Уравнение к касательной – Калькулятор онлайн — Уравнение прямой касательной к графику функции в точке (с подробным решением)

Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: изучение нового материала.



Методы обучения: наглядный, частично
поисковый.



Цель урока.

  1. Ввести понятие касательной к графику функции
    в точке, выяснить в чем состоит геометрический
    смысл производной, вывести уравнение
    касательной и научить находить его для
    конкретных функций.
  2. Развивать логическое мышление, математическую
    речь.
  3. Воспитывать волю и упорство для достижения
    конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска,
компьютер.



План урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку.
Сообщение темы урока и целей.



II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое
определение касательной к графику функции.
Привести примеры, показывающие, что данное
утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной
кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения.
(После обсуждения, учащиеся приходят к выводу,
что данное определение неверно.) Для наглядного
доказательства их умозаключения приводим
следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую
точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая
прямая не является к данной параболе касательной
(Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

 

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что
же такое касательная к графику функции в точке,
как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление
уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения
прямой, условия параллельности прямых,
определение производной и правила
дифференцирования. (Слайд № 4)



III. Подготовительная работа к изучению нового
материала.

  1. Сформулировать определение производной. (Слайд
    № 5)
  2. Заполнить таблицу произвольных элементарных
    функций. (Слайд № 6)
  3. Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
  4. Какие из указанных прямых параллельны и почему?
    (Убедиться наглядно) (Слайд №8)



IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам
достаточно знать угловой коэффициент и
координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к
графику функции проведена касательная (мы
предполагаем, что она существует). Найти угловой
коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3)
точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е.
тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется
по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет
приближаться по кривой к точке М. Касательную мы
охарактеризовали как предельное положение
секущей при этом приближении. Значит,
естественно считать, что угловой коэффициент
касательной
будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а
можно провести касательную, непараллельную оси у,
то выражает угловой коэффициент касательной.
(Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а
равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной.
(Слайд № 11)

Причем, если :

  1. .

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления
m воспользуемся тем, что прямая проходит через
точку .
Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k
и m в уравнение прямой:



уравнение касательной к графику функции. (Слайд
№ 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

  1. к параболе
    в точке
    (Слайд № 13)
  2. к графику функции в точке

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень
простым алгоритмом, который заключается в
следующем: (Слайд № 15)

  1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
  2. Вычислим .
  3. Найдем и .
  4. Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.



№1 Составить уравнение касательной к графику
функции в
точке .

(Слайд № 16)



Решение. Воспользуемся алгоритмом,
учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в
формулу.

Получим:

, т.е.



Ответ:



№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она
была параллельна прямой . (Слайд № 17)



Решение. Уточним формулировку задачи.
Требование “провести касательную” обычно
означает “составить уравнение касательной”.
Воспользуемся алгоритмом составления
касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна
прямой . Две
прямые параллельны, тогда и только тогда, когда
равны их угловые коэффициенты. Значит угловой
коэффициент касательной должен быть равен
угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно:
; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и .
Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие
условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая
в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

3)

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.



Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и
Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12
(б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)



VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

  • Что называется касательной к графику функции в
    точке?
  • В чем заключается геометрический смысл
    производной?
  • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения
    касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты
урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.



VII. Комментарии к домашней работе

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)



Литература. (Слайд 23)

  1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб.
    Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных
    учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г.
    Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала математического анализа:
    Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся
    общеобразовательных учреждений (базовый
    уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.:
    Мнемозина, 2009.
  3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и
    контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П.,
    Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
  4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь /
    Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.:
    Издательство МЦНМО, 2010.

urok.1sept.ru

Уравнение касательной к графику функции. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.













1.

Касательная к графику тригонометрической функции


Сложность:
лёгкое

2


2.

Касательная к графику квадратичной функции


Сложность:
лёгкое

2


3.

Нахождение приближённого значения числового выражения


Сложность:
лёгкое

1


4.

Уравнение касательной к графику квадратичной функции


Сложность:
среднее

1


5.

Тангенс угла наклона касательной


Сложность:
среднее

1


6.

Уравнение касательной к графику


Сложность:
среднее

1


7.

Точка касания прямой параллельно заданной


Сложность:
среднее

2


8.

Уравнение параллельной касательной


Сложность:
среднее

4


9.

Уравнение касательной к двум параболам


Сложность:
сложное

4


10.

Параметрическая функция к двум касательным


Сложность:
сложное

2


11.

Нахождение значения параметров прямой


Сложность:
сложное

2

www.yaklass.ru

Уравнение касательной к графику функции













1.

Касательная к графику тригонометрической функции

2 вид — интерпретация

лёгкое

2 Б.

Вычисление углового коэффициента касательной к графику тригонометрической функции.

2.

Касательная к графику квадратичной функции

2 вид — интерпретация

лёгкое

2 Б.

Вычисление углового коэффициента касательной к графику квадратичной функции.

3.

Нахождение приближённого значения числового выражения

2 вид — интерпретация

лёгкое

1 Б.

В решении используется формула приближённого равенства.

4.

Уравнение касательной к графику квадратичной функции

2 вид — интерпретация

среднее

1 Б.

Составление уравнения касательной к графику квадратичной функции.

5.

Тангенс угла наклона касательной

2 вид — интерпретация

среднее

1 Б.

Нахождение тангенса угла наклона касательной, если дана точка.

6.

Уравнение касательной к графику

2 вид — интерпретация

среднее

1 Б.

Уравнение касательной к гиперболе.

7.

Точка касания прямой параллельно заданной

2 вид — интерпретация

среднее

2 Б.

Нахождение точки касания прямой, которая параллельна заданной

8.

Уравнение параллельной касательной

2 вид — интерпретация

среднее

4 Б.

График — кубическая парабола; задана параллельная прямая.

9.

Уравнение касательной к двум параболам

3 вид — анализ

сложное

4 Б.

Формула квадратичной функции задана с параметром.

10.

Параметрическая функция к двум касательным

3 вид — анализ

сложное

2 Б.

Вычисление значения параметров функции, даны две касательные.

11.

Нахождение значения параметров прямой

3 вид — анализ

сложное

2 Б.

Задана касательная с одним параметром и парабола с двумя параметрами.

www.yaklass.ru

Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: Уравнение касательной. Условие касания.

Урок по алгебре и началам математического анализа

 в 10 классе (физ-мат.)

Тема: «Уравнение касательной. Условие касания».

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков при  решении проблемы.

Цель урока: Закрепить ранее полученные знания,  научиться самостоятельно решать более сложные задачи и на основе их  анализа делать выводы.

 Образовательные:
                  -закрепить знания и   навыки по теме «Уравнение касательной»;

-сформировать умения учащихся решать более сложные задачи;

-подготовить учащихся к самостоятельной деятельности.

Развивающие:

— способствовать развитию мыслительных операций: анализ, аналогия, сравнение, обобщение, внимание, монологической и диалогической речи;

— способствовать развитию у учащихся поиска и распознавания полезной информации ( на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).

Воспитательные:

             — содействовать воспитанию активной личности,

              способной  самостоятельно  делать обобщения и вывод.

Структура урока:

1. Организационно-мотивационный момент.
2. Актуализация ЗУН.
3. Углубление ЗУН на примерах более сложных задач.

4. Обобщение, вывод, рефлексия.

5. Домашнее задание, подведение итогов.

Этап урока

Действия учителя

Действия ученика

Результат

1.

Организационно

мотивационный

Установка на сотрудничество с учащимися и успех в предстоящей работе, постановка  цели и проблемы

Слушают и оценивают предложение учителя, определяют смысл  проблемы

Повышение самооценки, включение в работу

2.

Актуализация ЗУН

Предлагает вспомнить знания и умения, которыми уже владеют дети, по этой теме, корректирует допущенные ошибки

Вспоминают, сравнивают, аргументируют, обобщают те знания, которые уже имеют

Самооценка  и взаимопроверка имеющихся знаний, ликвидация пробелов

3.

Углубление материала по теме

Организует  индивидуальную и фронтальную работу, предлагает участие в обсуждении и  анализе.

Помогает увидеть проблему в конкретном задании, оценивает и корректирует выполняемые учащимися задачи, помогает обобщить полученные результаты

Применяют к составлению уравнений касательных условия параллельности и перпендикулярности. На основе задач с параметром видят решение поставленной проблемы

Поиск и выделение необходимой информации на основе наблюдения и оценки

4.

Обобщение, вывод, рефлексия

Помогает обобщить весь материал, помогает увидеть  самое важное для решения проблемы

Обобщают, систематизируют, формулируют решение проблемы на основе полученных знаний, делают вывод

Составлено условие касания прямой и графика функции, сделан вывод

5.

Домашнее задание, подведение итогов

Комментирует и объясняет домашнее задание, помогает подвести итог, оценивает

Записывают и оценивают, подводят итог

№ 43.56(а)

№ 43.58(а)

№ 43.62(а)

Ход урока:

На прошлом уроке мы с вами вывели уравнение касательной и научились решать некоторые виды задач на составление уравнения касательной.

Давайте ещё раз повторим:

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку?»  (слайд 3,4)

  • Что же такое касательная? (слайд 5,6)
  • Какова связь между производной в точке касания и уравнением касательной? ( слайд 7,8,9,10)
  • Назовите уравнение касательной  (слайд 11)
  • Как мы его получили?

Решение  задач на повторение :

Цель: повторить алгоритм решения задач на составление уравнения касательной, выявить пробелы у учащихся и их  ликвидировать.

Слайд 12 – устно проговорить алгоритм решения, проговорить сходства и различия в решении задач разных видов.

 Решение по вариантам:

Задача №1.

Написать уравнения всех касательных к графику функции f(x)=x2+4x+6, проходящих через точку М(-3;-1).

Ответ:  y=-6x–19,     y=2x+5.

Ответ:  y=-6x–19,     y=

Задача №2.

Правильно ли составлено уравнение касательной к графику функции         f(x)=x3-3×2+1, если угловой коэффициент касательной k = -3. y= -3x+7.

Правильный ответ: y= -3x+2

Как расположены графики таких прямых y= -3x+7, y= -3x+2.

Делаем вывод, что у параллельных прямых коэффициенты равны, а если прямые перпендикулярны?

Слайд 15

Углубление материала:

Цель: вспомнить условия параллельности и перпендикулярности прямых и применить их при  составлении уравнений касательных; в задачах с параметром выяснить необходимые и достаточные условия для существования касательной к графику функции.

Задача №3.

Составьте уравнение касательной к графику функции y = x3-x2-x+1, которая параллельна прямой y=2x-1.

Задача №4.

Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x+1, перпендикулярной прямой y= -1/4x+8.

Ответ: y = 4x+1

Задача №5.

При каких значениях а прямая y=3x-2 является касательной к графику функции y = x2+ax+2?

Ответ: a=-1, a=7.

Задача №6.

При каких значениях b прямая y =3x +b является  касательной к графику функции y = ?

Ответ: b = .

Вывод, рефлексия:

Цель: решить поставленную проблему ,  сформулировать условие касания прямой к графику функции и сделать вывод.

Для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа x0(одной точки касания), для которой выполняется система

Способы написания уравнения касательной:

  1. Находим общие точки графиков, т.е. решение уравнения f(x) = kx+b, а затем для каждого из его решений вычислить f’(x0). Там где f’(x0) = k  , имеет место касание, а в других пересечение.
  2. Находим корни уравнения f’(x0) = k и для каждого из них проверим, выполняется ли равенство f(x0) = kx0 + b. При его выполнении получаются абсциссы точек касания.

Вывод:

 Если в точке x0 существует производная, то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции y = f(x)   и наоборот,  если в точке x0  нет производной функции y =f(x), то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции y =f(x) с  угловым коэффициентом k=f’(x0).

nsportal.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск