Уравнение с 2 переменными – Решение уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его график

Цель:

·        уравнения с двумя переменными;

·        решения уравнения с двумя переменными;

·        степень уравнения с двумя переменными;

·        график уравнения с двумя переменными.

Перед вами записаны уравнения:

Все они являются уравнениями с двумя переменными, так как в каждом из них есть две переменные. Возьмём, например, первое уравнение и подставим в него x=3 и y=5:

Получили неверное равенство. А если подставим x=3 и y=3, то получим верное числовое равенство.

Определение:

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Пара чисел (3; 3) является решением данного уравнения. Но это не единственное решение.

Для определения степени уравнения с двумя переменными, нужно преобразовать его так, чтобы в левой части стоял многочлен стандартного вида, а справа ноль. Тогда степень уравнения считают равной степени данного многочлена.

Чтобы определить степень многочлена с двумя переменными, нужно определить степень каждого одночлена, входящего в состав многочлена, и выбрать из них наибольшую. Степень данного уравнения равна 1.

Пример.

Определить степени уравнений и найти любых два решения.

1.                Рассмотрим уравнение:

Преобразуем его:

Степень данного уравнения равна 2.

Найдём два любых решения:

Решением данного уравнения будут пары чисел (0; 2) и (0; -2).

2.                Решить уравнение:

Степень уравнения равна 2.

Найдём два решения уравнения:

Получили две пары чисел: (-1; -6) и (3; 2).

3.                Решить уравнение:

Преобразуем его:

Степень данного уравнения равна 3.

Найдём любые два решения:

Получили две пары: (1; 2) и (1; -2).

В ходе выполнения заданий стало понятно, что уравнения с двумя переменными имеют много решений. И указать все решения достаточно сложно. Если решением является пара значений, то его можно изобразить на координатной плоскости в виде точки. Так все решения и образуют график уравнения с двумя переменными.

Определение:

Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Пример.

1.                Построить график уравнения:

Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:

Изобразим график данного уравнения:

Решением являются две прямые: х=7 и у=-3.

2.                Построить график уравнения:

Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:

Изобразим график данного уравнения:

Решением являются две прямые: х=-5 и х=2.

Пример.

Составить уравнения, графиками которых являются пары прямых, изображённых на рисунках.

Посмотрим на первый рисунок:

Получили, что прямые являются графиком уравнения.

Обратимся ко второму случаю:

Получили, что эти прямые являются графиком уравнения.

Рассмотрим уравнение:

Графиком уравнения является окружность с центром в точке начала координат и радиусом r.

Например, графиком уравнения:

является окружность с r=4.

Пример.

Записать уравнение окружности с центром в точке начала координат и r=6.

Получим уравнение окружности:

 

Если центром окружности не является точка начала координат, то уравнение окружности будет выглядеть так:

Центр окружности имеет координаты (a; b).

Например,

Выполним обратное действие. Но для записи уравнения окружности уже не достаточно только координат центра, необходимо знать и радиус. Например:

videouroki.net

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными

Что такое линейное уравнение с двумя переменными?

С линейными уравнениями с двумя переменными мы имеем дело в 7, 8 классах и в более старших.

Линейное уравнение с двумя переменными определение

Определение линейного уравнения с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c называется линейными уравнениями с двумя переменными.

Здесь a, b и c – числа, x и y – переменные.

Линейное уравнение с двумя переменными пример

Пример линейного уравнения с двумя переменными

8x + 4y = 5

В этом уравнении две переменные x и y, a = 8, b = 4, c = 5.

Линейное уравнение с двумя переменными

Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в истинное равенство.

Решите линейное уравнение с двумя переменными

Как решать линейные уравнения с двумя переменными?

Пример. Решите уравнение

8x + 4y = 5

Выразим переменную игрек через переменную икс.

Для этого перенесем 8x в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный

4y = -8x + 5

Разделим обе части уравнения на четыре

y = -2x + 1,25

Выбираем произвольное значение икса, пусть это будет 7.

Подставляем 7 вместо икса и находим значение игрека

y = -2 * 7 + 1,25 = −12,75

Теперь у нас есть пара значений переменных x = 7 и y = −12,75, обычно эту пару чисел записывают в скобках (7; −12,75), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.

Таким образом решением нашего уравнения является пара чисел (7; −12,75).

Есть ли другие решения уравнения?

Есть и их бесконечно много. Выбирая произвольно значения икса мы расчитываем соответствующее значение игрека и получаем очередное решение уравнения.

Например, если взять x = 2, то

y = -2 * 2 + 1,25 = −2,75

Мы получили новую пару чисел (2; −2,75), которая является решенеием уравнения.

www.sbp-program.ru

Линейные уравнения с двумя переменными. 7-й класс

Цели урока:

  • Образовательные:
    • повторить тему: «Уравнения. Линейные уравнения. Равносильные уравнения и их свойства»;
    • обеспечить усвоение учащимися понятия  линейных уравнений с двумя переменными и их решением.
  • Развивающие:
    • формировать интеллектуальные способности:
    • умение сравнивать, строить аналоги, выделять  главное;
    • умение обобщать и систематизировать пройденный материал;
    • развивать логическое мышление, память, воображение, математическую речь;
    • развивать активную познавательную деятельность. 
  • Воспитательные:
    • воспитывать самостоятельность, активность, заинтересованность  учащихся  на всех этапах урока;
    • формировать такие качества характера, как усидчивость, настойчивость, целеустремлённость. 

Задачи, которые должен решать учитель, на уроке:

  • учить выделять главную мысль в тексте;
  • учить задавать вопросы учителю, самому себе или ученикам;
  • учить использовать приобретённые знания для решения нестандартных задач;
  • учить умению математически правильно высказать  свою мысль.

Задачи, которые должны  решать ученики на данном уроке: 

  • знать определение линейного уравнения с двумя переменными;
  • уметь составлять простые линейные уравнения;
  • уметь правильно находить значения переменных а, в  и с; 
  • уметь выделять среди уравнений линейные уравнения с двумя переменными; 
  • ответить на вопрос: что является решением линейного уравнения с двумя переменными?
  • как узнать: является ли пара чисел решением уравнения?   
  • уметь выразить одну переменную через другую.

Тип урока: урок  усвоения нового материала.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение пройденного материала

1)  На доске записи: 2х,  2х + 5 , 2х + 5 = 17.

2) Вопросы к классу:

– Дайте определение этим выражениям. (Ожидаемые ответы: произведение, одночлен,  сумма, многочлен, уравнение.)
– Что называется уравнением?
– Уравнение нужно…? (Решать)
– Что значит «решить уравнение»?
– Что является корнем уравнения?
– Какие уравнения являются равносильными?
– Какие свойства равносильности уравнений вы знаете?

III. Актуализация знаний учащихся

3) Задание всему классу:

– Преобразуйте выражения:(двое работают у доски)

а) 2(х + 8) + 4(2х – 4) =                 б) 4(х – 2) + 2(3у + 4) =

После преобразования получили: а) 10х;    б) 4х + 6у:

– С помощью их составьте уравнения (ученики предлагают – учитель записывает уравнения на доске): 10х = 30;      4х + 6у = 28.

Вопросы:

– Как называется первое уравнение?
– Почему линейное?
– Сравните  второе уравнение с первым. Попробуйте сформулировать определение второго уравнения (Ожидаемый ответ: уравнение с двумя переменными; акцентируется внимание учащихся на  вид уравнения – линейное).

IV. Изучение нового материала

1) Объявляется тема урока. Запись темы в тетрадях. Самостоятельное  формулирование   учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. Обсуждение проходит в форме фронтальной  беседы, диалога – рассуждения.

2) Задание  классу:

а) Напишите по два линейных уравнения с двумя переменными (учитель и ученики прослушивают ответы нескольких учеников; по выбору учителя один из них записывает свои уравнения на доске). 

б) Совместно с учениками определяются задачи  и вопросы, на которые они должны получить ответ на данном уроке.  Каждый ученик получает карточки с этими вопросами.

в) Работа с учащимися по решению этих вопросов и задач:

– Определите, какие из этих уравнений являются линейными  уравнениями с двумя переменными а) 6х2 = 36; б) 2х – 5у = 9:  в) 7х + 3у3; г) 1/2х + 1/3у = 6 и т.д. Проблема может возникнуть с уравнением  х : 5 – у : 4 = 3 (знак деления нужно записать в виде дроби). Какие свойства равносильности уравнений нужно применить? (Ответы учащихся) Определите значения коэффициентов  а, в и с.

– Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения нужно решать. Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (Дети дают определение).

Пример: Найдите решения уравнения: а) х – у = 12, ответы запишем в виде (х; у) или  х = …;  у = ….  Сколько решений имеет уравнение?

Примеры:  Найдите решения следующих уравнений  а) 2х + у = 7; б) 5х – у = 4.  Как вы нашли решения этих уравнений? (Подбирали).

– Как узнать, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменными?

3) Работа с учебником.

– Найти в учебнике те места, где выделена главная мысль темы данного урока

а) Устное выполнение заданий: №1092,  №1094.

б) Решение примеров №1096 (для слабых учащихся),  №1097 (для сильных).

в) Повторить свойства равносильности уравнений.

Задание: применяя свойства равносильности уравнений, выразите переменную У через переменную Х в уравнении 5х + 2у = 12 («минута» на самостоятельное решение, затем общий обзор решения на доске  с последующим объяснением).

г) Выполнение примера  № 1099 (один из учащихся выполняет  задание у доски).

Историческая справка

1. Ребята,  уравнения, с которыми мы сегодня познакомились на уроке, называются  Диофантовыми  линейными уравнениями с двумя переменными, по имени древнегреческого учёного и математика Диофанта, жившего около 3,5 тысяч лет тому назад. Древние математики сначала составляли задачи, а затем трудились над их решением. Таким образом, было составлено множество задач, с которыми мы и знакомимся, и учимся их решать.

2. А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Над решением таких уравнений трудились многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений.

V. Итог урока

1)  Обобщение пройденного материала на уроке. Ответы  на все вопросы, поставленные перед учениками в начале урока:

– Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
– Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
– Как записывается это решение?
– Какие уравнения называются равносильными?
– Назовите свойства равносильности уравнений?
– Какие задачи мы на уроке решали, на какие вопросы отвечали?

2) Выполнение самостоятельной работы.

Для слабых:

– Найдите значения переменных а, в и с  в  уравнении  –1,1х + 3,6у = – 34?
– Найдите хотя бы одно решение уравнения х – у = 35?
– Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4?

Для сильных:

– Составьте  линейное  уравнение с двумя переменными  к задаче Диофанта: Во дворе дома ходят  фазаны и кролики. Количество всех ног оказалось равным 26.
– Выразите переменную   у   через  х   в уравнении  3х – 5у = 8.

VI. Сообщение домашнего задания

Просмотр всех заданий по учебнику, беглый анализ каждого задания, выбор задания. 

  • Для  слабых учащихся:  № 1093, № 1095б).
  • Для  сильных: 1) №1101,  №1104 (а).  2)  решить задачу Диофанта, найти все натуральные  решения этого уравнения.  

Дополнительно, по желанию учащихся – №1105.

Вместо заключения: Я работаю учителем математики более 40 лет. И хочу заметить, что открытый урок – не всегда бывает самым лучшим уроком. Очень часто случается так, что иногда обычные уроки приносят учителю больше радости и удовлетворения. И тогда  с сожалением думаешь, что никто не увидел этого  урока – творения учителя и учащихся.

Урок – это единый организм,  единое целое, именно на уроке  приобретается  личностный и нравственный опыт  воспитания, как учащихся, так и учителя.  45 минут урока –   это так много и так мало. Много – потому что за это время можно с учениками «заглянуть» в глубину веков и, «вернувшись»  оттуда, узнать очень много нового, интересного, и ещё  успеть изучить новый материал.

До каждого ученика нужно довести понимание того, что именно математика является базисом интеллектуального развития человека. А основой для этого является развитие логического  мышления. Поэтому перед  каждом уроком ставлю себе и ученикам цель: научить учащихся успешно работать с определениями, умело отличать неизвестное от  известного, доказанное от недоказанного, анализировать, сравнивать, классифицировать, ставить перед собой вопросы и научиться  умело их решать. Пользоваться аналогиями, но если не сможешь выбраться самостоятельно, то рядом с тобой не только учитель, но главный твой  помощник – книга. 

Конечно, открытый урок является некоторым итогом творческой работы учителя. И учителя, присутствовавшие на данном уроке, должны обратить внимание на главное: систему работы, новизны, идею. Здесь, я думаю, особо важного значения не имеет  какую  методику преподавания  применяет учитель на уроке: старую, современную или новые инновационные технологии, главное, чтобы её применение  была  уместна и эффективна для учителя и учащихся.

Я очень рада, что в моей жизни есть школа, дети, уроки и такие добрые коллеги. Спасибо вам всем!

urok.1sept.ru

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Сначала калькулятор, теория под ним.

PLANETCALC, Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными
Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Множество всех х

 

Множество всех y

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

,

где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.

Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе).
Если числа a и b неотрицательны, тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида мы можем найти их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты и , что:
.

Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.

То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение:

,

т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:

Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно.

Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество.

Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие:
.

Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства:

Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида:
,
где k принадлежит множеству целых чисел, являются множеством всех решений диофантова уравнения.

planetcalc.ru

Конспект урока на тему "Линейные уравнения с двумя переменными

КОНСПЕКТ УРОКА

Линейные уравнения с двумя переменными

Класс: 7

УМК: Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными

Цели: Познакомить учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя переменными и его решения, научить выражать из уравнения х через у или у через х.

Формируемые УУД:

Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки

Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.

Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.

Личностные: формирование навыков организации анализа своей деятельности

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран

Ход урока:

I Организационный момент

- Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить

Сказка «Дед-Равняло»

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.

- Итак,  о чем идет речь в этой сказке? (об уравнениях)

II. Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.

  • Какой тип уравнения нам известен? (линейное уравнение с одной переменной)

  • Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.

  • Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?

  • Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.

Заполняется 1 часть таблицы

ах=в, где х – переменная, а,в- числа.

Пример: 3х = 6

Значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство

1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.

2) обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже, не равное нулю число.

Линейное уравнение с двумя переменной.

ах + ву = с, где х,у – переменные, а,в.с – числа.

Пример:

х – у = 5

х + у = 56

2х + 6у =68

Значения х, у, обращающие уравнение в верное равенство.

х=8; у=3 (8;3)

х=60; у = - 4 (60;-4)

Верны свойства 1,2.

3) равносильные уравнения:

х-у=5 и у=х-5

(8;3) (8;3)

После того, как заполнили первую часть таблицы, опираясь на аналогию, начинаем заполнять вторую строку таблицы, тем самым узнавать новый материал.

III. Обратимся к теме: линейное уравнение с двумя переменными. Само название темы наталкивает на мысль, что нужно вводить новую переменную, например у.

Существует два числа х и у, одно больше другого на 5. Как записать соотношение между ними? (х – у = 5) это и есть линейное уравнение с двумя переменными. Сформулируем по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной определение линейного уравнения с двумя переменными (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные).

Уравнение xy = 5 при x = 8, y = 3 обращается в верное равенство 8 – 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных x = 8, y = 3 является решением этого уравнения.

- Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)

Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;3). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором - y.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

  1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

  2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.

Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x + 5y = 15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую.

Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y = 15 - 10x.

Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение 

у = 3 - 2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.

Если x = 2, то y = 3 - 2· 2 = -1.

Если x = -2, то y = 3 - 2· (-2) = 7. Пары чисел (2; -1), (-2; 7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?

Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:

2y = 20 - 3x

у =

Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами.

Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2 и 7, либо 4 и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.

IV. Работа по учебнику (устно) № 1025, № 1027(а)

Самостоятельная работа с проверкой в классе.

1. Выпишите линейно уравнение с двумя переменными.

а ) 3х + 6у = 5 в) ху = 11 б) х – 2у = 5

2. Является ли пара чисел решением уравнения?

2х + у = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Выразите из линейного уравнения

4х – 3у = 12 а) х через у б) у через х

4. Найдите три, каких либо решения уравнения.

х + у = 27

V. Итак, подведем итог:

Дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Что называется решением (корнем) линейного уравнения с двумя переменными.

Сформулировать свойства линейного уравнения с двумя переменными.

Выставление оценок.

Домашнее задание: п. 40, № 1028, №1032

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *