Треугольник, все про треугольники

Определение треугольника

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Виды треугольников

Треугольники бывают

Треугольник называется

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.

Теоремы треугольников

Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.

Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.

Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Геометрия. Урок 3. Треугольники — ЁП

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠A – угол, образованный сторонами AB и AC и противолежащий стороне BC.

Угол ∠B – угол, образованный сторонами BA и BC и противолежащий стороне AC.

Угол ∠C – угол, образованный сторонами CB и CA и противолежащий стороне AB.

 

Треугольник остроугольный, если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный, если у него один из углов прямой (=90°).

Треугольник тупоугольный, если у него один из углов тупой.

Примеры:

Основные свойства треугольника:

• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Если продолжить одну из сторон треугольника, например, AC, и взять на продолжении стороны точку D, образуется внешний угол ∠BCD к исходному углу ∠ACB.
  
  Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. ∠BCD=180°−∠ACB∠BCD=∠A+∠B
• Неравенство треугольника: любая из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

 

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

• Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
  
  ab=mn
• Биссектрисы пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – центр вписанной в треугольник окружности.

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

 

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  
  
• Три медианы, проведенные в одном треугольнике, разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
  
  S1=S2=S3=S4=S5=S6

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Пример:

 

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

m=a2

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

 

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

• Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  S=12a⋅ha
  
• Полупроизведение двух сторон на синус угла между ними.
  S=12a⋅b⋅sinα
  
• По формуле Герона.
  S=p(p−a)(p−b)(p−c)p=a+b+c2

 

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию совпадают.

 

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S=a234

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h=a32

 

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90°.

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов треугольника равна 90°.
• Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30°.
  a=c2c=2⋅a
• Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  m=c2
• Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике a=m⋅cb=n⋅ch=m⋅n

 

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c2=a2+b2

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

S=12a⋅b

 

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

 

Скачать домашнее задание к уроку 3.

 

epmat.ru

Треугольники. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Определение:  Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

                          

Рис. 1. Треугольник АВС

На данном рисунке изображен треугольник АВС. Обозначение выглядит так: .

Точка С не принадлежит отрезку АВ. Точки А, В, С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС, ВС называются его сторонами. Логично, что треугольник имеет три угла: ∠А, ∠В, ∠С, или ∠ВАС, ∠АВС, ∠ВСА. В геометрии принято, что угол А обозначается греческой буквой α, а сторона, лежащая напротив этого угла, обозначается а, поэтому ∠А = α, ВС = а. Аналогично, ∠В = β, АС = b, ∠С = γ, АВ = c.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Вспомним, какие фигуры называются равными. Фигура F1 и фигура F2 называются равными, если их можно совместить наложением.

 

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ являются равными, так как их можно совместить наложением. Из этого факта следует, что у равных фигур равны их соответствующие элементы. Таким образом, если стороны , то и углы .

Как же доказать равенство треугольников? Первый способ – по определению. Необходимо совместить наложением два треугольника. Если их элементы совпадают, треугольники равны. Однако данный процесс трудоемкий. Второй способ – сравнить части элементов, но с гарантией совмещения всех остальных элементов, то есть разработать признаки равенства.

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите стороны, лежащие против соответствующих вершин.

Решение:

                                         

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

Ответ: сторона DF лежит напротив угла Е, сторона EF лежит напротив угла D, сторона DE лежит напротив угла F.

Пример 2: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите углы, лежащие против соответствующих сторон.

Решение:

                                         

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

Ответ: Угол Е лежит напротив стороны DF, угол D лежит напротив стороны EF, угол F лежит напротив стороны DE.

Пример 3: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Укажите углы, которые прилежат к соответствующим сторонам.

Решение:

                                         

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

Ответ: Углы D и F прилежат к стороне DF, углы Е и F прилежат к стороне EF, углы Е и D прилежат к стороне ED.

Пример 4: Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

                           

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Известно, что периметр (сумма всех сторон треугольника) равен 48 см. Запишем это равенство: , также известно, что сторона a = 18 см, а . Выразим из соотношения периметра сумму .

. Выразим из соотношения разности двух сторон любую сторону:  и подставим в соотношение . Получим и решим уравнение.  Следовательно,

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

Пример 5: Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см. Сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

                            

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Поскольку сторона АС вдвое больше стороны АВ, то АС = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см. Далее найдем сторону ВС, по условию она меньше стороны АС на 10 см, то есть BC = AC – 10 = 34 – 10 = 24 см.

Периметр мы можем найти, сложив длины всех сторон треугольника Р = АС + ВС + АС = 34 + 24 + 17 = 75 см.

Ответ: 75 см.

Пример 6: Отрезок BD = DC. Сравните периметры треугольников АВС и ABD.

Решение:

Рис. 8. Рисунок к примеру 6

Выразим периметры соответствующих треугольников:

 Чтобы сравнить, какой периметр больше, мы воспользуемся стандартным методом в математике – методом вычитания. Вычтем периметры треугольников. Учитываем также, что BD = DC.

Таким образом, мы получили положительное число (длина стороны ВС), поэтому .

Ответ: .

           

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Треугольник (Источник).
2. Треугольник. Справочник (Источник).
3. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1.  Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2.  Вычислите периметр треугольника со сторонами 1 дм, 12 см и 30 мм.

3.  Запишите прилежащие и противолежащие углы к сторонам треугольника КМР.

4.  *Периметр треугольника равен 27 см. Сторона АВ вдвое больше стороны ВС, а сторона АС втрое больше стороны АВ. Найдите длины сторон треугольника.

interneturok.ru

Свойства треугольников, формулы и примеры

Все свойства треугольников

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Сумма углов любого треугольника равна .

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Треугольники бывают остроугольными (если все его углы острые), тупоугольными (если один из его углов тупой), прямоугольными (если один из его углов прямой).

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

   

Подробнее про теорему косинусов по ссылке.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности (обобщенная теорема синусов):

   

Подробнее про теорему синусов по ссылке.

Площадь треугольника можно вычислить по формулам

1. Через высоту и основание

   

2. По двум сторонам и углу между ними

   

3. По формуле Герона

   

где – полупериметр треугольника

4. Через радиусы вписанной и описанной окружностей

   

где – полупериметр треугольника, – радиус вписанной окружности;

   

– радиус описанной окружности.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Все о треугольниках ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС Треугольник

Все о треугольниках ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, последовательно соединенных отрезками

Виды треугольников: l остроугольные l Тупоугольные l прямоугольные

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны А АВ = АС B = В С C

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников: l Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников: l Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников: l Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медиана — А отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной В стороны ВД = ДС, АД – медиана Д С

Биссектриса — отрезок биссектрисы А угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной В стороны ВАК = САК, АК — биссектриса К С

Высота перпендикуляр, В проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную А сторону ВД АС, ВД — высота С Д

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким – нибудь углом этого треугольника Внешний Угол Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним

Прямоугольный треугольник к г и а п о т т е н е у з т к а т е т а

Некоторые свойства прямоугольных треугольников • сумма двух острых углов прямо- угольного треугольника равна 90° • катет 30 о • прямоугольного треуголь ника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

Признаки равенства прямоугольных треугольников • Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны • Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников • если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны • если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Соотношение между сторонами и углами треугольника • В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона • В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета • Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ

Построение треугольника по трем сторонам C • A • • B

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними C A • • • B a

Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам C A B

Докажите, что треугольник АОД равен треугольнику СОВ

Докажите, что треугольник АВД равен треугольнику СДВ

Докажите, что треугольник АВД равен треугольнику СДВ

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

present5.com

Опорный конспект по геометрии № 2 «Треугольники»

Треугольники

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 2 «Треугольники».

---

---

Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Но вот, допустим, у каждого из двух треугольников есть две стороны, которые равны 5 см и 6 см, и какой-то из углов равен 50°. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Оказывается, нет. На рисунке вы видите два треугольника с указанными размерами. Они не равны.

При каких же минимальных условиях треугольники будут равны? Существуют по крайней мере три признака равенства треугольников, когда по равенству некоторых сторон и углов можно абсолютно точно сказать, что они равны. Например, если бы угол 50° был образован сторонами длиной 5 см и 6 см, то треугольники были бы равны между собой.

 

Опорный конспект «Треугольники»

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина напротив этой стороны — вершиной равнобедренного треугольника. Причем названия «основание», «боковые стороны» и «вершина» равнобедренного треугольника сохраняются, как бы треугольник ни был расположен.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• высота треугольника является и медианой;
• высота треугольника является и биссектрисой;
• медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

 

Подробные доказательства теорем

 

Ответы на вопросы по теме «Треугольники»

1. Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

2. Периметром называется сумма длин всех сторон треугольника.

3. Треугольники называются равными, если они совпадают при наложении.

4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны.

5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы ∠A совпал с ∠A₁ Тогда совпадут лучи АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁. Так как отрезок АВ равен отрезку А₁В₁, то точка В совпадет с точкой В₁. Так как отрезок АС равен отрезку А₁С₁, то точка С совпадет с точкой С₁. Но через две точки можно провести единственную прямую. Поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁. Треугольники совпали. Значит, они равны.

6. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы сторона АС совпала со стороной А₁С₁. Так как ∠А равен ∠А₁, то они совпадут при наложении. Так как ∠C равен ∠C₁, то они совпадут при наложении. Тогда совпадут лучи АВ и А₁В₁, СВ и С₁В₁. Совпадут и вершины В и В₁. Треугольники совпали. Значит, они равны.

7. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

8. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

9. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Проведем биссектрису треугольника из вершины к основанию. Из равенства полученных треугольников по двум сторонам и углу между ними следует равенство углов при основании.

10. Если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство. Перевернем треугольник и наложим на данный так, чтобы совпали нижние стороны. При этом совпадут левый и правый углы, так как они равны по условию. Треугольники совпадут. Тогда правая сторона совпадет с левой стороной.

11. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Доказательство. Из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними следует, что углы 1 и 2 равны. Так как эти углы смежные, то каждый из них равен 90°. Поэтому биссектриса является высотой. Из равенства треугольников следует, что равны отрезки основания. Поэтому биссектриса является и медианой.

