План-конспект на тему «Метод математической индукции»

09.09.16г.

Тема: Метод математической индукции.

(10 класс)

Цель урока: Рассмотреть суть метода математической  индукции. Научить применять его при доказательстве некоторых утверждений.

Ход урока.

1.Устно

2.Объяснение материала

3.Закрепление материала

4.Домашнее задание

5.Итог урока.

1.Устно

а) Приведите примеры утверждений.

б) Какие виды утверждений вы знаете?

          (общие и частные)

в) Приведите примеры общих утверждений.

г) Приведите примеры частных утверждений.

2.Обьяснение материала

           В математике на основе частных утверждений делают некоторые предположения

О справедливости какого-либо общего утверждения. Переход  от частных утверждений к общим называют индукцией.

          Джузеппе Пеано показал, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно четырех аксиом. Так аксиома 4 у него говорит : Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказывает для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа и, следует, что она верна для всех натуральных чисел.

ПРИМЕР. Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.

  Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений k:

k=1;          1=1=1²;

k=2;        1+3=4=2²;

k=3;        1+3+5=9=3²;

k=4;        1+3+5+7=16=4²;

Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)².

Получим:

1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n²+(2n+1)=(n+1)², ч.т.д.

          Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 2²ⁿ+1.Он показал, что первые пять числе 2²⁰+1=3, 2²¹+1=5,2²²+1=17, 2²³+1=257, 2²⁴+1=65537 – простые и сделая по индукции предположение, что для всех n числа вида 2²ⁿ+1- простые.

Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 2²⁵+1=4294967297=641∙4700417 – составное число.

         Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

         Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств называется методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

          Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

           1)Оно справедливо для n=1;

             2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

3. Закрепление материала.

ПРИМЕР. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:

        1²+3²+5²+…+(2n-1)²=n2n-1(2n+1)3

                            Доказательство:

1. При n=1, 1²

   =12∙1-1(2∙1+1)3=1

      2.Пусть при n=k верно неравенство:

1²+3²+…+(2k-1)²=k2k-12k+13

3.Докажем верность равенству при n=k+1

    1²+3²+…+ (2k-1)²+ (2k+1)²=k2k-1(2k+1)3+(2k+1)²=

= (2k+1)[k2k-1+32k+1]3=2k+12k2-k+6k+33=

= 2k+12k2+5k+33=2k+1k+1(2k+3)3, ч.т.д.

ПРИМЕР. Докажите, что n³— n делится на 3 любых натуральных значениях n.

                             Доказательство:

1.При n=1  1²-1=0 – делится на 3

2. Пусть при n=k   (k³-k) – делится на 3, т.е. k³-k=3m

3. Докажем, что (k+1)³-(k+1) – делится на 3.

    (k+1)³-(k+1)=k³+3k

2+3k+1-k-1=k3- k+3k2+k=3m+3(k+k) делится на 3, т.к. k3-k делится на 3 иk2+k делится на 3, ч.т.д.

4.Домашнее задание.

№1. Методом математической индукции докажите справедливость неравенства:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+n (n+1)(n+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)

№2. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

5.Итог урока.

-В чем же заключается методов математической индукции.

Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• наибольший общий делитель пары чисел;
• признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.

Глоссарий по теме

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.

Дополнительная литература:

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Целое число

Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.

Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.

Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).

Рисунок 1 – числовой луч

Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)

Рисунок 2 – числовой луч

Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).

Рисунок 3 – числовой луч

Делимость. Делитель и частное.

Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.

Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.

Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.

Свойства делимости.

Перечислим некоторые свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы – сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).

9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно простые числа.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.

НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

Делимость суммы и произведения.

Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.

1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.

2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.

3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.

4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.

5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.

6) Пусть число a делится на m, тогда a^k делится на m^k.

Деление с остатком.

Натуральное число n можно представить в виде:

n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)

где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).

Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).

Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.

Алгоритм Евклида.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел

где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

…

ИЛИ (остаток r_k)

…

ИЛИ(остаток r_n)

ИЛИ (остаток 0)

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

Признаки делимости.

Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.

Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:

0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.

Таблица 1 – Признаки делимости

Число n	Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
2	последняя цифра числа a делится на 2
3	сумма всех цифр числа a делится на 3
4	число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
5	число a оканчивается цифрой 0 или 5
7	знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7
8	число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8
9	сумма всех цифр числа a делится на 9
10	число a оканчивается цифрой 0
11	знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
13	знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13
25	число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.

Метод математической индукции для доказательства делимости.

Схема метода:

1. Базис индукции.

Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.

3. Шаг индукции (индукционный переход).

Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.

4. Вывод.

Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача №1

Условие:

Найдите среди чисел пары взаимно простых.

65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26

Решение:

Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.

По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.

По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.

По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.

По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.

Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.

Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.

Получим возможные пары:

(65; 14)

(30; 273) или (30; 1001)

(110; 1001) или (110; 273)

(35; 26)

Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.

Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.

Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.

Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.

Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).

Задача №2.

Условие:

Найдите НОД(2457, 1473).

Решение:

Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.

Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:

2457 = 1 · 1473 + 984

1473 = 1 · 984 + 489

984 = 2 · 489 + 6

489 = 81 · 6 + 3

6 = 3 · 2

Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.

Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.

Задача №3.

Условие:

Определите, делится ли число 17943646 на 7.

Решение:

Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.

Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.

Задача №4.

Условие:

Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.

Решение:

Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.

1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:

+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0

Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.

3. Рассмотрим выражение при n = k +1.

+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4

Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:

+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.

Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:

+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.

4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.

Проект по математике (10 класс) на тему: Метод математической индукции: теоретические аспекты

Д. Е. Чернецов

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

Методическое пособие

Саратов, 2016

---

Для изложения сути метода математической индукции и её доказательства введём некоторые определения, обозначения и понятия из математической логики и теории множеств.

Определение 1. Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Они обозначаются заглавными латинскими буквами.

Определение 2. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Обозначается . Читается как «не А», «неверно, что А».

Определение 3. Конъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Обозначается . Читается как «А и В».

Определение 4. Дизъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Обозначается . Читается как «А или В».

Определение 5. Импликацией высказываний А и В называется новое высказывание, ложное тогда и только тогда, когда А – истинно, а В – ложно. Обозначается . Читается как «из А следует В», «А влечёт за собой В», «из А вытекает В».

Определение 6. Эквиваленцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывания А и В имеют одинаковое истинностное значение. Обозначается АВ. Читается как «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А в том и только в том случае, когда В» [2].

Определение 7. Множество – это совокупность объектов одной природы. Они обозначаются большими латинскими буквами. Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами.

Замечание 1. Высказывание «элемент а принадлежит множеству А» или «а – элемент множества А» символически записывается так:  [3].

Определение 8. Объединением множеств А1, А2, …, Аn называется новое множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих какому-либо из данных множеств А1, А2, …, Аn и обозначаемое .

Определение 9. Пересечением множеств А1, А2, …, Аn называется новое множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно всем данным множествам А1, А2, …, Аn и обозначаемое  [4].

Определение 10. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е.     .

Определение 11. Множество А называется подмножеством множества В (А), если .

Теорема 1. А = В  А    В.

Доказательство. А = В      А    В. Что и требовалось доказать.

Определение 12. Выражение «существует» называется квантором существования, обозначается ∃. Выражение «для всех» или «для любых» называется квантором общности и обозначается ∀.

Определение 13. Множество E ⊂ R называется индуктивным, если                x ∈ E  x + 1 ∈ E.

Определение 14. Наименьшее индуктивное множество, содержащее 1, называется множеством натуральных чисел. Обозначается N.

Теперь, когда введены все необходимые определения, можно приступить к изучению сути метода математической индукции.

Теорема 2. (Принцип математической индукции). Пусть E ⊂ N удовлетворяет условиям: 1) 1 ∈ E; 2) n ∈ E ⇒ n + 1 ∈ E. Тогда E = N.

Доказательство. Из условия следует, что E индуктивно, следовательно, N ⊂ E. Отсюда N = E.

Замечание 2. Принцип математической индукции формулируют часто следующим образом. Пусть некоторое свойство P(x) выполнено для x = 1, и из условия, что P(x) выполнено, следует, что P(x + 1) тоже выполнено. Тогда P(x) справедливо для ∀ x ∈ N [5].

Определение 15. Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом математической индукции.

Замечание 3. Такое доказательство необходимо должно состоять из двух частей, из доказательства двух самостоятельных теорем.

1. Утверждение справедливо для n = 1.
2. Если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1, ∀ k ∈ N.

Если обе теоремы доказаны, то на основании принципа математической индукции утверждение справедливо ∀ n ∈ N [6].

В качестве примера докажем некоторые теоремы элементарной алгебры и комбинаторики.

Теорема 3. Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной со всевозможными их удвоенными произведениями, т. е.   ()2 =  + 2(a1a2 + a1a3 + … + an-1an).                                               (1)

Доказательство. 

1. Для n = 2 данная формула примет вид (a1 + a2)2 = . Данная формула, известная ещё из школьного курса математики седьмого класса, называется квадратом суммы. Именно поэтому она очевидна.
2. Допустим, что для n = k – 1 формула (1) верна, т. е.                    ()2 =  + 2S, где S – сумма всевозможных попарных произведений, составленных из a1, a2, …, ak-1. Докажем, что формула (1) верна для n = k, т. е. ()2 =  + 2S1, где S1 – сумма всевозможных попарных произведений, составленных из a1, a2, …, ak. Несложно заметить, что S1 = S + (a1 + a2 + … + ak-1)ak. Действительно, ()2 = [(a1 + a2 + … + ak-1) + + ak)2 = (a1 + a2 + … + ak-1)2 + 2(a1 + a2 + … + ak-1)ak +  =  + 2S + + + 2(a1 + a2 + … + ak-1)ak =  + 2S1.

Таким образом, доказаны две теоремы, а значит имеет место равенство ()2 =  + 2(a1a2 + a1a3 + … + an-1an). Что и требовалось доказать.

Докажем методом математической индукции теоремы, связанные с вычислениями n-ого члена арифметической и геометрической прогрессий.

Определение 16. Если ∀ по какому-либо правилу f ставится в соответствие , то указанное соответствие называется функцией , заданной на множестве Х.

Определение 17. ∀  функцию вида  называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.

Определение 18. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии [7].

Теорема 4. n-й член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле an = a1 + (n – 1)d, где а1 – первый член прогрессии.

Доказательство.

1. При n = 1 получаем верное тождество: а1 = а1. Следовательно для     n = 1 формула верна.
2. Предположим, что формула верна для n = k, т. е. ak = a1 + (k – 1)d. Теперь пусть n = k + 1. Тогда необходимо доказать, что ak+1 = a1 + kd. Действительно, ak+1 = ak + d = a1 + (k – 1)d + d = a1 + kd. Что и требовалось доказать.

Теорема 5. Сумму n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле Sn =

Доказательство.

1. Пусть n = 1. S1 =  = . Получили верное равенство.
2. Пусть данная формула верна для n = k, т. е. Sk = . Тогда докажем, что Sk+1 = . В самом деле,  =                     =  =  = Sk +  = Sk +  +  = Sk +  +  + d = Sk +  + d = Sk +  = Sk+1. Что и требовалось доказать.

Замечание 4. Пользуясь теоремами 4 и 5, несложно убедиться в том, что Sn =

Определение 19. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и тоже число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии [7].

Теорема 6. n-член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле .

Доказательство.

1. Пусть n = 1. Тогда получаем верное тождество: b1 = b1.
2. Пусть данная формула верна для n = k: . Докажем эту формулу для    n = k + 1, т. е. необходимо доказать, что . Действительно, = bkq =  = . Что и требовалось доказать.

Теорема 7. Сумму n членов геометрической прогрессии можно найти по формуле .

Доказательство.

1. Пусть n = 1. Тогда . Очевидно.
2. Предположим, что формула имеет место для n = k. Тогда докажем, что . В самом деле, =        . Что и требовалось доказать.

Докажем методом математической индукции теоремы, связанные с нахождением числа размещений, перестановок, сочетаний [8].

Определение 20. Размещением из n элементов по k элементам называется упорядоченное подмножество данного n множества, содержащее k элементов. Число всех возможных размещений из n элементов по k элементам обозначается .

Определение 21. Факториал числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т. е. . По договорённости 0! = 1.

Теорема 8. Число всех возможных размещений из n элементов по k элементам можно вычислить по формуле

Доказательство.

Докажем данную теорему индукцией по k.

1. Несложно заметить, что , и тогда формула верна при k = 1.
2. Предположим, что . Нам нужно доказать, что . Действительно, для получения всех размещений из n элементов по m + 1 элементу достаточно взять все размещения из n элементов по m элементам и к каждому из них приписать в конце каждый из оставшихся n – m элементов. Выходит, что .

Замечание 5. Также число всех возможных размещений из n элементов по k элементам можно вычислить по формуле .

Определение 22. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементам. Число всех возможных перестановок из n элементов обозначается Pn.

Теорема 9. Число всех возможных перестановок из n можно вычислить по формуле Pn = n!

Доказательство.

1. Несложно заметить, что P1 = 1, а значит для n = 1 формула верна.
2. Пусть данная формула верна при n = k. Тогда докажем, что              Pk+1 = (k + 1)! Из данных k + 1 элементов a1, a2, …, ak, ak+1 возьмём только первые k элементов и составим из них все возможные перестановки. По предположению индукции таких перестановок будет k! В каждой из этих перестановок поставим элемент ak+1 последовательно перед 1-м элементом, потом перед 2-м элементом, …, перед k-м элементом, после k-ого элемента. Этим путём мы из одной перестановки из k элементов получим k + 1 перестановок из k + 1 элементов. Тогда всего имеем: Pk+1 = k!(k + 1) =  (k + 1)!

Замечание 6. В целом, для доказательства теоремы 9 можно было воспользоваться определением 22: Pn =

Определение 23. Сочетанием из n элементов по k элементам называется подмножество данного n множества, содержащее k элементов. Число всех возможных сочетаний из n элементов по k элементам обозначается .

Теорема 10. Число всех возможных сочетаний из n элементов по k элементам .

Доказательство.

1. Пусть k = 1.  Справедливость формулы, таким образом, доказана.
2. Для продолжения доказательства произведём тождественные преобразования над данной формулой. Пусть формула верна для k = m. Докажем, что данная формула также верная и для k = m + 1. Нам нужно доказать, что . Действительно, .

Замечание 7. На практике для нахождения числа всех возможных сочетаний из n элементов по k элементам удобно пользоваться формулой .

Теорема 11 (Бином Ньютона).

Доказательство.

1. Так как любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно 1, то (a + b)0 = 1 = . Таким образом, формула верна.
2. Пусть . Тогда

 . Что и требовалось доказать.

Урок 39. метод математической индукции — Алгебра — 9 класс

Мы научились находить сумму большого количества чисел, кратных, например, числу 7.
Мы научились находить сумму большого количества слагаемых – степеней числа 2. А чему равна сумма квадратов первых трёхсот натуральных чисел?
За двести с лишним лет до нашей эры великий греческий учёный Архимед вывел формулу: сумма квадратов первых n натуральных чисел равна…
По этой формуле не составит большого труда найти сумму квадратов натуральных чисел от 1 до 300. Выполнив два умножения в столбик, получим 9 миллионов 45 тысяч пятьдесят.
Но как доказать, что эта формула верна для любого натурального числа n?
Проверим, верна ли формула при n равном единице. В левой части одно слагаемое, оно равно единице. В правой части в числителе дроби получаем 6, дробь равна 1.
При n равном единице формула верна.
Теперь предположим, что формула верна при n равном k, и докажем, что она верна при n равном k + 1.
Во-первых, упростим правую часть равенства.
В левой части воспользуемся предположением и заменим сумму первых k слагаемых дробью, потом приведём дроби к общему знаменателю и вынесем в числителе общий множитель k + 1 за скобки.
Выражение в скобках упростим и разложим на множители.
Мы привели обе части формулы для n равного k + 1 к одному и тому же виду, то есть утверждение для n равного k + 1 верно.
Итак, мы доказали, что если формула верна для какого-либо натурального числа k, то она верна и для следующего за ним натурального числа k + 1. Так как формула верна для n равного 1, то она верна и для n равного двум. А так как она верна для n равного двум, то она верна и для следующего натурального числа n равного трём, и так далее до бесконечности.
Применённый метод доказательства называется методом математической индукции.
Он основан на принципе математической индукции:
Утверждение верно при любом натуральном n, если выполняются два условия:
Первое. Утверждение верно при n = 1.
Второе. Из того, что утверждение верно для n = k следует, что оно верно для n = k + 1.
Докажем, что при любом натуральном n число 15ⁿ — 1 кратно 7, то есть делится на 7.
При n равном единице 15ⁿ — 1 равно 14. 14 кратно семи. При n равном единице утверждение верно.
Теперь предположим, что утверждение верно при n равном k, и докажем, что оно верно при n равном k + 1.
Выполним преобразования. В первом слагаемом есть множитель 14, поэтому оно делится на 14. Второе слагаемое делится на 14 по предположению. Поэтому и вся сумма делится на 14, то есть утверждение при n равном k + 1 верно.
Тогда в силу принципа математической индукции утверждение 15^n-1 кратно 7 верно при любом натуральном n.