Уравнения как делать: Уравнения химических реакций – составление и классификация (химия, 8 класс) — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 12.12.201923.04.2021 by alexxlab

Содержание

Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.

Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида , где n – некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0. Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n есть неотрицательное число, n-ая степень которого равна подкоренному числу, откуда . Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n –четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0, взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.

Покажем, как на практике отсеиваются посторонние корни указанным способом.

В заключение скажем, что рассмотренный подход является частным случаем более общего подхода к отсеиванию посторонних корней, возникающих при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Отсеять посторонние корни, которые могут возникнуть при возведении обеих частей уравнения f(x)=g(x) в одну и ту же четную степень, можно по условию . Несомненно, озвученное утверждение нуждается в доказательстве.

Оставим это Вам.

Приведем пример отсеивания посторонних корней предложенным способом. Возьмем уравнение , «сделанное» из только что решенного уравнения. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат и некоторые дальнейшие преобразования позволяют найти корни и . Проведем отсеивание посторонних корней по условию , которое в нашем случае таково

Подстановка в неравенство корня дает

Полученное неравенство верное, так как в числителе положительное число, а в знаменателе – отрицательное, поэтому, отношение этих чисел есть отрицательное число. Значит, — корень исходного уравнения.

Подстановка в неравенство корня дает неравенство , которое является неверным, так как отношение двух положительных чисел есть число положительное. Значит, — посторонний корень для решаемого уравнения.

Тема урока: «Иррациональные уравнения»

Важным моментом в подготовке к итоговой аттестации является организация обобщающего повторения.

Умения решать уравнения отрабатывается в течение всего школьного курса математики. Иррациональные уравнения, как правило, вызывают затруднения, поэтому требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

Большинство ошибок связано с формальным и поверхностным усвоением учащимися основных понятий и методов решения иррациональных уравнений. У большинства учащихся единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, при этом часто забывают делать проверку найденных корней. Для многих этот метод является единственным.

Предлагаемый материал позволяет следующие:

возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11-го класса;
повторить основные теоретические понятия;
закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
закрепить нестандартные способы решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения.

Определение. Уравнение с одной переменной f(x)=g(x) называется иррациональным, если хотя бы одна функция f(x) или g(x) содержит переменную x под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а также метод введения новых переменных.

Теорема. Если возвести обе части уравнения f(x)=g(x)

в натуральную степень n, то полученное уравнение fⁿ(x)=gⁿ(x) является следствием данного уравнения.

Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

Сделав проверку, убеждаемся, что оба они являются его корнями. Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения: [2; ?). Возведём обе части уравнения в квадрат, уединим затем полученный радикал и возведём ещё раз в квадрат. Получим корни уравнения

После проверки получим корень уравнения

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Уравнение перепишем так: Возведём обе части в квадрат, получим

x=2 проверить нетрудно, а проверять громоздко. Однако заметим, что при этом значении отрицательно. Значит, не является решением уравнения.

Ответ: х=2.

2. Метод введения новых переменных.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части уравнения на 2, получим:

Обозначив получим:

Далее,

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Обозначим тогда

Составим систему уравнений:

Решением системы является (0; 2) и (2; 0). Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению следующей совокупности систем уравнений:

Решив эту совокупность, находим

Ответ: -15; 1.

3. Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на выражение

После преобразования уравнение примет вид:

- корень уравнения. Теперь решим уравнение

Почленно сложив это уравнение с данным, придем к уравнению:

Решая это уравнение методом возведения в квадрат, получим Но, х=-4 посторонний корень.

Ответ: 0; 4.

Заменой неизвестной величины решение иррациональных уравнений можно свести к решению тригонометрических уравнений.

При этом полезно помнить:

Если в уравнение входит то замена или

Если в уравнение входит то замена

Если в уравнение входит то или

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Сделаем замену получим:

Так как то

Учитывая, что получим Поэтому,

Ответ:

4. Использование монотонности функции.

Иногда при решении уравнений не видно преобразований, которые позволяют увидеть замену или применить один из известных способов, хотя сразу виден один или более корней.

Пример 8.

Решить уравнение

Можно решить это уравнение путем двукратного возведения в квадрат. Но рассмотрим другой метод:

Подберём один или несколько корней уравнения.

Докажем, что других корней нет или найти остальные корни.

После проверки — корень уравнения. Так как функция возрастает в области определения, а монотонная функция принимает каждое своё значения один раз, то других корней уравнение не имеет.

Ответ:1.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. При проверке — корень уравнения. Для того, чтобы использовать свойство монотонности функции, преобразуем левую часть уравнения.

Так как функция убывает в области определения, то - единственный корень.

Ответ: 1.

Устно.

Доказать, что уравнения не имеют корней:

Дополнительные уравнения.

1. Ответ: 4. Новые переменные.

2. Ответ: 6. Возведение в квадрат.

3. Ответ: 0. Возведение в квадрат.

4. Ответ: -2; 2. Искусственный способ.

5. Ответ 0; 2. Замена.

6. Ответ: Замена.

7. Ответ: К тригонометрическому уравнению.

8. Сколько корней на имеет уравнение

Ответ: 3 корня..

9. Ответ: 1. Монотонность.

10. Ответ: 1. Монотонность.

Материалы этой статьи будут полезны при подготовке к итоговой аттестации и ЕГЭ, а также при изучении данной темы.

Создание уравнений и формул — Служба поддержки Office

Для набора новой формулы с нуля нажмите Alt += на клавиатуре.

Или

Выберите Вставка > Формула и выберите Вставить новую формулу в нижней части встроенной коллекции формул. Вставится заполнитель, в котором можно ввести формулу.

Вставка флажка или другого символа

Добавление формулы в коллекцию

Выделите формулу, которую нужно добавить.
Щелкните стрелку вниз и выберите Сохранить как новую формулу… .
В диалоговом окне Создание нового стандартного блока введите имя формулы.
В списке коллекции выберите пункт Формулы.
Нажмите кнопку ОК.

Для изменения или правки созданных ранее формул:

Выберите формулу для открытия вкладки Работа с формулами в ленте.
Выберите Конструктор, чтобы увидеть инструменты для добавления в формулу различных элементов. Можно добавить или изменить следующие элементы формулы.
- В группе Символы находятся математические символы. Чтобы увидеть все символы, нажмите кнопку Еще. чтобы увидеть другие наборы символов, щелкните стрелку в правом верхнем углу коллекции.
- В группе Структуры представлены структуры, которые можно вставить. Просто выберите элемент, а затем замените заполнители в структуре (штрихпунктирные прямоугольники) нужными значениями.
- Параметр Профессиональный отображает формулу в профессиональном формате, оптимизированном для отображения. Параметр Линейный отображает формулу как исходный текст, который при необходимости можно использовать для внесения изменений в формулу. Параметр «Линейный» отображает формулу в формате UnicodeMath или в формате LaTeX, который можно выбрать в блоке «Преобразования».
- Преобразовать в формат «Профессиональный» или «Линейный» можно все формулы в документе или только одну, если выбрать математическую зону или навести курсор на формулу.

На устройствах с поддержкой сенсорного ввода и пера можно писать формулы пером или пальцем. Для рукописного ввода формулы

Выберите Рисование > Преобразовать рукописный фрагмент в математические символы, а затем выберите Рукописное уравнение в нижней части встроенной галереи.
С помощью пера или пальца введите математическую формулу от руки. Если у устройства нет сенсорного экрана, напишите уравнение с помощью мыши. Вы можете выделять части формулы и редактировать их по мере ввода, а затем с помощью окна предварительного просмотра проверять, правильно ли Word распознает то, что вы написали.
Завершив ввод, щелкните Вставить, чтобы преобразовать текст, который вы только что написали, в формулу.

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах. )

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Правила решения иррациональных уравнений.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

I. Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

II. Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил. )

III. Анализ методов решения домашнего задания

(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда

Проверка:

1. Если х=42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

2. Если х=2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2.

№ п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень

1. Понятно.

2. Доступно.

1. Словесная запись.

2. Сложная проверка.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1–2 радикала.

Второй способ: равносильные преобразования.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:2.

№ п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Равносильных преобразований

1. Отсутствие словесного описания.

2. Нет проверки.

3. Четкая логическая запись.

4. Последовательность равносильных переходов.

1. Громоздкая запись.

2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда – совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

Третий способ: функционально-графический.

Решение.

Рассмотрим функции и .

1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени – положительное (не целое) число.

Найдем область определения функции D(f).

Составим таблицу значений x и f(x).

x	1,5	2	3,5	6
f(x)	0	1	2	3

2. Функция степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D(g).

Составим таблицу значений x и g(x).

x		0	2	6
g(x)	4	3	1	-1

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

№п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Функционально-графический

1. Наглядность.

2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ.

3. Позволяет найти количество решений.

1. словесная запись.

2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Четвертый способ: введение новой переменной.

Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

Составим второе уравнение системы.

Для переменной :

Для переменной

Поэтому

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

Вернувшись к переменной , получим

Ответ: 2.

№п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Введение новой переменной

Упрощение – получение системы уравнений, не содержащих радикалы

1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных

2. Необходимость возврата к исходной переменной

Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

– Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV. Практическая часть

(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

Группа 1.

Группа 2.

Группа 3.

V. Самостоятельная работа

(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

VI. Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

Решение задач с помощью уравнений

В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.

Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена. После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин. Так как эти величины равны неизвестной величине на другой стороне уравнения, то величина всех известных значений будет означать, что задача решена.

Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.

Пусть цена часов равна $x$
Эта цена была умножена на 4, то есть получаем $4x$
К произведению прибавили 70, то есть $4x + 70$
Из этого вычли 50, то есть $4x + 70 — 50$

Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.

Поэтому, это уравнение выглядит так: $4x + 70 — 50 = 220$
После проведения операций с уравнением, получаем, что $x = 50$.

То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.

Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.
Уравнение задачи имело вид      $4x + 70 — 50 = 220$
Подставляя 50 вместо $x$, получаем    $4 \cdot 50 + 70 — 50 = 220$
Отсюда,        $220 = 220$.

Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?

В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $\left(\frac{1}{3}\right)x$ то же самое, что и $\frac{x}{3}$; отсюда $\left(\frac{2}{5}\right)x = \frac{2x}{5}$.

Обозначим через x искомое число.
Тогда согласно условию $x + \frac{x}{2} — 20 = \frac{x}{4}$
После выполнения операций на уравнением, получим $x = 16$.
Проверка: $16 + \frac{16}{2} — 20 = \frac{16}{4}$.

Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:
Первый сын получил на $\$1000$ меньше, чем половина всего наследства;
Второй сын получил на $\$800$ меньше, чем треть всего наследства;
Третий сын получил на $\$600$ меньше, чем четверть всего наследства;
Какая сумма была всего наследства?
Если обозначить все наследство как x, тогда три сына получили $\frac{x}{2} — 1000, \frac{x}{3} — 800$ и $\frac{x}{4} — 600$.

Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$.
Тогда мы имеем равенство $\frac{x}{2} — 1000 + \frac{x}{3} — 800 + \frac{x}{4} — 600 = x$.
После выполения операций с членами уравнения, получим, что $x = 28800$
Проверка: $\frac{28800}{2} — 1000 + \frac{28800}{3} — 800 + \frac{28800}{4} — 600 = 28800$.

Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.

Так, если сумма двух чисел равна 20
И если один из них будет представлен через $x$
То другой будет равен $20 — x$.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.

Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.

Согласно условию задачи, $\frac{x}{4} + \frac{48 — x}{6} = 9$.
Поэтому, $x = 12$, то есть меншая часть.
И $48 — x = 36 -$ большая часть.

Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.

Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?

Обозначим через $x$ искомое число.
a = 720   d = 7392
b = 125   h = 462
Тогда, согласно условию задачи      $\frac{x + a}{b} = \frac{d}{h}$
Поэтому          $x = \frac{bd — ah}{h}$
Возвращая числа в уравнение, получим $х = \frac{(125.7392) — (720.462)}{462} = 1280$.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.

Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет $60$. В конце концов, он обнаруживает, что получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой сделке?

В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«.
Пусть x = искомой сумме.
Тогда, согласно условию $x + 350 — 60 = 200$
и x = -90.

Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.

Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?
Пусть $x$ — искомая широта.
Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«.
Согласно условию, x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11
и x = 0.

Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.

Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?

Пусть x — искомое число.
Тогда $\frac{x}{12} + x + 12 = 64$.
Отсюда $x — \frac{624}{13} = 48$.

Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,
Первый получил на 200 долларов больше чем $\frac{1}{4}$ всей недвижимости,
Второй получил на 340 долларов больше чем $\frac{16}{5}$ всей недвижимости,
Третий получил на 300 долларов больше чем $\frac{1}{6}$ всей недвижимости,
Четвертый получил на 400 долларов больше чем $\frac{1}{8}$ всей недвижимости.
Какова стоимость недвижимости?
Ответ: 4800 долларов.

Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.

Задача 11.

Ошибки в уравнениях / math5school.ru

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней, либо появление посторонних корней.

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного, а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10)² + lg x² = 2lg 24.

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

lg (x – 10) + lg x = lg 24,

lg x(x – 10) = lg 24,

x²– 10x = 24,

x²– 10x – 24 = 0,

x₁ = –2, x₂ = 12.

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: –2 и 12.

Комментарий. Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 10,

2lg |x – 10| + 2lg|x| = 2lg 24,

lg |x – 10| + lg|x| = lg 24,

lg |x(x – 10)| = lg 24,

|x²– 10x| = 24,

x²– 10x = ± 24,

1) x²– 10x – 24 = 0, x₁ = –2, x₂ = 12;

2) x²– 10x + 24 = 0, x₃ = 4, x₄ = 6.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3^х(х² – 2х – 3) = 9 (х² – 2х – 3).

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

3^х = 9;

3^х = 3²;

х = 2.

Ответ: 2.

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

3^х(х² – 2х – 3) – 9 (х² – 2х – 3) = 0;

(3^х– 9) (х² – 2х – 3) = 0;

1) 3^х– 9 = 0; 3^х = 3²; х = 2;

2) х² – 2х – 3 = 0; х = –1 и х = 3.

Ответ: –1; 2 и 3.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg² x – lg x = 0.

L Неправильное решение.

ОДЗ: х > 0.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

lg x – 1 = 0;

lg x = 1;

x = 10.

Ответ: 10.

J Правильное решение.

lg² x – lg x = 0;

ОДЗ: х > 0;

lg x (lg x – 1) = 0;

1) lg x = 0; x = 1;

2) lg x – 1 = 0; lg x = 1; x = 10.

Ответ: 1 и 10.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину.

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0.
x – 1		x²– 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х² – 1 и получим:

(5 – x) (x + 1) – (5 + 3x) = 0;

–х² + x =0;

х² – x =0;

х (х – 1) =0.

Ответ: 0 и 1.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки.

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину.

K Упражнение. Решить уравнение

х² – 81	– 2х = 0.
x – 9

L Неправильное решение.

Заметим, что х² – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9. Имеем:

(x + 9) – 2х = 0;

– х + 9 = 0;

х = 9.

Ответ: 9.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень х = 9.

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х² –	2	– 4х = 0.
3х²		3х²

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

х² – 4х = 0;

х (х – 4) =0;

х = 0, х = 4.

Ответ: 0 и 4.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень х = 0.

J Правильный ответ: 4.

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения. Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √х + 3 + √7 – х = 2.

L Неправильное решение.

ОДЗ: –3 ≤ х ≤ 7;

√х + 3 = 2 – √7 – х;

x + 3 = 4 – 4 · √7 – х + 7 – x;

2x – 8 = –4 · √7 – х;

2 · √7 – х = 4 – x;

4 (7 – x) = 16 – 8x + х²;

х² – 4x – 12 = 0;

x₁ = –2, x₂ = 6.

И число –2, и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х, значит, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: –2 и 6.

Комментарий. Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

√х + 3 = 2 – √7 – х

к уравнению

x + 3 = 4 – 4 · √7 – х + 7 – x.

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1. Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1, которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1² = (–1)². Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

2 · √7 – х = 4 – x,

которое уже имеет один корень –2, к уравнению

4 (7 – x) = 16 – 8x + х².

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4, которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6. Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

х² – 4x – 12 = 0,

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение (x – 5) (х + 2) √х – 3 = 0.

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

х – 5 = 0, х + 2 = 0, х – 3 = 0;

х = 5, х = –2, х = 3.

Ответ: 5; –2; 3.

Комментарий. Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3.

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Таких равенств много, вот некоторые из них:

x = (√ х)²

√ х · y = √ х · √ y

tg (x + y) =	tg x + tg y
	1 – tg x · tg y

sin 2x =	2 tg x
	1 + tg² x

log_a х² = 2 log_a x

log_a х · y = log_a x + log_a y

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. {1/4}=3,\;\;\;\) $x-3=81,\;\;\;$ $x=84.\;\;\;$

Ответ: 19 и 84.

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась.

K Упражнение. Решить уравнение х + 4√x – 5 = 0.

L Неправильное решение.

√x = t, x = t²;

t² + 4t – 5 = 0;

t₁ = 1, t₂ = –5;

1) x = (t₁)² = 1² = 1;

2) x = (t₂)² = (–5)² = 25.

Ответ: 1 и 25.

Комментарий. После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √x = t, а не x = t².

J Правильное решение. 2}=x+3;\;\;\left|x+3 \right|=x+3\geq 0;\;\;x\geq -3.\)

Ответ: х ≥ –3.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1.

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3, для |x – 4| это 4, и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

(–∞; 3), [3; 4) и [4; +∞).

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

Так как

\[\left|x-3 \right|=\begin{cases} \;\;\;\;x-3, \;\;\;x\geq 3; \\ -(x-3), \;\;x< 3; \end{cases}\;\;\;\;\; \left|x-4 \right|=\begin{cases} \;\;\;\;x-4, \;\;x\geq 4; \\ -(x-4), \;x< 4; \end{cases}\]

то

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

– (х – 3) – (х – 4) = 1,

– х + 3 – х + 4 = 1,

2х = 6,

х = 3;

так как 3 ∉ (–∞; 3), то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

(х – 3) – (х – 4) = 1,

х – 3 – х + 4 = 1,

1 = 1;

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

(х – 3) + (х – 4) = 1,

х – 3 + х – 4 = 1,

2х = 8,

х = 4;

так как 4 ∈ [4; +∞), то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪{4} = [3; 4], то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4].

Ответ: [3; 4].

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности.

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24.

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Ответ: 1.

Комментарий. Был подобран корень х = 1, но не обнаружен еще один корень х = –4, который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1). Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24,

(х (х + 3)) ((х + 1) (х + 2)) = 24,

(x² + 3х) (x² + 3х + 2) = 24,

введем новую переменную x² + 3х + 1 = t, тогда

(t – 1) (t + 1) = 24,

t² – 1 = 24,

t² = 25,

t₁ = –5, t₂ = 5,

1) x² + 3х + 1 = –5, x² + 3х + 6 = 0, решений нет;

2) x² + 3х + 1 = 5, x² + 3х – 4 = 0, х₁ = –4, х₂ = 1.

Ответ: –4 и 1.

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций. Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x¹¹ + 5х – 6 = 0.

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1.

Ответ: 1.

Комментарий. Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x¹⁰ + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x¹¹ + 5х – 6, что и доказывает единственность подобранного корня.

Ответ: 1.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями, не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇x)^¹/₃ = 1.

L Неправильное решение.

(log₇ x)^¹/₃ = (log₇ x)⁰.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

log₇ x = 1,

x = 7.

Ответ: 7.

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) ^{х² + х – 2} = 1.

L Неправильное решение.

(х + 5) ^{х² + х – 2} = (х + 5) ⁰,

х² + х – 2 = 0,

х₁ = –2, х₂ = 1.

Ответ: –2 и 1.

Комментарий. Потерян корень х = –4. Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

х + 5 = 1,

х = –4.

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5, тогда

(х² + х – 2) · lg (x + 5) = 0;

1) х² + х – 2 = 0; х₁ = –2, х₂ = 1;

2) lg (x + 5) = 0; x + 5 = 1; x = –4.

Ответ: –4, –2 и 1.

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями. При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

K Упражнение 1. Решить уравнение log₃ x · log₃ (3x) =log₃ (81x).

L Неправильное решение.

log₃ (3х²) =log₃ (81x),

3х² = 81x,

3х = 81,

х = 27.

Ответ: 27.

Комментарий. В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х² = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

ОДЗ: х > 0;

log₃ x · (log₃ 3 + log₃ x) = log₃ 81 + log₃ x;

log₃ x · (1 + log₃ x) = 4 + log₃ x;

log₃ x + log₃² x = 4 + log₃ x;

log₃² x = 4;

log₃ x = ±2;

x = 9, x = ¹/₉. 1/_{4\sqrt[5]{8}}\;.\)

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение.

K Решить уравнение	L Неправильный ответ	J Правильный ответ
sin x – cos x = 0	x = ^π/₄	x = ^π/₄ + πk, k ∈ Z
tg x = ¹/_√3	x = ^π/₆ + 2πk, k ∈ Z	x = ^π/₆ + πk, k ∈ Z
sin x = ¹/₂	x = (–1)^k arcsin ^π/₆ + πk, k ∈ Z	x = (–1)^k · ^π/₆ + πk, k ∈ Z
cos x = ¹/₂	x = ^π/₃ + 2πk, k ∈ Z	x = ± ^π/₃ + 2πk, k ∈ Z

В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного.

K Упражнение. Решить уравнение tg 3x – tg x = 4sin x.

L Неправильное решение.

sin (3x – x)	= 4sin x;
cos 3x cos x

sin 2x	= 4sin x;
cos 3x cos x

sin 2x = 4sin x cos 3x cos x;

sin 2x = 2sin 2x cos 3x;

sin 2x – 2sin 2x cos 3x = 0;

sin 2x (1 – 2cos 3x) = 0;

1) sin 2x = 0; 2x = πn, n ∈ Z; x = ^πn/₂, n ∈ Z;

2) 1 – 2cos 3x = 0; cos 3x = ¹/₂; 3x = ± ^π/₃ + 2πk, k ∈ Z; x = ± ^π/₉ + ^2πk/₃, k ∈ Z.

Ответ: ^πn/₂, n ∈ Z; ± ^π/₉ + ^2πk/₃, k ∈ Z.

Комментарий. Была допущена серьезная ошибка. При x = ^πn/₂ и нечетных n исходное уравнение не имеет смысла. Ошибка осталась незамеченной в результате того, что не была установлена область допустимых значений переменной.

J Правильный ответ: πn, n ∈ Z; ± ^π/₉ + ^2πk/₃, k ∈ Z.

Не редкость – появление ошибок по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям.

K Упражнение. Решить уравнение cos x – cos 2x = 1, если 0 < x < ^π/₂ .

L Неправильное решение.

cos x – (2cos² x – 1) = 1;

cos x – 2cos² x = 0;

cos x (1 – 2cos x) = 0;

1) cos x = 0; x = ^π/₂ + πk, k ∈ Z;

2) 1 – 2cos x = 0; cos x = ¹/₂; x = ± ^π/₃ + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: ^π/₂ + πk, k ∈ Z; ± ^π/₃ + 2πn, n ∈ Z.

Комментарий. Ответ не верен, так как условию 0 < x < ^π/₂ удовлетворяют только один корень.

J Правильный ответ: ^π/₃.

Следует не забывать, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащее неизвестное не редко приводит к потере корней уравнения.

K Упражнение. Решить уравнение cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

L Неправильное решение.

2sin 2x – 1 = sin 2x;

sin 2x = 1;

2x = ^π/₂ + 2πk, k ∈ Z;

x = ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

Ответ: ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

J Правильное решение.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0; x = ^π/₂ + πn, n ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0; sin 2x = 1; 2x = ^π/₂ + 2πk, k ∈ Z; x = ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

Ответ: ^π/₂ + πn, n ∈ Z; ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

K Упражнение. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

L Неправильное решение.

(sin x + cos x)² = 1²;

sin² x + 2sin x cos x + cos² x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

sin 2x = 0;

2x = πn, n ∈ Z;

x = ^πn/₂, n ∈ Z.

Ответ: ^πn/₂, n ∈ Z.

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

J Правильное решение.

Дополним приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям x = ^πn/₂, n ∈ Z соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, где m ∈ Z, то

1) x = ^4πk/₂ = 2πk, k ∈ Z;

2) x = ^4πm+π/₂ = ^π/₂ + 2πm, m ∈ Z.

Ответ: 2πk, k ∈ Z и ^π/₂ + 2πm, m ∈ Z.

Как и в любых других уравнениях, при решении тригонометрических уравнений не редкость – применение вспомогательной переменной. Но не следует забывать, что при этом может быть сужена область определения, что может привести к потере корней.

K Упражнение. Решить уравнение sin 2x + 3cos 2x + 3 = 0.

L Неправильное решение.

Так как

sin 2x =	2tg x	;
	1 + tg²x
cos 2x =	1 – tg² x	,
	1 + tg² x

то для исходного уравнения имеем:

2tg x	+ 3 ·	1 – tg² x	+ 3 = 0;
1 + tg² x		1 + tg² x

2tg x + 3 – 3tg² x + 3 + 3tg² x = 0;

2tg x + 6 = 0;

tg x = –3;

x = arctg (–3) + πk, k ∈ Z.

Ответ: arctg (–3) + πk, k ∈ Z.

Комментарий. Область допустимых значений неизвестного в исходном уравнении – все действительные числа. Но при x = ^π/₂ + πn переход от sin 2x и cos 2x к tg x невозможен. Таким образом область допустимых значений неизвестного сузилась, а значит, случай x = ^π/₂ + πn необходимо проверить отдельно.

J Правильное решение.

Продолжим решение уравнения. Подставим ^π/₂ + πn в исходное уравнение:

sin 2(^π/₂ + πn) + 3cos 2(^π/₂ + πn) + 3 = 0;

sin (π + 2πn) + 3cos (π + 2πn) + 3 = 0;

sin π + 3cos π + 3 = 0;

0 – 3 + 3 = 0;

0 = 0 – верно и, значит, ^π/₂ + πn, n ∈ Z – корни уравнения.

Ответ: ^π/₂ + πn, n ∈ Z; arctg (–3) + πk, k ∈ Z.

Смотрите так же:

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

Уравнения равные нулю | Алгебра

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Примеры.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Ответ: 0; 1,5; -0,8.

Ответ: 3; -2/7.

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Например,

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Корень первого уравнения —

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

Ответ: 3.

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.

Решение одностадийных линейных уравнений: сложение и вычитание

Purplemath

«Линейные» уравнения — это уравнения с простой старой переменной, такой как « x », а не с чем-то более сложным, например, x ² или ^x/_y , или квадратными корнями, или другими более сложные выражения.Линейные уравнения — это простейшие уравнения, с которыми вам придется иметь дело.

Вы, наверное, уже решили линейные уравнения; ты просто не знал этого. В ранние годы, когда вы учились сложению, ваш учитель, вероятно, дал вам рабочие листы для выполнения, в которых были упражнения вроде следующих:

Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5

Как только вы достаточно хорошо усвоили факты сложения, вы знали, что вам нужно поставить цифру «2» внутри квадрата.

MathHelp.com

Решение уравнений работает примерно так же, но теперь мы должны выяснить, что входит в x , а не то, что входит в коробку.Однако, поскольку сейчас мы старше, чем когда заполняли поля, уравнения также могут быть намного сложнее, и поэтому методы, которые мы будем использовать для решения уравнений, будут немного более продвинутыми.

В общем, чтобы решить уравнение для данной переменной, нам нужно «отменить» все, что было сделано с переменной. Мы делаем это для того, чтобы получить переменную сама по себе; технически мы «изолируем» переменную. Это приводит к тому, что уравнение изменяется так, чтобы говорить «(переменная) равно (некоторому числу)», где (некоторое число) — это ответ, который они ищут.Например:

Переменная — это буква x . Чтобы решить это уравнение, мне нужно получить x отдельно; то есть мне нужно получить x с одной стороны от знака «равно» и какое-то число с другой стороны.

Поскольку я хочу только x с одной стороны, это означает, что мне не нравится «плюс шесть», который в настоящее время находится на той же стороне, что и x . Поскольку 6 — это , добавленное к x , мне нужно вычесть из этого 6, чтобы избавиться от него.То есть мне нужно будет вычесть 6 из x , чтобы «отменить» их добавление к нему 6.

Это вызывает наиболее важное соображение с уравнениями:

Независимо от того, с каким уравнением мы имеем дело — линейным или каким-либо другим — что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, мы должны сделать то же самое с и с другой стороной уравнения. В этом отношении уравнения похожи на малышей:

Мы должны быть полностью, полностью справедливыми по отношению к обеим сторонам, иначе последует несчастье!

Что бы вы ни делали с уравнением, проделайте ТОЧНО ТАК ЖЕ с ОБЕИМИ сторонами этого уравнения!

Вероятно, лучший способ отследить это вычитание 6 с обеих сторон — это отформатировать свою работу следующим образом:

Изображение выше анимировано на «живой» странице.

Здесь вы видите, что я вычел 6 с обеих сторон, нарисовал горизонтальную полосу «равно» под всем уравнением, а затем сложил. В левой части (LHS) уравнения это дает мне:

x плюс ничего равно x , а 6 минус 6 равно нулю

В правой части уравнения (справа) у меня:

Решение — последнее направление моей работы; а именно:

Та же процедура «отмены» работает для уравнений, в которых переменная была объединена с вычитанием.

Переменная находится в левой части (LHS) уравнения в паре с оператором «вычесть три». Поскольку я хочу получить x отдельно, мне не нравится вычитаемая из него цифра «3». Противоположность вычитанию — это сложение, поэтому я отменю «вычитание 3», добавив 3 к обеим сторонам уравнения, а затем добавлю вниз, чтобы упростить, чтобы получить свой ответ:

Тогда мой ответ:

Вас могут попросить «проверить свои решения», по крайней мере, на ранних этапах обучения решению уравнений.Чтобы выполнить эту «проверку», вам нужно только подставить свой ответ в исходное уравнение и убедиться, что в итоге вы получили верное утверждение. (Это, в конце концов, определение решения уравнения; а именно, решение — это любое значение или набор значений [для более сложных уравнений, позже], что делает исходное уравнение истинным.)

Итак, чтобы проверить мое решение вышеприведенного уравнения, вы должны вставить «–2» вместо x в левой части (LHS) исходного уравнения и проверить, что это упрощает, чтобы дать исходное значение для правой части (RHS) уравнения:

Проверок:

LHS: (–2) — 3 = –5

RHS: –5

Поскольку каждая сторона исходного уравнения теперь дает одно и то же значение, это подтверждает, что решение действительно правильное.

Решите 4 =
x — 3 и проверьте свое решение.

На этот раз переменная находится в правой части уравнения. Это нормально; не имеет значения, где находится переменная, пока я могу изолировать ее (то есть, пока я могу получить ее отдельно от знака «равно»).

В этом уравнении у меня вычитается тройка из переменной.Чтобы отменить вычитание, я добавлю по три с каждой стороны уравнения.

4 = х — 3
+3 + 3
———-
7 = х

(Я мог бы записать правую часть после добавления как « x + 0», но «плюс ноль» обычно игнорируется. Вот почему я перенес только x с правой стороны .)

Теперь, как часть моей ручной работы, мне нужно показать, что я проверил это решение, вставив его обратно в правую часть исходного уравнения и подтвердив, что в итоге я получил левую часть исходного уравнения; то есть я получаю 4:

«Проверка» — это то, что я сделал выше.Я постарался четко обозначить вещи, чтобы оценщик смог найти мой «чек» (так что я получу полную оценку за упражнение). Мой окончательный ответ:

Когда я решил последнее упражнение выше, переменная оказалась справа от знака «равно». Но в своем решении я написал ответ, указав переменную слева от знака «равно». Это довольно стандартно. Когда вы решаете, переменная окажется там, где она окажется.Когда вы записываете решение, переменная идет слева. Почему? Так как.

Это уравнение почти решено. Но не совсем так. У меня нет простого старого x с правой стороны; вместо этого у меня — x . Что делать?

Я могу представить — x как 0 — x . Итак, что произойдет, если я добавлю x к каждой стороне уравнения?

2 = –x
+ х + х
——-
х + 2 = 0

Хорошо; это помогло.Взяв переменную и «добавив ее на другую сторону», я получил переменную в том формате, который мне нравится. И это также преобразовало исходное уравнение в простое одношаговое уравнение. Я избавлюсь от двойки в левой части, «вычтя ее» в правой части:

х + 2 = 0
-2 = -2
———-
х = -2

Этот ответ имеет смысл.Если отрицательное значение переменной равняется положительным двум, то положительное значение переменной должно равняться отрицательным двум. Итак, мой ответ:

Технически, этот последний пример был двухэтапным уравнением, потому что для его решения нужно было прибавить одно к обеим сторонам уравнения, а затем вычесть другое к обеим сторонам. Важно отметить, что вы можете складывать и вычитать переменные с другой стороны уравнения, точно так же, как вы можете складывать и вычитать числа с другой стороны.Точно такие же методы работают как с переменными, так и с числами.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейного уравнения путем сложения или вычитания. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm

Используйте общую стратегию для решения линейных уравнений — Элементарная алгебра

Решение линейных уравнений и неравенств

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Решите уравнения, используя общую стратегию
Классифицируйте уравнения

Решение уравнений с использованием общей стратегии

До сих пор мы имели дело с решением одной конкретной формы линейного уравнения.Пришло время разработать одну общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения. Некоторые уравнения, которые мы решаем, не требуют выполнения всех этих шагов, но многие потребуют.

Если начать с упрощения каждой части уравнения, остальные шаги будут проще.

Как решать линейные уравнения с использованием общей стратегии

Решить:

Общая стратегия решения линейных уравнений.

Максимально упростите каждую часть уравнения.
Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки.
Объедините похожие термины.
Соберите все переменные члены с одной стороны уравнения.
Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
Соберите все постоянные члены с другой стороны уравнения.
Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
Сделайте коэффициент при переменной составляющей равным 1.
Используйте свойство равенства умножения или деления.
Назовите решение уравнения.
Проверьте решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат верный.

Решить:

Решить:.

Классификация уравнений

Рассмотрим уравнение, которое мы решили в начале последнего раздела,. Мы нашли решение. Это означает, что уравнение верно, когда мы заменяем переменную x значением. Мы показали это, когда проверили решение и оценили его.

Если мы оценим для другого значения x , левая часть не будет.

Уравнение верно, когда мы заменяем переменную x значением, но неверно, когда мы заменяем x любым другим значением.Верно ли уравнение, зависит от значения переменной. Подобные уравнения называются условными уравнениями.

Все решенные нами уравнения являются условными уравнениями.

Условное уравнение

Уравнение, которое истинно для одного или нескольких значений переменной и ложно для всех других значений переменной, является условным уравнением.

Теперь рассмотрим уравнение. Вы понимаете, что левая и правая стороны эквивалентны? Давайте посмотрим, что произойдет, если мы найдем y .

Но верно.

Это означает, что уравнение верно для любого значения y . Мы говорим, что решение уравнения — это все действительные числа. Уравнение, которое справедливо для любого значения переменной, как это, называется тождеством.

Личность

Уравнение, которое истинно для любого значения переменной, называется тождеством .

Решение идентичности — все действительные числа.

Что происходит, когда мы решаем уравнение?

Но.

Решение уравнения привело к ложному утверждению. Уравнение не будет верным для любого значения z. У него нет решения. Уравнение, не имеющее решения или неверное для всех значений переменной, называется противоречием.

Противоречие

Уравнение, которое неверно для всех значений переменной, называется противоречием.

Противоречие не имеет решения.

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие.Затем сформулируйте решение.

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение:

удостоверение личности; все действительные числа

Классифицирует как условное уравнение, тождество или противоречие.Затем сформулируйте решение.

условное уравнение;

Классифицируйте уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие. Затем сформулируйте решение.

противоречие; нет решения

Тип уравнения	Что произойдет, когда вы ее решите?	Решение
Условное уравнение	Истинно для одного или нескольких значений переменных и ложно для всех остальных значений	Одно или несколько значений
Личность	Истинно для любого значения переменной	Все вещественные числа
Противоречие	Ложь для всех значений переменной	Нет решения

Ключевые концепции

Общая стратегия решения линейных уравнений
1. Максимально упростите каждую часть уравнения.
  Используйте свойство Distributive, чтобы удалить скобки.
  Объедините похожие термины.
2. Соберите все переменные члены с одной стороны уравнения.
  Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
3. Соберите все постоянные члены на другой стороне уравнения.
  Используйте свойство равенства сложения или вычитания.
4. Сделайте коэффициент при переменной составляющей равным 1.
  Используйте свойство равенства умножения или деления.
  Назовите решение уравнения.
5. Проверьте решение.
  Подставить решение в исходное уравнение.

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с использованием общей стратегии решения линейных уравнений

В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение.

Классификация уравнений

В следующих упражнениях классифицируйте каждое уравнение как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение.

удостоверение личности; все действительные числа

условное уравнение;

противоречие; нет решения

условное уравнение;

противоречие; нет решения

удостоверение личности; все действительные числа

Повседневная математика

Фехтование У Мики есть ограждение длиной 44 фута, чтобы заставить собаку бегать по его двору.Он хочет, чтобы длина была на 2,5 фута больше ширины. Найдите длину L , решив уравнение.

Монеты Ронда имеет £ 1,90 в никелях и десять центов. Количество десятицентовиков на единицу меньше двукратного количества пятаков. Найдите количество никелей, n , решив уравнение.

Письменные упражнения

Своими словами перечислите этапы общей стратегии решения линейных уравнений.

Объясните, почему вам следует максимально упростить обе стороны уравнения, прежде чем собирать переменные члены в одну сторону и постоянные члены — в другую.

Какой первый шаг вы сделаете при решении уравнения? Почему это ваш первый шаг?

Решите уравнение, объясняющее все этапы вашего решения, как в примерах в этом разделе.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении цели этого раздела.

ⓑ По шкале от 1 до 10, как бы вы оценили свое мастерство в этом разделе в свете ваших ответов в контрольном списке? Как можно это улучшить?

Глоссарий

условное уравнение: Уравнение, которое истинно для одного или нескольких значений переменной и ложно для всех других значений переменной, является условным уравнением.

противоречие: Уравнение, которое неверно для всех значений переменной, называется противоречием. Противоречие не имеет решения.

идентификационный номер: Уравнение, которое истинно для любого значения переменной, называется тождеством. Решение идентичности — это все действительные числа.

Весы как модель уравнения

В этой статье обсуждается, как использовать весы для моделирования простых линейных уравнений в предалгебре или алгебре 1.На этой странице мы имеем дело только с положительными целыми числами; часть 2 объясняет, как использовать баланс с уравнениями, которые включают отрицательные целые числа.

Уравнение в основном говорит, что две вещи (точнее, выражения) РАВНЫ. Поскольку в сбалансированной ситуации обе стороны весов имеют равный вес, мы можем моделировать простые уравнения с помощью весов.

На рисунках ниже каждый кружок представляет один, а блок представляет неизвестное x . Узнать, сколько весит блок, можно

прибавьте одинаковое количество (кружков или блоков) к ОБЕИМ сторонам

заберите одинаковое количество с ОБЕИХ сторон

Таким образом, обе стороны будут поддерживать баланс или «равенство».

х + 3 = 5

Если это сбалансированная ситуация …

x = 2

… так оно и есть!
(Мы сняли три круга с ОБЕИХ сторон.)

3 x + 2 = 2x + 6	Уберите два блока (два x ) с обоих стороны. Баланс останется сбалансированным.
x + 2 = 6	Уберите по 2 круга с обеих сторон. Баланс останется сбалансированным.
x = 4	Вот решение!

Без масштабной модели процесс решения выглядит следующим образом:

3x + 2 -2x	=	2x + 6 -2x	(уберите 2х с обеих сторон)
х + 2 -2	=	6 -2	(снимаем по 2 с двух сторон)
x	=	4

Разделение

В некоторых ситуациях вам нужно разделить обе части уравнения на одно и то же число.Когда это? Это удачная ситуация, когда на одной стороне ТОЛЬКО x (блоков), но их больше одного.

2 x = 8	Если забрать половину вещей на левая сторона, и аналогично половина вещей на правой стороне, , баланс останется сбалансированным .
x = 4

3 x = 9	Подумай об этом! Если это уравновешенная ситуация…
x = 3	… то же самое (и наоборот)! Мы просто разделили обе стороны на 3.

Объединение операций

Разрешенные операции:

Добавьте одинаковое количество к обеим сторонам ( x или единицам)
Вычтите одинаковое количество с обеих сторон ( x или единиц)
Умножьте обе стороны на одинаковое число (но не на ноль)
Разделите обе части на одинаковое число (но не на ноль)

(Есть и другие, но они не нужны в простых уравнениях.)

Цель состоит в том, чтобы СНАЧАЛА прибавить и вычесть , пока у нас не останется ТОЛЬКО блоки (блоки) x с одной стороны и ТОЛЬКО блоки (кружки) с другой. Затем, если у вас более одного блока, вам нужно разделить , чтобы прийти к ситуации, когда только один блок с одной стороны, что является решенным уравнением!

Умножение с обеих сторон может произойти, если у вас есть дробный блок ( минус , чем один блок) с одной стороны.Например, уравнение 1 / 4x = 13 решается путем умножения обеих частей на 4. Попробуйте позволить своим ученикам смоделировать уравнение 1 / 2x + 14 = 20, используя весы; они могут решить это с его помощью. Более продвинутые студенты могут подумать, что делать с уравнением 2 / 3x = 12.

Пример вычитания и деления

В этом примере мы используем все вышеперечисленные операции: снятие с обе стороны уравнения и разделив уравнение на одно и то же число.

4 x + 2 = 2 x + 5	Сначала избавляемся от блоков с правой стороны убрав по два квартала с обеих сторон.
2 x + 2 = 5	Затем убираем кружочки с левой стороны убрав по 2 круга с обеих сторон.
2 x = 3	Теперь только блоки с одной стороны и только круги с другой. Узнать, что за 1 блок весит, берем половину с обеих сторон.
x = 1 1/2	Решение состоит в том, что 1 блок весит 1 1/2 круга.

Попробуйте подставить это значение x = 1 1/2 в исходное уравнение 4 x + 2 = 2 x + 5 и проверьте, выполняется ли уравнение!

Пример упражнений

Эти уравнения достаточно просты, чтобы их можно было решить с помощью модели баланса. ВСЕГДА проверяйте свое решение, подставляя его в исходное уравнение.

2 x + 3 = 5
2 x + 5 = x + 9
3 x + 2 = 2 x + 4
3 x + 3 = 5 + x
5 x + 4 = 3 x + 6
6 x + 2 = 3 x + 6
6 x + 3 = 2 x + 5

Перейти к отрицательным членам в уравнении

См. Также

Задачи с весами — видеоурок
В этом видеоуроке для 4 или 5 классов я решаю 14 различных задач на баланс, начиная с самых простых и заканчивая теми, у которых есть двойные весы.Учащиеся изучают принципы деления обеих частей уравнения на одно и то же число и удаления (вычитания) одинакового количества обеих сторон уравнения.

Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

К настоящему времени у вас есть представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили нескольких линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Эта статья научит решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замену и исключение.

Метод замены

Замена — это метод решения линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

Сделайте предмет формулы для переменной в одном из данных уравнений.
Подставьте значение этой переменной во второе уравнение. ’
Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Давайте решим пару примеров, используя метод подстановки.

Пример 1

Решите следующие системы уравнений.

b = a + 2

a + b = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

a + (a + 2) = 4

Теперь решите для

a + a + 2 = 4

2a + 2 = 4

2a = 4-2

a = 2/2 = 1

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

b = a + 2

b = 1 + 2

b = 3

Следовательно, решение двойного уравнения: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения, используя замену.
7x — 3y = 31 ——— (i)

9x — 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i)

7x — 3y = 31

Сделайте y предмет формулы в уравнении:

7x — 3y = 31

Вычтем 7x из обеих частей уравнения 7x — 3y = 31, чтобы получить;

— 3y = 31 — 7x

3y = 7x — 31

3y / 3 = (7x — 31) / 3

Следовательно, y = (7x — 31) / 3

Теперь подставим уравнение y = ( 7x — 31) / 3 во второе уравнение: 9x — 5y = 41

9x — 5 × (7x — 31) / 3 = 41

Решение уравнения дает;

27x — 35x + 155 = 41 × 3

–8x + 155 — 155 = 123 — 155

–8x = –32

8x / 8 = 32/8

x = 4

Подставляя значение x в уравнении y = (7x — 31) / 3, получаем;

y = (7 × 4 — 31) / 3

y = (28 — 31) / 3

y = –3/3

y = –1

Следовательно, решение этих систем уравнений x = 4 и y = –1

Пример 3

Решите следующие наборы уравнений:

2x + 3y = 9 и x — y = 3

Решение

Сделайте x темой формула во втором уравнении.

х = 3 + у.

Теперь подставьте это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2 (3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

y = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение — y = 3.

⇒ x = 3 + 0,6

x = 3,6

Следовательно, решение будет x = 3,6 и y = 0,6

Метод исключения

При решении систем уравнений методом исключения выполняются следующие шаги:

Приравняйте коэффициенты данных уравнений путем умножения на константу.
Вычтите новые уравнения, общие коэффициенты имеют одинаковые знаки и сложите, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания
Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другого Переменная.

Пример 4

4a + 5b = 12,

3a — 5b = 9

Решение

Поскольку коэффициенты b в двух уравнениях одинаковы, мы складываем члены по вертикали.

4a + 3a) + (5b — 5b) = 12 + 9

7a = 21

a = 21/7

a = 3

подставляем полученное значение a = 3 в уравнение первое уравнение

4 (3) + 5b = 12,

12 + 5b = 12

5b = 12-12

5b = 0

b = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.

Пример 5

Решите, используя метод исключения.

2x + 3y = 9 ———– (i)

x — y = 3 ———– (ii)

Решение

Умножьте два уравнения на 2 и выполните вычитание.

2x + 3y = 9

(-)

2x — 2y = 6

-5y = -3

y = ⅗ = 0,6

Теперь подставим полученное значение y во второе уравнение: x — y = 3

x — 0,6 = 3

x = 3,6

Следовательно, решение: x = 3,6 и y = 0,6

Практические вопросы

1. Решите данную систему уравнений:

2y + 3x = 38

y — 2x = 12

2. Решите x — y = 12 и 2x + y = 22

3.Решить x / 2 + 2/3 y = -1 и x — 1 / 3y = 3

4. Решить 2a — 3 / b = 12 и 5a — 7 / b = 1

5. Решить систему уравнений x + 2y = 7 и 2x + 3y = 11

6. Решите систему уравнений 5x — 3y = 1 и 2x + y = -4

7. Решите 2x — 3y = 1 и 3x — 4y = 1

8 Решите систему уравнений 3x — 5y = -23 и 5x + 3y = 7

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной — это уравнения, в которых переменная имеет показатель степени 1, который обычно не отображается (это понятно).Примером может быть что-то вроде \ (12x = x — 5 \). Для решения линейных уравнений есть одна основная цель: выделить переменную . В этом уроке мы рассмотрим, как это делается, на нескольких примерах.

Содержание

Примеры решения одношаговых уравнений
Примеры решения двухэтапных уравнений
Примеры уравнений, в которых сначала необходимо упростить
Бесконечно много или нет решений
Сводка

Примеры решения одношаговых линейных уравнений

После всей вашей тяжелой работы над решением уравнения вы знаете, что хотите получить окончательный ответ, например \ (x = 5 \) или \ (y = 1 \).В обоих случаях переменная изолирована, или сама по себе.

Итак, нам нужно выяснить, как изолировать переменную. Как мы это сделаем, зависит от самого уравнения! Если его на что-то умножили, поделим. Если к нему что-то добавили, вычтем. Поступая так, мы постепенно будем получать переменную сама по себе.

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает.

Пример

Решите уравнение: \ (4x = 8 \)

Решение

В этом примере 4 — это умножение на \ (x \).Следовательно, чтобы изолировать \ (x \), вы должны разделить эту сторону на 4. Делая это, вы должны помнить одно важное правило: что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой стороной. Итак, мы разделим обе стороны на 4.

\ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ \ dfrac {4x} {\ color {red} {4}} & = \ dfrac {8} {\ color {red} {4}} \ end {align} \)

Упрощение:

\ (х = \ в коробке {2} \)

Вот и все, один шаг и готово. (Вот почему подобные уравнения часто называют «одношаговыми» уравнениями)

Чек

Каждый раз, когда вы решаете линейные уравнения, вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно в уравнение.Если вы получите верное утверждение, значит, ответ правильный. Это не обязательно на 100% для каждой задачи, но это хорошая привычка, поэтому мы сделаем это для наших уравнений.

В этом примере наше исходное уравнение было \ (4x = 8 \). Чтобы проверить это, убедитесь, что верно следующее:

\ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ 4 (2) & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} \)

Это верное утверждение, поэтому наш ответ правильный.

Для любого уравнения любая операция, которую вы выполняете с одной стороной, должна выполняться и с другой стороной.

Давайте попробуем еще пару примеров, прежде чем переходить к более сложным уравнениям.

Пример

Решить: \ (3x = 12 \)

Решение

Поскольку \ (x \) умножается на 3, план состоит в том, чтобы разделить на 3 с обеих сторон:

\ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ \ dfrac {3x} {\ color {red} {3}} & = \ dfrac {12} {\ color {red} {3}} \\ x & = \ в штучной упаковке {4} \ end {align} \)

Чек

Чтобы проверить наш ответ, мы позволим \ (x = 4 \) и подставим его обратно в уравнение:

\ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ 3 (4) & = 12 \\ 12 & = 12 \ end {align} \)

Как и раньше, поскольку это истинное утверждение, мы знаем, что наш ответ правильный.

В следующем примере вместо умножения переменной на значение из переменной вычитается значение. Чтобы «отменить» это, мы добавим это значение обеим сторонам.

Пример

Решить: \ (y-9 = 21 \)

Решение

На этот раз из y вычитается 9. Итак, мы отменим это, добавив 9 к обеим сторонам.

\ (\ begin {align} y-9 & = 21 \\ y-9 \ color {red} {+ 9} & = 21 \ color {red} {+ 9} \\ y & = 30 \ end {align} \)

Далее мы рассмотрим то, что обычно называют «двухэтапными» уравнениями.В этих уравнениях нам нужно будет отменить две операции, чтобы изолировать переменную.

Примеры двухступенчатых уравнений

В каждом из приведенных выше примеров нужно было выполнить один шаг, прежде чем мы получили ответ. В следующих примерах вы увидите, как работать с уравнениями, которые вместо этого состоят из двух шагов. Если выполняется более одной операции, важно помнить порядок операций PEMDAS. Поскольку вы отменяете операции с \ (x \), вы будете работать «снаружи внутрь».Это легче понять, когда вы увидите это на примере.

Пример

Решить: \ (2x-7 = 13 \)

Решение

Обратите внимание на две операции, происходящие с \ (x \): он умножается на 2, а затем вычитается 7. Нам нужно будет их отменить. Но только \ (x \) умножается на 2, поэтому первым шагом будет прибавление 7 к обеим сторонам. Тогда мы можем разделить обе части на 2.

Добавляем 7 к обеим сторонам:

\ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2x-7 \ color {red} {+ 7} & = 13 \ color {red} {+ 7} \\ 2x & = 20 \ end {align} \ )

Теперь разделите обе стороны на 2:

\ (\ begin {align} 2x & = 20 \\ \ dfrac {2x} {\ color {red} {2}} & = \ dfrac {20} {\ color {red} {2}} \\ x & = \ в штучной упаковке {10} \ end {align} \)

Чек

Как и в случае с более простыми задачами, вы можете проверить свой ответ, подставив свое значение \ (x \) обратно в исходное уравнение.

\ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2 (10) — 7 & = 13 \\ 13 & = 13 \ end {align} \)

Это правда, значит, у нас есть правильный ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример с двумя шагами, прежде чем мы снова будем преодолевать трудности. Убедитесь, что вы понимаете каждый показанный шаг и также работаете над проблемой.

Пример

Решить: \ (5w + 2 = 9 \)

Решение

Как и выше, есть две операции: \ (w \) умножается на 5, а затем к нему прибавляется 2.Мы отменим их, сначала вычтя 2 с обеих сторон, а затем разделив на 5.

\ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5w + 2 \ color {red} {- 2} & = 9 \ color {red} {- 2} \\ 5w & = 7 \\ \ dfrac { 5w} {\ color {red} {5}} & = \ dfrac {7} {\ color {red} {5}} \\ w = \ boxed {\ dfrac {7} {5}} \ end {align} \)

Дробь справа не может быть упрощена, так что это наш окончательный ответ.

Чек

Пусть \ (w = \ dfrac {7} {5} \). Тогда:

\ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5 \ left (\ dfrac {7} {5} \ right) + 2 & = 9 \\ 7 + 2 & = 9 \\ 9 & = 9 \ конец {align} \)

Итак, мы снова получили правильный ответ!

Упрощение перед решением

В следующих примерах есть больше изменяемых терминов и, возможно, необходимо некоторое упрощение.В каждом случае шаги будут заключаться в том, чтобы сначала упростить обе стороны, а затем использовать то, что мы делали, чтобы изолировать переменную. Сначала мы подробно рассмотрим пример, чтобы увидеть, как все это работает.

Чтобы понять этот раздел, вам должно быть удобно комбинировать похожие термины.

Пример

Решить: \ (3x + 2 = 4x-1 \)

Решение

Поскольку обе части упрощены (нет скобок, которые нам нужно вычислять, и нет одинаковых членов для объединения), следующим шагом будет получение всех x на одной стороне уравнения и всех чисел на другой стороне.Применяется то же правило — что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать и с другой стороной!

Можно перемещать \ (3x \) или \ (4x \). Предположим, вы переместили \ (4x \). Поскольку он положительный, вы должны вычесть его с обеих сторон:

\ (\ begin {align} 3x + 2 & = 4x-1 \\ 3x + 2 \ color {red} {- 4x} & = 4x-1 \ color {red} {- 4x} \\ -x + 2 & = -1 \ end {align} \)

Теперь уравнение выглядит так же, как и раньше. Следующим шагом будет вычитание 2 с обеих сторон:

\ (\ begin {align} -x + 2 \ color {red} {- 2} & = -1 \ color {red} {- 2} \\ — x = -3 \ end {align} \)

Наконец, поскольку \ (- x = -1x \) (это всегда верно), разделите обе стороны на \ (- 1 \):

\ (\ begin {align} \ dfrac {-x} {\ color {red} {- 1}} & = \ dfrac {-3} {\ color {red} {- 1}} \\ x & = 3 \ end {выровнять}\)

Чек

Вы должны воспользоваться моментом и убедиться, что следующее утверждение является верным:

\ (3 (3) + 2 = 4 (3) — 1 \)

В следующем примере нам нужно будет использовать свойство распределения перед решением.Здесь легко ошибиться, поэтому убедитесь, что вы распределили число перед круглыми скобками для всех терминов внутри.

Пример

Решить: \ (3 (x + 2) -1 = x-3 (x + 1) \)

Решение

Сначала разложите 3 и –3 и соберите одинаковые термины.

\ (\ begin {align} 3 (x + 2) -1 & = x-3 (x + 1) \\ 3x + 6-1 & = x-3x-3 \\ 3x + 5 & = — 2x-3 \ end {выровнять}\)

Теперь мы можем прибавить 2x к обеим сторонам. (Помните, что вы получите тот же ответ, если вместо этого вычтете 3x с обеих сторон)

\ (\ begin {align} 3x + 5 \ color {red} {+ 2x} & = — 2x-3 \ color {red} {+ 2x} \\ 5x + 5 & = -3 \ end {align} \)

Отсюда мы можем решить, как и с другими двухшаговыми уравнениями.

\ (\ begin {align} 5x + 5 \ color {red} {- 5} & = — 3 \ color {red} {- 5} \\ 5x & = — 8 \\ \ dfrac {5x} {\ color { красный} {5}} & = \ dfrac {-8} {\ color {red} {5}} \\ x & = \ dfrac {-8} {5} \\ & = \ boxed {- \ dfrac {8 } {5}} \ end {align} \)

Чек

Это был сложный вопрос, поэтому не забудьте проверить свой ответ и убедиться, что не было допущено никаких ошибок. Для этого вы убедитесь, что следующее утверждение является верным:

\ (3 \ left (- \ dfrac {8} {5} +2 \ right) -1 = \ left (- \ dfrac {8} {5} \ right) -3 \ left (- \ dfrac {8} { 5} +1 \ вправо) \)

(Примечание: это работает, но вы должны быть очень осторожны с круглыми скобками!)

Бесконечно много решений и нет решений

Бывают случаи, когда вы выполняете все эти шаги, и появляется действительно странное решение.Например, при решении уравнения \ (x + 2 = x + 2 \) с использованием описанных выше шагов в итоге получается \ (0 = 0 \). Это, конечно, правда, но что хорошего в этом?

Если вы получите подобное утверждение, это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Любой \ (x \), о котором вы можете подумать, удовлетворял бы уравнению \ (x + 2 = x + 2 \). Подходящий ответ в этом случае — «бесконечно много решений».

Другая ситуация возникает, когда вы упрощаете уравнение до утверждения, которое никогда не бывает истинным, например \ (3 = 4 \) или \ (0 = 1 \).Это происходит с уравнением \ (x + 5 = x-7 \), которое приводит к \ (5 = -7 \), что, конечно, никогда не бывает истинным. Это означает, что никакое \ (x \) не удовлетворяет этому уравнению. Другими словами «решения нет». Итого:

Если вы получите утверждение, которое всегда истинно, например \ (5 = 5 \) или \ (0 = 0 \), то существует бесконечно много решений.
Если вы получаете утверждение, которое всегда ложно, например \ (10 = 11 \) или \ (1 = 5 \), то решений нет.

Сводка

Решение линейных уравнений сводится к выделению переменной.В зависимости от уравнения это может занять от одного шага до многих. Всегда проверяйте, нужно ли вам сначала упростить одну или обе стороны уравнения, и всегда проверяйте свой ответ.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Введение в алгебру | SkillsYouNeed

Многие люди думают, что уравнений и алгебра им недоступны — мысль о необходимости работать с уравнениями наполняет их страхом.Однако не стоит бояться уравнений.

Хорошая новость заключается в том, что уравнения на самом деле являются относительно простыми концепциями, и с небольшой практикой и применением некоторых простых правил вы можете научиться управлять ими и решать их.

Эта страница призвана познакомить вас с основами алгебры и, надеюсь, позволит вам чувствовать себя более комфортно при решении простых уравнений.

Что такое уравнение?

Уравнение — это два выражения по обе стороны от символа, указывающего на их взаимосвязь.

Это отношение может быть равно (=), меньше (<) или больше (>), или может иметь некоторую комбинацию. Например, меньше или равно (≤) или даже не равно (≠) или приблизительно равно (≈). Это известно как , равенство символов.

Таким образом, простые уравнения включают 2 + 2 = 4 и 5 + 3> 3 + 4.

Однако, когда большинство людей говорят об уравнениях, они имеют в виду алгебраические уравнения.

Это уравнения, в которых используются как буквы, так и числа.Буквы используются для замены некоторых чисел, если числовое выражение было бы слишком сложным или если вы хотите обобщить, а не использовать конкретные числа. Их также можно использовать, когда вы знаете значения в части уравнения, но другие значения неизвестны, и вам нужно их вычислить.

Алгебраические уравнения решаются путем определения чисел, обозначенных буквами.

Мы можем превратить два простых уравнения, приведенных выше, в алгебраические, заменив одно из чисел \ (x \):

2 + 2 = \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 2 + 2 = 4, а это значит, что \ (x \) должно быть равно 4.Таким образом, решение уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = 4 .

5 + 3> 3 + \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 5 + 3 = 8. Уравнение говорит нам, что 8 больше, чем (>) 3 + \ (x \).

Нам нужно переставить уравнение так, чтобы \ (x \) находился с одной стороны, а все числа — с другой, иначе мы не сможем найти значение \ (x \). Правило перестановки уравнений: то, что вы делаете с одной стороной, вы также должны делать с другой .Подробнее об этом ниже.

Возьмите 3 с обеих сторон (8 — 3 = 5), тогда уравнение станет

5> \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы видим, что \ (x \) должно быть меньше 5 ( \ (x \) <5 ).

Мы не можем сказать более точно, что такое \ (x \) с информацией, которую нам дают. Однако в исходном уравнении, которое мы использовали в качестве нашего примера, мы заменили 4 на \ (x \), что действительно меньше 5.

Нет никакого волшебства в использовании фигурной буквы «x» (\ ({x} \)).Вы можете использовать любую понравившуюся букву, хотя \ ({x} \) и \ ({y} \) обычно используются для обозначения неизвестных элементов уравнений.

Переменные и константы

Буква, используемая для замены числа в алгебре, называется переменной , потому что она означает разные числа каждый раз, когда вы ее используете.

Это отличается от конкретной буквы, которая всегда используется для замены одного и того же числа, например \ (\ pi \) (pi), которое всегда равно 3.142. Такая буква называется константой .

В алгебраическом уравнении любые заданные числа также являются константами, потому что они всегда остаются неизменными.

Если вам нужно решить уравнение, содержащее константу, вам всегда сообщат ее значение.

Члены уравнения

Член — это часть уравнения, которая отделена от других частей, обычно символом сложения (+) или вычитания (-).

Группа терминов называется выражением, скорее как математическое предложение или описание.Некоторые математические выражения могут выглядеть довольно устрашающе, наполненные цифрами и буквами, некоторые из которых могут быть даже греческими. Однако главное — рассматривать каждый термин отдельно и разбивать его на вещи, которые вам известны или которые вы можете решить. Если вы сделаете это, вы начнете понимать, что это не всегда так сложно, как вы думали вначале.

Термины могут быть просто числами, буквами или комбинацией букв и цифр, например 2 \ (\ boldsymbol {x} \), 3 \ (\ boldsymbol {xy} \) или 4 \ (\ boldsymbol {x} \) ².

В термине, состоящем из букв и цифр, число известно как коэффициент , а буква — это переменная . Коэффициент — это просто «множитель» — он говорит вам, сколько чего-то (переменной) у вас есть в этом термине.

Термины, которые имеют точно такую же переменную, называются , как термины , и вы можете складывать, вычитать, умножать или делить их, как если бы они были простыми числами. Например:

Уравнение 2 \ (x \) + 3 \ (x \) равно 5 \ (x \), просто 2 лота \ (x \) плюс 3 лота \ (x \), чтобы получить 5 лотов \ (х \) (5 \ (х \)).2 $$

Вы не можете складывать или вычитать «непохожие термины». Однако вы можете умножить их, комбинируя переменные и умножая коэффициенты вместе.

Так, например, 3 \ (y \) × 2 \ (x \) = 6 \ (xy \) (потому что 6 \ (xy \) просто означает 6 раз \ (x \) раз \ (y \)) .

Вы можете разделить непохожие члены, превратив их в дроби и сократив их. Начните с цифр, затем с букв.

Так, например:

\ (\ large {6xy ÷ 3x} \)

$$ \ frac {6xy} {3x} $$	=	$$ \ frac {2xy} {x} $$	=	$$ \ frac {2y} {1} $$	=	$$ 2г $$
Разделите верхний и нижний на 3		Разделите верхний и нижний на		1 можно игнорировать , потому что все, что делится на на 1, само по себе

Преобразование и решение уравнений

Во многих случаях для решения уравнения вам, вероятно, потребуется переставить его .Это означает, что вам нужно переместить термины так, чтобы в итоге вы получили только термины, содержащие \ (x \) с одной стороны символа равенства (например, =,> или <), и все числа с другой.

Этот процесс иногда называют изолирующим \ (x \) .

Вы можете переставлять уравнения с помощью набора простых правил:

Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны сделать то же самое с другой. Так вы сохраните отношения между ними.Неважно, что вы делаете, убираете ли вы 2, прибавляете 57, умножаете на 150 или делите на \ (x \). Пока вы делаете это с обеих сторон, уравнение остается правильным. Можно представить себе уравнение как набор весов или качелей, которые всегда должны балансировать.
На нашей странице Дополнение объясняется, что не имеет значения, в каком порядке вы добавляете, ответ все тот же. Это означает, что вы можете переставить выражение, чтобы объединить термины , похожие на , и упростить сложение.Это применимо и к вычитанию , если вы помните из нашей страницы о положительных и отрицательных числах , что вычитание то же самое, что добавление отрицательного числа . Так, например, 10-3 = 10 + (-3).
Уравнения также работают в соответствии с BODMAS , поэтому не забывайте выполнять вычисления в правильном порядке.
Всегда приводите уравнение в простейшей возможной форме: умножайте скобки, делите вниз, сокращайте дроби и складывайте / вычитайте все подобные члены.

Рабочих примеров:

Попытайтесь решить эти уравнения для \ (x \), щелкните поля, чтобы увидеть работу и ответы.

$$ \ large {x + 3 = 5 × 4} $$
Как и в любом другом вычислении, сначала произведите умножение. 5 × 4 = 20
Итак, \ (x \) + 3 = 20
Следующий шаг — убрать по три с обеих сторон
\ (х \) + 3 — 3 = 20 — 3
20 — 3 = 17.
Это оставляет вам ответ: \ (x \) = 17
$$ \ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
Сначала выполните вычисления с правой стороны, потому что в нем нет букв.Скобок нет, поэтому сначала умножение, затем сложение.
6 × 5 = 30 и 30 + 3 = 33.
Вычисление слева является сложением, поэтому вы можете перемещать члены, пока не соберете все числа вместе:
5 + \ (x \) + 21 = \ (x \) + 5 + 21
и 5 + 21 = 26.
Итак, теперь у вас есть 26 + \ (x \) = 33
Теперь можно убрать 26 с обеих сторон
26 + \ (х \) — 26 = \ (х \) = 33 — 26
И 33 — 26 = 7.2 + 5 = 13 — 4} $$
Переставьте так, чтобы все числа были на одной стороне, убрав по пять с каждой стороны.
Теперь у вас
\ (x \) ² = 13-4-5, поэтому
\ (х \) ² = 4
Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей, потому что вы хотите найти значение \ (x \), а не \ (x \) ².
Вы знаете, что 2 × 2 = 4, что означает, что квадратный корень из 4 = 2
\ (х \) = 2

Уравнения и графики
Любое уравнение, в котором существует связь только между двумя переменными, \ (x \) и \ (y \), можно нарисовать в виде линейного графика, где \ (x \) идет вдоль горизонтальной оси (иногда называемой x- ось) и \ (y \) по вертикальной оси (иногда называемой осью y).
Вы можете вычислить точки на графике, решив уравнение для конкретных значений \ (x \).
Примеры:
\ (\ large {y = 2x + 3} \)
\ (х \) 0 1 2 3 4 5 6
выч. 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
\ (г \) 3 5 7 9 11 13 15
Преимущество построения графика уравнения состоит в том, что затем вы можете использовать его для вычисления значения \ (y \) для любого заданного значения \ (x \) или, действительно, \ (x \) для любого заданного значения. \ (y \), глядя на график.2 + х + 4} \)
Когда \ (x \) = 0, \ (y \) = 0 + 0 + 4 = 4
, когда \ (x \) = 1, \ (y \) = 1 + 1 + 4 = 6
, когда \ ( x \) = 2, \ (y \) = 4 + 2 + 4 = 10
и так далее …
\ (х \) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
\ (г \) 4 6 10 16 24 34 46 60 76 94 114

Экстраполировать
Еще одно преимущество построения уравнения на графике состоит в том, что вы можете экстраполировать свои данные (числовую информацию), чтобы получить большие значения \ (x \) или \ (y \).Экстраполяция означает, что вы расширяете свой график, продолжая линию, которую вы нарисовали из своих данных, чтобы оценить значения \ (x \) и \ (y \) за пределами диапазона данных, которые у вас уже есть.
В первом примере уравнение дает прямую линию, поэтому экстраполировать этот график несложно. Однако следует соблюдать осторожность при экстраполяции графика, который не является прямой линией, как во втором примере.
Заключение
На этой странице объясняется, как решать простые уравнения, а также взаимосвязь между уравнениями и графиками, что дает вам альтернативный способ решения уравнений.
Теперь вы готовы перейти к более сложным уравнениям, включая одновременные уравнения и квадратные уравнения.
Уравновешивание химических уравнений | Представляет химическое изменение
Уравновесить следующие уравнения:
\ [\ text {Mg} + \ text {O} _ {2} \ rightarrow \ text {MgO} \]
Решение пока недоступно
\ [\ text {Ca} + \ text {H} _ {2} \ text {O} \ rightarrow \ text {Ca (OH)} _ {2} + \ text {H} _ {2} \]
Решение пока недоступно
\ [\ text {CuCO} _ {3} + \ text {H} _ {2} \ text {SO} _ {4} \ rightarrow \ text {CuSO} _ {4} + \ text {H} _ {2 } \ text {O} + \ text {CO} _ {2} \]
Решение пока недоступно
\ [\ text {CaCl} _ {2} + \ text {Na} _ {2} \ text {CO} _ {3} \ rightarrow \ text {CaCO} _ {3} + \ text {NaCl} \]
Решение пока недоступно
\ [\ text {C} _ {12} \ text {H} _ {22} \ text {O} _ {11} + \ text {O} _ {2} \ rightarrow \ text {CO} _ {2} + \ text {H} _ {2} \ text {O} \]
Решение пока недоступно
Хлорид бария реагирует с серной кислотой с образованием сульфата бария и соляной кислоты.
Решение пока недоступно
Этан \ ((\ text {C} _ {2} \ text {H} _ {6}) \) реагирует с кислородом с образованием диоксида углерода и пара.
Решение пока недоступно
Карбонат аммония часто используется как нюхательная соль. Сбалансируйте следующую реакцию разложения карбоната аммония: \ (\ text {(NH} _ {4} \ text {)} _ {2} \ text {CO} _ {3} \ text {(s)} \ rightarrow \ text {NH} _ {3} \ text {(aq)} \ text {CO} _ {2} \ text {(g)} + \ text {H} _ {2} \ text {O (l)} \)
Решение пока недоступно
Водородные топливные элементы чрезвычайно важны для развития альтернативных источников энергии.Многие из этих клеток работают, взаимодействуя вместе с газами водорода и кислорода с образованием воды, реакция, которая также производит электричество. Сбалансируйте следующее уравнение: \ (\ text {H} _ {2} \ text {(g)} + \ text {O} _ {2} \ text {(g)} \ rightarrow \ text {H} _ {2 } \ text {O (l)} \)
Решение пока недоступно
Синтез аммиака \ ((\ text {NH} _ {3}) \), прославленный немецким химиком Фрицем Габером в начале 20 века, является одной из важнейших реакций в химической промышленности.

Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Тема урока: «Иррациональные уравнения»

Создание уравнений и формул — Служба поддержки Office

Добавление формулы в коллекцию

Методы решения иррациональных уравнений

Решение задач с помощью уравнений

Ошибки в уравнениях / math5school.ru

Потеря корней

Посторонние корни

Подбор корней без обоснования

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Смотрите так же:

Уравнения равные нулю | Алгебра

Решение одностадийных линейных уравнений: сложение и вычитание

Purplemath

MathHelp.com

Решите 4 =

Используйте общую стратегию для решения линейных уравнений — Элементарная алгебра

Цели обучения

Решение уравнений с использованием общей стратегии

Классификация уравнений

Ключевые концепции

Практика ведет к совершенству

Повседневная математика

Письменные упражнения

Самопроверка

Глоссарий

Весы как модель уравнения

Разделение

Объединение операций

Пример вычитания и деления

Пример упражнений

См. Также

Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

Метод замены

Метод исключения

Решение линейных уравнений с одной переменной

Примеры решения одношаговых линейных уравнений

Пример

Решение

Чек

Пример

Решение

Чек

Пример

Решение

Примеры двухступенчатых уравнений

Пример

Решение

Чек

Пример

Решение

Чек

Упрощение перед решением

Пример

Решение

Чек

Пример

Решение

Чек

Бесконечно много решений и нет решений

Сводка

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Введение в алгебру | SkillsYouNeed

Члены уравнения

Преобразование и решение уравнений

Уравнения и графики

Заключение

Уравновешивание химических уравнений | Представляет химическое изменение

Добавить комментарий Отменить ответ