12. Если в треугольнике высота является и медианой, то он равнобедренный.

Доказательство. Данная высота разбивает треугольник на два треугольника, которые равны по 1-му признаку. Отсюда следует равенство сторон, лежащих против прямых углов в этих треугольниках.

13. Если в треугольнике высота является и биссектрисой, то он равнобедренный.

Доказательство. Данная высота разбивает треугольник на два треугольника, которые равны по 2-му признаку. Отсюда следует равенство сторон, лежащих против прямых углов в этих треугольниках.

14. Если в треугольнике медиана является и биссектрисой, то он — равнобедренный.

Доказательство. Продлим медиану на ее длину. Треугольники с равными вертикальными углами равны по 1-му признаку. Тогда равны их третьи стороны и равны углы 2 и 3. Так как биссектриса делит угол пополам, то ∠l = ∠2, ∠l = ∠3 и левый большой треугольник равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Тогда равны все три стороны, обозначенные стрелками, и данный треугольник — равнобедренный.

15. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

16. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Приложим данные треугольники равными сторонами и соединим их противоположные вершины. Полученные левый и правый треугольники будут равнобедренными и поэтому углы при их основаниях будут равны. Тогда верхний и нижний треугольники равны по 1-му признаку.

17. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

18. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство. Из равенства треугольников по 1-му признаку следует, что данная точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если некоторая точка плоскости равноудалена от концов отрезка, то получим равнобедренный треугольник. Его медиана, проведенная к основанию, будет и высотой. Значит, эта точка будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

19. Геометрическое место точек (ГМТ) — множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством.

20. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около этого треугольника окружности.

Доказательство. Точка пересечения двух серединных перпендикуляров будет равноудалена от концов каждой из этих двух сторон, а значит, и от концов третьей стороны. Поэтому она будет лежать на третьем серединном перпендикуляре.

Если поставить ножку циркуля в точку О, то раствором циркуля радиусом, равным АО, можно провести окружность, которая пройдет через все три вершины треугольника. Такая окружность называется описанной около треугольника.

---

Это конспект по геометрии «Треугольники». Выберите дальнейшие действия:

 

uchitel.pro

Основные факты о треугольниках, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Основные сведения}}}\]

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) включительно.

Угол \(\alpha\) называется острым, если \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), прямым – если \(\alpha=90^\circ\), тупым – если \(90^\circ<\alpha<180^\circ\), и развернутым – если \(\alpha=180^\circ\).

 

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

 

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

 

Теорема

Смежные углы \(\alpha\) и \(\beta\) в сумме дают \(180^\circ\).

Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).

 

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

 

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.  

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

 

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\).

 

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом \(90^\circ\).

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

 

\[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

 

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

 

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

 

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

 

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\) накрест лежащие углы равны: \(\angle 1=\angle 2\), то такие прямые параллельны.

 

2. Если при пересечении двух прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\) сумма односторонних углов \(\angle 1\) и \(\angle 3\) равна \(180^\circ\), то такие прямые параллельны.

 

3. Если при пересечении двух прямых \(a\) и \(b\) секущей \(c\) соответственные углы равны: \(\angle 1=\angle 4\), то такие прямые параллельны.

 

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

 

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).

 

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.  

\[{\Large{\text{Углы треугольника}}}\]

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

 

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

 

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

 

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^\circ\).

 

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник \(ABC\) и покажем, что \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).

Проведём через вершину \(B\) прямую \(a\), параллельную стороне \(AC\).

 

Углы \(1\) и \(4\) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(AC\) секущей \(AB\), а углы \(3\) и \(5\) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей \(BC\). Поэтому \[\begin{aligned} &\angle 4 = \angle 1, \ \angle 5 = \angle 3. \qquad \qquad \qquad (1) \end{aligned}\]

Очевидно, сумма углов \(4, \ 2\) и \(5\) равна развёрнутому углу с вершиной \(B\), то есть \(\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ\). Отсюда, учитывая равенства \((1)\), получаем: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\).

 

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

 

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \(\angle BCD=\angle BAC+\angle ABC\).

 

Доказательство

Рассмотрим рисунок.

 

Угол \(4\) – внешний угол треугольника, смежный с углом \(3\). Так как \(\angle 4 + \angle 3 = 180^\circ\), а по теореме о сумме углов треугольника \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.  

\[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

 

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

 

Доказательство

Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD = \triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана.

 

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а \(AB = BC\), следовательно, \[\begin{aligned} &\angle ADB = \angle CDB, \qquad \qquad \qquad (2) \end{aligned}\] но \(\angle ADB + \angle CDB = \angle ADC\) – развёрнутый, следовательно, \(\angle ADB + \angle CDB = 180^\circ\), откуда при учёте \((2)\): \(\angle ADB = 90^\circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

 

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

 

Доказательство

Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

 

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

 

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.  

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

 

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

 

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.  

\[{\Large{\text{Прямоугольный треугольник}}}\]

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

 

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\).

 

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла \(30^\circ\).

 

shkolkovo.net