Касательная прямая — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июня 2016; проверки требуют 3 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июня 2016; проверки требуют 3 правки. График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}. Угол α{\displaystyle \alpha } между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

tgα=f′(x0)=k,{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0})=k,}

где k{\displaystyle \operatorname {k} } — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x0{\displaystyle x_{0}} равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)} в этой точке.

Пусть f:U(x0)→R{\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} } и x1∈U(x0).{\displaystyle x_{1}\in U(x_{0}).} Тогда прямая линия, проходящая через точки (x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} и (x1,f(x1)){\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))} задаётся уравнением

y=f(x0)+f(x1)−f(x0)x1−x0(x−x0).{\displaystyle y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}

Эта прямая проходит через точку (x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} для любого x1∈U(x0),{\displaystyle x_{1}\in U(x_{0}),} и её угол наклона α(x1){\displaystyle \alpha (x_{1})} удовлетворяет уравнению

tgα(x1)=f(x1)−f(x0)x1−x0.{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.}

В силу существования производной функции f{\displaystyle f} в точке x0,{\displaystyle x_{0},} переходя к пределу при x1→x0,{\displaystyle x_{1}\to x_{0},} получаем, что существует предел

limx1→x0tgα(x1)=f′(x0),{\displaystyle \lim \limits _{x_{1}\to x_{0}}\operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),}

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

α=arctgf′(x0).{\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \,f'(x_{0}).}

Прямая, проходящая через точку (x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий tgα=f′(x0),{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0}),} задаётся уравнением касательной:

y=f(x0)+f′(x0)(x−x0).{\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства[править | править код]

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Односторонние полукасательные[править | править код]

• Если существует правая производная f+′(x0)<∞,{\displaystyle f’_{+}(x_{0})<\infty ,} то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}} называется луч

y=f(x0)+f+′(x0)(x−x0),x⩾x0.{\displaystyle y=f(x_{0})+f’_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.}

• Если существует левая производная f−′(x0)<∞,{\displaystyle f’_{-}(x_{0})<\infty ,} то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}} называется луч

y=f(x0)+f−′(x0)(x−x0),x⩽x0.{\displaystyle y=f(x_{0})+f’_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.}

• Если существует бесконечная правая производная f+′(x0)=+∞(−∞),{\displaystyle f’_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),} то правой полукасательной к графику функции f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}} называется луч

x=x0,y⩾f(x0)(y⩽f(x0)).{\displaystyle x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).}

• Если существует бесконечная левая производная f−′(x0)=+∞(−∞),{\displaystyle f’_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),} то правой полукасательной к графику функции f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}} называется луч

x=x0,y⩽f(x0)(y⩾f(x0)).{\displaystyle x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).}

Презентация и конспект по алгебре на тему «Вычисления производных. Уравнение касательной к графику функции.» (11 класс)

Дата:07.09.2016

Класс: 11Б

Тема урока: Вычисления производных. Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: повторение и обобщение материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

План урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола  и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

 

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)

Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)

Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)

Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение  и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой 

. Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле  .

Если мы теперь устремим  к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной  будет вычисляться по формуле 

.

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке  .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если :

.

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

к параболе  в точке  (Слайд № 13)

к графику функции  в точке 

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Обозначим абсциссу точки касания буквой a.

Вычислим .

Найдем  и .

Подставим найденные числа , в формулу 

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции  в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1) 

2) 

3) ; 

4) Подставим найденные числа ,,  в формулу.

Получим:

, т.е. 

Ответ: 

№2 К графику функции  провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что  и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) , 

2) , 

3) 

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е. 

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника:

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

VII. Комментарии к домашней работе

План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему: Урок по теме «Касательная. Уравнение касательной»

Урок по теме «Касательная. Уравнение касательной»

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока:

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
2. Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
3. Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока

I Организационный момент.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.

II Актуализация материала. 
(Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.)  

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Примеры. 
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе .
 2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида ; (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика .

Рисунок 1

Рисунок 2

Постановка цели и задачи перед детьми на уроке:  выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.

III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций

2 ученик: вспомни правила дифференцирования

3 ученик: составьте уравнение прямой y = kx + 4, проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)

4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3x + b, проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).

С остальными фронтальная работа.

1. Сформулируйте определение производной.
2. Какие из указанных  прямых параллельны? у = 0,5х; у = — 0,5х; у = — 0,5х + 2. Почему?

Отгадай фамилию учёного :

Ключ к ответам

Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам.
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

• Начнём с углового коэффициента 

Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x)  дифференцируемой в точке А(x0, f(x0)) .
Выберем на нём точку M (x0 + Δх, f(x0+ Δх)) и проведем секущую AM.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению — прямой AT. Другими словами AT, обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x0, f(x0)). 

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f ‘(x0). Значение производной в точке х0 примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей  при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x0, f(x0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ‘(x0) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Определение касательной: Касательная    к    графику   дифференцируемой    в точке х0функции f  — это прямая, проходящая через точку (x0, f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х0).
Проведем касательные к графику функции y = f(x)  в точках х1, х2, х3,  и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 4

Мы видим, что угол α1 острый, угол α3 тупой, а угол α2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла   положителен,   тупого — отрицателен. Поэтому  f ‘(х1)>0, f ‘(х2) = 0, f ‘(х3)  

• Выведем теперь уравнение касательной  к графику функцииf в точке А(x0, f(x0)).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b.

1. Найдём угловой коэффициент k = f ‘(х0), получим y = f ‘(х0)∙x + b, f(x) = f ‘(х0)∙x + b
2. Найдём b.  b = f(x0) — f ‘(х0)∙x0.
3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f ‘(х0)∙x + f(x0) — f ‘(х0)∙x0 или  y = f(x0) + f ‘(х0)(x — x0)

•  Обобщение материала лекции. 

— что называется касательной к графику функции в точке?
— в чём заключается геометрический смысл производной?
— сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

V Закрепление изученного материала.

1. Устная работа:
1) В  каких точках графика касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2)  При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?

Рисунок 5

Рисунок 6

3) На рисунке изображён график функцииf(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f ‘(x) в точке x0.

Рисунок 7

 2. Письменная работа. 
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (работа на местах, с комментарием)

3. Решение опорных задач.
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение: 

1. Вычислим значение функции: f(-2) =(-2)3 – 3(-2) – 1 = -3;
2. найдём производную функции:  f ‘(х) = 3х2 – 3;
3. вычислим значение производной:  f ‘(-2) = — 9.;
4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y0  = 1.
Решение:

1. Найдем абсциссу точки касания: , х0 = 1.
2. Найдём производную функции: f ‘(х) = .
3. Найдем угловой коэффициент касательной f ‘(х0) : f ‘(1)= — 1
4. Теперь можно записать уравнение касательной:  y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2.

Ответ: y = –x + 2.

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x3 – 2x + 7, параллельной прямой у = х.
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x.  Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1,  y'(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х0 точек касания удовлетворяет уравнению 3х2 – 2 = 1, откуда х0 = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9.
Ответ: y = x + 5,  y = x + 9.

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая  y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f ‘(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень  –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.

5. Самостоятельная работа обучающего характера. 

Работа в парах.

Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.

6. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.  
Углом пересечения графика функции y = f(x) и прямой l называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.
№ 259 (а, б), № 260 (а) – разобрать у доски.

7. Самостоятельная работа контролирующего характера.  (работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку)
1 вариант.

1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)= х3+ 27 в точке х0 = -3.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой  х0 = 3. Выполните рисунок.
3. Выясните, является ли прямая у = 0,5х + 0,5 касательной к графику функции у = .

2 вариант.

1. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х2 — 12х + 7 параллельна оси х?
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х2 — 4 в точке с абсциссой х0 =  — 2. Выполните рисунок.
3. Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х3.

3 вариант.

1. В какой точке графика функции у = . касательная наклонена к оси абсцисс под углом 60°?
2. Составьте уравнение касательной к графику функции  , параллельно прямой у = 3х.
3. Выясните, является ли прямая у = х касательной к графику функции у = sin x.

VI Подведение итогов урока.
1. Ответы на вопросы
— что называется касательной к графику функции в точке?
— в чём заключается геометрический смысл производной?
— сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
2. Вспомните цели и задачи урока, достигли ли мы данной цели?
3. В чём были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
4. Выставление отметок за урок.
VII Комментарий домашнего задания: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице .

Литература

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений.    Составители:. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2008.

2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. — М.: Просвещение, 2008.
3. Мультимедийный диск  фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006.
4. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/

Конспект урока по алгебре «Уравнение касательной. Геометрический смысл производной» (11 класс)

Уравнение касательной. Геометрический смысл произодной.

Учитель математики

МБОУ Чердаклинская СШ №1

Юдина Н.Ю.

Цели урока:

образовательные:

• — продолжить формировать умение применять формулы дифференцирования при составлении уравнения касательной к графику функции, а также использовать в решении задач на касательную геометрический смысл производной;

• рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по теме , предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

развивающие:

• развивать умения анализировать вопрос задания и делать выводы;

• развивать самостоятельность, умение рефлексивной оценки своей деятельности

воспитательные:

• воспитывать аккуратность, внимательность, интерес к предмету.

• способствовать созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики

Задачи урока:

1. Повторить формулы дифференцирования

2. Закрепить алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

3. Закрепить знания о геометрическом смысле производной

4. Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции и графиком функции для их применения при сдаче ЕГЭ: уметь находить угол , который касательная образует с положительным направлением оси Ох, значение производной в указанной точке, применять условие параллельности прямых для ответа на вопросы по графику функции или графику производной функции.

Тип урока: урок закрепления и применения знаний на практике.

Форма урока: урок-практикум

Оснащение: интерактивная доска, компьютерная презентация, раздаточный материал : карточки для индивидуальной работы, маршрутный лист, тестовые задания для проверочной работы

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.

Ход урока:

1. 1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока, проверка домашнего задания.

(слайд 1-пустой) Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас необычный урок. Необычность его заключается в том, что у нас в гостях учителя из других школ. И в то же время – это обычный урок, т.к. мы повторяем ранее изученный материал и сегодня будем закреплять свои знания по теме: «Уравнение касательной. Геометрический смысл производной», продолжим формировать умение применять формулы дифференцирования при составлении уравнения касательной к графику функции, будем использовать в решении задач на касательную геометрический смысл производной, работая с тестовыми заданиями ЕГЭ, поэтому необходимо ваше внимание. Вы сможете оценить степень усвоения материала по данной теме, выполняя тест в конце урока, а также скорректировать свои знания, работая на уроке и выполнив домашнее задание. Давайте пожелаем друг другу успеха и пожмем друг другу руки.

2 ) Проверка домашнего задания (слайд 2-через документ-камеру демонстрируется на доску номер из домашнего задания, к которому нет ответа в учебнике), остальные проверяются фронтально в тетрадях

3. Актуализация знаний

Устный счёт.(слайд 3- На интерактивной доске высвечиваются примеры для устного нахождения производной, внизу- 7 квадратов с номерами, с обратной стороны открываются буквы , после ответа учеников)

Три ученика будут работать по карточкам (приложение №3)

-Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной. И сегодня мы посмотрим, чему же вы научились. Что значит продифференцировать? (найти производную)

Отвечаем на мои вопросы полным ответом, в результате мы получим слово, связанное с темой урока (буквы открываются после ответа на вопрос).

Найдите производную суммы, разности, произведения, степенной функции, сложной функции (сколько их здесь?)

Найдите производную функции

^х

5

y=ln(2- х)

y=3x²+2x+5

6

y=x^-5

y= хcosх

7

у=sin

y=

Получилось слово Флюксия

–Кто-нибудь знает, что это такое? Это устаревшее название производной функции, введённое Исааком Ньютоном , основоположником дифференциального и интегрального исчисления, о котором будем говорить позднее.

Продолжим повторение теоретического материала. 1 ученик идет к доске – записывает уравнение касательной.

В это время класс отвечает на вопросы учителя:

1. что такое производная с геометрической точки зрения?

какую формулу имеет уравнение касательной? (Проверить ответ на доске, ученик объясняет , что означает каждый компонент .)

Вопрос к классу : Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику.

4) Закрепление ранее изученного материала.

Открываем тетради, записываем 20.11.15. Классная работа.(Собрать решение заданий по карточкам)

(слайд 3- пустой)Работаем по учебнику, №5.30в. К доске ….. (Учение решает пример, комментирует решение) Получили уравнение касательной у=2-х.

Повторение теоретического материала

Вопросы к классу : Что является графиком? (прямая)

Нарисуйте в воздухе, как она расположена в системе координат?

Уравнение прямой? (y= k x + b)

Как называется коэффициент при «х»? (угловой коэффициент прямой)

(слайд 4-изображены графики трёх линейных функций)

Повторим материал 7 класса:

Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

-Какой угол образует прямая с осью абсцисс:

• если k>0

• если k<0

• если k=0

(по ходу ответов делаются пометки на чертеже)

Условие параллельности прямых?

5 )Применение ранее изученного материала к решению задач. А теперь соединим знания 7 класса и 11 класса и продолжите : Если касательная параллельна оси ОХ или любой прямой, параллельной оси ОХ, то .… (f ‘ (x) = k = 0)

У вас на столах имеются приложения, возьмите приложение № 1-ваш маршрутный лист, с которым вы работаете сегодня на уроке. На нем приведены и задачи, которые решаем все вместе, и задания для самостоятельной работы и для работы в парах, а также две дополнительные задачи для тех, кто решает вперед. С этим бланком вы работаете, делаете все необходимые пометки, не забывайте о самооценке

Итак, работаем со справочным материалом – на доске слайд 5 -изображен график функции и три касательные, проведенные к нему )

Сделайте вывод о значении производной функции в точке касания, используя геометрический смысл производной.

( значение производной функции в точке проведения касательной равно тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох или угловому коэффициенту касательной) f^‘ (х₀)=tgα=k— (запись на рисунке.)

Запишем полученные выводы (работа с приложением1 f^‘ (х₁)=tgα₁=k>0), f^‘ (х₂)=tgα₂=k=0)

f^‘ (х₃)=tgα₃=k<0) Молодцы!

№5.31б- устно В каких точках касательная параллельна оси Ох , если f(x) =3х² +12х+11

(f^‘ (х₀)=k=0, f^‘ (х₀)=6х+12=0, х=-2 )

-(Слайд 6 )Аналогичный вопрос встречается и на ЕГЭ, только задание дается в другой форме. В КИМах 2016 года это №7, на геометрический смысл производной . Все встречающиеся задания можно разделить на два вида: графические и текстовые, графические делятся на задания по графику функции и задания по графику производной.

(Слайд 7) — Найти значение производной в точке касания

(объяснение учителя) По геометрическому смыслу производной f’ (х₀)=tgα . Найдем угол между касательной и положительным направлением оси Ох. Если угол не помещается в пределах чертежа, то проводим прямую, параллельную оси Ох и пересекающую график функции .

Алгоритм работы :

1. Определить вид угла: острый или тупой(если тупой, то в ответе сразу поставить знак «минус», т.к. тангенс тупого угла –отрицательное число.

2. Построить прямоугольный треугольник (назовём его «удобный») , в котором катеты- целые числа

3. Вычислим tgα как отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е. у к х

4. Записать ответ . Обратите внимание на запись ответа в бланке ЕГЭ- в виде десятичной дроби!

Выполните аналогичное задание ( чертеж и на слайде, и в маршрутном листе).

Проверка ответа (1,5) , разбор ошибок(если есть) Оцените себя(правильный ответ-1 балл)

(слайд 9) текст только на слайде , задание с выбором ответа, самостоятельное решение, запись ответа в маршрутный лист.

Сформулируйте алгоритм работы:

1. Найти угол с положительным направлением оси ОХ

2. Найти тангенс угла, выбрав для этого «удобный» треугольник

3. Вычислить tgα

4. Записать ответ в виде десятичной дроби

Проверка по слайду (слайд 10 ) один ученик у доски, остальные в тетрадях записывают ответ, проверяют правильность решения (ответ: -2) самооценка

(слайд 11) На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на промежутке (- 9; 8). Найдите количество точек на отрезке [-8; 3], в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=3(объяснение учителя, работа у доски и в блаке)

-Вспомните условие параллельности прямых (k₁= k₂), чему равен k ? Обратите внимание , что мы работаем на отрезке. Учащиеся делают пометки.

(слайд 12) Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

-Ребята, на ваших бланках это №6. В чем отличие от предыдущего задания?

-Вопрос уже не по графику функции, а по графику её производной. Работаем самостоятельно. Делаем пометки, проверяем ответ 4. Рассказать ход решения, разобрать возможные ошибки (самооценка)

(слайд 13) На рисунке изображён график производной функции y = f(x), определенной на интервале (-7,5;7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у=х+1 или совпадает с ней

— у вас на бланках это №7. Внимательно читайте условие и анализируйте его. График функции или производной? Что это означает? Какой угловой коэффициент у данной прямой ? Примените условие параллельности прямых..Чему равна производная? Проведите прямую у=1. Сколько общих точек у графика функции и прямой? (учитель объясняет решение по интерактивной доске)

(слайд 14) 8.Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс.

— №8. Чему равен тангенс 135? Каков ваш ответ на вопрос задачи? (4)

(слайд 15) Функция определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс

-Учащиеся смотрят на слайд, работают в парах, называют ответ. Запись ответа на слайде доски (4), комментирование решения одной из пар.

(слайд 16) (это дополнительное задание для тех, кто работает вперед). На рисунке изображён график производной функции y = f ‘(x) функции y = f(x), заданной на промежутке (-4;4). Определите величину угла (в градусах) между положительным направлением оси абсцисс и касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х=-3.

(проверить решение , если таковые будут)

Молодцы, ребята. А сейчас в соответствии с критериями, приведенными на бланке, оцените свою работу. (самооценка, комментарии учащихся по желанию)

6 ) Физминутка для глаз (слайд 17- пустой) А сейчас давайте дадим нашим глазам отдых, быстро проведём гимнастику для глаз.( проводит ученик)

1. Плотно закрывать и широко открывать глаза 3 раза

2. Посмотреть вверх, вниз, вправо, влево, не поворачивая головы

3. Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону

4. Быстро моргать

7 ) Тест

— Продолжим нашу работу, теперь уже самостоятельно. Возьмите приложение №2 и выполните тест. Работайте на этом бланке, делайте всё, что необходимо для решения задачи. Время на выполнение 10-12 минут, работы проверять буду я, критерии оценки: первые три номера-«3», 4 задания «4», выполнена вся работа-«5» .По результатам вашей работы мне будет ясно, насколько успешно вы справитесь с заданием №7 на ЕГЭ.

(Учащиеся решают, учитель смотрит, оказывает индивидуальную помощь в случае необходимости)

-Отложили тесты, время вышло, и если на экзамене вы вовремя не сдадите работу, то может быть аннулирование результата.

8) Подведение итогов урока и задание на дом

( Слайд 18) Домашнее задание (комментирование учителя)

Решить из сборника ЕГЭ задания №7 из вариантов 2,6,7

№ 5.29, 5.31-аналогичные номерам из классной работы)

Сообщение про И. Ньютона (к понедельнику, презентация приветствуется)

9 )Рефлексия

— Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?

-Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.(слайд 19)

Я научился…

У меня не получилось …

Я смог…

Я попробую …

Меня удивило, что …

(после ответа на это вопрос можно привести слова Аристотеля «Математика начинается с удивления», и я рада, что сегодня это случилось)

Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

-Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (№7). Каждый получит оценку за урок за выполнение теста и работу на уроке.

-Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей учёбе.

— Закончить урок мне хотелось бы словами Аристотеля «Ум заключается не только в знании, но и умении применять знания на практике» (Слайд 20).

Спасибо за урок! Всего доброго! Успехов в подготовке к ЕГЭ!

Литература

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений. Составители:. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Ре­шетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2013.

2. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/