Тригонометрические уравнения и формулы – Тригонометрические уравнения и преобразования | ЕГЭ по математике (профильной)

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

   

Таблица арксинусов

   

   

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

   

Таблица арккосинусов

   

   

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

   

Таблица арктангенсов

   

   

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

   

Таблица арккотангенсов

   

   

 

www.uznateshe.ru

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться  в тригонометрическом круге.

Все тригонометрические уравнения, какими они не были  – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.

Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

sin\:x=a,\;cos\:x=a,\;tg\:x=a,\;ctg\:x=a.

Формулы–алгоритмы  будут  разбросаны  по  трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

е

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида cos\:x=a

. Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (sin\:x=a), часть 3 (tg\:x=a,  ctg\:x=a)

 Уравнение вида \LARGE cos\:x=a

 

Решим уравнение cos\:x=\frac{1}{2}.

Мы должны подобрать такие значения аргумента x, то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы \frac{1}{2}.

Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим \frac{1}{2}:

тригонометрический круг, тригономтерия на круге

Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:

cosx=0.5

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен \frac{1}{2}

. Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

На координатной прямой подходящие нам точки располагаются  так:

\frac{1}{2}

А с графической точки зрения решение уравнения  cos\:x=\frac{1}{2} выглядело бы так:

Решение уравнения cosx=0.5

Как все точки взять в ответ?

Нам поможет счетчик n. Возьмем n\in Z

, то есть n=...-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;...

Решением уравнения cos\:x=\frac{1}{2} будет

x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Возьмите, поперебирайте различные значения n, подставьте в вышеуказанную формулу.

Вы получите как раз точки \pm\frac{\pi}{3}  при n=0

,

\frac{7\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3} при n=1,

\frac{13\pi}{3},\;\frac{11\pi}{3} при n=2 и т.д.

То что нам нужно!

Если бы мы решали, например,  уравнение cos\:x=-\frac{\sqrt2}{2}, то решением бы было

cos\:x=-\frac{\sqrt2}{2}

x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\;n\in Z.

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

cos\:x=a, где a – из [-1;\:1]

(в противном случае, когда a

– не из [-1;\;1] – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».

x=\pm arccos\:a +2\pi n, \;n\in Z.

 

Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого cos\:x=0,3, то решение будет следующее:

 x=\pm arccos\:0,3+2\pi n,\;n\in Z.

 

Частные случаи решения уравнения cos\:x=a

1) cos\:x=0

тригонометрический круг, решение простейших тригонометрических уравнений

 Мы должны бы записать так:

x=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z.

Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик \pi n):

x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\;n\in Z.

2) cos\:x=1

частные случаи простейших тригонометрических уравнений

У нас только одна серия корней:

x=0+2\pi n,n\in Z, то есть x=2\pi n,n\in Z.

3) cos\:x=-1

частные случаи простейших тригонометрических уравнений

Аналогично решению примера 2, решение такое: x=\pi+2\pi n,\;n\in Z.

egemaximum.ru

Тригонометрия - Математика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению...

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению...

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Прямоугольный треугольник

Тогда, определение синуса:

Формула Определение синуса

Определение косинуса:

Формула Определение косинуса

Определение тангенса:

Формула Определение тангенса

Определение котангенса:

Формула Определение котангенса

Основное тригонометрическое тождество:

Формула Основное тригонометрическое тождество

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формула Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества

Формула Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Формула Синус двойного угла

Косинус двойного угла:

Формула Косинус двойного угла

Тангенс двойного угла:

Формула Тангенс двойного угла

Котангенс двойного угла:

Формула Котангенс двойного угла

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению...

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Формула Синус суммы

Синус разности:

Формула Синус разности

Косинус суммы:

Формула Косинус суммы

Косинус разности:

Формула Косинус разности

Тангенс суммы:

Формула Тангенс суммы

Тангенс разности:

Формула Тангенс разности

Котангенс суммы:

Формула Котангенс суммы

Котангенс разности:

Формула Котангенс разности

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Формула Сумма синусов

Разность синусов:

Формула Разность синусов

Сумма косинусов:

Формула Сумма косинусов

Разность косинусов:

Формула Разность косинусов

Сумма тангенсов:

Формула Сумма тангенсов

Разность тангенсов:

Формула Разность тангенсов

Сумма котангенсов:

Формула Сумма котангенсов

Разность котангенсов:

Формула Разность котангенсов

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Формула Произведение синусов

Произведение синуса и косинуса:

Формула Произведение синуса и косинуса

Произведение косинусов:

Формула Произведение косинусов

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для синуса

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для косинуса

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для тангенса

Формула понижения степени для котангенса:

Формула понижения степени для котангенса

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для тангенса

Формула половинного угла для котангенса:

Формула половинного угла для котангенса

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению...

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Таблица Тригонометрические формулы приведения

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению...

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрическая окружность

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению...

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
  • Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для синуса

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для синуса

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для косинуса

Для тангенса:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для тангенса

Для котангенса:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для котангенса

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

educon.by

Решение тригонометрических уравнений. Тест - курсы по математике

Тестирование онлайн

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Арксинус

Если есть выражение sinx=a, то x=arcsina. То есть арксинусом числа а называется такое число x , что его синус равен а.

Ограничения:

Арккосинус

Если есть выражение cosx=a, то x=arccosa. То есть арккосинусом числа а называется такое число x , что его косинус равен а.

Ограничения:

Арктангенс

Если есть выражение tgx=a, то x=arctga. То есть арктангенсом числа а называется такое число x , что его тангенс равен а.

Ограничения:

Арккотангенс

Если есть выражение сtgx=a, то x=arсctga. То есть арккотангенсом числа а называется такое число x , что его котангенс равен а.

Ограничения:

Не табличное значение "аркфункций" можно найти пользуясь калькулятором. Для того, чтобы понять почему у функций именно такие ограничения, необходимо изучить их графики.

Решение уравнения sinx=a

Общее решение уравнения



Частные случаи

Решение уравнения cosx=a

Общее решение уравнения


Частные случаи

Решение уравнения tgx=a, ctgx=a

Общее решение уравнения

Частные случаи для tgx=a

Частные случаи для ctgx=a

fizmat.by

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *