Уравнения с заменой переменной: Метод замены переменной. Подробная теория с примерами. – Решение уравнений с помощью замены

Методы решения уравнений: замены, подстановки, примеры, тесты

Тестирование онлайн

Потерянные и посторонние корни

К потере корней может привести сокращение обеих частей уравнения на общий множитель.

Посторонние корни могут появится при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.

При возведении обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень) могут появляться посторонние корни.

Посторонние корни могут появляться при решении иррационального уравнения, поэтому лучше выполнять проверку.

Метод замены переменной

В ряде случаев решение уравнения можно упростить введением новой переменной (нового неизвестного).

Например, уравнение вида

где a, b, c - числа, называется биквадратным. Решается введением замены x2=t

Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.

Сложные замены переменной

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Очень сложные замены переменной

Графический способ решения уравнений

Графический способ решения уравнений f(x)=g(x) заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы точек пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями уравнения.

Преобразуем выражение a4+b4=(a+b)4:

При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.

Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.

Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) - некоторая функция:

1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;
2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на этом множестве.

Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.

Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное - конечное.

Неравенство Коши.

Неравенство Бернулли.

Равенство достигается при x=0 или n=1.

Неравенство Коши-Буняковского.

Равенство достигается в том и только в том случае, когда существует положительная константа a такая, что x1=ay1, x2=ay2,...,xn=ayn.

Урок по теме "Решение уравнений методом замены переменных" (9 класс)

Решение уравнений методом замены переменных

Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические уравнения:

приведением их к самому простому виду.

Л.Н.Толстой.

Цель урока: организовать учебную деятельность учащихся по освоению ими способов решения целых уравнений высших степеней методом замены переменной; познакомить учащихся с понятиями, приёмами решения возвратных и симметрических уравнений.

Задачи: образовательная: продолжать развивать умение применять метод замены

переменной при решении уравнений; формирование умения видеть один и тот же метод решения уравнений в различных ситуациях; сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;

развивающая: развитие мышления учащихся; развитие памяти; развитие

логического мышления, способности четко формулировать свои мысли; развитие воображения учащихся; развитие устной речи.

воспитательная: воспитание наблюдательности; воспитание аккуратности

при выполнении записей на доске и в тетради; воспитание самостоятельности при выполнении практических работ.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация и систематизация знаний.

Задание №1. Разгадайте кроссворд. Ответы записывайте только в именительном падеже.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

По горизонтали:

4.Чем является выражение hello_html_m744d9912.gif

для квадратного уравнения? (дискриминант)

6.Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство. (корень)

8.Уравнение вида hello_html_61910efd.gif, где hello_html_33459955.gif. (биквадратное)

9.Французский математик, имеющий отношение к квадратным уравнениям. (Виет)

10.Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (целое)

11. Уравнения с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (равносильные)

По вертикали:

1.Множество корней уравнения. (решение)

2.Решение уравнения hello_html_40305748.gif. (ноль)

3.Равенство, содержащее переменную. (уравнение)

5.Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с равен 0.

(неполное)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (приведенное)

Чему мы сегодня посвятим наше занятие? (Решению уравнений)

Задание №2. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

hello_html_35eaf3bb.gif

ОТВЕТЫ: Примеры группы 1) лучше решать разложением на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного умножения.

Примеры группы 2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.

1 Какой множитель вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1 ?

ОТВЕТЫ: hello_html_4964d14.gif

Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2 ?

ОТВЕТЫ: hello_html_37fc32a7.gif

Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3?

ОТВЕТЫ: hello_html_m6a2eb8a7.gif

Как можно разложить на множители многочлен hello_html_m1f88494c.gif?

ОТВЕТЫ: hello_html_75b6a55a.gif.

Сегодня на уроке вы покажете свои знания по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Запишите в тетрадях тему урока.

Сегодня на занятии мы рассмотрим один из способов решения уравнений высших степеней - метод замены переменной; познакомимся с понятиями, приёмами решения возвратных и симметрических уравнений.

Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Задание №3.

Решите уравнение. (задание у доски одновременно решают 2 ученика.)

а) hello_html_1f6feec.gif(Первый ученик решает у доски с объяснением.)

б) hello_html_m28dfe409.gif(Второй учащийся решает уравнение молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.)

1 ученик hello_html_1f6feec.gif Замена: hello_html_7e92e9c0.gif.

2 ученик hello_html_m28dfe409.gif Замена: hello_html_mdea3841.gif

.

(Дополнительно для тех, кто раньше справился с предыдущими уравнениями).

hello_html_m711feb2b.gif. .hello_html_50b63f80.gif

3 ученик

(Ход решения учащимися комментируется с места.)

РЕШЕНИЕ: Вынесем общий множитель: hello_html_m6ab5e5af.gif,

откуда hello_html_m5e6c109b.gif или hello_html_5d8b3a35.gif, т.е. hello_html_m4e6f3f8f.gifhello_html_3ebb396a.gif

hello_html_622b0d6d.gifhello_html_m55a9cae0.gif

Ответ : hello_html_27d879cb.gif

  1. Углубление и расширение знаний

Продолжаем работу. Вы видите на слайде уравнение: х4-5х3+6х2-5х+1=0.

Каким способом вы предложите его решить? Как нам быть?

Возможно ли решить его в рамках школьных программ по математике? Можно ответить нет. Ведь стандартные методы решения уравнений в школе предусматривают решение уравнений не выше второй степени. Но можно вспомнить, что отдельные уравнения более высоких степеней в школе все-таки решались. Правда, способы их решения суть творческое применение известных способов, сведения их к решению одного или нескольких уравнений степени не выше второй.

Посмотрите очень внимательно на это уравнение? Что вы заметили

?( в этом уравнении коэффициенты равноудалённые от концов равны)

Ребята, уравнение такого вида, когда коэффициенты, равноудалённые от концов совпадают, называются возвратными. Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки.

Предлагаю вам следующий алгоритм их решения :

Алгоритм решения возвратных уравнений.

1.Разделить обе части уравнения на х2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду аhello_html_31e09067.png + с = 0

3. Ввести новую переменную t = hello_html_56bd656d.png,тогда выполнено t2 =hello_html_33efd80b.png , т.е.hello_html_m5eb42592.png= t2 – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

6.Записать ответ.

Ребята изучают алгоритм.

Ученик у доски по алгоритму и с помощью учителя решает уравнение, остальные пишут в тетрадях.

4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:

6t2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

1) x + 1/x = -5/2;

х2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х2 – 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 или х = 1/3.

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

В проблему уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики 16 века Н.Тарталья, А.Фиоре, Д.Кардано и др. В 1535 г. между А.Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал победу. Он за 2 часа решил 30 задач, предложенных Фиоре, а сам Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Тартальей.

Ребята, и ещё одно уравнение я хочу вам сегодня предложить, я его взяла из сборника задач для подготовки к ОГЭ.

hello_html_m485ccf49.gif.

Если бы вы встретили такое уравнение, то как бы вы начали его решать?

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b называются симметрическими.

Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.

РЕШЕНИЕ: Сначала сгруппируем множители:

hello_html_m420b13ea.gifЗамена: hello_html_m5d72ac8c.gif

(Далее уравнение решается самостоятельно с дальнейшей устной проверкой.)

hello_html_m4699e0e3.gif

Значит, hello_html_751c7d1f.gif или hello_html_b2585a0.gif (Второе уравнение корней не имеет, т.к. дискриминант меньше нуля)

hello_html_3f8d6fc4.gif

ОТВЕТ: -7; 2.

Решите самостоятельно следующее уравнение.

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Решение.

Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:

((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,

2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 24.

Сделав замену х2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение

t(t + 2) = 24, оно является квадратным:

t2 + 2t – 24 = 0.

t = -6 или t = 4.

После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.

Ответ: -5; 0.

  1. Творческий перенос знаний и навыков в новые условия.

В начале урока говорили о том, что если в уравнении есть повторяющиеся элементы, то можно применять метод замены переменной. Мы еще не умеем решать тригонометрические и иррациональные уравнения. Давайте посмотрим, сможем ли мы применять к ним этот метод, если будем знать, как решать простейшие тригонометрические и иррациональные уравнения.

Задание 1: Назвать замену переменной в следующих уравнениях.

  1. hello_html_m4db9a965.gif

  2. 2сos2x – 4cos x + 5 = 0

  3. hello_html_mcf586d4.gif

  4. hello_html_4d24d588.gif.

Задание 2: Составить несколько уравнений, в основе решения которых лежит метод замены переменной.

  1. Подведение итогов.

Итак, ребята, наш урок подошёл к концу. Давайте подведём итоги нашего урока.

Какие цели мы ставили в начале урока?

Наши цели достигнуты?

Что нового мы узнали на уроке?

  1. Домашнее задание.

4 – 8х+ 3х– 8х + 4 = 0

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

hello_html_65a129dc.gif. (уравнение итальянских математиков)

А закончить урок мне хочется словами великого учёного Эйнштейна А. :

« Мне приходиться делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по – моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнение будет существовать вечно».

Спасибо за урок! До свидания!

решение уравнения с заменой переменной

Для просмотра онлайн кликните на видео ⤵

решение уравнения с заменой переменной

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений методом замены переменных Подробнее

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений методом замены переменных

Решение уравнения методом замены переменной Подробнее

Решение уравнения методом замены переменной

Замена переменной. Рациональные уравнения Часть 2 из 4 Подробнее

Замена переменной. Рациональные уравнения Часть 2 из 4

Пример 47. Решить систему методом замены переменной Подробнее

Пример 47. Решить систему методом замены переменной

Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22 9 класс Подробнее

Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22  9 класс

ОГЭ Задание 21 Решение уравнения методом замены Подробнее

ОГЭ Задание 21 Решение уравнения методом замены

Математический анализ, 20 урок, Метод замены переменной Подробнее

Математический анализ, 20 урок, Метод замены переменной

Алгебра 9 класс. 10 сентября. замена переменных при решении уравнений Подробнее

Алгебра 9 класс. 10 сентября. замена переменных при решении уравнений

Тригонометрические уравнения с заменой переменных и сложным аргументом Алгебра 10 класс Подробнее

Тригонометрические уравнения с заменой переменных и сложным аргументом Алгебра 10 класс

§101 Метод введения новой переменной Подробнее

§101 Метод введения новой переменной

Иррациональные уравнения Урок 2 Замена переменной Подробнее

Иррациональные уравнения Урок 2  Замена переменной

Решение систем уравнений методом подстановки Подробнее

Решение систем уравнений методом подстановки

Математика | Дробно-рациональные уравнения Подробнее

Математика

Алгебра 9к. Подготовка к экзамену. Часть 1. Урок 1. Подробнее

Алгебра 9к. Подготовка к экзамену. Часть 1. Урок 1.

Решение систем уравнений методом подстановки (с решением квадратных уравнений). Алгебра 9 класс. Подробнее

Решение систем уравнений методом подстановки (с решением квадратных уравнений). Алгебра 9 класс.

Алгебра 9 класс. Область определения функции Подробнее

Алгебра 9 класс. Область определения функции

Понятие неопределённого интеграла и методы его вычисления Подробнее

Понятие неопределённого интеграла и методы его вычисления

МАТЕМАТИКА | ТОП-5 ОШИБОК Подробнее

МАТЕМАТИКА

Парадокс бесконечного отеля Подробнее

Парадокс бесконечного отеля

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме "Решение уравнений методом замены переменной"

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

- Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

Слайд 3

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

- А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16

х 2 - 5х = 0

2 = 50

х 2 + 9 = 0

(х - 8 ) 2 = 0

х 3 - 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

  1. а 2 - 36 =
  2. 2 - 12 =
  3. х 2 - 10х + 25 =
  4. х 3 - 49х =

Раскрыть скобки:

  1. 2 + 3х ) 2 =
  2. (7 - х 2 ) 2 =
  3. - (3х - 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

- Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 - 3 ) 2 + 5 (х 2 - 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

- Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

- Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 - 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

t 2 + 5t + 6 = 0

D = b 2 - 4ac = 25 - 24 = 1

vD = 1

- Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

Слайд 7

- Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется " замена переменной". Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

Слайд 9

- Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

Слайд 10

- Посмотрите решение еще одного примера.

Слайд 11

Слайд 12

- А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х - 4 ) 2 - 5(3х - 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х - 4 = t, получим

t 2 - 5t + 6 = 0

D = b 2 - 4ac = 25 - 24 = 1

vD = 1

Вернемся к замене.

1) 3х - 4 = 3

3х = 7

2) 3х - 4 = 2

3х = 6

х= 2

Ответ: ; 2.

Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 - 7 (х 2 + 3) 2 = - 3

Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим

2t2 - 7t = - 3

2t 2 - 7t + 3 = 0

D = b 2 - 4ac = 49 - 24 = 25

vD = 5

Вернемся к замене:

1) х 2 + 3 = 3

х 2 = 0

х = 0

2) х 2 + 3 =

х 2 =

нет корней

Ответ: 0

6. Закрепление изученного материала.

- Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.

7. Подведение итогов и задание на дом.

- Что нового вы узнали на уроке?

- Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?

- Ваше домашнее задание на экране.

Слайд 13

- На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!

8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)

Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:

1) (х - 5 ) 2 - 2 (х - 5 ) = 8

2) (х 2 - 8 ) 2 + 3 (х 2 - 8 ) 2 - 4 = 0

Решить уравнения:

1) (2х + 3 ) 2 - 4 (2х + 3 ) = 5

2) (х 2 + х ) 2 - 11 (х 2 + х ) = 12

Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:

1) (х2 - 2х ) 2 + (х 2 - 2х ) = 12

2) (х 2 + 2 ) 2 - 5 (х 2 + 2 ) - 6 = 0

Решить уравнения:

1) (х 2 - х ) 2 - 8 (х 2 - х ) + 12 = 0

2) (х 2 - 1 ) 2 + 2 (х 2 - 1 ) = 15

Слайд 14

Дополнительно.

  1. 2 + 4х )( х2 + 4х - 17 ) + 60 = 0
  2. 2 - 5х )( х2 - 5х + 10 ) = - 24

Слайд 15 - Урок закончен.

Метод замены переменной при решении рациональных неравенств

Метод замены переменной при решении рациональных неравенств
Многие неравенства удобно решать, применяя метод замены переменной (метод подстановки).
Пример 1. Решить неравенство (x^{2}-x)^{2}-8(x^{2}-x)+12<0. Решение. Сделав замену переменной t=x^{2}-x, получаем t^{2}-8t+12<0. Корни уравнения t^{2}-8t+12=0 есть t_{1}=2,\; t_{2}=6. Отсюда  t^{2}-8t+12=(t-2)(t-6)<0 \Leftrightarrow 2<t<6. Поскольку t=x^{2}-x, то получаем

2<x^{2}-x<6 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-x>2,\; (a)\\ x^{2}-x<6 \; (b) \end{matrix}\right.

Решаем неравенство (a): x^{2}-x>2 \Leftrightarrow x^{2}-x-2>0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2)>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x<-1,\\ x>2. \end{matrix} \right.
Решаем неравенство (b):

 x^{2}-x<6 \Leftrightarrow x^{2}-x-6<0 \Leftrightarrow (x+2)(x-3)<0 \Leftrightarrow -2<x<3.

Отсюда

(x^{2}-x)^{2}-8(x^{2}-x)+12<0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-x>2,\\ x^{2}-x<6 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x<-1,\\ x>2, \end{matrix} \right.\\ -2<x<3. \end{matrix} \right.

Изобразим полученные множества с помощью двух координатных прямых (рис.1). Из рис.1 видим, что решением исходного неравенства является объединение множеств (-2;-1),(2;3). zamena_002

Рис.1

Ответ: x\in (-2;-1)\bigcup (2;3).
Пример 2. Решить неравенство (x^{2}+6x+14)^{2}-9(x^{2}+6x+15)+9<0.Решение.
Обозначив t=x^{2}+6x+14, получаем из исходного неравенства t^{2}-9(t+1)+9<0\Leftrightarrow t^{2}-9t<0\Leftrightarrow 0<t<9. Отсюда исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

0<x^{2}+6x+14<9 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+6x+14>0,\\ x^{2}+6x+14<9 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in R,\\ x^{2}+6x+5<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in R,\\ -5<x<-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -5<x<-1.

(x^{2}+6x+14>0 для любого x\in R, поскольку дискриминант квадратного трехчлена x^{2}+6x+14\; D=6^{2}-4\cdot 1\cdot 14=-20<0.
Ответ: x\in (-5;-1).

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Стр 1 из 6Следующая ⇒

Сведения из теории

Сделаем в уравнении замену переменных: введем новую неизвестную функцию , связанную с искомой функцией соотношением , где – дифференцируемая функция. Подставляя выражения и через в (3.1), получим для нахождения уравнение вида , которое при удачном выборе замены может оказаться «проще» первоначального. Например, уравнение

 

заменой переменной сводится к уравнению с разделяющимися переменными

.

 

Примеры решения задач

3.2.1.Решить уравнение .

◄ Введем новую неизвестную функцию . Выразим и через z: . Подставим эти выражения в исходное уравнение и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.

.

.

– общее решение уравнения.►

3.2.2.Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

◄ Так как , то естественно сделать замену . Для функции получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и начальное условие . Разделяем переменные: , , интегрируем: , выражаем z, а затем и y через x

, , ,

, ,

– искомое решение.►

 

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

 

Однородные уравнения

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде

 

 

называется однородным. Оно сводится заменой переменной

к уравнению с разделяющимися переменными для функции .

.

Важным примером однородного уравнения является уравнение, правая часть которого – отношение однородных многочленов относительно и одного порядка

.

Оно приводится к виду , если числитель и знаменатель разделить на .

 

Примеры решения задач

4.2.1.Решить уравнение .

◄ Правая часть уравнения – отношение однородных многочленов 2-го порядка. Разделив числитель и знаменатель на , получим

– однородное уравнение. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение с разделяющимися переменными: - общий интеграл. ►

 

4.2.2.Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .

◄ Приведем уравнение к нормальному виду . Так как х и у входят в правую часть только в виде отношения , то это – однородное уравнение. Делаем замену , . Для функции получаем уравнение и начальное условие . Разделяем переменные: , ; ; , и потому – искомое решение.►

 

4.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

Линейные уравнения ПЕРВОГО порядка

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, называется линейным, если его правая часть – линейная функция от

.

 

При получаем линейное однородное уравнение

 

.

 

Оно является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение

,

 

где – одна из первообразных функции . Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти одним из следующих методов.

 

1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения . Решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

 

получающемся из заменой постоянной на функцию . Подставляя в уравнение , получаем для новой неизвестной функции уравнение . Интегрируя, находим

 

 

Подставляя в , получаем общее решение уравнения .

 

Метод Бернулли.

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя в уравнение , получим . Перепишем это уравнение в виде

 

.

 

Подберем так, чтобы скобка в уравнении обратилась в нуль. Для этого нужно найти какое-нибудь частное решение уравнения с разделяющимися переменными . Подставляя в , получим уравнение с разделяющимися переменными для функции

.

 

Интегрируя, находим его общее решение . Перемножая найденные значения и , получим общее решение неоднородного уравнения .

 

Примеры решения задач

5.2.1.Решить уравнение

.

 

◄ Уравнение записано в нормальной форме. Его правая часть является линейной функцией аргумента у. Следовательно, уравнение – линейное. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения . . .

Решение неоднородного уравнения ищем в виде , где – новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение , получим

.

Итак, общее решение , где справа буквой С обозначена, как и везде, произвольная постоянная. После преобразований запишем его в виде

. ►

 

5.2.2.Решить задачу Коши .

– линейное уравнение. Решаем методом Бернулли: . Подставляя и в исходное уравнение, получаем . Сгруппируем члены, содержащие в качестве множителя

.

 

Приравняем скобку к нулю и решаем полученное уравнение.

 

.

 

Поскольку нам нужно только частное решение уравнения , то примем , тогда . Подставляя в уравнение , получим

.

Перемножая u и v, находим общее решение . Подставляя в общее решение начальные значения и , получим . Искомое решение .►

5.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

 

5.3.9.Известно, что сила тока в цепи, имеющей сопротивление , самоиндукцию удовлетворяет уравнению , где – электродвижущая сила. Найти силу тока , если , в случаях

а) , б) .

УравнениЯ Бернулли

Сведения из теории

Уравнение Бернулли – это уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид

, .

Методы решения те же, что и для линейного неоднородного уравнения, являющегося частным случаем уравнения Бернулли при .

 

Примеры решения задач

6.2.1.Решить уравнение Бернулли .

◄ Решаем методом Бернулли , . Подберем v, так чтобы . Тогда . Возьмем . Подставляя в уравнение, получаем для функции u уравнение с разделяющимися переменными

– общее решение.►

6.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Решить уравнения.




Замена переменных

Решение.

\(\triangle\) Имеем:
$$
r^2=x^2+y^2,\Longrightarrow rdr=xdx+ydy,\quad \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\nonumber
$$
$$
d\varphi=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2},\Longrightarrow \frac{\partial \varphi}{\partial x}=-\frac{y}{r^2}=-\frac{\sin\varphi}{r},\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{r^2}=\frac{\cos\varphi}{r},\nonumber
$$

Тогда,
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{y}{r^2}\frac{\partial u}{\partial \varphi}=\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi},\nonumber
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\sin\varphi\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\cos\varphi}{r}\frac{\partial u}{\partial r}.\nonumber
$$

Таким образом,
$$
\frac{\partial}{\partial x}=\cos\varphi\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial\varphi},\qquad \frac{\partial}{\partial y}=\sin\varphi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial\varphi},\nonumber
$$

Для начала найдем \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\).
$$
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\underbrace{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial r}{\partial x}}_{\boxed{1}}+\underbrace{\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial x}}_{\boxed{2}}\nonumber
$$

Рассмотрим \(\boxed{1}\)
$$
\boxed{1}=\frac\partial{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial r}{\partial x}=\frac\partial{\partial r}\left(\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial u}{\partial\varphi}\right)\cos\varphi=\\=\left(\cos\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\right)\cos\varphi=\\=\cos^2\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}-\frac{\sin\varphi\cos\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\nonumber
$$

Теперь рассмотрим \(\boxed{2}\):
$$
\boxed{2}=\frac\partial{\partial\varphi}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac\partial{\partial\varphi}\left(\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial u}{\partial\varphi}\right)\left(-\frac{\sin\varphi}r\right)=\\=\left(-\sin\varphi\frac{\partial u}{\partial r}+\cos\varphi\frac{\partial^2u}{\partial\varphi\partial r}-\frac{\cos\varphi}r\frac{\partial u}{\partial\varphi}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}\right)\left(-\frac{\sin\varphi}r\right)=\\=\frac{\sin^2\varphi}r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\cos\varphi\sin\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial\varphi\partial r}+\frac{\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}+\frac{\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}\nonumber
$$

Сложим эти выражения вместе (\(\boxed{1}+\boxed{2}\)):
$$
\boxed{1}+\boxed{2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\cos^2\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}-\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\sin^2\varphi}r\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\nonumber
$$

Рассуждая аналогично, найдем \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\)
$$
\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\\=\cos^2\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\cos^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\cos^2\varphi}r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\nonumber
$$

Таким образом, складывая \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\), получаем:
$$
\omega=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2u}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial u}{\partial r}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}\nonumber
$$

Пусть \(u=v(r)\) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только от \(r\). Тогда функция \(v(r)\) должна быть решением дифференциального уравнения
$$
\frac{\partial^2v}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial v}{\partial r}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv}{dr}\right)=0\nonumber
$$
$$
r\frac{dv}{dr}=C,\quad\Longrightarrow\quad v=C_1\ln r+C_2,\label{ref3}
$$
где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные. \(\blacktriangle\)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск