уравнение квадрата на координатной плоскости

Вы искали уравнение квадрата на координатной плоскости? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и уравнение ромба в системе координат, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «уравнение квадрата на координатной плоскости».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как уравнение квадрата на координатной плоскости,уравнение ромба в системе координат. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и уравнение квадрата на координатной плоскости. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, уравнение квадрата на координатной плоскости).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же уравнение квадрата на координатной плоскости Онлайн?

Решить задачу уравнение квадрата на координатной плоскости вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Метод координат на плоскости. Основные формулы

1) Расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками М₁(x₁,y₁) и М₂(х₂,у₂) на плоскости вычисляется по формуле:

В частном случае, расстояние точки М(х,у) от начала координат равно:

Угол φ , образованный отрезком М₁М₂ с положительным направлением оси Оху определяется по формуле:

2) Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(х,у) делит отрезок, определяемый точками М₁(x₁,y₁) и М₂(х₂,у₂) в отношении

то координаты точки М определяются по формулам:

В частности, если точка М — середина отрезка M₁M₂, то λ=1 и последние формулы принимают вид:

3) Площадь треугольника и многоугольника.

А. Площадь треугольника с вершинами А(x₁,y₁), В(х₂,у₂) и С(х₃,у₃) вычисляется по формуле:

Раскрыв круглые скобки в формуле для S, приведем ее к виду:

Причем, знак плюс берется, если обход вершин А, В, С, производится против часовой стрелки, и знак минус, если обход производится по часовой стрелке.
Б. Условием, при котором три данные точки лежат на одной прямой, служит равенство нулю площади соответствующего треугольника, т. е.

В. Площадь многоугольника с вершинами А(x₁,y₁), В(х₂,у₂),…, F(хn,yn) равна половине суммы произведений абсцисс каждой из вершин на разность ординат следующей вершины и предыдущей.

Г. Координаты центра тяжести площади однородного треугольника через координат его вершин А(x₁,y₁), В(х₂,у₂) и С(х₃,у₃) определяются по формулам:

Креативный урок алгебры в 9-м классе по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля»

Тема урока: Графики уравнений, содержащих символ модуля.

Предмет: алгебра.

Тип урока: комбинированный.

  Рис. 1. Блок-схема урока

 

Продолжительность занятия: 90 минут.

Главная дидактическая цель урока: выявление области приложения темы «График уравнения» в алгебре и в её связи с геометрией, формирование знаний по данной теме при решении стандартных и нестандартных алгебраических задач. Развитие у учащихся навыков исследовательской работы.

Цели урока:

1. Формирование умений распознавать стандартные задачи в различных формулировках.
2. Формирование способности к интеграции знаний из различных тем курса математики.
3. Содействовать развитию логического мышления учащихся, умение выделять главное, обобщать.
4. Формирование исследовательской, креативной работы учащихся.
5. Воспитание графической культуры учащихся.
6. Совершенствование коммуникативной культуры учащихся.

Оборудование: доска, мультимедийное оборудование, раздаточный дидактический материал для учащихся.

План урока

1. Блок мотивации. Изучая темы «Графики функций» и «Векторы», мы обнаруживаем тесную связь геометрии и алгебры, и, естественно, возникает вопрос – нельзя ли геометрические фигуры такие как квадрат, прямоугольник, ромб, треугольник задавать алгебраическими уравнениями и иследовать свойства этих фигур алгебраическими методами. Выявлению этой связи между геометрией и алгеброй и будет посвящён урок. Мы введём новое понятие «График уравнения» и рассмотрим графики уравнений в алгебраических и графических задачах. (3 мин.)

2. Блок творческого разогрева. Повторение определения функции и графика функции. Обсуждение необходимости введения понятия «График уравнения».

Устная работа (20 мин.)

Актуализация знаний учащихся: повторение, анализ, обобщение.

Работа учащихся в следующих режимах: диалог, обсуждение, самостоятельная деятельность.

Материалы для проведения устной работы оформлены на доске.

Повторение определения функции и графика функции.

На доске представлены следующие чертежи (Рис. 2).

Каждый ученик получает раздаточный материал с этими чертежами.

Обсуждение:

1) На каких чертежах представлены графики функций? Почему?

2) Графики каких функций представлены на этих чертежах?

3) На каких чертежах графики не задают функции? Почему?

Обсуждается необходимость введения понятия графика уравнения.

Определение: Графиком уравнения называют множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Рис. 2. 3. Теоретический блок 1. Изображение множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Ведущие идеи: симметрия, сдвиг графика уравнения (Рис. 3).

Рис. 3.

 

Обсуждается наилучший способ построения графика этого уравнения.

Варианты:
1. Решить задачу “в лоб”: раскрыть модули в четырёх случаях:

 

3. Замечаем, что переменные

входят в уравнение симметрично.

Так как, то график уравнения должен быть симметричным как относительно оси , так и относительно оси

Рис. 4

 

 Рис. 5              

 

4. Блок экспериментов.

Эксперимент. Преобразовать уравнение  которое описывает квадрат так, чтобы уравнение задавало ромб.

Гипотеза: уравнение должно иметь вид:

После обсуждения учащиеся получают задание на два варианта:

Построить графики уравнений:

                                       Рис. 6                                                                                         Рис. 7

 

 

Рис. 8.

Гипотеза: график уравнения   получается из графика уравнения  в результате сдвига на две единицы вправо вдоль оси  и на две единицы в отрицательном направлении вдоль оси График уравнения будет представлять собой квадрат, центр симметрии которого находится в точке Осями симметрии квадрата будут прямые

Рис. 9.

 

Выполняется непосредственная проверка гипотезы. Раскрываются модули в четырёх случаях:

6. Блок экспериментов 2.

Эксперимент 1. Построить график уравнения:

Рассматриваем четыре случая:

График уравнения представляет собой квадрат центром симметрии которого является точка  сторона       Рис. 10.

которого а площадь .                                                                 

Рис. 11.

 Рис. 12

7. Теоретический блок 3. Методика применения полученных знаний и навыков при решении уравнений некоторых типов с модулем и   параметром.

Задание: Решить уравнение

При решении уравнений и неравенств с одним неизвестным, содержащих параметр, удобно проводить исследование на координатно-параметрической плоскости (Значение параметра  будем откладывать по вертикальной оси, а значение неизвестного  по горизонтальной оси).

Построим на плоскости  график данного уравнения. Для этого построим прямые  и  , которые разобьют плоскость на 4 части.

 Рис. 13

 

8. Блок постановки творческих задач.

Обсуждение и комментарии к домашнему заданию (7 мин.).

Домашнее задание к следующему уроку будет содержать:

1)  Обязательная часть (индивидуальная работа) (Рис. 14).

Рис. 14.

 

При решении задания 4 допускается совместное творчество.

2)  Творческая часть (допускается совместное творчество) (Рис. 15).

 

Рис. 15.

 

Учащиеся должны построить графики этих уравнений и убедиться в том, что одно уравнение описывает параллелограмм, а второе – треугольник. Учащимся предлагается поэкспериментировать с этими уравнениями, меняя коэффициенты при неизвестных, и понаблюдать как это влияет на геометрию получаемых геометрических фигур. Результаты этой самостоятельной работы учащиеся смогут продемонстрировать на следующем уроке.

Блок резюме.

1. Учащиеся формулируют главные выводы урока:

— Дано определение графика уравнения в сравнении с определением графика функции.

— Научились строить графики уравнений, содержащих символ модуля.

— Установили связь геометрии с алгеброй: различные геометрические фигуры могут быть заданы алгебраическими уравнениями. В частности, были построены квадрат, ромб и прямоугольник.

— Познакомились графическим методом решения уравнений с модулем и параметром, с использованием навыков полученных при построении графиков уравнений.

2. Оценивание работы учащихся: самооценка, взаимооценка, оценка работы учащихся учителем.
3. Выяснение мнения учащихся об уроке.

 

Ссылки на источники

1. А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев Алгебра 9. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2013.
2. И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике 10. – М. «Просвещение», 1989.
3. В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. Издательство “Наука”, М. 1974.

Что такое квадрат? Как найти вершины, сечение, плоскость, уравнение, объем, площадь основания и угол квадрата?

Ответов на вопрос о том, что такое квадрат, может быть множество. Все зависит от того, кому вы этот вопрос адресовали. Музыкант скажет, что квадрат — это 4, 8, 16, 32 такта или джазовая импровизация. Ребенок — что это игра с мячом или детский журнал. Печатник отправит вас изучать кегли шрифта, а техник — разновидности металлопрокатного профиля.

Много и других значений у этого слова, но сегодня мы зададим вопрос математику. Итак…

Разбираться с этой фигурой мы будем постепенно, от простого к сложному, и начнем с истории квадрата. Как он появился, как его воспринимали люди, ученые разных стран и цивилизаций?

История изучения квадрата

Древний мир воспринимает квадрат, главным образом, как четыре стороны света. Вообще, несмотря на множество четырехугольников, именно у квадрата главное число — четыре. Для ассирийцев и перуанцев квадрат — весь мир, то есть он представляет четыре основных направления, стороны света.

Даже Вселенную представляли как квадрат, еще и разделенный на четыре части — это видение жителей Северной Америки. Для кельтов вселенная — это целых три квадрата, вложенных друг в друга, а из центра вытекают четыре (!) реки. А египтяне вообще обожествляли эту фигуру!

Впервые описали квадрат посредством математических формул греки. Но для них этот многоугольник обладал только отрицательными характеристиками. Пифагор вообще не любил четные числа, видя в них слабость и женственность.

Даже в религиях присутствует квадрат. В Исламе Кааба — пуп Земли — имеет не какую-нибудь сферическую, а именно кубическую форму.

В Индии главной графемой, изображающей Землю, или символом земли, был перекрещенный квадрат. И снова речь идет о четырех сторонах света, четырех областях земли.

В Китае квадрат — это мир, гармония и порядок. Хаос побеждается построением квадратной Вары. А квадрат, вписанный в круг, является основой видения мира, символизируя единство и связь Космоса и Земли.

Языческая Русь — Квадрат Сварога. Этот символ еще называют Звездой Сварога, или Звездой Руси. Он довольно сложный, так как составлен из пересекающихся и замкнутых линий. Сварог — бог-Кузнец, самый главный творец, создатель и само небо в представлении русичей. В этом символе есть ромб, что опять говорит о Земле и четырех ее направлениях. И звезда с четырьмя лучами — 4 стороны света, 4 лика Сварога — его всеведение. А пересечение лучей — очаг.

Интересное о квадрате

Самое популярное словосочетание, которое приходит в голову о нашем главном герое — «Черный Квадрат».

Картина Малевича до сих пор очень популярна. Сам автор после ее создания долго мучился вопросом о том, что же это такое, и почему простой черный квадрат на белом фоне так притягивает внимание к себе.

Но если вы приглядитесь внимательно, то заметите, что плоскость квадрата не гладкая, а в трещинах черной краски есть множество разноцветных оттенков. Видимо, вначале была некая композиция, которая автору не понравилась, и он закрыл ее от наших глаз этой фигурой. Черный квадрат, как ничто — черная дыра, только магической квадратной формы. А пустота, как известно, притягивает…

Еще очень популярны «магические квадраты». По сути это — таблица, естественно, квадратная, заполненная числами в каждой графе. Сумма этих чисел одинакова во всех строках, столбцах и диагоналях (по отдельности). Если диагонали исключаются из равенства, то квадрат – полумагический.

Альбрехт Дюрер в 1514 году создал картину «Меланхолия I», на которой изобразил магический квадрат 4х4. В нем сумма чисел всех столбцов, строк, диагоналей и даже внутренних квадратов равна тридцати четырем.

На базе этих таблиц появились очень интересные и популярные головоломки — «Судоку».

Египтяне первыми стали проводить линии взаимосвязи чисел (дата рождения) и качеств характера, способностей и талантов человека. Пифагор взял эти знания, несколько переработал и поместил в квадрат. Получился Квадрат Пифагора.

Это уже отдельное направление в нумерологии. Из даты рождения человека путем сложений высчитывают четыре основных числа, которые помещают в психоматрицу (квадрат). Так и раскладывают все тайные сведения о вашей энергии, здоровье, таланте, удаче, темпераменте и прочем по полочкам. В среднем, по опросам достоверность составляет 60%-80%.

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру. Форма квадрата — четырехугольник, который имеет равные стороны и углы. Еще точнее, этот четырехугольник называют правильным.

У квадрата есть свои признаки. Это:

• стороны, равные по длине;
• равные между собой углы — прямые (по 90 градусов).

В силу этих признаков и особенностей в квадрат можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Описанная окружность будет касаться всех его вершин, вписанная — середины всех его сторон. Их центр будет совпадать с центром квадрата и разделит все его диагонали пополам. Последние, в свою очередь, равны между собой и делят углы квадрата на равные части.

Одна диагональ разделяет квадрат на два равнобедренных треугольника, обе — на четыре.

Таким образом, если длина стороны квадрата — t, длина радиуса описанной окружности — R, а вписанной — r, то

• площадь основания квадрата, или площадь квадрата (S) будет равна S=t²=2R²=4r²;

• периметр квадрата P следует вычислять по формуле P=4t=4√2R=8r;

• длину радиуса описанной окружности R=(√2/2)t;

• вписанной — r=t/2.

Площадь основания квадрата еще можно вычислить, зная его сторону (a) или длину его диагонали (c), тогда формулы будут выглядеть соответственно: S=a² и^S=1/2c2.

Что такое квадрат, мы с вами выяснили. Давайте подробнее рассмотрим детали, ведь фигура квадрат самый симметричный четырехугольник. У него пять осей симметрии, причем одна (четвертого порядка) проходит через центр и является перпендикуляром к плоскости самого квадрата, а четыре другие — оси симметрии второго порядка, две из них параллельны сторонам, а еще две проходят через диагонали квадрата.

Способы построения квадрата

Исходя из определений, кажется, что нет ничего проще, чем построить правильный квадрат. Это так, но при условии, что у вас есть все измерительные инструменты. А если чего-то нет в наличии?

Давайте рассмотрим существующие способы, которые помогут нам построить эту фигуру.

Измерительная линейка и угольник — это основные инструменты, при помощи которых наиболее просто можно построить квадрат.

Сначала отметьте точку, допустим А, от нее мы построим основание квадрата.

С помощью линейки отложите от нее вправо расстояние, равное длине стороны, допустим 30 мм, и поставьте точку Б.

Теперь от обеих точек, воспользовавшись угольником, проведите вверх перпендикуляры по 30 мм каждый. На концах перпендикуляров ставим точки В и Г, которые соединяем между собой, пользуясь линейкой — все, квадрат АБВГ со стороной 30 мм готов!

С помощью линейки и транспортира тоже довольно легко построить квадрат. Начните, как и в предыдущем случае с точки, допустим Н, от нее отложите горизонтальный отрезок, например 50 мм. Поставьте точку О.

Теперь центр транспортира соедините с точкой Н, поставьте отметку у величины угла 90⁰, через нее и точку Н постройте вертикальный отрезок 50 мм, на его конце поставьте точку П. Далее подобным образом постройте третий отрезок от точки О через угол 90⁰, равный 50 мм, пусть он заканчивается точкой Р. Соедините точки П и Р. У вас получился квадрат НОРП с длиной стороны 50 мм.

Можно построить квадрат, пользуясь только циркулем и линейкой. Если вам важен размер квадрата и известна длина стороны, то понадобится еще и калькулятор.

Итак, ставьте первую точку Е — это будет она из вершин квадрата. Далее укажите место, где будет находится противоположная вершина Ж, то есть постойте диагональ ЕЖ вашей фигуры. Если вы строите квадрат по размерам, то имея длину стороны, высчитайте длину диагонали по формуле:

d=√2*a, где a — длина стороны.

После того как вы узнаете длину диагонали, постройте отрезок ЕЖ этой величины. Из точки Е с помощью циркуля в направлении точки Ж проведите полукруг радиусом ЕЖ. И наоборот, из точки Ж — полукруг в сторону точки Е, радиусом ЖЕ. Через точки пересечения этих полукругов, пользуясь линейкой, постройте отрезок ЗИ. ЕЖ и ЗИ пересекаются под прямым углом и являются диагоналями будущего квадрата. Соединив точки ЕИ, ИЖ, ЖЗ и ЗЕ с помощью линейки, вы получите вписанный квадрат ЕИЖЗ.

Еще есть возможность построить квадрат с помощью одной линейки. Что такое квадрат? Это участок плоскости, ограниченный пересекающимися отрезками (линиями, лучами). Следовательно, мы можем построить квадрат по координатам его вершин. Сначала начертите оси координат. Стороны квадрата могут лежать на них, или центр пересечения диагоналей будет совпадать с точкой начала координат — это зависит от вашего желания или условий задачи. Возможно, ваша фигура будет отстоять от осей на некотором расстоянии. В любом случае, сначала отмечаете по числовым значениям (произвольно или условно) две точки, тогда вам будет известна длина стороны квадрата. Теперь можно вычислить координаты оставшихся двух вершин, помня, что стороны квадрата равны и между собой попарно параллельны. Последний шаг — соединить все точки последовательно между собой с помощью линейки.

Какие бывают квадраты?

Квадрат — фигура четко определенная и жестко ограниченная своими определениями, поэтому виды квадратов не отличаются многообразием.

В Неевклидовой геометрии квадрат воспринимается более широко — это четырехугольник с равными сторонами и углами, но градус углов не задан. Это значит, что углы могут быть и по 120 градусов («выпуклый» квадрат) и, например, по 72 градуса («вогнутый» квадрат).

Если вы спросите, что такое квадрат, у геометра или информатика, вам ответят, что — это полный или планарный граф (графы с К₁ по К₄). И это абсолютно справедливо. У графа есть вершины и ребра. Когда они встают в упорядоченную пару, образуется граф. Число вершин — это порядок графа, число ребер — его размер. Таким образом, квадрат — это планарный граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами, или К₄:6.

Сторона квадрата

Одно из главных условий существования квадрата — наличие равных по длине сторон — делает сторону очень важной для различных вычислений. Но в то же время дает много способов, чтобы длина стороны квадрата была вычислена при наличии самых разных исходных данных.

Итак, как найти значение стороны квадрата?

• Если вам известна только длина диагонали квадрата d, то вычислить сторону можно по следующей формуле: a=d/√2.
• Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата и, следовательно, двум радиусам, то есть: a=D=2R.
• Радиус описанной окружности тоже может помочь вычислить, чему равна сторона квадрата. Мы можем по радиусу R узнать диаметр D, который, в свою очередь, равен диагонали квадрата d, а формулу для стороны квадрата через диагональ мы уже знаем: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
• Из равенства сторон следует, что узнать сторону квадрата (a) можно при помощи его периметра P или площади S: a=√S=P/4.
• Если мы знаем длину линии, которая выходит из угла квадрата и пересекает середину его смежной стороны C, то нам также удастся узнать, какова же длина стороны квадрата: a=2C/√5.

Вот сколько способов существует, чтобы выяснить такой важный параметр, как длина стороны квадрата.

Объем квадрата

Сама фраза является абсурдом. Что такое квадрат? Это плоская фигура, имеющая всего два параметра — длину и ширину. А объем? Это количественная характеристика пространства, которое занимает объект, то есть ее можно вычислить только у объемных тел.

Объемное тело, всеми гранями которого являются квадраты, — куб. Несмотря на колоссальное и принципиальное различие, школьники довольно часто пытаются вычислить объем квадрата. Если это кому-то удастся, Нобелевская премия обеспечена.

А чтобы узнать объем куба V, достаточно перемножить все три его ребра — a, b, c: V=a*b*c. А так как они по определению равны, то формула может выглядеть иначе: V=a³.

Величины, части и характеристики

У квадрата, как и у любого многоугольника, есть вершины — это точки, в которых пересекаются его стороны. Вершины квадрата лежат на описанной вокруг него окружности. Через вершину в центр квадрата проходит диагональ, которая также является биссектрисой и радиусом описанной окружности.

Так как квадрат — это плоская фигура, то рассечь и построить сечение квадрата невозможно. Зато он может быть результатом пересечения многих объемных тел плоскостью. Например, цилиндра. Осевое сечение у цилиндра — прямоугольник или квадрат. Даже при пересечении тела плоскостью под произвольным углом может получиться квадрат!

Но у квадрата есть еще одно отношение к сечению, да не к какому-нибудь, а к Золотому сечению.

Все мы знаем, что Золотое сечение — это пропорция, в которой одна величина относится к другой так же, как их сумма к большей величине. В обобщенном процентном выражении это выглядит следующим образом: исходная величина (сумма) делится на 62 и 38 процентов.

Золотое сечение очень популярно. Оно используется в дизайне, архитектуре, да где угодно, даже в экономике. Но это далеко не единственная пропорция, выведенная Пифагором. Есть, например, еще выражение «√2». На его основе проводится построение динамических прямоугольников, которые, в свою очередь, являются основоположниками форматов группы А (А6, А5, А4 и т.п.). Почему речь зашла о динамических прямоугольниках? Потому что их построение начинается с квадрата.

Да, для начала вам нужно построить квадрат. Его сторона будет равна меньшей стороне будущего прямоугольника. Затем необходимо провести диагональ этого квадрата и, воспользовавшись циркулем, длину этой диагонали отложить на продолжении стороны квадрата. Из полученной на пересечении точки выстраиваем прямоугольник, у которого снова строим диагональ и откладываем ее длину на продолжении стороны. Если продолжить работу по этой схеме, получатся те самые динамические прямоугольники.

Отношение длинной стороны первого прямоугольника к короткой будет 0,7. Это почти 0,68 в Золотом сечении.

Углы квадрата

Собственно, что-то свежее сказать об углах уже сложно. Все свойства, они же признаки квадрата, мы перечислили. Что касается углов, их четыре (как и во всяком четырехугольнике), каждый угол в квадрате — прямой, то есть имеет размер девяносто градусов. По определению, существует лишь прямоугольный квадрат. Если углы большего или меньшего размера — это уже другая фигура.

Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть являются биссектрисами.

Уравнение квадрата

При необходимости вычислить значение различных величин у квадрата (площади, периметра, длин сторон или диагоналей) используют различные уравнения, которые выводятся из свойств квадрата, основных законов и правил геометрии.

1. Уравнение площади квадрата

Из уравнений для вычисления площади четырехугольников мы знаем, что она (площадь) равна произведению длины и ширины. А так как стороны квадрата одинаковые по длине, то площадь его будет равна длине любой стороны, возведенной во вторую степень

S=a².

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить площадь квадрата, зная длину его диагонали.

S=d²/2.

2. Уравнение периметра квадрата

Периметр квадрата, как и всех четырехугольников, равен сумме длин его сторон, а так как они все одинаковые, то можно сказать, что периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на четыре

P=a+a+a+a=4a.

Снова теорема Пифагора поможет нам найти периметр через диагональ. Нужно значение длины диагонали умножить на два корня из двух

P=2√2d

3. Уравнение диагонали квадрата

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Найти их можно, исходя из вышеприведенных уравнений площади и периметра квадрата

d=√2*a, d=√2S, d=P/2√2

Есть еще способы узнать, какова же длина диагонали квадрата. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его диагонали, отсюда

d=√2D=2√2R, где D — диаметр, а R — радиус вписанной окружности.

Зная радиус описанной окружности, рассчитать диагональ еще проще, ведь она является диаметром, то есть d=D=2R.

Также есть возможность вычислить длину диагонали, зная длину линии, выходящей из угла к центру стороны квадрата C: d=√8/ C.

Но не стоит забывать, что квадрат — это участок плоскости, ограниченный четырьмя пересекающимися линиями.

Для линий (и образованных ими фигур) существует достаточно уравнений, не нуждающихся в дополнительном описании, но линия бесконечна. А многоугольники ограничены пересечением линий. Для них можно использовать линейные уравнения, объединенные в систему, задающие прямые линии. Но необходимо указывать дополнительные параметры, условия.

Для определения многоугольников же необходимо составить такое уравнение, которое бы описывало не линию, а отдельный произвольный отрезок без вмешательства дополнительных условий и описаний.

[ x/x_i ]*[ x_i/x]*y_i — вот это специальное уравнение для многоугольников.

Квадратные скобки в нем указывают на условие исключения дробной части числа, то есть мы должны оставить только целое число. y_i — функция, которая выполнятся в диапазоне параметра от x до x_i.

Используя это уравнение, можно вывести новые уравнения для вычисления отрезков и линий, состоящих из нескольких отрезков. Оно является базовым, универсальным для многоугольников.

Помним, что квадрат — это

решение квадратных уравнений в восьмом классе.

Решение квадратных уравнений. 8 класс.

Задание: решить квадратные уравнения и отметить полученные корни точками на плоскости, причём первая координата получена, если корень из дискриминанта прибавляем, а вторая – если корень из дискриминанта вычитаем. Отметить полученные ответы на координатной плоскости. Если всё сделано правильно, то получится узнаваемый рисунок.

1. х— 7х + 10 =0 11. х — 10х – 11 = 0 21. х— 19х + 34 = 0

2. х — х = 0 12. 2х — 28х – 30 = 0 22. — х+ 19х – 48 = 0

3. 2х — 8х – 10 = 0 13. 0,5х— 7х – 16 = 0 23. 0,5х— 9х + 16 = 0

4. х — 8х = 0 14. х— 17х – 38 = 0 24. х— 16х + 15 = 0

5. 2х — 12х – 14 = 0 15. х — 17х – 18 = 0 25. х — 15х + 14 = 0

6. х — 6х – 16 = 0 16. 2х— 30х – 32 = 0 26. 2х— 30х + 52 =0

7. 3х — 24х – 60 = 0 17. х— 17х = 0 27. х— 11х + 18 = 0

8. х— 8х – 9 = 0 18. 2х — 36х = 0 28. х— 9х + 8 = 0

9. х— 7х – 8 = 0 19. х— 20х +19 = 0 29. 0,5х— 3,5х + 5 = 0

10. 2х — 20 = 0 20. х— 20х + 51 = 0

Ответы: (5;2), (1;0), (5;-1), (8;0), (7;-1), (8;-2), (10;-2), (9;-1), (8;-1), (10;0),

(11;-1), (15;-1), (16;-2), (19;-2), (18;-1), (16;-1), (17;0), (18;0), (19;1), (17;3), (17;2), (16;3), (16;2), (15;1), (14;1), (13;2), (9;2), (8;1), (5;2).

Уравнение прямой на плоскости. Примеры решения типовых задач. Часть 3

Задача № 1. Составить уравнение прямой, если известно, что ее расстояние от начала координат равно 13, а угол, образованный перпендикуляром, опущенным с начала координат на прямую, и осью Ох, равен 225°.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 2. Провести прямую через точку Р (3;-4), являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 3. Найти геометрическое место точек, отклонение которых от прямой 6х-8y+5=0, равно 5.
Задача № 4. Найти геометрическое место точек, расстояние которых от прямой 5х-12у-13=0 равно 3.
Решения этих двух задач подробно объясняются в следующем видео:

Задача № 5. Две стороны квадрата лежат на прямых 4х-Зу+15=0 и 8х-6y+25=0. Вычислить его площадь.
Задача № 6. Доказать, что через точку Р(2;7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(1;2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.
Решения этих двух задач подробно объясняются в следующем видео:

Задача № 7. Составить уравнения прямых, перпендикулярных к прямой 2х+6y-3=0 и отстоящих от точки (5;4) на расстоянии V10 ед.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 8. На прямой х+у-8=0 найти точки, равноудаленные от точки (2;8) и от прямой х-Зy+2=0.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 9. Найти биссектрисы углов между прямыми Зх+4у-1=0 и 4х-Зy+5=0.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 10. Даны вершины треугольника А (2; —2), В (3; -5) и С (5; 1). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине В.

Рис. 1

Решение. Чтобы составить уравнение перпендикуляра CD (рис.1), опущенного на биссектрису BD, необходимо знать угловой коэффициент BD. Для этого достаточно найти координаты точки L, которая согласно свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника делит сторону АС в отношении

Для определения λ необходимо найти длины сторон АВ и ВС, которые находим по формуле расстояния между двумя точками.

Таким образом,
Координаты точки L найдем по формулам деления отрезка в заданном отношении:

Угловой коэффициент BD найдем по формуле

Следовательно, биссектриса BD перпендикулярна к оси Ох.
В таком случае прямая CD будет параллельна оси Ох, ее уравнение у = b, где b — ордината точки, через которую проходит прямая. b=1.
Таким образом, уравнением перпендикуляра CD будет уравнение у = 1, или у —1=0.
Ответ: у —1=0.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео