Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Крóтоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

10 фактов о теореме Пифагора

Пифагоровы штаны – на все стороны равны.

Чтобы это доказать, нужно снять и показать.

Этот стишок известен всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. А вот вам 10 фактов о знаменитой теореме.

1. Происхождение штанов понятно: построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов. Правда, это как посмотреть: средневековые школяры называли эту теорему «pons asinorum», что означает «ослиный мост».

2. Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.

3. Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты».

4. Только одно доказательство теоремы Пифагора нам не известно: доказательство самого Пифагора. Долгое время считалось, что доказательство Евклида и есть доказательство Пифагора, но теперь считают, что это доказательство принадлежит Евклиду.

5. К настоящему моменту историки математики обнаружили, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором – ее знали в разных странах задолго до древнегреческого философа и математика родом с острова Самос, жившего в VI веке до н.э.

6. Крупнейший историк математики Мориц Кантор разглядел папирус из Берлинского музея и обнаружил, что равенство три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате было известно уже египтянам около 2300 года до нашей эры во времена царя Аменемхета I.

7. Приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника обнаруживается в вавилонских текстах времен правления царя Хаммурапи, то есть за два тысячелетия до нашей эры. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до нашей эры.

8. Голландский математик Бартель Ван дер Варден сделал важный вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

9. «В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
     Славную он за него жертву быками воздвиг».

Со слов неизвестного древнего стихотворца легенда о гекатомбе – жертвоприношении ста быков пошла гулять по умам и страницам изданий. Остряки шутят, что с тех самых пор все скоты боятся нового. 

10. Сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали.

6) Формулировка теоремы Пифагора

Выполнение чертежа в тетради и математическая запись теоремы.

7) Показ отрывка из фильма «Приключения электроника» (30 сек)

Вопрос для обучающихся и статистика ответов с помощью сервиса Plickers.

Верный ответ: примерно 400.

8) Физкультминутка (посвящение в Пифагорейцы)

Все встали около парт и поочерёдно каждой рукой в воздухе «пишут» тайный знак Пифагорейской школы (пентаграмму)

9) Доказательство Теоремы Пифагора (практический способ)

Одна из формулировок теоремы Пифагора:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Два человека за компьютером на сайте «Математические этюды»,

http://www.etudes.ru/ru/etudes/pythagorean-theorem/

остальные: работа в парах, раздаточный материал.

10) Решение опорных задач, оформление их в рабочей тетради

Задачи.

1.  Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти гипотенузу.

2.  Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов равен 12. Найти второй катет.

3.  Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4, а угол, прилежащий к этому катету, равен 60°. Найти квадрат второго катета.

4. Разбор задачи про дальнобойщиков (см.начало урока).

5. Как с помощью верёвки изобразить прямой угол?

Домашнее задание:

• параграф 3, пункт 55, теорема+доказательство
• выполнить № 483(а,в), 486(а,б)

11) Рефлексия

В тетрадях по пятибалльной шкале обучающиеся оценивают урок, отвечая на вопросы:

1. Понравился ли в целом вам урок?
2. Приобрели ли вы новые знания?
3. Всё ли вам было понятно?
4. Сможете ли вы теперь объяснить своим товарищам тему «Теорема Пифагора» и рассказать о её практическом применении?

12) Заключение

Все обучающиеся получают сертификат об успешном изучении темы «Теорема Пифагора».

Теорема Пифагора. 8-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

1) Доказать теорему Пифагора, показать применение к решению задач;
2) развивать у учащихся логическое мышление, математическую речь;
3) расширить кругозор у учащихся, интерес к изучаемому предмету, познакомить с историческими сведениями по данной теме.

I. Организация учащихся на урок, сообщение темы и целей урока. (Cлайды 1,2)

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа.

– сторона квадрата равна 1,5 см. Найдите его площадь.

– Перечислите виды треугольников в зависимости от его сторон.

– Перечислите виды треугольников в зависимости от углов.

– Как называются стороны в прямоугольном треугольнике.

– Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 1,2дм и 3дм.

2) Практическая работа (слайд 3)

– Начертите прямой угол, отложите на его сторонах катеты 3 м и 4 м  (масштаб:1 клеточка равна 1метру)

– Проведите гипотенузу. Она равна 5 м.

– Достройте на катетах и гипотенузе квадраты.

– Найдите площади квадратов.

S=S₁+S₂
25=16+9, т.е.
5²=4²+3²

– Вывод: (слайд 4)

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Теорема Пифагора: (слайд 5)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Провести устное доказательство по следующему плану:

– доказать равенство MBN=NCP=PDK=KAM;

– доказать, что MNPA– квадрат;

– выразить площадь квадрата АВСD через площади MBN, NCP, PDK, KAM и площадь квадрата MNPK;

– записать равенство, связывающее катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника – а²+b²=с².

Запись в тетрадях учащихся

Дано: АВС, С=90°, а и b катеты, с-гипотенуза.

Доказать: а²+b²=с².

Доказательство:

– достроим АВС до квадрата со стороной а+b;

– S=( а+b)²;

– MBN=NCP=PDK=KAM по двум катетам;

– S=, 4 S=·4=2,

– S_MNPK=c²;

– (а+b)²=2аb+с²;

– а²+ 2аb+ b²=2аb+с² или а²+b²=с².

IV. Закрепление изученного материала.

Решение задач по готовым чертежам.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, определите значение х (слайд6)

V. Историческая справка – экскурсия в музей Пифагора (слайд 7).

– Биография Пифагора (слайд 8): о жизни Пифагора известно немного. Он родился на острове Самос, недалеко от Греции. Совсем юношей Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта и 12 лет жил в Вавилоне. После возвращения домой, он переселился в Италию, затем в Сицилию. И здесь, в Креоне, рождается школа Пифагора.

– Пифагорейская школа (слайд 9): Пифагор и его ученики занимались изучением чисел и свойств, вкладывая в каждое число определенный смысл. В пифагорейской школе много внимания уделялось музыке, живописи, физическому развитию, здоровью. Известно, что Пифагор был Олимпийским чемпионом. Пифагор и его ученики были очень трудолюбивы и жили по своим заповедям. Вот некоторые из них (слайд 9).

– Главный пифагорейский знак (слайд 10): главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была пентаграмма или пифагорейская звезда– звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Звездчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы”.

– Пифагоровы треугольники (слайд 11): треугольники со сторонами, выраженными целыми числами и удовлетворяющих соотношению, а²+b²=с², называют пифагоровыми. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 назвали египетским треугольником, так как с его помощью строили прямые углы при возведении египетских пирамид.

VI. Итог урока.

– Чье имя носит теорема, изученная на уроке?

– Почему главным пифагорейским символом служит пентаграмма?

– Сформулировать теорему Пифагора.

– Домашнее задание:

1) п.54. № 483(а), 484(в).

2) Найти в дополнительной литературе различные доказательства теоремы Пифагора.

Литература

1. Учебник “Геометрия, 7-9”, авт. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
2. Рабочая тетрадь “Геометрия 7 класс”, Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов. М., “Просвещение” 2009 год.
3. Изучение геометрии в 7-9 классах. Книга для учителя. авт. Л. С. Атанасян и др.

Ответы@Mail.Ru: Напишите пожалуйста теорему пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Помимо этого есть ещё обобщённая теорема Пифагора (теорема косинусов) : квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

сам поди вырвал, лентяй

<a rel=»nofollow» href=»http://www.clascalc.ru/pithagorean-theorem.htm» target=»_blank»>http://www.clascalc.ru/pithagorean-theorem.htm</a> зайди и выучи

<img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/ivanovserezha/_animated/i-567.gif» >

«Пифагоровы штаны на все стороны равны». А если серьезно: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Доказательство смотри по ссылке выше.

Занимательные задачи по теме: «Теорема Пифагора». 8-й класс

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества задач. Поэтому для формирования понимания значимости теоремы Пифагора при изучении как геометрии, так и других дисциплин, умений применять теорему Пифагора к решению задач я предлагаю восьмиклассникам индивидуальные разноуровневые задачи, требующие творческого подхода в решении и оформлении. Решение таких занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.

Задача №1. Древнеиндийская задача.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5 )² – Х² = 2² ,

Х² + Х + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Задача №2. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение.

Ответ: 8 футов.

Задача №3. Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение.

Ответ: 20 локтей.

Задача №4. Египетская задача.

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

Решение.

Ответ: 5 футов.

Задача №5.

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение.

Ответ: 4 фута.

Задача №6.

В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м)?

Решение.

Обозначим глубину озера В D = х, тогда АВ = ВС = х + 1 – длина тростника. Из ?В DС по теореме Пифагора СD² = СВ² – ВD²,

5² = (х + 1)² – х²,

25 = х² + 2х + 1 – х²,

2х = 24,

х = 12.

Значит, глубина пруда 12 футов. 12 • 0,3 = 3,6 (м).

Ответ: 3,6 м.

Задача №7.

Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Решение.

Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.

Задача №8.

Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Решение.

Ответ: 5,63 км.

Задача №9.

Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.

Решение.

Ответ: 560 м.

Задача №10.

Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение.

Задача №11.

Как далеко видно с маяка данной высоты над уровнем моря?

Решение.

Ответ: с высоты маяка в 125 м обозревается расстояние в 40 км.

Задача №12.

Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.

Решение.

v² = 3² + 4² = 25

v = 5.

Ответ: 5 м/с.

Литература:

• Семенов Е.Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1987.
• Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука, 1990.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1978.
• Газета «Математика»: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», № 24, 2001 г. «Изучаем теорему Пифагора».
• Ульянова Е.А. Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок). – Фестиваль «Открытый урок 2005– 2006».
• Борисова Н.А. Урок-конференция по геометрии в 8-м классе по теме: «Пифагор и его теорема». – Фестиваль «Открытый урок 2005– 2006».