Тригонометрические уравнения как решать егэ: Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ по математике. – Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1

Posted on by alexxlab

Тригонометрические уравнения — задание 13 профильного ЕГЭ


1. Решить уравнение.

    \[4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0\]

Решение: преобразуем косинус разности:

    \[4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0\]

    \[4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0\]

По формуле основного тригонометрического тождества:

    \[4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0\]

    \[4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0\]

Получили квадратное уравнение относительно \sin 3x. Его корни:

    \[\sin 3x=-1,5\]

Либо

    \[\sin 3x=0,5\]

Первый корень – посторонний, поэтому

    \[3x=\frac{\pi}{6}+2{\pi}n, n \in Z\]

Либо

    \[3x=\frac{5\pi}{6}+2{\pi}k, k \in Z\]

Тогда

    \[x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z\]

    \[x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z\]

Ответ: x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z,x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z

 

2. Решить уравнение.

    \[\sin^3 x- \cos^4 x=-1\]

    \[\sin^3 x =\cos^4 x -1\]

Справа – разность квадратов.

    \[\sin^3 x =(\cos^2 x -1)( \cos^2 x +1)\]

По формуле основного тригонометрического тождества:

    \[\sin^3 x =-\sin^2 x( \cos^2 x +1)\]

    \[\sin^3 x +\sin^2 x( \cos^2 x +1)=0\]

    \[\sin^2 x(\sin x +\cos^2 x +1)=0\]

Первый корень – \sin x=0, x=\pi k, k \in Z

Приравниваем к нулю второй множитель:

    \[\sin x +\cos^2 x +1=0\]

    \[\sin x +1-\sin^2 x +1=0\]

    \[\sin^2 x -\sin x - 2=0\]

Ищем корни этого квадратного уравнения, по Виету \sin x = 2 – посторонний корень, остается \sin x = -1. Решение:

    \[x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n\]

Ответ: x=\pi k, k \in Z, x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n

 

3. Решить уравнение.

    \[3 \sin^2 x - 3\cos 2x -12\sin x +7=0\]

Преобразуем косинус двойного аргумента:

    \[3 \sin^2 x - 3(1-2\sin^2 x) -12\sin x +7=0\]

    \[3 \sin^2 x - 3+6\sin^2 x -12\sin x +7=0\]

    \[9\sin^2 x -12\sin x +4=0\]

Мы видим полный квадрат:

    \[(3\sin x -2)^2=0\]

Или 3\sin x =2, \sin x=\frac{2}{3}, x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z

Ответ: x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z

4. Решить уравнение.

    \[\sqrt{1- \cos^2 x}+ 6\cos 2x=0\]

    \[\sqrt{1- \cos^2 x}=- 6\cos 2x\]

Поскольку перед нами корень, то сразу определим ОДЗ:

    \[- 6\cos 2x \geqslant 0\]

    \[\cos 2x \leqslant 0\]

    \[1-2\sin^2 x \leqslant 0\]

    \[-2\sin^2 x \leqslant -1\]

    \[\sin^2 x \geqslant \frac{1}{2}\]

ОДЗ: \sin x\in [-1;-\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]

    \[\sqrt{\sin^2 x}=- 6\cos 2x\]

    \[\left

    \[\left

    \[\left

При \sin x \geqslant 0 имеем:

    \[\sin x +6-12\sin^2 x=0\]

    \[12\sin^2 x-\sin x -6=0\]

    \[\sin x=\frac{3}{4}\]

    \[x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z\]

Так как второй корень квадратного уравнения отрицателен, то к рассматриваемому промежутку он отношения не имеет.

При \sin x < 0 имеем:

    \[-\sin x +6-12\sin^2 x=0\]

    \[12\sin^2 x+\sin x -6=0\]

    \[\sin x=-\frac{3}{4}\]

Второй корень квадратного уравнения положителен, а мы рассматриваем случай, когда \sin x < 0 – поэтому мы его отбросили.

    \[x=(-1)^n \arcsin(-\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z\]

или  x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z и x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z

 

5. Решить уравнение.

    \[2\sin^2 x+ \sin^2 2x=\frac{5}{4}-2 \cos 2x\]

    \[2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x=\frac{5}{4}-2 (1-2\sin^2 x)\]

    \[2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x-\frac{5}{4}+2 -4\sin^2 x)=0\]

    \[-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x+\frac{3}{4}=0\]

    \[-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x(1-\sin^2 x)+\frac{3}{4}=0\]

    \[-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x-4\sin^4 x+\frac{3}{4}=0\]

    \[4\sin^4 x -2\sin^2 x-\frac{3}{4}=0\]

Получили биквадратное уравнение относительно \sin x. Обозначаем \sin^2 x=a:

    \[4a^2 -2a-\frac{3}{4}=0\]

Корни этого уравнения: a_1=\frac{3}{4} и a_2=-\frac{1}{4}. Так как a= \sin^2 x, то отрицательный корень является посторонним. Тогда \sin^2 x=\frac{3}{4}, и \sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.

Определяем x:

    \[x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z\]

 

6. Решить уравнение.

    \[\cos {\frac{x}{2}}=1+\cos x\]

Представим \cos x как косинус двойного угла:

    \[\cos {\frac{x}{2}}=1+\left(2\cos^2 {\frac{x}{2}}-1\right)\]

    \[2\cos^2 {\frac{x}{2}}-\cos {\frac{x}{2}}=0\]

    \[\cos {\frac{x}{2}}(2\cos {\frac{x}{2}}-1)=0\]

Уравнение распалось на два:

    \[\cos {\frac{x}{2}}=0\]

    \[2\cos {\frac{x}{2}}-1=0\]

Первое решение:

    \[\frac{x}{2}}=(-1)^k \cdot {\frac{\pi}{2}}+2 \pi n, n \in Z\]

    \[x=(-1)^k \cdot {\pi}+4 \pi n, n \in Z\]

Второе решение:

    \[\cos {\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\]

    \[\frac{x}{2}}=(-1)^k \cdot {\frac{\pi}{3}}+2 \pi m, m \in Z\]

    \[x=(-1)^k \cdot {\frac{2\pi}{3}}+4 \pi m, m \in Z\]

 

7. Решить уравнение.

    \[\cos 12x-\sin 4 x=0\]

Функцию синуса заменим косинусом:

    \[\cos 12x-\cos (90^{\circ}-4x)=0\]

Разность косинусов удобно заменить произведением синусов:

    \[-2 \sin{\frac{8x+90^{\circ}}{2}} \sin{\frac{16x-90^{\circ}}{2}}=0\]

Уравнение распадается на два:

    \[\sin(4x+45^{\circ}) =0\]

Или

    \[\sin(8x-45^{\circ})=0\]

Решение первого:

    \[4x+45^{\circ} =\pi n, n \in Z\]

    \[4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z\]

    \[x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, n \in Z\]

Решение второго:

    \[8x-45^{\circ} =\pi m, m \in Z\]

    \[8x=\frac{\pi}{4}+\pi m, m \in Z\]

    \[x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi m}{8}, n \in Z\]

Ответ: x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, n \in Z, x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi m}{8}, n \in Z

Репетитор по математике, подготовка к ЕГЭ и ГИА. Видеоуроки

Рассмотрим основные типы простейших тригонометрических уравнений, которые могут встретиться на экзамене.

Задание 1.
Найдите корень уравнения: \cos\frac{\pi(x+7)}{3}=\frac{1}{2}.

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Не обращаем пока внимания на «страшный» аргумент косинуса.

(Представьте, если сложно абстрагироваться, что это t.

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: + показать

Задание 2.

Решите уравнение \sin\frac{\pi (2x-3)}{6}=-0,5. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение: + показать

Задание 3.

Решите уравнение tg\:\frac{\pi (2x-7)}{6}=-\sqrt3.  В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение: + показать

На оси тангенсов находим -\sqrt3, «выходим на круг»:

tg122И далее  – действия, аналогичные действиям в примерах 1 и 2:

\frac{\pi (2x-7)}{6}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\;n\in Z;

\pi (2x-7)=-2\pi+6\pi n,\;n\in Z;

2x-7=-2+6 n,\;n\in Z;

2x=5+6 n,\;n\in Z;

x=2,5+3 n,\;n\in Z;

Наибольший отрицательный корень – при n=-1

: x=-0,5.

Ответ: -0,5. 

 

Для вас – аналогичные задания с ответами.  Проверьте себя!

1) Решите уравнение \sin\frac{\pi(4x-7)}{4}=1. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Ответ + показать

0,25

2) Решите уравнение  \cos\frac{\pi(x-1)}{3}=-\frac{1}{2}. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Ответ + показать

-1

3) Решите уравнение tg\:\frac{\pi(x-6)}{6}=\frac{1}{\sqrt3}.

 В ответе напишите наименьший положительный корень.

Ответ + показать

1

ЕГЭ. Задание 13. Тригонометрические (и не только) уравнения

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

Полезные материалы

Подборки видео и онлайн-курсы

Тригонометрические формулы

Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

  1. Необходимая теория для решения задач.
  2. а) Решите уравнение $7\cos^2 x — \cos x — 8 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$.
  3. а) Решите уравнение $\dfrac{6}{\cos^2 x} — \dfrac{7}{\cos x} + 1 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
  4. Решите уравнение $\sin\sqrt{16 — x^2} = \dfrac12$.
  5. а) Решите уравнение $2\cos 2x — 12\cos x + 7 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.
  6. а) Решите уравнение $\dfrac{5}{\mathrm{tg}^2 x} — \dfrac{19}{\sin x} + 17 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.
  7. Решите уравнение $\dfrac{2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x}{\sqrt{\mathrm{ctg}x}} = 0$.
  8. Решите уравнение $\dfrac{\mathrm{tg}^3x — \mathrm{tg}x}{\sqrt{-\sin x}} = 0$.
  9. а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 — \cos\left(\dfrac{\pi}{2} — x\right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.
  10. а) Решите уравнение $\cos 2x = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} — x\right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.
  11. а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt3\cos x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.

Видеоразборы задач

а) Решите уравнение $x — 3\sqrt{x — 1} + 1 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{3}; \sqrt{20} \right]$.

 

а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$.

 

а) Решите уравнение $\sqrt{x^3 — 4x^2 — 10x + 29} = 3 — x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]$.

 

а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 — \cos\left(\dfrac{\pi}{2} — x\right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.

 

а) Решите уравнение $\cos^2 (\pi — x) — \sin \left( x + \dfrac{3\pi}{2} \right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$.

 

 

а) Решите уравнение $8^x — 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 — x} = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

 

а) Решите уравнение $8 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \cos \left( \dfrac{3\pi}{2} — x\right) = 9$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[- \dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$.

 

а) Решите уравнение $2\log_3^2 (2 \cos x) — 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.

 

а) Решите уравнение $\left( \dfrac{1}{49} \right)^{\sin x} = 7^{2 \sin 2x}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.

 

а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac{x}{2} — \sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

 

а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

Подборка заданий прошлых лет

  1. а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна)
  2. а) Решите уравнение $\sqrt{x^3 — 4x^2 — 10x + 29} = 3 — x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна, резервный день)
  3. а) Решите уравнение $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x $.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  4. а) Решите уравнение $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  5. а) Решите уравнение $\sin x + 2\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  6. а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  7. а) Решите уравнение $2 \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) — \sqrt{3} \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  8. а) Решите уравнение $2\sqrt3 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) — \cos 2x = 3\cos x — 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  9. а) Решите уравнение $2\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) — \cos x = \sqrt3\sin 2x — 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  10. а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left( \dfrac{\pi}{4} + x \right) + \cos 2x = \sin x — 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  11. а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x — 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  12. а) Решите уравнение $2\sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  13. а) Решите уравнение $2\sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  14. а) Решите уравнение $2\cos x — \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
  15. а) Решите уравнение $2\sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
  16. а) Решите уравнение $2\cos x — \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
  17. а) Решите уравнение $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
  18. а) Решите уравнение $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
  19. а) Решите уравнение $x — 3\sqrt{x — 1} + 1 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{3}; \sqrt{20} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
  20. а) Решите уравнение $2x \cos x — 8\cos x + x — 4 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{\pi}{2};\ \pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  21. а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 — 2x) = 1$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}2;\ \log_2 5 \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  22. а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 — 24x) = 4$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}1;\ 12\sqrt{5} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  23. а) Решите уравнение $0{,}4^{\sin x} + 2{,}5^{\sin x} = 2$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  24. а) Решите уравнение $\log_8 \left(7\sqrt{3} \sin x — \cos 2x — 10\right) = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  25. а) Решите уравнение $\log_4 \left(2^{2x} — \sqrt{3} \cos x — 6\sin^2 x\right) = x$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  26. а) Решите уравнение $2\log_2^2 \left(\sin x\right) — 5 \log_2 \left(\sin x\right) — 3 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ — 3\pi;\ — \dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  27. а) Решите уравнение $81^{\cos x} — 12\cdot 9^{\cos x} + 27 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ — 4\pi;\ — \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  28. а) Решите уравнение $8^x — 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 — x} = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ЕГЭ-2017, досрочная волна)
  29. а) Решите уравнение $2\log^2_9 x — 3 \log_9 x + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{10};\ \sqrt{99} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
  30. а) Решите уравнение $6\log^2_8 x — 5 \log_8 x + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2;\ 2{,}5 \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
  31. а) Решите уравнение $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left( x + \dfrac{3\pi}{2} \right) + 1$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
  32. а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt{2} \cos \left( \dfrac{3\pi}{2} — x \right)$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна)
  33. а) Решите уравнение $2\log^2_2 (2\cos x) — 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна)
  34. а) Решите уравнение $8^x — 7 \cdot 4^x — 2^{x + 4} + 112 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  35. а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos^2 \left( \dfrac{3\pi}{2} — x \right) = 0,25$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  36. а) Решите уравнение $\dfrac{13\sin^2 x — 5\sin x}{13\cos x + 12} = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  37. а) Решите уравнение $\dfrac{\sin2x}{\sin\left( \dfrac{7\pi}{2} — x \right)} = \sqrt{2}$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  38. а) Решите уравнение $4 \sin^2 x = \mathrm{tg} x$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ — \pi;\ 0\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  39. а) Решите уравнение $3\cos 2x — 5\sin x + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  40. а) Решите уравнение $\cos 2x — 5\sqrt{2}\cos x — 5 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  41. а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
  42. а) Решите уравнение $2\cos^3 x — \cos^2 x + 2\cos x — 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
  43. а) Решите уравнение $\mathrm{tg}^2 x + (1 + \sqrt{3}) \mathrm{tg} x + \sqrt{3} = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; \ 4\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
  44. а) Решите уравнение $2\sqrt{3} \cos^2\left( \dfrac{3\pi}{2} + x\right) — \sin 2x = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \ 3\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
  45. а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2} \sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; \ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
  46. а) Решите уравнение $-\sqrt{2} \sin\left( -\dfrac{5\pi}{2} + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{9\pi}{2}; \ 6\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, досрочная волна)
  47. а) Решите уравнение $\sin 2x = \sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x\right)$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; \ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2013, основная волна)
  48. а) Решите уравнение $6 \sin^2 x + 5\sin\left( \dfrac{\pi}{2} — x\right) — 2 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -5\pi; \ — \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2012, вторая волна)

Задача 13: тригонометрические уравнения с ограничениями

Типичная задача №13 из ЕГЭ по математике 2016 содержит два пункта:

  1. Решить несложное тригонометрическое уравнение (хотя иногда попадаются довольно сложные).
  2. Среди полученных корней отобрать те, которые принадлежат заданному отрезку. Вот здесь большинство учеников «пасует».

Все видеоуроки по задачам №13, опубликованные на моем сайте, содержат оба пункта: и решение уравнения (со всеми тонкостями), и различные подходы к отбору корней.

Глава 1.
Тригонометрические уравнения
§ 1.
Задача C1: тригонометрические уравнения с ограничением
§ 2.
Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла
§ 3.
Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант
§ 4.
Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 2 вариант
Глава 2.
Показательные и логарифмические уравнения
§ 1.
Задача C1: показательные уравнения с ограничением
§ 2.
Задача C1: еще одно показательное уравнение
§ 3.
Логарифмические уравнения в задаче C1
§ 4.
Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении
§ 5.
Вебинар по заданию 13: тригонометрия
§ 6.
Формулы двойного угла в тригонометрических уравнениях из ЕГЭ
§ 7.
Отбор корней из некрасивых арктангенсов, арксинусов и т.д.
§ 8.
Нестандартные периоды и отбор корней в тригонометрическом уравнении
§ 11.
Задача из пробного ЕГЭ 2016 от 3 марта
§ 12.
Вебинар по заданию 13: предварительное задание

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *