Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия
Рассмотрим метод введения дополнительного угла на примере решения следующей задачи.
Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Решение. Заметив, что
преобразуем правую часть формулы (1):
Отсюда вытекает, что выражение (1) можно переписать в виде:
Поскольку
причем
то
Следовательно,
Ответ. Наибольшее значение функции (1) равно 
, наименьшее значение функции (1) равно 
Замечание. В рассмотренной задаче угол 
и является дополнительным углом.
Теперь докажем формулу дополнительного угла (вспомогательного аргумента) в общем виде. Для этого рассмотрим выражение
где a и b – произвольные, отличные от нуля числа, и преобразуем его:
Введем дополнительный угол (вспомогательный аргумент) φ , у которого:
 | (4) |
В случае, когда a и b являются положительными числами, в качестве дополнительного угла можно взять, например, угол
Тогда выражение (3) принимает вид:
Таким образом, мы получили формулу
которую и называют формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента).
Если же дополнительный угол, в отличие от формул (4), ввести по формулам
то выражение (3) примет вид
и мы получаем другой вид формулы дополнительного угла:
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений
Тема урока: Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений.
Актуализация.
Учитель.
Ребята! Мы познакомились с различными видами тригонометрических уравнений и научились их решать. Сегодня обобщим знания методов решения тригонометрических уравнений различных видов. Для этого я прошу провести работу по классификации предложенных вам уравнений (см. уравнения №№ 1-10 в Приложении — в конце конспекта в PDF виде)
Заполните таблицу: укажите вид уравнения, метод его решения и сопоставьте номера уравнений виду, к которому они принадлежат.
Ученики. Заполняют таблицу.
| Вид уравнения | Метод решения | Уравнения |
| Простейшие | Формулы корней | №1 |
| Приводимые к квадратным | Метод замены переменной | №2,3 |
| Сложный тригонометрический вид | Упростить до известного вида с помощью формул тригонометрии | №4,5 |
| Однородные первой степени | Разделить уравнение почленно на косинус переменной | №6 |
| Однородные второй степени | Разделить уравнение почленно на квадрат косинуса переменной | №7 |
Проблематизация.
Заполняя таблицу, учащиеся сталкиваются с проблемой. Они не могут определить вид и метод решения трех уравнений: №8,9,10.
Учитель. Все ли уравнения вам удалось классифицировать по форме и методу решения?
Ответ учащихся. Нет, три уравнения не удалось поместить в таблицу.
Учитель. Почему?
Ответ учащихся. Они не похожи на известные виды. Метод решения неясен.
Целеполагание.
Учитель. Как же тогда мы сформулируем цель нашего занятия?
Ответ учащиеся. Определить обнаруженный новый тип уравнений и найти метод их решения.
Учитель. Можно ли сформулировать тему занятия, если мы не знаем вида обнаруженных уравнений и метода их решения?
Ответ учащихся. Нет, но можно это сделать позже, когда разберемся, с чем имеем дело.
Планирование деятельности.
Учитель. Давайте спланируем нашу деятельность. Обычно мы определяем тип, а затем ищем метод решения тригонометрических уравнений. В нашей сегодняшней ситуации возможно ли дать определенное название виду обнаруженных уравнений? И вообще, принадлежат ли они одному виду?
Ответ учащихся. Это трудно сделать.
Учитель. Тогда подумайте, может что-то их объединяет, или они похожи на какой-то тип?
Ответ учащихся. Левая часть этих уравнений такая же, как у однородных, но правая их часть не равна нулю. А значит, деление на косинус только усложнит решение.
Учитель. Может быть, начнем с поиска метода решения, а затем определим типаж уравнения? Какое уравнение из 3-х кажется вам наиболее простым?
Учащиеся отвечают, но единства мнений нет. Возможно, кто-то догадается, что коэффициенты в уравнении №8 следует выразить как синус и косинус табличного угла. И тогда класс определит уравнение, которое можно решить первым. Если нет, то учитель предлагает рассмотреть дополнительное уравнение (см. уравнение № 11 в Приложении — в конце конспекта в PDF виде). В нем коэффициенты равны синусу и косинусу известного угла и ученики должны это заметить.
Учитель предлагает очередность пунктов деятельности. (Cм. уравнения в Приложении —
в PDF виде, в конце конспекта).- Решить первое уравнение (№11), заменив коэффициенты значениями синуса и косинуса известного угла и применив формулу синуса суммы.
- Попытаться преобразовать другие уравнения к виду первого и применить тот же метод. (см. уравнение № 8,9, 12)
- Обобщить и распространить метод на любые коэффициенты и сконструировать общий алгоритм действий (см. уравнение №10 ).
- Применить метод к решению других уравнений того же типа. (см. уравнения №№ 12,13, 14).
Реализация плана.
Учитель. Ну что ж, план мы составили. Приступим к его реализации.
У доски ученик решает уравнение № 11.
Второй ученик решает следующее уравнение №8, предварительно поделив его на постоянное число и, тем самым, сведя ситуацию к уже найденному способу решения.
Учитель предлагает решить уравнения № 9,12 самостоятельно. Проверяет правильность преобразований и множество решений.
Учитель. Ребята, как можно назвать угол, который появляется вместо коэффициентов уравнения и помогает нам выйти на решение?
Ответ учащихся. Дополнительный. (Вариант: вспомогательный).
Учитель. Не всегда легко подобрать такой вспомогательный угол. Можно ли его найти, если коэффициенты не есть синус и косинус известных углов? Какому тождеству должны удовлетворять такие коэффициенты, если мы хотим их представить как синус и косинус вспомогательного угла?
Ответ. Основному тригонометрическому тождеству.
Учитель. Молодец! Правильно! Значит перед нами задача — получить такие коэффициенты, чтобы сумма их квадратов была равна единице! Постарайтесь придумать число, на которое нужно поделить уравнение так, чтобы выполнялось указанное нами условие.
Ученики думают и, возможно, предложат поделить все на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов уравнения. Если нет, то учитель подводит их к этой мысли.
Учитель. Нам остается выбрать, какой из новых коэффициентов обозначить синусом вспомогательного угла, а какой – косинусом. Возможны два варианта. От выбора зависит переход к простейшему уравнению с синусом, либо косинусом.
Ученики предлагают вариант решения, и учитель его завершает, обращая внимание на форму записи рассуждений и ответа. Решают уравнение № 10.
Учитель. Мы открыли для себя метод решения нового типа уравнений? Как назовем этот тип?
Ответ. Мы работали методом поиска вспомогательного угла. Может быть уравнения нужно назвать уравнениями, которые решаются с помощью вспомогательных углов?
Учитель. Конечно можно. А можно придумать формулу их вида? Это будет короче.
Ответ. Да. Уравнения с коэффициентами А, В и С.
Учитель. Давайте обобщим метод для произвольных коэффициентов.
Учитель обсуждает и записывает на доске формулы синуса и косинуса вспомогательного угла для обобщенных коэффициентов. Затем с их помощью решает уравнения №13 и 14.
Учитель. Достаточно ли хорошо мы овладели методом?
Ответ. Нет. Нужно прорешать подобные уравнения и закрепить умение пользоваться методом вспомогательного угла.
Учитель. Как мы поймем, что метод усвоили?
Ответ. Если самостоятельно решим несколько уравнений.
Учитель. Давайте установим качественную шкалу усвоения метода.
Познакомьтесь с характеристиками уровней и расположите их на шкале, отражающей уровень владения этим умением. Соотнесите характеристику уровня и балл (от 0 до 3)
- Умею решать уравнения с различными коэффициентами
- Не умею решать уравнения
- Умею решать уравнения повышенной сложности
- Умею решать уравнения с табличными коэффициентами
Учитель. (После ответа учеников ) Итак, наша шкала оценок такова:
| Характеристика уровня | Балл | Отметка | Мой уровень |
| Не умею решать уравнения | 0 баллов | 2 | |
| Умею решать уравнения с табличными коэффициентами | 1 балл | 3 | |
| Умею решать уравнения с различными коэффициентами | 2 балла | 4 | |
| Умею решать уравнения повышенной сложности | 3 балла | 5 |
По такому же принципу оценим самостоятельную работу по теме на следующем уроке.
А сейчас, решите, пожалуйста, уравнения № 1148 г, 1149 г, 1150 г и определите свой уровень усвоения темы.
Не забудьте завершить записи в таблице и назвать тему: «Введение вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений».
Далее учащиеся 10 мин. работают самостоятельно. После чего сдают тетради с решением.
Рефлексия способа достижения цели.
Учитель. Ребята, достигли ли мы поставленной цели занятия?
Ответы учащихся. Да, мы научились распознавать новый тип уравнений.
Нашли метод их решения с использованием вспомогательного угла.
Научились применять метод на практике.
Учитель. А как мы действовали? Как пришли к пониманию того, что нам нужно делать?
Ответ. Мы рассмотрели несколько частных случаев уравнений с «узнаваемыми» коэффициентами и эту логику распространили на любые значения А, В и С.
Учитель. Это индуктивный путь размышления: мы на основе нескольких случаев вывели способ и применили его в аналогичных случаях.
Перспектива.
Где мы можем применить подобный путь размышления? (ответы учеников)Вы хорошо поработали сегодня на уроке . Дома ознакомьтесь с описанием метода вспомогательного угла в учебнике и решите №№ 1148 (а, б, в), 1149 (а, б, в), 1150 (а, б, в). Я надеюсь, что на следующем уроке вы все прекрасно будете использовать этот метод при решении тригонометрических уравнений.
Спасибо за работу на уроке!
Статья: «Методы решения тригонометрических уравнений»
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация
В статье рассматриваются различные способы решения одного уравнения с целью углубления, систематизации и совершенствования знаний учащихся по теме «Тригонометрические уравнения». Материал статьи адресован учащимся старших классов, а также студентам физико-математических специальностей, проходящим педагогическую практику в школе.
Ключевые слова: тригонометрические уравнения, функции половинного аргумента, вспомогательный угол, формулы понижения степени, метод оценивания, формулы приведения.
К сожалению, не существует общего метода решения, следуя которому можно было решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. В процессе решения тригонометрических уравнений надо особенно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней или приобретения лишних корней.
Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих переменную только под знаком тригонометрических функций. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Тригонометрические уравнения сводятся цепочкой равносильных преобразований, заменами и решениями алгебраических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям.
Выделим методы решения тригонометрических уравнений
Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Подстановка через функции половинного аргумента.
Введение вспомогательного угла.
Использование формул понижения степени.
Использование замены с помощью основного тригонометрического тождества.
Способ замены sin x=a, cos x=b.
Графический способ.
Использование формул приведения и формул сложения.
Использование универсальных тригонометрических подстановок.
Метод оценивания.
Рассмотрим уравнение 
и решим его наибольшим количеством способов.
Способ 1. Возведение обеих частей уравнения в квадрат
или 
При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же. Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.
Способ 2. Подстановка через функции половинного аргумента
Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения . Выразим sin x, cos x и 1 через формулы половинного аргумента:
Делим обе части уравнения на 
или выносим 
за знак скобки.
:
или 
(2):
или
(разделим на 
)
Способ 3. Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение 
Разделим левую и правую часть уравнения на:
. Так как 
, то существует угол φ такой, что 
при этом 
Тогда уравнение примет вид 
. Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор
и выбор 
будут не всегда равносильны.
(
)
Это уравнение разбивается на два:
(1): 
(2): 
Способ 4. Использование формул понижения степени
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени 
Решается с помощью второго способа.
Способ 5. Использование замены с помощью основного тригонометрического тождества 
возводим обе части в квадрат
Способ 7. Графический способ
Построим графики функций f(x)=
и h(x)=
(Рис.1)
Рис.1
Способ 8. Использование формул приведения и формул сложения
Способ 9. Использование универсальных тригонометрических подстановок
Они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию —
тангенс половинного угла.
Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул неопределенны при 
Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.
Способ 10. Метод оценивания. (Оценивание рассматривается по четвертям)
Уравнение f(x) = g(x). Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений 
I: 
корней нет
II: 
корней нет
III: 
корней нет
IV: 
корней нет
(Нужно проверить граничные точки)
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений.
В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом.
ЛИТЕРАТУРА
Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: Учебник (базовый уровень). 18-е изд.-М.: Просвещение, 2012.-464с.
Мордкович А.Г.: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник (профильный уровень). 10-е изд., испр.-М.: Мнемозина, 2009.-399с.
Методы решения тригонометрических уравнений
Метод решения хорош тем, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому, мы достигнем цели
Лейбниц
Цели урока:
- Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные и применением методов решения тригонометрических уравнений.
- Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
- Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Оборудование к уроку:
Оценочный лист учащегося, кодоскоп, экран, таблица со списком уравнений и копировальная бумага на столе у каждого учащегося.
Структура урока:
- Вводная беседа.
- Поверка домашнего задания.
- Работа по теме урока.
- Подведение итогов.
- Домашнее задание.
Оценочный лист учащегося
Фамилия _____________________________________________________________________
Имя _________________________________________________________________________
| Урок | Этапы | Количество баллов |
| 1 | Домашнее задание | |
| I | ||
| II | ||
| III | ||
| 2 | IV | |
| V |
Ход урока
1. Вводная беседа.
Французский писатель Анатоль Франс (1844 – 1924гг) однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.” Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.
На этом уроке мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы нужно помнить, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.
2. Проверка домашнего задания.
На дом было задано простое уравнение, которое надо было решить наибольшим количеством способов. На кодоскопе заранее заготовлено домашнее задание.
Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. В ходе проверки проводим сравнительный анализ и комментарий решений.
Предварительное домашнее задание:
Решить уравнение наибольшим количеством способов. Отмечаем, что в уравнении a,b,c любые действительные числа.
Если , то уравнение теряет смысл, если , то x–любое действительное число.
Способ 1. Сведение к однородному уравнению.
Выразим , и 1 через функции половинного аргумента:
;
|:;
;
;
Ответ: ,; ,.
Способ 2. Введение вспомогательного угла.
A=1,B=1,; .
;
,;
,;
,;
Ответ: ,.
Способ 3. Преобразование суммы в произведение.
Выразим через .Получим
;
;
;
;
;
,;
,;
,;
Ответ: ,.
Способ 4. Введение выражений для и через по формулам:
, (*)
Обращение к функции предполагает, что , то есть ,.
По формулам (*) исходное уравнение примет вид:
;
;
|:2
;
Ответ: ,; ,.
Способ 5. Замена выражением .
;
;
;
;
;
;
;
Ответ: ,; ,.
Способ 6. Применение формулы .
;
Исходное уравнение примет вид:
;
;
,;
,;
Ответ: ,.
Все решения показываем на тригонометрической окружности точками, отмечаем их совпадения.
Критерии оценок за домашнее задание:
5-6 способов “5” 5б
4 способа “4” 4б
3-2 способа “3” 3-2б
1-0 способов “2” 1-0б
3. Работа по теме урока.
Этап I. Тест (под копировальную бумагу).
Цель: проверить навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 10 уравнений, записанных в столбец. Решая, ученик записывает только ответы, напротив задания, вызвавшего затруднения, ставит прочерк. По истечении времени, отведенного на выполнение теста, листы подписываются и сдаются.
Учитель открывает заранее записанный на доске список ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопроверка по копиям. Результаты теста заносятся в оценочный лист. Для оценки работы надо: поставить знак “+” против верного ответа и знак “-” против неверного.
Критерии оценок: “5” — за 10 плюсов, “4” — за 9-8 плюсов, “3” — за 7-5 плюсов, “2” — менее 5 плюсов.
Баллы соответствуют выставленной оценке.
Этап II. Классификация тригонометрических уравнений по методам.
Учащимся предлагается провести классификацию уравнений по методам. В таблице напротив каждого уравнения указывается номер метода.
Методы:
1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной:
- сведение к квадратному;
- универсальная подстановка;
- введение вспомогательного аргумента.
3. Сведение к однородному уравнению.
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
- обращение к условию равенства тригонометрических функций;
- использование свойства ограниченности функций.
Этап III. После обсуждения вопроса о методах решения уравнений отмечаем, что первые три метода являются традиционными. Последний встречается редко, поэтому остановимся на нем подробнее.
Кодопозитив № 1
Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций.
Трое учеников решают на доске № 11, № 13, № 14, остальные учащиеся – любые из этих уравнений.
Уравнение № 11. .
Решение:
Ответ: ,; ,.
Уравнение № 13. .
Решение:
Ответ: ,; ,.
Уравнение № 14. .
Решение: Разделим обе части уравнения на
;
;
;
Ответ: ,.
Кодопозитив № 2
Метод использования свойства ограниченности функции
Если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех х выполняются неравенства ,и дано уравнение , то оно равносильно системе уравнений
Уравнение № 10.
Решение:
Так как , то , тогда .
Равенство возможно лишь при условии:
Корни первого уравнения определяются формулой ,
Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»
МБОУ «Куйбышевская СОШ»
Методическая разработка урока
по алгебре и началам анализа
Решение тригонометрических уравнений
10 класс
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
учитель математики
Дроздова Лариса Александровна
2017 год
Цели урока:
Образовательные:
— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
Развивающие:
— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
Воспитательные:
— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.
Структура урока:
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
1.2. Устная работа.
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
3.2. Информация о домашнем задании.
3.3. Подведение итогов урока.
Ход урока.
1. Вводно-мотивационная часть
1.1.Организационный момент.
Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.
Содержание этапа:
1.1 Приветствие.
Учитель: Учитель: Первый шаг к успеху при решении тригонометрических уравнений – это умение решать простейшие тригонометрические уравнения.
При решении более сложных уравнений, на какой вопрос вы должны в первую очередь дать ответ?
Ученик: Какой способ применить? Какую формулу?
Учитель: Этот вопрос встаёт при решении любых уравнений, но при решении тригонометрических уравнений ответить на него особенно сложно. Почему?
Ученик: Много формул, сложно выбрать ту формулу, которая необходима в данном случае.
Учитель: Итак, проблему мы обозначили, попробуем её решить. Вспомните, какие уравнения мы решали, какие способы применяли, какие формулы. Постарайтесь разбить их на группы и изобразить это в виде модели.
Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.
Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.
Итак, приступаем.
1.2. Устная работа.
Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.
Содержание этапа: Определение значений тригонометрических функций некоторых углов
«Найди ошибку»:
Пример 1. 
.
Разделим обе части уравнения на 4.
,
.
Пример 2. 
.
Разделим обе части уравнения на
.
,
,
уравнение не имеет корней, так как 
.
Ошибка заключена в делении на 4.
Ошибка заключена в делении на выраже-ние, содержащее переменную.
2. Основная часть урока.
2.1 Учитель:
Давайте, проверим домашнюю работу. (На экране отсканированная копия работы ученика), ученик объясняет способы решения уравнения.
Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.
На доске собирается схема. Анализ методов решения.
1. Введение новой переменной.2sin2x – 5sinx + 2 = 0.
Пусть sinx = t, |t|≤1,
Имеем: 2t2 – 5t + 2 = 0.
Получаем и решаем tg 
= z,
2. Разложение на множители
2sinx cos5x – cos5x = 0;
cos5x (2sinx – 1) = 0.
3. Однородные тригонометрические уравнения.
I степени
a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).
Разделим на cosx ≠ 0.
Получаем и решаем: a tgx + b = 0; …
II степени
a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0.
1) если а ≠ 0, разделим на cos2x ≠0
имеем: a tg2x + b tgx + c = 0.
2) если а = 0, то
имеем: b sinx cosx + c cos2x =0; разделим на cos2x ≠0
получаем и решаем
b tgx + c = 0
4. Неоднородные тригонометрические уравнения.
Уравнения вида:
asinx + bcosx = c
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Введение вспомогательного угла
Опорные конспекты раздать учащимся
Учитель: Вспомнив теорию, давайте решим несколько тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.
3. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы Каждому учащемуся дается уравнение для решения, определить метод и решить его.
3 sin x+ 5 cos x = 0 — arctg 5/3+ πk, k 
Z.
5 sin2 х — 3 sinх cos х — 2 cos2х =0 π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z
3 cos2х + 2 sin х cos х =0 π/2 + πk; — arctg 1,5 + πn, k, n Z
2 sin2 x — sin x — 1 = 0
2 cos x+ 3 sin x = 0 — arctg 2/3+ πk, k Z.
6 sin2 х — 5 sinх cos х + cos2х =0 arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z
Физминутка. Найти под сидениями стульев ответ для своего уравнения.
2.2 Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим. Познакомимся с еще одним методом решения тригонометрических уравнений.
Метод оценки левой и правой частей.
Пример 1.
Предлагаю решить вам следующее уравнение 
.
Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.
Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах 
, 
.
Так как наибольшее значение, которое могут принять функции 
и 
равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений 
Решим каждое уравнение.
, 
,
. 
.
Все корни первого уравнения являются корнями второго (
).
,
,
,
.
Следовательно, решением исходного уравнения является множество .
Ответ: .
Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.
Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3
Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1
– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2
————————————
– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.
Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:
sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или
sin x/4 = 1
cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1, получим х = 2 π+ 8πn, n Z.
Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.
Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.
Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.
Просмотр слайда, где исп. Триг. Ур.
Решение задания ЕГЭ
а) Решите уравнение 
sin 2x= sin(π/2+x)
Задание 13 № 501709
Аналоги к заданию № 501709: 500917
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302.
3.1 Тест по определению метода
Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:
а) 
; – однородное уравнение (
).
б) 
; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.
в) 
; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).
г) 
; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований
д) 
. – однородное уравнение (
).
3.2 Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений я предлагаю вам выполнить домашнее задание дифференцированного содержания:
*Дифференцированное домашнее задание
Решите уравнения
Оценка «3»:
Оценка «4»:
Оценка «5»:
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
3.3 Учитель: Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.
Продолжите предложение:
— Сегодня я узнал…
— Теперь я могу…
— Меня заинтересовало…
— Было трудно…
-Меня удивило…
-Мне захотелось…
—
Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!
Конспект урока по математике «Методы решения тригонометрических уравнений»
Урок математики в 10 классе.
(Автор – учитель математики МБОУ «СОШ №1 р.п.Самойловка»
Локтионова Валентина Николаевна)
Тема урока: методы решения тригонометрических уравнений.
Цели урока:
-систематизировать, обобщить, расширить знания, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений,
-способствовать развитию познавательного интереса учащихся, логического мышления, умений анализировать, выявлять закономерности, сопоставлять и обобщать полученные знания;
Побуждать обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Тип урока: систематизация и обобщение знаний
Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, раздаточный
дидактический материал для учащихся.
Формируемые УУД:
Личностные: умение точно и грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, быть активным при решении математических задач, выражать положительное отношение к процессу познания; адекватно оценивать свою учебную деятельность.
Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; умение самостоятельно планировать и осуществлять свою работу;
Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать результат своей деятельности
Познавательные: умение работать с математическим текстом, грамотно применять математическую символику, логическое обосновывать математические утверждения, выстраивать логическую цепь рассуждений.
Ход урока.
Организационный этап.
Проверить готовность учащихся и кабинета к работе, создать положительный настрой учащихся к работе.
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это,- что следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц.
Как вы понимаете эти слова великого математика?
Учитель. Я хочу, чтобы наш урок расширил ваши знания, принес много полезной информации и был для каждого из вас интересен.
Вместе с вами мы подымимся еще на одну ступеньку по пути изучения темы «Уравнения. Методы решения». Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы необходимо держать в зоне своего внимания, чтобы решать задачи наиболее подходящим методом.
Обучающиеся записывают тему урока в тетрадях
Целеполагание. Давайте поставим цели нашего урока.
Проверка домашнего задания. Обучающимся на дом было дано одно уравнение, которое они должны решить различными способами. Цель этого задания- показать применение различных методов решения тригонометрических уравнений.
Уравнение sinx+ cosx=1 можно решить, по крайне мере, шестью способами. Обучающиеся у доски защищают свои решения.
Способ №1.
Сведение к однородному уравнению. Выразим sinx и cosx через фунции половинного аргумента.
sinx+ cosx=1
Способ № 2.
sinx+ cosx=1
Преобразование суммы в произведение. Выразим cosx через 
Получим:
Способ № 3.Введение вспомогательного угла .Разделим обе части уравнения на квадратный корень из двух.
sinx+ cosx=1
Способ № 4.
Замена sinx и cosx через тангенс половинного аргумента.
Обращение к тангенсу половинного аргумента предполагает, что косинус отличен от нуля, т. е.
Способ №5.Замена cosx на
sinx+ cosx=1,
sinx =0,
=1-sinx,
1-sin 2x=(1-sinx)2
(1-sinx)(1+sinx)-(1-sinx)2=0,
(1-sinx)(1+sinx-1+sinx)=0,
2(1-sinx) sinx=0,
Sinx=1или sinx=0,
Из серии
Способ № 6.
Применение формулы
sinx+ cosx=1,
Задание классу для закрепления.
Дан ряд уравнений. Определить метод решения каждого.
На слайде.
1.cos 2 x+ sinx cosx=1(разложение на множители),
2. sinx – cosx — 4 cos 2x sinx=4 sin 2x(однородное уравнение),
3. cos3x -2 cos2 x+ cosx=0(использование формул сложения),
4. cosx cos3x= cos5x cos7x(использование формул разложения произведения в сумму)
5. sin 2 5x= cos 2 2x-2 sin 2 2x-1(формулы понижения степени),
6. sinx+ cosx=2,5+5 sinx cosx(смешанного типа).
Предлагается обучающимся решить уравнение №4 несколькими способами.
Сильные обучающиеся решают уравнение №5.
Теоретический опрос.
— сформулируйте определение арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа, арккотангенса числа,
— для каких чисел определен арксинус, арккосинус,
— формулы корней уравнения sinx=а, cosx=а,
— частные случаи решения уравнений sinx=а, cosx=а,
— при каких значениях а уравнения sinx=а, cosx=а имеют решения.
Устная работа (задания на карточках)-решают в группах.
Проверка выполнения заданий осуществляется на доске, выясняя, какой метод решения, по мнению обучающихся, наиболее рациональный.
Классификация тригонометрических уравнений.
Провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений. Работа в парах по таблице. Рядом с каждым уравнением указать номер метода, которым можно решить данное уравнение наиболее рационально.
№
Уравнения
№ метода
Методы
1
4(б)
1.Разложение на множители
2
1
2.Введение новой переменной:
а) сведение к квадратным,
б) универсальн. подстановка,
в)введение вспомогательного аргумента,
3
1
3.сведение к однородному уравнению
4
5sinx-2cosx=1
3,2б,2в
4. Использование свойств функции
а)условие равенства тригонометрических функций,
б)использование ограниченности функций
5
Sin3x-cos2x=1
4б
6
1,2б,2в,3
7
1-sin2x=cosx-sinx
1,2б,2в,3
8
сos3x=sinx
4а
9
4-cos 2 x=4sinx
2а
10
sin3x-5sinx=0
4б
11
4а
12
1,2а,2б,2в3,4
Вывод: наибольшее количество методов можно применить к решению последнего тригонометрического уравнения .Первые три метода являются традиционными при решении тригонометрических уравнений. Последний метод используется достаточно редко. Поэтому предлагается остановиться на нем подробнее.
Метод использования свойств ограниченности функции.
Суть этого метода заключается в следующем:
если функцииf(x) и g(x) таковы, что для все х выполняется неравенства
и дано уравнение f(x) + g(x)=a+b, то оно равносильно системе:
Решается уравнение №1 (см. таблицу).
поскольку
имеем систему:
Объединяя полученные решения, приходим к окончательному ответу:
Фрагмент нового .
Условие равенства одноименных тригонометрических функций
I.
II.
III.
Минута релаксации.
1) Какая цифра переводится с латинского никакая?(0)
2)какой стол устойчивее: на 3 и 4 ножках(на трех, так как три точки задают единственную плоскость).
3)Когда х больше, чем100х (когда х меньше нуля).
4)Кто из великих математиков вычислил число пи(Пифагор).
5) Какое число можно найти в каждом автомобильном баке? (октановое).
6) Какую геометрическую фигуру прикрепляют к лацканам костюмов выпускникам ВУЗов? (значок в виде ромба).
7) Какие мужские имена имеют математическое происхождение? (Константин, от латинского слова „constant“,- стойкий, постоянный. Максим, от латинского „maximus“- самый большой, величайший).
Работа в группах под контролем учителя(с использованием новых формул).
Уравнение №8(см. таблицу)
Уравнение №10.
Уравнение №11.
Рефлексия.
Подведение итогов урока, развитие у учащихся навыков самоконтроля.
Определите результат своей работы, используя следующую таблицу.
1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Урок для меня показался
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока мне был
7.Домашнее задание мне кажется
активно / пассивно
доволен / не доволен
коротким / длинным
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен
легким / трудным
интересно / не интересно
Проведите самооценку своей работы. Заполните оценочные листы
Домашнее задание. Учителем предлагаются разноуровневые задания.
Метод оценки при решении тригонометрических уравнений
Всегда прекрасен самолет под
облаками, (Слова детской песенки) |
Однажды известного физика А.Эйнштейна спросили: “Как делаются открытия?” Эйнштейн ответил: “А так: все знают, что вот этого делать нельзя. И вдруг появляется человек, который не знает, что этого нельзя. Он и делает открытие”. Конечно, это была лишь шутка. Дело не в том, чтобы не знать. Знать надо! А ещё надо сомневаться, не брать на веру всё, чему учили деды, копать глубже, смотреть лучше. И сегодня я предлагаю вам отойти от традиционных решений, попробовать взглянуть на задания с необычной стороны.
1. Решим уравнение
cos · cos = 1.
Наверное, можно применить формулы двойного и тройного угла, но мы попробуем оценить выражения, входящие в уравнение. Поскольку cos t не больше 1, то при умножении можно получить 1 только в одном из случаев:
Вторая система не имеет решений, а решениями первой системы, а значит и первоначального уравнения, являются = 2 m, где m є z.
2. Решим уравнение
cos · cos = 1.
Не забудем, что решениями могут являться значения х не меньше 4, поскольку выражение (х – 4) находится под знаком арифметического квадратного корня. Из тех же соображений, что и при решении примера 1, получим, что при умножении можно получить 1 только в одном из случаев:
Решая отдельно эти системы, получим, что решением первой системы является число 4, а у второй системы решений нет.
Таким образом, х = 4 – решение первоначального уравнения.
3. Решим уравнение:
3cos х – 4sin х =.
Легко показать, что выражение, стоящее в левой части уравнения
-5 3 cos х – 4 sin х 5,
а выражение, стоящее в правой части уравнения
= = 6.
Таким образом, данное уравнение решений не имеет.
4. Решим уравнение:
sin – sin · cos = 1, 5.
Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения. Получим, что
sin х – sin · cos х = ·(sin · sin х – cos · cos х) =
= – · cos,
где = ± arccos .
При этом,
0 sin2 15x 1,
1 2,
1 и
— · cos .
Таким образом, левая часть , а правая равна 1,5. А это невозможно. Значит, уравнение решений не имеет.
5. Решим уравнение
sin – sin = cos· cos х + 2 cos – 6.
Запишем уравнение в виде sin – 2 cos = cos · cos + sin – 6. А теперь оценим, используя метод вспомогательного угла, выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения.
1) sin – 2 cos = ·
= — cos = – 4 cos и -4 – 4 cos 4.
2) cos · cos х + sin х – 6 = · ( cos · cos x + sin · sin x) – 6 =
= cos – 6,
где = ± arccos .
При этом,
0 cos2 24x 1,
3 3 + cos2 24x 4,
2,
– 2 cos 2,
– 8 cos – 6 – 4.
Таким образом, левая часть – 4, а правая часть – 4. Их равенство возможно только при выполнении условия:
Решая эту систему, получим, что х = + 2m, где m Z.
6. Для каждого а решить уравнение 4 cos х · sin a +2 sin х · cos a – 3 cos a =.
4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a =.
Оценим выражение, стоящее в левой части уравнения:
4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a = · (sin · sin а +
+ cos · cos а) = cos =
=cos = cos ,
где = ± arccos .
При этом, – 12 sin2 – 12 sin + 25 = -12 · ( sin2 + sin – ) =
= – 12 · = – 12 · =
= – 12 · + 28 28, а 0 .
Таким образом, cos = при
Поскольку, = ±arccos + 2?k =
= ±arccos + 2k = ± arccos + 2k=
= ± arccos + 2k == ± arccos + 2k,
Я надеюсь, вам понравился такой способ решения уравнений и неравенств, ведь он действительно похож на маленького пони, которого так легко обнять (то есть применить метод оценки частей уравнений и неравенств), но для этого его надо понять и полюбить.