История теоремы Пифагора. Доказательство теоремы

История теоремы Пифагора насчитывает несколько тысячелетий. Утверждение, гласящее, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, было известно еще задолго до рождения греческого математика. Однако теорема Пифагора, история создания и доказательства ее связываются для большинства именно с этим ученым. Согласно некоторым источникам, причиной тому послужило первое доказательство теоремы, которое было приведено Пифагором. Однако часть исследователей опровергает этот факт.

Музыка и логика

Прежде чем рассказать, как складывалась история теоремы Пифагора, кратко остановимся на биографии математика. Жил он в VI веке до нашей эры. Датой рождения Пифагора считается 570 год до н. э., местом — остров Самос. О жизни ученого достоверно известно немного. Биографические данные в древнегреческих источниках переплетаются с явным вымыслом. На страницах трактатов он предстает великим мудрецом, великолепно владеющим словом и умением убеждать. Кстати, именно поэтому греческого математика и прозвали Пифагором, то есть «убеждающим речью». По другой версии, рождение будущего мудреца предсказала Пифия. Отец в ее честь назвал мальчика Пифагором.

Мудрец учился у великих умов того времени. Среди преподавателей молодого Пифагора значатся Гермодамант и Ферекид Сиросский. Первый привил ему любовь к музыке, второй обучил философии. Обе эти науки останутся в центре внимания ученого на протяжении всей его жизни.

Обучение длиной в 30 лет

По одной из версий, будучи пытливым юношей, Пифагор покинул родину. Он отправился искать знаний в Египет, где пробыл, согласно разным источникам, от 11 до 22 лет, а затем попал в плен и был отправлен в Вавилон. Пифагор смог извлечь пользу из своего положения. В течение 12 лет он изучал математику, геометрию и магию в древнем государстве. На Самос Пифагор вернулся только в 56 лет. Здесь в то время правил тиран Поликрат. Пифагор не смог принять такую политическую систему и вскоре отправился на юг Италии, где располагалась греческая колония Кротон.

Сегодня нельзя точно утверждать, был ли Пифагор в Египте и Вавилоне. Возможно, он покинул Самос позже и отправился сразу в Кротон.

Пифагорейцы

История теоремы Пифагора связана с развитием созданной греческим философом школы. Это религиозно-этическое братство проповедовало соблюдение особого образа жизни, изучало арифметику, геометрию и астрономию, занималось исследованием философской и мистической стороны чисел.

Все открытия учеников греческого математика приписывались ему. Однако история возникновения теоремы Пифагора связывается древними биографами только с самим философом. Предполагается, что он передал грекам знания, полученные в Вавилоне и Египте. Есть также версия, что он действительно открыл теорему о соотношениях катетов и гипотенузы, не зная о достижениях других народов.

Теорема Пифагора: история открытия

В некоторых древнегреческих источниках описывается радость Пифагора, когда ему удалось доказать теорему. В честь такого события он приказал принести жертву богам в виде сотни быков и устроил пир. Некоторые ученые, однако, указывают на невозможность такого поступка из-за особенностей воззрений пифагорейцев.

Считается, что в трактате «Начала», созданном Евклидом, автор приводит доказательство теоремы, автором которого и был великий греческий математик. Однако подобную точку зрения поддерживали не все. Так, еще античный философ-неоплатоник Прокл указывал, что автором приведенного в «Началах» доказательства является сам Евклид.

Как бы то ни было, но первым, кто сформулировал теорему, все-таки был не Пифагор.

Древний Египет и Вавилон

Теорема Пифагора, история создания которой рассматривается в статье, согласно немецкому математику Кантору, была известна еще в 2300 году до н. э. в Египте. Древние жители долины Нила во времена правления фараона Аменемхета I знали равенство 3² + 4^² = 5^². Предполагается, что с помощью треугольников со сторонами 3, 4 и 5 египетские «натягиватели веревок» выстраивали прямые углы.

Знали теорему Пифагора и в Вавилоне. На глиняных табличках, датируемых 2000 годом до н.э. и относимых ко времени правления царя Хаммурапи, обнаружен приблизительный расчет гипотенузы прямоугольного треугольника.

Индия и Китай

История теоремы Пифагора связана и с древними цивилизациями Индии и Китая. Трактат «Чжоу-би суань цзинь» содержит указания, что египетский треугольник (его стороны соотносятся как 3:4:5) был известен в Китае еще в XII в. до н. э., а к VI в. до н. э. математики этого государства знали общий вид теоремы.

Построение прямого угла при помощи египетского треугольника было изложено и в индийском трактате «Сульва сутра», датируемом VII-V вв. до н. э.

Таким образом, история теоремы Пифагора к моменту рождения греческого математика и философа насчитывала уже несколько сотен лет.

Доказательство

За время своего существования теорема стала одной из основополагающих в геометрии. История доказательства теоремы Пифагора, вероятно, началась с рассмотрения равностороннего прямоугольного треугольника. На его гипотенузе и катетах строятся квадраты. Тот, что «вырос» на гипотенузе, будет состоять из четырех треугольников, равных первому. Квадраты на катетах при этом состоят из двух таких треугольников. Простое графическое изображение наглядно показывает справедливость утверждения, сформулированного в виде знаменитой теоремы.

Еще одно простое доказательство сочетает геометрию с алгеброй. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами а, в, с вычерчиваются так, что образуют два квадрата: внешний со стороной (а + в) и внутренний со стороной с. При этом площадь меньшего квадрата будет равна с². Площадь большого вычисляется из суммы площадей маленького квадрата и всех треугольников (площадь прямоугольного треугольника, напомним, вычисляется по формуле (а * в) / 2), то есть с² + 4 * ((а * в) / 2), что равно с² + 2ав. Площадь большого квадрата можно вычислить и иначе — как произведение двух сторон, то есть (а + в)², что равно а² + 2ав + в². Получается:

а² + 2ав + в² = с² + 2ав,

а² + в² = с².

Известно множество вариантов доказательства этой теоремы. Над ними трудился и Евклид, и индийские ученые, и Леонардо да Винчи. Часто древние мудрецы приводили чертежи, примеры которых расположены выше, и не сопровождали их никакими объяснениями, кроме пометки «Смотри!» Простота геометрического доказательства при условии наличия некоторых знаний комментариев и не требовала.

История теоремы Пифагора, кратко изложенная в статье, развенчивает миф о ее происхождении. Однако трудно даже представить, что имя великого греческого математика и философа когда-нибудь перестанет ассоциироваться с ней.

Урок по математике «Теорема Пифагора» (8 класс)

Урок по геометрии в 8 классе

«Пифагоровы штаны»

«Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет!»

Цели:

1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых с помощью теоремы Пифагора.

2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.

3. Осуществить межпредметную связь геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.

Ход урока.

1. Вступительное слово учителя.

Теорема Пифагора – одна из важнейших теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

2. Повторение теории.

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

И. Дырченко

3. Историческая справка.

Изучение вавилонских, древнекитайских рукописей показало, что утверждение было известно задолго до Пифагора. Его же заслуга состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что Пифагор в честь этого открытия принес в жертву быка или даже сто быков.

О теореме Пифагора

   Пребудет вечной истина, как скоро

   Все познает слабый человек!
   И ныне теорема Пифагора
   Верна, как и в его далекий век.

   Обильно было жертвоприношенье
   Богам от Пифагора. Сто быков
   Он отдал на закланье и сожженье
   За света луч, пришедший с облаков.

   Поэтому всегда с тех самых пор,
   Чуть истина рождается на свет,
   Быки ревут, ее почуя, вслед.

   Они не в силах свету помешать,
   А могут лишь закрыв глаза дрожать
   От страха, что вселил в них Пифагор.

A.Шамиссо

Существует более 150 доказательств теоремы Пифагора. Мы изучили одно из доказательств, основанное на использовании понятия равновеликих фигур (рис.1).

рис. 1 рис.2

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось Pons Asinorum «Ослиный мост» или elefuga «бегство убогих» , так как некоторые ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть. Без понимания, и прозванные «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Теорема Пифагора вначале звучала так: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах (рис. 2).

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников.

рис. 3 рис. 4

Данный чертеж похож на пчелу. В Древней Греции слова «пчела» и «невеста» звучали одинаково, поэтому теорему Пифагора иногда называли «теоремой невесты» (рис. 3).

Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны» во все стороны равны (рис. 4)

Характерный чертеж теоремы Пифагора иногда превращается школьниками в забавные шаржи (рис. 5).

рис. 5 рис. 6

Благодаря большому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Существует так называемое дерево Пифагора – гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами (рис. 6).

Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении геометрических задач.

4. Решение исторических задач .

Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Решение:

• АВ²=3²+4²=25

• АВ=5

• DВ=АВ

• СD=ВС+ DВ=3+5=8

Ответ: 8 фунтов

Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Египетский)

4. Сценка. Древний Египет.

Мать. У нас опять беда. Разлился Нил, а когда сошла вода, невозможно определить границы нашего участка, где мы обрабатываем землю. Когда же придут гарпедонавты?

Дочь. А кто они?

Мать. Это очень уважаемые люди, они размечают землю, строят пирамиды.

Дочь. Мама, мама, они пришли. А что это за палки у них в руках?

Гарпеданавт. Это не палки. А вехи, с их помощью мы «провешиваем» прямые. А еще, при строительстве пирамид, мы строим прямой угол с помощью каната или обычной веревки. На веревке завязаны 12 узлов на равном расстоянии. Когда мы натягиваем веревку, то получаем треугольник со сторонами 3, 4, 5, в этом треугольнике есть прямой угол. Этот треугольник называется египетским.

4. Решение исторических задач.

У египтян была известная задача о лотосе.

«На глубине 12 футов растет лотос с 13-фунтовым стеблем. Определите на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Решение:

Ответ: может отклониться на 5 метров

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого.

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Решение:

Ответ: 44 стопы

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: каковаглубина воды и какова длина камыша?».

Решение:

• (х+1)²=х²+5²

• х²+2х+1=х²+25

• 2х=24

• х=12

Ответ: 12 чи.

4. Историческая справка.

Пифагор.

Пифагор – не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек – символ. Философ, пророк. Известно, что Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии около 570 г до н. э. По многим античным свидетельствам родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора – однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости»

Для жителей Самоса все дороги вели в Милет (греческую колонию). Там юный Пифагор встречается с Фалесом, мудрецом, слава о котором гремела по всей Элладе. Под его руководством Пифагор изучает математику и небесную механику. По совету Фалеса двадцатилетний Пифагор принимает решение отправиться в Египет. Там он прожил 11 лет. Пифагор овладевает премудростями тайнами египетских жрецов и достигает высших степеней в храмовой иерархии.

В 526 г до н. э. в Египет вторглись войска персидского царя Камбиза, и Пифагор вместе с другими жрецами попал в плен. Так он оказался в Вавилоне, где и прожил12 лет.

С приездом Пифагора в Кротон начинается самый яркий период его биографии. Пифагор основал сообщество своих учеников и последователей – пифагорейскую школу – которое было одновременно научно-философской школой, религиозно-мистическим союзом, духовным братством.

Пифагорейская школа.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно – этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников.

Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Для всех было у него одно правило: беги от всякой хитрости; отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору.

Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы с равным усердием заботились о физическом и духовном развитии. В основе религиозно – философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику и, прежде всего, в геометрию. Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин (аксиом), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число геометрических предложений. В геометрии впервые возник аксиоматический метод построения науки.

Пифагорейский союз – союз истины, добра и красоты – был любимым детищем великого мудреца. И, конечно, трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора.

Пифагор был настолько знаменит, что его изображали на гравюрах, а так же была выпущена монета с его изображением.

4. Заключение.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько не смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между сторонами есть простое соотношение: с²=а²+b².

Кроме того, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их самих. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например, в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а так же время, запах, вкус. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень «просто»: ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т. д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды… Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и связанных с ней.

Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было предложено передать обитателям «Марса» или иной планеты световой сигнал в виде чертежа теоремы Пифагора. Математический факт, выраженной теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

4. Домашнее задание.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу»

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).

Какова высота бамбука после сгибания?

Решение:

• (10-х)²=х²+3²

• 100-20х+х²=х²+9

• -20х= -91

• Х=4,55

Ответ: 4,55 чи

4. Итог урока. Выставление оценок.

Учебный проект «Пифагор и его теорема»

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа» Лесколовский центр образования»

Учебный проект

«Пифагор и его теорема»

Тип проекта: групповой, практикоориентированный

Разработчики:

Руководитель рабочей группы: Зубцова Анастасия.

Состав рабочей группы: Денисова Мария,

Денисова Виктория,

Копысова Варвара,

Кривоносова Д.

Научный руководитель:

учитель математики Башарова В.А.

Эпиграф к проекту:

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень».

Иоганн Кеплер

Лесколово

2018

Паспорт проекта

1.Название проекта: «Пифагор и его теорема».

2.Учебный предмет, по которому разрабатывался проект: математика.

3.Тип проекта: групповой, долговременный, практикоориентированнный.

3.1.Разработчики проекта: обучающиеся восьмых классов:

Зубцова Анастасия, Денисова Мария, Денисова Виктория, Копысова Варвара, Кривоносова Даниэлла.

Научный руководитель:

учитель математики Башарова Валентина Александровна.

3.2. Год разработки: 2018 – 2019 учебный год.

4.Опыт использования: на уроках в параллели восьмых классов.

5.Проблема: с одной стороны – теорема Пифагора изучается и доказывается в школьном курсе геометрии, а с другой стороны — школьного материала явно недостаточно для того, чтобы показать ее практическую значимость в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

6.Цель проекта: изучение практического применения теоремы Пифагора.

7.Задачи проекта:

7.1.Изучение биографии Пифагора.

7.2.Изучение истории открытия теоремы.

7.3.Исследование различных способов доказательства теоремы Пифагора.

7.4.Исследование Пифагоровых троек чисел.

7.5.Изучение практического применения теоремы Пифагора.

7.6.Подбор и решение задач на применение теоремы Пифагора при сдаче

ОГЭ в 9 классе.

8.Этапы работы:

8.1.Ознакомительный (знакомство с областью предстоящей проектной деятельности, определение темы).

Декабрь 2018 года.

8.2.Целевой (постановка проблемы и ее анализ, постановка целей и задач, определение источников информации, определение планируемых результатов и критериев их оценки).

Декабрь 2018 года.

8.3.Конструктивный (сбор данных, выдвижение гипотезы, проверка гипотезы, анализ хода исследования).

Январь – февраль 2019 года.

8.4.Обобщающий (формирование обобщающих выводов, подготовка отчета о

работе, оформление результатов проектной деятельности, анализ достижения поставленной цели).

Март 2019 года.

8.5.Презентативный (подготовка доклада, объяснение полученных результатов, представление проекта целевой аудитории, защита проекта, коллективная оценка проекта).

Март – апрель 2019 года.

9.Форма организации деятельности: урочно – внеурочная.

10.Ведущие виды деятельности: поисковая, исследовательская, конструирующая, творческая.

11.Сфера применения результатов: на уроках, во внеурочной деятельности, при подготовке к ОГЭ.

12.Используемые технологии: проектная, ИКТ.

13.Форма представления результатов проектной деятельности: мультимедиа — видео – демонстрации.

14.Способ объединения результатов на этапе презентации: открытые уроки, открытые уроки для родителей на Дне открытых дверей школы.

Заключительный обобщающий этап презентации проекта: на научно – практической конференции.

Содержание

1.Введение.

2.Основная часть:

Глава 1. Биография Пифагора.

Глава 2. История открытия теоремы.

Глава 3. Некоторые способы доказательства теоремы Пифагора.

Глава 4. Исследование Пифагоровых троек чисел.

Глава 5. Практическое применение теоремы Пифагора.

3.Заключение.

4.Список литературы.

Приложения:

1.Подбор и решение задач на применение теоремы Пифагора при сдаче

ОГЭ в 9 классе.

2.Презентации.

1. Введение

 На уроках геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели одно из ее доказательств, также узнали, что существуют и другие способы доказательства. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. Однако теорема Пифагора проста, но не так очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме этого, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора, можно находить ее новые применения и способы доказательств.

Перед нами встала проблема: с одной стороны – теорема Пифагора изучается и доказывается в школьном курсе геометрии, а с другой стороны — школьного материала явно недостаточно для того, чтобы показать ее практическую значимость в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Цель исследования: изучение практического применения теоремы Пифагора.

Задачи исследования:

1.Изучение биографии Пифагора.

2.Изучение истории открытия теоремы.

3.Исследование различных способов доказательства теоремы Пифагора.

4.Исследование Пифагоровых троек чисел.

5.Изучение практического применения теоремы Пифагора.

6.Подбор и решение задач на применение теоремы Пифагора при сдаче

ОГЭ в 9 классе.

Основные методы, которые мы использовали в своей работе – это метод исследования, систематизации и обработки данных.

Гипотеза: если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать ее в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Объект исследования: практическое применение теоремы Пифагора в современной деятельности человека.

Предмет исследования: теорема Пифагора.

 

Глава 1. Биография Пифагора

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».)

Пифагор перебрался в город Милет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток лет. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то решил вернуться домой, чтобы там создать свою школу.    Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Здесь и задумал Пифагор создать собственную философскую школу. Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей.

Пифагор умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы.

Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму», провел основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики.

В Школе Пифагора была впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину.

Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически, как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.
Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».
Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательств в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства». (Леонардо да Винчи).

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

 

Глава II. История открытия теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.

История математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о математической деятельности Пифагора. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Однако это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о Пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Очень легко можно воспроизвести способ их построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 метра от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

В заключении приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

Перевод с немецкого (около 1400 года): «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В первом русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Мы видим, что в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

Глава 3. Некоторые способы доказательства теоремы Пифагора

Глава 4. Исследование Пифагоровых троек чисел

Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки -наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа.

Пифагоровы тройки – это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство  x2 + y2 = z2.

Например, (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Оно связано также со здоровьем и равновесием (поскольку состоит из двух троек). Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. 

Ясно, что если (x, y, z) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (18, 24, 30) и т.д. являются пифагоровыми тройками.

По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.  Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек.

Свойство 1.  Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты. 

Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий делитель p, то из равенства x2 + y2 = z2 следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка – простейшая.

Следствие.  В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным. 

Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными. 

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n2 +2n+1, где n – целое число.

Эти числа – пифагоровы тройки.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из катетов должен быть кратен трём.

Один из катетов должен быть кратен четырём.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

По-видимому, вавилоняне знали, как вычислить пифагоровы числа, но как они к этому пришли – неизвестно. Как позднее это делали древние греки – известно. По существу, их доказательство в модернизированном виде воспроизводится во многих книгах.

Некоторые пифагоровы тройки:

(3; 4; 5), (5; 12; 13), (6; 8; 10), (7,24, 25), (8, 15, 17), (9,40, 41), (12, 35, 37).

Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы ученых продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

 

Глава 5. Практическое применение теоремы Пифагора

Чем больше зона покрытия, тем надежнее связь, тем больше потребителей у операторов связи. Эту проблему помогает решать теорема Пифагора.

3.Заключение

Работая по теме «Практическое применение теоремы Пифагора», мы подробно изучили биографию Пифагора, историю открытия теоремы, названной его именем, исследовали различные способы доказательства теоремы Пифагора, исследовали проблему о Пифагоровых тройках чисел, а самое главное – показали применение теоремы Пифагора во многих сферах жизнедеятельности человека. Это значит, что наш учебный проект достиг своей цели, определенной во введении, а выдвинутая нами гипотеза о том, что если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать ее в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека, — подтвердилась.

В своей работе мы использовали научно — популярную литературу, интернет – ресурсы. В ходе работы над проектом мы также пытались показать, что наука математика через теорему Пифагора связана с искусством, музыкой, философией и астрономией и другими науками.

Результатом нашей работы над данным проектом является:

1. Приобретение навыка работы с литературными источниками.

2. Приобретение навыка поиска нужного материала в Интернете.

3. Приобретение навыка работы с большим объёмом информации.

4. Приобретение опыта обработки данных и написания исследовательского проекта.

5. Было интересно почувствовать себя исследователями, но главное — нас заинтересовал процесс познания.

6. Полученные теоретические знания и опыт решения практических задач на применение теоремы Пифагора поможет нам успешно сдать ОГЭ по математике.

7. Работа над проектом поможет нам реально применить полученные знания и навыки в жизни в соответствии с нашими интересами.

4. Список литературы

1.Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»,2002, с.383

2.Волошинов А.В. «Математика и искусство», М. «Просвещение», 2000, с.117-119, с.399

3.Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993,с.223

4.Литцман В. «Теорема Пифагора»,М. «Государственное издательство физико-математической литературы», 1960, с.114

5.Погорелов А.В.«Геометрия 7-11», М.«Просвещение»1992, с.383

6.Руденко В.Н. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»1992,с.383

7.http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor/pifagor.html

8.http://moypifagor.narod.ru/use.htm

9.http://moypifagor.narod.ru/literature.htm

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1:

ЗАДАЧИ ОГЭ

ПРИЛОЖЕНИЕ 2:

Задачи на применение теоремы Пифагора в формате ОГЭ: