Уравнения касательной примеры – Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные

примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и

уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Как найти производную? Производная сложной функции

и

Простейшие задачи с производными.

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не

ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с

производной , которая обращается в бесконечность

вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:

(ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции

в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке

(понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим

уравнение касательной и представляем его в общем виде

. Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке

и направляющему вектору .

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если

существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке

выражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Пример 1 Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой

в точке, абсцисса которой равна .

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную:

Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу

:

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде:

Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:

– искомое уравнение.

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:

– верное равенство.

– верное равенство.

И, во-вторых, векторы нормали

должны быть

ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

, что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать

направляющие векторы прямых.

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:

Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция

задаёт верхнюю дугу эллипса. Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 2 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Таким образом:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку

, будет параллельна оси ординат:

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так:

«Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда : Пример 4

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Краткое решение и ответ в конце урока

существует общая вертикальная касательная:

Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:

Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:

Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

studfile.net

11.3. Уравнение касательной

и нормали. Физический смысл производной

Производная функции в точкепредставляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

где – угол наклона касательной к осиOx. В этом состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке гдеимеет вид:

(11.9)

Прямая, проходящая через точку графика функцииперпендикулярно касательной, проведенной в этой точке, называетсянормалью к графику функции в точке(рис. 11.1). Уравнение нормали имеет вид:

(11.10)

где

Рис. 11.1

Физические приложения производной

1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией томгновенная скорость движения в момент времени есть производная от путиS по времени t:

(11.11)

2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скоростиv по времени t:

(11.12)

3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температурыT, то теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:

4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массыm по длине l:

5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока по времени t:

6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени t0 равна производной заряда q по времени t:

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке с абсциссойx = 2.

Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (11.9). Сначала найдем ординату точки касания Для этого значениеподставим в уравнение функции:

Для нахождения углового коэффициента найдем производную используя формулу дифференцирования дроби:

Найдем значение производной при

Подставив найденные значения в формулу (11.9), получаем уравнение касательной:

т. е.

Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (11.10):

Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке, имеет вид

Пример 2. Определить, в какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45.

Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдем производную функции:

По условию Следовательно,

Отсюда:

Получили два значения абсциссы точки касания:

т. е. существуют две точки касания, в которых касательная образует угол 45 с осью Ох.

Найдем соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения в формулу функции:

Приходим к ответу: в точках икасательная к заданной кривой образует с осьюОх угол 45.

Пример 3. Найти острый угол между параболами ив точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.

Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле

(11.13)

где k1 и k2 – угловые коэффициенты касательных, проведенных к параболам в заданной точке.

Найдем точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:

Отсюда Условию задачи удовлетворяет точкаНайдем коэффициентk1:

Аналогично найдем k2:

Воспользуемся формулой (11.13) и получим:

откуда

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону

Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Решение. Согласно формуле (11.11), скорость есть производная функции S(t), а, согласно формуле (11.12), ускорение а(t) есть производная скорости v(t).

Последовательно вычислим производные:

Найдем момент времени, когда ускорение равно нулю:

Вычислим скорость движения тела в момент времени

Задания

studfile.net

5. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Если поверхность задана уравнениеми– дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости, проведённой к поверхности () в точке, имеет вид

.

Уравнение нормали к этой поверхности в той же точке имеет вид

.

В частности, если уравнение поверхности задано в явной форме , то уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеможет быть задано в виде

,

а уравнения нормали –

.

Пример 7. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M(2; –1; 1).

Решение. Обозначим . Имеем

, ,

, ,

, .

Отсюда находим уравнение касательной плоскости

9(x – 2) + 14(y + 1) – 3(z – 1) = 0

или

9x + 14y – 3z–1 = 0

и уравнения нормали

.

6. Дифференцирование сложной функции

Пусть – дифференцируемая функция отn переменных и пусть переменные, в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями от переменных:

Тогда     становится дифференцируемой функцией от переменныхи при этом

В частности, если зависят от одного переменного t , то u становится функцией от одного переменного t и

.

Пример 8. Найти , если,,.

Решение. Имеем

, ,

, ,,.

Отсюда получаем

,

.

7. Дифференцирование неявно заданной функции

Пусть функция F(x; y) определена в области (D) и (a; b), (c, d) – проекции (D) на оси 0x и 0y соответственно. Говорят, что уравнение

F(x; y) = 0 (2)

в области (D) задаёт неявную функцию y = f(x) , если для любого уравнениеимеет единственное решение(это решение и является правилом задания функции: каждомуставится в соответствие решение уравнения F(x; y) = =0 ).

Если уравнение (2) в (D) задаёт неявную функцию ,

F(x; y) дифференцируема в (D) и , тодифференцируема и

.

Вторая производная находится повторным дифференцированием последнего равенства.

Пример 9. Найти , если.

Решение. Обозначим левую часть уравнения через F(x; y). Тогда

.

Аналогично определяется неявная функция многих переменных. Пусть функция определена в областии– проекции (D) на n-мерную координатную плоскостьи на ось 0u соответственно. Говорят, что уравнение

(3)

задаёт в (D) неявную функцию , если для любой точкиуравнениеимеет единственное решение. Если уравнение (2) в области (D) задаёт неявную функцию,дифференцируема в (D) ивсюду в (D), то функцияявляется дифференцируемой и

.

Пример 10. Найти , если

.

Решение. Обозначим через F(x; y; z) левую часть уравнения. Имеем

,

.

Подобным образом определяются системы неявных функций. Пусть дана система из m уравнений с (n + m) переменными

(4)

и функции определены в области (D)-мерного пространства. Пусть– проекция (D) на координатную плоскость, () – проекция (D) на координатную плоскость. Если для любой точкисистема уравнений

имеет единственное решение , такое что, то говорят, что система (4) задаёт неявные функции

, , ….

Решение системы (4) относительно и является правилом задания функции: каждомуставится в соответствие решение,     ,…, системы (4).

8. Экстремум функции многих переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Говорят, что точка М является точкой максимума (минимума) функции, если существует окрестность V точки М, такая что для любой точки N из этой окрестности V, отличной от точки М, справедливо неравенство f(N) < f(M) (f(N) > f(M)). Точки максимума и точки минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если М – точка экстремума дифференцируемой функции , то

. . . . (5)

Точка М, в которой выполнены условия (5), называется стационарной точкой. Не любая стационарная точка функции является точкой экстремума. Cледующая ниже теорема даёт достаточное условие для того, чтобы стационарная точка функции двух переменных была точкой экстремума.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума для функции двух переменных). Пусть – стационарная точка функции двух переменных u = f(x; y), дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки М.

Рассмотрим определитель

.

1) Если , тоявляется точкой экстремума функции u(x; y) = f(x; y), а именно: а) если, то М – точка минимума; б) если, то М – точка максимума.

2) Если , то М не является точкой экстремума.

Пример 11. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Найдём стационарные точки функции ,. Решим систему уравнений

Решением системы являются точки M1(–2; –3), M2(–2; 1). Исследуем эти стационарные точки на экстремум, для чего найдём частные производные второго порядка:

, ,.

Имеем

.

, следовательно, M1(–2; –3) не является точкой экстремума.

, что говорит о том, что M2(–2; 1) является точкой экстремума. А так как , то заключаем, что M2 – точка минимума.

Теорема 5 (достаточное условие экстремума для функции трёх переменных). Пусть – стационарная точка функции

, дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки М. Рассмотрим определители

, ,

.

Пусть . Тогда имеем:

a) если , то– точка минимума;

б) если , то– точка максимума;

в) во всех остальных случаях (при условии ) М не является точкой экстремума.

Пример 12. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Найдём стационарные точки функции ,,. Решим систему уравнений

Решение этой системы приводит к двум стационарным точкам

M1(–2; 1; 0) и M2(–2; 1; 1). Проверим, являются ли эти точки точками экстремума.

–2, ,,,,.

, ,

.

.

Следовательно, является точкой максимума.

, что означает, что не является точкой экстремума.

Аналог теоремы 5 справедлив и для функции u = f(x1; . . .; xn) n переменных, n > 3.

studfile.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о