Уравнение с двумя переменными и его график
Цель:
· уравнения с двумя переменными;
· решения уравнения с двумя переменными;
· степень уравнения с двумя переменными;
· график уравнения с двумя переменными.
Перед вами записаны уравнения:
Все они являются уравнениями с двумя переменными, так как в каждом из них есть две переменные. Возьмём, например, первое уравнение и подставим в него x=3 и y=5:
Получили неверное равенство. А если подставим x=3 и y=3, то получим верное числовое равенство.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.
Пара чисел (3; 3) является решением данного уравнения. Но это не единственное решение.
Для определения степени уравнения с двумя переменными, нужно преобразовать его так, чтобы в левой части стоял многочлен стандартного вида, а справа ноль. Тогда степень уравнения считают равной степени данного многочлена.
Чтобы определить степень многочлена с двумя переменными, нужно определить степень каждого одночлена, входящего в состав многочлена, и выбрать из них наибольшую. Степень данного уравнения равна 1.
Пример.
Определить степени уравнений и найти любых два решения.
1. Рассмотрим уравнение:
Преобразуем его:
Степень данного уравнения равна 2.
Найдём два любых решения:
Решением данного уравнения будут пары чисел (0; 2) и (0; -2).
2. Решить уравнение:
Степень уравнения равна 2.
Найдём два решения уравнения:
Получили две пары чисел: (-1; -6) и (3; 2).
3. Решить уравнение:
Преобразуем его:
Степень данного уравнения равна 3.
Найдём любые два решения:
Получили две пары: (1; 2) и (1; -2).
В ходе выполнения заданий стало понятно, что уравнения с двумя переменными имеют много решений. И указать все решения достаточно сложно. Если решением является пара значений, то его можно изобразить на координатной плоскости в виде точки. Так все решения и образуют график уравнения с двумя переменными.
Определение:
Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Пример.
1. Построить график уравнения:
Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:
Изобразим график данного уравнения:
Решением являются две прямые: х=7 и у=-3.
2. Построить график уравнения:
Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:
Изобразим график данного уравнения:
Решением являются две прямые: х=-5 и х=2.
Пример.
Составить уравнения, графиками которых являются пары прямых, изображённых на рисунках.
Посмотрим на первый рисунок:
Получили, что прямые являются графиком уравнения.
Обратимся ко второму случаю:
Получили, что эти прямые являются графиком уравнения.
Рассмотрим уравнение:
Графиком уравнения является окружность с центром в точке начала координат и радиусом r.
Например, графиком уравнения:
является окружность с r=4.
Пример.
Записать уравнение окружности с центром в точке начала координат и r=6.
Получим уравнение окружности:
Если центром окружности не является точка начала координат, то уравнение окружности будет выглядеть так:
Центр окружности имеет координаты (a; b).
Например,
Выполним обратное действие. Но для записи уравнения окружности уже не достаточно только координат центра, необходимо знать и радиус. Например:
videouroki.net
Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными
Что такое линейное уравнение с двумя переменными?
С линейными уравнениями с двумя переменными мы имеем дело в 7, 8 классах и в более старших.
Линейное уравнение с двумя переменными определение
Определение линейного уравнения с двумя переменными
Уравнение вида ax + by = c называется линейными уравнениями с двумя переменными.
Здесь a, b и c – числа, x и y – переменные.
Линейное уравнение с двумя переменными пример
Пример линейного уравнения с двумя переменными
8x + 4y = 5
В этом уравнении две переменные x и y, a = 8, b = 4, c = 5.
Линейное уравнение с двумя переменными
Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в истинное равенство.
Решите линейное уравнение с двумя переменными
Как решать линейные уравнения с двумя переменными?
Пример. Решите уравнение
8x + 4y = 5
Выразим переменную игрек через переменную икс.
Для этого перенесем 8x в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный
4y = -8x + 5
Разделим обе части уравнения на четыре
y = -2x + 1,25
Выбираем произвольное значение икса, пусть это будет 7.
Подставляем 7 вместо икса и находим значение игрека
y = -2 * 7 + 1,25 = −12,75
Теперь у нас есть пара значений переменных x = 7 и y = −12,75, обычно эту пару чисел записывают в скобках (7; −12,75), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.
Таким образом решением нашего уравнения является пара чисел (7; −12,75).
Есть ли другие решения уравнения?
Есть и их бесконечно много. Выбирая произвольно значения икса мы расчитываем соответствующее значение игрека и получаем очередное решение уравнения.
Например, если взять x = 2, то
y = -2 * 2 + 1,25 = −2,75
Мы получили новую пару чисел (2; −2,75), которая является решенеием уравнения.
www.sbp-program.ru
Линейные уравнения с двумя переменными. 7-й класс
Цели урока:
- Образовательные:
- повторить тему: «Уравнения. Линейные уравнения. Равносильные уравнения и их свойства»;
- обеспечить усвоение учащимися понятия линейных уравнений с двумя переменными и их решением.
- Развивающие:
- формировать интеллектуальные способности:
- умение сравнивать, строить аналоги, выделять главное;
- умение обобщать и систематизировать пройденный материал;
- развивать логическое мышление, память, воображение, математическую речь;
- развивать активную познавательную деятельность.
- Воспитательные:
- воспитывать самостоятельность, активность, заинтересованность учащихся на всех этапах урока;
- формировать такие качества характера, как усидчивость, настойчивость, целеустремлённость.
Задачи, которые должен решать учитель, на уроке:
- учить выделять главную мысль в тексте;
- учить задавать вопросы учителю, самому себе или ученикам;
- учить использовать приобретённые знания для решения нестандартных задач;
- учить умению математически правильно высказать свою мысль.
Задачи, которые должны решать ученики на данном уроке:
- знать определение линейного уравнения с двумя переменными;
- уметь составлять простые линейные уравнения;
- уметь правильно находить значения переменных а, в и с;
- уметь выделять среди уравнений линейные уравнения с двумя переменными;
- ответить на вопрос: что является решением линейного уравнения с двумя переменными?
- как узнать: является ли пара чисел решением уравнения?
- уметь выразить одну переменную через другую.
Тип урока: урок усвоения нового материала.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Повторение пройденного материала
1) На доске записи: 2х, 2х + 5 , 2х + 5 = 17.
2) Вопросы к классу:
– Дайте определение этим выражениям. (Ожидаемые
ответы: произведение, одночлен, сумма,
многочлен, уравнение.)
– Что называется уравнением?
– Уравнение нужно…? (Решать)
– Что значит «решить уравнение»?
– Что является корнем уравнения?
– Какие уравнения являются равносильными?
– Какие свойства равносильности уравнений вы
знаете?
III. Актуализация знаний учащихся
3) Задание всему классу:
– Преобразуйте выражения:(двое работают у доски).
а) 2(х + 8) + 4(2х – 4) = б) 4(х – 2) + 2(3у + 4) =
После преобразования получили: а) 10х; б) 4х + 6у:
– С помощью их составьте уравнения (ученики предлагают – учитель записывает уравнения на доске): 10х = 30; 4х + 6у = 28.
Вопросы:
– Как называется первое уравнение?
– Почему линейное?
– Сравните второе уравнение с первым.
Попробуйте сформулировать определение второго
уравнения (Ожидаемый ответ: уравнение с двумя
переменными; акцентируется внимание учащихся
на вид уравнения – линейное).
IV. Изучение нового материала
1) Объявляется тема урока. Запись темы в тетрадях. Самостоятельное формулирование учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. Обсуждение проходит в форме фронтальной беседы, диалога – рассуждения.
2) Задание классу:
а) Напишите по два линейных уравнения с двумя переменными (учитель и ученики прослушивают ответы нескольких учеников; по выбору учителя один из них записывает свои уравнения на доске).
б) Совместно с учениками определяются задачи и вопросы, на которые они должны получить ответ на данном уроке. Каждый ученик получает карточки с этими вопросами.
в) Работа с учащимися по решению этих вопросов и задач:
– Определите, какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными а) 6х2 = 36; б) 2х – 5у = 9: в) 7х + 3у3; г) 1/2х + 1/3у = 6 и т.д. Проблема может возникнуть с уравнением х : 5 – у : 4 = 3 (знак деления нужно записать в виде дроби). Какие свойства равносильности уравнений нужно применить? (Ответы учащихся) Определите значения коэффициентов а, в и с.
– Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения нужно решать. Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (Дети дают определение).
Пример: Найдите решения уравнения: а) х – у = 12, ответы запишем в виде (х; у) или х = …; у = …. Сколько решений имеет уравнение?
Примеры: Найдите решения следующих уравнений а) 2х + у = 7; б) 5х – у = 4. Как вы нашли решения этих уравнений? (Подбирали).
– Как узнать, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменными?
3) Работа с учебником.
– Найти в учебнике те места, где выделена главная мысль темы данного урока
а) Устное выполнение заданий: №1092, №1094.
б) Решение примеров №1096 (для слабых учащихся), №1097 (для сильных).
в) Повторить свойства равносильности уравнений.
Задание: применяя свойства равносильности уравнений, выразите переменную У через переменную Х в уравнении 5х + 2у = 12 («минута» на самостоятельное решение, затем общий обзор решения на доске с последующим объяснением).
г) Выполнение примера № 1099 (один из учащихся выполняет задание у доски).
Историческая справка
1. Ребята, уравнения, с которыми мы сегодня познакомились на уроке, называются Диофантовыми линейными уравнениями с двумя переменными, по имени древнегреческого учёного и математика Диофанта, жившего около 3,5 тысяч лет тому назад. Древние математики сначала составляли задачи, а затем трудились над их решением. Таким образом, было составлено множество задач, с которыми мы и знакомимся, и учимся их решать.
2. А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Над решением таких уравнений трудились многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений.
V. Итог урока
1) Обобщение пройденного материала на уроке. Ответы на все вопросы, поставленные перед учениками в начале урока:
– Какие уравнения называются линейными с двумя
переменными?
– Что называется решением линейного уравнения с
двумя переменными?
– Как записывается это решение?
– Какие уравнения называются равносильными?
– Назовите свойства равносильности уравнений?
– Какие задачи мы на уроке решали, на какие
вопросы отвечали?
2) Выполнение самостоятельной работы.
Для слабых:
– Найдите значения переменных а, в и с в
уравнении –1,1х + 3,6у = – 34?
– Найдите хотя бы одно решение уравнения х – у =
35?
– Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного
линейного уравнения с двумя переменными 2х –
у = 4?
Для сильных:
– Составьте линейное уравнение с двумя
переменными к задаче Диофанта: Во дворе дома
ходят фазаны и кролики. Количество всех ног
оказалось равным 26.
– Выразите переменную у через
х в уравнении 3х – 5у = 8.
VI. Сообщение домашнего задания
Просмотр всех заданий по учебнику, беглый анализ каждого задания, выбор задания.
- Для слабых учащихся: № 1093, № 1095б).
- Для сильных: 1) №1101, №1104 (а). 2) решить задачу Диофанта, найти все натуральные решения этого уравнения.
Дополнительно, по желанию учащихся – №1105.
Вместо заключения: Я работаю учителем математики более 40 лет. И хочу заметить, что открытый урок – не всегда бывает самым лучшим уроком. Очень часто случается так, что иногда обычные уроки приносят учителю больше радости и удовлетворения. И тогда с сожалением думаешь, что никто не увидел этого урока – творения учителя и учащихся.
Урок – это единый организм, единое целое, именно на уроке приобретается личностный и нравственный опыт воспитания, как учащихся, так и учителя. 45 минут урока – это так много и так мало. Много – потому что за это время можно с учениками «заглянуть» в глубину веков и, «вернувшись» оттуда, узнать очень много нового, интересного, и ещё успеть изучить новый материал.
До каждого ученика нужно довести понимание того, что именно математика является базисом интеллектуального развития человека. А основой для этого является развитие логического мышления. Поэтому перед каждом уроком ставлю себе и ученикам цель: научить учащихся успешно работать с определениями, умело отличать неизвестное от известного, доказанное от недоказанного, анализировать, сравнивать, классифицировать, ставить перед собой вопросы и научиться умело их решать. Пользоваться аналогиями, но если не сможешь выбраться самостоятельно, то рядом с тобой не только учитель, но главный твой помощник – книга.
Конечно, открытый урок является некоторым итогом творческой работы учителя. И учителя, присутствовавшие на данном уроке, должны обратить внимание на главное: систему работы, новизны, идею. Здесь, я думаю, особо важного значения не имеет какую методику преподавания применяет учитель на уроке: старую, современную или новые инновационные технологии, главное, чтобы её применение была уместна и эффективна для учителя и учащихся.
Я очень рада, что в моей жизни есть школа, дети, уроки и такие добрые коллеги. Спасибо вам всем!
urok.1sept.ru
Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными
Сначала калькулятор, теория под ним.
Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными
Множество всех х
Множество всех y
save Сохранить share Поделиться extension Виджет
Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:
,
где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.
Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе).
Если числа a и b неотрицательны, тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида мы можем найти их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты и , что:
.
Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.
То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение:
,
т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:
Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно.
Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество.
Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие:
.
Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства:
Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида:
,
где k принадлежит множеству целых чисел, являются множеством всех решений диофантова уравнения.
planetcalc.ru
Конспект урока на тему «Линейные уравнения с двумя переменными
КОНСПЕКТ УРОКА
Линейные уравнения с двумя переменными
Класс: 7
УМК: Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014
Тема: Линейные уравнения с двумя переменными
Цели: Познакомить учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя переменными и его решения, научить выражать из уравнения х через у или у через х.
Формируемые УУД:
Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки
Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.
Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.
Личностные: формирование навыков организации анализа своей деятельности
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран
Ход урока:
I Организационный момент
— Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить
Сказка «Дед-Равняло»
Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.
— Итак, о чем идет речь в этой сказке? (об уравнениях)
II. Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.
Какой тип уравнения нам известен? (линейное уравнение с одной переменной)
Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.
Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?
Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.
Заполняется 1 часть таблицы
ах=в, где х – переменная, а,в- числа.Пример: 3х = 6
Значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство
1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.
2) обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже, не равное нулю число.
Линейное уравнение с двумя переменной.
ах + ву = с, где х,у – переменные, а,в.с – числа.
Пример:
х – у = 5
х + у = 56
2х + 6у =68
Значения х, у, обращающие уравнение в верное равенство.
х=8; у=3 (8;3)
х=60; у = — 4 (60;-4)
Верны свойства 1,2.
3) равносильные уравнения:
х-у=5 и у=х-5
(8;3) (8;3)
После того, как заполнили первую часть таблицы, опираясь на аналогию, начинаем заполнять вторую строку таблицы, тем самым узнавать новый материал.
III. Обратимся к теме: линейное уравнение с двумя переменными. Само название темы наталкивает на мысль, что нужно вводить новую переменную, например у.
Существует два числа х и у, одно больше другого на 5. Как записать соотношение между ними? (х – у = 5) это и есть линейное уравнение с двумя переменными. Сформулируем по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной определение линейного уравнения с двумя переменными (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные).
Уравнение x – y = 5 при x = 8, y = 3 обращается в верное равенство 8 – 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных x = 8, y = 3 является решением этого уравнения.
— Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)
Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;3). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором — y.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:
Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.
Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x + 5y = 15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую.
Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y = 15 — 10x.
Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение
у = 3 — 2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.
Если x = 2, то y = 3 — 2· 2 = -1.
Если x = -2, то y = 3 — 2· (-2) = 7. Пары чисел (2; -1), (-2; 7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.
Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.
Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?
Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:
2y = 20 — 3x
у =
Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами.
Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2 и 7, либо 4 и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.
IV. Работа по учебнику (устно) № 1025, № 1027(а)
Самостоятельная работа с проверкой в классе.
1. Выпишите линейно уравнение с двумя переменными.
а ) 3х + 6у = 5 в) ху = 11 б) х – 2у = 5
2. Является ли пара чисел решением уравнения?
2х + у = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).
3. Выразите из линейного уравнения
4х – 3у = 12 а) х через у б) у через х
4. Найдите три, каких либо решения уравнения.
х + у = 27
V. Итак, подведем итог:
Дать определение линейного уравнения с двумя переменными.
Что называется решением (корнем) линейного уравнения с двумя переменными.
Сформулировать свойства линейного уравнения с двумя переменными.
Выставление оценок.
Домашнее задание: п. 40, № 1028, №1032
infourok.ru