Уравнение с неизвестным – Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 1 из 11)

Линейное уравнение с одним неизвестным

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные понятия, связанные с уравнениями такого типа;

·  рассмотреть некоторые задания на применение знаний по данной теме.

Материал урока

Определение.

Для начала давайте вспомним, что равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной. Переменную в уравнении называют также неизвестным.

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем (или решением) уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Выполним простое задание.

Ответить на вопрос: является ли число 5 корнем уравнения?

Решение:

Следует также знать, что два уравнения называются равносильными, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот – каждый корень второго уравнения является корнем первого, то есть, оба уравнения имеют одни и те же корни.

Равносильными являются также уравнения, которые не имеют корней.

Например, уравнения

равносильны, так как оба имеют один корень, равный 3.

Задание.

Заменить уравнение:  равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.

Чтобы заменить данное уравнение равносильным, но с целыми коэффициентами, умножим левую и правую части на 10. В результате получим:

А теперь вспомним основные свойства, которые используют при решении уравнений.

Итак, первое свойство: если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

Например,

Второе свойство: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнения, равносильное исходному.

Например,

А теперь давайте перейдём к линейным уравнениям с одной неизвестной.

Определение.

Итак, линейным уравнением с одной переменной (с одним неизвестным) называется уравнение вида:

где  и  – постоянные,

 – переменная (неизвестное).

Если в уравнении : , то это уравнение называется уравнением первой степени.

Давайте решим уравнение .

Возможны три случая.

Задание.

Решить уравнения:

а) ;              б) ;                 в) ;         г) .

Первое уравнение: .

Следующее уравнение: .

Напомним, что уравнения такого вида имеют бесконечно много корней. А значит, решением исходного уравнения является любое число.

Следующее уравнение: .

Обратите внимание, какое бы число мы не подставили вместо

у, всегда будем получать неверное равенство. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

И решим последнее уравнение: .

Т.е. наше уравнение имеет единственный корень, который равен 6.

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели тему «линейное уравнение с одним неизвестным». Вспомнили основные понятия, связанные с уравнениями такого типа. А также рассмотрели некоторые задания на применение знаний по данной теме.

videouroki.net

как решать уравнение с одним неизвестным

Вы искали как решать уравнение с одним неизвестным? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать уравнения с одним неизвестным, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как решать уравнение с одним неизвестным».

как решать уравнение с одним неизвестным

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как решать уравнение с одним неизвестным,как решать уравнения с одним неизвестным,как решить уравнение с одним неизвестным,правила решения уравнений с одним неизвестным,примеры уравнения с одним неизвестным,решение уравнений с одним неизвестным,решение уравнения с одним неизвестным,уравнение с неизвестными,уравнение с одним неизвестным,уравнение с одним неизвестным примеры,уравнение с одним неизвестным решить,уравнение с одной неизвестной,уравнения с неизвестными,уравнения с одним неизвестным,уравнения с одним неизвестным как решать,уравнения с одним неизвестным примеры,уравнения с одним неизвестным решение. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать уравнение с одним неизвестным. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решить уравнение с одним неизвестным).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать уравнение с одним неизвестным Онлайн?

Решить задачу как решать уравнение с одним неизвестным вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе (стр. 1 из 11)

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Волгодонский педагогический колледж

Допущена к защите

“____”____________200__г. Защищена с отметкой:______

Зам. директора по управлению Протокол ИГА №__________

образовательным процессом ________________________

________________________

Выпускная квалификационная работа

Тема: «Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе»

Специальность: 050201_Математика

Выполнил(а):

студент(ка)

Руководитель:

Волгодонск 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………3

ГЛАВА I. Теоретические особенности алгебраических уравнений.

§1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения……………6

§2. Линейные уравнения………………………………………………….10

§3. Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная)………….13

§4. Разложение квадратного трехчлена на множители…………………….21

§5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным………………23

§6. Уравнения третей степени……………………………………………26

§7. Уравнения четвертой степени……………………………………….29

§8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной

величины………………………………………………………………32

ГЛАВА II. Использование способов решения ал­гебраических уравнений на педагогической практике.

§1. Задачи, условия и этапы организации экспериментальной ра­боты по

внедрению алгеб­раических уравнений на уроках математики в 8 классах…………………………………………………………….34

§2. Эффективность использования разработанной системы……………41

Заключение………………………………………………………………………..43

Список литературы……………………………………………………………….44

Приложения………………………………………………………………………46

Введение

Велика роль математики в современном мире. Она занимает почетное место в сложном и бурном процессе развития человеческого общества и сама становится производительной силой. Практика наших дней оказывается богатейшим источником новых типов математических задач. Все эти задачи не только выдвинули физические, инженерные и технологические проблемы, но и привели к созданию новых разделов математики, таких как программирование для ЭВМ, ветвящиеся случайные процессы, теория оптимального уравнения и многие другие.

Сегодня понятие «алгебраические уравнения» стало необходимым элементом общей математической культуры. При этом учащиеся должны не только знать основные определения данного материала, но и осознавать необходимость глубокого изучения алгебраических уравнений, их решений. Изучение уравнений способствует расширению кругозора учащихся, улучшению качества их знаний и помогает при поступлении в ВУЗы. Поэтому актуальностью исследования является изучение и решение алгебраических уравнений.

Рассмотрение этого вопроса в научно-методической литературе не решает проблемы по изучению данного материала в школьном курсе математики. Во-первых, не выделяется достаточно времени на более глубокое изучение исследуемых понятий; во-вторых, программой не предусмотрен достаточно подробный разбор уравнений, их решений в основной общеобразовательной школе, которые содействуют развитию математического мышления, формированию научного мировоззрения.

На современном этапе развития общества к математике предъявляются серьезные требования с технологизацией и информатизацией.

Поэтому проблему нашего исследования мы видим в необходимости систематизации и углубления знаний учащихся по данному материалу и отсутствии системности при изучении этого материала в курсе основной школы, что не позволяет сделать процесс обучения оптимальным.

Объект исследования: процесс обучения математики в основной общеобразовательной школе.

Предмет исследования: алгебраические уравнения и способы их решения как составляющая курса обучения математики.

Цель исследования: изучить в теории и практике способы решения алгебраических уравнений с одним неизвестным, выявить методические условия, способствующие повышению знаний, умений и навыков учащихся по решению различных видов алгебраических уравнений и апробировать их на практике.

Исходя из поставленных целей исследования, вытекают следующие задачи:

1. Выявить различные виды и способы решения алгебраических уравнений с одним неизвестным.

2. Определить методологические условия, способствующие качественному формированию знаний, умений и навыков в решении алгебраических уравнений.

3. Апробировать на практике в основной школе различные способы решения алгебраических уравнений.

Гипотеза: системное изложение учебного материала по алгебраическим уравнениям в курсе основной общеобразовательной школы будет способствовать углублению и оптимизации знаний по математике и созданию прочной базы для усвоения курса высшей математики.

Методологической основой нашего исследования явилась гуманистическая личностно-ориентированная концепция обучения, которая позволяет поставить потребности учащихся в центре всей педагогической системы.

Теоретическая значимость: на основе теоретического обобщения научно-методических источников выявлен наиболее оптимальный способ решения алгебраических уравнений с одним неизвестным.

Методы исследования: анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, методы эмпирического исследования: наблюдение, анкетирование, контрольные задания, экспериментальные методы статистической обработки результатов.

База исследования: теоретические разработки исследования апробировались в 8 классе средней общеобразовательной школы №4 Мартыновского района, хутора Малоорловский.

ГЛАВА I. Теоретические особенности алгебраических уравнений.

§1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения.

Буквенные величины, входящие в равенство двух выражений

и : , по условию задачи могут быть неравноправными. Одни из них считаются известными, или параметрами. Они могут принимать все свои допусти­мые значения. Другие буквенные величины являются неизвестными.

Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, называется уравнением.

В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, рассматривают уравнения с одним, с двумя и т.д. неизвестными.

Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают буквами

а известные (или параметры) – буквами

Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным

Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения. Каждое слагаемое части уравнения называется членом уравнения.

Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения уравнения

называется множество всех числовых значений неизвестного , при каждом из которых имеют смысл выражения и одновременно.

Определение. Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. [20, c.34]

Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этого уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Например, уравнение

имеет единственный корень ; уравнение не имеет корней во множестве R: для любого действительного числа всегда .

Определение. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если всякий корень одного уравнения является корнем другого, и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений), то они также считаются равносильными. [20, c.34]

Иначе говоря, равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Если уравнения

и равносильны, то пишут .

Например,

; , так как эти уравнения не имеют действительных корней. Ясно, что уравнения и неравносильны.

mirznanii.com

Уравнения с одним неизвестным | Учеба-Легко.РФ

 

Определение. Уравнение с одним неизвестным — это высказывание с одной переменной, имеющее вид , где  и  — функции. Те значения , при которых определены обе эти функции, образуют область определения уравнения.

Примеры.

1) ,  — вещественное число;

2) , ;

3) , .

Определение. Значение , при котором уравнение обращается в верное равенство, называется корнем, или решением уравнения.

Определение. Пусть даны два уравнения (1) и (2). Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) содержится в множестве корней уравнения (2).

Обозначение. .

Пример.

1) 

2) 

3) 

Теорема. Пусть  — функции. Рассмотрим уравнения





Если область определения функции  содержит область определения уравнения (1), то уравнения (2), (3), (4) являются следствиями уравнения (1). Если, кроме того, функция  не обращается в нуль ни в одной точке области определения уравнения (1), то уравнение (5) является следствием уравнения (1).

Доказательство. 1) .

Пусть  — корень уравнения (1). Тогда  и  — это одно и то же число. Тогда  и — одно и то же число. Следовательно,  — корень уравнения (2). Аналогично доказываются остальные утверждения.

Пример.







Докажем, что .

Разобьем область определения уравнения (1) на два множества  и . На первом множестве уравнение корней не имеет (убеждаемся в этом проверкой). Поэтому достаточно рассмотреть уравнение (1) на множестве . Теперь на этом множестве . Значит, .

, так как числа вида  не являются корнями уравнения (1).

, так как число 2 является корнем уравнения (1), но не входит в область определения уравнения (8).

Пусть, решая уравнение (1), получили

Предположим, что известны все корни уравнения . Чтобы решить уравнение (1), достаточно подставить в него поочередно все корни уравнения .

Определение. Два уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого, т.е. множества их корней совпадают.

Применяя теорему,  можно показать, что уравнение (1) является следствием каждого из уравнений (2), (3), (5) и, следовательно, равносильно им. Уравнения (1) и (4) равносильны, если потребовать, чтобы функция  не обращалась в нуль на области определения уравнения (1).

Решая уравнение, можно прибавлять к обеим частям одну и ту же функцию (вычитать, умножать, делить) при условии, что область определения этой функции содержит область определения уравнения, а в случае умножения и деления не
обращается в нуль в точках этой области. В этих случаях мы будем получать уравнение, равносильное данному, если из его корней выбирать только те, которые входят в область определения исходного уравнения.

Теорема. Пусть  — функции, причем область определения функции  содержит множества значения функций  и . Рассмотрим уравнения


Тогда .

Если функция  при этом обратима, то уравнения (1) и (6) равносильны.

uclg.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о