к основанию, к боковой стороне

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

AE = CD

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

• BD – высота, проведенная к основанию AC;
• BD – медиана, следовательно, AD = DC;
• BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β .
• BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты h_a, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

• a – основание;
• b – боковая сторона.

2. Длина высоты h_b, проведенной к боковой стороне b, равняется:

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Пример задачи

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

Площадь равнобедренного треугольника — формула, пример расчета, калькулятор

Равнобедренным треугольником называется фигура с двумя равными сторонами. В этом случае третья сторона считается основанием, а равные стороны – боковыми.

Если все стороны треугольника равны, то он считается правильным. Правильный треугольник также является равнобедренным.
Равнобедренный треугольник отличается следующими свойствами:

• Углы (α) при основании равны;
• Биссектрисы, медианы и высоты, исходящие из этих углов также равны между собой;
• Центры описанной и вписанной окружности лежат на одной прямой;
• Биссектриса, медиана и высота, проведенные из угла β к основанию b, равны между собой.

Существует множество способов нахождения площади равнобедренного треугольника. Для начала рассмотрим классический метод, для которого потребуется высота и основание. Зная эти параметры можно применить формулу площади равнобедренного треугольника:

То есть площадь равнобедренного треугольника равняется произведению высоты на половину длины основания.

Рассмотрим пример расчета площади равнобедренного треугольника.
Задача: дан треугольник, в котором основание равно 4 см, а высота 6 см. Найдите площадь.
Подставляем данные в формулу:

Площадь треугольника равняется 12 кв. см

Также найти площадь можно по формуле площади через три стороны, или как еще говорят – формуле Герона. Во многих случаях это значение находится через радиус вписанной окружности.

Найти площадь фигуры через стороны, применив метод Герона, можно по этой формуле.

Это выражение можно преобразовать в сокращенную формулу:

Рассмотрим на примере.
В равнобедренном треугольнике основание b= 3 см, а сторона a= 6 см. Подставим значения в формулу:
или
Зная стороны, мы легко определили, что S = 8,7 кв. см

Для вычислений можно использовать две равные стороны и угол между ними.

И снова смотрим пример:
Стороны a = 6 см., а угол между ними 45°. По таблице синусов синус 45° равен 0.7071.
Рассчитываем площадь:
Площадь такого равнобедренного треугольника будет равна 12,6 квадратных сантиметра

свойства, признаки и формулы / Блог / Справочник :: Бингоскул

Содержание:

1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Признаки равнобедренного треугольника.
3. Формулы равнобедренного треугольника:
   • формулы длины стороны;
   • формулы длины равных сторон;
   • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

---

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

• Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

• Дан Δ ABC.
• Из точки В проведем высоту BD.
• Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
• Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
• В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
• АВ = ВС — боковые стороны равны.
• Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
• Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
• Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

---

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

---

• Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A₁B₁C₁. Стороны AB = A₁B₁; BC = B₁C₁; AC = A₁C₁.

Доказательство от противного.

• Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
• Пусть Δ A₁B₁C₂ = Δ ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁. По предположению вершины C₁ и C₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Δ A₁C₁C₂ и Δ B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. A₁D и B₁D имеют разные точки A₁ и B₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
• Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны.
2. Сумма углов треугольника 180°.
3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

• b = 2a \sin( \beta /2)= a \sqrt { 2-2 \cos \beta }
• b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

• a=\frac { b } { 2 \sin(\beta /2) } = \frac { b } { \sqrt { 2-2 \cos \beta } }
• a=\frac { b } { 2 \cos\alpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

• L — высота=биссектриса=медиана
• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

• L = a sina
• L = \frac { b } { 2 } *\tg\alpha
• L = a \sqrt { (1 + \cos \beta)/2 } =a \cos (\beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

• L = \sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=\frac { 1 } { 2 } *bh

---

 

Смотри также:

Высота в прямоугольном треугольнике. Свойства. Как найти?

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и  называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в  раз:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол  равен ,  — высота, , . Найдите .

Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла  и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку

Отсюда

Ответ: .

2. В треугольнике угол  равен , , . Найдите высоту .

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .

Ответ: .

3. В треугольнике угол  равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .

Зато можно записать теорему Пифагора: .

Нам известно также, что:

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

и найдем .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Равнобедренный треугольник		Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство	Углы при основании равнобедренного треугольника		Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак	Два равных угла треугольника		Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство	Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника		В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак	Высота треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой		Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение: равнобедренный треугольник
	Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника
	Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак: два равных угла треугольника
	Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника
	В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой
	Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой
	Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой
	Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника

Свойство: Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника

Признак: Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника

Свойство: В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой

Признак: Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Признак: Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Признак: Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Сила основных стихий — marena99 — LiveJournal

Энергии переходят из одного состояния в другое, из плотного в более прозрачное.

Этот процесс бесконечен.

В нашем мире существуют сорок восемь энергий, из них более или менее известно о двенадцати, а о четырех основных знают практически все.

Вот о них пока и поговорим. 

Энергия Огня.

Много миллионов лет назад на Земле жили существа, лишь отдаленно напоминающие людей, но в редких случаях могли принимать человеческий облик. От тел этих существ всегда исходило свечение, а когда они вспыхивали, то их можно было заметить издалека. Они вели образ жизни, который нам бы показался очень странным.

С помощью энергии, из которой они состояли, эти существа могли делать необыкновенные вещи: изменять живую и неживую природу, создавать зримые и невидимые преграды, уничтожать видимое и невидимое, защищаться и многое другое. Сегодня таких людей назвали бы Настоящими Магами. Куда до них фокусникам и иллюзионистам!

Эти существа были мирными по своей натуре и использовали свою силу редко – только для самозащиты или для помощи другим.

 Звали их кхары – Властители Огня. Огненная стихия подчинялась им полностью и безоговорочно. С тех пор прошло много тысячелетий, но кхаров можно встретить и поныне, если очень этого захотеть. 

Кхаров можно просить о помощи и защите. А если они захотят, то могут передать вам и свои знания, с помощью которых можно управлять силой Огня.

Энергия Огня – это одновременно и живая и мертвая сила.

Сила живого Огня способна возрождать к жизни. Ее призывают днем, при свете солнца. Если вы хотите подружиться с ней, сначала надо пройти определенную подготовку.

Семь дней подряд смотрите на огонь при дневном свете и мысленно представляйте, как вы наполняетесь его силой, становясь таким же могучим, как эта сокрушительная стихия.

Затем семь дней вы должны представлять, что Огонь находится внутри вас. Пламя никогда не причинит вам вреда, если его не бояться.

Запомните закон Космоса: «Что представил – то и будет». Это относится к любому виду медитации.

После того как вы почувствуете, что Огонь подружился с вами, переходите к следующему этапу.

Найдите какое-нибудь возвышенное место, например холм. Возьмите три свечи. До полудня на вершине холма воткните свечи в землю в форме равнобедренного треугольника и зажгите их. Встаньте у свечей, поднимите правую руку вверх и скажите:

Силою живого Огня заклинаю место это, и свечам этим гореть до тех пор, пока я этого хочу. Да будет так! И так будет!

Затем разведите руки в стороны и скажите:

Пусть сила животрепещущего живого Огня войдет в меня и наполнит меня сверху донизу. Я так желаю и так хочу!

Постойте так минуты три, потом соедините руки в замок, переплетя пальцы, приложите их сначала к груди, а потом к низу живота. Затем проведите над каждой свечой правой, а затем левой рукой по семь раз подряд и погасите свечи пальцами, не задувая их (огонь вообще никогда нельзя задувать). Возьмите эти свечи с собой и зажигайте их тогда, когда вам будет необходимо наполниться силой Огня или будет нужна защита.

Сила живого Огня способна лечить, разрывать ненужные связи, восстанавливать душевный покой, защищать от врагов и непредвиденных ситуаций. Все зависит от вас: на что направите эту мощную силу – то она и будет делать.

Постарайтесь только понять одно: не всякий человек способен вместить в себя всю мощь этой разрушительной и созидающей стихии. Если во время первых упражнений вы поймете, что это не для вас, не стоит продолжать.

Мертвый Огонь во много раз опаснее живого, ведь его сила агрессивна. В магии она считается самой мощной и разрушительной энергией. Не каждый маг способен с ней справиться и уж тем более овладеть такой силой. Мертвый Огонь может уничтожить любой объект, на который направлен. Лучше держитесь подальше от такой силы и не пытайтесь «подружиться» с ней. Она старее, чем само Время, и управлять ею практически невозможно. Естественно упражнения, а тем более заклинания должны быть доступны не всем. И можете даже не спрашивать про это. Такие знания ученик должен заслужить.

 Согласно другим поверьям, огненной стихией управляли саламандры. 

Важность огня свечи состоит в том, что он помогает очищать биополе человека от всего негативного, злого, больного, накапливающегося в человеке день за днем. Если нет возможности посидеть у настоящего огня – костра или камина, – зажигайте свечи как можно чаще.

Просидев возле свечи 10-15 минут и понаблюдав за ее пламенем, его колебанием и причудливыми изгибами, вы увидите, как в воздух поднимается копоть. Это уходят прочь усталость, обиды, раздражение, боль, накопившиеся за многие дни и даже месяцы. А ведь избавляясь от душевной боли, вы одновременно избавляетесь и от боли физической – помните об этом. После таких процедур в вашу жизнь вернутся покой и равновесие, без которых невозможно жить.

Чтобы помочь близкому человеку или просто знакомому, посадите его на табуретку, а сами встаньте позади него. Зажгите свечу, отвлекитесь от всех мирских забот, расслабьтесь и попросите вашего друга тоже расслабиться.

Начинайте чистить человека с копчика: рука со свечой вращается против часовой стрелки. Если свечка потрескивает, вы нашли проблемную зону, именно здесь располагается болезнетворный очаг, из-за которого и произошли нарушения в работе организма. Рядом с этим местом свеча наверняка станет коптить. Работайте со свечой в этой зоне до тех пор, пока она не перестанет коптить и трещать.

Двигайтесь вверх вдоль позвоночника до самой макушки. Движение закончите над головой человека, на расстоянии 10-15см от макушки.

Такое очищение надо проводить три раза. Вы убедитесь, насколько ваша жизнь изменится к лучшему после этого обряда.

А вот еще один способ завоевать любовь Огня.

Зажгите свечу и держите руки максимально близко к пламени. Прислушивайтесь к себе, к своим ощущениям, почувствуйте рядом с собой стихию Огня и исходящую от нее силу. Глядя на пламя свечи, представьте себе все виды Огня. Вспомните могучее солнце, ясный солнечный день, жаркий воздух, духоту, мысленно заполните этими ощущениями комнату, в которой сидите. Представьте, что вы сами – частица этого Огня. В это же самое время следует читать такое заклинание:

Священное вечное Пламя, творение тепла и света, искра жизни, блестящая и яркая, освети мне путь истины, будь верным спутником моих исканий в мире света и тьмы. Дай мне силу и власть покорить непокоренное и исполнить неисполненное. Аминь.

Почувствуйте, как через руки в ваше тело входит сила Огня. Возьмите свечу в руки и, не отводя взгляда от пламени, определите, в какой именно сфере вашей жизни необходима помощь Огня. Это могут быть ситуации, связанные с любовью, страстью, гневом или ненавистью.

Под покровительством стихии Огня находятся спорт, любые соревнования, карьера, борьба – все, что подразумевает профессиональный успех.

Огненная мощь поможет вам и тогда, когда необходимо противостоять вредоносным воздействиям физических и астральных нападений, сохранить здоровье, силу и успех.

Когда вы освоите магию стихий, вы поймете, какая стихия импонирует именно вам. Кому-то нужно больше Огня, кому-то – Воздуха. Есть люди Земли, есть люди моря (Воды). Но в любом случае магическая сила – это соединение всех четырех стихий.

  Энергия Земли.

Гнайи – древние жители Земли. Еще их народ называют гномами. Они очень подвижны, не любят бездельничать, всегда в работе. Согласно легендам, в руках они держат золотые палочки.

С древних времен гнайи считаются покровителями силы Земли и отвечают за плодородие, здоровье и материальные ценности.

По древней легенде, этих существ никогда не было больше двенадцати. Они поделили Землю на равные территории и контролировали их. Вместе собирались, только когда наступали периоды глобальных катаклизмов, чтобы повлиять на природу, в которой после этого происходили позитивные изменения. Гнайи проводили такой обряд: вставали в ряд на открытом поле, поднимали свои золотые палочки вверх и чертили ими в воздухе древние символы, громко читая заклинания. И делали так до тех пор, пока небо не становилось безоблачным и голубым. А потом вновь расходились по своим владениям. Точнее, медленно растворялись в воздухе.

Сила древних гнайев применяется в целительстве, биоэнергетике, везде, где требуется энергетическое воздействие на здоровье человека. Но не стоит думать, что пользоваться энергией Земли легко и просто. Она смешивается со многими видами энергий, которые вместе образуют мощные энергетические потоки. От того, куда направляются эти потоки, зачем и кем, будут зависеть глобальные изменения, происходящие на нашей планете.

Гнайи, естественно, умеют управлять этими потоками, а мы еще только учимся. И – делаем ошибки, которые могут очень дорого стоить всему человечеству.

Если использовать эту энергию правильно и позитивно, то можно лечить серьезные болезни, управлять энергетическими потоками самой Земли вплоть до воздействия на гравитацию.

Вот обряд, который поможет вашему организму зарядиться энергией Земли, дарующей жизненный тонус, силу и здоровье.

Однако проводить его можно только два раза в месяц, когда Луна накапливает свою магическую силу: в 1-й и 9-й лунные дни.

С часу до двух ночи положите на свою фотографию три вещи: одну деревянную, другую металлическую и третью собственно свою – ногти или волосы. Сверху насыпьте земли, принесенной с трех полей, и скажите:

Сила этих трех полей пусть будет в фотографии моей. И пусть ко мне придут издалека здоровье, счастье и…

Дальше говорите то слово, которое первым придет вам в голову – оно и будет ключевым. Заранее его придумывать нельзя! Как только слово «выскочит» из уст, тут же добавьте:

Да будет так! И так будет!

Затем ложитесь на спину и ждите. В течение получаса вы ощутите такой прилив сил, словно вы попали под мощный энергетический поток, который наполняет вас жизненной энергией от кончиков пальцев ног до макушки. Так будет продолжаться 5-10 минут. Затем соедините руки в замок, приложите сначала к груди, потом к низу живота, а после этого встаньте на ноги.

Затем надо встряхнуться. Попрыгайте, потрясите руками и ногами, потанцуйте. И идите на улицу, чтобы разбросать предметы, лежавшие на фотографии. Деревянный бросьте в сторону большого дерева, металлический – в сторону луны, а «свое» закопайте под корни дерева. Землю, которая лежала на фотографии, надо хранить в доме в течение трех дней, а потом отнести туда, где взяли, – на три поля.

Полученной энергии вам хватит на полгода. После такого обряда из вашей жизни уйдут депрессия и тоска, вы забудете о проблемах со здоровьем. Но ошибок в обряде допускать нельзя, чтобы не получилось обратного эффекта.

Вот еще один способ найти общий язык с энергией Земли.

Встаньте, сядьте или лягте на ровную землю. Положите ладони на ее поверхность, босыми ступнями ноги почувствуйте ее тепло и мягкость. Представьте себя частью Земли, природы. Мысленно или вслух произнесите слова такого заклинания-обращения:

Священная плоть Земли, хранительница темных подземелий, владыка гор и долин, стань мне опорой. Даруй мне цель и стремление, устойчивость, прочность и восстановление. Дай мне силу и власть покорить непокоренное и исполнить неисполненное.

Почувствуйте, как в вас проникают мощные энергетические потоки, исходящие от самой Земли, как ее сила, твердость и плодородие становятся вашими.

Земная стихия отвечает за действия, поведение, поступки, все материальные стороны нашей жизни зависят от нее. А значит, после такого обряда вы сможете больше зарабатывать денег, станете более удачливым и ловким.

Конечно, вам попадались в жизни люди, к которым благоволят силы Земли. Они вроде бы ничего особенного и не делают, но им всегда везет в материальном плане, они с легкостью становятся богатыми и удачливыми. Другие же постоянно в долгах как в шелках, не сводят концы с концами. А если деньги и приходят к ним, то так же быстро и уходят.

Во многом это заслуга или вина астральных сил Земли. Исправив дисбаланс в своей земной энергетике, вы сможете изменить ситуацию в лучшую сторону.

Энергия Земли особенно ценна в целительской практике, так как помогает восстановить силы, заживить раны, защититься от грубых энергетических нападений. Также она способствует усилению сексуальности.

Под покровительством стихии Земли находятся мода, архитектура, история и сельское хозяйство. Эта сила дарует всему надежность и устойчивость. Стихия Земли также отвечает за плодородие. Если вам удастся подружиться с ней, то вы улучшите не только свое здоровье, но и здоровье своих детей или внуков, которые у вас уже есть или родятся в будущем.

  Энергия Воздуха.

Древними покровителями сил Воздуха являются айшты, создания, чем-то напоминающие эльфов. Они отвечают за разум, понимание, интеллект, за все, что связано с ментальностью.

Их вызывают, когда надо изменить ситуацию, связанную с судебными делами, успешно сдать экзамены, написать диссертацию, когда не можешь самостоятельно найти выход из сложившегося положения или же просто тогда, когда хочется пообщаться с кем-то мудрым. (Но в последнем случае надо быть настоящим магом!).

Айшты достигают не больше 10-15см в высоту, обладают даром внушения, спокойно могут считывать мысли человека и стирать ненужные. После встречи с ними многие теряют память. Способность уничтожать информацию помогает этим существам общаться с другими видами существ, в том числе с людьми, без потерь для себя.

Увидеть айштов и подружиться с ними можно следующим способом. Выйдите в солнечный день на открытую местность, найдите какое-нибудь возвышение, раскиньте руки и громко крикните: 

Да будут Свет, Тепло и День!

Потом посмотрите на небо, вглядываясь в голубую даль. Там, где плывут облака, вы сможете различить плавное движение, будто по небу расходятся волны. Присмотритесь повнимательнее – вы различите очертания маленьких человечков, порхающих в небесах. Помашите им рукой, улыбнитесь, поприветствуйте их. Может, вам повезет, и они пообщаются с вами.

И если это произойдет, то древняя сила Воздуха наполнит вас живительной энергией, которая восполнит дефицит необходимых знаний, наделит способностью анализировать и самостоятельно принимать решения.

Есть и другой способ пообщаться со стихией Воздуха. Выйдите на улицу, когда поднимется сильный ветер, а еще лучше разыграется ураган, то есть это должно быть время, когда сама природа, сама стихия Воздуха готовит серьезное испытание человеку, осмелившемуся побеспокоить ее. И благосклонно эта могучая стихия отнесется лишь к тому, кто не побоится противостоять ей.

Встаньте лицом к ветру, вдыхайте полной грудью, ощущайте, как его сила становится вашей. Почувствуйте, что вы умеете управлять этой огромной силой.

Громко скажите, стараясь попасть в ритм порывов ветра, следующие слова:

Повелитель ветров, Властитель бескрайнего неба, Опекун высот, будь мне покровом. Даруй мне гибкость и проникновение, мысль и озарение. Дай мне силу и власть покорить непокоренное и исполнить неисполненное.

Вы почувствуете, как ваши слова воздействуют на ветер, смиряют его, даже поворачивают его в нужном вам направлении и делают вас частью могучей стихии.

Стихия Воздуха олицетворяет мысль, мышление, новое знание. Она ответственна за присутствие в нашем астральном и духовном поле тех качеств, которые необходимы для интеллектуальных занятий. Память и обучение, развитие интуиции, способность к наукам и искусствам, всем видам творчества, ловкость и хитрость, аналитический ум и увлечения – вот сферы действия воздушной стихии.

Энергия Воды.

Сила Воды содержит сенситивную энергию, которая наделяет того, кто умеет ею пользоваться, даром предсказания и предвидения.

Покровителями стихии Воды являются существа, способные предсказывать будущее, они известны еще с древности как люции.

Многие их виды уже покинули Землю в связи с тем, что водный рельеф нашей планеты меняется, а вместе с ним изменяется и энергия Воды. Но какая-то часть их смогла приспособиться к новому климату, к людям, к энергетике той природной зоны, где они обитают, и такие люции поселились в водоемах. В народе их всегда называли водяными.

Хозяева Воды способны пропускать через себя водную энергию в неограниченных количествах. Они умеют управлять этой энергией и способны изменить состояние человека в лучшую сторону за короткое время.

Выглядят эти существа так: с ног до головы покрыты зеленой тиной, имеющей запах подгнившей травы, поэтому их легко можно принять за бугорок или кочку. Показываются они далеко не всем, а только тем, кто наделен магическими способностями или не боится ничего необычного.

Самое интересное в их облике – глаза: они так быстро и часто моргают, что кажется, вообще этого не делают. Смотреть в их глаза опасно, потому что эти существа обладают сильными гипнотическими способностями. Если подумать о водяном плохо и посмотреть ему в глаза, он околдует. Поэтому лучше вообще не смотреть люциям в глаза, а если уж такое произошло, то следует быстро отвести взгляд. С этими существами нужно вести себя свободно, не выказывая страха, но и не проявляя агрессии.

Если вы не испугаетесь, то встреча с люцием станет для вас настоящим приключением, а заодно вы сможете узнать свое будущее или получить ответы на какие-то важные для вас вопросы.

Чтобы наладить контакт с люциями, оденьтесь в зеленую одежду, выйдите из дому часа в четыре утра, захватив с собой банку с водой. Подойдите к водоему и встаньте у самой кромки воды, широко расставив ноги. Поднимите двумя руками банку с водой вверх и скажите:

На треть развернись, передо мной явись!

Выплесните часть воды из банки со словами: Хозяин Воды, покажись, от дел оторвись, передо мной явись!

Если вы увидите, что по воде пошла рябь, то быстро задайте интересующий вас вопрос, после чего выплесните оставшуюся в банке воду. Потом замрите и слушайте. Вы можете увидеть водяного, а можете только услышать его голос. В любом случае ничего не бойтесь и постарайтесь запомнить все, что он вам скажет.

Больше одного вопроса задавать нельзя, повторять вопрос тоже не надо. Если вам не ответили, значит, вопрос задан неправильно или то, что вы хотите, в настоящий момент вам совершенно не нужно. Не стоит расстраиваться. Возможно, ответ придет позже, так как в течение трех ночей после этого вам могут сниться вещие сны. Если вы так и не получили ответ, обряд можете повторить.

Есть и другой способ подружиться с силами Воды. Для получения энергии и магической силы этой стихии научитесь пить воду (обычную) маленькими глотками, представляя, как с каждым глотком ваш организм получает недостающую энергетику.

Способов слиться с этой стихией множество: примите ванну, выпейте чистой родниковой воды, пойдите к ручью, к реке, к морю, понаблюдайте за медленным или стремительным течением, за приливами и отливами, представьте себя частью этого вечного движения водной стихии. В это время следует произносить такое заклинание:

Безбрежная гладь прозрачного моря, Священная Мать всего живого, повелительница небесных и подземных вод, будь мне подмогой. Даруй мне сострадание и сочувствие, очищение и освобождение, веру, надежду, любовь. Дай мне силу и власть покорить непокоренное и исполнить неисполненное.

Почувствуйте, как каждая клеточка вашего тела впитывает энергию Воды. Вы должны ощутить полное единение с этой стихией. Представляйте, какие качества, принадлежащие ей, будут полезны и нужны вам.

Прежде всего, это любовь (эмоциональная и крепкая, не такая страстная, как у Огня, но продолжительная, спокойная, мудрая и стабильная). Такая любовь приносит чувство уверенности в завтрашнем дне, внутреннее удовлетворение.

Стихия Воды – самый лучший помощник в деле примирения любящих сердец и укрепления любви, создания для нее необходимых условий, после чего даже время не сможет повлиять на ваши чувства.

Под покровительством стихии Воды находятся лучшие качества человека: духовность, вера, преданность и верность. Энергия этой стихии незаменима для поддержания любых дружеских отношений и союзов, она дарует нам отдых, спокойствие и удовлетворение.

Из личных качеств, стихия Воды отвечает за интеллект, интуицию, гибкость мышления, умение идти на компромиссы и добиваться успеха там, где сила и власть бессильны. Это – стихия профессиональных игроков, которые считают игрой саму жизнь. Если это вам подходит, то обращайтесь именно к этой стихии, проводите связанные с ней обряды.

В практической магии энергия Воды наиболее ценна для отражения психических нападений, очищения от негатива, избавления от сглаза и порчи, создания мысленных образов, прорицания и предсказания. Как ключевая вода очищает от грязи тело, так ее энергия очищает от зла душу.

Прорицатель смотрит на поверхность воды, налитой в ритуальный кубок, и видит там не только события реального мира, но и картины будущих событий.

Если когда-нибудь у вас обнаружится дефицит энергии, связанной со стихией Воды, то стоит только представить бушующий океан или ровную гладь озера (кому как нравится), мысленно произнести заклинание – и вы сразу почувствуете, как сила Воды избавит вас от всего дурного, притянет к вам то, о чем вы мечтаете, защитит от проблем и переживаний.

Ну и, конечно, каждый человек вольно или невольно отдает предпочтение своей стихии:

Овны любят Огонь, Тельцы тянутся к Земле, Близнецы любят летать, а Рак любит поплавать в море, или, на худой конец, поваляться в ванне. Также и для оставшихся знаков Зодиака.

источник

Оригинал записи и комментарии на LiveInternet.ru

Как найти высоту острого / тупого равнобедренного треугольника

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Высота треугольника (Высота). Калькулятор

Если вы ищете простой инструмент для вычисления высоты в любом треугольнике, вы попали в нужное место — этот калькулятор высоты треугольника — инструмент для вас.Если вы ищете формулы высоты треугольника для особых треугольников, таких как прямоугольный, равносторонний или равнобедренный треугольник, или любой разносторонний треугольник, этот калькулятор — беспроигрышный вариант — он может рассчитать высоту треугольника, а также стороны треугольника, углы, периметр. и площадь. Не ждите больше, попробуйте!

Если вам все еще интересно, как найти высоту равностороннего треугольника или какова формула для высоты без заданной площади, продолжайте прокручивать, и вы найдете ответ.

Какая высота у треугольника?

Каждая сторона треугольника может быть основанием, и из каждой вершины вы можете провести линию, перпендикулярную линии, содержащей основание — это высота треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты, которые также называются высотами . Рисование высоты называется понижением высоты в этой вершине.

Как найти высоту треугольника — формулы

Есть много способов найти высоту треугольника.Самая популярная — формула с использованием площади треугольника, но существует и множество других формул:

1. Заданная площадь треугольника

Известное уравнение площади треугольника можно преобразовать в формулу высоты прямоугольного треугольника:

• площадь = b * h / 2 , где b — основание, h — высота
• так h = 2 * площадь / b

А как найти высоту треугольника без площади? Самые популярные формулы:

2. Даны стороны треугольника

Он использует уравнение, называемое формулой Герона, которое позволяет вычислить площадь, если заданы стороны треугольника.Затем, когда вы знаете площадь, вы можете использовать основное уравнение, чтобы узнать, какова высота треугольника:

• Формула Герона: площадь = 0,25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c))
• , поэтому h = 0,5 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)) / b

3. Даны две стороны и угол между

Используйте тригонометрию или другую формулу для вычисления площади треугольника:

• площадь = 0.5 * a * b * sin (γ)
  (или площадь = 0,5 * a * c * sin (β) или площадь = 0,5 * b * c * sin (α) , если указаны разные стороны)
• h = 2 * 0,5 * a * b * sin (γ) / b = a * sin (γ)

Если ваша фигура представляет собой треугольник особого типа, прокрутите вниз, чтобы найти формулу высоты треугольника. Упрощенные версии общих уравнений легче запомнить и вычислить.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны, а все три угла равны 60 °.Все три высоты имеют одинаковую длину, которая может быть рассчитана по формуле:

• h △ = a * √3 / 2 , где a — сторона треугольника

В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, серединные перпендикуляры и медианы совпадают.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя сторонами равной длины. Есть две разные высоты равнобедренного треугольника; формула для вершины:

• hᵇ = √ (a² - (0.5 * b) ²) , где a — катет треугольника, а b — основание. Формула получена из теоремы Пифагора

  .

• Высоты базовых вершин могут быть вычислены, например, из

  • формула площади : hᵃ = 2 * площадь / a = √ (a² - (0,5 * b) ²) * b / a
  • тригонометрия : hᵃ = b * sin (β)

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним углом, равным 90 °.Две высоты легко найти, поскольку ноги перпендикулярны: если более короткая нога является базой, то более длинная нога является высотой (и наоборот). Третью высоту треугольника можно рассчитать по формуле:

• hᶜ = площадь * 2 / c = a * b / c

Как найти высоту треугольника с помощью этого калькулятора высоты треугольника?

Прочитав наше объяснение, мы почти уверены, что теперь вы понимаете, как найти высоту треугольника без заданной площади или какова высота треугольника.Но давайте посмотрим на простой пример, чтобы показать вам гибкость нашего инструмента:

1. Выберите тип треугольника . Предположим, мы хотим вычислить высоту разностороннего треугольника, поэтому мы не меняем параметр по умолчанию.
2. Введите указанные значения . Это могут быть три стороны или две стороны и угол, давайте остановимся на первом варианте: a = 6 дюймов, b = 14 дюймов, c = 17 дюймов.
3. Калькулятор высоты треугольника отобразил все три высоты — они равны 13.17 дюймов, 5,644 дюйма и 4,648 дюйма. Более того, калькулятор показал нам все углы треугольника, площадь и периметр. Это потрясающе!

Как определить высоту треугольника в трех различных ситуациях

В тригонометрии высоту треугольника можно определить разными способами в зависимости от того, прямоугольный ли это треугольник, равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами), или равносторонний треугольник.

1. Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прежде чем мы начнем, вот что вам нужно знать о прямоугольных треугольниках.Прямоугольный треугольник имеет три стороны: гипотенузу, высоту и основание треугольника. Основание и высота прямоугольного треугольника — это всегда стороны, прилегающие к прямому углу, а гипотенуза — самая длинная сторона.

Высоту прямоугольного треугольника можно определить по формуле площади:

Если заданная площадь неизвестна, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту прямоугольного треугольника. Вот что утверждает теорема Пифагора, учитывая, что c — гипотенуза, а a и b — две другие стороны:

Давайте возьмем единицы с рисунка выше и подставим длину основания и гипотенузы, чтобы найти недостающую высоту:

2.Нахождение высоты непрямого треугольника

К сожалению, вы не можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту равнобедренного треугольника или высоту равностороннего треугольника (где все стороны треугольника равны). Вместо этого вам придется провести перпендикулярную линию через основание треугольника, чтобы образовался прямой угол:

Эта линия представляет высоту этих неправильных треугольников. После того, как вы сформировали эту линию, вам нужно будет использовать формулу Герона, чтобы найти площадь всего треугольника.

Формула Герона

Первый шаг формулы Герона — вычисление половины периметра треугольника. В этом случае s представляет половину периметра, а a, b, и c — стороны:

После того, как вы определили s , используйте следующую формулу для вычисления площади треугольника. Опять же, две стороны — это a и b , а самая длинная сторона (гипотенуза) — c :

.

Давайте подставим длины сторон этого равнобедренного треугольника, чтобы найти площадь треугольника:

Теперь мы заменим s в формуле площади непрямого треугольника.

Использование площади для определения высоты треугольника

Теперь, когда вы знаете площадь изображенного выше треугольника, вы можете подставить его в формулу треугольника A = 1 / 2bh, чтобы найти высоту треугольника. В этом случае основание будет равно половине расстояния пяти (2,5), так как это самая короткая сторона треугольника.

Формулы высоты главного треугольника

Определение высоты треугольника — это многоэтапный процесс, который может сбивать с толку. Однако его освоение поможет вам изучить различные типы формул площади, такие как формула цапли и A = 1 / 2bh.В нем также показано, как использовать теорему Пифагора и формулы периметра треугольника для определения других величин внутри треугольника.

Дополнительные домашние задания по математике

Как найти высоту треугольника (правого, равностороннего, равнобедренного …)

Треугольники имеют три высоты, каждый связан с отдельным основанием. Независимо от того, имеется ли до трех разных высот, у одного треугольника всегда будет только одна мера площади. В некоторых треугольниках, таких как прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники, определить высоту легко одним из двух способов.

Как найти высоту треугольника

Каждый треугольник имеет три высоты или высоты, потому что у каждого треугольника три стороны. Высота треугольника — это длина перпендикулярного отрезка прямой, начинающегося на одной стороне и пересекающего противоположный угол.

В равностороннем треугольнике, таком как △ СОЛНЦЕ ниже, каждая высота — это отрезок прямой, разделяющий сторону пополам, а также биссектрису противоположного угла. Это произойдет только в равностороннем треугольнике.

По определению равностороннего треугольника вы уже знаете, что все три стороны равны, и все три угла равны 60 °. Если сторона помечена, вы знаете ее длину.

У нашего яркого маленького △ СОЛНЦА одна сторона обозначена 24 см, поэтому все три стороны равны 24 см. Каждый отрезок линии, показывающий высоту с каждой стороны, также делит равносторонний треугольник на два прямоугольных.

Формула высоты треугольника

Ваша способность разделить треугольник на прямоугольные или распознать существующий прямоугольный треугольник — ваш ключ к определению высоты исходного треугольника.Вы можете взять любую сторону нашего великолепного △ СОЛНЦА и увидеть, что отрезок линии, показывающий его высоту, делит сторону пополам, так что каждая короткая ножка только что созданного прямоугольного треугольника составляет 12 см. Мы уже знаем, что гипотенуза равна 24 см.

Зная все три угла и две стороны прямоугольного треугольника, какова длина третьей стороны? Это работа для теоремы Пифагора :

Использование теоремы Пифагора

Ориентируйтесь на длину; углы не важны в теореме Пифагора.Подключите то, что вы знаете:

а2 + Ь2 = с2

122 + b2 = 242

144 + b2 = 576 см2

b2 = 432 см2

b2 = 432 см2

b = 20,7846096908 см

Большинство людей с радостью скажут, что высота (сторона b) приблизительно равна 20,78, или b ≈ 20,78.

Вы можете решить для себя, сколько значащих цифр нужно вашему ответу, поскольку десятичная дробь будет продолжать повторяться. Не забудьте использовать для ответа линейные измерения!

Решение теоремы Пифагора работает с прямоугольными, равнобедренными и равносторонними треугольниками.На разносторонних треугольниках не получится!

Используя формулу площади, чтобы найти высоту

Формула для площади треугольника: 12 основание × высота, или 12 bh. Если вы знаете площадь и длину основания, вы можете рассчитать высоту.

В отличие от метода теоремы Пифагора, если у вас есть две из трех частей, вы можете найти высоту для любого треугольника!

Здесь у нас есть scalene △ ZIG с базой в 56 ярдов и площадью 987 квадратных ярдов, но никаких подсказок об углах и двух других сторонах !:

Вспоминая формулу для площади, где A означает площадь, b — основание, а h — высота, мы вспоминаем

А = 12 ч

Это можно переставить с помощью алгебры:

А = bh3

ч = 2 (Ab)

Введите наши известные значения:

h = 2 (987 квадратных ярдов 56 ярдов)

ч = 2 (17.625 ярдов)

h = 35,25 ярда

Помните, как мы говорили, что у каждого треугольника три высоты? Если мы возьмем △ ZIG и повернем его по часовой стрелке так, чтобы сторона GZ была горизонтальной, и построим высоту до I, мы сможем получить высоту и для этой стороны.

ч = 2 (Ab)

h = 2 (987 квадратных ярдов 57,255)

ч = 2 (17,2385)

ч = 34,477

Следующий урок:

Гипотенуза: определение и формула

Равнобедренный треугольник — математический путь

Равнобедренный треугольник представляет собой многоугольник с тремя сторонами и с двумя равными сторонами .Другая неравная сторона называется основанием треугольника.

Следовательно, два угла также будут равными (α), а другие — разными (β), т.е. это угол, образованный двумя равными сторонами ( a ).

Двумя частными случаями равнобедренных треугольников являются равносторонний треугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник .

Высота равнобедренного треугольника

Высота ( h ) равнобедренного треугольника (или высота ) может быть вычислена по теореме Пифагора.Стороны a , b / 2 и h образуют прямоугольный треугольник. Стороны b / 2 и h являются катетами, а и — гипотенузами.

По теореме Пифагора:

И получается, что высота h составляет:

В равнобедренном треугольнике высота , соответствующая основанию ( b ), также является биссектрисой, серединным перпендикуляром и средним углом.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется из основания b (неповторяющаяся сторона) и высоты ( h ) треугольника, соответствующего основанию. Площадь является произведением базы и высоты, разделенной на два, и ее формула следующая:

.

Периметр равнобедренного треугольника получается сложением трех сторон треугольника.Имея две равные стороны, периметр в два раза больше повторяющейся стороны ( a ) плюс другая сторона ( b ).

Если повторяющаяся сторона ( a ) и угол двух равных сторон известны, другая сторона ( b ) должна быть найдена по закону косинусов .

Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице. Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

Triangle-total.rar или Triangle-total.exe

Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

Решенные упражнения

Упражнение в области равнобедренного треугольника

Определите площадь равнобедренного треугольника , зная две его равные стороны ( a = 3 см) и неравную, длина которой составляет 2 см ( b = 2 см).

Какая у него площадь ?

Рассчитайте площадь по приведенной выше формуле, умножив основание на высоту:

Площадь равнобедренного треугольника равна 2.83 см ² .

Упражнение по периметру равнобедренного треугольника

Это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами, a = 3 см, а другая сторона b = 2 см.

Каков его периметр ?

Чтобы вычислить этот периметр , мы добавляем повторяющуюся сторону, умноженную на два, плюс неравную сторону, то есть:

Получается, что периметр равнобедренного треугольника составляет 8 см .

Упражнение на высоту равнобедренного треугольника

Найдите стороны и периметр равнобедренного треугольника, высота которого относительно неровной стороны составляет h = 6 см, а противоположный угол, также неровный, 40 °.

Найдено по тригонометрическим соотношениям из одного прямоугольного треугольника, на который делится равнобедренный треугольник по высоте h .

Отрезок, противоположный углу β / 2, который является отрезком b /2, мы нашли его через касательную:

Сторона b меры 4.36 см.

Образуется гипотенуза прямоугольного треугольника, т. Е. Сторона и находится по косинусу:

Сторона и имеет размер 6,38 см.

Наконец, периметр треугольника составит:

Получается, что периметр этого равнобедренного треугольника будет составлять 17,12 см.

Математическая сцена — Треугольники — Урок 1

Правила урока 1 для треугольников

---

Обычно вершины треугольника обозначают заглавными буквами. буквы и боковые стороны строчными буквами.

Также принято маркировать сторону, противоположную углу A, знаком малый a, сторона, противоположная углу B, с малым b и сторона, противоположная углу C с маленькой c (см. диаграмму).

Стороны, образующие ответвления угла A, примыкают к A. Сторона, на которой стоит треугольник, называется основанием треугольника.

сумма углов треугольника 180 °. В этом легко убедиться, нарисовав прямую прямая, проходящая через угол B и параллельная стороне b.(см. диаграмму).

Углы, образованные этой линией, равны A, B и C (по правилу что чередующиеся углы между параллельными линиями равны).
Также A + B + C = 180, так как вместе они составляют прямую линию.

Прямая из угла B, перпендикулярная базовой линии b, называется высота треугольника. Высота обозначена буквой h на диаграмме ниже.

Ранее вы узнали, что площадь треугольника задается формула.

Площадь F = × b × h

Буква G используется здесь для обозначения точки, где высота и базы пересекаются. Эту точку иногда называют перпендикулярной проекцией точку B на прямую b.

Два треугольники называются подобными, если все углы одного треугольника равны все углы другого. Если мы хотим показать, что два треугольника похожи достаточно показать, что два угла равны.Если два угла равны, это Очевидно, что третий угол в каждом должен быть равен.

Треугольники на диаграмме выше похожи. Отсюда следует, что отношения между соответствующими сторонами равны одно и тоже.
Другими словами:

и

Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием этих соотношений.

Пример 1

Треугольники на схеме похожи на равные углы обозначены таким же образом.Мы хотим рассчитать длину сторон помечены как x и y.

Начнем с маркировки треугольников, чтобы мы могли видеть больше. легко, какие стороны соответствуют друг другу.

Мы можем записать следующие соотношения:

к / к = 36/33 = 24 / у = б / ц

Это означает, что y / 24 = 33/36
и, следовательно, y = 24 × 33/36 = 22 см.

Также a / b = х / 36 = 20/24 = а / б

Это дает нам x = 36 × 20/24 = 30 см.

Еще одно правило, использующее пропорции в треугольниках можно вывести.

Проводим прямую, разрезающую с двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне. Эта линия разделяет треугольник на две части, верхняя часть представляет собой треугольник, похожий на ABC, оригинальный треугольник. Обозначим стороны этого меньшего треугольника значком буквы x, y и z.Следующее сейчас правда:

Проведенная линия разделяет сторону c на две части, x и r, и сторону a на z и t. Подставляя x + r для c и z + t in для a в приведенном выше уравнении, мы получаем следующий результат:

Мы показали, что любая строка через две стороны треугольника и параллельно третьей стороне делит эти два стороны в таком же соотношении.

Пример 2

Две стороны треугольника ABC, AB и BC равны 30 см. длина и третья сторона AC, базовая линия, составляет 42 см.Проводим линию через точку X на AB, параллельную основанию, длиной 14 см. Найдите длину линий BX и AX.

¹⁴ / ₄₂ = ^XB / ₃₀

XB = ^{30 × 14} / ₄₂ = 10 размеры в см

AX = 30 — 10 = 20 размеры в см

В большинстве случаев, если мы хотим узнать размер углов треугольника нам нужно либо нарисовать точную диаграмму, либо Измерьте углы или воспользуйтесь правилами тригонометрии.

Равносторонний. Равнобедренный. Прямоугольный.

В равностороннем В треугольнике все стороны равны, а все углы равны 60.

В равнобедренном треугольнике две стороны одинаковой длины и два угла (углы, образованные основанием линии) равны. Если мы знаем один угол в равнобедренном треугольнике, мы можем найти другие углы. Перпендикуляр от вершины к базовой линии (высоте) в равнобедренный треугольник делит треугольник на два равных прямоугольных треугольники.

Стороны права угловой треугольник ABC удовлетворяет правилу Пифагора, то есть ² + b ² = c ² .

Также обратное правда. Если соблюдается правило Пифагора, треугольник прямоугольный.

Мы можем проверить, что Третий треугольник на приведенной выше диаграмме расположен под прямым углом с использованием правила Пифагора.

5 ² + (53) ² = 10 ²

^{25 + 75 = 100}

Обратите внимание, что длина гипотенуза (10 см) в этом треугольнике вдвое больше длины кратчайшей стороны (5 см).
В этом случае углы треугольника всегда равны 30, 60 и 90 °.

Пример 3

Найдите площадь равностороннего треугольника со сторонами длиной 20 см.

Начнем с рисования высоты h треугольника. Это разделяет треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Используя правило Пифагора, мы можем рассчитать h.

ч ² + 5 ² = 10 ²

ч ² = 10 ² -5 ² = 100 — 25 = 75 = 5 ² × 3

ч = 53 ≈ 8.7

Площадь A = × 10 × h ≈ × 10 × 8,7 ≈ 43 см ²

Пример 4

Руки равнобедренного треугольника 30 см. в длину, а базовая линия — 42 см. Найдите длину линии, проведенной через две равные стороны, параллельной основание и 10 см от основания.

Сначала делим треугольник на два правых угловые треугольники, нарисовав высоту h от вершины до основания.Сейчас мы используем правило Пифагора для расчета высоты.

ч ² + 21 ² = 30 ²

ч ² = 30 ² -21 ² = 459

ч ≈ 21,4

y = h — 10 ≈ 21,4 — 10 ≈ 11,4 см

Использование правила отношения для подобных треугольников получаем:

^y / _h = ^x / ₂₁

x ≈ ^{21 × 11.4} / _21,4 ≈ 11 см

Следовательно, длина параллельная линия 22 см .

Нарисуйте прямоугольный треугольник с помощью гипотенуза AB в качестве базовой линии, так что угол при вершине C равен 90. Мы затем нарисуйте высоту от C до AB, как показано на диаграмме:

Эта линия делит угол при вершине на два части (не равны, если треугольник не равнобедренный).Если одна часть — x, тогда другой должен быть 90− x. Легко видеть, что два базовых угла должны составлять 90 — x (на справа) и x (слева) как сумма углов в любом треугольнике всегда равна 180.

Обратите внимание, что все углы в обоих меньших треугольники, а также в исходном треугольнике ABC равны и равны 90, х и 90 — х. Следовательно, эти три треугольника похожи.

Следующее правило выполняется для всех прямоугольных треугольники:

высота, проведенная от вершины до гипотенузы, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, которые похожи на исходный треугольник.

Это дает три набора соотношений.

Используя греческие буквы a для стороны, противоположной угол

, обозначенные x и b, для стороны, противоположной углу, обозначенному 90− x, как показано на на диаграмме получаем следующее:

Два меньших треугольника похожи, поэтому

Исходный треугольник и треугольник с верхним углом x похожи поэтому

Исходный треугольник и треугольник с верхним углом 90 − x аналогичный

Пример 5

Прямоугольный треугольник обозначен две более короткие стороны длиной 7 см и 10 см.Высота, нарисованная на гопотенузе делит треугольник на два треугольника. Найдите площадь этих двух треугольников.

Сначала воспользуемся Пифагором для вычисления длины гипотенузы, c.

c ² = 10 ² + 7 ² = 149, Тогда c ≈ 12,2 см

Затем мы используем одно из приведенных выше соотношений для вычисления a.

^a / _c = ^a / _a

a = a ² / _c ≈ 10 ² / _12.2 ≈ 8,2 см

А потом б.

b ≈ 12,2 — 8,2 ≈ 4 см

Теперь нам нужно рассчитать высоту h.

^b / _c = ^h / _a

h = ^ab / _c ≈ ^{10 × 7} / _12,2 ≈ 5,7 см

Области теперь легко найти.

Площадь F ₁ = × b × h ≈ × 4 × 5,7 ≈ 11,4 см ²

Площадь F ₂ = × a × h ≈ × 8.2 × 5,7 ≈ 23,4 см ²

---

Попробуйте пройти тест 1 по треугольникам.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

Площадь треугольника — веб-формулы

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами, который можно разделить на следующие типы:

· Равносторонний треугольник имеет равные стороны и равные углы.

· Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла.

· Разносторонний треугольник имеет три неравные стороны и три неравных угла.

· Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол (90 °).

· Остроугольный треугольник имеет все углы менее 90 °.

· Тупоугольный треугольник имеет один угол больше 90 °.

Периметр треугольника = Сумма трех сторон.

На рисунке рядом с ΔABC периметр представляет собой сумму AB + BC + AC.

Площадь треугольника определяется как:

A = ½ × основание × высота

Любая сторона треугольника может считаться его основанием.

Тогда длина перпендикулярной линии от противоположной вершины принимается за соответствующую высоту или высоту.
Таким образом, на приведенном выше рисунке площадь представлена ​​как: ½ × AC × BD .

Дополнительные формулы для определения площади треугольника:

Площадь треугольника = √ (s (sa) (sb) (sc)) по формуле Герона (или формуле Героя), где a , b и c — длины сторон треугольника, и s = ½ ( a + b + c ) — это полупериметр треугольника.

Площадь равностороннего треугольника

A = √ (3) · ¼ · сторона, где сторона = a = b = c

Площадь равнобедренного треугольника

A = ¼ · b · √ (4a ² — b ² )

Площадь прямоугольного треугольника

A = ½ × Произведение сторон, содержащих прямой угол.

Если даны две стороны и угол между ними, то площадь треугольника можно определить по следующей формуле:

Площадь = ½ · a · b · sinC = ½ · b · c · sinA = ½ · a · c · sin B

Пример 1: Найдите площадь треугольника с основанием 14 см и высотой 10 см.

Решение :

b = 14 см

h = 10 см

A = ½ · 14 · 10 = 70 см ²

Пример 2: Найдите площадь треугольника, стороны и угол между которыми задаются следующим образом:

a = 5 см и b = 7 см

C = 45 ^o

Решение:

Площадь треугольника = ½ · a · b · sinC

Площадь = ½ × 5 × 7 × 0.707 (поскольку sin 45 ° = 0,707)

Площадь = ½ × 24,745 = 12,3725 м ²

Пример 3: Найдите площадь (в м ² ) равнобедренного треугольника со сторонами 10 м и основанием 12 м.

Решение:

Площадь равнобедренного треугольника определяется по:

A = ¼ · b · √ (4a ² — b ² )

A = ¼ · 12 · √ (4 (10) ² — (12) ² )

A = 48 м ²

Пример 4: Найдите площадь треугольника со сторонами 8, 9 и 11 соответственно.Все единицы измеряются в метрах (м).

Решение :

Дано: стороны a = 8, b = 9 и c = 11

Согласно формуле Херона площадь треугольника может быть определена по следующей формуле:

A = √ (s (s-a) (s-b) (s-c))

Прежде всего, нам нужно определить s, который является полупериметром треугольника:

s = ½ ( a + b + c ) = ½ ( 8 + 9 + 11 ) = 14

Теперь, подставив значение полупериметра в формулу Герона, мы можем определить площадь треугольника:

A = √ ( s · ( s-a ) · ( s-b ) · ( s-c ))

A = √ ( 14 · ( 14-8 ) · ( 14-9 ) · ( 14-11 ))

A = √ ( 1260 ) = 35.50 м ²

Пример 5: Фермер Муннабхай владеет треугольным участком земли. Длина забора АВ — 150 м. Длина забора БЦ 231 м. Угол между ограждением AB и ограждением BC составляет 123º.

Сколько земли в собственности фермера Муннабхаи?

Решение: Прежде всего мы должны решить, какие длины и углы нам известны:

• AB = c = 150 м
• г. до н.э. = а = 231 м
• и угол B = 123º

Для определения площади земли мы можем использовать следующую формулу:

Площадь = ½ · c · a · sin B

Площадь = ½ × 150 × 231 × sin (123º)

Площадь = 17,325 × 0.8386

Площадь = 14 529 м ²

Таким образом, у фермера Муннабхаи 14 529 м 90 499 2 90 500 земли.