Задачи В9. Применение производной к исследованию функции

Часть 3.

Здесь смотрите части 1, 2, 4

Продолжаем разбор  Задач №8 ЕГЭ по математике.

Сегодня нам понадобится при решении задач следующая таблица, показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции

и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

 

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

Решение: + показать

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:+ показать

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции

, определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции   параллельна прямой   или совпадает с ней.

Решение: + показать

Задача 4.

На рисунке изображен график функции  

, определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции   равна 0.

Решение: + показать

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Ответ: 4. 

Задача 5.

На рисунке изображён график функции  и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение: + показать

На промежутках убывания  функции

 её производная принимает отрицательные значения. А убывает  функция в точках. Таких точек 4.

Ответ: 4. 

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение: + показать

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Ответ: -2. 

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: + показать

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит  сама функция возрастает на этих промежутках.

 

Длина наибольшего из них – 6.

Ответ: 6. 

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале . В какой точке отрезка   

 принимает наибольшее значение.

Решение: + показать

Задача 10.

На рисунке изображен график   — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции

, принадлежащих отрезку .

 Решение: + показать

На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.

Мы видим на рисунке на указанном отрезке  () три нуля у . Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки  экстремума функции (точки максимума и минимума).

При этом производная меняет знак с «+» на «-» в  точке 8, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках (3 и 12), помеченных синим цветом.

Так вот при переходе через точку максимума  функция меняет   возрастание на  убывание, а значит производная меняет знак с  «+» на «-».

Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).

Ответ: 1. 

Задача 11.

На рисунке изображен график функции   и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение: + показать

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. В свою очередь,  угловой коэффициент касательной  равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси .

В точке -3 (точка минимума) производная равна нулю.

В точке 6 производная положительна, так как точки лежат на промежутке возрастания функции.

А вот в точках 1 и 8 производная отрицательна.

При этом в точке 8 угол наклона касательной явно меньше, чем в точке 1.

Поэтому в точке 8 тангенс угла наклона будет наименьшим, а значит и значение производной, будет наименьшее.

Ответ: 8. 

🙂 Самое время немного отдохнуть. Неправда ли? –>+ показать

Вам было нелегко?.. 

Этим ребятам, наверное, тоже не сладко… Не сдавайтесь!

 

Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»

egemaximum.ru

Исследование функции с помощью производной

Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также  другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.

Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить статью на блоге, а также посмотреть справочник (но в нём краткое изложение).

Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки  −5,  −4,  1, 2, 3, 4,  и  7. Получили  7 точек.

2. Прямая  y = 2 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 2 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре:  –3; 0; 4,2; 6,9

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Посмотреть решение.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на  интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только  одна целая точка х = 2.

2. Прямая  y = 3 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 3 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот).

Таких точек четыре:  –4,3; 1,4; 2,5; 4,4

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции  f (x) отрицательна.

Посмотреть решение.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале  (−2; 12). Найдите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

4. Количество точек, в которых производная равна нулю.

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на  интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки:   –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.

2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки  5  и  6. Получили  2 точки.

3. Прямая  y = 2 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 2 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь:  1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Найдите сумму точек экстремумов функции f (x). Посмотреть решение.

Как видите, ничего сложного нет. Желаю вам успехов!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Геометрический смысл производной. | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-02-17 2014-01-12

Прокомментируем таблицу.

Рассмотрим график функции, изображенный на рисунке.

Мы видим, что  функция возрастает в точке . Касательная, проведенная к графику функции в точке , имеет острый угол наклона к оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной положителен, а значит, положительна и производная функции в точке .

Точка – точка минимума функции, касательная проведенная к графику функции через точку , параллельна оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной равен нулю, значит и производная функции в точке равна нулю.

В точке функция убывает. Касательная, проведенная к графику функции в точке , имеет тупой угол наклона к оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной отрицателен, а значит, отрицательна  производная функции в точке .

Автор: egeMax | Нет комментариев | Метки: шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

В скольких точках производная функции положительна

В этой статье мы рассмотрим несколько задач связанных со свойствами производной функции. Задачи этого типа чрезвычайно просты. Повторять теорию я здесь не буду, она уже подробно изложена на блоге. Рекомендую изучить следующие статьи «Исследование функций. Это нужно знать!» и «Применение производной к исследованию графиков функций», после чего вопросов у вас не останется.

Что хотелось бы отметить особо! При прочтении условия сразу отмечайте какой график дан: график функции или график производной функции. Это важно! Часто именно из-за такой невнимательности выпускники допускают ошибки. Например, график производной принимают за график самой функции и соответственно получают неверный ответ. Рекомендую также изучить статью «Дан график производной функции. Задачи!», в которой схожие задания уже были разобраны. Рассмотрим задачи:

317539. На рисунке изображён график функции у = f(x)  и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …,  x₈. В скольких из этих точек производная функции  f(x)  положительна?

Известно, что производная функции положительна на интервалах возрастания. В данном случае таким интервалам принадлежат точки: x₁, x₂, x₅, x₆,  x₇. Всего пять точек.

Ответ: 5

317540. На рисунке изображён график функции у = f(x)  и двенадцать точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …, x₁₂. В скольких из этих точек производная функции  f(x)  отрицательна?

 

Известно, что производная отрицательна на интервалах убывания функции. В данном случае таким интервалам принадлежат точки: x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₁₁, x₁₂. Всего семь точек.

Ответ:  7

317541. На рисунке изображён график у = f’(x)  производной функции  f(x)  и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …,    x₈. В скольких из этих точек функция  f(x)  возрастает?

Известно, что на интервалах возрастания функции её производная положительна. В данном случае производная функции имеет положительное значение в точках x₄, x₅, x₆ (то есть на интервале, где график производной расположен выше оси ох).  Всего три точки.

Ответ: 3

317542. На рисунке изображён график у = f’(x)  производной функции  f(x)  и восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂,  x₃, …,  x₈. В скольких из этих точек функция  f(x) убывает?

Известно, что на интервалах убывания функции её производная отрицательна. В данном случае производная функции имеет отрицательное значение в точках x₁, x₂, x₃, x₄, x₈ (то есть на интервалах, где график производной расположен ниже оси ох). Всего пять точек.

Ответ: 5

500248.  На рисунке изображён график дифференцируемой функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂,  x₃, …,    x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x)  отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. 

Известно, что производная отрицательна на интервалах убывания функции. В данном случае таких интервалов два и им принадлежат точки: x₄, x₅, x₉. Всего три точки.

Ответ: 3

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

График производной функции

С помощью графика производной функции можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции Для этого достаточно помнить, что:

1. функция возрастает на промежутках, где производная
2. функция убывает на промежутках, где производная
3. функция имеет критические точки, где производная или не существует.

   Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.

4. функция имеет точки экстремума там, где производная меняет свой знак. В частности, функция имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.

Примеры работы с графиками производной

Замечание. Таким образом, точками экстремума на графике производной являются те точки, в которых график не касается, а пересекает ось абсцисс.

По графику производной можно не только исследовать поведение функции , но и попытаться схематически построить ее график. Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции можно определить можно, а нули функции и экстремумы – нет.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com