Вектордың координаттары: Векторлар және оларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 05.10.197210.01.2022 by alexxlab

Содержание

Векторлар және оларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары

Оқу мақсаттары

9.2.1.2-векторларды қосу, азайту, векторды скалярға көбейту;

9.2.1.3-вектордың координаталар осіне проекциясын анықтау, векторды құраушыларға жіктеу

Ойлау дағдыларының деңгейі

білу және түсіну, қолдану

Теориялық материалдарға шолу:

Физикалық шамалар 2-ге бөлінеді. Олар: векторлық және скаляр.

Скаляр шамалар — бұл физикалық шама, бірақ оның бағыты жоқ. Скаляр шамаларға дененің массасы, көлемі, ұзындығы, ауданы, т.б. шамалар жатады.

Векторлық шамалар — физикалық шама, оның өлшемі де, бағыты да болады.

Векторлық шамаларға күшті, орын ауыстыруды, жылдамдық, үдеуді және тағы басқа шамалар жатады. Мысалы, денеге әсер ететін күш — вектор. Нысанның орын ауыстыруы да вектор болып табылады, өйткені жылжуды есептеу кезінде белгілі бір бағыттағы қашықтық ескеріледі.

Өзінің сандық мәнімен қоса кеңістіктегі бағытымен де сипатталатын шамалар векторлық шамалар немесе векторлар деп аталады. Белгіленуі: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{a}$.

Екі немесе одан да көп векторлар параллель немесе бір түзудің бойында жатса, олар коллинеа́р векторлар деп аталады. Коллинеар векторлар бір бағытта немесе қарама – қарсы бағытта болуы мүмкін.

Егер векторлар бір түзудің бойында және бір бағытта жатса, оларды қосу үшін бірінші вектордың соңымен екінші вектордың басы қосылады. (Төмендегі суреттегі 1-мысалда көрсетілген)

Векторлар бір жазықтықта, бірақ қарама-қарсы бағытта орналасса, оларды бір-бірінен азайтамыз. Векторларды қосу үшін бірінші вектордың соңымен екінші вектордың басы қосылады.

(Төмендегі суреттегі 2-мысалда көрсетілген)

Векторлар бір түзудің бойында жатпайтын болса, бір-біріне қатысты әртүрлі бұрышпен жататын жағдайлар болады. Бұл жағдайда векторларды қосудың екі түрі бар. Олар: үшбұрыштар және параллелограммдар әдісі.

Үшбұрыштар әдісінде берілген векторларды бірінші вектордың ұшы екінші вектордың басымен түйісетіндей етіп, өз-өзіне параллель көшіріледі. Сонда бірінші вектордың басынан екінші вектордің ұшына қарай жүргізілген вектор сол екі вектордың қосындысын береді. (Төменде суреті көрсетілген)

Екі векторды бастарын түйістіре параллелограммның екі қабырғасы болатындай етіп өз-өзіне параллель көшіреміз де, параллелограмм саламыз. Сонда екі вектордың шыққан нүктесінен жургізілген бағыты көрсетілген диагональ қорытқы вектор

болып табылады . Векторларды осылайша қосу параллелограмм ережесі бойынша қосу деп аталады. (Төменде суреті көрсетілген)

Төмендегі суреттерде векторларды кезекпен қосу керек. Яғни, ретімен векторлардың ұзындығын өзгертпей, қойып шығамыз. Ал бұл шетте R деген қорытқы векторы. Берілген 3 жағдайда да қорытқы векторының мәнінің өзгермегендігін көрсек болады. Бұл математикадағы қосындылардың орнын ауыстырғанымен қосындының мәні өзгермейді деген тұжырымға сәйкес келеді.

Векторларды азайту әдісі қосу әдісіне ұқсас . Екі векторды өздеріне параллель көшіріп, бастары бір нүктеден шығатындай етіп орналасады. Содан соң олардың ұштарын азайтқыштан азайғышка қарай бағытталған вектормен қосылады. Пайда болған $\overrightarrow {c} $ векторы қорытқы вектор болады.

Бір жазықтықта жатқан векторларды оңай қосу үшін құраушыларға жіктеледі. Төменде берілген вектордың х осьіндегі проекциясын алу үшін, көлеңке түсіру арқылы көрсек болады. Немесе у осьіндегі проекциясын алу үшін, у осьіне қарсы жарық түсіріп, вектордың көлеңкесі есептеледі. Төмендегі суреттегі қызылмен сызылған вектордың у және у осьтеріндегі проекциясы.

Векторлар құраушыларға байланысты оң және теріс векторлар болып екіге бөлінеді.

Төмендегі суреттегі бірінші мысалдағы $\overrightarrow {a} $ вектор оң. Себебі, бұл вектордың бағыты х және у осьтерімен бағыттас. Ал екінші суретте $\overrightarrow {b} $ векторының бағыты х осьімен бағыттас, бірақ у осьі үшін қарама-қарсы. Сондықтан бұл теріс вектор. Ал үшінші суретте $\overrightarrow {c} $ векторының у осьінің бағытына қарама-қарсы болса, х осьіндегі бағыты 0-ге тең.

Оқу-әдістемелік ресурстар:

1.   Башарұлы Р., Шүйіншина Ш., Сейфоллина К. Физика 9 сынып, Атамұра баспасы Алматы 2019.
2.   Казахбаева Д.М., Насохова Ш., Бекбасар Н. Физика 9 сынып, Мектеп баспасы Алматы 2018.
3.   Закирова Н., Аширов Р. Физика 9 сынып, Арман-ПВ баспасы Алматы 2019.

Векторлар және векторларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары.

Проекцияларға амаладар қолдану

«Бекітемін»

Мектеп директорының оқу ісі жөніндегі орынбасары: М.Камалова

Күні: 06.09.13

Сыныбы: 9

Пәні:физика

§2,3.Векторлар және векторларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары. Проекцияларға амаладар қолдану

Сілтеме

Жоспар

Жалпы мақсаты

Векторлар және векторларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары. Проекцияларға амаладар қолдану жайлы мағлұмат беру
Векторлар және векторларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары. Проекцияларға амаладар қолдана білуге үйрету
өзін-өзі бағалауға баулу

Күтілетін нәтиже

Векторлар және векторларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары. Проекцияларға амаладар қолдану жайлы мағлұмат алады
Векторлар және векторларға амалдар қолдану. Вектордың координаталар осьтеріндегі проекциялары. Проекцияларға амаладар қолдана білуге үйренеді
өзін-өзі бағалай алатын болады

Негізгі идеялар

Өзінің сандық мәнімен қоса кеңістіктегі бағытымен де сипатталатын шамалар векторлық шамалар деп аталады.

Кеңістікте белгілі бір бағыты болмайтын, тек сандық мәнімен ғана сипатталатын шамалар скалярлық шамалар деп аталады.

Векторларды қосу. Бірнеше векторларды қосу.

Векторларды азайту.

Тапсырмалар

Топтық жұмыс «Жигсо»

Тапсырмалар

Жұптық жұмыс «Пилот — Штурман»

Тапсырмалар

Жеке жұмыс «Блум таксономиясы»

Сабақ бойынша мұғалімнің жазбалары: (мұғалім және оқушы немен айналысады)

І.Ұйымдастыру (2 минут)

1. Сәлемдесу
2. Сынып оқушыларына жағымды ахуал туғызу
3. Түгелдеу

1. 2. Топқа бөлу (1,2,3 сандарына байланысты 3 топқа бөлінеді)

ІІ. Үй тапсырмасын сұрау (4 минут)

1. Табиғатта абсолют тыныштықта тұратын дене бола ма?

2. Тыныштықтың салыстырмалы болатынын қандай мысалдармен түсіндіруге болады?

3. Ғылымда материя деп нені айтады? Оның негізгі қасиеті қандай?

4. Материяның қасиеттерін сипаттайтын заңдар қалай тағайындалады?

ІІІ. Талқылау үшін сұрақтар беріледі (3 минут)

Вектор дегенді қалай түсінесіңдер?
Векторларға қандай амалдар қолдану тиімді деп ойлайсыздар?

ІҮ. Топтық жұмыс «Жигсо» (15 минут)

Сіздің тобыңызда 5 рөлді: лидер, баяндамашы, хатшы, уақыт сақшысы және бақылаушыларды анықтаңыз. Жұмыс төмендегідей жоспармен жүреді:

Берілген мәтінді оқып, топпен бірлесе отырып, талқылайды және әр топтың бақылаушысы жасаған жұмыстарға сәйкес бақылау парағын жүргізеді.

Бақылаушының бағалау парағы

Көш

басшы

Хатшы

Баяндамашы

Уақыт сақшысы

Тақырыптың ашылуына үлес қосу

Міндетін атқару

Топтық жұмысқа атсалысуы

Әр оқушы өзіне жүктелген рөлдің міндеттерін атқарады.

Топ пікірлерін тыңдау.

Ү. Жұптық жұмыс «Пилот — Штурман» (5 минут)

(Штурман – басқарушы, пилот – орындаушы)

Берілген суретті түсіндіру, яғни штурман айтып отырады, пилот қағаз бетіне түсіріп отырады.

1) 2) 3)

Жұптың пікірлерін тыңдау,барлық айтылған ой-пікірлерді бағалаудың мақсатына сәйкестендіру

VІ. Жеке жұмыс «Блум таксономиясы» (13 минут)

Білу

Вектор дегеніміз не?

Түсіну

Векторға қандай амалдар қолданамыз?

Қолдану

Талдау

Векторлар мен координата өсіндегі проекцияларын салыстыр?

Жинақтау

Суретті қысқаша түсіндір?

Бағалау

Күнделікті есептеулерде векторлық амалдарды орындаудың маңызы қаншалықты?

Жасаған жұмыстарын 2 жұлдыз, 1 ұсыныспен бағалау.

ҮІ. Кері байланыс (не үйрендім, не қиын болды, сұрақ.) (3 минут)

Кейінгі тапсырмалар

Күнделікті өмірде тапсырмаға байланысты өзің байқаған құбылыстар жайлы шағын эссе жазу.

Кейінгі оқу

Вектордың шамасын қалай есептеуге болады | Кеңестер

Мазмұны:

Вектор — шамасы мен бағыты бар геометриялық элемент. Вектордың шамасы — оның ұзындығы, ал вектордың бағыты оның бағытын көрсетеді. Вектордың шамасын есептеу үшін оған тек бірнеше қарапайым математикалық амалдар қажет. Сонымен қатар, біз екі векторды қосуға немесе азайтуға, екі вектордың арасындағы бұрышты табуға, сондай-ақ екі вектордың бағытталған көбейтіндісін есептеуге болады.

Қадамдар

2-дің 1 әдісі: О нүктесінде пайда болған вектордың шамасын табыңыз

Вектордың құрамын анықтаңыз. Әрбір векторды горизонталь (х) және тік (у) осінде оттегі координаттар жүйесінде (декарттық координаттар жүйесі) ұсынуға болады. Векторлық координаттарды жазған кезде х және у координаттары ретімен жазылады.
- Мысалы, суреттегі вектордың горизонталь осінде координаталық нүктесі 3, ал вертикаль осінде координатасы -5, сондықтан біз бұл вектордың координаттарын <3, -5> деп жазамыз.
Векторлық үшбұрыш салыңыз. Вектордың соңынан тік және горизонталь оске перпендикуляр түсіре отырып, біз екі тең тікбұрышты үшбұрыш аламыз. Қарастырылып отырған вектордың шамасы осы үшбұрыштың гипотенузалық ұзындығы болып табылады, сондықтан оның мәнін есептеу үшін Пифагор теоремасын қолдануымыз керек.
Ұзындығын есептеу үшін Пифагор теоремасын қайта құрыңыз. Пифагор теоремасы: A + B = C. Мұндағы «А» және «B» — үшбұрыштың көлденең және тік координаталары, «C» — үшбұрыштың гипотенузасы. Қарастырылып отырған вектор сонымен қатар «С» гипотенузасы болғандықтан, біз «С» табуымыз керек.
- x + y = v
- v = √ (x + y))
Векторлық шаманы табу үшін теңдеулерді шешіңіз. Мәндерді тиісті шамаларға ауыстырыңыз және қарастырылып отырған вектордың шамасын алу үшін теңдеуді шешіңіз.
- Мысалы, v = √ ((3 + (- 5)))
- v = √ (9 + 25) = -34 = 5,831
- Вектор ондық болуы мүмкін, сондықтан есептелген нәтиже бүтін сан болмаса, алаңдамаңыз.
жарнама

2-ден 2-әдіс: Координатадан тыс векторлық шаманы есептеңіз

Вектордың басы мен соңын анықтаңыз. Барлық векторларды горизонталь (х осі) мен тік (у) осіне қатысты координаталар бойынша декарттық координаттар жүйесінде ұсынуға болады. Әр нүктенің координаттары х және у жұптарына келесі түрде жазылады:. Егер есепте вектор декарттық координаталар жүйесінде координаталар осінде емес десе, біз вектордың басы мен соңының координаталарын анықтауымыз керек.
- Мысалы, АВ векторы жұппен және А нүктесінің, содан кейін В нүктесінің ретімен жазылады.
- А нүктесінің көлденең координатасы 5, ал вертикаль координатасы 1-ге тең, сондықтан А нүктесінің координаты <5.1> болады.
- В нүктесінің көлденең координатасы 1-ге, ал вертикаль координатасы 2-ге тең, сондықтан В нүктесінің координаты <1,2> болады.
Вектордың шамасын есептеу үшін өзгертілген формуланы қолданыңыз. Енді бізде вектордың бас және соңғы нүктелерінің координаталары болса, осы екі нүктенің x және y координаталарының координаттарын алу керек, содан кейін v = √ ((x) формуласын қолданамыз₂-x₁) + (у₂-y₁)).
- Ішінде ₁, ж₁> — А нүктесінің координатасы, В нүктесінде координаталар жұбы бар ₂, ж₂>.
Теңдеуді шешіңіз. Формулаға сәйкес x, y мәндерін тағайында және векторының шамасын алу үшін теңдеуді шеш. Жоғарыдағы мысалды қолдана отырып, біз мынаны есептей аламыз:
- v = √ ((x₂-x₁) + (у₂-y₁))
- v = √ ((1-5) + (2-1))
- v = √ ((- 4) + (1))
- v = √ (16 + 1) = √ (17) = 4.12
- Вектордың шамасы ондық бөлшек бола алатындықтан, есептелген нәтиже бүтін болмаса, алаңдамаңыз.
жарнама

Қарама-қарсы векторларды анықтау — бұл не, Мағынасы мен түсінігі — Мен бәрін білгім келеді

Саласында физика The векторлар болып табылады өлшемдері олардың мөлшері, мекен-жайы, қолданылу нүктесі және мағынасы бойынша анықталады. Векторларды сипаттамаларына және олар әрекет ететін контекстке байланысты әр түрлі жолмен жіктеуге болады.

Бұл белгілі қарама-қарсы векторлар бар адамдарға сол мекен-жайы және бірдей мөлшерде бірақ оларда бар қарама-қарсы сезімдер . Басқа анықтамаларға сәйкес, қарама-қарсы векторлар бірдей шамаларға ие, бірақ қарама-қарсы бағытта, өйткені мекен-жайы Сондай-ақ, мағынасын көрсетеді.

The идеясы қарама-қарсы векторлар, қысқаша айтқанда, онымен жұмыс істеуді білдіреді екі вектор қарама-қарсы бағытта болса да, бірдей көлемде (яғни бірдей модульде) және бірдей бағытта болады. Вектор басқа шамада бірдей болады, бірақ ол сол шамада пайда болады 180º . Осылайша, вектор екіншісіне қарама-қарсы ғана емес, сонымен бірге оған да қатысты теріс .

Істі қарастырыңыз RS векторы және MN векторы . Вектордың координаттары РС болып табылады (4,8)ал вектордың координаттары М.Н. болып табылады (-4, -8). Екі вектор да қарама-қарсы векторлар: вектор М.Н. — вектордың теріс векторы РС . Графикалық бейнелеуде екі вектордың да бірдей болатындығы анық болады модулі (олар схемада бірдей кеңістікті алады), бірақ керісінше.

Егер біз қарама-қарсы екі векторды қоссақ, онда алатынымызды ескеру керек нәтиже а нөлдік вектор , нөлдік вектор деп те аталады, өйткені оның модулі тең 0 (кеңейту жетіспейді).

Векторлардың графикалық бейнесі әрқашан бізге олардың сипаттамаларын неғұрлым нақты түсінуге көмектеседі, ал қарама-қайшылықтар жағдайында бұл ақиқат, ішінара басқа тұжырымдаманы енгізудің арқасында: кардиналды нүктелер. Егер біз бір сәтке бір сәтке шеттетсек компоненттері вектордың (немесе терминдерінің) мәнін, оны әр декарттық осьте оның мәндері ретінде анықтай аламыз және біз оның модуліне және осьпен түзетін бұрышына назар аударамыз. Х болса, онда солтүстік-батысқа 50 ° бұрышы бар 25 метрлік вектор оңтүстік-шығысқа қарай 50 ° бұрышы бар 25 метрлік векторға қарама-қарсы деп айтуға болады.

Қарама-қарсы векторлардың жұбын графикте қалай бейнелей аламыз? Біріншіден, біз екі өлшемді векторларға тап болғанымызды атап өтуіміз керек, өйткені біз жай екіге тиісті ақпаратты ұсындық балта , әдетте әріптермен анықталады Х е Және . Сондықтан бірінші қадам — екі осьті сызу.

Әрі қарай, біз бір сәтте әрбір «жарты шардың» орналасқан кеңістігі туралы ойлануымыз керек: солтүстік-батыс сол жақ квадрантта деп айта аламыз. Алдыңғы дайындықтың осы кезеңінің соңғы қадамы ретінде а масштаб парағындағы 25 метр қанша болатынын білу үшін. Сонымен, екі векторды сызу үшін ғана қалады. Мұны істеу үшін біз бұрыштың оське қатысты қалыптасатынын есте ұстауымыз керек Х , яғни көлденең.

Тасымалдаушының көмегімен алғашқы вектор өтуі керек нүктені анықтау керек, оның шығу нүктесі (0,0), яғни декарттық осьтер шыңында болады. Жоғарыда аталған шкаланы ескере отырып, біз тиісті өлшемнің сызығын сызамыз, және voila. Құрметтеу үшін конгрестер және біздің сызбамызды басқа адамдар оңай оқи алатындықтан, вектордың жоғарғы ұшында «жебе» ретінде екі кішкентай сызық сызу ұсынылады, сонымен қатар ішкі бұрышы қисық сызықпен көрсетіледі.

Негізгі векторға ие бола отырып, оның керісінше сызу әлдеқайда қарапайым, өйткені оны есептеу қажет емес бұрышы Оның ұзындығын да емес, тек сызғышты біріншіге туралаңыз және оны оңтүстік-шығысқа (төменгі оң жақ квадрант) дәл осындай кеңейтіммен салыңыз.

Send

Векторов

Это вектор:

Вектор имеет величин (размер) и направлений :

Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.

Мы можем добавить два вектора, соединив их лоб в лоб:

И неважно в каком порядке мы их складываем, получаем один и тот же результат:

Пример: Самолет летит, указывая на север, но ветер дует с северо-запада.

Два вектора (скорость, создаваемая пропеллером, и скорость ветра) приводят к несколько меньшей скорости относительно земли в направлении немного к востоку от севера.

Если смотреть на самолет с земли, то может показаться, что он немного скользит вбок.

Вы когда-нибудь видели, как это происходит? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают объяснить это.

Скорость, ускорение, сила и многое другое являются векторами.

Вычитание

Мы также можем вычесть один вектор из другого:

Сначала мы меняем направление вектора, который хотим вычесть,
, затем добавьте их как обычно:

а − б

Обозначение

Вектор часто записывается жирным шрифтом , например a или b .

Вектор также можно записать в виде букв
его головы и хвоста со стрелкой над ними, например:

Расчеты

Сейчас … как мы делаем расчеты?

Самый распространенный способ — сначала разбить вектор на части x и y, например:

Вектор a разбит на
два вектора a _x и a _y

(Позже мы увидим, как это сделать.)

Добавление векторов

Затем мы можем сложить векторы с помощью , добавив части x и , добавив части y :

Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) в сумме дают вектор (34, 20)

Пример: сложите векторы

a = (8, 13) и b = (26, 7)

в = а + б

с = (8, 13) + (26, 7) = (8+26, 13+7) = (34, 20)

Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :

Вычитание векторов

Чтобы вычесть, сначала инвертируйте вектор, который мы хотим вычесть, затем сложите.

Пример: вычесть

k = (4, 5) из v = (12, 2)

a = v + — к

a = (12, 2) + −(4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

Величина вектора

Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

| и |

ИЛИ можно написать двойными вертикальными черточками (чтобы не путать с абсолютным значением):

|| и ||

Для расчета используем теорему Пифагора:

| и | = √( х ² + у ² )

Пример: какова величина вектора

b = (6, 8) ?

| б | = √( 6 ² + 8 ² ) = √( 36+64) = √100 = 10

Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

Вектор против скаляра

Скаляр имеет величину (размер) только .

Скаляр: просто число (например, 7 или −0,32) … определенно не вектор.

Вектор имеет величину и направление и часто пишется жирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

, поэтому c — это вектор, он имеет величину и направление
, но c — это просто значение, например 3 или 12.4

Пример: k

b на самом деле скаляр, умноженный на k вектор b .

Умножение вектора на скаляр

Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы изменяем размер вектора.

Пример: умножить вектор

m = (7, 3) на скаляр 3

a = 3 м = (3×7, 3×3) = (21, 9)

Он по-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз. )

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и векторное произведение)

Как нам умножить два вектора вместе? Существует более чем один способ!

(Дополнительную информацию см. на этих страницах.)

Более двух измерений

Векторы также прекрасно работают в 3-х и более измерениях:

Вектор (1, 4, 5)

Пример: сложите векторы

a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

в = а + б

в = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)

Пример: какова величина вектора

w = (1, −2, 3) ?

| с | = √( 1 ² + (−2) ² + 3 ² ) = √( 1+4+9) = √14

Вот пример с 4-мя измерениями (но рисовать сложно!):

Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + −(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1,−2,−3,−4)
= (3 −1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1)

Величина и направление

Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины x и y (или наоборот):

	<=>
Вектор a в полярных координатах Координаты		Вектор a в декартовых координатах Координаты

Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткий обзор:

Из полярных координат (r, θ ) в декартовы координаты (x,y)		От декартовых координат (x,y) до полярных координат (r,θ)
x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ )		г = √ ( х ² + у ² ) θ = тангенс ^-1 (г/х)

Пример

Сэм и Алекс тянут коробку.

Сэм тянет с силой 200 ньютонов под углом 60°
Алекс тянет с усилием 120 ньютонов под углом 45°, как показано

Что такое объединенная сила и ее направление?

Сложим два вектора с головы до хвоста:

Первое преобразование из полярной системы в декартову (до 2 десятичных знаков):

Вектор Сэма:

x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0,5 = 100
y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173,21

Вектор Алекса:

x = r × cos( θ ) = 120 × cos(−45°) = 120 × 0,7071 = 84,85
y = r × sin( θ ) = 120 × sin(−45°) = 120 × -0,7071 = −84,85

Теперь у нас есть:

Добавьте их:

(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)

Этот ответ верный, но давайте обратимся к полярному, поскольку вопрос был полярным:

r = √ ( x ² + y ² ) = √ ( 184. 85 ² + 88,36 ² ) = 204,88
θ = тангенс ^-1 ( y / x ) = тангенс ^-1 ( 88,36 / 184,85 ) = 25,5°

И у нас есть этот (округленный) результат:

А для Сэма и Алекса это выглядит так:

Они могли бы получить лучший результат, если бы стояли плечом к плечу!

Точечный продукт

Вектор имеет величину (длину) и направление :

Вот два вектора:

Они могут быть умножены на с использованием « скалярного произведения » (см. также Перекрестное произведение).

Расчет

Скалярный продукт записывается с использованием центральной точки:

a · b
Это означает скалярное произведение a и b

Мы можем вычислить скалярное произведение двух векторов следующим образом:

а · б = | и | × | б | × cos(θ)

Где:
| и | величина (длина) вектора a
| б | — величина (длина) вектора b
θ — угол между a и b

Итак, мы умножаем длину на на длину на , затем умножаем на косинус угла между на и на на

ИЛИ мы можем рассчитать это так:

a · b = a _x x b _x + a _y x b _y

Итак, мы умножаем x, умножаем y, а затем складываем.

Оба метода работают!

И результатом является число (называемое «скаляром», поэтому мы знаем, что это не вектор).

Пример: вычислить скалярное произведение векторов

a и b :

а · б = | и | × | б | × cos(θ)

а · б = 10 × 13 × cos(59,5°)

а · б = 10 × 13 × 0,5075…

а · б = 65.98… = 66 (округлено)

ИЛИ мы можем рассчитать это так:

a · b = a _x x b _x + a _y x b _y

а · б = -6 × 5 + 8 × 12

а · б = -30 + 96

а · б = 66

Оба метода дали одинаковый результат (после округления)

Также обратите внимание, что мы использовали минус 6 для _x (он движется в отрицательном направлении x)

Примечание: вы можете использовать векторный калькулятор чтобы помочь вам.

Почему cos(θ) ?

Хорошо, чтобы умножить два вектора, имеет смысл перемножить их длины вместе , но только тогда, когда они указывают в одном направлении .

Итак, мы делаем одну «точку в том же направлении», что и другая, умножая на cos(θ):


Возьмем компонент a , лежащий рядом с b		Как пролить свет, чтобы увидеть где лежит тень

ТОГДА умножаем !

Это работает точно так же, если мы «проецируем» b вместе с на , а затем умножаем:

Потому что не имеет значения, в каком порядке мы делаем умножение:

| и | × | б | × потому что (θ) = | и | × соз (θ) × | б |

Прямоугольные

Когда два вектора расположены под прямым углом друг к другу, скалярное произведение равно ноль .

Пример: рассчитать скалярный продукт для:

а · б = | и | × | б | × cos(θ)

а · б = | и | × | б | × cos(90°)

а · б = | и | × | б | × 0

а · б = 0

или мы можем вычислить его так:

a · b = a _x x b _x + a _y x b _y

а · б = -12 × 12 + 16 × 9

а · б = -144 + 144

а · б = 0

Это может быть удобным способом узнать, находятся ли два вектора под прямым углом.

Три или более измерений

Все это прекрасно работает и в 3-х (или более) измерениях.

И действительно может быть очень полезным!

Пример: Сэм измерил концы двух полюсов и хочет узнать

угол между ними :

У нас есть 3 измерения, так что не забудьте z-компоненты:

a · b = a _x x b _x + a _y x b _y + a _z x b _z

а · б = 9 х 4 + 2 х 8 + 7 х 10

а · б = 36 + 16 + 70

а · б = 122

Теперь другая формула:

а · б = | и | × | б | × cos(θ)

Но что такое | и | ? Это величина или длина вектора a . Мы можем использовать Пифагор:

| и | = √(4 ² + 8 ² + 10 ² )
| и | = √(16 + 64 + 100)
| и | = √180

Аналогично для | б |:

| б | = √(9 ² + 2 ² + 7 ² )
| б | = √(81 + 4 + 49)
| б | = √134

И мы знаем из вычислений выше, что a · b = 122, поэтому:

а · б = | и | × | б | × cos(θ)

122 = √180 × √134 × cos(θ)

cos(θ) = 122 / (√180 × √134)

cos(θ) = 0.7855…

θ = cos ^-1 (0,7855…) = 38,2…°

Готово!

Я когда-то пробовал такое вычисление, но работал все в углах и расстояниях… это было очень тяжело, включало много тригонометрии, и у меня болел мозг. Способ выше намного проще.

Перекрестное произведение

Скалярное произведение дает ответ скалярное (обычное число) и иногда называется скалярным произведением .

Но есть также перекрестное произведение, которое дает вектор в качестве ответа и иногда называется векторным произведением .

Полярные и декартовы координаты

… и как конвертировать между ними.

Спешите? Прочитайте резюме. Но сначала прочтите почему:

Чтобы определить, где мы находимся на карте или графике, есть две основные системы:

Декартовы координаты

Используя декартовы координаты, мы отмечаем точку с помощью , как далеко вдоль и , как далеко вверх по :

Полярные координаты

Используя полярные координаты, мы отмечаем точку как далеко и под каким углом это:

Преобразование

Чтобы преобразовать одно в другое, мы будем использовать этот треугольник:

Преобразование из декартовой системы в полярную

Когда мы знаем точку в декартовых координатах (x,y) и хотим, чтобы она была в полярных координатах (r, θ ), мы решаем прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами .

Пример. Что такое (12,5) в полярных координатах?

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длинную сторону (гипотенузу):

г ² = 12 ² + 5 ²

г = √ (12 ² + 5 ² )

г = √ (144 + 25)

г = √ (169) = 13

Используйте функцию касательной, чтобы найти угол:

тангенс ( θ ) = 5/12

θ = тангенс ^-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° (до одного десятичного знака)

Ответ : точка (12,5) равна (13, 22,6°) в полярных координатах.

Что такое

тан ^-1 ?

Функция арктангенса:

Тангенс берет угол и дает нам отношение,
Арктангенс принимает отношение (например, «5/12») и дает нам угол.

Резюме : преобразование декартовых координат (x, y) в полярные координаты (r, θ):

Примечание. Калькуляторы могут дать неверное значение tan ^-1 () , когда x или y отрицательны… подробнее см. ниже.

Преобразование из полярного в декартово

Когда мы знаем точку в полярных координатах (r, θ ), и мы хотим, чтобы она была в декартовых координатах (x, y), мы решаем прямоугольный треугольник с известной длинной стороной и углом :

Пример. Чему равно (13, 22,6°) в декартовых координатах?

Используйте функцию косинуса для x:		cos( 22,6° ) = х / 13
Перестановка и решение:		х = 13 х cos( 22.6° )
		х = 13 х 0,923
		х = 12,002…

Использовать функцию синуса для y:		sin( 22,6° ) = у / 13
Перестановка и решение:		у = 13 × sin( 22. 6° )
		г = 13 × 0,391
		г = 4,996…

Ответ: точка (13, 22,6°) равна почти точно (12, 5) в декартовых координатах.

Резюме : преобразование из полярных координат (r, θ ) в декартовы координаты (x,y):

Как запомнить?

(x,y) в алфавитном порядке,
(cos,sin) также в алфавитном порядке

Также «у и синусоидальная рифма» (попробуйте произнести!)

А как насчет отрицательных значений X и Y?

Четыре квадранта

Когда мы включаем отрицательные значения, оси x и y делят пространство
на 4 части:

Квадранты I, II, III и IV

(Пронумерованы против часовой стрелки)

При переводе из полярных в декартовы координаты все работает прекрасно:

Пример.

Чему равно (12, 195°) в декартовых координатах?

r = 12 и θ = 195°

х = 12 × cos(195°)
х = 12 × -0.9659…
х = -11,59 до 2 десятичные разряды
y = 12 × sin(195°)
y = 12 × −0,2588…
y = −3,11 от до 2 десятичные разряды

Итак, точка находится на (-11,59, -3,11) , что находится в квадранте III

Но при переводе декартовых координат в полярные…

… калькулятор может дать неверное значение тангенса ^-1

Все зависит от того, в каком квадранте находится точка! Используйте это, чтобы исправить вещи:

Квадрант	Значение тангенса ^-1
я	Использование значение калькулятора
II	Добавить 180° к значению калькулятора
III	Добавить 180° к значению калькулятора
IV	Добавить 360° к значению калькулятора

Пример: P = (−3, 10)

P находится в квадранте II

r = √((−3) ² + 10 ² )
r = √109 = 10. 4 до 1 десятичного знака
θ = тангенс ^-1 (10/−3)
θ = тангенс ^-1 (-3,33…)

Значение калькулятора для tan ^-1 (−3,33…) равно −73,3°

Правило для квадранта II: добавить 180° к значению калькулятора

θ = −73,3° + 180° = 106,7°

Таким образом, полярные координаты точки (−3, 10) равны (10,4, 106,7°)

Пример: Q = (5, −8)

Q находится в квадранте IV

г = √(5 ² + (−8) ² )
г = √89 = 9.4 до 1 десятичного знака
θ = тангенс ^-1 (-8/5)
θ = тангенс ^-1 (-1,6)

Значение калькулятора для тангенса ^-1 (-1,6) составляет -58,0°

Правило для квадранта IV: Добавить 360° до значения калькулятора

θ = −58,0° + 360° = 302,0°

Таким образом, полярные координаты точки (5, −8) равны (9,4, 302,0°)

Резюме

Чтобы преобразовать полярные координаты (r, θ ) в декартовы координаты (x,y):

x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

Для преобразования декартовых координат (x, y) в полярные координаты (r, θ):

г = √ ( х ² + у ² )
θ = тангенс ^-1 (г/х)

Значение tan ^-1 ( y/x ) может потребоваться отрегулировать:

Квадрант Я использую значение калькулятора
Квадрант II: Добавить 180°
Квадрант III: Добавить 180°
Квадрант IV: Добавить 360°

вектор | Определение и факты

вектор , в математике, величина, которая имеет как величину, так и направление, но не положение. Примерами таких величин являются скорость и ускорение. В своей современной форме векторы появились в конце 19 века, когда Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд (соответственно из США и Великобритании) независимо друг от друга разработали векторный анализ, чтобы выразить новые законы электромагнетизма, открытые шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом. С тех пор векторы стали необходимы в физике, механике, электротехнике и других науках для математического описания сил.

Векторы можно представить в виде направленных отрезков, длина которых равна их величине. Поскольку имеют значение только величина и направление вектора, любой направленный отрезок может быть заменен отрезком той же длины и направления, но начинающимся в другой точке, например, в начале системы координат. Векторы обычно обозначаются жирным шрифтом, например v. Величина или длина вектора обозначается |v|, или v , что представляет собой одномерную величину (например, обычное число), известную как скаляр. .Умножение вектора на скаляр изменяет длину вектора, но не его направление, за исключением того, что умножение на отрицательное число изменяет направление стрелки вектора. Например, умножение вектора на 1/2 приведет к тому, что вектор будет вдвое короче в том же направлении, а умножение вектора на -2 приведет к тому, что вектор будет вдвое длиннее, но направлен в противоположном направлении.

Британская викторина

Числа и математика

A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что подсчет чисел похож на чтение алфавита, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.

Можно сложить или вычесть два вектора. Например, чтобы сложить или вычесть векторы v и w графически ( см. диаграмму), переместите каждый из них в начало координат и завершите параллелограмм, образованный двумя векторами; тогда v + w — один диагональный вектор параллелограмма, а v — w — другой диагональный вектор.

Существует два разных способа умножения двух векторов. Перекрестное или векторное произведение приводит к другому вектору, который обозначается v × w.Величина перекрестного произведения определяется выражением |v × w| = v w sin θ , где θ — меньший угол между векторами (со сложенными вместе их «хвостами»). Направление v × w перпендикулярно как v, так и w, и его направление можно визуализировать с помощью правила правой руки, как показано на рисунке. Перекрестное произведение часто используется для получения «нормальи» (линии, перпендикулярной) к поверхности в некоторой точке, и это происходит при расчете крутящего момента и магнитной силы, действующей на движущуюся заряженную частицу.

Правило правой руки для векторного векторного произведения
Обычное, или точечное, произведение двух векторов — это просто одномерное число или скаляр. Напротив, перекрестное произведение двух векторов приводит к другому вектору, направление которого ортогонально обоим исходным векторам, как показано правилом правой руки. Величина или длина вектора векторного произведения определяется выражением v w sin θ , где θ — угол между исходными векторами v и w .
Encyclopædia Britannica, Inc.
Другой способ умножения двух векторов называется скалярным произведением или иногда скалярным произведением, поскольку в результате получается скаляр. Скалярное произведение определяется как v ∙ w = v w cos θ , где θ — меньший угол между векторами. Скалярное произведение используется для нахождения угла между двумя векторами. (Обратите внимание, что скалярное произведение равно нулю, когда векторы перпендикулярны.) Типичное физическое приложение состоит в том, чтобы найти работу W , совершаемую постоянной силой F , действующей на движущийся объект d ; работа определяется как W = F d cos θ .
Редакторы Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и дополнена Эриком Грегерсеном.
Векторная алгебра:
ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

Направления деятельности:

Векторы и сложение векторов
Единичные векторы
Базовые векторы и векторные компоненты
Прямоугольный координаты в 2D
Прямоугольный координаты в 3D
Вектор соединение двух точек
Скалярный продукт
Перекрестное произведение
Тройной продукт
Тройной векторный продукт

Векторы и сложение векторов:

Скаляр – это величина, подобная массе или температуре, которая имеет только величину.С другой стороны, вектор — это математический объект, который имеет величину и направление. Линия заданной длины, указывающая в заданном направлении, например стрелка, является типичным представлением вектора. » на выделенном жирным шрифтом символе (т.д., ). Следовательно,

Любой вектор можно превратить в единичный вектор, разделив его на длину.

Любой вектор можно полностью представить, указав его величину и единицу измерения. вектор вдоль его направления.

Базовые векторы и компоненты вектора:

Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве основы для представления всех остальных векторы.Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из сложения векторов по основным направлениям. Например, вектор на рисунке можно записать в виде суммы трех векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ , каждый вдоль направления одного из базовых векторов e ₁ , e ₂ и e ₃ , так что

Каждый из векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ параллелен одному из базовых векторов и может быть записан как скаляр, кратный эта база. Пусть и ₁, и ₂, и и ₃ обозначим эти скалярные множители так, что у них есть

Исходный вектор и может теперь будет записано как

Скалярные множители u ₁ , u ₂ и u ₃ известны как компоненты и в базе, описываемой базой векторы e ₁ , e ₂ и e ₃ .Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют длины соответственно трех векторов u ₁ , u ₂ , и у ₃ . Если базовые векторы являются единичными векторами и взаимно ортогонален, то основание известно как ортонормированное, евклидово или декартово база.

Вектор можно разложить по любым двум направлениям в плоскости, содержащей его. На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов и . и b , которые в сумме дают c .

В трех измерениях вектор можно разрешить по любым трем некомпланарным линии. На рисунке показано, как вектор может быть разрешен по трем направлениям. сначала найдя вектор в плоскости двух направлений, а затем разрешение этого нового вектора вдоль двух направлений на плоскости.

Когда векторы представлены в терминах базовых векторов и компонентов, сложение двух векторов приводит к сложению компонентов векторы.Следовательно, если два вектора A и B представлены числом

затем

Прямоугольный компоненты в 2D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат x-y задаются формулой единичные векторы и вдоль x и y направления соответственно.

Используя базовые векторы, можно представить любой вектор F как

В силу ортогональности базисов имеют место следующие соотношения.

Прямоугольный координаты в 3D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначенных , , и что расположены вдоль направлений координат x , y и z , соответственно, как показано на рисунке.

Показанная система предназначена для правшей, так как большой палец правой руки указывает в направлении z , если пальцы таковы, что представляют вращение вокруг оси z от x до y . Эта система может превратить в левостороннюю систему, изменив направление любого из координатные линии и связанный с ними базовый вектор.

В прямоугольной системе координат компоненты вектора проекции вектора вдоль x , y и z направления. Например, на рисунке проекции вектора A по направлениям x, y, и z задаются A _x , A _y , и A _z соответственно.

В силу теоремы Пифагора и ортогональности основания векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть рассчитано по

Направление косинусов:

Направляющие косинусы определяются как

где углы , , и углы, показанные на рисунке.Как показано на рисунке, направляющие косинусы представляют собой косинусы углов между вектором и тремя согласовывать направления.

Направляющие косинусы можно вычислить из компоненты вектора и его величина через соотношения

Тройные косинусы не являются независимыми и должны удовлетворять соотношению

Это приводит к тому, что

Единичный вектор может быть построен вдоль вектора используя направляющие косинусы в качестве компонентов вдоль x , y и z направлений. Например, единичный вектор вдоль вектора A получается из

Следовательно,

Вектор соединение двух точек:

Вектор, соединяющий точку A с точкой B дано

Единичный вектор вдоль линии AB может быть получен из

Вектор F вдоль линии AB и величиной F может получается из соотношения

Дополнительный продукт:

Скалярное произведение обозначается «» между двумя векторами.То скалярное произведение векторов A и B дает скаляр, заданный отношение

где угол между двумя векторами. Порядок не важен в скалярный продукт, как видно из определения скалярных продуктов. В результате один получает

Скалярный продукт обладает следующими свойствами.

Так как косинус 90 ^o равен нулю, скалярное произведение двух ортогональные векторы приведут к нулю.

Поскольку угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус нуля равно единице, величина вектора может быть записана в терминах скалярного произведения используя правило

Прямоугольные координаты:

При работе с векторами, представленными в прямоугольная система координат по компонентам

, то скалярный продукт может быть оценен из отношение

Это можно проверить прямым умножением векторов и отметив, что из-за ортогональности базовых векторов прямоугольная система один имеет

Проекция вектора на прямую:

Ортогональная проекция вектора на прямую получается перемещением одного конца вектора на прямую и опусканием перпендикулярно линии с другого конца вектора. Результирующий отрезок на прямой является ортогональной проекцией вектора или просто его проекция.

Скалярная проекция вектора A вдоль единичный вектор — это длина ортогональной проекции A вдоль линии, параллельной , и может быть оценено с помощью скалярного произведения. То отношение для проекции

Проекция вектора A вдоль блока вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы получить вектор вместе.Это дает отношение

Крест продукт:

Векторное произведение векторов a и b есть вектор, перпендикулярный как a , так и b и имеет величину, равную площади параллелограмм, полученный из a и b . Направление креста произведение определяется по правилу правой руки. Перекрестное произведение обозначается «» между векторами

В перекрестном произведении важен порядок. Если порядок действий изменится в векторном произведении направление результирующего вектора меняется на противоположное. То есть

Перекрестное произведение обладает следующими свойствами.

Прямоугольные координаты:

При работе в прямоугольных системах координат, векторное произведение векторов a и b , заданное как

можно вычислить по правилу

Можно также использовать прямое умножение основания векторов с использованием отношений

Тройной продукт:

Тройное произведение векторов a , b и c равно

Значение тройного произведения равно объему параллелепипеда построенный из векторов. Это видно из рисунка с

Тройное произведение обладает следующими свойствами

Прямоугольные координаты:

Рассмотрим векторы, описанные в прямоугольной система координат как

Тройное произведение можно оценить с помощью отношение

Тройной вектор продукт:

Тройное векторное произведение обладает свойствами

Векторы
Мы рисовали точки в Rn как точки на линии, плоскости, пространстве и т. д.Мы также можем нарисовать их как стрелки . Поскольку мы имеем в виду две геометрические интерпретации, мы теперь обсудим взаимосвязь между двумя точками зрения.
точек и векторов
Опять же, точка в Rn нарисована в виде точки.
Вектор — это точка в Rn, нарисованная стрелкой.
Разница чисто психологическая: точек и векторов — это просто списки чисел .
Когда мы думаем о точке в Rn как о векторе, мы обычно пишем ее вертикально, как матрицу с одним столбцом:
v=E13F.
Мы также будем писать 0 для нулевого вектора.
Зачем делать различие между точками и векторами? Вектор не обязательно должен начинаться в начале координат: он может располагаться где угодно ! Другими словами, стрелка определяется ее длиной и направлением, а не ее местоположением. Например, все эти стрелки представляют вектор E12F.
Если не указано иное, мы будем считать, что все векторы начинаются в начале координат.
Векторы имеют смысл в реальном мире: многие физические величины, такие как скорость, представлены в виде векторов.Но имеет больше смысла думать о скорости автомобиля как о расположении в автомобиле.
Здесь мы научимся складывать векторы и умножать векторы на числа как алгебраически, так и геометрически.
Сложение векторов и скалярное умножение
Мы можем сложить два вектора вместе:
CabcD+CxyzD=Ca+xb+yc+zD.
Мы можем умножить или масштабировать вектор на действительное число c:
cCxyzD=Cc·xc·yc·zD.
Мы называем c скаляром , чтобы отличить его от вектора.Если v — вектор, а c — скаляр, то cv называется скалярным числом , кратным числа v.
Сложение и скалярное умножение работают одинаково для векторов длины n.
Закон параллелограмма для сложения векторов
Геометрически сумма двух векторов v,w получается следующим образом: поместите хвост вектора w в начало вектора v. Тогда v+w — это вектор, хвост которого является хвостом вектора v, а голова — началом вектора w. Выполнение этого в обоих направлениях создает параллелограмм.Например,
Е13Ф+Е42Ф=Е55Ф.
Почему? Ширина v + w является суммой ширин, а также высот.
vwwvv+w5=1+4=4+15=2+3=3+2
Вычитание векторов
Геометрически разность двух векторов v,w получается следующим образом: поместите хвосты векторов v и w в одну и ту же точку. Тогда v−w — это вектор из начала w в начало v. Например,
E14F-E42F=E-32F.
Почему? Если вы добавите v-w к w, вы получите v.
Скалярное умножение
Скаляр, кратный вектору v, имеет то же (или противоположное) направление, но другую длину.Например, 2v — это вектор в направлении v, но в два раза длиннее, а −12v — это вектор в направлении, противоположном v, но вдвое длиннее. Обратите внимание, что набор всех скалярных множителей (ненулевого) вектора v представляет собой строки .
Somemultiplesofv.v2v−12v0vAllmultiplesofv.
Мы можем складывать и масштабировать векторы в одном и том же уравнении.
Определение
Пусть c1,c2,…,ck — скаляры, а v1,v2,…,vk — векторы в Rn. Вектор в Rn
c1v1+c2v2+···+ckvk
называется линейной комбинацией векторов v1,v2,…,vk, с весами или коэффициентами c1,c2,…,ck.
Геометрически линейная комбинация получается путем растяжения/сжатия векторов v1,v2,. ..,vk в соответствии с коэффициентами, а затем их сложения по закону параллелограмма.
Рисунок 17. Линейные комбинации двух векторов в R2: переместите ползунки, чтобы изменить коэффициенты v1 и v2. Заметим, что любой вектор на плоскости можно получить как линейную комбинацию векторов v1,v2 с подходящими коэффициентами.
Пример (линейные комбинации одного вектора)
Линейная комбинация одного вектора v=A12B — это всего лишь скаляр, кратный v. Некоторые примеры включают
v=E12F,32v=E3/23F,−12v=E−1/2−1F,…
Множество всех линейных комбинаций — это строки с по v . (Если только v=0, в этом случае любой скаляр, кратный v, снова равен 0.)
Пример (линейные комбинации коллинеарных векторов)
Множество всех линейных комбинаций векторов
v1=E22Fandv2=E-1-1F
— это строка , содержащая оба вектора.
Отличие этого примера от предыдущего в том, что оба вектора лежат на одной прямой. Следовательно, любые скалярные числа, кратные v1,v2, лежат на этой прямой, как и их сумма.
Исчисление II — Векторы
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Глава 5: Векторы
Это довольно короткая глава.Мы кратко рассмотрим векторы и некоторые их свойства. Нам понадобится часть этого материала в следующей главе, и те из вас, кто собирается перейти к Calculus III, также будут использовать его там.
Вот список тем этой главы.
Основные понятия. В этом разделе мы введем некоторые общие обозначения для векторов, а также некоторые основные понятия о векторах, такие как величина вектора и единичные векторы. Мы также покажем, как найти вектор по его начальной и конечной точкам.
Векторная арифметика. В этом разделе мы обсудим математическую и геометрическую интерпретацию суммы и разности двух векторов. Мы также определяем и даем геометрическую интерпретацию скалярного умножения. Мы также даем некоторые из основных свойств векторной арифметики и вводим общие обозначения $i$, $j$, $k$ для векторов.
Скалярное произведение — в этом разделе мы определим скалярное произведение двух векторов. Мы даем некоторые из основных свойств скалярных произведений и определяем ортогональные векторы и показываем, как использовать скалярное произведение, чтобы определить, являются ли два вектора ортогональными.