Степени с натуральным показателем таблица: Степень с целым показателем

Содержание

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число.

В прошлом уроке мы изучили степень с натуральным показателем. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку натуральные числа относятся к целым числам.

Также, мы рассмотрели степень, показателем которой является 0. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку 0 относится к целым числам.

Рассмотрим ещё один вид степени с целым показателем, а именно показателем которой является целое отрицательное число. Выглядят эти степени так:

2−2, 10−7, a−8

В дальнейшем любую степень с натуральным, нулевым или целым отрицательным показателем, мы будем называть степенью с целым показателем.

Предварительные навыки

Правило вычисления

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

20, 21, 22, 23, 2

4, 25

Первая степень в этой последовательности это степень 20. Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2−1.

2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

А предыдущая степень с целым показателем, которая располагается до 2−1, будет степень 2−2

2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Продолжим эту последовательность в сторону степеней с целыми отрицательными показателями:

2−5, 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Теперь попробуем вычислить эти степени. Степени с натуральными показателями и степень, показателем которой является 0, вычисляются легко:

А как вычислить степени с отрицательными показателями? Для начала немного отойдём от темы и затронем несколько закономерностей.

В отрицательную степень число возводится немного иначе. Следует понимать, что если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Если мы возьмём какое-нибудь число n, и начнём последовательно увеличивать его степень, то получим последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего в n раз.

Например, возьмём число 2. Начиная с нуля будем последовательно увеличивать его показатель:

20, 21, 22, 23, 24, 25

Вычислим эти степени:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Получили последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2

Вернёмся к нашей исходной последовательности, где мы вычисляли степени. Получается, что степень 2−1 мы вычислили. Она равна рациональному числу 

Предыдущее за числом должно быть в два раза меньше, чем . Чтобы его получить разделим  на 2

Получили . Это значение степени 2−2

Продолжая деление на 2 можно получить значения остальных степеней с целыми отрицательными показателями:

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

К примеру, значение степени в 22 есть число 4. А значение степени 2−2 есть число . Числа 4 и  являются обратными друг другу. А степени 22 и 2−2 отличаются только тем, что у них противоположные показатели.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем. Покажем это на примере степени 2−2

Вычислим степень, находящуюся в знаменателе:

Таким образом, чтобы вычислить степень вида an можно воспользоваться следующим правилом:

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, потребовалось вычислить выражение 2: 25. Запишем это деление в виде дроби

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями:

Получили степень с отрицательным показателем 2−2. Ранее мы выяснили, что её значение равно . Чтобы убедиться в этом, попробуем вычислить выражение   как обычно, не используя правило деления степеней:

Получили рациональное число . Сократим его на 8. Тогда получим 


Пример 2. Найти значение выражения 9−2

Воспользуемся правилом вычисления степени с целым отрицательным показателем:


Пример 3. Найти значение выражения 3−3

Следует упомянуть, что правило  работает только тогда, когда a ≠ 0.

Действительно, если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.


Пример 4. Найти значение выражения 


Пример 5. Найти значение выражения 

При возведении обыкновенных дробей в отрицательную степень, можно пользоваться формулой . Решим предыдущие два примера с помощью этой формулы:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.


Тождественные преобразования

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Например, чтобы представить выражение 2−1 × 2−3 в виде степени, можно воспользоваться основным свойством степени:

2−1 × 2−3 = 2−1 + (−3) = 2−4


Пример 2. Найти значение выражения 5−15 × 516

Воспользуемся основным свойством степени:

5−15 × 516 = 5−15 + 16 = 5= 5

или:

Видим, что первый вариант решения намного проще и удобнее.


Пример 3. Найти значение выражения (10−4)−1

Воспользуемся правилом возведения степени в степень:

(10−4)−1 = 10−4 × (−1) = 104 = 10000


Пример 4. Найти значение выражения 

Представим число основание 10 в виде произведения 2 × 5. Тогда числитель примет вид (2 × 5)−6

В числителе применим правило возведения в степень произведения:

Сократим получившуюся дробь на 5−6

Вычислим степень 2−6


Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение  равно 20, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 22 из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 22 × 2−2. Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

22 × 2−2 = 22 + (−2) = 20 = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве  поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида  на тождественно равное ей выражение 

a−n.

Теперь представим выражение  в виде произведения . То есть заменим деление умножением. Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь 

Теперь воспользуемся правилом . В произведении  заменим дробь  на тождественно равное ей выражение 2−2

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2

−2 из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2−2 и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение  представимо в виде произведения 

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2−2 была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби  содержит степени 32, a3b4. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 32a

3b4.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель


Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель


Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби  в числитель


Пример 5. Опустить степень из числителя дроби  в знаменатель


Пример 6. Степень из числителя дроби  опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь  в виде произведения  вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:


Пример 7. В дроби  перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:


Пример 8. Представить произведение 3x−5 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x−5 с помощью знака умножения:

3 × x−5

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x−5 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь согласно правилу умножения целого числа на дробь, умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 


Пример 9. Представить произведение 3(x + y)−4 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)−4. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)−4 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 


Пример 10. Представить дробь  в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x2 в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь  можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель  на тождественно равный ему сомножитель x−2.


Пример 11. Представить дробь  в виде произведения.


Пример 12. Найти значение выражения 

Поднимем степень 2−3 из знаменателя в числитель, а степень 10−2 из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2−3 в числитель, и степень 10−2 не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:


Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Число 10 в отрицательную степень возводится таким же образом, как и другие числа. Например:

Замечаем, что количество нулей, которые получаются в ответе равны модулю показателя исходной степени. Например, в степени 10−2 модуль показателя равен 2. Это значит, что в ответе будет содержаться два нуля. Так оно и есть:

Чтобы возвести число 10 в отрицательную степень, нужно перед единицей записать количество нулей, равное модулю показателя исходной степени.

При этом после первого нуля следует поставить запятую. Примеры:


Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать отрицательный показатель, модуль которого равен количеству нулей исходного числа.

Представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. Видим, что в числе 0,1 один нуль. Значит, число 0,1 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 101. Показатель степени 101 равен −1. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,1

0,1 = 101

Число 0,1 это результат деления , а эта дробь есть значение степени 101.


Пример 2. Представить число 0,01 в виде степени с основанием 10.

В числе 0,01 два нуля. Значит, число 0,01 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10−2. Показатель степени 10−2 равен −2. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,01

0,01 = 10−2

Число 0,01 это результат деления , то есть , а эта дробь есть значение степени 10−2.


Пример 3. Представить число 0,001 в виде степени с основанием 10.

0,001 = 10−3


Пример 4. Представить число 0,0001 в виде степени с основанием 10.

0,0001 = 10−4


Пример 5. Представить число 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10−5


Стандартный вид числа

Запишем число 2 000 000 в виде произведения числа 2 и 1 000 000

2 × 1 000 000

Сомножитель 1 000 000 можно заменить на степень 106

2 × 106

Такой вид записи называют стандартным видом числа. Стандартный вид числа позволяет записывать в компактном виде как большие, так и маленькие числа.

Например, маленькое число 0,005 можно записать в виде произведения числа 5 и десятичной дроби 0,001.

5 × 0,001

Десятичную дробь 0,001 можно заменить на степень с 10−3

5 × 10−3

Значит, число 0,005 в стандартном виде будет выглядеть как 5 × 10−3

0,005 = 5 × 10−3

По стандартному виду числа можно вычислить изначальное число. Так, при записи числа 2 000 000 в стандартном виде, мы получили произведение 2 × 106. Если вычислить это произведение, то снова получим 2 000 000

2 × 106 = 2 × 1 000 000 = 2 000 000

А при записи числа 0,005 в стандартном виде мы получили произведение 5 × 10−3. Если вычислить это произведение, то получим 0,005

То есть записывая число в стандартном виде нужно записывать его так, чтобы сохранить его изначальное значение.

Стандартным видом числа называют запись вида × 10n, где 1 ≤ < 10 и n — целое число.

Число а это исходное число, которое надо записать в стандартном виде. Оно должно удовлетворять неравенству 1 ≤ < 10. Чаще всего исходное число надо приводить к виду, при котором неравенство 1 ≤ < 10 становится верным.

Например, представим число 12 в стандартном виде. Для начала проверим становится ли верным неравенство 1 ≤ < 10 при подстановке числа 12 вместо а

1 ≤ 12 < 10

Неравенство верным не становится. Чтобы сделать неравенство верным, приведём число 12 к виду, при котором оно удовлетворяло бы данному неравенству. Для этого передвинем в числе 12 запятую влево на одну цифру:

1,2

Число 12 обратилось в число 1,2. Это число будет удовлетворять неравенству 1 ≤ < 10

1 ≤ 1,2 < 10

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение × 10n. С числом а мы разобрались — этим числом у нас будет 1,2. А как подобрать степень с основанием 10?

После переноса запятой на одну цифру влево, число 12 утратило своё изначальное значение. Запятая на одну цифру влево двигается тогда, когда число делят на 10. А чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,2 на 10.

Значит, чтобы записать число 12 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения 1,2 × 10¹

12 = 1,2 × 10¹


Пример 2. Записать число 0,5 в стандартном виде.

Число 0,5 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на одну цифру вправо. В результате получим число 5, которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 5. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n стало равным числу 0,5. Число 0,5 получится если умножить число 5 на множитель 0,1, который представим в виде степени 10−1. В результате получим следующую запись:

0,5 = 5 × 10−1


Пример 3. Записать число 652 000 в стандартном виде.

Число 652 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на пять цифр влево. В результате получим число 6,52000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 6,52000. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n стало равным числу 652 000. Число 652 000 получится если число 6,52000 умножить на 100 000, а это есть степень 105. В результате получим следующую запись:

652 000 = 6,52000 × 105

Нули в конце десятичной дроби 6,52000 можно отбросить. Тогда получим более компактную запись:

652 000 = 6,52 × 105


Пример 5. Записать число 1 024 000 в стандартном виде.

Число 1 024 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на шесть цифр влево. В результате получим число 1,024000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 1,024000 . А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n было равно изначальному числу 1 024 000. Число 1 024 000 получится если число 1,024000 умножить на 1 000 000, а это есть степень 106. В результате получим следующую запись:

1 024 000 = 1,024000 × 106

Нули в конце десятичной дроби 1,024000 можно отбросить:

1 024 000 = 1,024 × 106

Отбрасывать можно только те нули, которые располагаются в конце, и после которых нет других цифр, бóльших нуля. В приведённом примере были отброшены только три нуля, а нуль располагавшийся между запятой и цифрой 2 был сохранен, несмотря на то, что он тоже располагался после запятой.


Пример 6. Записать число 0,000325 в стандартном виде.

Передвинем в данном числе запятую так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 1 ≤ a< 10. В результате получим число 3,25

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 3,25. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n было равно изначальному числу 0,000325. Число 0,000325 получится если число 3,25 умножить на множитель 0,0001 который представим в виде степени 10−4. В результате получим следующую запись:

0,000325 = 3,25 × 10−4


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислите степень 3−2

Решение:

Задание 2. Вычислите степень (−3)−2

Решение:

Задание 3. Вычислите степень −3−2

Решение:

Задание 4. Вычислите степень (−1)−9

Решение:

Задание 5. Вычислите степень

Решение:

Задание 6. Вычислите степень

Решение:

Задание 7. Вычислите степень −(−2)−3

Решение:

Задание 8. Вычислите степень

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения 8 × 4−3

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения 18 × (−9)−1

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения 2−3 − (−2)−4

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения

Решение:

Задание 13. Представить произведение a4b в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 14. Представить произведение 7xy3 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 15. Представить произведение 6(xy)6 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 16. Представить произведение x−1y−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 17. Представить произведение 9a−1(a − b)−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 18. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 19. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 20. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 21. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 22. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 23. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 24. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 25. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 26. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 27. Представьте число 3 000 000 в стандартном виде.

Решение:

3 000 000 = 3 × 106

Задание 28. Представьте число 0,35 в стандартном виде.

Решение:

0,35 = 3,5 × 10−1

Задание 29. Представьте число 21,56 в стандартном виде.

Решение:

21,56 = 2,156 × 101

Задание 30. Представьте число 0,000008 в стандартном виде.

Решение:

0,000008 = 8 × 10−6

Задание 31. Представьте число 0,000335 в стандартном виде.

Решение:

0,000335 = 3,35 × 10−4

Задание 32. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 34. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 35. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 36. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 37. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 38. Представьте в виде степени выражение .

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Таблица степеней от 2 до 10 для натуральных чисел от 1 до 25

Возведение в степень — результат перемножения определённого заданного  натурального числа ( 1, 2, 3, 4, 5…) на себя самого, причём количество раз проведения математической операции умножения напрямую задается числовым показателем степени.

a — число;          
b — это степень или другими словами количество  множителей на которое и будет умножаться само число;

Пример: ab = 46=4096

Таблица степеней от 2 до 10 для натуральных чисел от 1 до 25
ab 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4 096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7 776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4 096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000
11 121 1 331 14 641 161051 1 771 561 19 487 171 214 358 881 2 357 947 691 25 937 424 601
12 144 1 728 20 736 248 832 2 985 984 35 831 808 429 981 696 5 159 780 352 61 917 364 224
13 169 2 197 28 561 371 293 4 826 809 62 748 517 815 730 721 10 604 499 373 137 858 491 849
14 196 2 744 38 416 537 824 7 529 536 105 413 504 1 475 789 056 20 661 046 784 289 254 654 976
15 225 3 375 50 625 759 375 11 390 625 170 859 375 2 562 890 625 38 443 359 375 576 650 390 625
16 256 4 096 65 536 1 048 576 16 777 216 268 435 456 4 294 967 296 68 719 476 736 1 099 511 627 776
17 289 4 913 83 521 1 419 857 24 137 569 410 338 673 6 975 757 441 118 587 876 497 2 015 993 900 449
18 324 5 832 104 976 1 889 568 34 012 224 612 220 032 11 019 960 576 198 359 290 368 3 570 467 226 624
19 361 6 859 130 321 2 476 099 47 045 881 893 871 739 16 983 563 041 322 687 697 779 6 131 066 257 801
20 400 8 000 160 000 3 200 000 64 000 000 1 280 000 000 25 600 000 000 512 000 000 000 10 240 000 000 000
21 441 9 261 194 481 4 084 101 85 766 121 1 801 088 541 37 822 859 361 794 280 046 581 16 679 880 978 201
22 484 10 648 234 256 5 153 632 113 379 904 2 494 357 888 54 875 873 536 1 207 269 217 792 26 559 922 791 424
23 529 12 167 279 841 6 436 343 148 035 889 3 404 825 447 78 310 985 281 1 801 152 661 463 41 426 511 213 649
24 576 13 824 331 776 7 962 624 191 102 976 4 586 471 424 110 075 314 176 2 641 807 540 224 63 403 380 965 376
25 625 15 625 390 625 9 765 625 244 140 625 6 103 515 625 152 587 890 625 3 814 697 265 625 95 367 431 640 625

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать». {n} }_{n — \text множителей} \]

Запись «an» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

где:
a — основание степени;
n — показатель степени.

Таблица степеней от 1 до 10

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
3n 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
4n 4 16 64 256 1 024 4 096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5n 5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6n 6 36 216 1 296 7 776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7n 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8n 8 64 512 4 096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9n 9 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10n 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Таблица степеней от 1 до 10

1 1 = 1

1 2 = 1

1 3 = 1

1 4 = 1

1 5 = 1

1 6 = 1

1 7 = 1

1 8 = 1

1 9 = 1

1 10 = 1

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256

2 9 = 512

2 10 = 1024

3 1 = 3

3 2 = 9

3 3 = 27

3 4 = 81

3 5 = 243

3 6 = 729

3 7 = 2187

3 8 = 6561

3 9 = 19683

3 10 = 59049

4 1 = 4

4 2 = 16

4 3 = 64

4 4 = 256

4 5 = 1024

4 6 = 4096

4 7 = 16384

4 8 = 65536

4 9 = 262144

4 10 = 1048576

5 1 = 5

5 2 = 25

5 3 = 125

5 4 = 625

5 5 = 3125

5 6 = 15625

5 7 = 78125

5 8 = 390625

5 9 = 1953125

5 10 = 9765625

6 1 = 6

6 2 = 36

6 3 = 216

6 4 = 1296

6 5 = 7776

6 6 = 46656

6 7 = 279936

6 8 = 1679616

6 9 = 10077696

6 10 = 60466176

7 1 = 7

7 2 = 49

7 3 = 343

7 4 = 2401

7 5 = 16807

7 6 = 117649

7 7 = 823543

7 8 = 5764801

7 9 = 40353607

7 10 = 282475249

8 1 = 8

8 2 = 64

8 3 = 512

8 4 = 4096

8 5 = 32768

8 6 = 262144

8 7 = 2097152

8 8 = 16777216

8 9 = 134217728

8 10 = 1073741824

9 1 = 9

9 2 = 81

9 3 = 729

9 4 = 6561

9 5 = 59049

9 6 = 531441

9 7 = 4782969

9 8 = 43046721

9 9 = 387420489

9 10 = 3486784401

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

10 5 = 100000

10 6 = 1000000

10 7 = 10000000

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Калькулятор степеней онлайн

Входные данные

Число*

Степень*

Точность

1234567

* Обязательные поля для заполнения

Результат

В таблице степеней содержатся значения натуральных положительных чисел от 1 до 10.

Запись 35 читают «три в пятой степени». В этой записи число 3 называют основанием степени, число 5 показателем степени, выражение 35 называют степенью.

Показатель степени указывает сколько множителей в произведение, 35=3×3×3×3×3=243

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Формулы и свойства степеней, все формулы и свойства степеней с натуральными показателями и не только

Содержание:


Степень

Число с называется n-ной степенью числа а, если

Свойства и формулы степеней используются при сокращении и упрощении сложных выражений, при решении уравнений и неравенств. Свойства степеней можно использовать совместно с таблицей степеней и таблицей умножения. В этом разделе описаны основные правила работы со степенями.


Формулы и свойства степеней

(степени с целыми показателями)

a1 = а, a0 = 1 (a ≠ 0), a-n = 1/an.

1  aman = am+n;

2  am/an = am-n;

3  (ab)n = anbn;

4  (am)n = amn;

5  (a/b)n = an/bn.

Если после изучения данного теоретического материала (Формулы и свойства степеней) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем.

                 Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Определение степени с натуральным показателем», «Умножение и деление степеней», «Возведение в степень произведения и степени», владеть навыками работы со степенями.

                 Цели урока:

                 а) образовательная:  проверка знаний по теме «Степень с натуральным показателем»; отработка и закрепление умений и навыков выполнения действий со степенями с натуральным показателем;

                  б)  воспитательная: воспитание интереса к предмету, потребности к приобретению знаний; формирование чувства коллективной ответственности, солидарности и здорового соперничества; аккуратности при выполнении заданий;

                  в) развивающая: развитие мыслительной деятельности, творческих возможностей каждого ребенка, творческой инициативы ученика.

                 Оборудование:     1) Карточки для работы у доски.

                                             2) Задания для устного счета.

                                             3) Комплекты для игры-«Танграм».

                                             4) Кроссворд (интерактивная доска).

                Тип урока: урок-смотр знаний.

Ход урока

   Учитель:   Девиз нашего урока сегодня слова великого русского писателя Льва Николаевича Толстого:

 «Нет ничего дороже для человека того, чтобы хорошо мыслить».

                Подтвердим это нашей работой на уроке.                                                     

                Ребята, как вы думаете, чем мы сегодня продолжим заниматься?

(Продолжим решение примеров на  умножение, деление степеней, возведения степени в степень, нахождения степени произведения)

     а) Работа у доски.  

Задание № 1.

  1. Найдите значение выражения: (3 х 2)2.
  2. Найдите значение выражения: (6К3)2.

 Задание № 2.

  1. Найдите значение выражения: (23)2.
  2. Найдите значения выражения: (К3)5.

 Задание № 3.

  1. Найдите значение выражения: 52 х 57 : 56.
  2. Упростите и запишите степенью: К23 х К0 : К8.

   б) Устный счет. (Пока ребята выполняют задания у доски, мы поработаем устно).

 а)   (2 х 2)3 ;

б)   (6 К)2 ;

в)   (31)2;

г)   (К5)4;

д)   (2К2)3.

в) Игра «Танграм».

     Учитель: Сегодня, вы не просто ученики 7 класса на уроке математики, сегодня вы инженеры- конструкторы в конструкторском бюро. Ваша задача с помощью полученных каждой парой или группой  «танов» сложить макет «маяка», конструкции, необходимой для безопасного прохода судами мелководья. При выполнении заданий вы получите одинаковые ответы – стороны «танов», которые должны соединяться. Все  «таны» дожны быть задействованы и их нельзя накладывать друг на друга. Все необходимое для работы у вас на столе.

     Выполняем задания и ответы записываем в таблицу, а затем составляем  из «танов» макет «маяка».

  1. Дана степень (- 3)7 . Чему равно основание этой степени?
  2. Дана степень 513 . Чему равен показатель?
  3. Запишите степенью произведение: УхУхУхУхУ.
  4. Найдите значение выражения. 4 х 52 – 3 х 22.
  5. Найдите значение выражения и запишите степенью: У13 х У6 : У14.
  6. Найдите значение выражения: (- 1)13 + (- 1)17 + (- 1)9.
  7. Какая из степеней  (32)14 или (315)2  больше?
  8. Упростите выражение : У3 х У х У0 : У3.
  9. Какая из степеней (23)4 или  (32)6   больше?
  10. Вычислите значение выражения: У4 + У5 – У4.
  11. Упростите выражение: У11х У3 : У0 : У13.
  12. Найдите значение степени: 73.
  13. Найдите значение выражения: 3(43 – 33)4
  14. Найдите значение выражения: (2 1/3)2
  15. Вычислите: (4/5)3.
  16. Найдите значение выражения: (4 х 5)2 .
  17. Найдите значение выражения: 0,33.
  18. Найдите значение выражения: 2 х 33 + 3 х 42 – 14.
  19. Найдите значение выражения: 0,122
  20. Найдите значение выражения: (2 х 10)2 .
  21. Найдите значение выражения: (3 х У)2
  22. Упростите и запишите степенью: (32)12.
  23. Упростите: (5,78)0.

 

     Таблица

Номер

«тана»

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Ответы

 

                                             

 

     г) Рефлексия. Кроссворд (интерактивная доска)

   

                 ​

 

 

  1. Как называется число, которое означает количество одинаковых множителей.
  2. Функция, график которой прямая линия
  3. Независимая переменная
  4. Произведение одинаковых множителей
  5. Выражение в математике, которое бывает правильным и неправильным?
  6. Наглядное изображение функции
  7. Число, которое умножают само на себя.

 

     д) Окончание урока.

1) Подведение итогов работы у доски,  игры «Танграм».                                                                            

2) Задание на дом: пункт 20,    №447 — №450   строчка)

 

     Приложение № 1.

 

     Для изготовления «танграма»  необходим лист плотного картона квадратной   формы, квадрат необходимо разрезать на 7 частей как на

 рисунке, а стороны   частей-танов пронумеровать по порядку от  1 до 23.

              

 

     Приложение № 2.  

 

 

     Приложение № 3. Рефлексия – Кроссворд

 

Таблицы экспонент и шаблоны

В таблицах степеней целых чисел можно найти много интересных закономерностей.

Полномочия 2

Полномочия 3

Полномочия 4

2 1 знак равно 2 3 1 знак равно 3 4 1 знак равно 4
2 2 знак равно 4 3 2 знак равно 9 4 2 знак равно 16
2 3 знак равно 8 3 3 знак равно 27 4 3 знак равно 64
2 4 знак равно 16 3 4 знак равно 81 4 4 знак равно 256
2 5 знак равно 32 3 5 знак равно 243 4 5 знак равно 1024
2 6 знак равно 64 3 6 знак равно 729 4 6 знак равно 4096
2 7 знак равно 128 3 7 знак равно 2187 4 7 знак равно 16384
2 8 знак равно 256 3 8 знак равно 6561 4 8 знак равно 65536
2 9 знак равно 512 3 9 знак равно 19683 4 9 знак равно 262144
2 10 знак равно 1024 3 10 знак равно 59049 4 10 знак равно 1048576

Одна вещь, которую вы можете заметить, это закономерности в цифрах. В полномочиях 2 таблица, единичные цифры образуют повторяющийся шаблон 2 , 4 , 8 , 6 , 2 , 4 , 8 , 6 , … . В полномочиях 3 таблица, единичные цифры образуют повторяющийся шаблон 3 , 9 , 7 , 1 , 3 , 9 , 7 , 1 , … . Мы оставляем это вам, чтобы выяснить, почему это происходит!

В полномочиях 4 таблица, чередуются единичные цифры: 4 , 6 , 4 , 6 . На самом деле, вы можете видеть, что силы 4 совпадают с четными степенями 2 :

4 1 знак равно 2 2 4 2 знак равно 2 4 4 3 знак равно 2 6 и Т. Д.

Такие же отношения существуют между силы 3 и силы 9 :

Полномочия 3

Полномочия 9

3 1 знак равно 3 9 1 знак равно 9
3 2 знак равно 9 9 2 знак равно 81
3 3 знак равно 27 9 3 знак равно 729
3 4 знак равно 81 9 4 знак равно 6561
3 5 знак равно 243 9 5 знак равно 59 049
3 6 знак равно 729 9 6 знак равно 531 441
3 7 знак равно 2187 9 7 знак равно 4 782 969
3 8 знак равно 6561 9 8 знак равно 43 046 721
3 9 знак равно 19 683 9 9 знак равно 387 420 489
3 10 знак равно 59 049 9 10 знак равно 3 486 784 401

То силы 10 легко, потому что мы используем база 10 : за 10 н просто напишите » 1 » с участием н нули после него. За отрицательные силы 10 − н , написать » 0. » с последующим н − 1 нули, а затем 1 . Полномочия 10 широко используются в научная нотация , так что это хорошая идея, чтобы освоиться с ними.

Полномочия 10

10 1 знак равно 10 10 0 знак равно 1
10 2 знак равно 100 10 − 1 знак равно 0.1
10 3 знак равно 1000 10 − 2 знак равно 0,01
10 4 знак равно 10 000 10 − 3 знак равно 0,001

10 5 знак равно 100 000

(сто тысяч)

10 − 4 знак равно 0. 0001

(одна десятитысячная)

10 6 знак равно 1 000 000

(один миллион)

10 − 5 знак равно 0,00001

(стотысячный)

10 7 знак равно 10 000 000

(десять миллионов)

10 − 6 знак равно 0.000001

(одна миллионная)

10 8 знак равно 100 000 000

(сто миллионов)

10 − 7 знак равно 0,0000001

(одна десятимиллионная)

10 9 знак равно 1 000 000 000

(один миллиард)

10 − 8 знак равно 0. 00000001

(стомиллионный)

10 10 знак равно 10 000 000 000

(десять миллиардов)

10 − 9 знак равно 0,000000001

(одна миллиардная)

Нажмите здесь для большего количества имен для очень большие и очень маленькие числа .

Еще одно следствие нашего использования база 10 хороший образец между отрицательными степенями 2 и полномочия 5 .

Полномочия 2

Полномочия 5

2 − 5 знак равно 1 32 знак равно 0. 03125 5 − 5 знак равно 1 3125 знак равно 0,00032
2 − 4 знак равно 1 16 знак равно 0,0625 5 − 4 знак равно 1 625 знак равно 0.0016
2 − 3 знак равно 1 8 знак равно 0,125 5 − 3 знак равно 1 125 знак равно 0,008
2 − 2 знак равно 1 4 знак равно 0. 25 5 − 2 знак равно 1 25 знак равно 0,04
2 − 1 знак равно 1 2 знак равно 0,5 5 − 1 знак равно 1 5 знак равно 0.2
2 0 знак равно 1 5 0 знак равно 1

логов и экспонент


Одним из основных свойств чисел является то, что они могут быть выражены в экспоненциальной форме. Мы все знакомы с представлением 1000 = 10 3 или 0,001 = 10 -3 . Более общий способ заявить это свойство означает, что любое число (N) может быть выражено как основание (B) возведен в степень (x) или N = В х

В приведенных выше примерах основание равно 10.Дополнительные примеры с использованием основание 10, основание 2 и основание e (где e = 2,718…) приведены ниже в таблице. 1.

Таблица 1
Количество = 10 x Число = 2 x Число = e x
.01 10 -2 1 2 0 .01 е -4,605 ​​
1 10 0 2 2 1 1 е 0
10 10 1 4 2 2 10 и 2. 303
1000 10 3 8 2 3 1000 е 6,908
2 10 .301 2 е .693
4 10 .602  4 е 1,386
8 10 .903 8 е 2,079
           

Первые четыре записи в разделе с основанием 10 выглядят естественно, как и записи в базе 2, но немногие студенты сразу угадали бы 0,301 как соответствующий показатель степени для 2 = 10 x . Далее натуральная база e (e = 2,71828..), вероятно, сначала кажется нелогичным основанием для представления числа.Как будет показано ниже, показательные функции вида y = ae bx очень распространены при описании физических и химических систем, и необходимо базовое понимание этого типа функций.

ЛОГАРИФМЫ

Математическая формула N = B x служит основой для определение логарифмов. Логарифм числа (N) по основанию (B) определяется как (х).

            логарифм (B) N = х

Обычно используются два основания, 10 и e.Сокращенные представления являются:

логарифм по основанию 10 10 N = логарифм 10 N = журнал N
и
основание e («натуральные» логарифмы) логарифм e Н = пер Н
Таким образом, логарифм числа — это просто степень, в которой должно быть основание. быть поднят, чтобы дать номер. В таблице 2 показаны логарифм и ln чисел в таблице 1.
Таблица 2
Число бревно п
. 0100 -2.000 -4,605
1,00 0 0
10,0 1.000 2.303
1000 3.000 6.908
2.00 0,301 0,693
4.00 0,602 1,386
8.00 0.903 2,079
     

ПРИМЕЧАНИЕ:
Учитываются только числа справа от десятичной точки в логарифме. значимые фигуры. Число слева от десятичной точки просто, по сути, говорит нам, где находится десятичная точка, и не считается значимая фигура.

Существует несколько основных правил работы с логарифмами. Примеры даны в базе 10, но правила применимы к любой базе.

Правило 1: журнал (a x b) = журнал a + журнал b
Примеры:

log (2000) = log (2 x 1000) = log 2 + log 1000 = 0,301 + 3 = 3.301
log (0,004) = log (4 x 0,001) = log 4 + log 0,001 = 0,602 — 3 = -2,398
Правило 2: журнал (а/б) = журнал а — журнал б
Примеры:
log (2/4) = log 2 — log 4 = 0,301 — 0,602 = -0,301
log (2/0,4) = log 2 — log 0,4 = log 2 — [log (4 x 0,1)] = 0,301 — [0,602 — 1] = 0,699
Правило 3: журнал (а) б = б журнал а
Примеры:
log (4) 3 = 3 log 4 = 3 x .602 = 1,806
log (8) 1/2 = 1/2 log 8 = 1/2 x 0,903 = 0,452
Правило 4: журнал (10) х = х
Примеры:
журнал 10 -8 = -8
лн е 4 = 4
Если кто-то знает логарифм числа и хочет найти это число, просто возводит основание в степень логарифма. Это называется взятие антилогарифм.

Примеры:

антилог. .301 = 10 .301 = 2
антилогарифмический 1,806 = 10 1,806 = 64
антилог-2.398 = 10 -2,398 = 0,004
против n 2,303 = е 2,303 = 10
против n 1,386 = e 1,386 = 4
Примечание: На большинстве калькуляторов антилогарифмы могут быть взяты
  • ИНВ + лог или ИНВ + пер

  • или
  • 10 x или e x

  • или
  • y x , где y = ОСНОВА.
Хотя логарифмы интересны и полезны сами по себе, они наибольшую применимость для нас при работе с экспоненциальными функциями. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Одно из очень распространенных функциональных соотношений, выявляемых экспериментально. наблюдения экспоненциальное увеличение или уменьшение. Это занимает форма выражения как

у = е х и у = е

В более общем виде это выглядит как

y = e x и y = e -ax

, где a объединяет любые количества, которые можно считать постоянна при изменении x и y. На графике эти функции появляются, как показано на рисунке 1 (обратите внимание, что когда x = 0, y становится = 1). База Логарифмы можно преобразовать в логарифмы по основанию 10.

Рис. 1. Экспоненциальные функции

Так как очень сложно получить точную форму коэффициента a из таких графиков становится удобнее применять логарифмы функционировать в этой форме. Таким образом,
y = e ax становится ln y = ax; y = 10 a’x становится журнал у = а’х

или 2.3 журнала у = ах. [Обратите внимание, что а’ = а/2,3]

, и график зависимости ln (или log) y от x даст прямую линию чей наклон будет «а». К этим выражениям применимы те же соображения. когда они являются прямыми линиями, как любая прямая линия.

В простом случае рассмотрим данные из табл. 3 для разложения перекиси водорода. Показаны два способа графического отображения этих данных. внизу: (а) концентрация в зависимости от времени в прямоугольных координатах, (б) логарифм концентрация во времени в прямоугольных координатах. Они проиллюстрированы на рисунках 2а-2б.

Таблица 3
Разложение перекиси водорода
Время Концентрация Лог Концентрация
0 22,8 1,358
5 17,6 1,245
10 13,8 1.140
15 10.5 1,021
20 8,25 0,916
     

 Рис. 2а. Разложение перекиси водорода
 График зависимости концентрации от времени

Рисунок 2б. Разложение перекиси водорода
График зависимости концентрации журнала от времени

Используете ли вы логарифмическую или экспоненциальную форму для таких отношений зависит от того, что предстоит определить.Математически экспоненциальная форма имеет определенные преимущества, а графически логарифмическая форма более информативна. Любая функциональная связь в этой форме имеет узнаваемые характеристики. которые становятся более очевидными, когда в общее выражение включается еще один символ. Таким образом,

у = у о е -ах

, где y o — константа, определяемая тем, что при x = 0, значение e -ax = 1 и при этих условиях y = y o .Следующие примеры иллюстрируют общие характеристики этого типа функции. «a» — это конкретная константа в каждом примере.

  1. Снижение концентрации реагирующего вещества c в единицу времени t пропорционален концентрации и выражается как

  2. c = c o e -at
    , где c o – концентрация в момент времени t = 0 (в начале эксперимента).
  3. Уменьшение интенсивности падающего света I пропорционально на глубину l поглощающего материала и выражается как

  4.         I = I o e -al
    где I o — интенсивность падающего излучения на l = 0, до прохождения через поглощающий материал.
  5. Давление атмосферы P уменьшается со скоростью, пропорциональной высота h и выражается как

  6.         P = P o e -ah
    , где P o — давление при h = 0 на уровне моря.
Общие Подход к созданию уравнения на основе данных
  1. Нанесите заданные числовые значения x и y на лист миллиметровой бумаги, используя y как вертикальная ось (ордината) и x как горизонтальная ось (абсцисса). Если доступна графическая программа для микрокомпьютера, она обеспечивает удобный способ изучить график, не прибегая к бумажной копии.Экспериментально независимое значение обычно откладывается по оси абсцисс, а экспериментально измеряемая, зависимая, переменная по оси Y.
  2. Если полученный график показывает прямую линию, уравнение для исходного числовые значения легко определяются, так как уравнение прямой строка

  3.         y = mx + b
    , где m = наклон и b = точка пересечения линии с осью y (при x=0).
Рисунок A. Положительный уклон 
уклон = м = подъем/спуск = 2/3

Рисунок Б.Отрицательный уклон
уклон = м = подъем/спуск = -2/2 = -1

    Рассчитайте или считайте значения m и b, затем вставьте m и значения b в уравнение y = mx + b. В результате должно получиться уравнение ты ищешь. Чтобы еще раз проверить свою работу, попробуйте некоторые из оригинальных данные значения для x в вашем уравнении и посмотреть, выходит ли y, как ожидалось. Уравнение линии на рис. A: y = 2x/3 + 5/3, а на рис. B: у = -х + 5 = 5 — х.

  1. Если график, полученный в результате шага I, не является прямой линией, вы не особенно вероятно, произойдет на уравнение путем осмотра.т.е. тот факт, что если х = 3, y = 9, (одна точка) не означает, что уравнение y = x 2 (действительно для всех точек). Один из способов заключается в преобразовании исходных данных в прямая линия. В этом курсе мы столкнемся с несколькими отношениями форма

  2.         y = ae -b/T
    где y — некоторое свойство системы, a и b — константы, а T это температура в Кельвинах. Все эти функции линеаризуются с помощью натуральный логарифм выражения.

    ln y = ln a — b/T. График зависимости ln y от 1/T даст прямую линию с наклон -b и точка пересечения ln a.

Задачи

Экспоненциальные функции: введение

Экспоненциальный Функции: Введение (стр. 1 из 5)

Разделы: Введение, оценка, графическое представление, Сложные проценты, натуральный экспоненциальный


Экспоненциальные функции выглядят чем-то похожие на функции, которые вы видели раньше, в том, что они включают степени, но есть большая разница в том, что переменная теперь сила, а не база. Раньше вы имели дело с такими функционирует как ф ( х ) = х 2 , где переменная x была база и номер 2 была сила. Однако в случае экспонент вы будете иметь дело с такими функциями, как г ( x ) = 2 х , где основание — фиксированное число, а степень — переменная.

Давайте посмотрим внимательнее при функции г ( x ) = 2 х . Чтобы оценить эту функцию, мы работаем как обычно, выбирая значения x , подключая их и упрощая ответы. Но чтобы оценить 2 x , нам нужно помнить, как работают экспоненты. В частности, мы должны помнить этот негатив показатели степени означают «поставить основание по другую сторону линии дроби».

 

Итак, при положительном x -значения дайте нам такие значения:

  

 

  

 

. ..отрицательные x -значения дайте нам такие значения:

авторское право Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

  

 

   

 

Сборка «разумные» (хорошо графически) точки, это наша T-диаграмма:

  

 

  

 

…и это наш график:

  

 

Вы должны ожидать экспоненты выглядеть вот так. То есть они начинают с малого очень малого, такого малого, что они практически неотличимы от и = 0″, что ось x а потом, как только они начинают расти, они растут все быстрее и быстрее, так быстро что они стреляют прямо через верхнюю часть вашего графика.

Вы также должны ожидать что в вашей Т-диаграмме не будет много полезных сюжетных точек. Например, для х = 4 и х = 5, и -значения были слишком большими, и почти для всех отрицательных значений x , и -значения были слишком малы, чтобы их можно было разглядеть, так что можно было просто провести линию прямо вдоль верхней части оси x .

Заметьте также, что моя ось шкалы не совпадают.Масштаб по оси x значительно шире шкалы по оси y ; шкала по оси y сжато по сравнению с осью x . Вы, вероятно, найдете эту технику полезной при построении графиков экспонент. из-за того, что они так быстро растут. Вы найдете несколько T-диаграмм точек, а затем, зная общий вид экспонент, вы будете строить свой график, обычно с левой частью графика работает прямо по оси x .


Возможно, вы слышали о термин «экспоненциальный рост». Это «медленное начало, но затем все время растет все быстрее и быстрее» рост — это то, что они имеют в виду к. В частности, наша функция g ( x ) выше удваивается каждый раз, когда мы увеличиваем x . То есть когда х был увеличен на 1 над тем, что было, и увеличился в два раза по сравнению с предыдущим.Это определение экспоненциального рост: существует последовательный фиксированный период, в течение которого функция удвоится (или утроится, или учетверится и т. д.; дело в том, что изменение всегда фиксированная пропорция). Поэтому, если вы слышите, как кто-то утверждает, что население мира удваивается каждые тридцать лет, вы знаете, он утверждает экспоненциальный рост.

Экспоненциальный рост «больше» и «быстрее», чем полиномиальный рост.Это означает, что независимо от какова степень данного многочлена, данной экспоненциальной функции в конечном итоге будет больше полинома. Несмотря на то, что экспоненциальный функция может начинаться очень, очень мало, но в конечном итоге она обгонит рост многочлена, так как он все время удваивается.

  

Например, x 10 кажется намного «больше», чем 10 x , и изначально это:

  

 

   

 
Но в конце концов 10 х (синим цветом внизу) догоняет и перегоняет x 10 (в красном кружке внизу, где x это десять и y составляет десять миллиардов), и это «больше», чем x 10 навсегда после:

  

 


Экспоненциальные функции всегда есть некоторое положительное число, отличное от 1 в качестве базы. Если подумать, имея отрицательное число (например, 2) так как база была бы не очень полезна, так как четные полномочия давали бы вам положительные ответы (например, «(2) 2 = 4″) и нечетные степени дадут вам отрицательный ответ (например, «(2) 3 = 8″), и что Вы бы даже сделали со степенями, которые не являются целыми числами? Кроме того, имея 0 или 1 так как база была бы тупой, так как 0 и 1 в любой степени просто 0 и 1, соответственно; в чем смысл? Поэтому экспоненты всегда иметь что-то положительное и отличное от 1 в качестве базы.

Топ |  1 | 2 | 3 | 4 | 5   | Вернуться к индексу Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Экспоненциальные функции: введение». Пурпурная математика . Доступно по адресу
     https://www.purplemath.com/modules/expofcns.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

Что такое показательная функция? — Видео и стенограмма урока

Пример функции

Всякий раз, когда появляется новая технология, люди не спешат получить ее сразу. Он начинается с нескольких человек, а затем постепенно завоевывает популярность все больше и больше, и тогда его используют все.

Эй, это похоже на экспоненциальную функцию!

Например, мобильные телефоны. Во времена пещерного человека, также известные как 1980-е, сотовые телефоны были довольно редки. Не вдаваясь в точные цифры, предположим, что в 1980 году у пяти человек в вашем городе был мобильный телефон.

В течение этого года каждый из этих людей уговорил одного друга купить телефон, так что через год у вас было десять человек с телефонами.Затем каждый из этих людей уговорил друга купить телефон, так что через два года осталось 20 человек с телефонами.

Если бы вы продолжали удваивать число каждый год, вы бы очень быстро получили действительно огромное число — в этом весь смысл экспоненциальной функции. С каждым годом количество увеличивается на все большую величину.

Теперь вернемся к нашему уравнению для показательной функции: y = ab x .

Y — это количество людей с телефонами, потому что это наша зависимая переменная. X — это количество лет, прошедших с 1980 года, потому что это наша независимая переменная.

Мы начали с пяти человек с сотовыми телефонами, поэтому 5 — это наше начальное значение , начальное значение функции, представленное константой a . В первый год мы умножили это на 2.

Во второй год мы взяли наше число из первого года и умножили и на 2. Это дает нам 5 х 2 х 2, что равняется 5 умножить на 2 в квадрате. В итоге получилось 20 человек.На третий год каждый из этих 20 человек убедил друга купить телефон, так что нам просто пришлось снова умножить на 2. Это дало нам 5 x 2 x 2 x 2, или 5 умножить на 2 в третьей степени, что равно 40. Вы можете увидеть закономерность здесь: мы прибавляем 1 к показателю степени каждый год, что означает, что мы умножаем 2 на себя. один дополнительный раз каждый год. В этом примере 2 представляет число, многократно умножаемое на каждом шаге , значение, возведенное в степень x , представленное константой b .

Вот почему нам нужны две константы в уравнении: одна для исходного значения, а другая для значения, возведенного в степень x . Это может немного сбивать с толку, потому что многие экспоненциальные функции начинаются только с одной вещи, поэтому a = 1. 1 умножить на любое число — это одно и то же число, поэтому похоже, что функция просто y . = б х . Но не смущайтесь: и все еще там! Это просто равно 1.

Другой пример

Обычный способ, которым вы увидите экспоненциальные функции, описанные словами, — это фраза вроде «увеличивается или уменьшается на _____% в год».Например, инвестиции увеличиваются в цене на один процент в год. Если вы рассчитываете проценты по кредиту, вы должны использовать такое уравнение.

Давайте рассмотрим пример задачи, чтобы увидеть, как она работает.

Инвестор покупает недвижимость в перспективном районе города. По мере того, как район становится лучше, стоимость недвижимости увеличивается. Стоимость недвижимости увеличивается на два процента в год. Если инвестор изначально купил его за 500 000 долларов, то сколько он будет стоить через пять лет?

Подставим это в нашу формулу экспоненциальной функции: y = ab x .

X — количество лет после первоначальной покупки. Y — значение свойства. Это наши входные и выходные переменные.

представляет начальное значение функции. Начальное значение этого свойства — 500 000, поэтому мы подставим его для и . Теперь самое сложное — вычислить b .

В первой задаче b было 2, потому что каждый год у нас было в два раза больше пользователей мобильных телефонов.В этом случае недвижимость стоит всего два процента, или на 0,02 доллара больше, поэтому ее стоимость растет медленнее. У вас может возникнуть соблазн подставить 0,02 для b , но просто взгляните и посмотрите, что произойдет, когда вы начертите это на графике.

Сразу видно, что это не увеличение стоимости! Это дает нам функцию, показывающую, сколько стоило бы имущество, если бы каждый год оно оценивалось в два процента от его стоимости годом ранее. Но нам не нужны два процента от его стоимости годом ранее; мы хотим, чтобы на два процента больше, чем его значения годом ранее.Чтобы получить это, нам нужно умножить на 1,02.

y = 500 000 * 1,02 x

Если мы определим некоторые значения этой функции, то получим:

Вот как это выглядит на графике.

А, так лучше! Вы не можете видеть, как наклон становится круче, потому что числа такие большие, но обратите внимание, как и каждый раз увеличиваются немного больше — сначала оно увеличивается на 10 000, затем на 10 200, затем на 10 404 и так далее. .

Вы можете видеть, что если вы сделаете математику вручную, то получите те же значения, которые вы получаете из функции; умножив значение каждого года на 1,02, чтобы найти двухпроцентное увеличение, вы получите одинаковые значения для каждого года. Таким образом, для пятого года, о котором первоначально задавался вопрос, стоимость составит 552 020,40 долларов. Наш сообразительный инвестор заработал 52 000 долларов!

Приложение к финансам

Итак, откуда взялись экспоненциальные функции? Историки считают, что экспоненциальные функции возникли в банковской сфере 17 века. Предположим, я даю вам кредит в размере 100 долларов и беру комиссию в размере 5%. Формула простых процентов ( I = Prt ) говорит, что я беру с вас 5 долларов, а вы должны мне 105 долларов. Это было довольно просто, но большинство кредиторов не используют простые проценты. Они предпочитают нечто более сложное, называемое сложными процентами .

Вместо того, чтобы просто брать с вас 5% годовых, я буду добавлять 5% каждую неделю, пока кредит не будет погашен. Затем через каждую неделю сумма долга увеличивается в 90 942 1 раз.05 . Давайте посмотрим, как будут выглядеть первые 5 недель:

Из этой таблицы получаем экспоненциальную функцию A = 100 * 1,05 t . Это покажет нам, сколько денег вы должны после t недель.

В общем случае мы можем вычислить сложные проценты по формуле

где P — начальная сумма (называемая основной суммой ), r — процентная ставка (в десятичной форме), n — сколько раз мы добавляем проценты за данный период времени, и t — количество периодов времени. Итак, если банк ссудит мне 2000 долларов под 3% годовых, начисляемых ежемесячно, то r = 0,03 , n = 12 и

6

Итак, через 2 года я буду должен банку 2000 * 1,007524 = 2392,83 доллара.

Итоги урока

На этом уроке вы узнали об экспоненциальных функциях. Показательная функция записывается в виде y = ab x .

  • y представляет результат
  • a представляет начальное значение функции
  • b представляет скорость роста
  • x представляет ввод

В экспоненциальной функции a умножается на b x раз, чтобы получить y .График экспоненциальной функции выглядит как кривая, которая начинается с очень плоского наклона, но со временем становится все круче и круче.

Вы можете использовать эти функции для решения задач обо всем, от роста бактерий до процентов, которые вы зарабатываете на своем банковском счете.

Результаты обучения

Этот урок по экспоненциальным функциям может подготовить вас к достижению следующих целей:

  • Проиллюстрировать экспоненциальную функцию
  • Определите график экспоненциальной функции
  • Анализ экспоненциальной функции на примере из реальной жизни

функций Abs, Exp, Ln, Power, Log и Sqrt в Power Apps — Power Apps

  • Статья
  • 2 минуты на чтение
Полезна ли эта страница?

Пожалуйста, оцените свой опыт

да Нет

Любая дополнительная обратная связь?

Отзыв будет отправлен в Microsoft: при нажатии кнопки отправки ваш отзыв будет использован для улучшения продуктов и услуг Microsoft. Политика конфиденциальности.

Представлять на рассмотрение

В этой статье

Вычисляет абсолютные значения, логарифмы, квадратные корни и результаты возведения e или любого числа в указанные степени.

Описание

Функция Abs возвращает неотрицательное значение своего аргумента. Если число отрицательное, Abs возвращает положительный эквивалент. оператор.

Функция Log возвращает логарифм своего первого аргумента по основанию, указанному вторым аргументом (или 10, если не указано иное).

Функция Sqrt возвращает число, которое при умножении на себя равно своему аргументу.

Если вы передаете одно число, возвращаемое значение представляет собой один результат, основанный на вызванной функции. Если вы передаете таблицу с одним столбцом, содержащую числа, возвращаемое значение представляет собой таблицу результатов с одним столбцом, по одному результату для каждой записи в таблице аргументов.Если у вас есть таблица с несколькими столбцами, вы можете преобразовать ее в таблицу с одним столбцом, как описано при работе с таблицами.

Если аргумент приводит к неопределенному значению, результатом будет пусто . Это может произойти, например, с квадратными корнями и логарифмами отрицательных чисел.

Синтаксис

ABS ( номер )
EXP ( номер )
LN ( номер )
SQRT ( номер )

  • Номер — Обязательно.Номер для операции.

Степень ( База , Экспонента )

  • Основание — обязательно. Базовое число для повышения.
  • Экспонента — требуется. Степень, в которую возводится основание числа.

Журнал ( Номер , База )

  • Номер — Обязательно. Число для вычисления логарифма.
  • Основание — Дополнительно. Основание логарифма для вычисления.По умолчанию 10 (если не указано).

ABS ( Singlecolumntable )
EXP ( Singlecolumnptable )
LN ( Singlecolumntable )
SQRT ( Singlecolumntable )

  • SingleColumnTable — обязательно. Одностолбцовая таблица чисел для работы.

Примеры

Единый номер

Формула Описание Результат
Абс(-55) Возвращает число без отрицательного знака. 55
Опыт( 2 ) Возвращает e , возведенное в степень 2, или e * e . 7.389056…
Ln( 100 ) Возвращает натуральный логарифм (по основанию e ) числа 100. 4.605170…
Журнал(100) Возвращает логарифм числа 100 по основанию 10. 2
Журнал(64, 2) Возвращает логарифм числа 64 по основанию 2. 6
Мощность( 5, 3 ) Возвращает число 5, возведенное в степень 3, или 5 * 5 * 5. 125
Кв.(9) Возвращает число, которое при умножении само на себя дает 9. 3

Таблица с одним столбцом

В примерах в этом разделе используется источник данных с именем ValueTable , который содержит следующие данные:

Формула Описание Результат
Abs( ValueTable ) Возвращает абсолютное значение каждого числа в таблице.
Выражение( ValueTable ) Возвращает e , возведенное в степень каждого числа в таблице.
Ln( ValueTable ) Возвращает натуральный логарифм каждого числа в таблице.
Sqrt( ValueTable ) Возвращает квадратный корень каждого числа в таблице

Пошаговый пример

  1. Добавьте элемент управления Text input и назовите его Source .
  2. Добавьте элемент управления Label и задайте для его свойства Text следующую формулу:
    Sqrt(Значение(Источник.Текст))
  3. Введите число в поле Source и убедитесь, что элемент управления Label показывает квадратный корень из введенного вами числа.

Эффективность | Руководство по дезинфекции и стерилизации | Библиотека руководств | Инфекционный контроль

Микроорганизмы сильно различаются по своей устойчивости к химическим гермицидам и процессам стерилизации (рис. 1)  342  Внутренние механизмы устойчивости микроорганизмов к дезинфицирующим средствам различаются.Например, споры устойчивы к дезинфицирующим средствам, поскольку оболочка спор и кора действуют как барьер, микобактерии имеют восковую клеточную стенку, которая предотвращает проникновение дезинфицирующих средств, а грамотрицательные бактерии обладают внешней мембраной, которая действует как барьер для поглощения дезинфицирующих средств  341, 343-345 . Во всех стратегиях дезинфекции подразумевается, что наиболее резистентная микробная субпопуляция контролирует время стерилизации или дезинфекции. То есть уничтожить наиболее устойчивые виды микроорганизмов (т.е., бактериальные споры), пользователь должен использовать время воздействия и концентрацию гермицида, необходимые для достижения полного уничтожения. За исключением прионов, бактериальные споры обладают самой высокой врожденной устойчивостью к химическим гермицидам, за ними следуют кокцидии (например, Cryptosporidium ), микобактерии (например, M. tuberculosis ), нелипидные или мелкие вирусы (например, полиовирус и вирус Коксаки), грибы (например, Aspergillus, и Candida ), вегетативные бактерии (e.g., Staphylococcus, и Pseudomonas ) и липидные вирусы или вирусы среднего размера (например, герпес и ВИЧ). Бактерицидная резистентность грамположительных и грамотрицательных бактерий одинакова за некоторыми исключениями (например, P. aeruginosa , которая проявляет большую устойчивость к некоторым дезинфицирующим средствам) 369, 415, 416 . P. aeruginosa  также значительно более устойчива к различным дезинфицирующим средствам в своем «естественном» состоянии, чем клетки, пересеваемые на лабораторные среды  415, 417 . Rickettsiae , Chlamydiae и микоплазмы не могут быть помещены в эту шкалу относительной устойчивости, поскольку информация об эффективности гермицидов против этих агентов ограничена 418 . Поскольку эти микроорганизмы содержат липиды и сходны по структуре и составу с другими бактериями, можно предположить, что они будут инактивированы теми же гермицидами, которые уничтожают липидные вирусы и вегетативные бактерии. Известным исключением из этого предположения является Coxiella burnetti , которая продемонстрировала устойчивость к дезинфицирующим средствам 419 .

math — Математические функции — Документация Python 3.10.1


Этот модуль обеспечивает доступ к математическим функциям, определенным языком C стандарт.

Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; использовать функции программы то же имя из модуля cmath , если вам требуется поддержка сложных числа. Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и те, которые не делаются, поскольку большинство пользователей не хотят учиться так много математика, необходимая для понимания комплексных чисел.Получение исключения вместо сложного результата позволяет раньше обнаружить неожиданный комплекс число, используемое в качестве параметра, чтобы программист мог определить, как и почему оно был создан в первую очередь.

Этот модуль обеспечивает следующие функции. За исключением случаев, когда явно в противном случае все возвращаемые значения являются числами с плавающей запятой.

Теоретико-числовые функции и функции представления

мат. потолок ( x )

Возвращает максимальное значение x , наименьшее целое число, большее или равное x .Если x не является числом с плавающей запятой, делегируется x.__ceil__() , который должен возвращать Целое значение .

мат. гребенка ( н , к )

Вернуть количество способов выбрать k элементов из n элементов без повторения и без порядка.

равно n! / (k! * (n - k)!) , когда k <= n и оценивает к нулю, когда k > n .

Также называется биномиальным коэффициентом, поскольку он эквивалентен коэффициенту k-го члена полиномиального разложения выражение (1 + x) ** n .

Вызывает TypeError , если какой-либо из аргументов не является целым числом. Выдает ValueError , если любой из аргументов отрицательный.

мат. копия ( x , y )

Возвращает число с плавающей запятой с величиной (абсолютным значением) x , но со знаком и .На платформах, поддерживающих нули со знаком, copysign(1.0, -0.0) возвращает -1.0 .

мат. фабрики ( x )

Возвращает абсолютное значение x .

мат. факториал ( x )

Возвращает факториал x в виде целого числа. Выдает ValueError , если x не является целым или отрицательно.

Устарело, начиная с версии 3.9: прием чисел с плавающей запятой с целыми значениями (например, 5. 0 ) устарел.

мат. этаж ( x )

Возвращает пол размером x , наибольшее целое число меньше или равное x . Если x не является числом с плавающей запятой, делегируется x.__floor__() , который должен возвращать Целое значение .

мат. fmod ( x , и )

Возврат fmod(x, y) , как определено библиотекой платформы C. Обратите внимание, что Выражение Python x % y может не возвращать тот же результат. Цель С стандартом является то, что fmod(x, y) точно (математически; до бесконечности точность), равный x - n*y для некоторого целого числа n такого, что результат имеет тот же знак, что и у 91 512 x 91 513, и величина меньше, чем 91 878 абс(у) 91 879 .Python x % y вместо этого возвращает результат со знаком y и может быть неточно вычислимым для аргументов с плавающей запятой. Например, fmod(-1e-100, 1e100) равно -1e-100 , но результатом Python -1e-100 % 1e100 является 1e100-1e-100 , что не может быть представлено в точности как число с плавающей запятой и округляется до неожиданного числа 1e100 . За по этой причине функция fmod() обычно предпочтительнее при работе с числа с плавающей запятой, в то время как Python x % y предпочтительнее при работе с целыми числами.

мат. частота ( x )

Вернуть мантиссу и показатель степени x в виде пары (m, e) . м поплавок а e — целое число, такое что x == m * 2**e точно. Если x равно нулю, возвращает (0.0, 0) , иначе 0.5 <= абс(м) < 1 . Используется для «выбора обособленно» внутреннее представление поплавка переносимым способом.

мат. fsum ( повторяемый )

Возвращает точную сумму значений с плавающей запятой в итерируемом объекте. Избегает потеря точности из-за отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм:

 >>> сумма([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0,9999999999999999
>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1,0
 

Точность алгоритма зависит от арифметических гарантий IEEE-754 и типичный случай, когда режим округления является получетным.На некоторых не-Windows сборки, базовая библиотека C использует добавление расширенной точности и может время от времени округлять промежуточную сумму дважды, что приводит к тому, что она оказывается ошибочной. младший значащий бит.

Для дальнейшего обсуждения и двух альтернативных подходов см. кулинарную книгу ASPN. рецепты точного суммирования с плавающей запятой.

мат. НОД ( *целые числа )

Возвращает наибольший общий делитель указанных целых аргументов. Если какой-либо из аргументов отличен от нуля, то возвращаемое значение является наибольшим. положительное целое число, являющееся делителем всех аргументов. Если все аргументы равны нулю, то возвращаемое значение равно 0 . gcd() без аргументов возвращает 0 .

Изменено в версии 3.9: Добавлена ​​поддержка произвольного количества аргументов. Раньше только два аргументы были поддержаны.

мат. isclose ( a , b , * , rel_tol=1e-09 , abs_tol=0.0 )

Вернуть Истинно , если значения a и b близки друг к другу и Ложь иначе.

Считаются ли два значения близкими, определяется в соответствии с заданы абсолютные и относительные допуски.

rel_tol — относительный допуск — максимально допустимая разница между a и b относительно большего абсолютного значения a или b . Например, чтобы установить допуск 5%, введите rel_tol=0,05 . По умолчанию допуск равен 1e-09 , что гарантирует, что два значения совпадают примерно с точностью до 9 знаков после запятой. rel_tol должен быть больше нуля.

abs_tol — минимальный абсолютный допуск — полезно для сравнений вблизи нуль. abs_tol должен быть не меньше нуля.

Если ошибок нет, результат будет таким: абс(а-б) <= макс(отн_допуск * макс(абс(а), абс(б)), абс_дол) .

Специальные значения IEEE 754 NaN , inf и -inf будут обрабатывается в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близко к любому другому значению, включая NaN . inf и -inf только считают близкими себе.

См. также

PEP 485 — Функция проверки приблизительного равенства

мат. бесконечность ( x )

Возврат Истинно , если x не является ни бесконечностью, ни NaN, и Ложь иначе.(Обратите внимание, что 0.0 равно считается конечным.)

мат. isinf ( x )

Возврат Истинно , если x является положительной или отрицательной бесконечностью, и Ложь иначе.

мат. иснан ( x )

Возврат True , если x является NaN (не числом), и False в противном случае.

мат. иск ( с )

Возвращает целый квадратный корень из неотрицательного целого числа n . Это пол точного квадратного корня из 91 512 n 91 513 или, что то же самое, наибольшее целое число и , такие что и ² ≤  n .

Для некоторых приложений может быть удобнее использовать наименьшее целое число. a так, что n  ≤  a ², или, другими словами, потолок точный квадратный корень из n .Для положительных n это можно вычислить с помощью а = 1 + iqrt(n - 1) .

мат. lcm ( *целые числа )

Возвращает наименьшее общее кратное указанных целочисленных аргументов. Если все аргументы отличны от нуля, то возвращаемое значение является наименьшим. положительное целое число, кратное всем аргументам. Если какой-либо из аргументов равен нулю, то возвращаемое значение равно 0 . lcm() без аргументов возвращает 1 .

мат. ldexp ( x , i )

Возврат x * (2**i) . Это по существу обратная функция фрэксп() .

мат. модф ( x )

Возвращает дробную и целую части x . Оба результата несут знак размером x и являются поплавками.

мат. следующий за ( x , y )

Возвращает следующее значение с плавающей запятой после x по направлению к y .

Если x равно y , вернуть y .

Примеры:

  • math.nextafter(x, math.inf) идет вверх: к положительной бесконечности.

  • math.nextafter(x, -math.inf) идет вниз: к минус бесконечности.

  • мат.nextafter(x, 0.0) стремится к нулю.

  • math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x)) уходит от нуля.

См. также math.ulp() .

мат. пермь ( n , k = Нет )

Вернуть количество способов выбрать k элементов из n элементов без повторений и по порядку.

равно n! / (н - к)! , когда k <= n и оценивает к нулю, когда k > n .

Если k не указано или имеет значение None, то k по умолчанию равно n и функция возвращает n! .

Вызывает TypeError , если какой-либо из аргументов не является целым числом. Выдает ValueError , если любой из аргументов отрицательный.

мат. продукт ( итеративный , * , начало=1 )

Вычислить произведение всех элементов во входных данных итерации .По умолчанию начальное значение для продукта равно 1 .

Если итерируемый объект пуст, вернуть начальное значение. Эта функция предназначен специально для использования с числовыми значениями и может отклонять нечисловые типы.

мат. остаток ( x , y )

Возвращает остаток x в стиле IEEE 754 относительно y . За конечное x и конечное ненулевое y , это разница x - n*y , где n — ближайшее целое число к точному значению частного x / г .Если x / y находится ровно посередине между двумя последовательными целыми числами, ближайшее четное целое число используется для n . Остаток r = остаток(x, y) , таким образом, всегда удовлетворяет abs(r) <= 0,5 * abs(y) .

Особые случаи следуют IEEE 754: в частности, остаток(x, math.inf) x для любых конечных x и остатка(x, 0) и остаток(math.inf, x) повышение ValueError для любого не-NaN x . Если результат операции остатка равен нулю, этот ноль будет иметь тот же знак, что и x .

На платформах, использующих двоичные числа с плавающей запятой IEEE 754, результат этого операция всегда точно представима: ошибка округления не вносится.

мат. ствол ( x )

Возвращает значение Real x , усеченное до Интеграл (обычно целое число). делегаты х.__trunc__() .

мат. пульпа ( x )

Возвращает значение младшего бита числа с плавающей запятой x :

  • Если x является NaN (не числом), вернуть x .

  • Если x отрицательно, вернуть ulp(-x) .

  • Если x является положительной бесконечностью, вернуть x .

  • Если x равно нулю, вернуть наименьшее положительное денормализованное представляемое число с плавающей запятой (меньше минимального положительного нормализованное с плавающей запятой, сис. float_info.min ).

  • Если x равно наибольшему положительному представимому числу с плавающей запятой, вернуть значение младшего значащего бита x , так что первый float меньше x равно x - ulp(x) .

  • В противном случае ( x — положительное конечное число) вернуть значение наименьшего значащий бит x , так что первое число с плавающей запятой больше x равно x + ulp(x) .

ULP расшифровывается как «Единица на последнем месте».

См. также math.nextafter() и sys.float_info.epsilon .

Обратите внимание, что frexp() и modf() имеют разные шаблоны вызова/возврата чем их эквиваленты C: они принимают один аргумент и возвращают пару значения, а не возвращать их второе возвращаемое значение через «выходной параметр» (в Python такого нет).

Для функций ceil() , floor() и modf() обратите внимание, что все числа с плавающей запятой достаточно большой величины являются точными целыми числами. Типы с плавающей запятой в Python обычно имеют точность не более 53 бит (такая же, как у платформа C двойного типа), и в этом случае любой поплавок x с абс.(x) >= 2**52 обязательно не имеет дробных битов.

Степенные и логарифмические функции

мат. опыт ( x )

Возврат e в степени x , где e = 2,718281… основание натуральных логарифмов. Обычно это более точно, чем математика .е ** х или pow(math.e, x) .

мат. expm1 ( x )

Возврат e в степени x минус 1. Здесь e - основание натурального числа логарифмы. Для небольших чисел с плавающей запятой x вычитание exp(x) - 1 может привести к значительной потере точности; expm1() Функция предоставляет способ вычислить это количество с полной точностью:

 >>> из математического импорта exp, expm1
>>> exp(1e-5) - 1 # дает результат с точностью до 11 знаков
1. 0000050000069649e-05
>>> expm1(1e-5) # результат с точностью до полной точности
1.0000050000166668e-05
 
мат. журнал ( x [, база ])

С одним аргументом вернуть натуральный логарифм x (по основанию e ).

С двумя аргументами вернуть логарифм x к заданному основанию , рассчитывается как log(x)/log(base) .

мат. log1p ( x )

Возвращает натуральный логарифм числа 1+x (по основанию e ). То Результат рассчитывается с точностью до 91 512 x 91 513, близких к нулю.

мат. журнал2 ( x )

Возвращает логарифм по основанию 2 числа x . Обычно это точнее, чем log(x, 2) .

См. также

int.bit_length() возвращает количество битов, необходимых для представления целое число в двоичном формате, за исключением знака и ведущих нулей.

мат. журнал10 ( x )

Возвращает логарифм по основанию 10 числа x . Обычно это более точно чем log(x, 10) .

мат. pow ( x , y )

Возврат x в степень y . Исключительные случаи следуют Приложение «F» стандарта C99, насколько это возможно. Особенно, пау(1.0, x) и pow(x, 0.0) всегда возвращать 1.0 , даже когда x равно нулю или NaN. Если оба x и y конечны, x отрицательно, а y не является целым числом, тогда pow(x, y) не определено и вызывает ValueError .

В отличие от встроенного оператора ** , math.pow() преобразует оба его аргументы типа float . Используйте ** или встроенный pow() функция для вычисления точных целочисленных степеней.

мат. квадрат ( x )

Возвращает квадратный корень из x .

Тригонометрические функции

мат. или ( x )

Возвращает арккосинус x в радианах. Результат находится между 0 и пи .

мат. как ( x )

Возвращает арксинус x в радианах.Результат находится между -pi/2 и пи/2 .

мат. атан ( x )

Возвращает арктангенс x в радианах. Результат находится между -pi/2 и пи/2 .

мат. атан2 ( г , x )

Возврат atan(y/x) , в радианах. Результат находится между -pi и pi .Вектор на плоскости от начала координат до точки (x, y) составляет этот угол с положительной осью X. Суть atan2() в том, что знаки обоих входные данные ему известны, поэтому он может вычислить правильный квадрант для угла. Например, atan(1) и atan2(1, 1) оба равны pi/4 , но atan2(-1, -1) равно -3*pi/4 .

мат. потому что ( х )

Возвращает косинус x радиан.

мат. дист ( р , к )

Возвращает евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая задан как последовательность (или итерируемая) координат. Две точки должны иметь одинаковую размерность.

Примерно эквивалентно:

 sqrt(sum((px - qx) ** 2. 0 для px, qx в zip(p, q)))
 
мат. гипот ( *координаты )

Вернуть евклидову норму, sqrt(sum(x**2 for x в координатах)) .Это длина вектора от начала до точки дается по координатам.

Для двумерной точки (x, y) это эквивалентно вычислению гипотенуза прямоугольного треугольника по теореме Пифагора, кв.(х*х + у*у) .

Изменено в версии 3.8: Добавлена ​​поддержка n-мерных точек. Раньше только два размерный случай был поддержан.

Изменено в версии 3.10: Повышена точность алгоритма, поэтому максимальная ошибка до 1 ulp (единица на последнем месте).Как правило, результат почти всегда правильно округляется с точностью до 1/2 пульпы.

мат. грех ( x )

Возвращает синус x радиан.

мат. желтовато-коричневый ( x )

Возвращает тангенс x радиан.

Угловое преобразование

мат. градусов ( x )

Преобразование угла x из радианов в градусы.

мат. радиан ( x )

Преобразование угла x из градусов в радианы.

Гиперболические функции

Гиперболические функции аналоги тригонометрических функций, основанные на гиперболах вместо кругов.

мат. акош ( x )

Возвращает гиперболический арккосинус x .

мат. асинх ( x )

Возврат обратного гиперболического синуса x .

мат. атанх ( x )

Возвращает гиперболический арктангенс x .

мат. кош ( x )

Возвращает гиперболический косинус x .

мат. ( x )

Возвращает гиперболический синус x .

мат. танх ( x )

Возвращает гиперболический тангенс x .

Специальные функции

мат. ( x )

Возвратите функцию ошибки в х .

Функцию erf() можно использовать для вычисления традиционных статистических данных. функции, такие как кумулятивное стандартное нормальное распределение:

 по определению фи(х):
    «Накопленная функция распределения для стандартного нормального распределения»
    вернуться (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0
 
мат. erfc ( x )

Возвращает дополнительную функцию ошибки с разрешением x . Дополнительная ошибка функция определяется как 1.0 - erf(x) . Он используется для больших значений x , где вычитание от одного приведет к потере значимости.

мат. гамма ( x )

Вернуть функцию гаммы в х .

мат. гамма ( x )

Возвращает натуральный логарифм абсолютного значения гаммы работает при разрешении x .

Константы

мат. Пи

Математическая константа π = 3,141592… с доступной точностью.

мат. и

Математическая константа e = 2.718281…, с доступной точностью.

мат. тау

Математическая константа τ = 6,283185… с доступной точностью. Тау — постоянная окружности, равная 2 π , отношение длины окружности к его радиус. Чтобы узнать больше о Тау, посмотрите видео Ви Харта «Пи есть (все еще)». Неправильно, и начать праздновать Тау день, съев в два раза больше пирога!

мат. инф

Положительная бесконечность с плавающей запятой.(Для отрицательной бесконечности используйте -math.inf .) Эквивалентно выводу float('inf') .

мат. нан

Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно выходу с плавающей запятой('нан') .

Детали реализации CPython: Модуль math состоит в основном из тонких оболочек вокруг платформы C Функции математических библиотек. Поведение в исключительных случаях следует Приложению F стандарт C99, где это уместно.Текущая реализация повысит ValueError для недопустимых операций, таких как sqrt(-1. 0) или log(0.0) (где Приложение F C99 рекомендует сигнализировать о недопустимой операции или делении на ноль), и OverflowError для результатов, которые переполняются (например, ехр(1000.0) ). NaN не будет возвращен ни одной из функций выше, если только один или несколько входных аргументов не были NaN; в этом случае, большинство функций вернут NaN, но (опять же, следуя приложению F C99) есть некоторые исключения из этого правила, например pow(float('nan'), 0.0) или гипот(с плавающей запятой('нан'), с плавающей запятой('инф')) .

Обратите внимание, что Python не пытается отличить сигнальные значения NaN от тихие NaN, и поведение для сигнализации NaN остается неопределенным. Типичное поведение — рассматривать все NaN так, как если бы они были тихими.

См. также

Модуль cmath

Комплексные числовые версии многих из этих функций.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *