Уравнения высших степеней – Решение системы уравнений высших степеней. Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: Уравнения высших степеней

7 Уравнения высоких степеней

Навигация Математушка
  • Наши выпускники
  • Оставить заявку
  • ЕГЭ
  • Статьи
  • Контакты
  • Цены
  • Заочное обучение
  • Войти

7 Уравнения высоких степеней


Задача № 1

7, задача № 1

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 1

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 1

Ответ:

7, ответ на задачу № 1

Задача № 2

7, задача № 2

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 2

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 2

Ответ:

7, ответ на задачу № 2

Задача № 3

7, задача № 3

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 3

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 3

Ответ:

7, ответ на задачу № 3

Задача № 4

7, задача № 4

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 4

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 4

Ответ:

7, ответ на задачу № 4

Задача № 5

7, задача № 5

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 5

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 5

Ответ:

7, ответ на задачу № 5

Задача № 6

7, задача № 6

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 6

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 6

Ответ:

7, ответ на задачу № 6

Задача № 7

7, задача № 7

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 7

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 7

Ответ:

7, ответ на задачу № 7

Задача № 8

7, задача № 8

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 8

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 8

Ответ:

7, ответ на задачу № 8

Задача № 9

7, задача № 9

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 9

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 9

Ответ:

7, ответ на задачу № 9

Задача № 10

7, задача № 10

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 10

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 10

Ответ:

7, ответ на задачу № 10

Задача № 11

7, задача № 11

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 11

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 11

Ответ:

7, ответ на задачу № 11

Задача № 12

7, задача № 12

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 12

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 12

Ответ:

7, ответ на задачу № 12

Задача № 13

7, задача № 13

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 13

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 13

Ответ:

7, ответ на задачу № 13

Задача № 14

7, задача № 14

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 14

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 14

Ответ:

7, ответ на задачу № 14

Задача № 15

7, задача № 15

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 15

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 15

Ответ:

7, ответ на задачу № 15

Задача № 16

7, задача № 16

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 16

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 16

Ответ:

7, ответ на задачу № 16

Задача № 17

7, задача № 17

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 17

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 17

Ответ:

7, ответ на задачу № 17

Задача № 18

7, задача № 18

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 18

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 18

Ответ:

7, ответ на задачу № 18

Задача № 19

7, задача № 19

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 19

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 19

Ответ:

7, ответ на задачу № 19

Задача № 20

7, задача № 20

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 20

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 20

Ответ:

7, ответ на задачу № 20

Задача № 21

7, задача № 21

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 21

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 21

Ответ:

7, ответ на задачу № 21

Задача № 22

7, задача № 22

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 22

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 22

Ответ:

7, ответ на задачу № 22

Задача № 23

7, задача № 23

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 23

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 23

Ответ:

7, ответ на задачу № 23

Задача № 24

7, задача № 24

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 24

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 24

Ответ:

7, ответ на задачу № 24

Задача № 25

7, задача № 25

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 25

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 25

Ответ:

7, ответ на задачу № 25

Задача № 26

7, задача № 26

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 26

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 26

Ответ:

7, ответ на задачу № 26

Задача № 27

7, задача № 27

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 27

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 27

Ответ:

7, ответ на задачу № 27

Задача № 28

7, задача № 28

Показать ответ

Ответ:

7, ответ на задачу № 28

Показать решение

Решение:

7, решение задачи № 28

Ответ:

7, ответ на задачу № 28

Задача № 29

7, задача № 29

Решение системы уравнений высших степеней. Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: Уравнения высших степеней

Методы решения уравнений: n n n Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

Решить уравнение (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ можно перейти к уравнению 3 x + 2 = 5 x – 9, откуда находим x = 5, 5. Ответ: 5, 5.

Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Решить уравнение x³ – 7 x + 6 = 0 Представив слагаемое 7 x в виде x + 6 x, получим последовательно: x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.

Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1; g(x) = u 2; … ; g(x) = un , где u 1, u 2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.

Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x² получаем

Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так корень y 1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0, 5.

Решите уравнение 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7 x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7 x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x), y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

Подбор корней n n n Теорема 1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: – уравнение с целыми Пусть коэффициентами. Если число и дробь где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0.

Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу n n n n Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

Решить уравнение x³ – 5 x² – x + 21 = 0 Многочлен x³ – 5 x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2 x – 7). Ответ:

Решить уравнение 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0 Сделав подстановку 2 x = t, получим t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следов

Элективный курс по алгебре (10 класс) на тему: Уравнения высших степеней

Слайд 1

Уравнения высших степеней Автор: Нечаев Евгений Владимирович Руководитель: Смалева Елена Владимировна Адрес учебного заведения: 155523, Ивановская область, город Фурманов, ул. Тимирязева, д. 42 Телефон (49341)2-50-75; E-mail: [email protected] Адрес автора: 155523, Ивановская область, город Фурманов, ул. Тимирязева, д. 14, кв. 14 Телефон +79158143052; E-mail: [email protected] Электронный тематический журнал Главное меню Далее

Слайд 2

Подумайте, хотели бы Вы побывать в горах? Лично я думаю, нет в мире человека, который был бы равнодушен к горам. Есть люди, которые их страшатся, есть люди, которые в них живут и каждый день любуются их красотой, есть те, которые их покоряют… Решение уравнений высоких степеней, нахождение различных способов решений можно сравнить с покорением горной вершины. Уравнения, как и сияющие вершины, поддаются только людям упорным, людям, влюбленным в них. 2. Основоположники Меню: 3. Основные виды уравнений высших степеней 6. Различные методы решения уравнений четвертой степени 7. Уравнения 12-ой и n- ой степени 8. Опасности при восхождении 5. Решение уравнений методом разложения на множители 9. Вывод 4. Решение уравнений с помощью замены 10. Список литературы 1. Введение Далее

Слайд 3

Введение Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники. В этой работе мне хотелось бы отразить различные способы решения уравнений высших степеней. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. Задачи проекта: Улучшить навыки решения уравнений высших степеней; Наработать новые способы решения уравнений высших степеней. Объект исследования – элементарная алгебра. Предмет исследования – уравнения высших степеней. Выбор этой темы основывался на том, что многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали 25 веков назад. Они создаются и сегодня — как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных испытаний в ВУЗы, для олимпиад самого высокого уровня. Далее Меню

Слайд 4

Основоположники Диофант Александрийский — древнегреческий математик. О подробностях его жизни практически ничего не известно. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена « достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрий-ский , живший в середине III в. н.э. Так выглядело решение уравнений во время Диофанта Латинский перевод Арифметики Далее Меню Назад

Слайд 5

Мухаммад ибн Муса Хорезми ( ок . 783 — ок . 850) — великий математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Сведений о жизни учёного сохранилось крайне мало. Ал-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении», от названия которой произошло слово «алгебра». В теоретической части своего трактата ал-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть их видов: 1) квадраты равны корням; 2) квадраты равны числу; 3) корни равны числу; 4) квадраты и корни равны числу; 5) квадраты и числа равны корням; 6) корни и числа равны квадрату. Для приведения квадратно канонических видов ал-Хорезми вводит два действия. Первое из них состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. «Алгебра» ал-Хорезми , положившая начало развития новой самостоятельной научной дисциплины, была дважды переведена в XII веке на латинский язык и сыграла чрезвычайно важную роль в развитии математики в Европе. Памятник ал-Хорезми в Тегеранском университете Далее Меню Назад

Слайд 6

Франсуа Виет (1540 — 13 декабря 1603) — выдающийся французский математик, один из основоположников алгебры. Родился в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату — Шарант . Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — труд по тригонометрии, — который издал в Париже в 1579 году. Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом , Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства — Генриха IV. Изучая труды классиков ( Кардано , Бомбелли, Стевина ) выпустил несколько работ, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики». Главным трудом Виета стала работа: «Введение в аналитическое искусство». Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно. Франсуа Виет Далее Меню Назад

Слайд 7

Этьен Безу (31 марта 1730 — 27 сентября 1783) — французский математик, член Парижской академии наук (1758). Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося. Надгробие ученого Предполагаемый портрет ученого-математика Далее Меню Назад

Слайд 8

Это интересно: Однажды в ноябре 1594 года во дворе Генриха IV (Франция) Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена . Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнения 45-й степени. В списке тех, кому следовало направить его научный вызов, Ван Ромен не указал ни одного француза и посланник заметил, что по видимому, во Франции нет математиков. “Но почему же? - возразил король. У меня есть математик и весьма выдающийся”. Он послал за Виетом Франсуа. Один корень Виет нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения. Далее Меню Назад

Слайд 9

Основные виды уравнений высших степеней 1. Очевидная замена. Биквадратные: ax ⁴+ bx ²+ c = o , где a ≠ 0 , приводимые к ( би )квадратным Примеры: 2х⁴+х²-1=0 (х²+3х+1)( х²+3х+3)+1=0 (х+3)⁴-3(х+3)²+2=0 3. Выгодный способ группировки множителей. ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d )=А или ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d ) =Вх ² Примеры: (х+3)(х+1)(х+5)(х+7 )=-16 (х-4)(х+2)(х+8)(х+14)=1204 (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х² 4(х+5)(х+6)(х+10)(х+12)-3х²=0 2. Неочевидная (завуалированная) замена. Примеры: ( х²-6х)²-2(х-3)²=81 (8х²-3х+1)²=32х²-12х+1 (х²+х+1)²-3х²-3х-1=0 4. Возвратные уравнения. a х⁴+ b х³+ c х²+ b х+ a =0 , где a ≠ 0 Пример: х⁴-5х³+6х²-5х+1=0 5. Однородные уравнения. au²+buv+cv²=0 , где a,b,c ≠ 0 Примеры: (х²-2х+2)²+3х(х²-2х+2)= 10х² (2х-1)²+(2х-1)(х+2)-2(х+2)²=0 (х²-х+1)⁴-6х²(х²-х+1)²+5х⁴=0 6. Особые случаи. ( х+а ) ⁿ +( х+ b ) ⁿ =С Примеры: (х+1)⁴+(х+5)⁴=32 (х+1)⁵+(х+5)⁵=242(х+1) (х-6)⁶+(х-4)⁶=64 Далее Меню Назад

Слайд 10

Чтобы разобраться в основных приемах решения уравнений высоких степеней, разберем примеры, представленные в пункте «Виды уравнений высших степеней». Решение урвнений с помощью замены Далее Меню Назад

Слайд 11

Уравнение 1-ого вида: (х+3)⁴-3(х+3)²+2=0 1. Так как замена очевидна выполним ее: ( x +3)²= t , где t ≥0; 2. Получим квадратное уравнение t² -3 t +2 =0 ; 3. Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену; 4 . Решив линейное уравнение, найдем х. Уравнение 2-ого вида: (х²-6х)²-2(х-3)²=81 1. Здесь сделать замену сразу не получится, поэтому выполним некоторые преобразования по формулам сокращенного умножения (х²-6х) ²-2 (х²-6 x +9 ) =81 ; 2 . Теперь можно выполнить замену: x ²-6х= t 3. Получим квадратное уравнение t² -2( t +9)-81 =0 ; 4. Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену, получим два простых квадратных уравнения; 5 . Решив квадратные уравнения, получим искомые корни. Далее Меню Назад

Слайд 12

Уравнение 3-его вида (1): ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d ) =Вх ² Условие группировки множителей ad= bc (х+2)( х+3)(х+8) (х+12 )=4х² 1.Необходимо сгруппировать множители специальным образом. Получим: (х²+14х+24)(х²+11х+24)=4х² 2.Далее уравнение можно решить одним из способов: - Специальный прием : делим на х ² ( х+11+24/ х )(х+14+24/ х )=4 Замена: х+24/ х = t ( t+11)(t+14)=4 - Уравнение с двумя переменными Замена : х²+24= t (t+11x)(t+14x)=4x ² t²+25xt+150x ²=0 , где t- переменная Далее Меню Назад

Слайд 13

Уравнение 3-его вида (2): ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d ) =А Условие группировки множителей a+d = b+c (х+3) (х+1) (х+5) (х+7)=-16 I способ: 1. Необходимо сгруппировать множители специальным образом. Получим: ( x²+8x +15 ) ( x²+8x +7)=-16 ; 2. Теперь можно выполнить замену x ² +8 х= t , 3 . Получим квадратное уравнение (t+15)(t+7)=-16 4 . Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену, получим квадратное уравнение. II способ: 1. Нанесем корни многочлена (х+3)(х+1)(х+5)(х+7) на числовую ось. 2. Из рисунка 1 видно, что расстояние между соседними корнями одно и то же. В таком случае, когда корней четное число, удобно сделать замену переменных t=x-x 0 , где x 0 – середина между крайними корнями . Тогда в уравнение войдут квадраты новой переменной, и уравнение станет биквадратным. 3. Замена: t=x +4, тогда x = t-4 Тогда: ( t-1 ) (t-3)(t+1)(t+3)=-16 (t 2 -1)(t 2 -9)=-16 t 4 -10t 2 +25=0 t 2 =5 t 1,2 =±√5 Выполним обратную замену: x 1,2 =-4±√5 Далее Меню Назад рис. 1

Слайд 14

Уравнение 4-ого вида: х⁴-5х³+6х²-5х+1=0 1.Специальный прием : разделим каждый член уравнения на x ², где x≠0 , получим: x²-5x+6-5/x+1/x²=0 ; 2. Сгруппируем таким образом: ( x²+1/x²) -5( x+1/x) +6=0 ; 3. Теперь можно выполнить замену: x+1/x = t , x²+1/x² = t ²-2, получим квадратное уравнение t²-5t+4=0 ; 4. Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену и найдем корни исходного уравнения. Далее Меню Назад Уравнение 5-ого вида: (х²-2х+2)²+3х(х²-2х+2)=10х² 1. Специальный прием : разделим обе части уравнения на x ²,где x ≠0, получим уравнение, в котором есть повторяется выражение, содержащее переменную. Заменим его на у. 2. Получим квадратное уравнение: у²+3у-10=0 у=-5, у=2 3. Выполним обратную замену, решив квадратные уравнения х²+3х+2=0 х²-4х+2=0, 4. Найдем корни исходного уравнения.

Слайд 15

Уравнение 6-ого вида (2): ( x +3)⁴+( x +5)⁴=16 Подстановка: x = t -(3+5) /2 x=t-4 (t-1)⁴+(t+1)⁴=16 (t²-2t+1)²+(t²+2t+1)²=16 2t⁴+12t²-14=0 t⁴+6t²-7=0 Замена : t²=a, a≥0 a ²+6 a -7=0 a ₁=-7 — не подходит a₂=1 ВОЗ: t²=1 t₁=1 или t₂=-1 Найдем x: x₁=1-4=-3 x₂=-1-4=-5 Ответ: -3; -5. Уравнение 6-ого вида (1): ( x -2)⁶+( x -4)⁶=64 Подстановка: x=t-(-2-4)/2 x=t+3 (t+1)⁶+(t-1)⁶=64 (t²+1)(t⁴+14t²+1)=32 t⁶+15t⁴+15t²-31=0 Искать целые корни будем среди делителей свободного члена: t = ± 1; ±31 Подбор: t =1 – является корнем ( t ⁶+15 t ⁴+15 t ²-31):( t -1)= t ⁵+ t ⁴ +16t²+31t+31 (t⁵+t⁴+16t³ + 16t²+31t+31):(t+1)=t⁴+16t²+31 t⁴+16t²+31=0 Замена : t²=a, a≥0 a²+16a+31=0 D₁=64-31=33, D₁>0 , 2 корня a ₁ , ₂

Слайд 16

Решение уравнений методом разложения на множители 1. x 7 +7x 4 -8x=0 x(x 6 +7x 3 -8)=0 тогда: x =0 x 6 +7 x 3 -8=0 – очевидная замена 2. (x-3) 3 -x 2 +9=0 (x-3) 3 -(x 2 -9)=0 (x-3) ³ _ (x-3)(x+3)=0 (x-3)((x-3) 2 -(x + 3))=0 тогда: x=3 x 2 -7x+6=0 3. 4x 4 +3x 3 +32x+24=0 4x(x 3 +8)+3(x 3 +8)=0 (x 3 +8)(4x+3)=0 тогда: x 3 +8=0 x=-2 4x+3=0 x=-3/4 Далее Меню Назад

Слайд 17

Уравнение (2): x ⁴+7 x ³+11 x ²+7 x +10=0 Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки: ( x ⁴+ x ²)+(7 x ³+7 x )+(10 x ²+10)=0 x ²( x ²+1)+7 x ( x ²+1)+10( x ²+1)=0 ( x ²+1)( x ²+7 x +10)=0 x ²+7 x +10=0; x ²+1≠0 По теореме Виета: x ₁+ x ₂=-7 x ₁=-2 x ₁ x ₂=10 x ₂=-5 Ответ: -2; -5. Методы решений уравнений одного типа (4-ая степень) Уравнения, на первый взгляд, одного типа: в левой части многочлен IV- ой степени, в правой – 0, а способы решения различны. Уравнение (1) См. ур-е 4-ого вида Далее Меню Назад

Слайд 18

Пример 3: x ⁴-2 x ³-18 x ²-6 x +9=0 1 способ: Искать целые корни будем среди делителей свободного члена: x =±1; ±3 1) x =1; 1-2-18-6+9≠0 x =-1 ; 1+2-18+6+9=0, х=-1 — является корнем ( x ⁴-2 x ³-18 x ²-6 x +9):( x +1)= x 3 -3 x 2 -15 x +9 2) x =3 ; 27-27-45+9≠0 x =-3 ; -27-27+45+9=0, х=-3 — является корнем 3) Делим многочлен на многочлен: ( x 3 -3 x 2 -15 x +9):( x +3)= x 2 -6 x +3 x 2 -6 x +3=0 Решим квадратное уравнение найдем искомые корни. 2 способ: Решим это уравнение как возвратное уравнение. Общий вид: a х⁴+ b х³+ c х²+ bm х+ am ²=0, где a ≠0. Приводится к виду a ( x ²+ m ²/ x ²)+ b ( x + m / x )+ c =0 и заменой y = x + m / x y ²-2 m = x ²+ m ²/ x ² Здесь m =3. Специальный прием : разделим на х ² , получим: х²-2х-18-6/х+9/х²=0 Приведем к квадратному уравнению с помощью замены: у=х+3/ х у²-6=х²+9/ х ² у²-6-2у-18=0 у²-2у-24=0 у=6, у=-4 Выполним обратную замену и решим квадратные уравнения. Далее Меню Назад

Слайд 19

Уравнения 12-ой и n- ой степени Уравнение 12-ой степени: x 12 - x 9 + x 8 - x 5 +1=0 Используем метод разбиения задачи на части: 1) x 0 Решений нет. 2) x =0: 1=0 Решений нет. 3) x >1: x 5 ( x 3 -1)( x 4 +1 ) +1=0 + + + + >0 Решений нет. 4) x =1: 0+1=0 Решений нет. 5) 00 Решений нет. Ответ: Уравнение корней не имеет. Уравнение n -ой степени: x+x 2 +x 3 +x 4 +…+ x n +… = 4 Левая часть уравнения – сумма бесконечной геометрической прогрессии, где b 1 =x, q=x , тогда S=b 1 /(1-q) → S=x/(1-x). Получим: x/(1-x)=4 x=4-4x 5x=4 x=0.8 Ответ: 0.8 Далее Меню Назад

Слайд 20

Потеря корня! Пример: х³-х=4х²-4 х (х²-1)=4(х²-1) х=4 Делить на (х²-1) НЕЛЬЗЯ! Это приводит к потере корней! Опасность при восхождении Далее Меню Назад

Слайд 21

Вывод В данной работе приведены различные способы решения уравнений высших степеней. В основном, это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими-либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Каждое решение пригодится в дальнейшей учебе. Эта работа поможет классифицировать старые знания и познать новое. К сожалению, здесь рассмотрены не все уравнения высоких степеней. Ведь как у любого альпиниста — за только что покоренной вершиной вдалеке виднеется еще более заманчивая, так и у нас — еще много неразгаданного и неизвестного в этом удивительном мире уравнений. Я желаю вам успеха и ощущения жажды, жажды покорения вершины при встрече с незнакомыми уравнениями. Далее Меню Назад

Слайд 22

Литература: С.И. Колесникова — «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ» С.И. Колесникова — 2-е издание, ИСПР. М.: Айрис-пресс, 2006 г. – 272 с. Т.М. Королева и др. — «Пособие по математике в помощь участникам централизованного тестирования» М.: Центр тестирования МОРФ, 2004 г. А.Т. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир — « Алгебрический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов». М.: Илекса , 2004 г. — 320с. Мордкович и др. — «Алгебра и начало анализа. 10 класс» (в 2 частях). Часть 2: «Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)». М.: Мнемозина , 2008 г. – 343 с. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. — «Конкурсные задачи по математике: Сборник задач». Ярославль 2005 г. – 178 с. P.S.: Все картинки взяты с сайта: http://images.yandex.ru Информация об «Основоположниках» взята с сайта: http://ru.wikipedia.org Конец Меню Назад

Программа элективного курса "Уравнения высших степеней"

Программа элективного курса «Уравнения высших степеней»

Пояснительная записка.

Курс разработан для учащихся 10 класса физико-математического профиля, имеющих хороший уровень математической подготовки, и призван помочь им подготовиться к разным конкурсам и олимпиадам по математике, способствовать продолжению серьёзного математического образования. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно-ориентированным и даёт учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами математики, и методами решения уравнений высших степеней. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений решения уравнений высших степеней, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Курс является продолжением учебника, где предусматривается обучение школьников способам самостоятельной работы, приёмам решения уравнений высших степеней. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению уравнений высших степеней, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо через уравнения высших степеней прививать учащимся не только навыки логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.

Цели и задачи курса.

  1. Развитие интереса к математике, эвристического мышления.

  2. Способствовать продолжению серьёзного математического образования.

  3. Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.

  4. Способствовать формированию научного стиля мышления.

  5. Подготовиться к ЕГЭ.

Содержание курса и распределение часов курса по темам.

Данный элективный курс рассчитан 35 тематических занятий.

2-3

Трёхчленные уравнения.

2

4-6

Симметрические уравнения чётных и нечётных степеней.

3

7-8

Отыскание корней многочленов.

3

9-11

Теорема Безу. (Метод понижения степени уравнения).

3

12-14

Метод неопределённых коэффициентов.

3

15-17

Возвратные уравнения.

3

18-20

Метод разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения.

3

21-23

Однородные уравнения

3

24-27

Метод замены переменных

4

28-30

Метод алгебраического сложения систем уравнений

3

31-32

Метод почленного умножения и деления уравнений системы

2

33-34

Система однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

2

35

Решение задач из КИМ ЕГЭ

1

Общие методические рекомендации

Учащимся сообщается цель и назначение элективного курса. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части – лекции, консультации практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить терему Виета для урвнений любой степени. Умение выполнять действия делений многочленов облегчит в дальнейшем решение задач из математического анализа.

Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит знаительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств.

Литература

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.

2Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И Задачи по математике. Алгебра.

3 Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Нестандартные методы решения уравнений и неревенств.

4..Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Уравнения и неравенства.

5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *