Тригонометрические уравнения и формулы: Тригонометрические уравнения

2+3t-4=0\). Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\). Сделаем обратную замену:

 

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\&\mathrm{tg}\,x=-4 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex]&x=-\mathrm{arctg}\,4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=0}}, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\), при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\). Действительно, если \(\cos x=0\), то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\), откуда следует, что и \(\sin x=0\). Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\), то \(\sin x=\pm 1\).

 

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

 

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\). Разделим, например, на \(\cos x\):

 

\(a \ \dfrac{\sin x}{\cos x}+b \ \dfrac{\cos x}{\cos x}=0\), откуда имеем \(a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-\dfrac ba\)

 

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

 

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\):

 

\(1+\mathrm{ctg}\, x=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=c}}, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для

любого такого уравнения:

 

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества:   \({\large{\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}, \qquad \cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2},\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)}}\)   данное уравнение сведется к уравнению \(I\):

 

Пример 7. 2}=2\):

 

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac{\sqrt3}2\cos 2x=-\dfrac12\)

 

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac{\sqrt3}2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac{\pi}3, \ \dfrac{\sqrt3}2=\sin \dfrac{\pi}3\). Тогда уравнение примет вид:

 

\(\sin 2x\cos \dfrac{\pi}3-\sin \dfrac{\pi}3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac12\)

 

Решениями данного уравнения являются:

 

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1.5ex] &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\\[1.5ex] &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду). 2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\).

 

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)\), следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\). Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x+\dfrac{\pi}4=-\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac{\pi}4=\pi+\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \)  
\(\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}-\dfrac{\pi}8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. 2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\)   (по первой формуле)

 

Содержание

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться  в тригонометрическом круге.

Все тригонометрические уравнения, какими они не были  – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению

четырех типов простейших тригонометрических уравнений.

Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

Формулы–алгоритмы  будут  разбросаны  по  трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида . Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (), часть 3 (,  )

 Уравнение вида 

 

Решим уравнение

Мы должны подобрать такие значения аргумента , то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы .

Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим :

Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен . Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

На координатной прямой подходящие нам точки располагаются  так:

А с графической точки зрения решение уравнения   выглядело бы так:

Как все точки взять в ответ?

Нам поможет счетчик . Возьмем , то есть

Решением уравнения будет

Возьмите, поперебирайте различные значения подставьте в вышеуказанную формулу.

Вы получите как раз точки  при ,

при ,

при и т.д.

То что нам нужно!

Если бы мы решали, например,  уравнение , то решением бы было

.

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

, где

– из

(в противном случае, когда – не из – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».

 

Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого , то решение будет следующее:

 

 

Частные случаи решения уравнения

1)

 Мы должны бы записать так:

.

Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик ):

2)

У нас только одна серия корней:

то есть 

3) 

Аналогично решению примера 2, решение такое:

3.1.10. Тригонометрические уравнения



Глава 3.

Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.10.

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем

Значит, либо то есть   либо то есть   Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, 

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn,  либо x + arcsin a = 2(n + 1)π,  Оба эти равенства могут быть объединены в одно:

Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn, 

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn, 

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Модель 3.5. Простейшие тригонометрические уравнения

Пример 1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.


Пример 2

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn,

Ответ. x = arctg 2 + πn,


Пример 3

Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.


Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной Уравнения 2-го порядка делением на сводятся к квадратному относительно

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Пример 4

Решите уравнение arccos x = arctg x.






Cos 1 частные случаи. Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

3. Однородные уравнения

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

Ответ: 0.

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше. n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

    Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

    Уравнение cos (x) = a

    Объяснение и обоснование

    1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | 1 или при а

    Пусть | а |

    у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

    Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

    x 2 = -arccos а.

    Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а |

    Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

    x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

    1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

    Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

    а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

    Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

    Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

    x = 2πп, k € Z.

    Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

    Уравнение sin (x) = a

    Объяснение и обоснование

    1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | 1 или при а

    Простейшие тригонометрические уравнения 1. Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

    Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше. n arcsin a + \pi n, n \in Z`

    2. Уравнение `cos x=a`

    При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

    При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

    Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

    Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

    3. Уравнение `tg x=a`

    Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

    Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

    4. Уравнение `ctg x=a`

    Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

    Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

    Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

    Для синуса:
    Для косинуса:
    Для тангенса и котангенса:
    Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

    Методы решения тригонометрических уравнений

    Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

    • с помощью преобразовать его до простейшего;
    • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

      1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
      2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

      Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

      Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

      Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

      Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

      Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

      Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

      Примеры.

      1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

      1) Решить уравнение

      Решение:

      Ответ:

      2) Найти корни уравнения

      (sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

      Решение:

      Ответ:

      2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

      1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

      Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

      Ответ:

      2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

      Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

      Ответ:

      3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

      Решение:

      Ответ:

      3. Однородные уравнения

      1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

      Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

      Ответ:

      2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

      Решение:

      Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

      sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
      sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

      Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
      Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

      tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
      Обозначим tgx = y
      y 2 – 6 y + 8 = 0
      y 1 = 4; y 2 = 2
      а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
      б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

      Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

      4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

      1) Решить уравнение .

      Решение:

      Ответ:

      5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

      1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

      Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

      cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

      Число 0 единственный корень данного уравнения.

      Ответ: 0.

      Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

      Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

      Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

      Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

      Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

      Когда-то я стал свидетелем разговора двух абитуриентов:

      – Когда надо прибавить 2πn, а когда – πn? Никак не могу запомнить!

      – И у меня такая же проблема.

      Так и хотелось им сказать: «Не запоминать надо, а понимать!»

      Данная статья адресована прежде всего старшеклассникам и, надеюсь, поможет им с «пониманием» решать простейшие тригонометрические уравнения:

      Числовая окружность

      Наряду с понятием числовой прямой есть еще и понятие числовой окружности. Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность,с центром в точке (0;0) и радиусом 1, называется единичной. Вообразим числовую прямую тонкой нитью и намотаем ее на эту окружность: начало отсчета (точку 0), приставим к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось обмотаем против движения часовой стрелки, а отрицательную – по направлению (рис. 1). Такую единичную окружность называют числовой.

      Свойства числовой окружности

      • Каждое действительное число находится на одной точке числовой окружности.
      • На каждой точке числовой окружности находятся бесконечно много действительных чисел. Так как длина единичной окружности равна 2π, то разность между любыми двумя числами на одной точке окружности равна одному из чисел ±2π ; ±4π ; ±6π ; …

      Сделаем вывод: зная одно из чисел точки A, мы можем найти все числа точки A .

      Проведем диаметр АС (рис. 2). Так как x_0 – одно из чисел точки А, то числа x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … и только они будут числами точки C. Выберем одно из этих чисел, скажем, x_0+π, и запишем с его помощью все числа точки C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈Z. Отметим, что числа на точках A и C можно объединить в одну формулу: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (при k = 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки C).

      Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или C диаметра АС, мы можем найти все числа на этих точках.

      • Два противоположных числа находятся на симметричных относительно оси абсцисс точках окружности.

      Проведем вертикальную хорду АВ (рис. 2). Так как точки A и B симметричны относительно оси Ox, то число -x_0 находится на точке B и, значит, все числа точки B задаются формулой: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и B запишем одной формулой: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или B вертикальной хорды АВ, мы можем найти все числа на этих точках. Рассмотрим горизонтальную хорду AD и найдем числа точки D (рис. 2). Так как BD – диаметр и число -x_0 принадлежит точке В, то -x_0 + π одно из чисел точки D и, значит, все числа этой точки задаются формулой x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).

      Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа на этих точках.

      Шестнадцать основных точек числовой окружности

      На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис. 3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят окружность на 12 равных частей. Так как длина полуокружности равна π, то длина дуги A1A2 равна π/2, длина дуги A1B1 равна π/6, а длина дуги A1C1 равна π/3.

      Теперь можем указать по одному числу на точках:

      π/3 на С1 и

      Вершины оранжевого квадрата – середины дуг каждой четверти, следовательно, длина дуги A1D1 равна π/4 и, значит, π/4 – одно из чисел точки D1. Воспользовавшись свойствами числовой окружности, мы можем записать с помощью формул все числа на всех отмеченных точках нашей окружности. На рисунке отмечены также и координаты этих точек (опустим описание их получения).

      Усвоив выше сказанное, мы имеем теперь достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.

      Решить уравнения

      1) sinx=1⁄(2) .

      – Что от нас требуется?

      Найти все те числа x, синус которых равен 1/2 .

      Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x . На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2 . Это концы горизонтальной хорды B1B2 . Значит, требование «решить уравнение sinx=1⁄2 » равнозначно требованию «найти все числа на точке B1 и все числа на точке B2».

      2) sinx=-√3⁄2 .

      Нам надо найти все числа на точках C4 и C3.

      3) sinx=1 . На окружности имеем только одну точку с ординатой 1 – точка A2 и, значит, нам надо найти только все числа этой точки.

      Ответ: x=π/2+2πk , k∈Z .

      4) sinx=-1 .

      Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этой точки и будут конями уравнения.

      Ответ: x=-π/2+2πk , k∈Z .

      5) sinx=0 .

      На окружности имеем две точки с ординатой 0 – точки A1 и A3 . Можно указать числа на каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположные, лучше объединить их в одну формулу: x=πk ,k∈Z .

      Ответ: x=πk ,k∈Z .

      6) cosx=√2⁄2 .

      Вспомним определение косинуса: cosx — абсцисса точки числовой окружности на которой находится число x. На окружности имеем две точки с абсциссой √2⁄2 – концы горизонтальной хорды D1D4 . Нам нужно найти все числа на этих точках. Запишем их, объединив в одну формулу.

      Ответ: x=±π/4+2πk , k∈Z .

      7) cosx=-1⁄2 .

      Надо найти числа на точках C_2 и C_3 .

      Ответ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

      10) cosx=0 .

      Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, значит, все числа на каждой из этих точках и будут решениями уравнения.
      .

      Решениями уравнения системы являются числа на точках B_3 и B_4 .Неравенству cosxОтвет: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

      Заметим,что при любом допустимом значении x второй множитель положителен и, следовательно,уравнение равносильно системе

      Решениями уравнения системы являются чила точек D_2 и D_3 . Числа точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5 ,а числа точки D_3-удовлетворяют.


      blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

      Вступительное испытание — Математика

      Вступительное испытание — Математика

      СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

       

          Арифметика. Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Порядок арифметических действий в числовом выражении. Признаки делимости натуральных чисел. Наибольший общий делитель и наибольшее общее кратное чисел.

      Целые числа. Рациональные числа. Операции над обыкновенными и десятичными дробями. Иррациональные числа.

      Действительные числа. Числовая прямая. Сравнение действительных чисел. Свойства числовых неравенств. Числовые промежутки.

      Модуль действительного числа, его свойства и геометрический смысл.

      Проценты, нахождение процента числа и числа по его проценту, процентное отношение. Пропорция, основное свойство пропорции.

           Алгебра и начала анализа. Виды алгебраических выражений. Тождественное преобразование выражений. Тождество.

      Одночлены и многочлены. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов на множители.

      Рациональные дроби и операции над ними. Преобразование рациональных и иррациональных выражений.

      Степень с натуральным, целым, рациональным показателями. Свойства степеней с рациональными показателями.

      Логарифм положительного числа. Логарифм произведения, частного, степени. Переход к новому основанию логарифма.

      Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла в прямоугольном треугольнике. Решение прямоугольных треугольников. Определение тригонометрических функций произвольного аргумента (угла). Основные тригонометрические тождества.

      Синус и косинус суммы и разности двух аргументов. Синус, косинус, тангенс двойного и половинного угла. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение. Формулы приведения.

      Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

      Функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Монотонные функции. Область определения функции.

      Свойства и графики линейных, квадратичных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических функций.

      Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Область допустимых значений уравнения. Равносильность уравнений.

      Линейные и квадратные уравнения. Теорема Виета. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Рациональные уравнения.

      Иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и методы их решения.

      Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью комбинированных способов применения различных формул.  

      Система двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами подстановки и сложения.

      Система линейных уравнений. Системы показательных и логарифмических уравнений. Системы тригонометрических уравнений.

      Неравенство с одной переменной. Система и совокупность неравенств с одной переменной. Линейные, квадратные, дробно-линейные неравенства. Метод интервалов. Неравенства с модулем.

      Показательные, логарифмические, тригонометрические неравенства. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических неравенств.

      Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена и суммы конечного числа членов арифметической и геометрической прогрессии. Убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

      Производная функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные суммы, произведения, частного двух функций.

      Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

      Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции.

          Геометрия. Геометрические фигуры. Точка. Прямая. Определения, аксиомы, теоремы.

      Векторы. Операции над векторами.  

      Основные свойства простейших геометрических фигур (окружности, угла, треугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, трапеции) и соотношения между их элементами. Площади плоских фигур.

      Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.

      Основные понятия и теоремы стереометрии. Многогранники. Площадь боковой и полной поверхности призмы и пирамиды. Объем призмы и пирамиды. Правильные  многогранники. Сечение многогранников плоскостью.

      Тела вращения (цилиндр, конус, шар). Площадь боковой и полной поверхности цилиндра и конуса. Объем цилиндра и конуса. Площадь сферы. Объем шара.

      Тригонометрические уравнения формулы приведения. Как формулы приведения работают в задаче B11

      Тема урока

      • Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.

      Цели урока

      • Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
      • Познакомится с закономерностью изменений значений синуса косинуса и тангенса при возрастании угла.
      • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
      • Воспитательные — посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

      Задачи урока

      • Проверить знания учащихся.

      План урока

      1. Повторение ранее изученного материала.
      2. Задачи на повторение.
      3. Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.
      4. Практическое применение.

      Повторение ранее изученного материала

      Начнем с самого начала и вспомним то что будет полезно освежить в памяти. Что же такое синус, косинус и тангенс и к какому разделу геометрии относятся эти понятия.

      Тригонометрия — это такое сложное греческое слово: тригонон — треугольник, метро — мерять. Стало быть по-гречески это означает: мерятся треугольниками.

      Предмети > Математика > Математика 8 класс

      Как запомнить формулы приведения тригонометрических функций? Это легко, если использовать ассоциацию.Данная ассоциация придумана не мной. Как уже говорилось, хорошая ассоциация должна «цеплять», то есть вызывать яркие эмоции. Не могу назвать эмоции, вызываемые этой ассоциацией, позитивными. Но она дает результат — позволяет запоминать формулы приведения, а значит, имеет право на существование. В конце концов, если она вам не понравится, вы же ее можете не использовать, правильно?

      Формулы приведения имеют вид: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запоминаем, что +α дает движение против часовой стрелки, — α — движение по часовой стрелке.

      Для работы с формулами приведения нужны два пункта:

      1) ставим знак, который имеет начальная функция (в учебниках пишут: приводимая. Но, чтобы не запутаться, лучше назвать ее начальной), если считать α углом I четверти, то есть маленьким.

      2) Горизонтальный диаметр — π±α, 2π±α, 3π±α… — в общем, когда нет дроби — название функции не меняет. Вертикальный π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α…- когда дробь есть — название функции меняет: синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс и котангенс — на тангенс.

      Теперь, собственно, ассоциация:

      вертикальный диаметр (есть дробь) —

      пьяный стоит. Что с ним случится рано

      или поздно? Правильно, упадет.

      Название функции изменится.

      Если же диаметр горизонтальный — пьяный уже лежит. Спит, наверное. С ним уже ничего не случится, он уже принял горизонтальное положение. Соответственно, название функции не меняется.

      То есть sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) и т.д. дают ±cosα,

      а sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.

      Как , уже знаем.

      Как это работает? Смотрим на примерах.

      1) cos(π/2+α)=?

      Становимся на π/2. Поскольку +α — значит, идем вперед, против часовой стрелки. Попадаем во II четверть, где косинус имеет знак «-«. Название функции меняется («пьяный стоит», значит — упадет). Итак,

      cos(π/2+α)=-sin α.

      Становимся на 2π. Так как -α — идем назад, то есть по часовой стрелке. Попадаем в IV четверть, где тангенс имеет знак «-«. Название функции не меняется (диаметр горизонтальный, «пьяный уже лежит»). Таким образом, tg(2π-α)=- tgα.

      3) ctg²(3π/2-α)=?

      Примеры, в которых функция возводится в четную степень, решаются еще проще. Четная степень «-» убирает, то есть надо только выяснить, меняется название функции или остается. Диаметр вертикальный (есть дробь, «пьяный стоит», упадет), название функции меняется. Получаем: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

      Для использования формул приведения существует два правила.

      1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

      Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет.

      2. Правило «каким ты был, таким ты и остался».

      Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

      На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

      Вычислить Sin(150˚)

      Воспользуемся формулами приведения:

      Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен +. Значит у приведенной функции тоже будет знак «плюс». Это мы применили второе правило.

      Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

      При желании все формулы приведения можно свести в одну таблицу. Но все же легче запомнить эти два правила и пользоваться ими.

      Нужна помощь в учебе?



      Предыдущая тема:

      Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

      Формулы приведения:


      Для использования формул приведения существует два правила.

      1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

      Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

      2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

      На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

      Пример:

      Вычислить

      Воспользуемся формулами приведения:

      Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен «+». Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

      Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

      И еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.

      Задача. Найдите значение выражения:

      В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.

      Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:

      То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:

      1. Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т.д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
      2. Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.

      Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.

      Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:

      Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т. е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y ). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.

      На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:

      Задача B11 — 1 вариант

      Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т.е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:

      Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.

      Теперь смотрим на знаменатель:

      sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

      Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).

      Осталось разобраться с последним элементом:

      cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

      Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.

      Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:

      Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!

      Задача B14 — 2 вариант

      Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:

      Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):

      sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

      Очевидно, перед нами снова формула приведения : 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.

      Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:

      Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Итого −4: 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.

      Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.

      2 х &= \фракция{3}{4} \\ \sin x &= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{выровнено} sin4x+sin2x-1sin4x-cos4x+sin2x-cos2x-1(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x-cos2x-12sin2x-2cos2x-12sin2x-2(1-sin2x)-1⇒sin2xsinx =cos4x+cos2x=0=0=0=0=43​=±23​​.​

      Поскольку 0≤x≤2π,0 \leq x \leq 2\pi,0≤x≤2π, для sin⁡x=32 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}sinx=23​ у нас есть

      x=π3,23π.(1) x = \frac{\pi}{3}, \frac{2}{3} \pi . \qquad (1) x=3π​,32​π.(1)

      Для sin⁡x=-32, \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ,sinx=-23​, мы имеем

      х=43π,53π.2 х)&=0\ \Rightarrow \cos x &= 0, ~\sin x = \frac{1}{2}, — \frac{1}{2}. \end{выровнено} cos2x−sin22xcos2x−4sin2xcos2xcos2x(1−4sin2x)⇒cosx=0=0(так как sin2x=2sinxcosx)=0=0, sinx=21,−21.

      Поскольку 0≤x≤2π,0 \leq x \leq 2\pi,0≤x≤2π, для cos⁡x=0 \cos x =0cosx=0 имеем

      x=π2,32π.(1) x = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2} \pi. \qquad (1) x=2π​,23​π.(1)

      Для sin⁡x=12, \sin x = \frac{1}{2},sinx=21​ мы имеем

      x=π6,56π.(2) x = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6} \pi.\qquad (2) x=6π​,65​π.(2)

      Для sin⁡x=-12, \sin x = -\frac{1}{2},sinx=-21​ мы имеем

      x=76π,116π.(3) x= \frac{7}{6} \pi, \frac{11}{6} \pi. \qquad (3) x=67​π, 611​π.(3)

      Таким образом, из (1), (2) (1), (2) (1), (2) и (3)(3)(3) решения

      х=π2,32π,π6,56π,76π,116π. □ x = \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3} {2} \ pi, \ frac {\ pi} {6}, \ frac {5} {6} \ pi, \ frac {7} {6} \pi, \frac{11}{6} \pi. \ _\squarex=2π, 23 π, 6 π, 65 π, 67 π, 611 π. □​

      ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ТРИГОНОМЕТРИЯ

      Уравнение, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением.

      Основные тригонометрические уравнения имеют вид  sin x =a, cos x = a, tan x = a, cot x = a, , где x  – неизвестное число, а  a  – любое действительное число.

      грех х = а

      Учитывая уравнение sin x = a , как мы можем найти x ?
      Посмотрите на рисунок. Для любого числа на оси синуса есть два соответствующих значения на единичной окружности. Одно значение x 1 = Arcsin A
      и другой — x 2 = π — Arcsin A .
      Мы также должны рассмотреть сотерминальные углы x₁ и x 2  , например  arcsin a + 2π, arcsin a + 4π, arcsin a + 6π, … .

      Итак, мы можем написать:

      sin x = a ⇔ { x = arcsin a + 2kπ, k∈ Z }  или  { x = π − arcsin a + 2nπ, n∈ Z }

      , где -1 ≤ a ≤ 1.
      В качестве альтернативы, внимательно изучив этот результат, мы можем переписать его в более короткой форме:

      sin x = a ⇔ x = (-1)^k arcsin a + kπ, k ∈ Z       для -1 ≤ a ≤ 1.

      Специальные результаты:
      Когда x = 0 , x = 1 или x = -1   , мы можем записать ответ короче, не используя формулу3: 9000

      sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
      sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z
      x sin π/2 + 2kπ, k ∈ Z

        Пример: Решите sin x = √3/2.k π/3 + kπ, k ∈ Z.

      потому что х = а

      Если cos x = a, что такое x?
      Посмотрите на рисунок. Для любого числа на оси косинуса есть два соответствующих значения на единичной окружности. Одно значение x 1 = Arccos A и другой — x 2 = -Arccos A .
      Мы также должны рассмотреть сотерминальные углы x 1 и x 2 , например, arccos a + 2π, arccos a + 4π, … .

      Итак, мы можем написать:

      cos x = a ⇔ x = ± arccos a + 2kπ, k ∈ Z

      , где -1 ≤ a ≤ 1,

      Специальные результаты:

      cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z
      cos x = 1 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z + 2kπ, k ∈ Z

      Пример: Решить 2cos x – √3 = 0

      Решение: Перепишем уравнение в терминах cos x. Тогда мы получаем
      cos x = √3/2, и знаем, что arccos √3/2 = 30° = π/6. Итак, x = ± π/6 + 2kπ, k∈ Z.

      тан х = а

      Если тангенс х = а, что такое х?
      Посмотрите на рисунок. Для любого числа на касательной оси есть два соответствующих значения на единичной окружности. Одно значение x 1 = Arctan A = Arctan A , а другой — симметрия x 1 относительно происхождения, что означает x 2 = π + арктан а.

      Учитывая также котерминальные углы, мы можем написать:

      tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z для a ∈ R

      Красная линия на рисунке — это касательная ось.

      Пример: Решить 4tan (5x + π/3) + 4 = 0

      Решение: Преобразование уравнения дает нам тангенс (5x + π/3) = -1.
      arctan(-1) = -45° = -π/4,
      поэтому по формуле имеем 5x + π/3 = -π/4 + kπ
      5x = -π/4 – π/3 + kπ = -7π/12 + kπ
      и x = -7π/60 + kπ/5, k ∈ Z.

      детская кроватка x = a

      Если кроватка х = а, что такое х?
      Посмотрите на рисунок. Для любого числа на оси котангенса есть два соответствующих значения на единичной окружности. Одно значение x 1 = ArcCot A а другой — симметрия x 1 в отношении происхождения, что означает x 2 = π + arccot ​​а.

      Учитывая также котерминальные углы, мы можем написать:

      cot x = a ⇔ x = arccot ​​a + kπ, k ∈ Z     для a ∈ R.

      Красная линия на рисунке — котангенс оси.

      Пример: Решить кроватка (-x/2) = -1

      Решение:   arccot ​​(-1) = 135° = 3π/4, поэтому по формуле , -x/2 = 3π/4 + kπ и x = – 3π/2 – 2kπ, k ∈ З. Обратите внимание, что, поскольку k — любое целое число, оно может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы также можем записать
      x = -3π/2 – 2kπ = -3π/2 + 2kπ, k ∈ Z.

      Видео ниже посвящено решению основных тригонометрических уравнений:

      Нравится:

      Нравится Загрузка. ..

      Основные тригонометрические уравнения

      Углы (аргументы функций): x , x , x 1 , x 2
      Набор целых чисел: ζ
      Integer: N
      Настоящий номер: A

      тригонометрических функций: SIN x , COS x , COS x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x

      Уравнение, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением.

      Основные тригонометрические уравнения имеют вид

      \[\sin x = a,\;\cos x = a,\;\tan x = a,\;\cot x = a,\]

      здесь \(x\) — неизвестное, \(a\) — любое действительное число.

      Уравнение \(\sin x = a\)

      Если \(\left| a \right| \gt 1\), то уравнение \(\sin x = a\) не имеет решений.

      Если \(\left| a \right| \le 1,\) общее решение уравнения \(\sin x = a\) записывается как

      Эта формула содержит две ветви решений:

      \[{x_1} = \arcsin a + 2\pi n,\;{x_2} = \pi — \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}. \]

      Рис. 1.

      Решения тригонометрического уравнения, лежащие в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right)\), называются главными решениями. Главные решения уравнения \(\sin x = a\) равны

      \[\arcsin a,\;\pi — \arcsin a.\]

      В простом случае \(\sin x = 1\) общее решение имеет вид

      \[x = \pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

      Аналогично, решение уравнения \(\sin x = -1\) определяется выражением

      \[x = -\pi/2 + 2\pi n,\; п \in \mathbb{Z}.\]

      Случай \(\sin x = 0\) (нули синуса):

      \[x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

      Уравнение \(\cos x = a\)

      Если \(\left| a \right| \gt 1,\) уравнение \(\cos x = a\) не имеет решений.

      Если \(\left| a \right| \le 1,\) общее решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид

      Эта формула включает два набора решений:

      \[{x_1} = \arccos a + 2\pi n,\; {x_2} = -\arccos a + 2\pi n,\; п \in \mathbb{Z}.\]

      Рис. 2.

      В случае \(\cos x = 1\) решение записывается как

      \[x = 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}. \]

      Случай \(\cos x = -1:\)

      \[x = \pi + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

      Случай \(\cos x = 0\) (нули косинуса):

      \[x = \pi/2 + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

      Уравнение \(\tan x = a\)

      Для любого значения \(a\) общее решение уравнения \(\tan x = a\) имеет вид

      Рисунок 3.

      Случай \(\tan x = 0\) (нули тангенса):

      \[x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

      Уравнение \(\cot x = a\)

      Для любого значения \(a\) общее решение тригонометрического уравнения \(\cot x = a\) записывается как

      Рис. 4. Случай

      \(\cot x = 0\) (нули котангенса):

      \[x = \pi/2 + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\]

      Решенные проблемы

      Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

      Пример 1

      Решить уравнение

      \[\sin x = — \frac{1}{2}.\]

      Пример 2

      Решить уравнение

      \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = — 1.\]

      Пример 3

      Найдите общее решение уравнения

      \[\sqrt 3 \sin x = \cos x. \]

      Пример 4

      Найдите главные решения уравнения

      \[\cot \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = — 1.{n + 1}}\frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

      Главные решения на отрезке \(\left[ {0,2\pi } \right)\) задаются как

      \[\begin{массив}{*{20}{l}} {n = 1:} & {x_1} = \ frac {\ pi} {6} + \ pi = \ frac {{7 \ pi}} {6} \\ {n = 2:} & {x_2} = — \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi = \ frac {{11 \ pi}} {6} \конец{массив}\]

      Пример 2.

      Решить уравнение

      \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = — 1.\]

      Раствор.

      В этом частном случае общее решение определяется как

      .

      \[x + \frac{\pi }{3} = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

      Решите для \(x:\)

      \[x = \pi — \frac{\pi }{3} + 2\pi n = \frac{{2\pi}}}{3} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z }.\]

      Главное решение содержит одно значение:

      \[n = 0:\;{x_0} = \frac{{2\pi}}{3}.\]

      Пример 3.

      Найдите общее решение уравнения

      \[\sqrt 3 \sin x = \cos x. 2}x} = \pm 1 \ne 0,\]

      , то есть \(\cos x = 0\) не может быть решением уравнения. Итак, у нас есть

      \[\frac{{\sqrt 3 \sin x}}{{\cos x}} — \frac{{\cancel{{\cos x}}}}{{\cancel{{\cos x}}} } = 0, \стрелка вправо \sqrt 3 \tan x — 1 = 0, \стрелка вправо \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3}}.\]

      Общее решение дано

      \[x = \arctan \frac{1}{{\sqrt 3}} + \pi n = \frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\ ]

      Пример 4.

      Найдите главные решения уравнения

      \[\cot \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = — 1.\]

      Раствор.

      Сначала найдем общее решение. Учитывая, что \(\text{arccot}\left( { — a} \right) = \pi — \text{arccot ​​} a,\), мы имеем

      \[2x + \frac{\pi }{4} = \text{arccot} \left( { — 1} \right) + \pi n, \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \ pi — \text{arccot} 1 + \pi n, \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \pi — \frac{\pi }{4} + \pi n, \Rightarrow 2x = \frac {\pi }{2} + \pi n, \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\]

      , где \(n \in \mathbb{Z}. 2}x = \frac{1}{2}.\]

      Раствор.

      Это уравнение имеет два решения:

      \[\cos x = \frac{1}{2}, \Rightarrow {x_1} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z} .\]

      \[\cos x = — \frac{1}{2}, \Rightarrow {x_2} = \pm \arccos \left( { — \frac{1}{2}} \right) + 2\pi k, \;k \in \mathbb{Z}.\]

      Подставить значения арккосинуса:

      \[\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi }{3},\;\;\arccos \left( { — \frac{1}{2}} \right) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi}}{3}.\]

      Таким образом, общее решение дается числом

      .

      \[{x_1} = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,\;\;{x_2} = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi к,\]

      , где \(n, k \in \mathbb{Z}.\)

      Соответственно главные решения уравнения равны

      \[x = \frac{\pi }{3},\frac{{2\pi}}{3},\frac{{4\pi}}{3},\frac{{5\pi}} {3}.\]

      Пример 6.

      Решить уравнение

      \[\tan x = \cot x.\]

      Раствор.2}х = 1}\\ {\ загар х \ пе 0} \end{массив}} \right. , \Rightarrow \tan x = \pm 1.\]

      Мы получили два уравнения. Первое уравнение \(\tan x = 1\) имеет следующее решение:

      \[\tan x = 1, \Rightarrow {x_1} = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

      Второе уравнение имеет решение в виде

      \[\tan x = — 1, \Rightarrow {x_2} = \arctan \left( { — 1} \right) + \pi k = — \ arctan 1 + \pi k = — \frac{\pi }{ 4} + \pi k,\;k \in \mathbb{Z}.\]

      Мы можем объединить оба решения и выразить их одной формулой:

      \[x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\;n \in \mathbb{Z}.\]

      Основные значения задаются

      \[x = \frac{\pi }{4},\frac{{3\pi}}{4},\frac{{5\pi}}{4},\frac{{7\pi}} {4}.\]

      Квадратная формула с тригонометрией — Тригонометрия

      Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

      Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

       

      Решение тригонометрических уравнений с квадратом функции с факторингом | Тригонометрия

      Шаги для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию в квадрате, включающую разложение на множители

      Шаг 1: Найдите заданное тригонометрическое уравнение. 2=(а+б)(а-б) {/экв}

      Шаг 3: Решите каждый множитель для выделения тригонометрической функции.

      Шаг 4: Найдите (x), найдя обратную тригонометрическую функцию.

      Словарь и уравнения для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию в квадрате, включающую факторинг

      Тригонометрические функции: Тригонометрические функции относятся к углу прямоугольного треугольника к отношениям длин двух сторон. Наиболее часто используемыми тригонометрическими функциями являются sin, cos и tan.2=(а+б)(а-б) {/экв}

      $$\sin{x}(2\sin{x}-3)=0 $$

      Шаг 3: Решите каждый множитель для выделения тригонометрической функции.

      Фактор 1:

      $$\sin х=0 $$

      Фактор 2:

      $$2\sin x-3=0 $$

      $$2\sin х= 3 $$

      $$\sin x=\frac 32 =1,5 $$

      Шаг 4: Найдите (x), найдя обратную тригонометрическую функцию.

      Из Фактора 1:

      $$\sin^{-1} 0=0, \пи,2\пи,3\пи. {-1}1 =0, 2 \pi ,4\pi.{-1}2=\text{Нет решения} $$

      Следовательно,

      $$x=2\pin $$

      Где n — целое число.

      Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

      KryssTal : Тригонометрические уравнения

      KryssTal : Тригонометрические уравнения
      В алгебре мы рассмотрели решение простых уравнений, таких как 5X — 2 = 0 и квадратные уравнения типа X 2 — 3X + 1 = 0 .В тригонометрии мы ввели тригонометрические функции (синусы, косинусы и тангенсы).

      В этом эссе мы объединим тригонометрическую функцию в уравнения, которые можно решить.

      Начнем с напоминания о тригонометрических соотношениях: Sin X / Cos X = Tan X Sin 2 X + Cos 2 X = 1 Кроме того, существуют соотношения, называемые двойными углами : Sin 2X = 2 Sin X Cos X Cos 2X = Cos 2 X — Sin 2 X Поскольку Sin 2 X + Cos 2 X = 1, это последнее соотношение можно также записать как: Cos 2X = 1 — 2 Sin 2 X Cos 2X = 2 Cos 2 X — 1
      Прежде чем мы сможем решить сложные тригонометрические уравнения, мы должны посмотреть, как изменяются синусы и косинусы. Ниже приведен график Y = Sin X. X измеряется в радианах. Синусы периодические. Они колеблются между 1 и -1 в течение 360 o (2 π радиан), начиная и заканчивая 0,

      . Ниже приведен график Y = Cos X. Он аналогичен, но в другой фазе.

      Косинусы также колеблются между 1 и -1 в течение 360 o (2 π радиан), начиная и заканчивая 1.

      В приведенной ниже таблице обобщена информация как для синусов, так и для косинусов между 0 o и 360 o (от 0 до 2 π радиан).Эта информация будет использоваться при решении тригонометрических уравнений.

      Уголок
      ( или )
      Угол
      (рад)
      Синус Косинус
      0 0 0 1
      30 π / 6 1 / 2 √3 / 2
      45 π / 4 1 / √2 1 / √2
      60 π / 3 √3 / 2 1 / 2
      90 π / 2 1 0
      120 2π / 3 √3 / 2 -1 / 2
      135 3π / 4 1 / √2 -1 / √2
      150 5π / 6 1 / 2 -√3 / 2
      180 0 -1
      210 7π / 6 -1/2 -√3 / 2
      225 5π / 4 -1 / √2 -1 / √2
      240 4π / 3 -√3/2 -1 / 2
      270 3π / 2 -1 0
      300 5π / 3 -√3/2 1 / 2
      315 7π / 4 -1 / √2 1 / √2
      330 11π / 6 -1/2 √3 / 2
      360 0 1

      Используя приведенную выше таблицу или графики и немного алгебры, решите следующие уравнения для значений между 0 o и 360 o . Sin X = 1/2

      Используя таблицу, легко увидеть, что X имеет два значения в требуемом диапазоне. Это:

      X = 30 o и X = 150 o .

      Cos X + 1 / 2 = 0

      Преобразование уравнения (чтобы получить Cos X с одной стороны и числа с другой стороны) дает:

      Cos X = -1 / 2

      Используя таблицу, мы видим, что X имеет два значения в требуемом диапазоне.Это:

      X = 120 o и X = 240 o .

      Cos X Tan X = 1 / √2

      Использование идентификатора для замены Tan X дает:

      Cos X (Sin X / Cos X) = 1 / √2

      Косинусы сокращаются, чтобы дать:

      Sin X = 1 / √2

      Это дает два значения X:

      X = 45 o и X = 135 o .

      2 Кос 2X + 1 = 0

      Перестройте уравнение:

      Cos 2X = — 1/2

      Следовательно, 2X = 120 o и 240 o , что дает:

      X = 60 o и X = 120 o .

      Sin X — Cos 2X = 0

      Используя тождество двойного угла, замените Cos 2X на (1 — 2 Sin 2 X):

      Грех X — (1 — 2 Sin 2 X) = 0

      Sin X — 1 + 2 Sin 2 X = 0

      которое преобразуется в квадратное уравнение в Sin 2 X:

      2 Sin 2 X + Sin X — 1 = 0

      Это можно решить, разложив на множители:

      (2 Sin X — 1) (Sin X + 1) = 0

      Это уравнение дает 0, если либо 2 Sin X — 1 = 0, либо Sin X + 1 = 0.Другими словами:

      Sin X = 1 / 2 или Sin X = -1

      Первое уравнение дает два значения (X = 30 o , X = 150 o ), второе уравнение дает одно значение (270 o ). Таким образом, решение исходного уравнения:

      X = 30 o , X = 150 o и X = 270 o .

      2 Cos 2 X + Sin 2X = 0

      Используя тождество двойного угла, Sin 2X можно заменить на 2 Sin X Cos X:

      2 Cos 2 X + 2 Sin X Cos X = 0

      2 Cos X является общим для обоих терминов, поэтому его можно переписать:

      2 Cos X ( Cos X + Sin X) = 0

      Это уравнение дает 0, если либо 2 Cos X = 0, либо Cos X + Sin X = 0.Другими словами:

      Cos X = 0 или Sin X = -Cos X

      Первое уравнение дает два значения (X = 90 o , X = 270 o ). Второе уравнение также дает два значения (135 o и 315 o — проверьте эти цифры в таблице). Таким образом, решение исходного уравнения:

      X = 90 o , X = 135 o , X = 270 o и 315 o .

      © 2000, 2009 КрысТал

      Введение в алгебру и как решать простые, одновременные и квадратные уравнения. Прямоугольные треугольники, синусы, косинусы, тангенсы. Использование тригонометрических функций, рядов и формул. Графики — это способ визуализации алгебраических функций. Декартова система координат вводится вместе с описанием построения графа из первых принципов.Есть примеры разных типов графиков. Индекс и база. Определены логарифмы. Основание 10 и основание e. Использование логарифмов в вычислениях. Ряд для логарифмов. Сферическая тригонометрия — это тригонометрия треугольников, нарисованных на сфере.

      Тригонометрические уравнения

      Тригонометрические уравнения — это те уравнения, которые включают тригонометрические функции переменной. В этой статье вы узнаете, как находить решения для заданных уравнений. Эти уравнения состоят из одного или нескольких неизвестных углов.Давайте рассмотрим пример, cos m — sin2 m = 0, который является тригонометрическим уравнением, которое не удовлетворяет всем значениям m. Следовательно, для таких уравнений вам придется либо найти значение m, либо найти решение.

      Ранее вы узнали, что значения sin x и cos x повторяются после интервала 2π и tan x, и эти значения повторяются после интервала π. Основные решения — это те решения, которые лежат в интервале [ 0, 2π ] таких заданных уравнений тригонометрии.Тригонометрическое уравнение также будет иметь общее решение, выражающее все значения, которые удовлетворяют данному уравнению, и выражается в обобщенной форме через «n». Общее представление этих уравнений включает формулу тригонометрического уравнения;

      E1 ( sin m, cos m, tan m ) = E2 ( sin m, cos m, tan m )

      Здесь

      E1 — рациональная функция.

      E2 — рациональная функция.

      Поскольку синус, косинус и тангенс являются тремя основными тригонометрическими функциями, решения для этих уравнений будут состоять только из этих трех отношений.Хотя решения для трех других отношений, таких как секанс, косек и котангенс, могут быть получены с помощью этих решений.

      Давайте рассмотрим основное уравнение, чтобы понять эту концепцию. Уравнение: sin m = 0 и 0, π и 2π будут основными решениями для этого случая, поскольку эти значения удовлетворяют любому заданному уравнению, которое находится между [ 0, 2π ]. Если значения sin m = 0, то значения m = 0, π, 2π, — π, -2π, -6π и т. д. данного уравнения. Следовательно, общее решение для sin m = 0 будет m = nπ, где n принадлежит целым числам.

      Решения для тригонометрических уравнений

      5 5

      tan m = tan θ

      Уравнения

      Solutions

      91 359 грех т = 0

      91 359 м = n & pi;

      сов т = 0

      m = (nπ + π / 2)

      Tan m = 0

      m = nπ

      m = nπ

      SIN M = 1

      m = (2nπ + π / / 2) = (4n + 1) π / 2

      COS M = 1

      m = 2nπ

      m = 2nπ

      SIN M = SIN θ

      m = nπ + (-1 )nθ, где θ ∈ [-π/2, π/2]

      cos m = cos θ

      m = 2nπ ± θ, где θ ∈ (0, π]

      m = nπ + θ, где θ ∈ (-π/2 , π/2]

      SIN2 M = SIN2 θ

      M = Nπ ± θ

      COS2 M = Cos2 θ

      TAN2 M = TAN2 θ

      m = nπ ± θ

      Доказательства решений тригонометрических уравнений

      Теорема 1. Для любых действительных чисел j и k из sin j = sin k следует, что j = nπ + (- 1) .н . k, где n Є Z

      Доказательство: рассмотрим уравнение sin j = sin k. Теперь попробуем найти общее решение этого уравнения.

      sin j = sin k

      ⇒ sin j – sin k = 0

      ⇒ 2 cos ( j + k ) / 2 sin ( j – k ) / 2 = 0

      ⇒ cos ( j + k ) / 2 = 0 или sin ( j – k ) / 2 = 0

      Принимая общее решение из обоих условий, получаем:

      j = n π + (-1)nk, где n ∈ Z

      Теорема 2: Для любых действительных чисел j и k из cos j = cos k следует, что j = 2nπ ± k, где n Є Z.

      Доказательство: аналогично, общее решение cos j = cos k будет: sin ( j + k ) / 2 = 0 или sin ( j — k ) / 2 = 0

      ( j + k ) / 2 = ( n * π ) или ( j — k ) / 2 = ( n * π )

      Принимая общее решение из обоих условий, мы получаем:

      j = 2 * n * π ± k, где n ∈ Z

      Теорема 3: Докажите, что если  и k не являются нечетными кратными π / 2, тогда из tan j = tan y следует, что j = nπ + k, где Є Z.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск