Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развивать логическое мышление, математическую речь.
- Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер.
План урока
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний.
(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)
Вспомним, что же такое касательная?
“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)
Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.
Рассмотрим пример. (Слайд № 3)
Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).
На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.
Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)
III. Подготовительная работа к изучению нового материала.
- Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
- Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
- Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
- Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.
Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .
Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .
Следовательно, .
Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)
Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .
Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)
Причем, если :
- .
Выясним общий вид уравнения касательной.
Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:
– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)Рассмотрим примеры:
Составим уравнение касательной:
- к параболе в точке (Слайд № 13)
- к графику функции в точке
(Слайд № 14)
Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)
- Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
- Вычислим .
- Найдем и .
- Подставим найденные числа , в формулу
Рассмотрим типичные задания и их решение.
№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .
(Слайд № 16)
Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .
1)
2)
3) ;
4) Подставим найденные числа ,, в формулу.
Получим:
, т.е.
Ответ:
№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)
Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .
Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .
Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Действуем по алгоритму.
1) ,
2) ,
3)
4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .
Подставив значения ,, , получим , т.е.
Ответ: , .
V. Решение задач.
1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)
2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)
VI. Подведение итогов.
1. Ответьте на вопросы:
- Что называется касательной к графику функции в точке?
- В чем заключается геометрический смысл производной?
- Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
3. Выставление отметок.
VII. Комментарии к домашней работе
№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)
Литература. (Слайд 23)
- Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
- ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.
urok.1sept.ru
1. |
Касательная к графику тригонометрической функции
Сложность: лёгкое |
2 |
2. |
Касательная к графику квадратичной функции
Сложность: лёгкое |
2 |
3. |
Нахождение приближённого значения числового выражения
Сложность: лёгкое |
1 |
4. |
Уравнение касательной к графику квадратичной функции
|
1 |
5. |
Тангенс угла наклона касательной
Сложность: среднее |
1 |
6. |
Уравнение касательной к графику
Сложность: среднее |
1 |
7. |
Точка касания прямой параллельно заданной
Сложность: среднее |
2 |
8. |
Уравнение параллельной касательной
Сложность: среднее |
4 |
9. |
Уравнение касательной к двум параболам
Сложность: сложное |
4 |
10. |
Параметрическая функция к двум касательным
Сложность: сложное |
2 |
11. |
Нахождение значения параметров прямой
Сложность: сложное |
2 |
www.yaklass.ru
1. | Касательная к графику тригонометрической функции | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Вычисление углового коэффициента касательной к графику тригонометрической функции. |
2. | Касательная к графику квадратичной функции | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Вычисление углового коэффициента касательной к графику квадратичной функции. |
3. | Нахождение приближённого значения числового выражения | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 1 Б. | В решении используется формула приближённого равенства. |
4. | Уравнение касательной к графику квадратичной функции | 2 вид — интерпретация | среднее | 1 Б. | Составление уравнения касательной к графику квадратичной функции. |
5. | Тангенс угла наклона касательной | 2 вид — интерпретация | среднее | 1 Б. | Нахождение тангенса угла наклона касательной, если дана точка. |
6. | Уравнение касательной к графику | 2 вид — интерпретация | среднее | 1 Б. | Уравнение касательной к гиперболе. |
7. | Точка касания прямой параллельно заданной | 2 вид — интерпретация | среднее | 2 Б. | Нахождение точки касания прямой, которая параллельна заданной |
8. | Уравнение параллельной касательной | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | График — кубическая парабола; задана параллельная прямая. |
9. | Уравнение касательной к двум параболам | 3 вид — анализ | сложное | 4 Б. | Формула квадратичной функции задана с параметром. |
10. | Параметрическая функция к двум касательным | 3 вид — анализ | сложное | 2 Б. | Вычисление значения параметров функции, даны две касательные. |
11. | Нахождение значения параметров прямой | 3 вид — анализ | сложное | 2 Б. | Задана касательная с одним параметром и парабола с двумя параметрами. |
www.yaklass.ru
Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: Уравнение касательной. Условие касания.
Урок по алгебре и началам математического анализа
в 10 классе (физ-мат.)
Тема: «Уравнение касательной. Условие касания».
Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков при решении проблемы.
Цель урока: Закрепить ранее полученные знания, научиться самостоятельно решать более сложные задачи и на основе их анализа делать выводы.
Образовательные:
-закрепить знания и навыки по теме «Уравнение касательной»;
-сформировать умения учащихся решать более сложные задачи;
-подготовить учащихся к самостоятельной деятельности.
Развивающие:
— способствовать развитию мыслительных операций: анализ, аналогия, сравнение, обобщение, внимание, монологической и диалогической речи;
— способствовать развитию у учащихся поиска и распознавания полезной информации ( на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).
Воспитательные:
— содействовать воспитанию активной личности,
способной самостоятельно делать обобщения и вывод.
Структура урока:
1. Организационно-мотивационный момент.
2. Актуализация ЗУН.
3. Углубление ЗУН на примерах более сложных задач.
4. Обобщение, вывод, рефлексия.
5. Домашнее задание, подведение итогов.
№ | Этап урока | Действия учителя | Действия ученика | Результат |
1. | Организационно мотивационный | Установка на сотрудничество с учащимися и успех в предстоящей работе, постановка цели и проблемы | Слушают и оценивают предложение учителя, определяют смысл проблемы | Повышение самооценки, включение в работу |
2. | Актуализация ЗУН | Предлагает вспомнить знания и умения, которыми уже владеют дети, по этой теме, корректирует допущенные ошибки | Вспоминают, сравнивают, аргументируют, обобщают те знания, которые уже имеют | Самооценка и взаимопроверка имеющихся знаний, ликвидация пробелов |
3. | Углубление материала по теме | Организует индивидуальную и фронтальную работу, предлагает участие в обсуждении и анализе. Помогает увидеть проблему в конкретном задании, оценивает и корректирует выполняемые учащимися задачи, помогает обобщить полученные результаты | Применяют к составлению уравнений касательных условия параллельности и перпендикулярности. На основе задач с параметром видят решение поставленной проблемы | Поиск и выделение необходимой информации на основе наблюдения и оценки |
4. | Обобщение, вывод, рефлексия | Помогает обобщить весь материал, помогает увидеть самое важное для решения проблемы | Обобщают, систематизируют, формулируют решение проблемы на основе полученных знаний, делают вывод | Составлено условие касания прямой и графика функции, сделан вывод |
5. | Домашнее задание, подведение итогов | Комментирует и объясняет домашнее задание, помогает подвести итог, оценивает | Записывают и оценивают, подводят итог | № 43.56(а) № 43.58(а) № 43.62(а) |
Ход урока:
На прошлом уроке мы с вами вывели уравнение касательной и научились решать некоторые виды задач на составление уравнения касательной.
Давайте ещё раз повторим:
Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку?» (слайд 3,4)
- Что же такое касательная? (слайд 5,6)
- Какова связь между производной в точке касания и уравнением касательной? ( слайд 7,8,9,10)
- Назовите уравнение касательной (слайд 11)
- Как мы его получили?
Решение задач на повторение :
Цель: повторить алгоритм решения задач на составление уравнения касательной, выявить пробелы у учащихся и их ликвидировать.
Слайд 12 – устно проговорить алгоритм решения, проговорить сходства и различия в решении задач разных видов.
Решение по вариантам:
Задача №1.
Написать уравнения всех касательных к графику функции f(x)=x2+4x+6, проходящих через точку М(-3;-1).
Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.
Ответ: y=-6x–19, y=
Задача №2.
Правильно ли составлено уравнение касательной к графику функции f(x)=x3-3×2+1, если угловой коэффициент касательной k = -3. y= -3x+7.
Правильный ответ: y= -3x+2
Как расположены графики таких прямых y= -3x+7, y= -3x+2.
Делаем вывод, что у параллельных прямых коэффициенты равны, а если прямые перпендикулярны?
Слайд 15
Углубление материала:
Цель: вспомнить условия параллельности и перпендикулярности прямых и применить их при составлении уравнений касательных; в задачах с параметром выяснить необходимые и достаточные условия для существования касательной к графику функции.
Задача №3.
Составьте уравнение касательной к графику функции y = x3-x2-x+1, которая параллельна прямой y=2x-1.
Задача №4.
Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x+1, перпендикулярной прямой y= -1/4x+8.
Ответ: y = 4x+1
Задача №5.
При каких значениях а прямая y=3x-2 является касательной к графику функции y = x2+ax+2?
Ответ: a=-1, a=7.
Задача №6.
При каких значениях b прямая y =3x +b является касательной к графику функции y = ?
Ответ: b = .
Вывод, рефлексия:
Цель: решить поставленную проблему , сформулировать условие касания прямой к графику функции и сделать вывод.
Для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа x0(одной точки касания), для которой выполняется система
Способы написания уравнения касательной:
- Находим общие точки графиков, т.е. решение уравнения f(x) = kx+b, а затем для каждого из его решений вычислить f’(x0). Там где f’(x0) = k , имеет место касание, а в других пересечение.
- Находим корни уравнения f’(x0) = k и для каждого из них проверим, выполняется ли равенство f(x0) = kx0 + b. При его выполнении получаются абсциссы точек касания.
Вывод:
Если в точке x0 существует производная, то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции y = f(x) и наоборот, если в точке x0 нет производной функции y =f(x), то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции y =f(x) с угловым коэффициентом k=f’(x0).
nsportal.ru