Все про равнобедренный треугольник – Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников. [wiki.eduVdom.com]

Содержание

Свойства равнобедренного треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Свойства равнобедренного треугольника

1. Теорема

Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание.

Доказать: В = С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим

АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В =
С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. - против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

 

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание, АD - биссектриса.

Доказать: АD - медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по условию,

АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС. 

Мы доказали, что ВD = DC точка D - середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что

ADВ = ADС, причем ADВ и ADС - смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800,  тогда ADВ = ADС = 900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой
АВС
(по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный
, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.

 

Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.

EFG - равносторонний:

  • ЕС - биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
  • FK - биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
  • GM - биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 115, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 116, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 190, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 254, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 317, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1212, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Равнобедренный прямоугольный треугольник — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 июля 2019; проверки требуют 2 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 июля 2019; проверки требуют 2 правки.
Равнобедренный прямоугольный треугольник Равнобедренный прямоугольный треугольник и обычный равнобедренный треугольник с равными описанной и вписанной окружностями d=r{\displaystyle d=r\,}.

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

α=β=45∘=π4,{\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}

третий внутренний угол — прямой:

γ=180∘−2α=90∘=π2,{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

a=b=c22,{\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}

а основание равно:

c=a2,{\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

hc=a22=c2=R,{\displaystyle h_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}

где R — радиус описанной окружности.

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

P=a+b+c=a(2+2).{\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.}

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

S=a22=c24.{\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.}

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

S=p(p−a)2(p−a2),{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,}

Где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

p=P2=a(1+22).{\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.}

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

{\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.} Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольниками {\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.} {\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.} Четыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

d2=R(R−2r)=a22(3−22){\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,}
d=r=a2(2−2)=a12(3−22)≈0,2928932a.{\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.}

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами (d=r{\displaystyle d=r\,}), имеет углы:

α=β=arctg⁡4−2282−11≈72,968751∘,{\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,}
γ=180∘−2α≈34,062496∘.{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.}

Покрытие евклидовой плоскости[править | править код]

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника - треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках[править | править код]

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, - это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой.

Теорема: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой и биссектрисой.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – частный случай равнобедренного треугольника.(т.е. для любого равностороннего треугольника применимы все свойства равнобедренного треугольника)

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним треугольником.

Признак: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°

Свойство: В равностороннем треугольники центры вписанной и описанной окружности совпадают.

По формулам выше можно найти высоту, площадь равностороннего треугольника через сторону, радиус вписанной и радиус описанной окружностей.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

Тип утвержденияФигураРисунокФормулировка
ОпределениеРавнобедренный треугольникСвойства и признаки равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

СвойствоУглы при основании равнобедренного треугольникаСвойства и признаки равнобедренного треугольника

Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

ПризнакДва равных угла треугольника

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

СвойствоМедиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольникаСвойства и признаки равнобедренного треугольникаВ равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
ПризнакВысота треугольника, совпадающая с медианойСвойства и признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

ПризнакВысота треугольника, совпадающая с биссектрисойСвойства и признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

ПризнакБиссектриса треугольника, совпадающая с медианойСвойства и признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение: равнобедренный треугольник
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак: два равных угла треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольникаВ равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение равнобедренного треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Определение:

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Свойство:

Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Признак:

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Свойство:

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Признак:

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Признак:

Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой
Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Признак:

Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Равнобедренный треугольник - это... Что такое Равнобедренный треугольник?

Triangle.Isosceles.Labels.svg

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Свойства

  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
  • Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
  • Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, α и β — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.

Стороны могут быть найдены следующим образом:

Углы могут быть выражены следующими способами:

Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:

Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:

(формула Герона).

Признаки

  • Два угла треугольника равны.
  • Высота совпадает с медианой.
  • Высота совпадает с биссектрисой.
  • Биссектриса совпадает с медианой.
  • Две высоты равны.
  • Две медианы равны.
  • Две биссектрисы равны (теорема Штейнера — Лемуса).

См. также

Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников. [wiki.eduVdom.com]

Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем одну из них, например теорему 2.5.

Рис.1

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.

С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.

Рис.2

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.



Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.

Рис.3

Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.


Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Решение. Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 3).

Рис.3

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.


Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Рис.4

Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.

Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).


Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Рис.5

Найти угол D.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.


Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Видео-решение.



Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник

Давайте повторим признаки равенства треугольников.

Два треугольника называются равными, если соответственно равны их стороны и углы (см. рис. 1).

Рис. 1. Равные треугольники

Против равных сторон лежат равные углы и наоборот (см. рис. 1).

Равенство треугольников предусматривает равенство шести элементов. Но эти элементы – стороны и углы – не являются независимыми друг от друга.

Дан треугольник , сторону  убрали. Получили , и мы видим, что эту сторону можно всегда восстановить. Значит, три элемента – две стороны и угол между ними – полностью определяют этот треугольник.

Признак равенства 1: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеем один треугольник  и второй треугольник . И пусть у них сторона , сторона  и , то  (см. рис. 2).

Рис. 2. Первый признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 3).

Рис. 3. Второй признак равенства треугольников

Пусть у нас есть два треугольника  и . Пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно, чтобы утверждать, что .

То есть это признак по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 4).

Рис. 4. Третий признак равенства треугольников

Пусть имеем треугольник  и треугольник . И пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно для того, чтобы .

Итак, мы повторили три признака равенства треугольников. Заметим, что из равенства треугольников следует равенство всех соответственных элементов (биссектрис, медиан, высот).

Далее рассмотрим равнобедренный треугольник.

Определение: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

Пусть имеем треугольник , в котором . Вот такой треугольник называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Имеем равнобедренный треугольник  (см. рис. 6).

Дано: .

Доказать:.

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Доказательство: рассмотрим  и .  (по первому признаку равенства треугольников) по двум сторонам и углу между ними. Против равных сторон лежат равные углы. Значит, . Что и требовалось доказать (см. рис. 7).

Рис. 7. Доказательство теоремы

Аналогично доказывается признак равнобедренного треугольника.

Если мы имеем треугольник и два равных угла, то противолежащие стороны тоже равны. Против равных углов лежат равные стороны (см. рис. 8).

Рис. 8. Признак равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, лежащей против основания.

Пусть , равнобедренный треугольник (см. рис. 9).

Дано:   – биссектриса, .

Доказать: , .

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 2

Доказательство: по условию , отрезок  – общий для треугольников , .

 , значит, по первому признаку равенства треугольников . Из этого равенства вытекает равенство , т.е. точка  – середина, а значит, биссектриса  является одновременно и медианой. Из равенства треугольников вытекает равенство углов.

 (как смежные), а значит, каждый их них равен

Рис. 10. Доказательство теоремы 2

Стало быть,  является и высотой. Теорема доказана (см. рис. 10).

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны (см. рис. 11).

Рис. 11. Медиана

Биссектриса – луч, делящий угол на две равные части (см. рис. 12).

Рис. 12. Биссектриса

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, проходящий через противоположную сторону (см. рис. 13).

Рис. 13. Высота внутри треугольника

Высота может находиться как внутри треугольника, так и вне его. Давайте рассмотрим другой случай (см. рис. 14).

Рис. 14. Высота вне треугольника

Когда же высота находится внутри треугольника, а когда вне?

Теорема 3

Если треугольник остроугольный, то высота находится внутри треугольника.

Пусть треугольник остроугольный, но высота – точка , находится вне стороны  (см. рис. 15).

Дано:, , , .

Доказать: .

Рис. 15. Иллюстрация к теореме 3

Доказательство: от противного:  противоречие: (по условию),  () (по теореме о внешнем угле ).

Рис. 16. Доказательство теоремы 3

Итак, высота остроугольного треугольника находится внутри треугольника. Что и требовалось доказать (см. рис. 16).

 

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.  Погорелов А.В. 2-е изд. - М.: 2014 - 240 с.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.:Просвещение.
  3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Признаки равенства треугольников (Источник).
  2. Первый и второй признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник (Источник).
  3. Свойства треугольника (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Треугольник  – равнобедренный,  – биссектриса к основанию . Докажите, что  равен .
  2. Есть треугольники  (). Внешне построены квадраты  и . Докажите, что .
  3. В треугольнике  стороны  и  равны, а , . Найти .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск