Разложение квадратного трёхчлена на множители

Предварительные навыки

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax² + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x₁)(x − x₂)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x² − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x² − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6, x₂ = 2. Теперь воспользуемся формулой ax² + bx + c = a(x − 

x₁)(x − x₂). В левой части вместо выражения ax² + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x² − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

x² − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x² − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен

x² − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12

---

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x² − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x² − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4, x₂ = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x² − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂), где вместо переменных a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения. В данном случае

a = 2

2x² − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x² − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x² − 4x −3x + 12) = 2(x² − 7x + 12) = 2x² − 14x + 24

---

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x² + bx + c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен

x² + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x² + bx + c

Раскроем скобки там где этого можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение (x − x₁) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Мы пришли к тому, что выражение x² + bx + c стало равно (x − x₁)(x − x₂)

x² + bx + c = (x − x₁)(x − x₂)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид

ax² + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен

ax² + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Мы пришли к тому, что выражение ax² + bx + c стало равно a(x − x₁)(x − x₂)

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂. Например, квадратный трёхчлен x² + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо

x₁ и x₂. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)² поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

---

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² − 2x − 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x² − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂

), где вместо a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

---

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x²

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x² − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

---

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² + 7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

---

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x² − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби 

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

---

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

«Применение различных способов разложения многочлена на множители»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Тип урока: урок изучения нового материала на основе проблемного обучения

9 Цель урока

создать условия для отработки умений и навыков разложения многочлена на множители с использованием различных способов.

10. Задачи:

Образовательные

• повторить алгоритмы операций: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, формулы сокращённого умножения.

• сформировать умение:

– применять знания по теме «разложение многочлена на множители различными способами»;

– выполнять задания по выбранному способу действия;

– выбирать наиболее рациональный способ для рационализации вычислений, преобразования многочленов.

Развивающие

• способствовать развитию познавательных способностей, внимания, памяти, мышления обучающихся через применения различных упражнений;

• развивать навыки самостоятельной работы и групповой работы; поддерживать интерес обучающихся к математике

Воспитывающие

поддерживать интерес обучающихся к математике

11.Формируемые УУД

Личностные: осознание цели деятельности (ожидаемый результат), осознание или выбор способа деятельности (Как я это сделаю? С помощью чего получу результат?), анализ и оценивание полученного результата; оценка своих возможностей;

Регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения, планирование, оценка результатов работы;

Познавательные: выбор наиболее эффективных способов решения задач, структурирование знаний; преобразование информации из одного вида в другой.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, соблюдение правил речевого поведения, умение высказывать и обосновывать свою точку зрения, учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

12 .Методы:

• по источникам знаний: словесные, наглядные;

• относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

13.Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

14.Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, раздаточный материал (лист самоконтроля, карточки с заданиями), электронная презентация, выполненная в программе Power Point

15.Планируемые результаты:

Личностные воспитание чувства само- и взаимоуважения; развитие сотрудничества при работе в группах;

Метапредметные развитие речи; развитие у учащихся самостоятельности; развитие внимательности при поиске ошибок.

Предметные развитие умений работать с информацией, овладение способами решения

Ход урока:

1. Приветствие учащихся. Проверка учителем готовности класса к уроку; организация внимания; инструктаж по работе с листом оценивания Приложение 1, уточнение критериев оценки.

Проверка домашнего задания и актуализация знаний

1. 3а + 6b = 3(а + 2b)

2. 100 – 20с + с² = (10 + с)²

3. с² – 81 = (с – 9)(с + 9)

4. 6х³ – 5х⁴ = х⁴( 6х – 5)

5. ау – 3у – 4а + 12 = у(а – 3) – 4(а – 3)

6. 0,09х² – 0,25у² = (0,03х – 0,05у)(0,03х + 0,05у)

7. с(х – 3) – d(х – 3) = (х – 3)(с – d)

8. 14х² – 7х = 7х(7х – 1)

9. -1600 + а¹² = (40 + а⁶) (40 — а⁶)

10. 9х² – 24ху + 16у² = (3х – 4у)²

11. 8с³ – 2с² + 4с – 1 =

2с²(4с – 1) + (4с – 1) = (4с – 1)2с²

12. b⁴ + с² – 2b²с = (b – c)²

(задания для домашней работы взяты из учебника, включают в себя разложение на множители разными способами. Для того, чтобы выполнить данную работу учащимся необходимо вспомнить ранее изученный материал)

Ответы, записанные на слайде, содержат ошибки, учащиеся учатся видеть способы, а так же замечая ошибки запоминают способы действий,

Учащиеся в группах, проверив домашнее задание выставляют баллы за проделанную работу

2 Эстафета Приложение 2 (участники команд, по очереди выполняют задание, при этом стрелкой соединяют пример и способ его разложения)

3a – 12b = 3(а – 4b)

2. 2a + 2b + a² + ab = (а + b)(2 + а)

3. 9a² – 16b² = (3а – 4b)(3a + 4b)

4. 16a²— 8ab + b² = (4а – b)²

5. 7a²b – 14ab²+ 7ab = 7ab(a – 2b + 1)

6. a²+ ab- a – ac- bc + c = (a + b – 1)(a – c)

7. 25a² + 70ab+ 49b² = (5а + 7b)²

8. 5х² – 45у²= 5(х – 3у)(х + 3у)

Формула сокращенного умножения

Не раскладывается на множители

Метод группировки

— С помощью слайда проводится проверка проделанной работы, при этом обращается внимание на то, что последний пример нужно соединить с двумя способами разложения (вынесение за скобку общего множителя и формула сокращенного умножения)

— Учащиеся оценивают проделанную работу, вносят результаты в листы оценивания , а так же формулируют тему урока

3. Выполнение заданий (учащимся предлагается выполнить задание. Обсуждая решение в группе ребята приходят к выводу, что для разложения данных многочленов на множители требуется несколько способов. Та команда, которая первая предложит верное разложение, имеет право на доске записать свое решение, остальные записывают его в тетради.. В команде налажена работа помощи учащимся, которым тяжело справиться с заданием)

1) 2a² — 2b²

5) 5m² + 5n² – 10mn

9) 84 – 42y – 7xy + 14x

13) x²y + 14xy² + 49y³

2)3a² + 6ab + 3b²

6) cx² – cy²

10) -7b² – 14bc – 7c²

14) 3ab² – 27a

3) x³ – 4x

7) -3x² + 12x — 12

11) 3x² — 3

15) -8a³b + 56a²b² – 98ab³

4) 3ab + 15b – 3a – 15

8) x⁴ – x²

12) c⁴ — 81

16) 0,09t⁴ – t⁶

4. Заключительный этап –

Разложение многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Метод группировки

Формула сокращенного умножения

Итог урока. Учащиеся отвечают на вопросы: Какую задачу мы ставили? Удалось решить нам поставленную задачу? Каким способом? Какие получили результаты? Какими способами раскладывается многочлен на множители? Для выполнения каких заданий можно применить эти знания ? Что на уроке у вас хорошо получалось? Над чем еще нужно поработать?

В течение урока учащиеся оценивали себя, в конце урока им предлагается сложить полученные баллы и выставить оценку в соответствии с предложенной шкалой.

Заключительное слово учителя: Сегодня на уроке мы учились определять какие способы необходимо применить, чтобы разложить многочлены на множители. Для закрепления проделанной работы

Домашнее задание: §19, №708, №710

Дополнительное задание:

Решите уравнение х³ + 4х² = 9х + 36

Сложные случаи разложения многочленов на множители

Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.

Разложение многочлена на множители методом деления

С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно ), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на .

Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени обращается в нуль при . Значит его без остатка можно разделить на , получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:

   

   

где A, B, C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:

   

   

   

Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:

   

Итак, получили:

   

   

Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:

   

   

где E, F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:

   

   

   

Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:

   

Тогда получаем:

   

То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:

   

В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:

   

Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.

Разложите многочлен на множители:

   

Свои ответы пишите в комментариях.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Применение различных способов для разложения на множители

Вопросы занятия:

·  повторить все известные нам способы разложения многочленов на множители;

·  рассмотреть разложение многочленов на множители, применяя последовательно несколько способов.

Материал урока

На предыдущих уроках мы познакомились с различными способами разложения многочленов на множители.

Напомним, что разложение многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Первый способ, который мы рассмотрели, – это вынесение общего множителя за скобки. Вспомним его.

Затем мы познакомились со способом группировки.

Далее мы познакомились с разложением на множители с помощью формул сокращённого умножения, а именно, с помощью формул квадрата суммы

и квадрата разности,

с помощью формулы разности квадратов,

с помощью формул куба сумм

и куба разности,

а также с помощью формул суммы кубов

и разности кубов

Однако чаще всего каждый из этих способов в отдельности не приводит к цели, поэтому для разложения многочлена на множители приходится пользоваться их комбинацией.

Давайте рассмотрим примеры.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.