Радиан, Углы больше 360 градусов, Положительные и отрицательные углы
Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.
На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD
Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °.
Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°).
Таким образом, градус — это $\frac{1}{360}$ круга.
Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.
Для того, чтобы узнать количество циклов (пройденных кругов) при вращении объекта, мы считаем количество раз, которое нужно прибавить 360 к самому себе, чтобы получить число равное или меньшее, чем данный угол. Точно так же мы находим число, которое мы умножаем на 360, чтобы получить число меньшее, но наиболее близкое к данному углу.
Пример 2
1. Найти количество кругов, описанных объектом, образующем угол
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Решение
a) 380 = (1 × 360) + 20
Объект описал один круг и 20°
Так как $20^{\circ} = \frac{20}{360} = \frac{1}{18}$ круга
Объект описал $1\frac{1}{18}$ кругов.
b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Объект описал два круга и 50°
$50^{\circ} = \frac{50}{360} = \frac{5}{36}$ круга
Объект описал $2\frac{5}{36}$ круга
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ кругов
Объект описал $2\frac{7}{9}$ кругов
Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.
В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.
Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)
Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.
Пример 3
1. Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) — 670°
2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°
2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°
Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга.
Это единица измерения угловой величины. Такой угол примерно равен 57,3°.
В большинстве случаев, это обозначается как рад.
Таким образом $1 рад \approx 57,3^{\circ}$
Радиус = r = OA = OB = AB
Угол BOA равен одному радиану
Поскольку длина окружности задается как $2\pi r$, то в окружности $2\pi$ радиусов, а значит в целом круге $2\pi$ радиан.
Радианы обычно выражаются через $\pi$ во избежание десятичных частей в вычислениях. В большинстве книг, аббревиатура рад (rad) не встречается, но читатель должен знать, что, когда речь идет об угле, то он задан через $\pi$, а единицами измерения автоматически становятся ради
Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?
Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))
Сегодня поговорим об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?
Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 грамм. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и этот круг 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет.
Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Вот как это делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12.
Но чем же число 12 лучше 10? Может быть тем, что у числа 12больше делителей? Посмотрите, на экране делители числа 10 и делители числа 12. А у числа 360 делителей еще больше, целых 24. Если в круге 360 градусов, его легко поделить на множество частей. И это не все.
В день равноденствия солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе, и проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца примерно 32 угловых минуты, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью.
– Замечательно! – сказали древние шумеры. – На небе есть подтверждения нашим вычислениям! А вот еще яркая звезда Юпитер!
Оказывается, Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Конечно, не 12, а 11,86 земных лет, но очень уж хотелось астрономам округлить до своего любимого числа.
Посмотрим на луну. Ее каждый найдет на небе, когда она полная, в отличии от Юпитера. Лунный месяц примерно 29,5 земных суток. А если у нас в году будет 12 месяце, а год – 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток). Что-то близкое к числу 360. Астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней и 12 месяцев по 30 дней, но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. Но нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».
Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса.
А что же такое радианы? Что такое угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.
1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам (изображение на экране, 5:20 мин).
А как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему же равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу (5:44). У нас появляется число Пи. Число Пи известно людям с глубокой древности, потому что люди, видя на небе круглое солнце и луну, хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делала круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926… Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.
Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2Пиr (6:50).
Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2Пиr. Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2Пи раз. 360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.
Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.
Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!
Подписывайтесь на мой канал!
угол в 360 градусов — это… Что такое угол в 360 градусов?
- угол в 360 градусов
Makarov: complete angle, full angle, perigon angle, round angle
Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.
- угол в 360 град.
- угол в 45 град.
Смотреть что такое «угол в 360 градусов» в других словарях:
УГОЛ — УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь
Трёхгранный угол — Трехгранный угол. Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгран … Википедия
Тысячная (угол) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тысячная. Тысячная единица измерения углов, принятая в артиллерии и равняющаяся одной шеститысячной части оборота. Название происходит от приблизительного равенства такой единицы измерения… … Википедия
Кватернионы и вращение пространства — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Параллельные брусья — У этого термина существуют и другие значения, см. Брусья. Выступление на параллельных брусьях Параллельные брусья спортивный снаряд, применяющийся в спортивной гимнастике … Википедия
МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера
Перекладина — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
БМД-3 — 1990 БОЕВАЯ МАШИНА ДЕСАНТА Тактико технические характеристики • Силовая установка • Вооружение • Факты • Основные модификации … Военная энциклопедия
ГРАДУС — (лат. gradus степень, ступень, мера). 1) одна из равных частей, на которые делится окружность (обыкновенно 1/360 часть). В физике: каждая из равных частей, на которые делится шкала термометра, барометра и др. приборов. 3) в древн. Руси: ученая… … Словарь иностранных слов русского языка
Линейные крейсера типа «Лайон» — Lion class battlecruisers … Википедия
Шерман (танк) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шерман. У этого термина существуют и другие значения, см. М 4 … Википедия
Почему в окружности 360 градусов? Все знают, что углы измеряются в…: vasily_sergeev — LiveJournal
Все знают, что углы измеряются в градусах, и что окружность (граница круга) содержит ровно 360 градусов. Из этой цифры в дальнейшем считаются и развёрнутый угол (180 градусов), и прямой угол (90 градусов), и все-все остальные углы. А теперь – вопрос: а почему в окружности 360 градусов? Откуда взялось именно это число?
Более 4000 лет назад астрономы древнего Шумера и Вавилонского царства внимательно изучали движение Солнца по небу. И немудрено: ведь Солнце по их представлениям – это лично бог Уту, или Шамаш, «Властелин Дня», несущий свет и тепло всему живому. Одним из первых успехов тогдашней астрономии стало измерение видимой скорости движения Солнца. Расстояние, в точности равное диаметру солнечного диска, шумеры и вавилоняне назвали «шагом Солнца». Каково же было их восхищение и удивление, когда они открыли, что «полный круг», то есть годовой оборот Солнца по небу, составляет ровно 720 «шагов», или 360 «двойных шагов»!
Число 360 – одно из самых удобных чисел для измерения, потому что оно без остатка делится на числа 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180.
С точки зрения древних математиков и астрономов это не могло быть простым совпадением, это было настоящим божественным чудом! Сам бог Солнца указывает своим слугам удобную меру, которой следует измерять расстояния в небе и углы на земле!
В дальнейшем «небесный шаг» вавилонян заимствовали греческие и римские астрономы, а по-латыни «шаг» и будет «градус» – откуда это слово и попало в русский язык. Кстати, за прошедшие 4000 лет в небе ничего не изменилось – за 1 год, то есть за полный оборот, Солнце всё так же делает 360 «двойных шагов». Отсюда запоминаем – видимый поперечник Солнца равен половине градуса, или 30 угловым минутам, а 2 поставленных «бок о бок» поперечника Солнца – это ровно 1 градус.
matholimp
Версия интересная, но неверная. На самом деле всё гораздо проще, если знать два факта. Во-первых, в древних Египте и Вавилоне пользовались 60-чной системой счисления. Во-вторых, основным углом считался не прямой (как сейчас), а угол равностороннего треугольника. Ибо его было проще всего построить: достаточно натянуть три равных по длине высушенных воловьих хвоста (иных геометрических инструментов в массовом обиходе тогда не было). Вот угол равностороннего треугольника и разделили на 60 градусов, градус — на 60 минут, а минуту — на 60 секунд. Остаётся заметить, что окружность вмещает в точности 6 углов равностороннего треугольника.
угол в 360 градусов — с английского на все языки
См. также в других словарях:
УГОЛ — УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь
Трёхгранный угол — Трехгранный угол. Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгран … Википедия
Тысячная (угол) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тысячная. Тысячная единица измерения углов, принятая в артиллерии и равняющаяся одной шеститысячной части оборота. Название происходит от приблизительного равенства такой единицы измерения… … Википедия
Кватернионы и вращение пространства — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Параллельные брусья — У этого термина существуют и другие значения, см. Брусья. Выступление на параллельных брусьях Параллельные брусья спортивный снаряд, применяющийся в спортивной гимнастике … Википедия
МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера
Перекладина — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
БМД-3 — 1990 БОЕВАЯ МАШИНА ДЕСАНТА Тактико технические характеристики • Силовая установка • Вооружение • Факты • Основные модификации … Военная энциклопедия
ГРАДУС — (лат. gradus степень, ступень, мера). 1) одна из равных частей, на которые делится окружность (обыкновенно 1/360 часть). В физике: каждая из равных частей, на которые делится шкала термометра, барометра и др. приборов. 3) в древн. Руси: ученая… … Словарь иностранных слов русского языка
Линейные крейсера типа «Лайон»
Шерман (танк) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шерман. У этого термина существуют и другие значения, см. М 4 … Википедия
угол в 360 градусов — с английского на русский
См. также в других словарях:
УГОЛ — УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь
Трёхгранный угол — Трехгранный угол. Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгран … Википедия
Тысячная (угол) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тысячная. Тысячная единица измерения углов, принятая в артиллерии и равняющаяся одной шеститысячной части оборота. Название происходит от приблизительного равенства такой единицы измерения… … Википедия
Кватернионы и вращение пространства — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Параллельные брусья — У этого термина существуют и другие значения, см. Брусья. Выступление на параллельных брусьях Параллельные брусья спортивный снаряд, применяющийся в спортивной гимнастике … Википедия
МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера
Перекладина — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
БМД-3 — 1990 БОЕВАЯ МАШИНА ДЕСАНТА Тактико технические характеристики • Силовая установка • Вооружение • Факты • Основные модификации … Военная энциклопедия
ГРАДУС — (лат. gradus степень, ступень, мера). 1) одна из равных частей, на которые делится окружность (обыкновенно 1/360 часть). В физике: каждая из равных частей, на которые делится шкала термометра, барометра и др. приборов. 3) в древн. Руси: ученая… … Словарь иностранных слов русского языка
Линейные крейсера типа «Лайон» — Lion class battlecruisers … Википедия
Шерман (танк) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шерман. У этого термина существуют и другие значения, см. М 4 … Википедия
угол в 360 градусов — с русского на английский
См. также в других словарях:
УГОЛ — УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь
Трёхгранный угол — Трехгранный угол. Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгран … Википедия
Тысячная (угол) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тысячная. Тысячная единица измерения углов, принятая в артиллерии и равняющаяся одной шеститысячной части оборота. Название происходит от приблизительного равенства такой единицы измерения… … Википедия
Кватернионы и вращение пространства — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Параллельные брусья — У этого термина существуют и другие значения, см. Брусья. Выступление на параллельных брусьях Параллельные брусья спортивный снаряд, применяющийся в спортивной гимнастике … Википедия
МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера
Перекладина — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
БМД-3 — 1990 БОЕВАЯ МАШИНА ДЕСАНТА Тактико технические характеристики • Силовая установка • Вооружение • Факты • Основные модификации … Военная энциклопедия
ГРАДУС — (лат. gradus степень, ступень, мера). 1) одна из равных частей, на которые делится окружность (обыкновенно 1/360 часть). В физике: каждая из равных частей, на которые делится шкала термометра, барометра и др. приборов. 3) в древн. Руси: ученая… … Словарь иностранных слов русского языка
Линейные крейсера типа «Лайон» — Lion class battlecruisers … Википедия
Шерман (танк) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шерман. У этого термина существуют и другие значения, см. М 4 … Википедия
градусов (углы)
Мы можем измерять углы в градусах.
За один полный оборот (один полный круг вокруг).
(Углы также можно измерять в радианах)
(Примечание: «Градусы» также могут означать температуру, но здесь мы говорим об углах)
Символ градуса: °
Мы используем маленький кружок ° после числа для обозначения градусов.
Например, 90 ° означает 90 градусов
Одна степень
Вот насколько велик 1 градус
Полный круг
Полный круг равен 360 °
Половина круга равна 180 °
(называется прямым углом)
Четверть круга равна 90 °
(называется прямым углом)
Почему 360 градусов? Вероятно, потому что в старых календарях (например, в персидском календаре) использовалось 360 дней в году — когда они наблюдали за звездами, они видели, как они вращаются вокруг Полярной звезды на один градус в день. Также 360 можно разделить точно на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180, что значительно упрощает базовую геометрию. |
Градусы измерения
Мы часто измеряем градусы с помощью транспортира:
Обычный транспортир измеряет от 0 ° до 180 °
Существуют также транспортиры полного круга. Но они не так часто используются, потому что они немного большие и не делают ничего особенного. |
Острый, тупой, прямой и правый
Угол измеряет величину поворота
Названия углов
По мере увеличения угла название меняется:
Попробуйте сами:
В одной схемеЭта диаграмма может помочь вам запомнить: Также: Acute, Obtuse и Reflex расположены в алфавитном порядке. |
Также: буква «А» имеет острый угол.
Будьте осторожны при измерении
| Меньший угол — тупой угол , , но больший угол — угол отражения |
Поэтому при именовании углов убедитесь, что что вы знаете , какой угол просил !
Положительные и отрицательные углы
При измерении от линии:
- положительный угол идет против часовой стрелки (направление, противоположное ходу часов)
- отрицательный угол идет по часовой стрелке
Пример: −67 °
Части угла
Угловая точка угла называется вершиной
И две прямые стороны называются руками
Угол равен повороту между каждым плечом.
Как маркировать углы
Есть два основных способа маркировать углы:
1. Назовите угол, обычно строчной буквой, например a или b , или иногда греческой буквой, например α (альфа) или θ (тета)
2. или тремя буквами на фигуре, которые определяют угол, при этом средняя буква указывает на то, где на самом деле угол (его вершина).
Пример угла « a » — « BAC », а угол « θ » — « BCD »
.Измерение углов — радианы, отрицательные углы, углы больше 360
Когда две линии пересекаются, они образуют четыре разных пространства относительно точки пересечения.
Созданные пространства называются углами .
На рисунке показаны 4 разных угла, образованных на пересечении двух прямых AB и CD.
Углы обычно измеряются в градусах, обозначаемых как °.
Когда объект проходит полный цикл, то есть из точки D через B, C, A и затем обратно в D, мы говорим, что он прошел 360 градусов (360 °).Следовательно, степень — это $ \ frac {1} {360} $ цикла.
Мы обсуждали, что когда объект совершает один полный цикл вокруг точки, он покрывает 360 °, однако, когда объект совершает более одного цикла, он делает угол больше 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Шина совершает множество циклов, когда отсюда едет транспортное средство; он составляет угол больше 360 °.
Чтобы узнать количество циклов, совершаемых при вращении объекта, мы подсчитываем, сколько раз можно добавить к нему 360, чтобы получить число, равное или меньшее заданного угла.{\ circ} = \ frac {260} {360} = \ frac {7} {9} $ циклов
Объект делает $ 2 \ frac {7} {9} $ циклов
На рисунке ниже показан знак угла, отсчитываемого от общей линии, линии 0 градусов
.
Когда объект вращается по часовой стрелке, он составляет отрицательный угол поворота , а когда он вращается против часовой стрелки, он составляет положительный угол . До сих пор в наших обсуждениях мы смотрели только на положительные стороны.
В виде диаграммы отрицательный угол может быть таким, как показано ниже.
Это означает, что при отрицательном угле мы можем получить соответствующий положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной линии составляет 270 °. При измерении в отрицательном направлении он составит -90 °. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Учитывая отрицательный угол, мы добавляем 360, чтобы получить соответствующий положительный угол.
Если угол равен -360 °, это означает, что объект совершил более одного цикла по часовой стрелке.
Пример 3
1. Найдите соответствующий положительный угол
а) -35 °
б) -60 °
в) -180 °
г) — 670 °
2.Найдите соответствующий отрицательный угол в 80 °, 167 °, 330 ° и 1300 °.
Решение
1. Мы добавляем 360 к углу, чтобы получить соответствующий положительный угол.
а) -35 ° = 360 + (-35) = 360-35 = 325 °
б) -60 ° = 360 + (-60) = 360-60 = 300 °
в) -180 ° = 360 + ( -180) = 360 — 180 = 180 °
d) -670 ° = 360 + (-670) = -310
То есть один цикл по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50 °
Угол это 360 + 50 = 410 °
2. Мы вычитаем 360 из угла, чтобы получить соответствующий отрицательный угол.
80 ° = 80 — 360 = — 280 °
167 ° = 167 — 360 = -193 °
330 ° = 330 — 360 = -30 °
1300 ° = 1300 — 360 = 940 (выполняется один цикл)
940 — 360 = 580 (второй цикл выполнен)
580 — 360 = 220 (третий цикл выполнен)
220 — 360 = -140 °
Угол составляет -360-360-360-140 = -1220 °
Таким образом, 1300 ° = -1220 °
Радиан — это угол, образованный дугой в центре окружности, равной длине радиуса этого конкретного круга.
Следовательно, это единица измерения угла.{\ circ} $
Радиус = r = OA = OB = AB
Угол BOA равен 1 радианам
Поскольку окружность задается радиусом $ 2 \ pi r $ или $ 2 \ pi $, следовательно, в одном полном цикле есть $ 2 \ pi $ радиан.
Радианы обычно задаются в виде $ \ pi $, чтобы избежать использования десятичных знаков при вычислениях. В большинстве книг сокращение рад не предоставляется, но читатель должен знать, что, говоря об угле, который задается в терминах $ \ pi $,
единицы автоматически радианы.{\ circ}
$ c) 1 рад = 57,3 °
$ 2,4 = \ frac {2,4 \ times 57,3} {1} = 137,52 $
Отрицательные углы и углы более $ 2 \ pi $ радиан
Чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы добавляем к нему $ 2 \ pi $.
Чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $ 2 \ pi $.
Пример 5
1. Преобразуйте $ — \ frac {3} {4} \ pi $ и $ — \ frac {5} {7} \ pi $ в положительные углы в радианах.
Решение
Добавляем $ 2 \ pi $ к углу
$ — \ frac {3} {4} \ pi = — \ frac {3} {4} \ pi + 2 \ pi = \ frac {5} {4 } \ pi = 1 \ frac {1} {4} \ pi $
$ — \ frac {5} {7} \ pi = — \ frac {5} {7} \ pi + 2 \ pi = \ frac {9 } {7} \ pi = 1 \ frac {2} {7} \ pi $
Когда объект вращается на угол больше $ 2 \ pi $; это сделало бы более одного цикла.
Чтобы определить количество циклов такого угла, мы находим число, когда умножаем его на $ 2 \ pi $, результат равен или меньше, но ближе к числу.
Пример 6
.Измерение углов
Измерение угловПонятие угла
Понятие угла — одно из самых важных понятий в геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов.Есть две обычно используемые единицы измерения углов.Более знакомая единица измерения — это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. В настоящее время мы будем рассматривать только углы между 0 ° и 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы. Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минут. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ‘. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунды, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ’30 «. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению на часы в минуты и секунды. |
Части градуса теперь обычно называются десятичными. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут 7.5 & град.
Когда один угол рисуется на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x — ось, а другая сторона — выше оси x .
Радианы
Другое распространенное измерение углов — радианы. Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла.Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2 π , отсюда следует, что 360 ° равняется 2 π радиан. Следовательно, 1 ° равен π /180 радиани 1 радиан равен 180/ π градусовБольшинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор. |
Краткая записка по истории радианов
Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей книге Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией. e iθ = cos θ + i sin θгде θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.
Радианы и длина дуги
Альтернативное определение радианов иногда дается как отношение. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает то же число, что и приведенное выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, так как вы можете использовать его, чтобы связать длину дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, в умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.
Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.
Радианы и площадь сектора
Сектор круга — это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r круга и углу θ между радиусами, если он измеряется в радианах.Так как площадь всего круга равна πr 2 , а сектор относится ко всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтомуОбщие углы
Ниже приведена таблица общих углов для измерения в градусах и радианах. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в единицах π . Его, конечно, можно было бы дать десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π . .| Уголок | градусов | Радианы |
|---|---|---|
| 90 ° | π /2 | |
| 60 ° | π /3 | |
| 45 ° | π /4 | |
| 30 ° | π /6 |
Упражнения
Эдвин С.Кроули написал книгу « Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии», Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). Он дал свои задачи с точностью до пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь использовать таблицу синус-косинусов, таблицу касательных, таблицу логарифмов, таблицу log-sin-cos и таблицу log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на утомительных вычислениях.Кроули не использовал десятичную систему счисления для дробей градуса, а использовал минуты и секунды.
Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.
1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.
2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.
3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину проходящей дуги.
(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.
(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.
4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол, прилегающий к центру.
(а). л = 0,16296, л = 12,587.
(б). л = 1,3672, л = 1,2978.
5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.
(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.
6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус составляет 3200 футов.
7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.
9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?
10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в секунду?
14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?
23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?
Подсказки
1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.
2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Итак, 0,47623, разделенное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286, умноженное на 60, равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 «.
3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «равно 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.
4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Их можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.
5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.
6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.
7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.
9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)
10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?
14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.
23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко.) Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?
Ответы
1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».
3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.
4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.
(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535
радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.
5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.
(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.
6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.
7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет 2102,5 a — 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.
9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.
10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Поэтому одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.
14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.
23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.
Насчет цифр точности.
Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно теперь, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это будет вводить в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.
Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим количеством цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.
.