллинеарные точки

Точки, лежащие на одной линии, называются коллинеарными точками .Если нет прямой, на которой лежат все точки, то это неколлинеарных точек . На рисунке 3 точки M, A и N коллинеарны, а точки T, I и C неколлинеарны.

Рисунок 3 Три коллинеарные точки и три неколлинеарные точки.

Самолет

Плоскость может рассматриваться как бесконечный набор точек, образующих соединенную плоскую поверхность, бесконечно далеко простирающуюся во всех направлениях.Плоскость имеет бесконечную длину, бесконечную ширину и нулевую высоту (или толщину). Обычно он изображается на чертежах в виде четырехугольной фигуры. Для обозначения самолета используется одна заглавная буква. Слово plane — это , написанное с буквы, чтобы не путать с точкой (рис. 4 ).

Рисунок 4 Две плоскости.

точек, линий и углов в геометрии — видео и стенограмма урока

Lines

А теперь представьте, что вы выбираете людей, которые хотят войти в вашу волейбольную команду.Вы берете палку, рисуете на песке прямую полосу и говорите людям, что тот, кто хочет быть в вашей команде, должен быть на одной стороне с вами. Вы только что нарисовали линию, которая является еще одним основным элементом геометрии. Настоящая линия Геометрия представляет собой прямую полосу, которая продолжается и идет в обоих направлениях. Мы маркируем линии, маркируя любые две точки на линии, и называем линию этими двумя точками. Итак, линия, в которой есть две точки D и E , называется линией DE .

Если линия имеет начало и конец, мы называем ее сегментом линии . Любые линии, которые мы рисуем, например линия, которую вы нарисовали на песке, являются отрезками. Мы маркируем отрезки линии по их начальной и конечной точке. Итак, отрезок AB имеет начальную точку A и конечную точку B .

Если линия имеет начало, но не имеет конца, мы называем ее лучом . Мы помечаем лучи их начальной точкой и другой точкой на луче.Итак, луч FE имеет начальную точку F и другую точку E на луче.

Углы

Если вы возьмете точку и нарисуете два луча, выходящих из этой точки, вы получите угол , т.е. насколько далеко друг от друга находятся два луча. Представьте, что земля, на которой вы стоите, является одним из лучей нашего угла. Вы видите кота, застрявшего в дереве. Если вы нарисуете еще один луч от того места, где стоите, к кошке на дереве, вы получите угол между двумя лучами.Этот угол показывает, как далеко нужно смотреть. Чем больше угол, тем выше нужно смотреть.

Углы измеряются в градусах. Когда направления ваших лучей противоположны друг другу, вы получаете прямую линию размером 180 градусов. Угол в 180 градусов — это как сказать вам смотреть прямо позади себя, а не над собой. Обозначим углы, написав символ внутри угла. Мы можем использовать буквы или другие символы. Тогда мы можем называть угол с b внутри, например, углом b .

Прямые углы

Если наш угол составляет ровно половину прямой линии, то у нас есть частный случай прямого угла , который составляет 90 градусов. Взгляните на лист бумаги, и вы увидите, что каждый угол листа бумаги представляет собой прямой угол.

Резюме урока

Теперь, когда мы рассмотрели некоторые основные термины геометрии, давайте сделаем обзор.

• Точка — это местоположение. Мы обозначаем его заглавной буквой, например A , или координатами, например (3, 1).
• Линия представляет собой прямую полосу, которая продолжается в обоих направлениях. Мы маркируем линии, отмечая две точки на линии и вызывая линию по этим двум точкам. Например, линия с точками D и E называется линией DE .
• Линейный сегмент — это линия, имеющая две конечные точки. Мы идентифицируем отрезок линии по его двум конечным точкам. Итак, отрезок AB имеет конечные точки точки A и точки B .
• Луч — это линия с одной начальной точкой. Луч идентифицируется по его начальной точке и другой точке на луче. Итак, луч HK имеет начальную точку H и другую точку K на луче.
• Угол — это расстояние между двумя лучами, когда они имеют общую точку. Мы обозначаем углы буквами или символами. Итак, угол x — это угол, обозначенный как x внутри него.
• Прямой угол — это угол размером 90 градусов.

Результат обучения

После просмотра этого видеоурока вы должны уметь описать шесть основных геометрических терминов: точка, линия, отрезок линии, луч, угол и прямой угол.

Симметрия

точек: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Точечная симметрия и отражение

Обычно существует неправильное представление о симметрии и отражении.Разница в связи. Вы как будто подключены к образу. Если вы стоите на расстоянии трех футов от зеркала, вы и ваше изображение — отдельные сущности. Однако при точечной симметрии объект находится не вдали от изображения, а на изображении.

Обратите внимание, что мы не разделили X или S; все, что мы сделали, это добавили точку, чтобы показать, что эти буквы имеют точечную симметрию. В алфавите есть еще несколько прописных букв, обладающих точечной симметрией; попробуй их открыть.Просто убедитесь, что они удовлетворяют всем критериям, о которых мы говорили ранее.

Примеры точечной симметрии

Мы уже исследовали буквы S и X. Итак, давайте рассмотрим другой пример.

Как видите, песочные часы обладают точечной симметрией.

Буква Q не имеет точечной симметрии. Хотя эта буква выглядит как круг и может показаться симметричной, это не из-за удлиненной линии или хвоста на Q, который будет только в одном углу.Обе половинки не будут одинаковыми.

Другой известный пример объекта с точечной симметрией — квадрат. Некоторые карты в обычной колоде также обладают точечной симметрией. Вы можете попробовать наблюдать в своем доме за предметами, имеющими точечную симметрию, например потолочным вентилятором или даже необычной посудой. Многие цветы в природе также обладают точечной симметрией.

Резюме урока

Объект или фигура имеет точечной симметрии , если путем вставки точки на объекте или фигуре формируются две похожие формы, но они обращены в разные стороны.Это как если бы вы разделяли объект пополам, чтобы обе стороны были одинаковыми, но смотрели в разном направлении. Каждая соответствующая точка на каждой фигуре находится на одинаковом расстоянии от центральной точки. В точечной симметрии должна быть центральная точка, соединяющая формы.

Обзор основных форм

Имя	Описание	Пример
Точка	Одно местоположение. Обычно изображается в виде точки. Он «безразмерен». Обозначено как Point P. Вы использовали их при игре «Соедините точки».
Линия	Прямой путь, проходящий как минимум через две точки. Продолжается в обоих направлениях навсегда. Обозначено как Думайте об этом как о шоссе, которое никогда не заканчивается.
Сегмент строки	Часть строки. Имеет ограничения на каждом конце. Обозначается как Когда вы записываете длину конца строки следующим образом: CD = length Вы рисовали их с полутора лет!
Ray	Прямой путь с одной конечной точкой и неограниченно продолжающийся в другом направлении. Обозначено как (Убедитесь, что вы начинаете с конечной точки и простираетесь дальше другой точки.) Представьте солнце как конечную точку и его лучи, бесконечно уходящие в космос.
Плоскость	Плоская поверхность без границ. Обозначается тремя нелинейными точками на плоскости, Плоскость GHI. Это как лист бумаги, который тянется во все стороны вечно.
Параллельные линии	Линии, лежащие в одной плоскости и никогда не пересекающиеся. Обозначается как Посмотрите на лист линованной бумаги.Все горизонтальные линии параллельны друг другу.
Перпендикулярные линии	Линии, пересекающиеся под углом 90 °. Обозначается как На той же линованной бумаге вертикальные линии полей перпендикулярны горизонтальным линиям, на которых вы пишете.

Геометрия: точки, линии, плоскости

Точки, линии и плоскости

Геометрия происходит от двух греческих слов: geos, что означает земля, и metron, что означает меру.Это раздел математики который имеет дело с измерениями формы, размеров, взаимного расположения фигур и пространственных свойств. Есть три основных концепции геометрии, которые принимаются без какого-либо четкого определения: точка , линия и плоскость .

---

Запоминание терминов

По часовой стрелке	— движение, которое происходит в том же направлении, что и стрелка часов: сверху направо, затем вниз и затем влево.
Против часовой стрелки	— движение, которое происходит в обратном направлении, как стрелки часов: сверху налево, затем вниз и затем вправо.
Размер	— мера степени или величины, такая как длина, ширина и высота.
Неколлинеарная	— не лежит на одной линии.
Прямой	— прямой, не криволинейный и без изгиба.

---

Точка

Точка относится к местоположению или положению. У него нет размеров, поскольку у него нет длины, ширины или высоты. Точки используются для определения положения определенного объекта от стандартной произвольной точки. Точка обычно обозначается заглавной буквой. На рисунке 1 показаны три точки, обозначенные как A, B и C.

---

Пример 1:

G

Пояснение:

Крайняя левая точка помечена буквой G.

Пример 2:

S

Пояснение:

Точка, помеченная буквой S, является ближайшей к точке с меткой R.

Линия

Линия , линия — это набор всех точек, которые непрерывно проходят в любом из ее направлений. Это бесконечно, прямые и одномерные. Линию можно определить, назвав две точки, лежащие на ней, и проведя линию () над буквами. которые указывают название каждой точки.Его также можно назвать одной строчной буквой. На рисунке 2 показаны две линии, обозначенные как (FG) и m.

Пример 3:

(CP) или (ПК)

Пояснение:

Точки C и P лежат на лжи, поэтому их метки можно использовать в качестве названия линии. Поскольку расположение букв значительное, это может быть CP или PC. Затем поместите знак линии () над буквами.

Пример 4:

7

Пояснение:

Используя точки, которые лежат на ней, линию можно обозначить как (XY), (YX), (XZ), (ZX), (YZ) и (ZY).

Строку можно также назвать строчной буквой t.

Следовательно, строку в приведенном выше примере можно назвать 7 способами.

Пример 5:

7

Пояснение:

Нарисуйте две точки и обозначьте их буквами U и V.

Соедините две точки прямо друг с другом и продлите линию.

Нарисуйте стрелки на обоих концах линии.

Самолет

Плоскость представляет собой плоскую поверхность, имеющую два неограниченно простирающихся размера. Он имеет длину и ширину. Его можно идентифицировать, определив три неколлинеарные точки. Он помечен в соответствии с буквами, которые используются для обозначения точек и способ должен быть либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. На рисунке 3 показаны две плоскости JKL и MNOP.

Пример 6:

Самолет PLN, PNL, LPN, LNP, NLP или NPL

Пояснение:

Считайте P, L и N точками, лежащими на плоскости.

Используйте их метки как название самолета.

В направлении по часовой стрелке плоскость может называться PNL, NLP или LPN.

В направлении против часовой стрелки плоскость может называться PLN, LNP или NPL.

Пример 7:

8

Пояснение:

Считайте N, A, M и E точками, лежащими на плоскости.

Используйте их метки как название самолета.

По часовой стрелке плоскость может называться ИМЯ, АМЕНЬ, МЕНА или ЭНАМ.

В направлении против часовой стрелки плоскость может называться NEMA, EMAN, MANE или ANEM.

Следовательно, самолет можно маркировать 8 способами.

Пример 8:

Пояснение:

Нарисуйте четыре точки и обозначьте их буквами S, T, A и R.

Соедините точки S и T прямо друг на друга.

Соедините точки T и A прямо друг на друга.

Подключите точки A и R прямо друг к другу.

Соедините точки R и S прямо друг на друга.

типов форм

Существует несколько типов фигур, и ряд свойств и методов являются общими для всех. эти типы.Каждая форма сообщает о своем типе, системе пространственной привязки, к которой он принадлежит, и минимальный ограничивающий прямоугольник, который он занимает в координатном пространстве. Кроме того, формы может быть определен как nil, чтобы содержать пустую или NULL геометрию. Формы также могут иметь несколько частей для хранения коллекций однородной геометрии. Например, фигура может содержать несколько несвязанных линий, которые представляют прерывистый ручей.

---

Точка — это фигура размером 0, занимающая одну местоположение в координатном пространстве.Точка имеет единственное значение координаты x, y. Дело всегда просто. Точки имеют нулевую границу и часто используются для определения функций. такие как нефтяные скважины, ориентиры и возвышения.

Многоточечный узел представляет собой набор точек и, как и его элементы, имеет размерность 0. Многоточечный объект — это простой, если ни один из его элементов не занимает одно и то же координатное пространство. Граница многоточечного соединения — NULL. Множественные точки определяют схемы воздушного вещания и инциденты вспышка заболевания.

Функции, которые работают только с точечным типом данных, включают:

x — возвращает точечный тип данных. значение координаты x как число двойной точности
y — возвращает точечный тип данных значение координаты y как число двойной точности
z — возвращает точечный тип данных Значение координаты z как число двойной точности
m — возвращает точечный тип данных Значение координаты m как число двойной точности

Linestring / Multilinestring

А Линия — это форма, размер которой равен 1. Она называется простой линией или линией, если она не пересекает себя. Концы (граница) замкнутая линия занимает ту же точку в пространстве. Линия — это кольцо, если она одновременно замкнута и проста. Как и другие свойства, унаследованные от геометрия суперкласса, линейные линии имеют длину. Линии часто используются для определения линейных объектов, таких как дороги, реки и линии электропередач.

Конечные точки обычно образуют границу линии, если она не замкнута, и в этом случае граница НУЛЯ.Внутренняя часть линейки связана путь, который лежит между конечными точками, если он не замкнут, и в этом случае внутренняя часть является непрерывной.

A Multinestring — это набор линий. Многострочные линии являются простыми, если они пересекаются только в конечных точках элементов линейных линий. Многострочные линии непросты, если внутренняя часть элементы линии пересекаются.
Граница многополосной линии — это непересекающиеся конечные точки элементов линии.Многострочная строка закрывается, если все ее элементы стропы закрыты. Граница мультистроки равна NULL, если все конечные точки всех элементов пересекаются. В дополнение к другим свойствам, унаследованным от геометрии суперкласса, многострочные строки имеют длину. Multilinestrings используются для определения потоков или дорожных сетей.

Функции, которые работают со строками, включают:

начальная точка — берет строку и возвращает ее первую точку
конечную точку — берет строку и возвращает ее последнюю точку
pointn — принимает строку и индекс для n-й точки и возвращает эту точку
length — берет строку и возвращает ее длину в виде числа с двойной точностью
numpoints — берет строку и возвращает количество точек в ее последовательности в виде целого числа
isring — берет строку и возвращает t (ИСТИНА), если линия является кольцом, и f (ЛОЖЬ), в противном случае
закрывается — принимает строку и возвращает t (ИСТИНА), если линия линии замкнута, и f (ЛОЖЬ) в противном случае

А Многоугольник представляет собой двумерную поверхность, хранящуюся как последовательность точек, определяющих ее внешнее ограничивающее кольцо и 0 или более внутренних колец. Полигоны по определению всегда просто. Чаще всего они определяют земельные участки, водоемы и другие объекты, имеющие пространственную протяженность.

Внешнее и любые внутренние кольца определяют границу многоугольника, а пространство, заключенное между кольцами, определяет внутреннюю часть многоугольника. Кольца многоугольника могут пересекаются в точке касания, но никогда не пересекаются. В дополнение к другим свойствам, унаследованным от геометрии суперкласса, многоугольники имеют площадь.

Функции, которые работают с многоугольниками, включают:

area — принимает многоугольник и возвращает его площадь в виде числа с двойной точностью
externalring — принимает многоугольник и возвращает его внешнее кольцо в виде строки
numinteriorring — принимает многоугольник и возвращает количество внутренних колец, которые он содержит.
внутреннее кольцо — принимает многоугольник и индекс и возвращает n-е внутреннее кольцо как линейную линию
центроид — принимает многоугольник и возвращает точку, которая является центром конверт многоугольника.