Урок 4: Уравнения с модулем

План урока:

Модуль числа

Решение уравнений с модулем

Уравнения с параметрами

 

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

 

Пример. Постройте график ф-ции у = |х² – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х² – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х

2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

 

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

|у(х)| = b

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x¹⁰ + 97x⁴– 12,56х³ + 52х² + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

 

Пример. Решите ур-ние

|13х – 52| = 0

Решение.

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

13х – 52 = 0

13х = 52

х = 4

Ответ: 4.

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

|b| = b

|– b| = b

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

 

Пример. Решите ур-ние

|х| = 10

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Ответ: 10; (– 10).

 

Пример. Решите ур-ние

|10х + 5| = 7

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Ответ: 0,2; (– 1,2).

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x²– 2х – 4| = 4

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x²– 2х – 4 = 4 или x²– 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

x²– 2х – 4 = 4

x²– 2х – 8 = 0

D = b²– 4ас = (– 2)² – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

х₁ = (2 – 6)/2 = – 2

х₂ = (2 + 6)/2 = 4

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

x²– 2х – 4 = – 4

x²– 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 0 или х = 2

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Ответ: – 2, 4, 0, 2

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

|у(х)| = |g(x)|

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

 

Пример. Решите ур-ние

|x² + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x² + 2x– 1 = х + 1 или x² + 2x– 1 = – (х + 1)

х² + х – 2 = 0 или х² + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

х² + х – 2 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х₁ = (1 – 3)/2 = – 1

х₂ = (1 + 3)/2 = 2

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х² + 3х = 0

х(х + 3) = 0

х = 0 или х + 3 = 0

х = 0 или х = – 3

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Ответ:(– 1), (– 2), 2, 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

 

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х² + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х² + 3,5х – 20 = 4,5х илих² + 3,5х – 20 = – 4,5х

х² – х – 20 = 0 или х² + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

х² – х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

х₁ = (1 – 9)/2 = – 4

х₂ = (1 + 9)/2 = 5

х² + 8х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 8

2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

х₃ = (– 8 – 12)/2 = – 10

х₄ = (– 8 + 12)/2 = 2

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

4,5х ≥ 0

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Ответ: 2 и 5

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

1. у(х) = b (b– это некоторая константа)
2. |у(х)| = |g(x)|
3. |у(х)| = g(x)

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x + 1| + |x– 4| = 6

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что

|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Тогда ур-ние примет вид

|x + 1| + |x– 4| = 6

– х – 1 – х + 4 = 6

–2х = 3

х = – 1,5

Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.

Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Ур-ние примет вид:

|x + 1| + |x– 4| = 6

x + 1 – x+ 4 = 6

5 = 6

Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.

При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = х – 4

Исходное ур-ние будет выглядеть так

|x + 1| + |x– 4| = 6

х + 1 + х – 4 = 6

2х = 9

х = 4,5

Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.

Ответ: (– 1,5) и 4,5.

 

Уравнения с параметрами

Изучим ур-ния:

5х = 10

5х = 15

5х = 20

Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.

Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:

5х = v

Решением таких ур-ний будет дробь v/5.

Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через

х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой v подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.

Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде

ах + b= 0

где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):

ах² + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

 

Пример. Решите ур-ние

х² – 2ах = 0

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х² – 2ах = 0

х(х – 2а) = 0

х = 0 или х – 2а = 0

х = 0 или х = 2а

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

 

Пример. Решите ур-ние

р²х – 3рх = р² – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

0 = – 9

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

3•х•0 = 0•(3 + 3)

0 = 0

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

 

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

|х² – 6х + 5| = b

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х² – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

х² – 6х + 5 = 0

D = b²– 4ас = (– 6)² – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

х₁ = (6 – 4)/2 = 1

х₂ = (6 + 4)/2 = 5

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

х₀ = –b/2a = 6/2 = 3

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3² – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.

При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.

Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.

При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.

Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.

 

Пример. При каком а ур-ние

х⁴ – (а + 2)х² + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х²:

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х² = у₁ и х² = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

х² = у₁

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b²– 4ас = (– (а + 2))² – 4•1•(3а – 3) = (а + 2)² – 12 а + 12 =

= а² + 4а + 4 – 12а + 12 = а² – 8а + 16 = а² – 2•4•а + 4² = (а – 4)²

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4)² положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

|а – 4| = а – 4

Тогда имеем

а + 2 – (а – 4) > 0

6> 0

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Если а < 4, то справедливо соотношение

|а – 4| = – (а – 4)

Тогда получится следующее:

а + 2 – |а – 4|> 0

а + 2 – (– (а – 4)) > 0

а + 2 + а – 4 > 0

2а > 2

а > 1

Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

а > 4

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

 

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х² – 2(а + 1)х + а² + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b²– 4ас = (– 2(а + 1))² – 4•1•( а² + 2а – 3) = 4(а² + 2а + 1) – 4(а² + 2а – 3) =

= 4(а² + 2а + 1 – а²– 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂<5

а – 1 >– 5 и а + 3 < 5

а >– 4 и а < 2

Эти два нер-ва выполняются, если а∊(– 4; 2)

Ответ: (– 4; 2)

 

Решение уравнений, содержащих модуль

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Цели урока:

— вспомнить определение понятия «модуль»

— рассмотреть все виды уравнений, содержащих модули и способы решения этих уравнений;

— раскрытие модуля по определению, возведение обеих частей уравнения в квадрат и метод разбиения на промежутки;

-развивать умение анализировать и правильно выбирать способ решения уравнений

Но для начала вспомним определение модуля. Итак,  модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и  -a, если  число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее  координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

                             {±c, если с > 0

 Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

                             {нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2             x = -6

2) |x² – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x² – 5 = 11 или x² – 5 = -11

x² = 16            x² = -6

x = ± 4             нет корней

3) |x² – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

              5x ≥ 10  

               x ≥ 2.  

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9                     7x = 11

x = 3                       x = 11/7

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3  

2) |x – 1| = 1 – x².

1. О.Д.З. 1 – x² ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

             (1 – x)(1 + x) ≥ 0

             -1 ≤ x ≤ 1  

2. Решение:

x – 1 = 1 – x²      или   x – 1 = -(1 – x²)

x² + x – 2 = 0            x² – x = 0

x = -2 или x = 1         x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1. 

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Пример:

1) |x² – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x² – 5x + 7  = 2x – 5 или x² – 5x +7  = -2x + 5   

x² – 7x + 12  = 0            x² – 3x + 2  = 0

x = 3 или x = 4             x = 2 или x = 1  

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

 x² – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x² = |x|², поэтому уравнение можно переписать  так:

|x|² – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t² – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1        x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5. 

Рассмотрим еще один пример:

x² + |x| – 2 = 0. По свойству модуля  x² = |x|², поэтому

|x|² + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t² + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2   или |x| = 1

Нет корней     x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

Примеры:

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или  3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5      или     3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2                       |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2.   Нет корней.

x = 1            x = -3

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем

Доклад по теме » Решение уравнений, содержащих модуль».

Выступление на конференции.

Тема: «Решение уравнений , содержащих модуль».

1. Введение

Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль -абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3.Определения модуля. Свойства модуля.

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Рис

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, буду основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Решу несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x — 2| = 3.

Решение

Аналитическое решение

1-й способ

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x — 2 0, тогда оно «выйдет» из под знака модуля со знаком «плюс» и уравнение примет вид: x — 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x — 2=-3

Таким образом, получаем, либо x — 2 = 3, либо x — 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:

Ответ:

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо .

Графическое решение

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):

Рис. 9

Получим две смешанных системы:

(1) (2)

Решим каждую систему:

(1) (удовлетворяет данному промежутку)

(2) (удовлетворяет данному промежутку)

Ответ:

Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и

Для построения графика функции , построим график функции — это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10).

Рис. 10

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

x=-1, x=5

Ответ:

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Решение:

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Графиком функции являются лучи — биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Рис. 11

Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 11).

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение

|-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитическое решение

1-й способ

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, — именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части — модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых значений модуля

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1) и (2)

Решим каждую систему:

(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.

(2) x = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.

Ответ:

2-й способ

Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12):

Рис. 12

В результате будем иметь совокупность смешанных систем:

Решая полученные системы, находим:

(1) ; входит в промежуток, значит является корнем уравнения.

(2) ; -3 не входит в промежуток,значит x=-3 не является корнем уравнения

Ответ:

4.1 Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

1.Если |a|=|b| , то a=b или a=-b

2.Если a2=b2 ,то a=b или a=-b (1)

Отсюда в свою очередь получим, что

Если |a|=|b| , то a2=b2 (2)

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1=2x – 5 или x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1 или x + 2x=5 – 1

x=6 или 3x=4

x=4/3

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=4/3

Т

аким образом корни исходного уравнения x=6, x=4/3

2. В силу соотношения если |a|=|b| , то a2=b2 , получим

(x + 1)2=(2x – 5)2, или x2 + 2x + 1=4×2 – 20x + 25

x2 – 4×2 +2x+1 + 20x – 25=0

-3×2 + 22x – 24=0|(:-1)

3×2 – 22x + 24=0

x=4/3

x=6

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6

Ответ: x=6, x=4/3

1.

2.

3.

Например. а)

Следовательно Ответ:1;8.

б)

в)

1)

1 способ 2 способ

Второй способ хорош тем, что не надо сравнивать f(x) с нулём

Например,

(3)

2)

3)

4)

5)

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2=(x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):

2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

х=-4 х=-0,(6)

Таким образом корнями уравнения являются х=-4, и х=-0,(6)

Ответ: х=-4, х=0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x — 9

x2 — 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0

D=36 – 4  15=36 – 60= -24 <0 D=16 – 4  3=4 >0,2 р.к.

корней нет. x=1

x=3

Проверка:1) |1 – 6|=|12 – 5  1 + 9| 2) |3 – 6|=|32 – 5  3 + 9| !!!!!!!!!

5 = 5(И)

3 = 3(И)

Ответ: x=1; x=3

4.4Решение нестандартных уравнений, содержащих модули

Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

Решение.

Рассмотрим два случая.

Ответ: (– 4; – 1).

Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).

Решение.

Уравнение равносильно системе

Ответ:

Пример12.Решить уравнение х2 — 4х +|x — 3| +3=0

Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно:

1)x>3 2)x<3

|x – 3|=x – 3 |x – 3|=-x + 3

x2 — 4x + x – 3 + 3=0 x2 – 4x – x + 3 + 3=0

x2 – 3x=0 x2 – 5x + 6=0

x(x – 3) =0 x=2, x=3.

x=0 или x=3

x=0 –посторонний корень,не удовлетворяет промежутку.

Значит, исходное уравнение имеет два решения х=2 и х=3

Ответ: х1=2, х2=3

Пример13. Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.

Решение.

Раскрытие пары модулей приводит к трем случаям.

Ответ: {– 25; 3}.

Список литературы

1.Учебник математики для Х класса — К. Вельскер, Л. Лепманн,Т. Лепманнн.

2.Уравнения и неравенства – Башмаков М. И.

3.Задачи всесоюзных математических олимпиад-Васильев Н.Б., Егоров А.А.

4.Задачи вступительных экзаменов по математике- Нестеренко Ю.В.,

Олехник С.Н., Потапов М.К.

5.Учебник В.П.Моденов «Математика».

6. Родионов Е.М., Синаков С.А. «Математика».

Решение.

Рассмотрим два случая.

Ответ: (– 4; – 1).

Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Решение.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

так как

2)

3)

4)

4)

Ответ: 3.

Методическое пособие для решения уравнений с модулем

Уравнения, содержащие модуль

1. Уравнения вида |f(x)|= a, где .

Пример 1. . Решение: , , . Ответ: -2; 5.

2. Уравнения вида |f(x)|=

Пример 2. . Решение: , , . Ответ: -3; -1; 1; 3

3.Уравнения вида |f(x)|= решаются в зависимости от того, что проще f(x) или . Если проще , то:

Пример 3. 2|x² + 2x  – 5| = x – 1. Решение:

Решение первых двух квадратных уравнений дает корни х = -3; 1,5; . Решение неравенства очень простое, поэтому можно решить его, получить . Сравнив полученные корни с 1, в ответ отбираем, удовлетворяющие условию .

Ответ. 1,5;

Самый распространённый метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению: в данном случае усложнит решение, так как затруднит проверку корней.

Если проще f(x), то раскрывают модуль согласно его определению.

Пример 4.

Решение. , , , . Ответ. -1;

4. Уравнения, в которых много модулей решаются по алгоритму:

1. Находятся точки, в которых каждый из модулей равен нулю.

2. Найденные значения переменной разбивают числовую прямую на интервалы.

3. На каждом из полученных интервалов раскрываются модули (согласно определению – модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен числу противоположному).

Пример 5. |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Решение:

х – 5 = 0, если х = 5. 2х + 8 = 0, если х = — 4.

1

Если х > 5, то х — 5 — 2х — 8 = -12. Отсюда х = -1. -1 не удовлетворяет условию х > 5

Если -4 х 5, то – х + 5 — 2х — 8 = -12. Отсюда х = 3. Корень удовлетворяет условию -4 х 5

Если х < -4, то – х + 5 + 2х + 8 = -12. Отсюда х = -25. Найденный корень удовлетворяет условию х < -4

Ответ. -25; 3.

В ЛЮБОМ УРАВНЕНИИ ВОЗМОЖНА ПРОВЕРКА КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ В ИСХОДНОЕ УРАВНЕНИЕ!!!

Программа элективного курса «Решение уравнений,содержащих знак модуля» (9 класс)

Муниципальное образовательное учреждение

МБОУ «Асановская средняя общеобразовательная школа»

Комсомольского района Чувашской Республики

Разработала Копташкина А.И. учитель

математики высшей категории МБОУ

«Асановская СОШ» Комсомольского района ЧР

д. Асаново, 2015 г.

Программа элективного курса

для учащихся 9 класса по теме

Решение уравнений, содержащих знак модуля

Пояснительная записка

Данная программа ориентирована на учащихся 9 класса, которые выберут профиль, связанный с математикой. Она рассчитана на учащихся, которые в 5 – 6 классах занимались по учебнику Н.Я. Виленкина, а в 7 – 9 классах по учебнику под редакцией С.А. Теляковского. На вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике уравнения, содержащие знак модуля, присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся. В школьном же курсе нет теоретического материала по данной теме и почти нет уравнений с модулем. Она упоминается в программе на уровне определения модуля и решения простейших уравнений. Эта тема поможет освоить графические приёмы решения поставленных задач наравне с аналитическими методами, так как она обладает хорошей наглядностью. Она развивает математическую культуру, логическое и альтернативное мышление – учащимся приходится столкнуться с уравнениями, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов. При решении уравнений с модулем приходится рассматривать случаи, когда выражения, стоящие под знаком модуля, положительны (или равны нулю) и когда они отрицательны. Решение уравнений с модулем способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию. Программа рассчитана на 10 часов с приложением дидактического материала.

Цели курса:

• Формирование и развитие у учащихся оценки своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы; уточнение готовности и способности осваивать математику на повышенном уровне;

• Развитие практических умений в области решения уравнений, содержащих модуль;

• Выработка умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;

• Развитие творческих способностей.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:

• Решать уравнения, содержащие один, два, три модуля;

• Строить графики функций, содержащих модуль;

• Интерпретировать результаты своей деятельности;

• Делать выводы;

• Обсуждать результаты.

Данные умения формируются на основе знаний о модуле (определения, свойств модуля), о влиянии модуля на расположение графиков функций на координатной плоскости, влиянии модуля при решении уравнений.

Курс «Решение уравнений, содержащих знак модуля» представляется актуальным, так как вооружает учащихся знаниями по теме «Модуль», необходимыми для дальнейшего изучения математики.

Содержание курса предполагает самостоятельную подготовку учащихся: работу с разными источниками информации (справочные пособия, учебная литература и другие ресурсы). Содержание каждой темы включает в себя самостоятельную работу учащихся.

Учебно-тематический план

№

п/п

Тема

Кол-во

часов

Виды

деятельности

1.

Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля.

4

Лекция. Практические занятия по решению уравнений. Домашняя контрольная работа.

2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

3

Лекция. Практические занятия по построению графиков. Самостоятельная работа.

3.

Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную по знаком модуля.

1

Практическая работа

4.

Успешность усвоения курса. Итоговое занятие.

2

Контрольная работа.

Подведение итогов.

Итого:

10

Содержание курса

Тема 1. Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля

(4 часа).

Понятие модуля, его геометрическая интерпретация. Понятие уравнения с модулем. Решение уравнения со знаком модуля алгебраическим способом. Метод интервалов. Успешность усвоения.

Основная цель – ознакомить со способами решения уравнений со знаком модуля, выработать умение решать уравнения, содержащие один, два, три модуля.

Тема 2. Построение графиков функций, содержащих знак модуля (3 часа).

Понятие графика функции, содержащих знак модуль. Виды графиков функций: у =│ƒ(х)│, у = ƒ(│х│), у = │ ƒ(│х│)│, │у│= ƒ(х), их свойства. Основные приёмы построения графиков функций, содержащих модуль. Рациональные способы их построения. Успешность усвоения.

Основная цель – ознакомить с основными приёмами построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами. Выработать культуру построения графиков.

Тема 3. Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (1час).

Решение уравнений со знаком модуля графическим способом. Успешность усвоения.

Основная цель – ознакомить с графическим способом решения уравнений, сформировать умение интерпретировать с помощью графиков ответы на вопросы о количестве корней, находить приближенные значения корней.

Тема 4. Итоговое занятие (2 часа).

Контрольная работа – 1 час. Оценка – «зачтено», «не зачтено». Подведение итогов изучения курса «Решение уравнений, содержащих знак модуля».

Литература

1. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1968.

2. В.К. Егерев, А.Г. Мордкович. 100 х 4 задач. М.1993.

3. А.В. Мерлин, Н.И. Мерлина. Задачи по элементарной математике. Чебоксары. Чувашское книжное издательство, 1996.

4. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников Н.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. М.:Наука,1987.

5. Практикум по решению математических задач. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение,1984.

6. Математика (газета). 2004. №№20, 25-26, 27-28, 33, 34.

Приложение 1.

Дидактический материал к элективному курсу

«Решение уравнений, содержащих знак модуля»

Тема 1.

1. Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений.

Модуль числа а есть расстояние от нуля до точки а.

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам.

Так, │а – в│есть расстояние между точками а и в числовой прямой;

│а│= │а–0│– расстояние между точками а и 0;

│а + в│= │а – (–в)│ – расстояние между точками а и –в числовой прямой.

Уравнение, в котором переменная находится под знаком модуля, называется уравнением с модулем.

Решить уравнение │х– в│= а , значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа в равно а.

Итак, если а > 0, то х – в = ± а;

если а = 0, то х = в;

если а < 0, то решений нет.

Пример 1. Решить уравнение │х– 7│= 4.

Решение. Расстояние от точки х до точки 7 равно 4. Таких точек две: х = 11 и х = 3.

Или, так как 4 > 0, то х– 7 = ± 4, т. е. х₁ = 11 и х₂ = 3.

Ответ: х₁ = 11; х₂ = 3.

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения, используя геометрический смысл модуля:

1. 1. │х– 1│= 5; 1.4. │3х + 2│= 4;

   2. │х + 1│= 2,5; 1.5. │–3 – 2х│= 1;

   3. 2│х– 1│= 3; 1.6. │4 – 3х│= –5.

2. Решение уравнений алгебраическим способом.

Уравнение │ƒ(х)│= g(х) равносильно совокупности двух систем:

Пример 2. Решить уравнение │х² + 3х – 10 │= 3х – 1.

Решение. Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Из корней уравнений удовлетворяют только корни 3 и –3 +2.

Ответ: х₁ = 3; х₂ = –3 +2.

Уравнение │ƒ(х)│=│ g(х)│ равносильно совокупности двух уравнений

Примечание: Если f(x) и g(x) – линейные функции, то лучше всего обе части возвести в квадрат, так как обе части уравнения неотрицательны по определению модуля.

Пример 3. Решить уравнение │х² – 5х + 7│= │2х – 5│.

Решение.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

Пример 4. Решить уравнение │5 – х│= │х + 3│.

Решение. Обе части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат:

25 – 10х + х² = х² + 6х + 9,

16х = 16,

х = 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решить уравнение х²– 5│х│+ 4 = 0.

Решение. Так как х² =│х│², то │х│²– 5│х│+ 4 = 0.

Обозначим │х│= t, где t ≥ 0 по определению модуля, тогда

t ² – 5 t + 4 = 0, решая найдем t₁ = 1, t₂ = 4 – оба удовлетворяют условию

t ≥ 0. Значит, │х│=1, │х│= 4,

х = ± 1. х = ± 2.

Ответ: ± 1; ± 2.

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения:

2.1. │5 – 2х│= │3х – 5│; 2.4. (х² – 5х + 6)² – 5│х² – 5х + 6│+ 6 = 0;

2.2. 3│3 – х│= │х – 2│; 2.5. │х² + х – 1│= 2х – 1;

2.3. 2х² – 5│х│ + 3 = 0; 2.6. │2х – 3│= 3 – 2х.

2. Применение метода интервалов к решению уравнений, содержащих знак модуля.

Пример 6. Решить уравнение │х – 5│+ │х + 1│ = 20.

Решение. Решим методом интервалов.

Находим корни в выражениях, стоящих под знаком модуля:

х – 5 = 0 х + 1 = 0

х = 5 х = –1

Разбиваем числовую прямую этими корнями на промежутки и определим знаки подмодульных выражений на каждом числовом промежутке.

х < -1 -1 ≤ х < 5 х ≥ 5

1. 

–х – 1 – х + 5 = 20,

–2х = 16,

х = – 8 является решением системы (І), т.к. – 8 <–1.

ІІ.

х +1 – х + 5 = 20,

6 = 20 неверно, значит, система (ІІ) не имеет решения.

ІІІ.

х +1 + х – 5 = 20,

2х = 24,

х = 12 является решением системы (ІІІ), т.к. 12 > 5.

Ответ: — 8; 12.

Задания для самостоятельного решения

3.1. │х – 1│+ │х – 3│ = 1;

3.2. │х – 3│+ │х + 4│ = 7;

3.3. │х│–2│х + 1│+ 3│х + 2│ = 0.

Домашняя контрольная работа

Вариант 1. Вариант 2.

Решить уравнения: Решить уравнения:

а) │х – 4│= 0,5; а) │х – 5│= 2;

б) │2х – 1│= 3 – х; б) │4х – 3│= 2 + 3х;

в) │2х – 3│= │5х + 4│; в) │х + 1│= │3 – 2х│;

г) х²– 3│х│+ 2 = 0; г) х² + 8│х│+ 7 = 0;

д) │2х + 1│+│3 – х │= │х – 4│. д) │х – 1│+│1 – 2х │= 2│х│.

Тема 2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

До прохождения этой темы повторить построение графиков элементарных функций на базовом уровне.

Рассмотрим график функции у =│х│=

Пример 1. Построить график функции у = .

Решение. у = =

Правило 1. Для построения графика функции у =│ƒ(х)│для всех х из области определения, надо ту часть графика функции у=ƒ(х), которая расположена ниже оси абсцисс, отобразить симметрично относительно оси Ох.

Таким образом, график функции у =│ƒ(х)│ расположен только в верхней полуплоскости.

Правило 2. Для построения графика функции у = ƒ(│х│) достаточно построить график функции у = ƒ(х) для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси Оу.

Пример 2. Построить график функции у =

Решение. Используя правило 2, построим график функции у = для всех

х ≥ 0 из области определения, а затем отобразим его симметрично относительно оси Оу.

Правило 3. Для того чтобы построить график функции у = │ƒ(│х│)│, надо сначала построить график функции у = ƒ(х) при х ≥ 0, затем при х< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Оу, а затем на интервалах, где ƒ(│х│) < 0, построить изображение, симметричное графику ƒ(│х│) относительно оси Ох.

Пример 3. Построить график функции у = │1 –│х││.

Решение.

1. Строим график функции у = 1 – х для х ≥ 0;

2. Отображаем полученный график относительно оси ОУ, т.е. получаем график у = 1 –│х│;

3. Участки графика у=1–│х│, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем на верхнюю полуплоскость, симметрично оси абсцисс.

Рассмотрим построение геометрического места точек вида │у│= ƒ(х).

На основании определения модуля │у│=перепишем формулу │у│= ƒ(х) в виде у = ± ƒ(х), где ƒ(х) ≥ 0.

Правило 4. Для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции у = ƒ(х) для тех х из области определения, при которых ƒ(х) ≥ 0, и отразить полученную часть графика симметрично оси Ох.

Таким образом, график зависимости │у│= ƒ(х) состоит из графиков двух функций: у = ƒ(х) и у = –ƒ(х), где ƒ(х) ≥ 0.

Пример 4. Построить график зависимости │у│= х + 2.

Решение. Согласно правилу 4 построим график функции у = х + 2, где

х + 2 ≥ 0, т.е. х ≥ — 2 и отразим полученную часть графика относительно оси Ох.

Пример 5. Построить график функции у =│х – 1│– │х + 2│.

Решение: Этот график построим, используя метод интервалов.

х – 1 = 0, х + 2 = 0,

х = 1. х = –2.

х < –2 –2 ≤ х < 1 х ≥ 1

І. х < –2,

у = 1 – х + х +2,

у = 3.

ІІ. –2 ≤ х < 1,

у = 1 – х – х – 2,

у = –2х – 1.

ІІІ. х ≥ 1,

у = х – 1 – х – 2,

у = –3.

Получили кусочно-линейную функцию

у =│х – 1│– │х + 2│=

Задания для самостоятельного решения

1. Постройте графики функций:

4.1. у = │4 – х²│; 4.3. у = 4│х│- х² – 3; 4.5. у = │х│+│2х — 1│.

4.2. у = ; 4.4. у = │2│х│– 3│;

2. Постройте геометрическое место точек:

4.6. │у│= 1 – х; 4.7. │у│= х² + 1.

Тема 3. Графическая интерпретация решения уравнений,

содержащих переменную по знаком модуля.

Пример 1. Решить уравнение │х│= 3 графическим способом.

Решение. В одной системе координат построим графики функций: у = │х│ и

у = 3.

Корнями уравнения являются х₁ = — 3 и х₂ = 3.

Ответ: –3; 3.

Пример 2. Решить графически уравнение │х – 5│= │х + 3│.

Решение. В одной системе координат построим графики функций: у = │х–5│ и

у = │х + 3│.

Корнем уравнения является число х = 1.

Ответ: 1.

Задания для самостоятельного решения

Решить графически уравнения:

5.1. │х│= х +3; 5.2. │х² – 4│= 5; 5.3. ││х – 1│–1│= 2.

Тема 4. Контрольная работа

Вариант 1. Вариант 2.

1. Решить уравнения: 1. Решить уравнения:

а) │5х + 3│= 1; а) │2х – 3│= 5;

б) │2х + 5│+ │2х – 3│= 8; б) │х – 1│– │х – 2│= 1;

2. Решить графически уравнение 2. Решить графически уравнение

│х² + 2х│= 3. │х² – 1│= 1– х.

3. Постройте геометрическое 3. Постройте геометрическое

место точек │у│= х² – 1. место точек │у│= х² + 2.

Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

При решении таких уравнений применяют чаще всего следующие методы: а) раскрытие модуля; b) возведение обеих частей уравнения в квадрат; с) разбиение на промежутки.

Пример 2.4.1. Решить уравнение

Решение

а) Так как по определению

то исходное уравнение равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:

Из первой системы этой совокупности находим x = 2, а из второй x = –1.

b) Так как обе части исходного уравнения – выражения одинаковых знаков, то оно равносильно следующему уравнению:

или

Решая последнее уравнение, находим те же корни.

Ответ: –1; 2.

 

Пример 2.4.2. Решить уравнение

Решение

Нанесем на числовую прямую значения x, которые обращают в нуль выражения, находящиеся под знаком модуля, т.е. x = –4 и x = 3. Числовая прямая при этом

разобьется на следующие промежутки:

На каждом из этих промежутков будем решать уравнение, эквивалентное исходному, но не содержащее знака абсолютной величины, т.е. решим равносильную исходному уравнению следующую совокупность смешанных систем:

Решений первая и третья системы не имеют, а вторая система имеет решение x = 0. Объединяя решения этих трех систем, получаем решение исходного уравнения: x = 0.