Возвратные уравнения

Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:

   

Коэффициенты симметричны

Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный (в силу симметричности коэффициентов), и делением на могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.

Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на

любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.

Выполним деление в столбик:

Деление в столбик

   

Теперь приравняем к нулю второй множитель:

   

Получили возвратное уравнение четной степени. Убедимся в том, что не является его корнем, подставив вместо в уравнение. Получим неверное равенство: , значит, ноль не является корнем. Тогда можно разделить уравнение на . Почему делим на , а не на , например, или не на ? Это определяет степень старшего члена уравнения: если у старшего члена 4 степень, то, разделив ее пополам, понимаем, что делить будем на . Если бы была 6 степень, делили бы на – на и т.д.

После деления всего уравнения на получим:

   

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

   

Сделаем такую замену: 

Но как выразить ? Да очень просто: раз видим, что во второй степени, то и возведем в квадрат. Получим:

   

То есть , или

Тогда уравнение будет выглядеть так:

   

   

   

Или ,

Сделаем теперь обратную замену:

– это уравнение корней не имеет, так как при его преобразовании выходит, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может.

Второе значение дает уравнение:

, или

Корнями этого уравнения являются: и – найдены с помощью теоремы Виета. Не забудем и про первый корень, который найден нами в самом начале: .

Ответ: , , .

---

 

 

 

Решим еще одно возвратное уравнение четной степени:

   

Здесь коэффициенты не равны, тем не менее, здесь может быть также применен уже знакомый нам прием решения.

Убедимся в том, что не является корнем, после чего разделим уравнение на .

Получим:

   

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

   

Сделаем такую замену:  , сразу же возведем это выражение в квадрат, получим:

   

То есть , или

Тогда уравнение будет выглядеть так:

   

   

Определим дискриминант и рассчитаем корни:

   

,

Выполним обратную замену: , что даст нам уравнение  , корнями которого будут , (найдены по сумме коэффициентов уравнения).

Либо: , что даст нам уравнение  , корнями которого будут , (найдены по Виету).

Ответ: , , , .

---

 

Теперь можем перейти и к более сложным уравнениям, например, решим такое:

   

Это типичное возвратное уравнение, нечетной степени, значит, один корень равен , то есть требуется деление уравнения на . На этот раз поделим по схеме Горнера:

Схема Горнера

   

 

Приравняв второй множитель к нулю, имеем возвратное уравнение четной 6-ой степени, которое мы разделим на , предварительно убедившись, что – не его корень.

Получим:

   

Или

   

Поступаем аналогично тому, как мы это уже делали выше: вводим замену , и возводим это выражение в квадрат, и в куб:

   

То есть , или

   

То есть , откуда .

Тогда наше уравнение со всеми заменами будет таким:

   

   

Запишем его так:

   

   

Откуда или

Проведем обратную замену: , или , или

Имеем: – решений нет;

– корни

– корни

Не забудем про первый корень, который получили еще в начале решения:

Ответ: , ,

---

 

 

Ну и последнее на сегодня уравнение, решение которого не приведет нас к возвратному, но, тем не менее, уравнение интересное:

   

Нам сразу становится ясно, что решать придется уравнение 4-ой степени. Приведем все к общему знаменателю:

   

Или:

   

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, поэтому:

   

Преобразуем, возводя в квадрат скобку (я умножила друг на друга две такие скобки):

   

Или

   

Вспоминаем, что, если уравнение имеет целые корни, то по теореме Безу они находятся среди делителей свободного члена. Делителями являются . По схеме Горнера первая же подстановка  –  1 – дает нам корень. Имеем:

   

Для уравнения те же делители свободного члена, подбором быстро определяем, что 3 – корень уравнения:

   

Последнее уравнение даст нам два корня:

Ответ: , ,

Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения

Цели урока:

• образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
• развивающая: развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
• воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

• КСО;
• работа в группах;
• проектный метод.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения.

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу,  должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

Содержание урока

  I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

• симметрические системы уравнений;
• системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

а) система

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

б)   система

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими  видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?         

Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.

Симметрическое уравнение Википедия

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение вида: anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0=0{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0} c равными друг другу коэффициентами, стоящими на симметричных относительно середины позициях, то есть если an−k=ak{\displaystyle a_{n-k}=a_{k}}, при k=0,1,…,n{\displaystyle k=0,1,…,n}. Иногда такие уравнения называют

симметричными или симметрическими. Многочлены в левой части возвратного уравнения называют возвратными многочленами.

Уравнение четвёртой степени

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида ax4+bx3+cx2+bx+a=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}, где a, b и c — некоторые числа, причём a≠0{\displaystyle a\neq 0}.

Алгоритм решения подобных уравнений:

Модифицированное и обобщённое уравнения четвёртой степени

Модифицированное возвратное уравнение четвёртой степени ax4+bx3+cx2−bx+a=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0} может быть сведено к квадратному уравнению относительно переменной t{\displaystyle t}, если ввести t=x−1x{\displaystyle t=x-{\frac {1}{x}}}.

Обобщённое возвратное уравнение четвёртой степени сводится к квадратному уравнению подстановкой t=bx+dx{\displaystyle t=bx+{\frac {d}{x}}}. Среди всех уравнений четвёртой степени ax4+bx3+cx2+dx+e=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0} эти уравнения выделяются тем, что для их коэффициентов справедливо соотношение:

ea=(db)2.{\displaystyle {\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2}.}

Уравнения произвольных степеней

Для возвратных уравнений произвольных степеней верны следующие утверждения^[1]:

• Всякий возвратный многочлен нечётной степени P2n+1(x){\displaystyle P_{2n+1}(x)} делится без остатка на x+1{\displaystyle x+1} и частное является возвратным многочленом чётной степени P2n(x){\displaystyle P_{2n}(x)}.

См. также

Примечания

1. ↑ Дородницын В. А, Еленин Г. Г. Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988. — С. 131. — ISBN 5-02-006624-9 — Тираж 43 000 экз.

Ссылки

3.3.3. Симметрические системы

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.3.

3.3.3.

Пример 1

Многочлен от двух переменных вида является симметрической функцией. В самом деле,

Пример 2

Функция является симметрической. В самом деле,

Оказывается, справедлива замечательная теорема о симметрических многочленах.

Теорема 1.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что

Доказательство этого факта хотя и доступно школьнику, но далеко выходит за рамки школьного курса, поэтому мы приведём лишь примеры, которые иллюстрируют применение этой теоремы.

Пример 3

Функция может быть преобразована следующим образом:

где Пример 4

Функция может быть преобразована следующим образом:

где

Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть

Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:

Теорема 2.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что

Применим эту теорему для упрощения систем уравнений.

Пример 5

Решите систему уравнений

Пример 6

Решите систему уравнений

Эта система – симметрическая, поэтому делаем стандартную замену u = x + y, v = xy. Преобразуем левую часть первого уравнения: тогда система принимает вид: Итак, для u получаем уравнение Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (§ 2.1.5). Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала. Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает. Возводя второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, и являются корнями квадратного уравнения Отсюда и Значит, Заметим, что мы нашли один из корней уравнения Ответ.



Факультатив по математике «Симметрические и возвратные уравнения»

Факультатив по математике

8 класс

Разработка занятия по теме:

Симметрические(симметричные) и возвратные уравнения.

Теоретический блок

      Симметрическим(симметричным) уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax 3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b  –  заданные числа.

      Решение уравнения осуществляется  при помощи разложения левой части уравнения на множители:

ax³ + bx² + bx + a= (ax³ + a) + (bx² + bx) = a(x³ + 1) + bx(x + 1)= a(x + 1)(x² – x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax² + ax + a + bx) = (x + 1)( ax² + (a + b)x + a) = 0 x + 1 = 0 ax² + (a + b)x + a = 0

 Симметрическими(симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 и ax4 + bx3 + cx2– bx + a = 0, где a, b, c  –  заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (1), разделим его на  x². В результате получится уравнение

= 0

      Преобразуем левую часть уравнения :

      В результате этого преобразования уравнение принимает вид

     Если теперь обозначить

(●)

то уравнение станет квадратным уравнением:

     Найдем корни уравнения , а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (●), решим полученное уравнение относительно  x.

      Аналогично решается второе уравнение.

Данные уравнения часто называют и возвратными. При этом, если уравнение нечетной степени, то один из корней равен -1 или 1.

Возвратные уравнение — это уравнения четной степени.

Возвратное уравнение 4 -ой степени имеет вид ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, где

Решение похоже на решение симметрического уравнения

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 Ӏ : х²

ax² +bx + c + = 0

(ax² + ) + ( bx + ) + c = 0

Делаем замену: у = bx + , выражаем ax² + через у. Решаем квадратное уравнение, не забывая в конце вернуться в замену и найти х.

Практическое занятие:

1) Решить уравнение: 2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0.

      Решение.

2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0

(2x

3 + 2) + ( 7x² + 7x ) = 0

2(х³ + 1) + 7х(х + 1) = 0

2(х + 1)(х² – х + 1) + 7х(х + 1) = 0

(х + 1)(2х² – 2х + 2 + 7х) = 0

(х + 1)( 2х² + 5х + 2) = 0

х + 1 = 0 и 2х² + 5х + 2 = 0

х₁ = — 1 х_2,3 = = х₂ = — 2; х₃ = —

Ответ: -1; -2; —

2) Решите уравнение: 2х⁴ + 3х³ – 16х² + 3х + 2 = 0

Решение:

2х⁴ + 3х³ – 16х² + 3х + 2 = 0 Ӏ : х²

2х² + 3х – 16 + = 0

(2х²) + (3х + ) – 16 = 0

2(х²) + 3(х + ) – 16 = 0

Пусть у = х + , тогда х² = у² – 2

2(у² – 2) + 3у – 16 = 0

2 у² +3у – 20 = 0

D= 9 + 160 = 169

У₁=

У₂ = = — 4

х + = — 4

2х² – 5х + 2 = 0, х 0 х² + 4х + 1= 0, х 0

D = 25 – 16 = 9 D = 16 – 4 = 12

х₁ = 2; х₂ = 0,5 х_3,4 = = — 2

Ответ: 2; 0,5; — 2

3) Решите уравнение: 2х⁵ – 3х⁴ — х³ – х² – 3х + 2 = 0

Решение:

2х⁵ – 3х⁴ — х³ – х² – 3х + 2 = 0 Уравнение нечетной степени, поэтому одним из

(х + 1)(2х⁴ – 5х³+ 4х² – 5х + 2) = 0 корней будет х = — 1. Выполним деление на (х + 1)

х₁ = — 1 2х⁴ – 5х³+ 4х² – 5х + 2 = 0 Ӏ : х² Используем правило решения

2х² – 5х + 4 — = 0 симметрического уравнения.

2(х² + ) – 5(х + ) + 4 =0

Пусть у = х + , тогда х² + = у² – 2

2(у² – 2) – 5у + 4 = 0

2у² – 5у = 0

2у(у – 2,5) = 0

у₁ = 0 у₂ = 2,5

х + = 0 х + = 2,5

решения нет х²— 2,5х + 1 = 0

х₂ = 2; х₃ = 0,5

Ответ: — 1; 2; 0,5

4) Решите уравнение: х⁴— 5х³ + 10х² – 10х + 4 = 0

Решение:

х⁴— 5х³ + 10х² – 10х + 4 = 0 – возвратное уравнение, т.к.

a =1, b = — 5, c = 10, d = — 10, e = 4

х⁴— 5х³ + 10х² – 10х + 4 = 0 Ӏ : х²

х² — 5х + 10 — = 0

( х² ) – 5(х + ) + 10 = 0

Пусть у = х + , тогда х² = у² – 4

у² – 4 – 5у + 10 = 0

у² – 5у + 6 = 0

у₁ = 3 у₂ = 2

х + = 3 х + = 2 х 0

х² — 3х + 2 = 0 х² – 2х + 2 = 0

х₁ = 1 х₂ = 2 D

Ответ: 1; 2

Самостоятельная работа.

Задание: Решите уравнения:

1. 4х² + 12х + = 47 (0,5; 2; )

2. = 5 (2; 6)

3. 5х⁵ – 6х⁴ – 79х³ – 79х² – 6х + 5 = 0 (-1; ; 5)

4. х⁴ — х³ – 10х² + 2х + 4 = 0 (- 1 )

5. 4х⁴ – 16х³ + 3х² + 4х – 1 = 0 ( )

Симметрические уравнения третьей и четвертой степени

Симметрические уравнения третьей степени

Рациональное уравнение третьей степени называется симметрическим, если оно имеет вид:
ах³ + bх² + bх + а = 0, (а≠0).
Для решения этого уравнения преобразуем многочлен, стоящий в левой части уравнения, используя разложение многочлена на множители. Имеем следующую цепочку тождественных преобразований:

Отсюда получаем

Получили совокупность уравнений, эквивалентную исходному кубическому уравнению. Решение полученной совокупности легко находится, поскольку эта совокупность содержит линейное и квадратное уравнения.
Пример. Решить уравнение х³ + 9х² + 9х + 1 = 0.
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения:
х³ + 9х² + 9х + 1 = х³ +1 + 9х² +9х = (х + 1)(х² — x + 1) + 9x(x + 1) = (х +1)(x² — х + 1 + 9х) = (х + 1)(x² + 8x + 1).
Отсюда

Ответ:

Симметрические уравнения четвертой степени

Рациональное уравнение четвертой степени называется симметрическим, если оно имеет вид
ax⁴ + bх³ + cх² + bх + а = 0, (а≠0).
Так как а≠0, то, разделив обе части на а, получаем равносильное уравнение

Сгруппировав первый член с последним и второй с четвертым, получаем

Заметим, что

Отсюда получаем цепочку тождественных преобразований:

Отсюда при а≠0 имеем

Последнее уравнение нетрудно решить, так как его решение сводится к решению более простых уравнений. Рассмотрим пример.
Пример. Решить уравнение x⁴ — 2x³ — x² — 2x + 1=0
Решение.
Преобразуем левую часть исходного уравнения:

Таким образом,

Уравнение (а) совокупности уравнений имеет корни x₁ и х₂:

Уравнение (б) действительных корней не имеет, т. к. его дискриминант D = 1²- 4∙1∙1 = 1- 4 =-3

💣симметрические уравнения ✔️

симметрические уравнения . Нажми для просмотра Если Вам понравился данный видеоурок, пожалуйста поддержите наш проект — и мы будем …       Тэги:   Нажми для просмотра Возвратное (симметрич ое) уравнение 4-ой степени. Индивидуал ьные занятия по Скайпу для школьников , студ…       Тэги:   Нажми для просмотра Вашему вниманию предлагает ся урок №50 из видеокурса «Подгото вка к ЕГЭ по математике . Базовый и продвинуты й…       Тэги:   Нажми для просмотра Все о симметричн ых уравнениях четвертой степени. x^4−x^3−4x^2−x +1=0 (x+3)^4+(x−1)^4=32  …       Тэги:   Нажми для просмотра Симметричн ыми называются уравнения, для которых выполняетс я условие F(x; y)=F(y; x), т. е. если поменять места…       Тэги:   Нажми для просмотра Теорема Безу, как один из простейших методов решения уравнений 3, 4 и больших степеней В решении допущена…       Тэги:   Нажми для просмотра Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: Есть у …       Тэги:   Нажми для просмотра Как пройти уравнение высшей степени на легком уровне сложности. x^3−4x^2+x+6=0 〖10x〗^3−9x^2 3x+2=0 x^4+x^3.       Тэги:   Нажми для просмотра Если Вам понравился данный видеоурок, пожалуйста поддержите наш проект — и мы будем …       Тэги:   Нажми для просмотра Запишись на уроки по математике в школу TutorOnline: Как решать системы уравнений? До сих пор считае…       Тэги:   Нажми для просмотра Как решать кубические уравнения. Формула Кардано #БотайСоМн й 025 Поговорим о том, как решать кубические …       Тэги:   Нажми для просмотра Запишись на уроки по математике в школу TutorOnline: Сегодня мы поговорим о модулях. Это сложная…       Тэги:   Нажми для просмотра Деление столбиком многочлена на многочлен. Поддержать Проект: Мои занятия в …       Тэги:   Нажми для просмотра Домашнюю работу можно скачать на сайте:Схем Горнера — это таблица …       Тэги:   Нажми для просмотра ЗАПИШИСЬ к репетитору ля подготовки к ОГЭ: Мы уже умеем решать линейные и квадратные  …       Тэги:   Нажми для просмотра Решение систем уравнений методом подстановк и Канал создан для помощи школьникам в изучении математики …       Тэги:   Нажми для просмотра Вы такого не видели! Уравнение четвертой степени. Индивидуал ьные занятия по Скайпу для школьников ,…       Тэги:   Нажми для просмотра Лекция была прочитана в летней математиче ской школе «Kostroma Open 2013» . Лектор — А.В.       Тэги:   Нажми для просмотра Возвратное уравнение нечётной степени. Тот, кто на что-то претендует в математике обязан такое решать….       Тэги:   Нажми для просмотра Программа лекции: 00:32 – однородные системы (теория) 04:45 – пример №1 (однородна система) 10:15 – пример №2…       Тэги:   Нажми для просмотра 0:00:00 1. Вопросы по д/з.29.2.г 0:01:57 2. Вопросы по д/з 29.3 0:06:35 3. Вопросы по д/з. 0:12:16 4. Симметриче ские …       Тэги:   Нажми для просмотра Перечень задач: 0:00; Перечень ссылок в видео 0:36; Решения: №1 — 0:47; №2(теория) — 5:03; №2 — 11:38; №3 — 16:01; №4 …       Тэги:   Нажми для просмотра Уважаемые пользовате ли YouTube рад приветство вать вас на моём канале! Здесь вы найдёте массу материала по…       Тэги:   Нажми для просмотра ЗАПИШИСЬ на онлайн-уро и по математике : Нас ждёт ОГЭ! Но пусть эти три советских буквы вас не…       Тэги: