Тригонометрические уравнения и формулы – Тригонометрические уравнения и преобразования | ЕГЭ по математике (профильной) — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 19.09.202030.12.2019 by alexxlab

Содержание

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арксинусов

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арккосинусов

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арктангенсов

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арккотангенсов

www.uznateshe.ru

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться в тригонометрическом круге.

Все тригонометрические уравнения, какими они не были – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.

Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

$sin\:x=a,\;cos\:x=a,\;tg\:x=a,\;ctg\:x=a.$

Формулы–алгоритмы будут разбросаны по трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида $cos\:x=a$ . Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 ( $sin\:x=a$ ), часть 3 ( $tg\:x=a$ , $ctg\:x=a$

)

Уравнение вида $\LARGE cos\:x=a$

Решим уравнение $cos\:x=\frac{1}{2}.$

Мы должны подобрать такие значения аргумента , то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы $\frac{1}{2}$ .

Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим $\frac{1}{2}$ :

Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен $\frac{1}{2}$ . Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

На координатной прямой подходящие нам точки располагаются так:

$\frac{1}{2}$

А с графической точки зрения решение уравнения $cos\:x=\frac{1}{2}$

выглядело бы так:

Как все точки взять в ответ?

Нам поможет счетчик . Возьмем $n\in Z$ , то есть $n=...-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;...$

Решением уравнения $cos\:x=\frac{1}{2}$

будет

$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z$

Возьмите, поперебирайте различные значения подставьте в вышеуказанную формулу.

Вы получите как раз точки $\pm\frac{\pi}{3}$ при n=0 ,

$\frac{7\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3}$

при

$\frac{13\pi}{3},\;\frac{11\pi}{3}$ при n=2 и т.д.

То что нам нужно!

Если бы мы решали, например, уравнение $cos\:x=-\frac{\sqrt2}{2}$ , то решением бы было

$cos\:x=-\frac{\sqrt2}{2}$

$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\;n\in Z$ .

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования ответа.

Давайте дадим формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

$cos\:x=a$ , где – из $[-1;\:1]$

(в противном случае, когда – не из $[-1;\;1]$ – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».

$x=\pm arccos\:a +2\pi n, \;n\in Z.$

Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого $cos\:x=0,3$

, то решение будет следующее:

$x=\pm arccos\:0,3+2\pi n,\;n\in Z.$

Частные случаи решения уравнения $cos\:x=a$

1) $cos\:x=0$

Мы должны бы записать так:

$x=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$

Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик $\pi n$ ):

$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z.$

2) $cos\:x=1$

У нас только одна серия корней:

$x=0+2\pi n,n\in Z,$ то есть $x=2\pi n,n\in Z.$

3) $cos\:x=-1$

Аналогично решению примера 2, решение такое: $x=\pi+2\pi n,\;n\in Z.$

egemaximum.ru

Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

educon.by

Решение тригонометрических уравнений. Тест — курсы по математике

Тестирование онлайн

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Арксинус

Если есть выражение sinx=a, то x=arcsina. То есть арксинусом числа а называется такое число x , что его синус равен а.

Ограничения:

Арккосинус

Если есть выражение cosx=a, то x=arccosa. То есть арккосинусом числа а называется такое число x , что его косинус равен а.

Ограничения:

Арктангенс

Если есть выражение tgx=a, то x=arctga. То есть арктангенсом числа а называется такое число x , что его тангенс равен а.

Ограничения:

Арккотангенс

Если есть выражение сtgx=a, то x=arсctga. То есть арккотангенсом числа а называется такое число x , что его котангенс равен а.

Ограничения:

Не табличное значение «аркфункций» можно найти пользуясь калькулятором. Для того, чтобы понять почему у функций именно такие ограничения, необходимо изучить их графики.

Решение уравнения sinx=a

Общее решение уравнения

Частные случаи

Решение уравнения cosx=a

Общее решение уравнения

Частные случаи

Решение уравнения tgx=a, ctgx=a

Общее решение уравнения

Частные случаи для tgx=a

Частные случаи для ctgx=a

fizmat.by