Виды парабол и их графики: Квадратичная функция. Определение, свойства, построение графика

3 + k\).

 

  • Если \(k > 0\), то график сдвигается на  \(k\) единиц вверх; если \(k < 0\), то график сдвигается на \(k\) единиц вниз.
  • Если \(h > 0\),то график сдвигается  на \(h\) единиц вправо; если \(h < 0\), то график смещается на \(h\) единиц влево.
  • Если \(a < 0\), график переворачивается.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Институт иностранных языков г. Санкт-Петербург, Ленинградский государственный педагогический институт им. А.И Герцена

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по английскому языку для 1-11 классов и по русскому языку для 4-11 классов. Готовлю ОГЭ и ЕГЭ. Веду образовательный канал. Обучаю как родному, русскому языку, так и иностранному — английскому. В обоих этих направлениях у нас с моими учениками есть свои победы, достижения и открытия. Мои ученики успешно сдают экзамены, российские и международные, получают международные сертификаты. Мой преподавательский стаж более 20 лет. За это время я также училась сама. Осваивала новые методики, участвовала в преподавательских конференциях, языковых школах. Работаю как с учащимися средней школы, так и с абитуриентами вузов. Опираясь на уровень моих учеников, разрабатываю индивидуальные программы. Нет какой-то одной единственной «волшебной» методики, в обучении все индивидуально, но я, зная принципы работы всех современных методик, могу выстроить, вместе с моим учеником оптимальный маршрут к нашей цели.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Симферопольский государственный университет им.

Фрунзе, Таврический национальный университет им Вернадского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-11 классов. Готовлю к ОГЭ и ЕГЭ. С удовольствием окажу помощь школьникам в овладении английским языком, в повышении уровня языковой компетенции. На наших занятиях мы будем использовать упражнения на формирование 4 основных навыков при изучении любого иностранного языка: на формирование навыков чтения, говорения, письма и аудирования, а также будем использовать приемы мнемотехники и скорочтения для достижения большей продуктивности.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Таджикский государственный педагогический университет имени С.

Айни

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-8 классов. Моя профессия – это радость общения с детьми. Это моменты счастья, когда я вижу удивления детей от того, что у них получается выполнить задание. Считаю, что нужно подбирать индивидуальную методику для каждого ученика (обратить внимание на характер, настроение). Мне очень хочется научить детей грамотно писать и говорить. Уверена, что после наших уроков у детей останутся только хорошие впечатления. Не ленитесь, уделяйте больше времени образованию, упорно совершенствуйте свои способности!

Содержание

Математика 11 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Векторы

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Смещение графика квадратичной функции y = (x

Цели урока:

Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c.

Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

Структура урока

  1. Организационный момент – 3 минуты.
  2. Исследовательская работа – 20 минут.
  3. Закрепление изученного материала – 15 минут.
  4. Рефлексия – 2 минут.
  5. Итог урока – 3 минуты.
  6. Домашнее задание – 2 минуты.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, cна график функций вида y=x2+с, y=(x-b)2, y=(x-b)2+c.

Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

Каждая группа получает план исследования <Приложение>, лист формата А3 для оформления результатов.

2. Исследовательская работа

.

Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x2+с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b)2, одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b)2+c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

  Функция Результат  
1 группа у=x2+3; <Рисунок 10>
2 группа у=x2-5; <Рисунок 11>
3 группа у=(х-4)2; <Рисунок 12>
4 группа у=(х-2)2+3. <Рисунок 13>

План работы

  1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
  2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х0, y0), задайте таблицей 4 точки).
  3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x2.
  4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
  5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

“Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

Любую квадратичную функцию y=ax2+bx+c, можно записать в виде y=a(x-x0)2+y0, где x0 и y0 выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x0, c=y0 являются координатами вершины параболы.

3. Закрепление изученного материала.

Фронтальная работа с классом.

1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

y=(х+6)2

у=х2-2

Коэффициент b

Нет ошибки

Рисунок 1

Рисунок 2

у=(х+5)2-1 у=(х-2)2+2
Коэффициент b и с Коэффициент b
Рисунок 3 Рисунок 4

Результаты

<Рисунок 7>

<Рисунок 2>

<Рисунок 8>

<Рисунок 9>

Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10).

Рисунок 5

y=(х-4)2-2 синий
y=-x2+5 красный
y=(x+1)2+3 зеленый
y=(x-3)2 фиолетовый

4. Рефлексия.

Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

– Какие ошибки допустили группы?

– Достигнута ли цель занятия?

– Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?

5. Итог урока (слайд №11)

:

На положение графика функции y=(x-b)2+c влияют коэффициенты b и c,

“+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,

“-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.

6. Домашнее задание

  1. Построить график квадратичной функции, имеющую вершину в точке А(1;-2), коэффициент a=1.
  2. Подумайте, в какой области можно использовать знания по данной теме (практическое применение).

Приложение

Строим графики функций, содержащие модуль. Часть 1

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 1. Изобразить график функции y = |x2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

0x : y = 0.

x2 – 4x + 3 = 0.

x1 = 3, x2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

0y: x = 0.

y = 02 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

xв = -(-4/2) = 2, yв = 22 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2, изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x2 – 4 · |x| + 3

Так как x2 = |x|2, то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x|2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 3).

Пример 3. Изобразить график функции y = log2|x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log2x (рис. 4).

Далее повторяем пункты 2)-3) предыдущего примера и получаем окончательный график (рис. 5).

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже  являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому , их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x2= |x|2. Значит, вместо исходной функции y = -x2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x|2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x|2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x2 + 2x – 1 (рис. 6).

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7).

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8).

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a)  Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9).

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

Далее повторяем пункты b)-c) из предыдущего примера и получаем следующий график функции (рис. 10).

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Построение графика квадратичной функции – Документ 1 – УчМет

Конспект урока по алгебре в 8 классе

Бояринова Татьяна Вячеславовна,

учитель математики

первой категории

МБОУ Берендеевская СОШ
Лысковского района Нижегородской области

Тема урока: «Построение графиков квадратичных функций».

Тема урока: «Построение графиков квадратичных функций»

Тип урока: урок систематизации знаний.

Цель урока: повторить, систематизировать, обобщить изученный материал

Задачи урока:

Образовательные:

  • отработать умение строить графики функций у = ах 2, у=а(х–x0)2, у=ах2+y0, у=а(х–x0)2+ y0, применяя правила преобразования графиков.

  • проверить степень усвоения учащимися изученного материала;

Развивающие:

  • развитие математической культуры, логического мышления, внимания, памяти, речи учащихся;

  • развитие самостоятельности, способности к самоконтролю, самооценке.

Воспитательные:

  • воспитание стремления достигать поставленную цель;

  • воспитание чувства ответственности, уверенности в себе, умения работать в коллективе;

  • воспитание интереса к предмету.

План урока.

  1. Оргмомент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Выступления учащихся.

  4. Элементарные преобразования графиков квадратичной функции. Работа с программой «Математика 5-11кл. Практикум»

  5. Решение тестовых заданий.

  6. Подведение итогов урока.

  7. Сообщение домашнего задания

Ход урока.

  1. Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку.

  2. Консультанты (дежурные) докладывают о готовности учащихся к уроку.

  3. При работе используется мультимедийный проектор и презентация, выполненная в программе Microsoft PowerPoint.

Тема сегодняшнего урока «Построение графика квадратичной функции». Слайд№1. Тема для вас не новая, но на прошлых уроках мы учились строить графики по пяти характеристическим точкам, а ещё раньше говорили о том, что график квадратичной функции можно строить с помощью преобразований растяжения, сжатия, сдвига (параллельного переноса) и симметрии. Сегодня мы должны всё вспомнить, привести полученные знания в систему. Вначале мы послушаем ребят, которые выполняли индивидуальные задания. Слушая их, вы проверите правильность выполнения своей домашней работы. Затем потренируемся в преобразовании графиков. В конце урока разберём тестовые задания.

Сейчас я предоставляю слово Алексейчук Ксении, она напомнит нам, как построить график квадратичной функции по пяти характеристическим точкам.

Выступление 1 ученика.

Задание. Построить график функции (Приложение 1). Слайд №2


Следующий выступающий Бойчук Юрий расскажет о построении графика квадратичной функции сжатием и растяжением вдоль оси ординат. Слайд №3

Выступление 2 ученика.

Задание. В одной координатной плоскости построить графики функций . (Приложение 2)

Теперь послушаем Бученкову Юлю, она расскажет, как построить график функции . Слайд №4

Выступление 3 ученика.

Задание. Построить график функции у=3(х+2)2 –4 (Приложение 3)


слайд № 3 слайд № 4

Орлова Влада расскажет, как построить график функции сдвигом вдоль оси абсцисс

Выступление 4 ученика. Слайд №5

Задание. В одной координатной плоскости построить графики функций ; . (Приложение 4)

Андреева Надя расскажет, как построить график функции сдвигом вдоль оси ординат. Слайд № 6

Выступление 5 ученика.

Задание. В одной координатной плоскости построить графики функций ; . (Приложение 5)

слайд № 5 слайд № 6

Ребята рассказали о построении графика квадратичной функции с помощью преобразований сжатия, растяжения, сдвига (параллельного переноса) и симметрии. Все преобразования можно оформить в виде таблицы, которую желательно записать в тетрадь и запомнить, потому что этот материал пригодится вам при изучении алгебры в старших классах и построении более сложных графиков. Слайд №7.

Преобразования графика квадратичной функции

у = ах2, а > 1

Растяжение графика функции у = х2вдоль оси ординат в а раз

у = ах2, 0<а<1

Сжатие графика функции у = х2вдоль оси ординат в а раз

у = –ах2

Симметрия графика функции у = ах2относительно оси абсцисс

у = а(х – х0)2

Сдвиг (параллельный перенос) графика функции у=ах2 вправо (если х0>0) или влево (еслих0 <0) вдоль оси абсцисс на |а| единиц

у = ах2 + у0

Сдвиг (параллельный перенос) графика функции у = ах2 вверх (если у0>0) или вниз (если у0 <0) вдоль оси ординат на |а| единиц

у = а(х – х0)2+ у0

Сдвиг (параллельный перенос) графика функции у=ах2 вдоль координатных осей

  1. Далее учащимся предлагается поработать с программой «Математика 5-11кл. Практикум». Работая с этой программой ребята отрабатывают навыки преобразований графиков и написания формул квадратичной функции.

Ребята, сейчас мы с вами потренируемся выполнять преобразования графиков квадратичной функции. Вам необходимо совместить синюю параболу с красной, выполняя указанные действия. Синяя парабола задаётся формулой у = х2. Следуя тем преобразованиям которые вы выполняете нужно записать формулу, которой задаётся красная парабола. Помните, что вы должны выполнить наименьшее количество действий.

Выполнение заданий.

  1. Подошло время проверить ваши умения. Слайд №8.

слайд №7 слайд №8

ТЕСТ Слайды 9 — 16

1) Какая линия является графиком функции у =(х+2)2 – 4

  1. Прямая, проходящая через начало координат.

  2. Прямая, не проходящая через начало координат.

  3. Парабола.

  4. Гипербола

2) В каких координатных четвертях расположен график функции у = -3,2 х2 -1,8

  1. 1 и 2

  2. 3 и 4

  3. 1,2,3,4

3) Парабола получена их графика функции у = 2,5х2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево вдоль оси х и сдвига на 6 единиц вверх вдоль оси у. Графиком какой функции является парабола?

  1. у = 2,5 (х -3)2 +6

  2. у = 2,5 (х +3)2 — 6

  3. у = 2,5 (х +3)2 +6

  4. у = 2,5 (х -3)2 — 6

4) На рисунке построены графики функций: а) у = 1,6х2 +2, б) у = — 1,6х2 +2, в)у=1,6(х-2)2, г) у = 1,6(х+2)2 . Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой.

5) На рисунке изображен график одной из указанных функций. Выберите соответствующую формулу.

  1. у = (х-2)2 – 4

  2. у = 0,5(х-2)2 – 2

  3. у = 0,5(х+2)2 – 2

6) График функции у = 3х2 – 2 получается из графика функции у = 3х2 сдвигом на 2 единицы масштаба:

  1. Вправо

  2. Влево

  3. Вверх

  4. Вниз

7) Какая из перечисленных функций является ограниченной снизу?

  1. у = 3х2 – 1

  2. у = 2х +2

  3. у = –0,5(х–1)2

  4. у = 5–2(х+1)2

8) Уравнение оси симметрии параболы у=2(х+1)2-8 имеет вид:

  1. х = -8

  2. х = -1

  3. х = 2

  4. х = 1

слайд № 9 слайд № 10

слайд № 11 слайд № 12

слайд № 13 слайд № 14

слайд № 15 слайд № 16

Все задания теста разбираются с классом. Наиболее активным учащимся можно поставит оценки.

6. На этом наш урок подходит к концу. Вы не должны забывать о том, что не всегда удобно использовать построение графика квадратичной функции по пяти характеристическим свойствам. Графики функций вида у = –ах2, у = а(х – х0)2 , у = ах2 + у0 , у = а(х – х0)2+ у0 удобно строить с помощью преобразований сжатия, растяжения, сдвига (параллельного переноса) и симметрии. На следующем уроке мы готовимся к контрольной работе, которая покажет на сколько хорошо вы поработали в течении месяца. А сегодня на уроке хотелось бы отметить следующих учащихся …

7. Домашнее задание. Слайд № 17.

Постройте графики, применяя правила преобразования графиков функций:

у = 3х2 – 2;

у = (х+2)2 – 4;

у= –0,5(х–1)2 ;

у=5–(х+1)2

слайд № 17

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.


Приложение 4.

Приложение 5.

Список использованной литературы

1. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин Алгебра. 8класс.-М.: Просвещение, 2007

2. Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин

Изучение алгебры в 7-9 классах. -М.: Просвещение, 2002


Использованные материалы и Интернет-ресурсы

1. festival.1september.ru

2. http://konsaltmaster.ru/images/stories/sovi/22.jpg

3. http://www.123rf.com/photo_7554190_pile-of-four-old-books. html

парабол в стандартной форме, форме пересечения и вершины — видео и расшифровка урока

Значение a указывает, является ли парабола вогнутой вверх или вогнутой вниз.

Стандартная форма

Начнем со стандартной формы, y = ax 2 + bx + c . Вот он в общем виде, а вот несколько конкретных примеров того, как он может выглядеть: у = х 2 + х + 1 и у = -4 х 2 — 5 х + 9.

Если быть до конца честным, то основная причина, по которой эта форма считается полезной, заключается в том, что ее проще всего написать. В то время как другие формы потребуют некоторой причудливой перестановки с помощью алгебраических приемов, таких как разложение на множители или завершение квадрата, большинство квадратичных уравнений будут иметь стандартную форму с самого начала. Это означает, что вы можете погрузиться в проблему с самого начала, в то время как другие формы часто заставляют вас работать еще до того, как вы начнете. Однако, как только мы преодолеем это, стандартная форма не может предложить слишком многого.Возможно, его самая полезная черта заключается в том, что значение или говорит вам, является ли парабола вогнутой вверх (положительное значение для значения ) или вогнутой вниз (отрицательное значение для значения ), но оказывается, что все формы будут иметь эту способность.

Вторая черта стандартной формы связана с пересечением и параболы. Поскольку точка пересечения y находится там, где x = 0, подстановка этого в показывает нам, что члены a и b выпадают, оставляя нам только значение c .Следовательно, значение c всегда является точкой пересечения и . Это довольно круто, но подстановка x = 0 в другие формы, чтобы найти y -перехват, тоже довольно проста. Последнее, что вы можете сделать со стандартной формой, это вычислить ось симметрии по формуле x = — b / 2 a . Еще раз, хотя это и круто, найти ось симметрии возможно и на самом деле проще с другими формами.

Форма перехвата

Ось симметрии лежит непосредственно между двумя корнями

Следующая форма, которую мы рассмотрим, это форма перехвата, y = a ( x p )( x q ).Это общая форма, и вот несколько конкретных примеров: y = -( x — 1)( x + 5) и y = 3( x + 5)( x + 9).

Хотя это правда, что время от времени вам будут давать задачу, которая уже находится в форме перехвата, часто бывает так, что вам придется сначала разложить уравнение стандартной формы, чтобы оно выглядело как форма перехвата. . Хотя иногда это может быть головной болью, выполнение этой работы имеет свои преимущества.Значение a , опять же, скажет вам, является ли парабола вогнутой вверх или вниз, и если вы хотите найти точку пересечения и , вы можете просто подставить x = 0 и быстро вычислить a ( — р )(- q ).

Форма перехвата получила свое название и превосходит стандартную форму по полезности, так это ее способность не только сообщать вам, где находится y -intercept, но и где находятся x -intercepts. Поскольку точки пересечения x находятся там, где y = 0, подстановка p или q даст вам ноль в вашем произведении, превратив все уравнение в ноль.Следовательно, p и q являются двумя x точками пересечения или корнями вашего квадратичного уравнения. Однако будьте осторожны со знаками на корнях. Поскольку общее уравнение имеет — p и — q , ( x — 5) на самом деле будет означать корень при x = 5, а ( x + 5) будет означать корень при х = -5.

Наконец, поскольку параболы симметричны, ось симметрии должна лежать прямо между двумя корнями.Это означает, что вы можете найти его на своем графике, продвигаясь к середине или алгебраически, вычисляя среднее значение между двумя точками: x = ( p + q )/2.

Форма вершины

Значения h и k представляют собой вершину параболы.

И, наконец, мы приходим к форме вершины: y = a ( x h )2 + k .Это общая форма, а вот некоторые конкретные примеры: y = 9( x + 5)2 — 1 и y = -( x — 3)2 — 1.

На этот раз, преобразование вашего квадрата в эту форму требует, чтобы вы завершили квадрат, что, возможно, является самым сложным алгебраическим трюком из всех. Но если вы можете, вы будете вознаграждены за ваш тяжелый труд. Во-первых, значение a по-прежнему говорит нам, является ли оно вогнутым вверх или вниз, а пересечение и по-прежнему легко найти, подставив x = 0 и оценив.Но теперь, точно так же, как форма пересечения дала нам пересечения, форма вершины даст нам вершину нашей параболы прямо из уравнения: h станет координатой x , а k станет y -координата нашей вершины. Теперь мы можем легко сказать, где находится ось симметрии, просто вспомнив, что она проходит прямо через середину графа, где находится вершина. Следовательно, осью симметрии является как раз линия х = ч .

Резюме урока

Чтобы повторить, в зависимости от того, как вы его организуете, квадратное уравнение может быть записано в трех различных формах: стандартное , точка пересечения и вершина . Независимо от формы, положительное значение и указывает на вогнутую параболу, а отрицательное значение на означает вогнутую вниз.

Стандартная форма является самой простой и простой в использовании, но имеет ограниченную полезность. Форма перехвата — это то, что вы получите, если сначала захотите разложить квадратичное число, и в дополнение ко всему, что говорит вам стандартная форма, она также дает вам точки пересечения (или корни) параболы размером x .Форма вершины — это то, что вы получите, если сначала заполните квадрат в уравнении стандартной формы, и в дополнение ко всему, что стандартная форма сообщает вам, она также дает вам координаты вершины. 2} = – 4ay$$

Фокус

$$\влево({a,0}\вправо)$$

$$\влево( { – a,0} \вправо)$$

$$\влево( {0,a} \вправо)$$

$$\влево( {0, – a} \вправо)$$

Вершина

$$\влево({0,0}\вправо)$$

$$\влево({0,0}\вправо)$$

$$\влево({0,0}\вправо)$$

$$\влево({0,0}\вправо)$$

Ось

$$y = 0$$

$$y = 0$$

$$x = 0$$

$$x = 0$$

Директриса

$$x = – a$$

$$x = a$$

$$y = – a$$

$$y = a$$

Прямая кишка

$$x = a$$

$$x = – a$$

$$y = a$$

$$y = – a$$

Длина L. Р

$$|4a|$$

$$|4a|$$

$$|4a|$$

$$|4a|$$

График

Параболы

Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в виде f(x)=ax2+bx+c, где a,b и c — действительные числа, а a≠0.Эта форма называется стандартной формой квадратичной функции.

График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой .

График уравнения y=x2, показанный ниже, представляет собой параболу. (Обратите внимание, что это квадратичная функция в стандартной форме с a=1 и b=c=0.)

В графе самая высокая или самая низкая точка параболы является вершиной. Вершина графа y=x2 равна (0,0).

Если a>0 в f(x)=ax2+bx+c, парабола открывается вверх . В этом случае вершина является минимумом или нижней точкой параболы. Большое положительное значение а образует узкую параболу; положительное значение a, близкое к 0, делает параболу широкой.

Если a<0 в f(x)=ax2+bx+c, парабола открывается вниз . В этом случае вершина является максимальной или высшей точкой параболы. Опять же, большое отрицательное значение a делает параболу узкой; значение, близкое к нулю, делает его широким.

Для уравнения в стандартной форме значение c дает точку пересечения y графика.

Линия, проходящая через вершину и делящая параболу на две симметричные части, называется осью симметрии.

Уравнение оси симметрии для графика y=ax2+bx+c, где a≠0, равно x=−b2a

На всех приведенных выше графиках осью симметрии является ось Y, x=0. На приведенных ниже графиках ось симметрии отличается (отмечена красным). Обратите внимание, что c по-прежнему дает точку пересечения с осью y.

Если вы запишете квадратичную функцию вида x=f(y)=ay2+by+c, где x — функция y (вместо ay как функции x), вы получите параболу с горизонтальной осью симметрии. .

Обратите внимание, что в данном случае c — это точка пересечения с x. Если a положительно, график открывается вправо; если a отрицательно, график открывается влево.

Пример:

Напишите уравнение оси симметрии и найдите координаты вершины параболы y=−3×2−6x+4.

Уравнение оси симметрии для графика y=ax2+bx+c.

х=-b2a

Подставьте -3 вместо a и -5 вместо b в уравнении оси симметрии.

х=—62(-3)    =-1

Итак, уравнение оси симметрии x=−1.

Поскольку уравнение оси симметрии x=−1, а вершина лежит на оси, координата x вершины равна −1.

Чтобы найти координату y вершины, сначала подставьте -1 вместо x в данном уравнении.

у=-3(-1)2-6(-1)+4

Упростить.

г=-3+6+4    =7

Следовательно, координаты вершины параболы равны (−1,7).

См. также

Ось симметрии параболы

Вершина параболы

Построение квадратных уравнений с использованием оси симметрии

Алгебра — Параболы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-2: Параболы

В этом разделе мы хотим посмотреть на график квадратичной функции.2} + Ьх + с\]

Графики квадратичных функций называются параболами . Вот несколько примеров парабол.

Все параболы имеют неопределенную форму буквы «U», и у них будет самая высокая или самая низкая точка, которая называется вершиной . Параболы могут открываться вверх или вниз, могут иметь или не иметь \(x\)-пересечения, и они всегда будут иметь одиночное \(y\)-пересечение.

Также обратите внимание, что парабола, которая открывается вниз, всегда будет открываться вниз, а парабола, которая открывается вверх, всегда будет открываться вниз.Другими словами, парабола не развернется вдруг и не начнет раскрываться, если она уже начала раскрываться вниз. Точно так же, если он уже начал открываться, он не развернется и не начнет открываться внезапно.

Пунктирная линия с каждой из этих парабол называется осью симметрии . Каждая парабола имеет ось симметрии, и, как показывает график, график по обе стороны от оси симметрии является зеркальным отражением другой стороны.Это означает, что если мы знаем точку на одной стороне параболы, мы также будем знать точку на другой стороне на основе оси симметрии. Мы увидим, как найти эту точку, как только мы перейдем к некоторым примерам.

Прежде чем идти дальше, нам, вероятно, следует быстро просмотреть перехваченные сообщения. Точки пересечения — это точки пересечения графика с осью \(x\) или \(y\). Мы также видели график в разделе, где мы ввели точки пересечения, где точки пересечения просто касались оси, фактически не пересекая ее.

Поиск перехватов — довольно простой процесс. Чтобы найти \(y\)-перехват функции \(y = f\left( x \right)\), все, что нам нужно сделать, это установить \(x = 0\) и вычислить, чтобы найти \(y\ ) координата. Другими словами, \(y\)-перехват — это точка \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)\). Мы находим \(x\)-перехваты примерно таким же образом. Положим \(y = 0\) и решим полученное уравнение относительно координат \(x\). Итак, нам нужно будет решить уравнение,

\[е\влево( х \вправо) = 0\]

Теперь вернемся к параболам.Существует базовый процесс, который мы всегда можем использовать, чтобы получить довольно хороший набросок параболы. Вот.

Рисование парабол
  1. Найдите вершину. Мы обсудим, как найти это в ближайшее время. Это довольно просто, но есть несколько способов его найти, поэтому мы обсудим их отдельно.
  2. Найдите точку пересечения \(y\), \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)\).
  3. Решите \(f\left( x \right) = 0\), чтобы найти \(x\) координаты \(x\)-отрезков, если они существуют.Как мы увидим в наших примерах, у нас может быть 0, 1 или 2 \(x\)-перехвата.
  4. Убедитесь, что у вас есть хотя бы одна точка по обе стороны от вершины. Это делается для того, чтобы убедиться, что мы получаем достаточно точный набросок. Если парабола имеет две \(x\)-пересечения, то эти точки уже есть. Если у него есть 0 или 1 точка пересечения \(x\), мы можем либо просто подставить другое значение \(x\), либо использовать точку пересечения \(y\) и ось симметрии, чтобы получить вторую точку.
  5. Нарисуйте график.На данный момент мы получили достаточно точек, чтобы получить довольно приличное представление о том, как будет выглядеть парабола.

Теперь мы рассмотрим две формы параболы. Эта первая форма сделает графическое построение парабол очень простым. К сожалению, большинство парабол не имеют такой формы. Вторая форма является более распространенной и потребует немного (и только немного) больше работы, чтобы нарисовать график параболы.

Давайте посмотрим на первую форму параболы.2} + к\]

Есть две части информации о параболе, которые мы можем мгновенно получить из этой функции. Во-первых, если \(а\) положительна, то парабола откроется вверх, а если \(а\) отрицательна, то парабола развернется вниз. Во-вторых, вершиной параболы является точка \(\left( {h,k} \right)\). Будьте очень осторожны со знаками при получении вершины здесь.

Итак, когда нам посчастливилось получить эту форму параболы, мы получили вершину бесплатно.2} — 8\) Показать решение

Сначала нам нужно найти вершину. Однако нам нужно быть осторожными со знаками. Сравнивая наше уравнение с формой выше, мы видим, что мы должны иметь \(h = — 3\) и \(k = — 8\), так как это единственный способ получить правильные знаки в нашей функции. Следовательно, вершина этой параболы равна

. \[\влево( { — 3, — 8} \вправо)\]

Теперь найдем \(y\)-перехват. Это не что иное, как быстрая оценка функции.2} — 8 = 2 \ влево ( 9 \ вправо) — 8 = 10 \ hпробел {0,25 дюйма} у — {\ mbox {перехват : }} \ влево ( {{\ mbox {0,10}}} \ вправо) \]

Далее нам нужно найти \(x\)-перехваты. Это означает, что нам нужно решить уравнение. Однако прежде чем мы это сделаем, мы можем сказать, будут ли они у нас, еще до того, как мы начнем решать уравнение.

В этом случае у нас есть \(а = 2\), что положительно, и поэтому мы знаем, что парабола раскрывается. Также вершина — это точка ниже оси \(x\).2} & = 4\\ x + 3 & = \pm \sqrt 4 = \pm 2\\ x & = — 3 \pm 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = — 1, \,\,х = — 5\конец{выравнивание*}\]

Два отрезка x равны

\[\left( { — 5,0} \right)\hspace{0.25in}{\mbox{and}}\hspace{0.25in}\left( {- 1,0} \right)\]

Теперь у нас есть точки по обе стороны от вершины, так что мы официально закончили с поиском точек.Однако давайте немного поговорим о том, как найти вторую точку, используя точку пересечения \(y\) и ось симметрии, так как в конечном итоге нам это понадобится.

Во-первых, обратите внимание, что \(y\)-перехват имеет координату \(x\) 0, а вершина имеет координату \(x\) -3. Это означает, что \(y\)-отрезок находится на расстоянии 3 справа от оси симметрии, поскольку он будет двигаться прямо вверх от вершины.

Теперь левая часть графика будет зеркальным отражением правой части графика.Таким образом, поскольку существует точка \(y = 10\), которая находится на расстоянии 3 правее от оси симметрии, должна быть также точка \(y = 10\), которая находится на расстоянии 3 от оси симметрии. слева от оси симметрии.

Итак, поскольку координата \(x\) вершины равна -3, а эта новая точка находится на расстоянии 3 левее, ее координата \(x\) должна быть -6. Координаты этой новой точки тогда \(\left( { — 6,10} \right)\). Мы можем убедиться в этом, вычислив функцию при \(х = -6\).2} — 8 = 2\влево( 9 \вправо) — 8 = 10\]

Итак, мы были правы. Обратите внимание, что обычно мы не утруждаем себя проверкой этого пункта.

Итак, пришло время нарисовать график параболы. 2} — 1\) Показать решение

Хорошо, мы не будем вдаваться в подробности.2} — 1 = — 4 — 1 = — 5\]

Тогда \(y\)-отрезок равен \(\left( {0, — 5} \right)\).

Теперь мы знаем, что вершина начинается ниже оси \(x\) и парабола раскрывается вниз. Это означает, что не может быть \(x\)-пересечений, так как ось \(x\) находится выше вершины, и парабола всегда будет открываться вниз. Это означает, что в общем случае нет причин проходить через процесс решения, чтобы найти то, чего не будет.

Тем не менее, давайте сделаем это.2} & = — 1\\ x — 2 & = \pm \,i\\ x & = 2 \pm \,i\end{align*}\]

Итак, мы получили сложные решения. Комплексные решения всегда будут указывать на отсутствие \(x\)-перехватов.

Теперь нам нужны точки по обе стороны от вершины, поэтому воспользуемся точкой пересечения \(y\) и осью симметрии, чтобы получить вторую точку. Точка пересечения \(y\) находится на расстоянии двух левее оси симметрии и находится в точке \(y = — 5\), поэтому должна быть вторая точка только с тем же значением \(y\) на расстоянии 2 вправо от оси симметрии. 2} + 4\) Показать решение

Это на самом деле довольно просто для построения графика. Сначала мы заметим, что он откроется вверх.

Вершина, вероятно, та точка, где у большинства учеников возникают проблемы. Поскольку у нас есть x 2 само по себе, это означает, что мы должны иметь \(h = 0\), и поэтому вершина равна \(\left({0,4} \right)\).

Обратите внимание, что это означает, что с этой параболой не будет \(x\)-пересечений, так как вершина находится над осью \(x\) и парабола открывается вверх.2} + 4 = 4\hspace{0,25 дюйма}y — {\mbox{перехват:}}\left({0,4} \right)\]

Пересечение \(y\) точно такое же, как и вершина. Это будет происходить время от времени, поэтому мы не должны слишком беспокоиться об этом, когда это произойдет. Хотя это будет означать, что на этот раз мы не сможем использовать \(y\)-перехват, чтобы найти вторую точку по другую сторону вершины. На самом деле, у нас еще даже нет точки, которая не была бы вершиной!

Итак, нам нужно найти точки по обе стороны от вершины.2} + 4 = 8\hspace{0,25 дюйма} \стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}\left( {2,8} \right)\end{align*}\]

Обратите внимание, что мы могли бы получить здесь вторую точку, используя ось симметрии, если бы захотели.

Вот набросок графика.

Итак, мы рассмотрели несколько примеров этой формы параболы. Однако, как отмечалось ранее, большинство парабол не даются в такой форме. Итак, нам нужно взглянуть на то, как построить график параболы в общем виде.2} + Ьх + с\]

В этой форме знак \(a\) будет определять, будет ли парабола открываться вверх или вниз, как это было в предыдущем наборе примеров. В отличие от предыдущей формы, на этот раз мы не получим вершину бесплатно. Тем не менее, это будет легко найти. Вот вершина параболы в общем виде. 2} + 4x + 4\) Показать решение

В этой заключительной части мы имеем \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 4\).2} + 4\влево( { — 2} \вправо) + 4 = 0\конец{выравнивание*}\]

Итак, вершина равна \(\left( { — 2,0} \right)\). Обратите внимание, что поскольку координата \(y\) этой точки равна нулю, она также является точкой пересечения \(x\). Фактически это будет единственный \(x\)-перехват для этого графа. Это имеет смысл, если принять во внимание тот факт, что вершина в данном случае является самой нижней точкой графа, и поэтому граф просто не может касаться оси \(x\) где-либо еще.

Тот факт, что эта парабола имеет только одну \(x\)-пересечение, можно проверить, решив, как мы это делали в других примерах до этого момента.2}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}x = — 2\end{align*}\]

Действительно, есть только один \(x\)-перехват. Обратите внимание, что это будет означать, что в этом случае нам придется использовать ось симметрии, чтобы получить вторую точку от точки пересечения \(y\).

Говоря об этом, \(y\)-перехват в этом случае равен \(\left( {0,4} \right)\). Это означает, что вторая точка равна \(\left( { — 4,4} \right)\).

Вот набросок графика.2} — 6x + \frac{3}{2}} \right)\]

Обратите внимание, что это часто приводит к тому, что дроби становятся проблемой, с которой нам нужно иметь дело. Также обратите внимание, что если нам посчастливилось получить коэффициент 1 для члена x 2 , нам не нужно будет делать этот шаг.

Теперь процесс действительно начинает отличаться от того, что мы видели до сих пор. Мы по-прежнему берем половину коэффициента \(х\) и возводим его в квадрат.2} — 6x + 9 — 9 + \frac{3}{2}} \right)\]

Мы складываем и вычитаем это количество внутри скобок, как показано. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это добавляем ноль, поскольку 9-9=0! Порядок, указанный здесь, важен. 2} — \ frac {{15}}{2}} \right)\]

В качестве последнего шага мы умножаем 2 обратно.2} + 24\конец{выравнивание*}\]

Парабола — уравнение, свойства, примеры

Парабола – это график квадратичной функции. Паскаль утверждал, что парабола — это проекция окружности. Галилей объяснил, что снаряды, падающие под действием силы тяжести, следуют по траектории, называемой параболической траекторией. Многие физические движения тел следуют криволинейной траектории, имеющей форму параболы. Параболой в математике называют любую плоскую кривую, которая является зеркально-симметричной и обычно имеет приблизительно U-образную форму.Здесь мы будем стремиться понять вывод стандартной формулы параболы, различные стандартные формы параболы и свойства параболы.

Что такое парабола?

Парабола относится к уравнению кривой, так что точка на кривой равноудалена от фиксированной точки и фиксированной линии. Неподвижная точка называется фокусом параболы, а неподвижная линия — направляющей параболы. Также важно отметить, что фиксированная точка не лежит на фиксированной линии.Геометрическое место любой точки, равноудаленной от данной точки (фокуса) и данной прямой (направляющей), называется параболой. Парабола — важная кривая конических сечений координатной геометрии.

Уравнение параболы

Общее уравнение параболы: y = a(x-h) 2 + k или x = a(y-k) 2 +h, где (h,k) обозначает вершину. Стандартное уравнение правильной параболы: y 2 = 4ax.

Некоторые из приведенных ниже важных терминов полезны для понимания особенностей и частей параболы.

  • Фокус: Точка (a, 0) является фокусом параболы
  • Направляющая: Линия, проведенная параллельно оси Y и проходящая через точку (-a, 0), является направляющей параболы. Директриса перпендикулярна оси параболы.
  • Фокусная хорда: Фокусная хорда параболы — это хорда, проходящая через фокус параболы. Фокальная хорда пересекает параболу в двух различных точках.
  • Фокусное расстояние: Расстояние точки \((x_1, y_1)\) на параболе от фокуса является фокусным расстоянием.Фокусное расстояние также равно перпендикулярному расстоянию этой точки от директрисы.
  • Latus Rectum: Это фокальная хорда, перпендикулярная оси параболы и проходящая через фокус параболы. Длину широкой прямой кишки принимают LL’ = 4а. Концы широкой прямой кишки: (а, 2а), (а, -2а).
  • Эксцентриситет: (e = 1). Это отношение расстояния точки от фокуса к расстоянию точки от директрисы.Эксцентриситет параболы равен 1,
  • .

Стандартные уравнения параболы

Есть четыре стандартных уравнения параболы. Четыре стандартные формы основаны на оси и ориентации параболы. Поперечная ось и сопряженная ось каждой из этих парабол различны. На изображении ниже представлены четыре стандартных уравнения и формы параболы.

Ниже приведены наблюдения, сделанные из стандартной формы уравнений:

  • Парабола симметрична относительно своей оси.Если в уравнении есть член с y 2 , то ось симметрии проходит по оси x, а если в уравнении есть член с x 2 , то ось симметрии проходит по оси y.
  • Когда ось симметрии проходит вдоль оси x, парабола открывается вправо, если коэффициент x положительный, и открывается влево, если коэффициент x отрицателен.
  • Когда ось симметрии проходит вдоль оси y, парабола открывается вверх, если коэффициент y положительный, и открывается вниз, если коэффициент y отрицателен.

Парабола Формула

Формула параболы помогает представить общую форму параболического пути на плоскости. Ниже приведены формулы, которые используются для получения параметров параболы.

  • Направление параболы определяется значением a.
  • Вершина = (h,k), где h = -b/2a и k = f(h)
  • Широкая прямая кишка = 4a
  • Фокус: (h, k+ (1/4a))
  • Директриса: y = k — 1/4a

График параболы

Рассмотрим уравнение y = 3x 2 — 6x + 5. Для этой параболы a = 3, b = -6 и c = 5. Вот график данного квадратного уравнения, которое является параболой.

Направление: Здесь а положительно, поэтому парабола раскрывается.

Вершина: (h,k)

ч = -b/2а

= 6/(2 × 3) = 1

к = f(ч)

= f(1) = 3(1) 2 — 6 (1) + 5 = 2

Таким образом, вершина (1,2)

Широкая прямая кишка = 4a = 4 × 3 = 12

Фокус: (h, k+ 1/4a) = (1,25/12)

Ось симметрии x =1

Директриса: y = k-1/4a

г = 2 — 1/12 ⇒ г — 23/12 = 0

Вывод уравнения параболы

Рассмотрим точку P с координатами (x, y) на параболе.По определению параболы расстояние этой точки от фокуса F равно расстоянию этой точки P от директрисы. Здесь мы рассматриваем точку B на директрисе, а для расчетов берется перпендикулярное расстояние PB.

В соответствии с этим определением эксцентриситета параболы мы имеем PF = PB (поскольку e = PF/PB = 1)

Координаты фокуса F(a,0), и мы можем использовать формулу координатного расстояния, чтобы найти его расстояние от P(x, y)

PF = \(\sqrt{(x — a)^2 + (y — 0)^2}\)
= \(\sqrt{(х — а)^2 + у^2}\)

Уравнение директрисы: x + a = 0, и мы используем формулу перпендикулярного расстояния, чтобы найти PB. 2}\)

Возведение уравнения в квадрат с обеих сторон,

(х — а) 2 + у 2 = (х + а) 2

x 2 + a 2 — 2ax + y 2 = x 2 + a 2 + 2ax

г 2 — 2 оси = 2 оси

у 2 = 4 оси

Теперь мы успешно вывели стандартное уравнение параболы.

Точно так же мы можем вывести уравнения парабол как:

  • (б): у 2 = – 4 оси,
  • (в): х 2 = 4ay,
  • (г): х 2 = – 4ау.

Приведенные выше четыре уравнения являются стандартными уравнениями парабол.

Свойства параболы

Здесь мы постараемся понять некоторые важные свойства и термины, связанные с параболой.

Касательная: Касательная — это линия, касающаяся параболы. Уравнение касательной к параболе y 2 = 4ax в точке касания \((x_1, y_1)\) равно \(yy_1 = 2a(x + x_1)\).

Нормаль: Линия, проведенная перпендикулярно касательной и проходящая через точку касания и фокус параболы, называется нормалью.Для параболы y 2 = 4ax уравнение нормали, проходящей через точку \((x_1, y_1)\) и имеющей наклон m = -y1/2a, уравнение нормали имеет вид \((y — y_1) = \dfrac{-y_1}{2a}(x — x_1)\)

Хорда контакта: Хорда, соединяющая точку касания, проведенную из внешней точки к параболе, называется хордой контакта. Для точки \((x_1, y_1)\) вне параболы уравнение хорды контакта имеет вид \(yy_1 = 2x(x + x_1)\).

Полюс и поляра: Для точки, лежащей вне параболы, геометрическое место точек пересечения касательных, проведенных на концах хорд, проведенных из этой точки, называется полярой. И эта упомянутая точка называется полюсом. Для полюса с координатами \((x_1, y_1)\), для параболы y 2 =4ax, уравнение поляры равно \(yy_1 = 2x(x + x_1)\).

Параметрические координаты: Параметрические координаты уравнения параболы y 2 = 4ax равны (at 2 , 2at). Параметрические координаты представляют собой все точки параболы.

Также проверьте:

Часто задаваемые вопросы о Parabola

Что такое парабола в коническом сечении?

Парабола — важная кривая конического сечения. Это геометрическое место точки, равноудаленной от фиксированной точки, называемой фокусом, а фиксированная линия называется направляющей. Многие движения в физическом мире следуют параболическим траекториям. Следовательно, изучение свойств и приложений параболы является основой для физиков.

Что такое уравнение параболы?

Стандартное уравнение параболы: y 2 = 4ax. Осью параболы является ось x, которая также является поперечной осью параболы. Фокус параболы есть F(a, 0), а уравнение директрисы этой параболы есть x + a = 0,

Что такое вершина параболы?

Вершина параболы — это точка пересечения параболы с осью. Вершина параболы, имеющей уравнение y 2 = 4ax, равна (0,0), так как она пересекает ось в начале координат.

Как найти уравнение параболы?

Уравнение параболы можно вывести из основного определения параболы. Парабола — это геометрическое место точки, равноудаленной от фиксированной точки, называемой фокусом (F), а фиксированная линия называется директрисой (x + a = 0). Рассмотрим точку P(x, y) на параболе, и по формуле PF = PM можно найти уравнение параболы. Здесь точка «М» является основанием перпендикуляра из точки Р на директрисе.Следовательно, полученное стандартное уравнение параболы имеет вид y 2 = 4ax.

Что такое эксцентриситет параболы?

Эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1). Эксцентриситет параболы – это отношение расстояния точки от фокуса к расстоянию этой точки от директрисы параболы.

Что такое фокусы параболы?

Парабола имеет только один фокус. Для стандартного уравнения параболы y 2 = 4ax фокус параболы равен F(a, 0).Это точка, лежащая на оси абсцисс и на поперечной оси параболы.

Что такое сопряженная ось параболы?

Прямая, перпендикулярная поперечной оси параболы и проходящая через вершину параболы, называется сопряженной осью параболы. Для параболы y 2 = 4ax сопряженной осью является ось y.

Что такое вершины параболы?

Точка на оси, где парабола пересекает ось, является вершиной параболы.Вершина параболы для стандартного уравнения параболы y 2 = 4ax равна (0, 0). Парабола пересекает ось x в начале координат.

Что такое стандартное уравнение параболы?

Стандартное уравнение параболы используется для алгебраического представления параболы в координатной плоскости. Общее уравнение параболы можно записать в виде y = a(x-h) 2 + k или x = a(y-k) 2 +h, где (h,k) обозначает вершину. Стандартное уравнение правильной параболы: y 2 = 4ax.

Как найти поперечную ось параболы?

Прямая, проходящая через вершину и фокус параболы, является поперечной осью параболы. Стандартное уравнение параболы y 2 = 4ax имеет ось x в качестве оси параболы.

Общее уравнение параболы:

y = a(x — h) 2 + k (обычный)

х = а(у — к) 2 + h (сбоку)

где,

(h,k) = вершина параболы

Где Формула Параболы используется в реальной жизни?

Параболы используются в физике и технике для траекторий баллистических ракет, конструкции отражателей автомобильных фар и т. д.

Как вы решаете задачи, используя формулу параболы?

Для решения задач на параболах используется общее уравнение параболы, оно имеет общий вид y = ax 2 + bx + c (вершинная форма y = a(x — h) 2 + k), где, ( h,k) = вершина параболы.

Все ли формулы парабол представляют функцию?

Все параболы не обязательно являются функциями. Параболы, открывающиеся вверх или вниз, считаются функциями.

Понимание парабол

Форма параболы показана на этом рисунке:

Обратите внимание, что парабола является линией симметрии, что означает, что две стороны зеркально отражают друг друга.

Для параболы есть два шаблона, так как она может быть либо вертикальной (открывается вверх или вниз), либо горизонтальной (открывается влево или вправо).

  • Если х в квадрате, парабола вертикальна (открывается вверх или вниз). Если y в квадрате, он горизонтальный (открывается влево или вправо).

  • Если a положительно, парабола открывается вверх или вправо. Если он отрицательный, он открывается вниз или влево.

  • Вершина находится в точке (h, k). Вы должны быть очень осторожны. Обратите внимание, как расположение h и k переключается в зависимости от того, является ли парабола вертикальной или горизонтальной. Кроме того, координата внутри скобок отрицательна, а снаружи — нет.

Давайте посмотрим на пару парабол и посмотрим, что мы можем о них сказать.

1.

Во-первых, мы знаем, что эта парабола вертикальна (открывается либо вверх, либо вниз), потому что x находится в квадрате. Мы можем определить, что он открывается вниз, потому что а (-2) отрицательно.

Далее мы можем найти вершину (h, k). Для вертикальной параболы h находится внутри круглых скобок, а поскольку в шаблоне есть отрицание, мы должны принять противоположное. Итак, h = -3. k снаружи, а знак в шаблоне положительный, поэтому мы оставим это число как есть. k = 4. Таким образом, наша вершина (-3, 4).

Резюме: Это вертикальная парабола, которая раскрывается вниз. Его вершина (-3, 4).

2.

Во-первых, мы знаем, что эта парабола горизонтальна (открывается либо влево, либо вправо), потому что y возведена в квадрат.Мы можем определить, что он открывается вправо, потому что a (1/2) положителен.

Далее мы можем найти вершину (h, k). Для горизонтальной параболы h находится вне круглых скобок, а так как в паттерне есть положительное значение, мы оставим его как есть. Итак, ч = -1. k находится внутри, а знак в образце отрицательный, поэтому возьмем наоборот. k = 4. Таким образом, наша вершина (-1, 4).

Резюме: Это горизонтальная парабола, которая открывается вправо. Его вершина (-1, 4).

Практика: Определите, открывается ли парабола вверх, вниз, влево или вправо.Затем найдите его вершину.

1.

2.

3.

4.

5.

-5, 4)     3) Открывается вправо, вершина: (6, -3)     4) Открывается вверх, вершина: (0, -3)     5) Открывается вниз, вершина: (4, 1)

11.2 Параболы — Алгебра среднего уровня 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • График вертикальных парабол
  • График горизонтальных парабол
  • Решение приложений с помощью парабол

Будьте готовы 11. 4

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

График: y=−3×2+12x−12.y=−3×2+12x−12.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 9.47.

Будьте готовы 11.5

Решите, заполнив квадрат: x2−6x+6=0.x2−6x+6=0.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 9.12.

Будьте готовы 11.6

Запишите в стандартной форме: y=3×2−6x+5.y=3×2−6x+5.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 9.59.

График вертикальных парабол

Следующее коническое сечение, которое мы рассмотрим, — это парабола.Мы определяем параболу как все точки плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной прямой. Неподвижная точка называется фокусом , , а неподвижная линия называется направляющей параболы.

Парабола

Парабола — это все точки плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной линии. Неподвижная точка называется фокусом , , а неподвижная линия называется направляющей параболы.

Ранее мы научились строить вертикальные параболы из общей формы или стандартной формы с помощью свойств. Эти методы также будут работать здесь. Здесь мы подведем итог свойствам.

Вертикальные параболы
Общая форма
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
Стандартная форма
y=a(x−h)2+ky=a(x−h)2+k
Ориентация а>0а>0 вверх; а<0а<0 вниз а>0а>0 вверх; а<0а<0 вниз
Ось симметрии х=-b2ax=-b2a х=хх=ч
Вершина Подставьте x=−b2ax=−b2a и
найдите y .
(ч, к) (ч, к)
у — перехват Пусть х=0х=0 Пусть х=0х=0
x -пересечения Пусть у=0у=0 Пусть у=0у=0

Графики показывают, как выглядят параболы, когда они открываются вверх или вниз. Их положение относительно оси 91 247 x 90 466 или 91 247 y 90 466 является просто примером.

Чтобы построить параболу из этих форм, мы использовали следующие шаги.

How To

График вертикальных парабол (y=ax2+bx+corf(x)=a(x−h)2+k)(y=ax2+bx+corf(x)=a(x−h)2+ k) с использованием свойств.
  1. Шаг 1. Определите, направлена ​​ли парабола вверх или вниз.
  2. Шаг 2. Найдите ось симметрии.
  3. Шаг 3. Найдите вершину.
  4. Шаг 4. Найдите точку пересечения и . Найдите точку, симметричную точке пересечения y поперек оси симметрии.
  5. Шаг 5. Найдите точки пересечения x .
  6. Шаг 6. Постройте параболу.

В следующем примере рассматривается метод построения графика параболы из общей формы ее уравнения.

Пример 11.12

График y=−x2+6x−8y=−x2+6x−8 с использованием свойств.

Решение
Поскольку a равно −1,−1, парабола открывается вниз.
Чтобы найти ось симметрии, найдите x=−b2a.х=-b2а.
Ось симметрии x=3.x=3.
Вершина находится на линии x=3.x=3.
Пусть х=3. х=3.
Вершина (3,1).(3,1).
Перехват y происходит, когда x=0.x=0.
Замените x=0.x=0.
Упрощение.
y -отрезок равен (0,−8). (0,−8).
Точка (0,−8)(0,−8) находится на три единицы левее линии симметрии
. Точка на три единицы правее 90 584 от линии симметрии равна (6,−8).(6,−8).
Точка, симметричная точке пересечения y , равна (6,−8).(6,−8).
Пересечение x происходит, когда y=0.y=0.
Пусть y=0.y=0.
Фактор GCF.
Фактор трехчлена.
Решить для x .
x -перехваты равны (4,0),(2,0).(4,0),(2,0).
Постройте параболу.

Попробуйте 11.23

График y=−x2+5x−6y=−x2+5x−6 с использованием свойств.

Попробуйте 11.24

График y=−x2+8x−12y=−x2+8x−12 с использованием свойств.

В следующем примере рассматривается метод построения графика параболы из стандартной формы ее уравнения y=a(x−h)2+k.y=a(x−h)2+k.

Пример 11.13

Writey=3×2−6x+5y=3×2−6x+5 в стандартной форме, а затем использовать свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

Решение
Перепишите функцию в виде y=a(x−h)2+ky=a(x−h)2+k из числа
, заполнив квадрат.
у=3х2-6х+5у=3х2-6х+5
у=3(х2-2х)+5у=3(х2-2х)+5
y=3(x2−2x+1)+5−3y=3(x2−2x+1)+5−3
у=3(х-1)2+2у=3(х-1)2+2
Определите константы a, h, k . а=3а=3, ч=1ч=1, к=2к=2
Поскольку a=3,a=3, парабола направлена ​​вверх.
Ось симметрии x=h.x=h. Ось симметрии x=1.x=1.
Вершина (h,k).(h,k). Вершина (1,2).(1,2).
Найдите точку пересечения и , подставив x=0.x=0. y=3(x−1)2+2y=3(x−1)2+2
y=3·02−6·0+5y=3·02−6·0+5
у=5у=5
y -пересечение (0,5)(0,5)
Найдите точку, симметричную относительно (0,5)(0,5) относительно оси симметрии. (2,5)(2,5)
Найдите точки пересечения x . y=3(x−1)2+20=3(x−1)2+2−2=3(x−1)2−23=(x−1)2±−23=x−1y=3 (x−1)2+20=3(x−1)2+2−2=3(x−1)2−23=(x−1)2±−23=x−1
Квадратный корень из отрицательного числа
говорит нам, что решения представляют собой комплексные числа
. Так что нет x -intercepts.
Постройте параболу.

Попробуйте 11.25

ⓐ Запишите y=2×2+4x+5y=2×2+4x+5 в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

Попробуйте 11. 26

ⓐ Запишите y=−2×2+8x−7y=−2×2+8x−7 в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

График горизонтальных парабол

До сих пор наша работа касалась только парабол, открывающихся вверх или вниз. Теперь мы рассмотрим горизонтальные параболы. Эти параболы открываются либо влево, либо вправо. Если мы поменяем местами x и y в наших предыдущих уравнениях для парабол, мы получим уравнения для парабол, которые открываются влево или вправо.

Горизонтальные параболы
Общая форма
x=ay2+by+cx=ay2+by+c
Стандартная форма
x=a(y−k)2+hx=a(y−k)2+h
Ориентация а>0а>0 справа; а<0а<0 осталось а>0а>0 справа; а<0а<0 осталось
Ось симметрии у=-b2ay=-b2a у=кы=к
Вершина Подставьте y=-b2ay=-b2a и
найдите x .
(ч, к) (ч, к)
у -перехваты Пусть х=0х=0 Пусть х=0х=0
x — перехват Пусть у=0у=0 Пусть у=0у=0

Таблица 11.1

Графики показывают, как выглядят параболы, когда они смещены влево или вправо. Их положение относительно оси 91 247 x 90 466 или 91 247 y 90 466 является просто примером.

Глядя на эти параболы, представляют ли их графики функцию? Поскольку оба графика не прошли тест на вертикальную линию, они не представляют функцию.

График параболы, открывающейся влево или вправо, в основном аналогичен тому, что мы делали для параболы, открывающейся вверх или вниз, с изменением местами переменных x и y .

How To

Начертите горизонтальные параболы (x=ay2+by+corx=a(y−k)2+h)(x=ay2+by+corx=a(y−k)2+h) с использованием свойств.
  1. Шаг 1. Определить, выходит ли парабола влево или вправо.
  2. Шаг 2. Найдите ось симметрии.
  3. Шаг 3. Найдите вершину.
  4. Шаг 4. Найдите точку пересечения x . Найдите точку, симметричную точке пересечения x поперек оси симметрии.
  5. Шаг 5. Найдите точки пересечения и .
  6. Шаг 6. Постройте параболу.

Пример 11.14

График x=2y2x=2y2 с использованием свойств.

Решение

Поскольку вершина равна (0,0),(0,0), обе точки пересечения x и y являются точкой (0,0). (0,0). Для построения параболы нам нужно больше точек. В этом случае проще всего выбрать значения и .


Мы также наносим точки, симметричные относительно (2,1)(2,1) и (8,2)(8,2) поперек оси y , точки (2,−1),(2,−1 ),(8,−2).(8,−2).

Нарисуйте параболу.

Попробуйте 11.27

График x=y2x=y2 с использованием свойств.

Попробуйте 11.28

График x=−y2x=−y2 с использованием свойств.

В следующем примере вершина не является исходной точкой.

Пример 11.15

График x=−y2+2y+8x=−y2+2y+8 с использованием свойств.

Решение
Поскольку a=−1,a=−1, парабола открывается влево.
Чтобы найти ось симметрии, найдите y=−b2a.у=-b2а.
Ось симметрии y=1.y=1.
Вершина находится на линии y=1.y=1.
Пусть y=1.y=1.
Вершина (9,1). (9,1).
Пересечение x происходит, когда y=0.у=0.
Пересечение x равно (8,0).(8,0).
Точка (8,0)(8,0) находится на единицу ниже линии симметрии
. Симметричная точка на единицу
выше линии симметрии равна (8,2)(8,2)
Симметричная точка (8,2).(8,2).
Перехват y происходит, когда x=0. x=0.
Замените x=0.х=0.
Решить.
y -отрезки равны (0,4)(0,4) и (0,−2).(0,−2).
Соедините точки, чтобы построить параболу.

Попробуйте 11.29

График x=−y2−4y+12x=−y2−4y+12 с использованием свойств.

Попробуйте 11.30

График x=−y2+2y−3x=−y2+2y−3 с использованием свойств.

В таблице 11.1 мы видим связь между уравнением в стандартной форме и свойствами параболы. В поле How To перечислены шаги для построения графика параболы в стандартной форме x=a(y−k)2+h.x=a(y−k)2+h. Мы будем использовать эту процедуру в следующем примере.

Пример 11.16

График x=2(y−2)2+1x=2(y−2)2+1 с использованием свойств.

Решение
Определите константы a, h, k . а=2,а=2,ч=1,ч=1,к=2к=2
Поскольку a=2,a=2, парабола открывается вправо.
Ось симметрии y=k.y=k. Ось симметрии y=2.y=2.
Вершина (h,k).(h,k). Вершина (1,2).(1,2).
Найдите точку пересечения x , подставив y=0.y=0. х=2(у-2)2+1х=2(0-2)2+1х=9х=2(у-2)2+1х=2(0-2)2+1х=9
Пересечение x равно (9,0).(9,0).
Найдите точку, симметричную (9,0)(9,0) относительно оси симметрии
.
(9,4)(9,4)
Найдите и -перехваты. Пусть х=0.х=0. х=2(у-2)2+10=2(у-2)2+1-1=2(у-2)2х=2(у-2)2+10=2(у-2)2 +1−1=2(y−2)2
Квадрат не может быть отрицательным, поэтому настоящего решения
не существует. Так что нет и -перехватов.
Постройте параболу.

Попробуйте 11.31

График x=3(y−1)2+2x=3(y−1)2+2 с использованием свойств.

Попробуйте 11.32

График x=2(y−3)2+2x=2(y−3)2+2 с использованием свойств.

В следующем примере мы замечаем, что а отрицательно, поэтому парабола открывается влево.

Пример 11.17

График x=−4(y+1)2+4x=−4(y+1)2+4 с использованием свойств.

Решение
Определите константы a, h, k . а=-4,а=-4,ч=4,ч=4,к=-1к=-1
Поскольку a=−4,a=−4, парабола открывается влево.
Ось симметрии y=k.y=k. Ось симметрии y=−1. y=−1.
Вершина (h,k).(h,k). Вершина равна (4,−1).(4,−1).
Найдите точку пересечения x , подставив y=0.y=0. х=-4(у+1)2+4х=-4(0+1)2+4х=0х=-4(у+1)2+4х=-4(0+1)2+4х=0
Пересечение x равно (0,0).(0,0).
Найдите точку, симметричную относительно (0,0)(0,0) относительно оси симметрии
.
(0,−2)(0,−2)
Найдите и -перехваты. х=-4(у+1)2+4х=-4(у+1)2+4
Пусть х=0. х=0. 0=−4(y+1)2+4−4=−4(y+1)21=(y+1)2y+1=±10=−4(y+1)2+4−4= −4(y+1)21=(y+1)2y+1=±1
у=-1+1у=-1-1у=-1+1у=-1-1
у=0у=-2у=0у=-2
y -отрезки равны (0,0)(0,0) и (0,−2).(0,−2).
Постройте параболу.

Попробуйте 11.33

График x=−4(y+2)2+4x=−4(y+2)2+4 с использованием свойств.

Попробуйте 11.34

График x=−2(y+3)2+2x=−2(y+3)2+2 с использованием свойств.

В следующем примере требуется, чтобы мы сначала привели уравнение в стандартную форму, а затем использовали свойства.

Пример 11.18

Запишите x=2y2+12y+17x=2y2+12y+17 в стандартной форме, а затем используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

Решение
Перепишите функцию в виде
x=a(y−k)2+hx=a(y−k)2+h, заполнив
квадрат.
Определите константы a, h, k . а=2,ч=-1,к=-3а=2,ч=-1,к=-3
Поскольку a=2,a=2, парабола раскрывается на
вправо.
Ось симметрии y=k.y=k. Ось симметрии y=−3.y=−3.
Вершина (h,k).(h,k). Вершина равна (−1,−3).(−1,−3).
Найдите точку пересечения x , подставив
y=0.y=0.
х=2(у+3)2-1х=2(0+3)2-1х=17х=2(у+3)2-1х=2(0+3)2-1х=17
Пересечение x равно (17,0). (17,0).
Найдите точку, симметричную (17,0)(17,0)
относительно оси симметрии.
(17,−6)(17,−6)
Найдите и -перехваты.

Пусть х=0.х=0.
х=2(у+3)2-10=2(у+3)2-11=2(у+3)212=(у+3)2у+3=±12у=-3±22х=2( у+3)2-10=2(у+3)2-11=2(у+3)212=(у+3)2у+3=±12у=-3±22
у=-3+22у=-3-22у=-3+22у=-3-22
лет≈−2,3 года≈−3,7 года≈−2,3 года≈−3,7
y -перехваты равны (0,−3+22),(0,−3−22). (0,−3+22),(0,−3−22).
Постройте параболу.

Попробуйте 11.35

ⓐ Запишите x=3y2+6y+7x=3y2+6y+7 в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

Попробуйте 11.36

ⓐ Запишите x=-4y2-16y-12x=-4y2-16y-12 в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

Решение задач с помощью парабол

Многие архитектурные проекты включают параболы.Мосты нередко строятся с использованием парабол, как мы увидим в следующем примере.

Пример 11.19

Найдите уравнение параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

Решение

Сначала мы настроим систему координат и нарисуем параболу. График даст нам информацию, необходимую для записи уравнения графика в стандартной форме: my=a(x−h)2+k.у=а(х-ч)2+к.

Пусть нижняя левая сторона моста будет
началом координатной сетки в точке (0,0).(0,0).
Поскольку ширина основания составляет 20 футов, точка
(20,0)(20,0) представляет нижнюю правую сторону.
Высота моста 10 футов в самой высокой точке
. Самая высокая точка является вершиной параболы
, поэтому координата y вершины
будет равна 10.
Поскольку мост симметричен, вершина
должна находиться на полпути между крайней левой точкой
, (0,0) ,(0,0), и крайняя правая точка
(20,0).(20,0). Отсюда мы знаем, что
x -координата вершины тоже будет 10.
Определите вершину (h,k). (h,k). (ч,к)=(10,10)(ч,к)=(10,10)
h=10, k=10h=10, k=10
Подставьте значения в стандартную форму.

Значение a пока неизвестно. Чтобы найти
значение и , используйте одну из других точек
на параболе.
y=a(x−h)2+ky=a(x−10)2+10(x,y)=(0,0)y=a(x−h)2+ky=a(x−10) )2+10(х,у)=(0,0)
Подставьте значения другой точки
в уравнение.
у=а(х-10)2+100=а(0-10)2+10у=а(х-10)2+100=а(0-10)2+10
Найдите и . 0=а(0-10)2+10-10=а(-10)2-10=100а-10100=аа=-1100=а(0-10)2+10-10=а(-10) 2−10=100a−10100=aa=−110
у=а(х-10)2+10у=а(х-10)2+10
Подставьте значение на в уравнение
.
y=-110(x-10)2+10y=-110(x-10)2+10

Попробуйте 11.37

Найдите уравнение параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

Попробуйте 11.38

Найдите уравнение параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

Раздел 11.2 Упражнения

Практика делает совершенным

График вертикальных парабол

В следующих упражнениях постройте график каждого уравнения, используя свойства.

53.

у=-х2+4х-3у=-х2+4х-3

54.

у=-х2+8х-15у=-х2+8х-15

56.

у=8х2-10х+3у=8х2-10х+3

В следующих упражнениях ⓐ запишите уравнение в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

57.

у=-х2+2х-4у=-х2+2х-4

59.

у=-2×2-4x-5y=-2×2-4x-5

60.

у=3х2-12х+7у=3х2-12х+7

График Горизонтальные параболы

В следующих упражнениях постройте график каждого уравнения, используя свойства.

65.

х=-у2-2у+3х=-у2-2у+3

66.

х=-у2-4у+5х=-у2-4у+5

68.

х=у2-4у-12х=у2-4у-12

71.

х=-(у-1)2+2х=-(у-1)2+2

72.

х=-(у-4)2+3х=-(у-4)2+3

75.

х=-(у+3)2+2х=-(у+3)2+2

76.

х=-(у+4)2+3х=-(у+4)2+3

77.

х=-3(у-2)2+3х=-3(у-2)2+3

78.

х=-2(у-1)2+2х=-2(у-1)2+2

79.

х=4(у+1)2-4х=4(у+1)2-4

80.

х=2(у+4)2-2х=2(у+4)2-2

В следующих упражнениях ⓐ запишите уравнение в стандартной форме и ⓑ используйте свойства стандартной формы для построения графика уравнения.

83.

х=-2y2-12y-16x=-2y2-12y-16

84.

х=-3y2-6y-5x=-3y2-6y-5

Смешанная практика

в следующих упражнениях, сопоставить каждый граф к одному из следующих уравнений: ⓐ x 66 2 + y 2 = 64 ⓑ x 2 + y 2 = 49
ⓒ ( x + 5) 2 + ( y + 2) 2 = 4 ⓓ ( x — 2) 2 + ( y — 3) 2 = 9 ⓔ y = — x 2 + 8 x — 15 ⓕ y = 6 x 2 + 2 x — 1 9003 86. 88. 90.

Решение задач с помощью парабол

91.

Запишите уравнение в стандартной форме для параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

92.

Запишите уравнение в стандартной форме для параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

93.

Запишите уравнение в стандартной форме для параболической арки, образованной в основании показанного моста.Запишите уравнение в стандартной форме.

94.

Запишите уравнение в стандартной форме для параболической арки, образованной в основании показанного моста. Запишите уравнение в стандартной форме.

Письменные упражнения
95.

Своими словами дайте определение параболе.

96.

Является ли парабола y=x2y=x2 функцией? Является ли парабола x=y2x=y2 функцией? Объясните, почему да или почему нет.

97.

Напишите уравнение параболы, которая выходит вверх или вниз в стандартной форме, и уравнение параболы, которая выходит влево или вправо в стандартной форме.Начертите для каждого параболу, обозначьте вершину и ось симметрии.

98.

Объясните своими словами, как из уравнения можно определить, направлена ​​ли парабола вверх, вниз, влево или вправо.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в выполнении всех задач?

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск