Трапеция, виды, элементы, свойства

Трапеция, виды, элементы, свойства.

 

 

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

 

Трапеция (понятие, определение)

Виды трапеций

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота

Свойства трапеции

 

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

 

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

 

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция 

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется

высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

,

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

 

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2 

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. 

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2 

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна  180° . 

Рис. 9. Трапеция 

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

 Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2 

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC 

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция 

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции.  k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k².

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d₁и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂²

= 2ab + c ² + d ²     ,

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

,

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S₁ и S₂ – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S₁ – площадь трапеции MBCN,

S₂ – площадь трапеции AMND

 

Квадрат

Овал

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Шестиугольник

 

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

 

карта сайта

 

Коэффициент востребованности 9

Трапеция — Формулы | Свойства

Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.

Виды трапеции

1. Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
2. Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
3. Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
3. Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
4. Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

$$ S = {AB + DC \over 2} * AG $$

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

$$ S = FE * AG $$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$ S = {AC * BD \over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD \over 2} * sin(∠AOB) $$

Площадь трапеции через четыре стороны

$$ S = {DC + AB \over 2} * \sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 \over 2 * (DC — AB)})^2} $$

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

$$ S = {DC + AB \over 2} * \sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 \over 4}} $$

Площадь трапеции через стороны и угол

$$ S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC)) $$ $$ S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC)) $$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$ S = {AC^2 \over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 \over 2} * sin(∠BOC) $$

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$ S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB) $$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

$$ S = {4 * R_В^2 \over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 \over sin(∠DAB)} $$ $$ S = {AB * DC \over sin(∠ADC)} = {AB * DC \over sin(∠DAB)} $$

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$ AB = 2 * FE — DC $$ $$ DC = 2 * FE — AB $$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = {AC * BD \over AG} * sin(∠AOD) — AB $$ $$ AB = {AC * BD \over AG} * sin(∠AOD) — DC $$

Длины сторон

$$ DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD) $$ $$ AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD) $$ $$ AD = {AG \over sin(∠ADC)} $$ $$ BC = {AG \over sin(∠BCD)} $$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длины сторон

$$ AD = {AG \over sin(∠ADC)} $$ $$ AD = (DC — AB \over 2 * cos(∠ADC)) $$ $$ DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC) $$ $$ AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC) $$ $$ DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC) $$ $$ AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC) $$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

$$ DC = {AC^2 — DA^2 \over AB} $$ $$ AB = {AC^2 — DA^2 \over DC} $$

Длина боковой стороны через диагональ и основания

$$ AD = \sqrt{AC^2 — AB * DC} $$

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = {AC^2 \over AG} * sin(∠AOD) — AB $$ $$ AB = {AC^2 \over AG} * sin(∠AOD) — DC $$

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

$$ DC = {2 * S \over AG} — AB $$ $$ AB = {2 * S \over AG} — DC $$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

$$ AD = {S \over FE * sin(∠ADC)} = {S \over FE * sin(∠DAB)} $$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

$$ AD = {2 * S \over (AB + DC) * sin(∠ADC)} $$ $$ AD = {2 * S \over (AB + DC) * sin(∠DAB)} $$

Формулы сторон прямоугольной трапеции

Длины оснований

$$ DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD) $$ $$ AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD) $$ $$ DC = AB + \sqrt{BC^2 — AD^2} $$ $$ AB = DC — \sqrt{BC^2 — AD^2} $$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = {AC * BD \over AD} * sin(∠AOD) — AB $$ $$ AB = {AC * BD \over AD} * sin(∠AOD) — DC $$

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG) $$ DC = {2 * S \over AD} — AB $$ $$ AB = {2 * S \over AD} — DC $$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

$$ BD = \sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) \over DC — AB}} $$ $$ AC = \sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) \over DC — AB}} $$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$ BD = \sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)} $$ $$ AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)} $$

Длина диагоналей через высоту

$$ BD = \sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2} $$ $$ BD = \sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2} $$ $$ BD = \sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * \sqrt{BC^2 — AG^2}} $$ $$ AC = \sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2} $$ $$ AC = \sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2} $$ $$ AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * \sqrt{AD^2 — AG^2}} $$

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

$$ BD = \sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2} $$ $$ AC = \sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2} $$

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

$$ BD = {AG * (DC + AB) \over AC * sin(∠AOD)} $$ $$ AC = {AG * (DC + AB) \over BD * sin(∠AOD)} $$ $$ sin(∠AOD) = sin(∠AOB) $$

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

$$ BD = {2 * S \over AC * sin(∠AOD)} $$ $$ AC = {2 * S \over BD * sin(∠AOD)} $$ $$ sin(∠AOD) = sin(∠AOB) $$

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

$$ BD = {2 * FE * AG \over AC * sin(∠AOD)} $$ $$ AC = {2 * FE * AG \over BD * sin(∠AOD)} $$ $$ sin(∠AOD) = sin(∠AOB) $$

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

$$ AC = \sqrt{AD^2 + AB * DC} $$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$ AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)} $$ $$ AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)} $$ $$ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)} $$ $$ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)} $$

Длина диагоналей

$$ AC = \sqrt{AG^2 + FE^2} $$ $$ AC = \sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 \over 4 }} $$ $$ AC = \sqrt{{AG * (AB + DC) \over sin(∠AOD)}} = \sqrt{{2 * S \over sin(∠AOD)}} = \sqrt{{2 * FE * AG \over sin(∠AOD)}} $$

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

$$ AC = \sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2} $$ $$ AC = \sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2} $$

Длина диагоналей через сторону и высоту

$$ AC = \sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * \sqrt{AD^2 — AG^2}} $$

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

$$ BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} $$ $$ AC = \sqrt{AC^2 + DC^2} $$

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

$$ FE = {DC + AB \over2} $$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$ FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) \over 2} $$ $$ FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) \over 2} $$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$ FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOD) $$ $$ FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOB) $$

Длина средней линии через площадь и высоту

$$ FE = {S \over AG} $$

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

$$ FE = {DC + AB \over2} $$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$ FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC) $$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

$$ FE = DC — \sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + \sqrt{AD^2 — AG^2} $$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$ FE = {AC^2 \over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 \over 2 * AG} * sin(∠AOB) $$

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

$$ FE = {S \over AD * sin(∠ADC)} $$

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

$$ FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) \over 2} $$ $$ FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) \over 2} $$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

$$ FE = DC — BC * {cos(∠BCD) \over 2} $$ $$ FE = AB + BC * {cos(∠BCD) \over 2} $$

Длина средней линии через основания и боковые стороны

$$ FE = DC — {\sqrt{BC^2 — AD^2} \over 2} $$ $$ FE = AB + {\sqrt{BC^2 — AD^2} \over 2} $$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$ FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOD) $$ $$ FE = {AC * BD \over 2 * AG} * sin(∠AOB) $$

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

$$ AG = \sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 \over 2 * (DC — AB)})^2} $$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$ AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD) $$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$ AG = {AC * BD \over AB + DC} * sin(∠AOD) $$ $$ AG = {AC * BD \over AB + DC} * sin(∠AOB) $$

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

$$ AG = {AC * BD \over 2 * FE} * sin(∠AOD) $$ $$ AG = {AC * BD \over 2 * FE} * sin(∠AOB) $$

Длина высоты через площадь и основания

$$ AG = {2 * S \over AB + DC} $$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$ AG = {S \over FE} $$

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

$$ AG = \sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 \over 4}} $$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$ AG = AD * sin(∠ADC) $$

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

$$ AG = {DC — AB \over 2} * tg(∠ADC) $$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$ AG = {AC^2 \over AB + DC} * sin(∠AOD) $$ $$ AG = {AC^2 \over AB + DC} * sin(∠AOB) $$

Длина высоты через площадь и основания

$$ AG = {2 * S \over AB + DC} $$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$ AG = {S \over FE} $$

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

$$ BC = \sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2} $$

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

$$ BC = {DC — AB \over cos(∠BCD)} $$

Сторона BC через Сторону AD

$$ BC = {AD \over sin(∠BCD)} $$

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

$$ BC = {S \over FE * sin(∠BCD)} $$

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

$$ BC = {2 * S \over (AB + DC) * sin(∠BCD)} $$

Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер  и ), и более интересные.

. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

 

 

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины .

Ответ: .

. Основания трапеции равны  и , боковая сторона, равная , образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы и  — односторонние, значит, их сумма равна , и тогда угол равен . Из треугольника найдем высоту . Катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что и площадь трапеции равна .

. Основания трапеции равны  и . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, и , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника  находим: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

. Основания трапеции равны  и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем  — среднюю линию трапеции, . Легко доказать, что отрезок , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки  и , являющиеся средними линиями треугольников и , а затем отрезок . Он равен .

. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного , отсекает треугольник, периметр которого равен . Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.

Ответ: .

Проектная работа Геометрическая фигура трапеция

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя школа №8

«Геометрическая фигура трапеция»

Работу выполнили ученицы

11 класса МАОУ СШ №8
Соловьёва Арина и Степанова Алина

Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна,
Коптелова Татьяна Анатольевна
МАОУ СШ №8

с.п. Новосмолинский
2018

Оглавление

Введение………………………………………………………………………2

Происхождение слова «трапеция»………………………………………..3

Трапеция, в повседневной жизни…………………………………………4

Элементы трапеций…………………………………………………………5

Виды трапеций……………………………………………………………….6

Основные свойства трапеции……………………………………………..7-8

Свойства трапеции вписанной в окружность……………………………8

Свойства трапеции описанной вокруг окружности……………………9-10

Нахождение площади и периметра трапеции.…………………………10-11

Решение задач………………………………………………………………12-16

Заключение…………………………………………………………………..17

Литература…………………………………………………………………..18

Введение

В школьном курсе геометрии, в частности по учебнику Геометрия 7-9 авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кодомцева и др.,понятие трапеции вводится как четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Вводятся понятия равнобедренного и прямоугольных трапеций (п.44, §1, Гл.5 учебника). Свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции рассматриваются лишь в задачах №388, 389. Вводится понятие средней линии трапеции и ее свойство (п.85, §3, Гл. 9). Формула площади трапеции изучается в п.53 §2 Гл.6. В материалах же различных контрольных работ и экзаменов( ГИА и ЕГЭ) очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует знания основных ее свойств ,а также тех, которые в школьном курсе или не рассматриваются совсем, или встречаются лишь при решении задач.

Цель работы: систематизировать все сведения о трапеции.

Наши задачи:

Увидеть применение трапеции в повседневной жизни.

Повторить весь материал по геометрии за 8-9 класс.

Показать применение материала при решении задач ГИА и ЕГЭ.

Выполнить анализ полученных результатов.

Актуальность данной темы определяется необходимостью знать все основные свойства трапеции, уметь решать геометрические задачи при сдаче ГИА, вступительных экзаменов в высшие учебные заведения. Большинство таких задач не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае.

Проблеманашего проекта заключается в том, что большинство школьников либо не владеют материалом на тему «Трапеция», либо знают его отрывками, либо не могут применить при решении задач на ГИА.

Гипотеза:Трапеция обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если овладеть ими и рассмотреть их на примере задач, то при решении подобных задач на ГИА, вы сможете гарантировать себе дополнительные баллы.

Теоретическая часть.

Происхождение слова трапеция

Трапеция – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две не параллельны

Трапе́ция. Не знаю, как вас, а меня радуют внезапно открываемые этимологией связи между совсем далекими друг от друга словами. Что общего между «трапеция», «трапеза» (еда) и именем турецкого города Трапезунд? А оно есть.

По-гречески «trapedza» значило «стол», «trapezion» — «столик». Из второго слова создалось наше «трапеция» — известная математическая фигура с двумя равными и двумя параллельными сторонами: именно такой формы столы бывали в Греции.

Первое слово — по тем столам, за которыми вкушали пищу монахи византийских монастырей, — начало обозначать и самый этот процесс, еду, — «трапезу»; говорим же мы: «хороший стол», «плохой стол» о еде в каком-нибудь пансионате или доме отдыха. Вы, конечно, сами сообразили, почему «трапецией» называется определенный гимнастический снаряд: конечно, за «трапецеидальную» форму.

А Трапезунд? Над этим приморским городом высится гора, принадлежащая к типу «столовых». Основателями Трапезунда были греки; они и дали ему такое имя: «Город столовой горы».

Происхождение слова трапеция в этимологическом Успенского Л. В.:

Трапе́ция Через нов.-в.-н. Тrареzium — то же из ср.-лат. Trapezium, греч. Τραπέζιον, буквально «столик» (см. Хайзе; Даль 4, 823).

Происхождение слова трапеция в этимологическом Фасмера М.:

ТРАПЕЦИЯ. Заимств. В XVIII в. Из лат. Яз., где trapezium < греч. Trapezion, уменьшит.-ласкат. Суф. Производного от trapeza «стол». Трапеция буквально — «столик». Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом.

Трапеция, в повседневной жизни

Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.

Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.

Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции – это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.

Элементы трапеции

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Сейчас нам необходимо разобраться какой бывает трапеция.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.

Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.

 Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Основные свойства трапеции

Свойства трапеции… Какие они и что же мы должны знать о них?

Первое свойство:

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(на рисунке ∠1+∠2=180˚ и ∠3+∠4=180˚)

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что ∠1 и∠2 — внутренние односторонние углы при параллельных AD и BC и секущей AB.Поэтому ∠1+∠2=180˚, ∠1+∠2=180​˚. И точно так же ∠3 и ∠4– внутренние односторонние углы при тех же параллельных AD и BC, но секущая теперь – CD.

Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Второе свойство:

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

Опять AD и BC– параллельные, а диагональ AC– секущая.

Поэтому ∠1=∠2 (накрест лежащие) и треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Третье свойство:

Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований, т.е. m=

​​Четвертое свойство:

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точкилежат на одной прямой:
1) E– точка пересечения продолжений боковых сторон;
2) F и H– середины оснований;
3) G– точка пересечения диагоналей.

Свойства трапеции вписанной в окружность

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

  

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.{\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}}

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

1)2)3)

Свойства трапеции, описанной вокруг окружности

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

 

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

  

  

и точка O лежит на средней линии трапеции.

4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

AK=AP,

BK=BF,

CF=CN,

DN=DP (как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

5.

  

  

  

  

Нахождение площади и периметра трапеции

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABC = AD · BH / 2, S_BCD = BC · DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC · BH / 2.
Такимобразом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Теорема доказана.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.

Если трапеция равнобедренная, то S = 4r² / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.

,
где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Периметр трапеции

Итак, подошло время, чтобы узнать формулы нахождения периметра трапеции.

Формула периметра произвольной трапеции ABCD (рис. 1), в которой AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, имеет вид:

В случае, если трапеция ABCD – равнобокая (рис. 2), то есть AB=CD=a, BC=b, AD=c, формула для периметра трапеции примет вид:

Решение задач с применением материала

Пример 1Даны стороны – a = 2 см, b = 4 см, c = 8 см, d = 7 см. Как найти площадь трапеции?

Решение:

Пример 2. Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4.

Решение.

Через вершину С меньшего основания ВС трапецииАВСD (ВС =13, AD =18, АВ = 4, CD = 3) проведём прямую, параллель­ную боковой стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке К. Тогда СК=АВ=4,

DК=АD -АК=АD-BC=18-13=5, CD=3.

ТреугольникKCD прямоугольный, так как KD²=CD²+CK². Его высота, опущенная на гипотенузу, равна .

Следовательно,S_ABCD=

Ответ: 37,2

Пример 3.Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 7 и 8, а основания — З и 6.

Решение.

Через вершину С меньшего основания ВС трапеции АВСD (ВС = 3, AD = 6, BD =8, АС = 7) проведём прямую, параллельную диагонали BD, до

пересечения с прямой АD в точке К. Стороны треугольника АСК равны:

АC= 7, СК=ВD=8,АК= AD + DК = AD + ВС = 6+ 3= 9. По формуле Герона

S_ACK=

а так как треугольники СDК и АВС равновелики, получаем

S_ABCD=S_ACK=12

Ответ: 12

Пример 4. Трапеция ABCD с основаниями АD и ВС (AD > ВС) вписана в окружность с центром О. Известно, что sin LAOB = 5

а средняя линия трапеции равна а. Найдите высоту трапеции.

Решение. Трапеция ABCD вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Обозначим LAOB = α. ПосколькуАОВ — централь­ный угол окружности, а ADB — вписанный,

LADB= = .

ПустьВН — высота трапеции. Тогда DH=т. е. катет DHпрямоугольного треугольника BHD равен средней линии трапеции. Следовательно, ВН = DH tg .

По условию задачи sin α = , поэтому

cosα== =

или

cosα== = —

Тогда

tg

или

tg

Следовательно,BD=αtg .

Ответ: или.

Пример 5. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные —17 и 25.

Решение.

Через вершину С меньшего основания ВС трапецииАВСD проведём прямую, параллель­ную боковой стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке К.

В треугольнике СКD:

KD=44-16=28,p=

По формуле Герона

S_CKD== 210

C другой стороны, S_CKD=

Отсюда 210=14h,

h=15

S_ABCD=

Ответ: 450.

Пример 6. В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

Треугольник АОD – равнобедренный и прямоугольный.

Пусть АО=ОD=x, тогда по теореме Пифагора

х²+х²=40²

х=20 .

ОР – медиана треугольника АОD

По формуле медианы ОР=

Подставляя в формулу АО=ОD=20 ,AD=40. Получим, ОР=20

Треугольник ВОС – равнобедренный и прямоугольный.

Пусть ВО=ОС=у, тогда по теореме Пифагора

у²+у²=24²

у=12 .

ОК – медиана треугольника ВОС

По формуле медианы ОК=

Подставляя в формулу ВО=ОС=12 , ВС=24. Получим, ОК=12

КР=РО+ОК=20+12=32

S_ABCD=

S_ABCD=

Ответ: 1024

Заключение

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») одна из важнейших геометрических фигур, часто используемых в производстве предметов быта, в строительстве, дизайне одежды и т.д. Поэтому столь скромное место, отведенное в школьном курсе геометрии, можно считать несправедливым. Трапеция, ее свойства заслуживают более подробного изучения не только ради успешной сдачи контрольных работ, экзаменов и т.д., но и в знак уважения геометрической фигуры, которая столь часто используется в различных областях своей деятельности современным человеком.

Список литературы:

-Геометрия,7-9: учебн. для общеобразоват. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2008г.

-Геометрия, 10-11 : учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и проф. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-17-е изд.-М. : Просвещение, 2008.-255 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019245-3. –

https://egemaximum.ru/trapeciya-svojstva-trapecii/

Трапеция — это… Что такое Трапеция?

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Связанные определения

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция Равнобедренная трапеция

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
• В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
• Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
• Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если и  — основания и  — высота, формула площади:

• В случае, если  — средняя линия и  — высота, формула площади:

ɴʙ Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

• Формула, где ,  — основания, и  — боковые стороны трапеции:

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :

• В частности, если угол при основании равен 30°, то:

.

См. также

Примечания

Криволинейная трапеция — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Криволинейная трапеция

Криволине́йная трапе́ция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми x=a{\displaystyle x=a} и x=b{\displaystyle x=b}.

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.

∫abf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}

Или

limn→∞∑i=1nf(xi)dx{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum \limits _{i=1}^{n}f(x_{i})\,dx}

Это значит, что площадь криволинейной трапеции можно найти по сумме значений функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)} взятые через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от a{\displaystyle a} до b{\displaystyle b}

Можно сказать, что мы разбили криволинейную трапецию на бесконечное число прямоугольников, длина каждого из которых равна ординате функции f(x){\displaystyle f\left(x\right)} через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от a{\displaystyle a} до b{\displaystyle b}, а ширина — бесконечно малому значению х, нашли их площади произведением длины на ширину и сложили. Предел суммы их площадей равен площади криволинейной трапеции.

Трапеция — это… Что такое Трапеция?

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Связанные определения

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция Равнобедренная трапеция

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
• В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
• Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
• Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если и  — основания и  — высота, формула площади:

• В случае, если  — средняя линия и  — высота, формула площади:

ɴʙ Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

• Формула, где ,  — основания, и  — боковые стороны трапеции:

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :

• В частности, если угол при основании равен 30°, то:

.

См. также

Примечания