Высота равнобедренного треугольника опущенная на основание равна 26: Вышина равнобедренного треугольника, опущенная из его верхушки на основание, одинакова 26.

Содержание

Треугольник » Страница 7

Тема: Треугольник

Теория

Задачи

  • Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна прямой, соединяющей середины основания и боковой стороны.  Смотреть решение →
  • Основание треугольника делится высотою на части в 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие части эта прямая разбила основание треугольника?  Смотреть решение →
  • Высота треугольника равна 4; она делит основание на две части, относящиеся, как 1 : 8. Найти длину прямой, параллельной высоте и делящей треугольник на равновеликие части.  Смотреть решение →
  • Треугольник ABC разбит на три равновеликие фигуры прямыми, параллельными стороне АС. Вычислить, на какие части разбили эти прямые сторону АВ, равную а. Смотреть решение →
  • Определить площадь треугольника, если две стороны соответственно равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.  Смотреть решение →
  • Даны две стороны b и с треугольника и его площадь S = 2/5 . Найти третью сторону а треугольника.  Смотреть решение →
  • Внутри равностороннего треугольника взята произвольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что сумма этих трех перпендикуляров равна высоте треугольника. Смотреть решение →
  • Рассматриваются два треугольника ABC и А1В1С1, которые лежат в непараллельных плоскостях и имеют попарно непараллельные стороны. При этом прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Доказать, что продолжения соответственных сторон треугольников попарно пересекаются и точки их пересечения лежат на одной прямой. Смотреть решение →
  • В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Найти длины двух других сторон.  Смотреть решение →
  • Перпендикуляр, опущенный из вершины угла при основании равнобедренного треугольника на противоположную сторону, делит последнюю в отношении m :n. Найти углы треугольника. Смотреть решение →
  • Microsoft Word — геометрия-1.doc

    %PDF-1.6 % 955 0 obj > endobj 952 0 obj >stream 2009-08-03T12:57:02ZMicrosoft Word — геометрия-1.doc2009-08-12T12:51:21+04:002009-08-12T12:51:21+04:00application/pdf

  • Елена
  • Microsoft Word — геометрия-1.doc
  • doPDF Ver 6.1 Build 276 (Windows XP x32)uuid:d60141d8-4b2c-4d57-bdfd-e4ad6bbf2afbuuid:e17ab538-6e84-4259-9962-f18eb34ac9fa endstream endobj 956 0 obj >/Encoding>>>>> endobj 919 0 obj > endobj 920 0 obj > endobj 926 0 obj > endobj 932 0 obj > endobj 938 0 obj > endobj 944 0 obj > endobj 945 0 obj > endobj 946 0 obj > endobj 947 0 obj > endobj 948 0 obj > endobj 949 0 obj > endobj 950 0 obj > endobj 951 0 obj > endobj 706 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 709 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 711 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 713 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 715 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 717 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 719 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 721 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 723 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 725 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState>>>/QITE_pageid>/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >stream HWM ϯ24z00M t-hIɲ-{fnǑCo>?/dNhͧNYpG79(NG_iiߦtoIxj

    Как найти высоту у равнобедренного треугольника: Высота равнобедренного треугольника

    Высота равнобедренного треугольника | Онлайн калькулятор

    Равнобедренным треугольником называется

    такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

    Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

    Рассмотрим каждый случай по отдельности.

    Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты

    в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

    Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

    Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

    Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

    Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

    Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

    Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

    Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

    Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

    Формула через основание и угол при нем α:

    через основание и угол противолежащий ему β:

    к основанию, к боковой стороне

    В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

    Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

    Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

    Свойство 1

    В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

    AE = CD

    Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

    Свойство 2

    В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

    • BD – высота, проведенная к основанию AC;
    • BD – медиана, следовательно, AD = DC;
    • BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
    • BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.
    Свойство 3

    Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

    1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

    • a – основание;
    • b – боковая сторона.

    2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:

    p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

    3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

    Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

    Пример задачи

    Задача 1
    Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

    Решение
    Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

    Задача 2
    Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см.

    Основание фигуры равняется 10 см.

    Решение
    Для начала вычислим полупериметр треугольника:

    Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

    Как найти высоту в треугольнике abc: формулы, примеры задач

    В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

    Нахождение высоты треугольника

    Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

    Высота в разностороннем треугольнике

    Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

    1. Через площадь и длину стороны

    где S – площадь треугольника.

    2. Через длины всех сторон

    где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

    3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

    4. Через стороны и радиус описанной окружности

    где R – радиус описанной окружности.

    Высота в равнобедренном треугольнике

    Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

    Высота в прямоугольном треугольнике

    Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

    1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

    2. Через стороны треугольника

    Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

    Высота в равностороннем треугольнике

    Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

    Примеры задач

    Задача 1
    Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

    Решение
    В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

    Задача 2
    Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

    Решение
    Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

    Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

    Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

    Онлайн калькулятор

    Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

    • длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
    • длину двух равных сторон (a) и угол α
    • длину двух равных сторон (a) и угол β
    • длину основания (b) и угол α
    • длину основания (b) и угол β

    Введите их в соответствующие поля и получите результат.

    Если известны длина стороны а и основания b

    Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?

    Формула

    h = √a2 — (b/2)2

    Пример

    Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

    h = √102 — (5/2)2 = √100 — 6.25 ≈ 9.68 см

    Если известны длина стороны а и угол α

    Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

    Формула

    h = a⋅sin α

    Пример

    Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

    h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

    Если известны длина стороны а и угол β

    Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

    Формула

    h = a⋅cos β/2

    Пример

    Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

    h = 5⋅cos 30/2 ≈ 4. 83 см

    Если известны длина стороны b и угол α

    Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?

    Формула

    h = b/2tg α

    Пример

    Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

    h = 20/2tg 35 = 10⋅0.7 = 7 см

    Если известны длина стороны b и угол β

    Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?

    Формула

    h = b/2ctg β/2

    Пример

    Если сторона b = 15 см, а ∠β = 40°, то:

    h = 15/2ctg 40/2 = 7.5⋅2.7474 ≈ 20.6 см

    См. также

    Равнобедренный треугольник. Свойства, Признаки, Высота

    Определение равнобедренного треугольника

    Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого:

    Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

    Давайте посмотрим на такой треугольник:

    На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

    А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

    AB и BC — боковые стороны,

    AC — основание треугольника.

    Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos

    Свойства равнобедренного треугольника

    Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

    Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

    Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Доказательство теоремы:

    Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

     

    Геометрия в 7 классе полна острых углов. Чтобы ваш ребенок миновал их круглым отличником, запишите его на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

    Наши опытные преподаватели научат с закрытыми глазами отличать равнобедренный треугольник от равностороннего, а интерактивная платформа не даст заскучать на уроках.

     

    Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

    Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

    Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

    Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

    Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

    Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

    Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

    Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

    Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

    В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

    Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

    Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

    Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

    А вот и доказательство:

    • Δ ABC
    • Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
    • Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
    • Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
    • Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
    • AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
    • Δ ABH = Δ BCH
    • Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

    Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

    Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

    Доказательство:

    Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

    Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

    Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

    Признаки равнобедренного треугольника

    Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

     

    1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
    2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
    3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.
    4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник снова равнобедренный!
    5. Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.
    Свойства углов равнобедренного треугольника
    • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
    • Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые.
    • Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

    Формулы равнобедренного треугольника

    Формулы сторон равнобедренного треугольника

    b — основание равнобедренного треугольника

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    α — углы при основании

    β — угол, образованный равными сторонами

    Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника

     

    Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):

     

    Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

    b — основание равнобедренного треугольника

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    α — углы при основании

    β — угол, образованный равными сторонами

    L — высота, биссектриса и медиана

     

    Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)

    Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)

    Примеры решения задач

    Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

    Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

    Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
    ∠A = ∠C = 80∘.
    Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
    ∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
    ∠B = 20∘

    Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

    Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

    Еще больше тренировок — в детской школе Skysmart. Записывайте ребенка на бесплатный урок математики и приходите сами: покажем, как все устроено и наметим индивидуальную программу занятий.

    Высота равнобедренного треугольника

    Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение

    Задача

    В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника.

    Решение.




    Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как




    AK/KB = tg B = 3/4


    Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х.




    Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение:


    (3x)2 + (4x)2 = (13a)2

    9x2  + 16x2
    = 169a2

    25x2
     = 169a2

    x2
     = 169/25a2

    x = 13/5a

    Откуда


    AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a


    KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

    Ответ:    7,8a и
    10,4a

     Углы равнобедренного треугольника |

    Описание курса

    | Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник 

       

    Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике

    Высотами в треугольнике называют три отрезка прямых, каждый из которых перпендикулярен одной из сторон и соединяет ее с противолежащей вершиной. Как минимум две стороны и два угла в равнобедренном треугольнике имеют одинаковые величины, поэтому и длины двух высот должны быть равны. Это обстоятельство значительно упрощает вычисление длин высот фигуры.

    Высоту (Hc), проведенную к основанию равнобедренного треугольника, можно рассчитать, зная длины этого основания (c) и боковой стороны (a). Для этого можно использовать теорему Пифагора, так как высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Высота и половина основания в нем являются катетами, поэтому для решения задачи извлеките корень из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны и четвертью квадрата длины основания: Hс = √(a²-¼*c²).

    Эту же высоту (Hc) можно вычислить и по длине любой из сторон, если в условиях приведена величина хотя бы одного угла. Если это угол при основании треугольника (α) а известная длина определяет величину боковой стороны (a), для получения результате перемножьте длину известной стороны и синус известного угла: Hс = a*sin(α). Эта формула вытекает из теоремы синусов.

    Если известна длина основания (с) и величина прилегающего к нему угла (α), для вычисления высоты (Hc), половину длины основания умножьте на синус известного угла и разделите на синус разницы между 90° и величиной того же угла: Hс = ½*c*sin(α)/sin(90°-α).

    При известных размерах основания (с) и противолежащего ему угла (γ) для вычисления высоты (Hc) умножайте половину длины известной стороны на синус разницы между 90° и половиной известного угла, а результат делите на синус половины того же угла: Hс = ½*c*sin(90°-γ/2)/sin(γ/2). Эта формула, как и две предыдущие, вытекает из теоремы синусов в сочетании с теоремой о сумме углов в треугольнике.

    Длину высоты, проведенной к одной из боковых сторон (Ha) можно вычислить, например, зная длину этой стороны (a) и площадь равнобедренного треугольника (S). Чтобы это сделать, найдите удвоенную величину соотношения между площадью и длиной известной стороны: Ha = 2*S/a.

    Калькулятор равнобедренного треугольника — Расчет высокой точности

    [1] 2021/05/06 05:04 Мужчина / 20-летний уровень / Учитель / Исследователь / Очень /

    Цель использования
    Модель Lego

    [2] 2021/05/04 11:25 — / До 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /

    Цель использования
    Помогает при выполнении домашних заданий (Геометрия для старших классов).

    [3] 2021/04/25 21:30 Мужской / 50-летний уровень / Самозанятые люди / Очень /

    Цель использования
    Попытка подсчитать, сколько годного к употреблению масла у меня осталось в циклической ( горизонтальный!) бак.Требуется для расчета углов треугольника по известной гипотенузе (радиус круга) и высоте треугольника (уровень масла). Получилось удовольствие. Осталось еще 195 литров! (заменяем бак).

    [4] 2021.04.21 10:12 Мужчина / Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

    Цель использования
    Слишком долго не ходил в школу. Изготовление стола из эпоксидной смолы, необходимого для подрезки стальных ножек, пока смола мокрая. Вырисовал ножки для прямоугольной основы, забыл некоторые геометрические доказательства.Смотрел их и вручную делал расчеты. Проверил с помощью этого калькулятора -> получилось с такими же точными числами и углами. Хороший инструмент для проверки, не ленитесь и полагайтесь на технологии, которые сделают все за вас. Вот почему у нас есть манекены, которые не могут решать математические уравнения Facebook.

    [5] 2021/04/17 22:19 Женщина / 60 лет и старше / Пенсионер / Очень /

    Назначение
    Пошив шторки для нашей горки для муниципального бассейна. Это пирамида, состоящая из 4-х треугольников.Стороны легко измерить, углы нужны.
    Комментарий / запрос
    Отлично и быстро. Спасибо.

    [6] 2021/04/05 04:56 Женщина / Уровень 40 лет / Другое / Очень /

    Цель использования
    Рассчитать размер детской палатки для двора 🙂

    [7] 2021/03/02 23:20 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирантка / Очень /

    Цель использования
    Быстрее решать задачи

    [8] 2021/02/26 02:15 Мужчина / Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

    Цель использования
    Игра с периметром: отношения диаметров многоугольников с увеличивающимся числом сторон.Наблюдая, как отношение приближается к пи, когда многоугольник становится более круглым.

    [9] 2021/02/10 22:40 Женщина / 30-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

    Цель использования
    Попытка найти длины сторон, когда я знаю база — 48 дюймов, а базовый ангел — 30 градусов

    [10] 2021/02/09 14:38 Мужчина / уровень 40 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

    Цель использования
    Требуется дизайнерский угол «сделай сам», доступны только определенные размеры.Спасибо за калькулятор.

    Калькулятор равнобедренного треугольника

    Калькулятор равнобедренного треугольника — лучший выбор, если вы ищете быстрое решение ваших геометрических задач. Узнайте площадь равнобедренного треугольника, его периметр, внутренний радиус, радиус описанной окружности, высоту и углы — все в одном месте. Если вы хотите построить питомник, узнать площадь равнобедренного фронтона греческого храма или просто выполнить домашнее задание по математике, этот инструмент здесь для вас. Поэкспериментируйте с калькулятором или продолжайте читать, чтобы узнать больше о формулах равнобедренного треугольника.

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя сторонами равной длины, которые называются катетами. Третья сторона треугольника называется основанием. Угол при вершине — это угол между ножками и углами с основанием, так как одна из их сторон называется углами основания.

    Свойства равнобедренного треугольника:

    • имеет ось симметрии по высоте вершины
    • Два угла напротив ножек равны по длине
    • равнобедренный треугольник может быть острым, прямым или тупым, но это зависит только от угла при вершине (углы основания всегда острые)

    Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника.

    Формулы равнобедренного треугольника для площади и периметра

    Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать множество различных формул. Самыми популярными являются уравнения:

    1. Данная рука a и основание b :

      площадь = (1/4) * b * √ (4 * a² - b²)

    2. Дано h высота от вершины и основания b или h4 высота от двух других вершин и плеча a :

      площадь = 0.5 * h * b = 0,5 * h4 * a

    3. Любой угол и плечо или основание

    площадь = (1/2) * a * b * sin (base_angle) = (1/2) * a² * sin (vertex_angle)

    Кроме того, вы можете воспользоваться нашим калькулятором площади треугольника, чтобы узнать другие уравнения, которые работают для всех типов треугольников, а не только для равнобедренных.

    Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, просто сложите все стороны треугольника:
    периметр = a + a + b = 2 * a + b

    Теорема о равнобедренном треугольнике

    Теорема о равнобедренном треугольнике, также известная как теорема об основных углах, утверждает, что , если две стороны треугольника равны, то углы, противоположные этим сторонам, равны .

    Также существует обратная теорема, утверждающая, что , если два угла треугольника совпадают, то стороны, противоположные этим углам, равны .

    Калькулятор золотого треугольника

    Золотой треугольник, который также называют возвышенным треугольником, представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ножка находится в золотом сечении по отношению к основанию:

    a / b = φ ~ 1,618

    Золотой треугольник обладает необычными свойствами:

    • Это единственный треугольник с тремя углами в пропорции 2: 2: 1
    • Это форма треугольников в точках пентаграммы
    • Используется для формирования логарифмической спирали

    Как найти площадь с помощью этого калькулятора равнобедренного треугольника?

    Давайте узнаем, как пользоваться этим инструментом на простом примере.Взгляните на это пошаговое решение:

    1. Определите ваше первое данное значение . Предположим, мы хотим проверить свойства золотого треугольника. Наберите 1,681 дюйма в коробку с опорой .
    2. Введите второй известный параметр . Например, возьмите основание, равное 1 дюйм.
    3. Все остальные параметры рассчитываются в мгновение ока! Мы проверили, например, что периметр равнобедренного треугольника равен 4,236 дюйма и что углы в золотом треугольнике равны 72 ° и 36 ° — соотношение действительно равно 2: 2: 1.

    Вы можете использовать этот калькулятор для определения параметров, отличных от приведенных в примере, но помните, что обычно есть два разных равнобедренных треугольника с заданной площадью и другим параметром, например длина ноги. Наш калькулятор покажет одно из возможных решений.

    Как определить высоту треугольника в трех разных ситуациях

    В тригонометрии высоту треугольника можно определить разными способами в зависимости от того, прямоугольный ли это треугольник, равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами), или равносторонний треугольник.

    1. Как найти высоту прямоугольного треугольника

    Прежде чем мы начнем, вот что вам нужно знать о прямоугольных треугольниках. Прямоугольный треугольник имеет три стороны: гипотенузу, высоту и основание треугольника. Основание и высота прямоугольного треугольника — это всегда стороны, прилегающие к прямому углу, а гипотенуза — самая длинная сторона.

    Высоту прямоугольного треугольника можно определить по формуле площади:

    Если заданная площадь неизвестна, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту прямоугольного треугольника.Вот что утверждает теорема Пифагора, учитывая, что c — гипотенуза, а a и b — две другие стороны:

    Давайте возьмем единицы с рисунка выше и подставим длину основания и гипотенузы, чтобы найти недостающую высоту:

    2. Определение высоты неправильного треугольника

    К сожалению, вы не можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту равнобедренного треугольника или высоту равностороннего треугольника (где все стороны треугольника равны). Вместо этого вам придется провести перпендикулярную линию через основание треугольника, чтобы образовался прямой угол:

    Эта линия представляет высоту этих неправильных треугольников. После того, как вы сформировали эту линию, вам нужно будет использовать формулу Герона, чтобы найти площадь всего треугольника.

    Формула Герона

    Первый шаг формулы Герона — вычисление половины периметра треугольника. В этом случае s представляет половину периметра, а a, b, и c — стороны:

    После того, как вы определили s , используйте следующую формулу для вычисления площади треугольника.Опять же, две стороны: a и b , а самая длинная сторона (гипотенуза) — c :

    .

    Давайте подставим длины сторон этого равнобедренного треугольника, чтобы найти площадь треугольника:

    Теперь мы заменим s в формуле площади непрямого треугольника.

    Использование площади для определения высоты треугольника

    Теперь, когда вы знаете площадь изображенного выше треугольника, вы можете подставить его в формулу треугольника A = 1 / 2bh, чтобы найти высоту треугольника. В этом случае основание будет равно половине расстояния пяти (2,5), так как это самая короткая сторона треугольника.

    Формулы высоты главного треугольника

    Определение высоты треугольника — это многоэтапный процесс, который может сбивать с толку. Однако его освоение поможет вам изучить различные типы формул площади, такие как формула цапли и A = 1 / 2bh. Здесь также показано, как использовать теорему Пифагора и формулы периметра треугольника для определения других величин внутри треугольника.

    Дополнительные домашние задания по математике

    Равнобедренный треугольник — математический путь

    Равнобедренный треугольник представляет собой многоугольник из трех сторон и двух равных сторон . Другая неравная сторона называется основанием треугольника.

    Следовательно, два угла также будут равными (α), а другие — разными (β), т.е. это угол, образованный двумя равными сторонами ( a ).

    Двумя частными случаями равнобедренных треугольников являются равносторонний треугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник .

    Высота равнобедренного треугольника

    Высота ( h ) равнобедренного треугольника (или высота ) может быть вычислена по теореме Пифагора. Стороны a , b / 2 и h образуют прямоугольный треугольник. Стороны b / 2 и h представляют собой катеты, а a — гипотенузу.

    По теореме Пифагора:

    И получается, что высота h составляет:

    В равнобедренном треугольнике высота , соответствующая основанию ( b ), также является биссектрисой угла, серединным перпендикуляром и серединой.

    Площадь равнобедренного треугольника вычисляется из основания b (неповторяющаяся сторона) и высоты ( h ) треугольника, соответствующего основанию. Площадь — это произведение основания и высоты, разделенные на два, и формула имеет следующую формулу:

    .

    Периметр равнобедренного треугольника получается сложением трех сторон треугольника.Имея две равные стороны, периметр равен удвоенной повторяющейся стороне ( a ) плюс другая сторона ( b ).

    Если повторяющаяся сторона ( a ) и угол двух равных сторон известны, другая сторона ( b ) должна быть найдена по закону косинусов .

    Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице. Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

    Triangle-total.rar или Triangle-total.exe

    Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

    Решенные упражнения

    Упражнение в области равнобедренного треугольника

    Определите площадь равнобедренного треугольника , зная его две равные стороны ( a = 3 см) и неравную, длина которой составляет 2 см ( b = 2 см).

    Какая у него площадь ?

    Рассчитайте площадь по приведенной выше формуле, умножив основание на высоту:

    Площадь равнобедренного треугольника равна 2.83 см 2 .

    Упражнение по периметру равнобедренного треугольника

    Это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами, a = 3 см, а другая сторона b = 2 см.

    Каков его периметр ?

    Чтобы вычислить этот периметр , мы добавляем повторяющуюся сторону, умноженную на два, плюс неравную сторону, то есть:

    Получается, что периметр равнобедренного треугольника равен 8 см .

    Упражнение на высоту равнобедренного треугольника

    Найдите стороны и периметр равнобедренного треугольника, высота которого относительно неровной стороны составляет h = 6 см, а противоположный угол, также неровный, составляет 40 °.

    Найдено с помощью тригонометрических соотношений из одного прямоугольного треугольника, на который делится равнобедренный треугольник высотой h .

    Отрезок, противоположный углу β / 2, который является отрезком b /2, мы нашли его через касательную:

    Сторона b меры 4.36 см.

    Образуется гипотенуза прямоугольного треугольника, то есть сторона и находится по косинусу:

    Сторона и имеет размер 6,38 см.

    Наконец, периметр треугольника составит:

    Получается, что периметр этого равнобедренного треугольника будет составлять 17,12 см.

    Равнобедренный треугольник — определение математического слова

    Равнобедренный треугольник — определение математического слова — Math Open Reference

    Треугольник, две стороны которого равны.Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину, чтобы изменить форму треугольника.
    Обратите внимание, что он всегда остается равнобедренным треугольником, стороны AB и AC всегда равны по длине.

    Слово равнобедренное произносится как «глаз- sos -ell-easy» с ударением на «sos». Это любой треугольник с двумя сторонами одинаковой длины.

    Если все три стороны имеют одинаковую длину, это называется
    равносторонний треугольник.
    Очевидно, что все равносторонние треугольники также обладают всеми свойствами равнобедренного треугольника.

    Недвижимость

    • Неравную сторону равнобедренного треугольника обычно называют «основанием» треугольника.
    • Углы основания равнобедренного треугольника всегда равны.
      На рисунке выше углы ∠ABC и ∠ACB всегда одинаковы
    • Когда 3-й угол является прямым, он называется «равнобедренный прямоугольный треугольник».
    • Высота — это расстояние по перпендикуляру от основания до самой верхней вершины.

    Построение равнобедренного треугольника

    Можно построить равнобедренный треугольник заданных размеров, используя только циркуль и линейку.Посмотрите на эти три конструкции:

    Решение равнобедренного треугольника

    Основание, катет или высота равнобедренного треугольника можно найти, если вы знаете два других.
    А
    серединный перпендикуляр
    базы образует
    высота
    треугольника, как показано справа.
    Это образует два
    совпадающие прямоугольные треугольники
    это может быть решено с помощью
    Теорема Пифагора
    как показано ниже.

    Нахождение базы

    Чтобы найти базу с учетом шага и высоты, используйте формулу:

    где:
    L — длина отрезка
    A — высота

    Нахождение отрезка

    Чтобы найти длину ноги с учетом базы и высоты, используйте формулу:

    где:
    B — длина основания
    A — высота

    Высота

    Чтобы найти высоту по базе и ноге, используйте формулу:

    где:
    L — длина ножки
    B — основание

    Внутренние углы

    Если вам дадут один
    внутренний угол
    равнобедренного треугольника можно найти два других.

    Например, нам дан угол при вершине, как показано справа от 40 °.
    Мы знаем, что внутренние углы всех треугольников составляют 180 °.
    Таким образом, два базовых угла должны в сумме составлять 180-40 или 140 °. Поскольку два основных угла совпадают (одна и та же мера), каждый из них составляет 70 °.

    Если нам дан базовый угол, скажем, 45 °, мы знаем, что базовые углы конгруэнтны (та же мера)
    а внутренние углы любого треугольника всегда складываются в 180 °. Таким образом, угол при вершине должен составлять 180-45-45 или 90 °.

    Другие треугольники

    Общий
    Периметр / Площадь
    Типы треугольников
    Центры треугольника
    Конгруэнтность и сходство
    Решение треугольников
    Тесты и упражнения «Треугольник»

    (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

    Все права защищены.

    Как использовать теорему Пифагора для равнобедренных треугольников

    С помощью теоремы Пифагора можно найти любую неизвестную сторону прямоугольного треугольника, если длины двух других сторон известны.Теорема Пифагора может быть использована для решения любой стороны равнобедренного треугольника, даже если это не прямоугольный треугольник. У равнобедренных треугольников две стороны равной длины и два эквивалентных угла. Проведя прямую линию по центру равнобедренного треугольника, его можно разделить на два равных прямоугольных треугольника, а теорему Пифагора можно легко использовать для определения длины неизвестной стороны.

      Нарисуйте треугольник вертикально на листе бумаги так, чтобы нечетная сторона (та, которая по длине не равна двум другим) находилась у основания треугольника.Например, предположим, что равнобедренный треугольник с двумя сторонами равной, но неизвестной длины, длина одной стороны составляет 8 дюймов, а высота — 3 дюйма. На вашем рисунке сторона размером 8 дюймов должна быть у основания треугольника.

      Проведите прямую линию по середине треугольника от вершины до основания. Эта линия должна быть перпендикулярна основанию и разделять треугольник на два равных прямоугольных треугольника — в этом примере каждый имеет высоту 3 дюйма и основание 4 дюйма.

      Напишите значения длин известных сторон треугольника рядом с совпадающими сторонами. Эти значения могут быть получены из конкретной математической задачи или из измерений для определенного проекта. Напишите «3 дюйма». рядом с линией, проведенной на шаге 2, и «4 дюйма» по обе стороны от этой линии у основания треугольника.

      Определите, какая сторона имеет неизвестную длину, и используйте теорему Пифагора, чтобы найти ее с помощью калькулятора. Неизвестная сторона — это гипотенуза каждого из двух треугольников.

      Обозначьте гипотенузу «C» и любой из катетов треугольника «A», а другой — «B.2].

      Гипотенуза — это линия, соединяющая основание и высоту прямоугольного треугольника.

      Катеты прямоугольного треугольника — это две стороны, образующие прямой угол.

      Используйте половину исходной длины основания треугольника в качестве базового значения для прямоугольного треугольника, когда вы разделили треугольник на две равные половины.

    Как найти высоту треугольника (правого, равностороннего, равнобедренного …)

    Треугольники имеют три высоты, каждый связан с отдельным основанием. Независимо от того, имеется ли до трех разных высот, у одного треугольника всегда будет только одна мера площади. В некоторых треугольниках, таких как прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники, определить высоту легко одним из двух способов.

    Как найти высоту треугольника

    Каждый треугольник имеет три высоты или высоты, потому что у каждого треугольника три стороны. Высота треугольника — это длина перпендикулярного отрезка прямой, начинающегося на одной стороне и пересекающего противоположный угол.

    В равностороннем треугольнике, таком как △ СОЛНЦЕ ниже, каждая высота — это отрезок прямой, разделяющий сторону пополам, а также биссектрису противоположного угла. Это произойдет только в равностороннем треугольнике.

    По определению равностороннего треугольника вы уже знаете, что все три стороны равны, и все три угла равны 60 °. Если сторона помечена, вы знаете ее длину.

    У нашего яркого маленького △ СОЛНЦА одна сторона обозначена 24 см, поэтому все три стороны равны 24 см. Каждый отрезок линии, показывающий высоту с каждой стороны, также делит равносторонний треугольник на два прямоугольных.

    Формула высоты треугольника

    Ваша способность разделить треугольник на прямоугольные или распознать существующий прямоугольный треугольник — это ваш ключ к определению высоты исходного треугольника. Вы можете взять любую сторону нашего великолепного △ СОЛНЦА и увидеть, что отрезок линии, показывающий его высоту, делит сторону пополам, так что каждая короткая ножка только что созданного прямоугольного треугольника составляет 12 см.Мы уже знаем, что гипотенуза равна 24 см.

    Зная все три угла и две стороны прямоугольного треугольника, какова длина третьей стороны? Это работа для теоремы Пифагора :

    Использование теоремы Пифагора

    Ориентируйтесь на длину; углы не важны в теореме Пифагора. Подключите то, что вы знаете:

    а2 + Ь2 = с2

    122 + b2 = 242

    144 + b2 = 576 см2

    b2 = 432 см2

    b2 = 432 см2

    б = 20. 7846096908 см

    Большинство людей с радостью скажут, что высота (сторона b) составляет приблизительно 20,78, или b ≈ 20,78.

    Вы можете решить для себя, сколько значащих цифр нужно вашему ответу, поскольку десятичная дробь будет продолжать повторяться. Не забудьте использовать для ответа линейные измерения!

    Решение теоремы Пифагора работает с прямоугольными, равнобедренными и равносторонними треугольниками. На разносторонних треугольниках не получится!

    Используя формулу площади, чтобы найти высоту

    Формула для площади треугольника: : 12 основание × высота, или 12 bh.Если вы знаете площадь и длину основания, вы можете рассчитать высоту.

    В отличие от метода теоремы Пифагора, если у вас есть две из трех частей, вы можете найти высоту для любого треугольника!

    Здесь у нас есть scalene △ ZIG с базой в 56 ярдов и площадью 987 квадратных ярдов, но никаких подсказок об углах и двух других сторонах !:

    Вспоминая формулу для площади, где A означает площадь, b — основание, а h — высота, мы вспоминаем

    A = 12 bh

    Это можно переставить с помощью алгебры:

    А = bh4

    ч = 2 (Ab)

    Введите наши известные значения:

    h = 2 (987 квадратных ярдов 56 ярдов)

    ч = 2 (17.

    Тема 9. Планиметрия — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

        Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис; центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

        Теорема косинусов: a2=b2+c2-2bccosA.

        Свойство медиан: AO:OM=2:1.

        Свойство биссектрис: CA:AD=CB:BD.

        1) Углы треугольника пропорциональны числам 3, 5, 7. Найдите эти углы.

        2) Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Чему равен наибольший угол, если величина наименьшего 200?

        3) Два внешних угла треугольника равны 1200 и 1600. Чему равен третий внешний угол?

        4) Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 15, а один из острых углов равен 600. Чему равна длина меньшего катета?

        5) Один из углов прямоугольного треугольника равен 300, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 9. Найдите длину гипотенузы.

        6) В треугольнике ABC проведена высота BH, причем AH=3. Найдите длину стороны BC, если .

        7) Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если его площадь равна 18.

        8) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а катеты относятся как 2 : 3. Чему равна площадь треугольника?

        9) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 9, а другой относится к гипотенузе, как 4 : 5. Чему равна площадь треугольника?

        10) Катеты прямоугольного треугольника равны log49 и log316. Чему равна площадь треугольника?

        11) Высота равнобедренного треугольника, равна 15, а боковая сторона больше основания на 1. Чему равно основание?

        12) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18, а площадь 108.

        13) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если  основание равно 10 см, а медиана, проведённая к основанию, равна 3 см.

        14) Величины углов треугольника относятся как 1 : 1 : 2, а большая из сторон равна 15. Чему равна высота, проведенная к этой стороне?

        15) Площадь равнобедренного треугольника равна , а углы при основании 300. Найдите высоту, опущенную на основание.    16) В треугольнике ABC проведена медиана AM. . Чему равна сторона AC?

        17) Основание треугольника равно 22, боковые стороны 13 и 19. Чему равна медиана, опущенная на основание?

        18) Две стороны треугольника равны 11 и 7, а медиана, опущенная на третью сторону 6. Найдите длину третьей стороны.

        19) В треугольнике ABC медиана AM равна 6 и образует со стороной AC, равной 8, угол 300. Найдите площадь треугольника.

        20) В треугольнике ABC к стороне BC=12 проведена медиана AM=7 и образует с этой стороной угол 300. Найдите площадь треугольника.

        21) Площадь треугольника ABC равна 12. Из вершины B проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите сторону AC, если .

        22) Площадь правильного треугольника равна 64. Найдите его периметр.

        23) В треугольнике ABC на сторонах AB и AC взяты точки M и N такие, что . Найдите площадь треугольника AMN.

        24) Площадь треугольника ABC равна 48. Точка D лежит на стороне AC, деля ее в отношении AD:DC=1:7. Найдите площадь треугольника ABD.

        25) Сторона треугольника равна 2, а прилегающие к ней углы 300 и 450. Найдите его площадь.

        26) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6, а противолежащий ему угол . Найдите площадь круга, описанного около треугольника.    27) Площадь правильного треугольника равна . Чему равен радиус описанной около него окружности?

        28) Высота правильного треугольника равна 18. Найдите диаметр вписанной в него окружности.

        29) Точка касания с вписанной окружностью делит гипотенузу треугольника в отношении 2 : 3. Расстояние от прямого угла треугольника до центра окружности равно . Найдите периметр треугольника.

        30) Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите радиус описанной около него окружности.

        31) Один катет прямоугольного треугольника равен 15, проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Чему равен радиус вписанной в треугольник окружности?

        32) Радиус вписанной в треугольник окружности равен , радиус описанной около него окружности . Чему равна площадь треугольника, если один из его углов равен .    33) На диаметре круга построен треугольник, вписанный в этот круг. Площадь круга равна , одна из сторон треугольника 30. Чему равна площадь круга, вписанного в треугольник?

        34) Радиус окружности равен 6. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его в отношении 1 : 3. Найдите длину перпендикуляра.

        35) Найдите величину острого угла, который опирается на дугу, равную 2/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

        36) Найдите величину тупого угла, который опирается на дугу, равную 1/7 окружности. Ответ дайте в радианах.

        37) Радиус окружности равен 5. Найдите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу 1080.

        38) Радиус окружности равен 20. Найдите Величину центрального угла, которому соответствует дуга окружности длины .     39) Хорда окружности, стягивающая дугу 900, равна . Чему равна длина окружности?

        40) Радиус окружности равен 13. На каком расстоянии от центра окружности находится хорда длины 24.

        41) Из точки окружности радиуса R проведены две хорды длины . Чему равен косинус угла между этими хордами?

        42) По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длин 12 и 16. Чему равен радиус окружности, если расстояние между хордами равно 14?

        43) Найти площадь прямоугольника, если его диагональ равна , а одна из сторон 18.

        44) В прямоугольнике ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M и делит ее на отрезки BM=6, MC=4. Чему равна площадь прямоугольника?

        45) Площадь параллелограмма равна 120,  а его высоты  8 и 12. Найдите периметр параллелограмма.

        46) Высоты параллелограмма равны 4 и 8.   Большая высота опущена на  сторону, равную 6.  Найти другую сторону параллелограмма.

        47) Углы между стороной ромба и его диагоналями относятся как 5 : 4. Найдите тупой угол ромба.

        48) Как изменится площадь ромба, если одну из его диагоналей уменьшить на 10%, а другую увеличить на 20%?

        49) Сторона ромба равна 5, а одна из диагоналей 6. Чему равна его площадь?

        50) Разница между радиусами окружностей, описанной около квадрата и вписанной в квадрат, составляет . Чему равна сторона квадрата?    51) Боковая сторона равнобокой трапеции равна , высота и большее из оснований, соответственно, 4 и 9. Найдите длину средней линии трапеции.

        52) Средняя линия трапеции ABCD делит ее на две трапеции со средними линиями, равными 5 и 9. Найдите большее основание ABCD.

        53) Трапеция, средняя линия которой равна ,  равновелика (т.е. равна по площади) равностороннему  треугольнику со стороной 12. Найти   высоту трапеции.

        54) В равнобокой  трапеции  тупой  угол равен  1200  и  меньшее основание  равно  боковой  стороне  и  равно  6. Найдите площадь  трапеции.

        55) В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 6, боковая сторона равна 5. Чему равна сумма длин диагоналей?

        56) В равнобедренной трапеции разность длин оснований равна длине боковой стороны. Чему равен тупой угол трапеции?

        57) Высота равнобокой трапеции равна 40, боковая сторона 41, средняя линия 45. Чему равно большее основания трапеции?

        58) В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 4 и 5, меньшее из оснований 5. Чему равна площадь трапеции?

        59) В прямоугольнике перпендикуляр, опущенный на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3 : 1. Чему равен угол между этим перпендикуляром и другой диагональю?

        60) Периметр ромба равен 52, а сумма длин диагоналей 34. Чему равна его площадь?

        61) Диагонали ромба равны 26 и . Чему равен синус острого угла ромба?

        62) В равнобокой трапеции боковая сторона равна 7, диагональ 8, а средняя линия 4. Найдите меньшее основание.

        63) В окружность радиуса 6 вписан прямоугольник. Найдите большую сторону прямоугольника, если угол между его диагоналями составляет 600.

        64) В круг вписан прямоугольник со сторонами 2 и 6. Найдите площадь круга.

        65) Равнобедренная трапеция вписана в окружность радиуса 6. Ее диагональ составляет угол 300 с большим основанием и перпендикулярна боковой стороне. Найдите периметр трапеции.

        66) Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 60. Найдите длину средней линии трапеции.

        67) Основания равнобокой трапеции равны 12 и 20. Центр описанной около окружности трапеции лежит на ее большем основании. Чему равна диагональ трапеции?

        68) В трапецию вписана окружность. Расстояние от центра этой окружности до вершины верхнего основания равно 15; до вершины нижнего 20. Чему равна площадь трапеции?

        69) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. BC=4, CD=5, . Чему равна диагональ BD?

        70) Окружность, вписанная в ромб, разбивает его диагональ на отрезки длины 9, 16, 9. Найдите площадь ромба.

        71) Сторона вписанного в окружность правильного треугольника равна 6. Чему равна площадь квадрата, вписанного в ту же окружность?

        72) Во сколько раз площадь круга больше площади вписанного в него квадрата?

        73) Какой правильный многоугольник имеет внутренний угол 1440?

        74) Сколько диагоналей можно провести в многоугольнике, если сумма его внутренних углов равна ?

        75) Чему равна площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 2?

        76) Дан правильный восьмиугольник ABCDEFKM. Найдите радиус описанной около него окружности, если площадь треугольника ABE равна .    77) Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника A1A2…A9, если периметр треугольника A1OA4 равен .

    С Основание равнобедренного треугольника равно 40 а

    С

    Основание равнобедренного треугольника равно 40, а высота, опущенная на боковую сторону равна 24. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. K А 32 24 О r В 20 15 r Н r О 1 25 20 С

    E L 24 r Оr r В 20 А K r О 1 r 32 25 15 Н 20 С

    • Основание равнобедренного треугольника равно 5, а высота, опущенная на боковую сторону равна 3. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. • Основание равнобедренного треугольника равно 5, а высота, опущенная на боковую сторону равна 4. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. • Основание равнобедренного треугольника равно 80, а высота, опущенная на боковую сторону равна 64. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

    Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. А 26 О r В 10 r r Н О 1 С

    L О r r r В 10 А K r О 1 r Н 26 С

    • Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. • Дан треугольник со сторонами 30, 30 и 36. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. • Дан треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

    A 2 Случай B 6 с м м L C 7 см 6 с м 1 Случай B L K 5 с 5 с м В треугольнике АВС известны стороны: АВ=5, ВС=6, АC=7. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и L , отличных от вершин треугольника. Отрезок КL касается окружности, вписанной в треугольник АBC. Найдите длину отрезка KL. A C K 7 см

    5 с м B K L 6 с м A C 7 см

    B 6 с 5 см м L C A 6 с м 7 см 6 см K B A K L C

    • В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 4, ВС = 6, АС = 5. Окружность, проходящая через точки A и С, пересекает прямые ВА и BС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL. • В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 7, ВС = 10, АС = 8. Окружность, проходящая через точки A и С, пересекает прямые ВА и BС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL. • В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 5, ВС = 7, АС = 8. Окружность, проходящая через точки A и С, пересекает прямые ВА и BС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

    • В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 9, ВС = 10, АС =11. Окружность, проходящая через точки A и С, пересекает прямые ВА и BС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL. • В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 8, ВС = 10, АС = 11. Окружность, проходящая через точки A и С, пересекает прямые ВА и BС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL. • В треугольнике ABC известны стороны: АВ = 7, ВС = 9, АС = 10. Окружность, проходящая через точки A и С, пересекает прямые ВА и BС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

    Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен 5/13, а боковая сторона равна 39. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. А 39 О r В r r Н О 1 С

    L О r r r В А K r О 1 r Н 39 С

    • Дан равнобедренный треугольник с основанием 16. Косинус одного из углов равен -7/25. Две равные окружности, касающиеся друга и двух сторон треугольника, вписаны в треугольник. Найти их радиусы.

    В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, в 7 раз больше радиуса вписанной окружности? А b O В r D 7 r O 1 r K a a С a 7 r E

    F 7 r O 1 7 r c c А b r K a O r E b+a-c В a D a С

    • В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, равно 2/7? • Дан равнобедренный треугольник. Найти угол при основании этого треугольника, если радиус вписанной окружности относится к радиусу окружности, касающейся одной из сторон и продолжений двух других сторон, как 1 : 4. • В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, равно 1/5? • Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если известно, что радиус его вписанной окружности в 6 раз меньше радиуса окружности, касающейся стороны и продолжений двух других сторон треугольника.

    Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM. 1 случай: A 5 L C 10 K 12 -х E 13 M 12 12 F х 26 D N

    2 случай: A K N C M 10 12 -х E 12 F х 26 D L 2 или 6

    • Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC. 4 или 6 • Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 7 и 24 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12. 5, средняя линия трапеции равна 27. 5. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC. 1, 8 или 4, 8

    Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, — равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и tg α = 24/7. В A D Так как ∠DBE = ∠EBC E С

    В E D Так как ∠DBA = ∠ABC A С 25 или 39

    • Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ — равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD =α и tgα = 4/3. 30 или 66

    Точка О- центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей , описанных около треугольников BOD, DOF, BOF. 1 случай 2 случай

    С 7 O D E В 7 А 7 M F r =14

    С 7 D 7 E 7 7 O В r r А O 1 14 r CDO 1: M DC=7 DO 1=21 -r CO 1=7+r CDO 1=600 F По т. косинусов: r =6

    • Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной. Найдите радиус окружности касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD , EOF. 28 или 12

    Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 1200. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. А 600 4 О r В r r Н О 1 С

    L K r 150 В О 2 r r А 600 r r О 1 Н 4 С

    Площадь трапеции ABCD равна 135. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого. B x M a O 2 a x M, N — середины диагоналей ОС — медиана N 3 a A C P 2 x x D

    2 x B С 4 a a A M x/2 O P N x/2 D

    • Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого. 22, 5 или 14, 4

    К окружности, вписанной в треугольник с периметром 18, проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной между боковыми сторонами равен 2. Найдите основание треугольника. B M F z z 2 d N d K у A O у E х х C 2 2 AC

    Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно 15/8. A 75 85 N 40 r O r C r r r -75 17 x M 15 x-85 15 x 17 x r B 8 x

    A 17 x 15 x r r r C N O r r r 40 M 8 x B

    • Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 5/12. • Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов треугольника равно 3/4. • Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь четырехугольника, если гипотенуза треугольника равна 10, а радиус окружности, равен 2.

    • Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен 0, 6. • Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника с основанием равным 12, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь четырехугольника, если радиус окружности равен 3. • Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника , отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен 0, 8.

    • Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь этого четырехугольника. • Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь этого четырехугольника. • Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 20, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 13/10. • Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6.

    • Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами равным и 10, 12, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь четырехугольника. • Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами равным и 10, 13, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти площадь четырехугольника.

    Точка М лежит на отрезке АВ. На окружности с диаметром АВ взята точка С, удаленная от точек А, М и В на расстояния 40, 29 и 30 соответственно. Найти площадь треугольника ВМС. B 50 H 24 O M A 29 40 30 C

    B M 50 H 29 24 O 30 C A 40

    • Точка М лежит на отрезке АВ. На окружности с диаметром АВ взята точка С, удаленная от точек А, М и В на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найти площадь треугольника ВМС.

    Площадь равнобедренного треугольника

    В данном уроке размещены формулы и задачи на нахождение площади равнобедренного треугольника. Формулы снабжены пояснениями и комментариями. На отдельном рисунке приведено соответствие условных обозначений формул и элементов равнобедренного треугольника. Далее приведен раздел с примерами решения задач.

    См. также

    Буквенные обозначения сторон и углов на приведенном рисунке соответствуют обозначениям, которые указаны в формулах. Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

    Формула площади равнобедренного треугольника

    Далее приведены формулы нахождения площади равнобедренного треугольника: через стороны, боковую сторону и угол между ними, через боковую сторону, основание и угол при вершине, через сторону основания и угол при основании и т.д. Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь.      
    1. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная его сторону и основание. Данное выражение было получено путем упрощения более общей, универсальной формулы. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке.
      Пример использования такой формулы приведен на примере решения задачи ниже.
    2. Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними — это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами
      Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна a * sin β. Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника (Пояснение: полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам. Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту). См. также Формулу 5
    3. Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине
      Строго говоря, зная один из углов равнобедренного треугольника, можно найти и остальные, поэтому применение данной или предыдущей формулы — вопрос вкуса (кстати, поэтому можно запомнить только одну из них).
      У третьей формулы также есть еще одна интересная особенность — произведение a sin α  даст нам длину высоты, опущенной на основание. В результате мы получим простую и очевидную формулу 5.
    4. Площадь равнобедренного треугольника можно также найти через сторону основания и угол при основании (углы при основании равны) как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) — это отношение половины основания (b/2) к высоте — tg(β/2) = (b/2)/h.  Откуда h = b / (2 tg(β/2) ). В итоге формула снова будет сведена к более простой Формуле 5, которая вполне очевидна.
    5. Разумеется, площадь равнобедренного треугольника можно найти, опустив высоту из вершины на основание, в результате чего получится два прямоугольных треугольника. Далее — все очевидно. Половина произведения высоты на основание и есть искомая площадь. Пример использования данной формуле см. в задаче ниже (2-й способ решения)
    6. Эта формула получается, если попытаться найти площадь равнобедренного треугольника с помощью теоремы Пифагора. Для этого выразим высоту из предыдущей формулы, которая одновременно, является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной его основания и высотой, через теорему Пифагора. Боковая сторона является гипотенузой, поэтому из квадрата боковой стороны (а) вычтем квадрат второго катета. Поскольку он равен половине основания (b/2) то его квадрат будет равен b2/4. Извлечение корня из данного выражения и даст нам высоту. Что и видно в Формуле 6. Если числитель и знаменатель умножить на два, а потом двойку числителя внести под знак корня, получим второй вариант той же самой формулы, который написан через знак «равно».
      Кстати, самые сообразительные могут увидеть, что если в Формуле 1 раскрыть скобки, то она превратиться в Формулу 6. Или наоборот, разность квадратов двух чисел, разложенная на множители, даст нам исходную, первую.

    Обозначения, которые были применены в формулах на рисунке:

    a — длина одной из двух равных сторон треугольника 

    b — длина основания 

    α — величина одного из двух равных углов при основании 

    β — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию

    h — длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание

    Важно. Обратите внимание на обозначения переменных! Не перепутайте α и β, а также a и b!

    См. также: другие формулы и свойства равнобедренного треугольника

    Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел площадь равнобедренного треугольника). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение

    Задача

    Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.



    Решение.

    1-й способ. Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше):

    где а — длина боковых сторон, а b — длина основания.
    Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим:
    S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5 )( 13 — 5 )) = 5 √ (18 * 8) = 60 см2

    2-й способ. Применим теорему Пифагора
    Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK.
    Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна
    AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см .

    Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

    Соответственно, высота будет равна:

    h = √ ( 132 — 52 ) = √144 = 12 см

    Площадь исходного равнобедренного треугольника ABC будет равна площади двух прямоугольных треугольников ABK и CBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба прямоугольных треугольника равны между собой. Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а, поскольку, BK одновременно является и биссектрисой и высотой, то, соответствующие углы также равны. Поэтому нам будет достаточно найти площадь одного из них и умножить полученное число на два.

    Как найти площадь равнобедренного треугольника? Ответ на webmath.ru

    Остались вопросы?

    Здесь вы найдете ответы.

    Площадь равнобедренного треугольника с прямым углом составляет 16 см кв. Каким образом можно вычислить длину гипотенузы данной треугольной фигуры?

    Обозначим через х катет имеющегося равнобедренного треугольника, имеющего прямой угол. В этом случае его площадь будет представлять собой ½ длины его катета, возведенную в квадратную степень. Это значит, что квадрат катета равен двум площадям треугольника (2S). В нашем случае это:

    2S = 2*16 = 32 см кв.

    Для того чтобы найти длину катета, нужно извлечь корень квадратный из числа 32:

    х = 4*√2 см.

    Теперь можно высчитать длину гипотенузы, которая будет равна:

    х / sin45 = 8 см.

    Ответ: Длина гипотенузы равна 8 см.

    Имеется равнобедренный треугольник площадью 192 см кв. Его основание составляет 32 см. Как можно вычислить периметр данной треугольной фигуры?

    Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС и АС=32 см.

    Проведем к основанию треугольника высоту ВН, также являющуюся медианой.

    Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на высоту:

    S=АС*ВН/2

    Из этой формулы можно выразить ВН:

    ВН=2S/АС=2*192/32=12 см.

    Известно, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны:

    АВ=ВС=√(ВН²+(АС/2)²)=√(144+256)=20 см.

    Теперь можно высчитать периметр (Р) треугольника АВС, который будет равен сумме длин его сторон:

    Р=2АВ+АС=40+32=72 см.

    Ответ: Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 72 см.

    Длина гипотенузы равнобедренного треугольника, имеющего прямой угол, составляет 12 см. Как найти площадь данного треугольника?

    Обозначим буквой х катет имеющегося треугольника. Тогда по теореме Пифагора:

    12²=x² + x², что равно 144=2х²

    Отсюда находим значение х:

    x²=72, x=√72

    Зная длину катета равнобедренного треугольника, можно найти его площадь (S):

    S = √72 * √72/2 = 36 см кв.

    Ответ: Площадь треугольника равна 36 см кв.

    Дан равнобедренный треугольник, угол в основании которого составляет 25 градусов. Площадь данной фигуры равна 16 см кв. Есть еще один равнобедренный треугольник с углом 130 градусов и площадью 4з см кв. Чему будет равно отношение оснований этих двух треугольных фигур?

    Разберемся с первым из треугольников. Так как он является равнобедренным, то оба угла при его основании будут равны. Зная о том, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусом, мы можем найти третий угол треугольника, находящийся при его вершине:

    180-25-25=130 градусов.

    Переходим ко второму треугольнику. Известно, что угол при его вершине равен 230 градусом. Исходя из этого можно рассчитать величины его углов, расположенных в основании фигуры:

    (180-130)/2=25 градусов.

    Очевидно, что треугольники являются подобными на основании равенства углов.

    Следует определить коэффициент подобия двух треугольных фигур. Квадрат коэффициента подобия будет равен отношению площадей треугольников:

    49/16=kˆ2

    Отсюда выражаем k:

    k=7/4

    Коэффициент подобия представляет собой отношение основания первой подобной треугольной фигуры ко второй. Это значит, что:

    С/c=k = 7/4

    Ответ: Отношение оснований двух треугольников равно 7/4.

    Чему равна площадь равнобедренного треугольника с прямым углом при условии, что длина его гипотенузы составляет с?

    Площадь (S) треугольника с прямым углом составляет ½ часть произведения его катетов. Принимая во внимание тот факт, что треугольник является равнобедренным, можно утверждать, что длины его катетов равны. Их можно обозначить через х. В этом случае формулу для расчета площади треугольника можно записать в следующем виде:

    S=½x*x=½x²

    Согласно теореме Пифагора, действительной для прямоугольного треугольника:

    с²=х²+х²=2x²

    x²=½c²

    Подставим в формулу площади получившееся равенство:

    S=½*½с²=¼с² см.кв.

    Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна ¼с² см кв.

    Как можно рассчитать площадь равнобедренного треугольника, если длина его высоты и основания – величины известные?

    Площадь (S) любой треугольной фигуры рассчитывается путем деления пополам произведения длины его основания (с) и высоты (h):

    S = ½ c*h

    Как найти площадь равнобедренного треугольника?

    Площадь каждого треугольника, в том числе и равнобедренного, рассчитывается как половина, взятая от произведения длины высоты треугольника и его основания. Формула имеет следующий вид:

    S=1/2 *a*h

    Пусть а = 150 см.

    Проводим высоту к основанию треугольника. Она же будет являться и медианой по той причине, что треугольник равнобедренный. В результате образовался треугольник с прямым углом и гипотенузой, длина которой равна 85 см. Один из катетов треугольника равен h, а второй рассчитывается как а/2:

    150/2=75 см.

    Теперь можно рассчитать длину второго катета (на основании теоремы Пифагора):

    h=√85²-75²=√7225-5625=√1600=40 см.

    Когда все необходимые для расчета площади треугольника величины известны, можно найти ее значение:

    S=1/2 *a*h=1/2 *150*40=3000 см.

    Как можно найти площадь треугольника при условии, что он является равнобедренным, и его периметр равен 100 см, а основание – 48 см?

    Вычислим длину боковой стороны равнобедренного треугольника, отняв от его периметра длину основания и разделив полученное число на 2:

    (100-48):2=26 см.

    Тогда площадь равнобедренного треугольника с заданными параметрами будет равна:

    S=b/4*√(4a²-b²)=12*√(2704-2304)=12*20=240 cм кв.

    Чему равна площадь равнобедренного треугольника, длины сторон которого составляют 10 см и 12 см (сумма длин его катетов)?

    К основанию равнобедренного треугольника проведем высоту, делящую его на две равные треугольные фигуры, каждая из которых имеет угол 90 градусов и катет длиной 12/2 = 6 см. Гипотенуза подобных треугольников имеет длину 10 см.

    В случае с прямоугольным треугольником может быть применима теорема Пифагора, которая поможет найти катет, являющийся высотой треугольника:

    h² = 10² — 6² = 64 см

    Избавимся от квадратов:

    h = 8 см.

    Тогда площадь треугольника будет равна:

    S = 12 * 8 : 2 = 48 см кв.

    Как рассчитать площадь равнобедренного треугольника, если известно о том, что длина его гипотенузы составляет 44 см?

    Введем условные обозначения, согласно которым х – это длина одного из катетов равнобедренного треугольника. В этом случае длина второго катета тоже будет равна х. Зная длину гипотенузы, можно записать формулу теоремы Пифагора для имеющегося треугольника:

    х²+ х² = 44²

    2х² = 1936

    Отсюда можем найти значение х:

    x=√968

    Найдя длину катета равнобедренного треугольника, можно вычислить его площадь (S), равную ½ произведения длин его катетов:

    S = √968*√968/2 = 484 см кв.

    Каким образом возможно высчитать площадь равнобедренного треугольника через стороны и длину его основания?

    Располагая сведениями о длине основания (b) и стороны (a) треугольной фигуры с равными катетами, возможно рассчитать площадь (S) этой фигуры. С этой целью следует пользоваться приведенной ниже формулой:

    S = b/4×√ 4× a²-b².

    Возможно ли определить площадь равнобедренного треугольника через его боковые стороны и образованный ими угол?

    Информация о длине боковых сторон (а) треугольной фигуры с катетами равной длины и размере угла (α), который образован этими катетами, позволит определить площадь этой фигуры. В этом поможет следующая формула:

    S = 1/2a2 * sin(α).

    Как можно высчитать площадь равнобедренного треугольника при условии, что известна длина его основания и угол?

    Для расчета площади треугольной фигуры с катетами равной длины, при условии, что известна их длина (а), основание (b) и угол, который образован основанием и одним из катетов(α), используется следующая формула:

    S = ½ * a * b * sin(α)

    Длина основания равнобедренного треугольника превышает длину его боковой стороны на 3 см. Периметр данной треугольной фигуры равен 30 см. Как можно высчитать длину основания данного равнобедренного треугольника?

    Примем неизвестную длину основания равнобедренного треугольника за х. В данном случае длина каждой из боковых сторон, которые в равнобедренном треугольнике равны, будет составлять (х-3). Известно, что периметр (Р) треугольника равен 30 см. Тогда:

    Р = 3х-6 = 30 см.

    Отсюда можно вывести х:

    х = (30+6)/3 = 12 см.

    Ответ: Длина основания равна 12 см.

    Высота, проведенная в равнобедренном треугольнике, равна 15 см. Длина основания данной фигуры превышает длину его боковой стороны на 15 см. Как найти основание равнобедренного треугольника в этом случае?

    Примем х за длину основания равнобедренного треугольника. Тогда длина его боковой стороны будет составлять (х-15). Высота, проведенная в треугольнике с прямым углом, также представляет собой его медиану, которая делит его на две равных треугольных фигуры. Следует рассмотреть одну из образовавшихся треугольных фигур. Для начала вычислим ее основания, используя теорему Пифагора:

    с2 = а2 + b2 = (15)²+(0,5x)²=(x-15)²

    Из этого получается:

    225-x²-30x+225-0,25x²

    0=0,75x²-30x

    x(0,75x-30)=0

    x¹=0 см.

    x=40 см.

    Очевидно, что сторона треугольной фигуры не может иметь длину, равную 0см. Поэтому можно сделать вывод о том, что ее длина составляет 40 см.

    По какой формуле можно высчитать площадь равнобедренного треугольника?

    Для ответа на поставленный вопрос следует провести высоту из вершины того угла равнобедренного треугольника, который является противоположным его основанию. После этого длину проведенной высоты (а) нужно умножить на длину основания фигуры (b), а затем разделить полученное значение на два. Формула расчета площади треугольной фигуры, которая является равнобедренной, выглядит следующим образом:

    S=a*b/2, или S=1/2a* b.

    В равнобедренном треугольнике к его основанию проведена высота, длина которой равна 1,2 см. Длина самого основания фигуры составляет 3,2 см. Как рассчитать длину боковой стороны этого равнобедренного треугольника?

    Вычислим половину длины основания данного равнобедренного треугольника:

    3,2/2 = 1,6 см.

    Имеется треугольник с прямым углом и катетами, длины которых равны 1,2 см и 1,6 см. Требуется определить длину его гипотенузы. Ее можно вычислить, используя теорему Пифагора:

    с²=а²+в²

    с² = 1,2² + 1,6² = 1,44 + 2,56 = 4

    Осталось только извлечь корень квадратный из 4:

    с=√4=2 см.

    Ответ: Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 2 см.

    Один из углов равнобедренного треугольника является тупым. Одна сторона данной фигуры составляет 14 см, а другая – 8 см. Чему равно основание треугольника с двумя равными сторонами?

    Известно, что углы, расположенные у основания равнобедренного треугольника, всегда являются острыми, иначе сумма всех трех углов превышала бы 180 градусов. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что тупой угол расположен у вершины данной треугольной фигуры.

    Доказанным фактом является то, что та сторона фигуры, которая расположена напротив тупого угла, имеет большую длину, чем сторона, лежащая против острого угла треугольника. Это позволяет утверждать, что длина основания данного треугольника больше длины его боковой стороны. По причине того, что треугольная фигура является равнобедренной, и известны длины двух ее сторон (8 см и 14 см), можно говорить о том, что неизвестная сторона будет составлять 8 см или 14 см. Если предположить, что длина неизвестной стороны равна 14 см, тогда длина основания будет составлять 8 см, что невозможно, так как противоречит утверждению о расположении больших сторон напротив тупых углов. Это означает, что длина третьей стороны треугольника равна 8 см, а основание в данном случае составляет 14 см.

    Равнобедренный треугольник имеет сторону длиной 29 см. Высота, проведенная в нем, составляет 21 см. Чему равно основание треугольника с указанными параметрами?

    Для решения данной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора:

    с²=а²+в²

    Отсюда можно выразить квадрат длины неизвестной стороны, который будет равен разности квадратов известной стороны и высоты:

    29²-21² = 400.

    Для того чтобы узнать длину основания равнобедренного треугольника, нужно извлечь корень квадратный из числа 400, а затем умножить полученное число на 2:

    √400*2 = 20*2 = 40 см.

    Ответ: Длина основания равнобедренного треугольника равна 40 см.

    ACT по математике — ACT по математике

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам Varsity найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Площадь треугольника — пояснения и примеры

    Из этой статьи вы узнаете площадь треугольника и определить площадь различных типов треугольников . Площадь треугольника — это пространство внутри треугольника. Он измеряется в квадратных единицах.

    Прежде чем перейти к теме о площади треугольника , давайте познакомимся с такими терминами, как основание и высота треугольника.

    Основание — это сторона треугольника, которая считается нижней частью, а t Высота треугольника — это перпендикулярная линия, опущенная на его основание из вершины, противоположной основанию. .

    На приведенном выше рисунке пунктирными линиями показаны возможные значения △ ABC. Обратите внимание, что у каждого треугольника, возможно, есть три высоты или высоты.

    • Высота треугольника △ ABC равна h 1 , когда основание является стороной.
    • Высота треугольника △ ABC равна h3 при основании AB.
    • Высота треугольника △ ABC равна h 3 при основании
    • Высота треугольника △ ABC может находиться вне треугольника ( h 4 ), что составляет такая же, как высота h 1 .

    Из иллюстраций выше мы можем сделать следующие наблюдения:

    • Высота треугольника зависит от его основания.
    • Перпендикуляр к основанию треугольника равен высоте треугольника.
    • Высота треугольника может быть вне треугольника.

    Обсудив понятие высоты и основания треугольника, давайте теперь приступим к вычислению площади треугольника.

    Как найти площадь треугольника?

    Площадь прямоугольника нам хорошо известна, т.е.е., длина * ширина . Что будет, если прямоугольник разделить пополам по диагонали (разрезать пополам)? Какая будет его зона новостей? Например, в прямоугольнике с основанием и высотой 6 единиц и 12 единиц, соответственно, площадь прямоугольника составляет 72 квадратных единицы.

    Теперь, если вы разделите на две равные половины (после деления прямоугольника пополам по диагонали), площадь двух новых фигур должна составлять 36 квадратных единиц каждая. Две формы новостей представляют собой треугольники. Это означает, что если прямоугольник разрезан по диагонали на две равные половины, две новые формы образуются треугольниками, где каждый треугольник имеет площадь, равную ½ площади прямоугольника.

    Площадь треугольника — это общее пространство или область, ограниченная определенным треугольником.
    Площадь треугольника равна произведению основания и высоты на 2.

    Стандартной единицей измерения площади являются квадратные метры (м 2 ).

    Другие единицы включают:

    • Квадратные миллиметры (мм 2 )
    • Квадратные дюймы (дюйм 2 )
    • Квадратные километры (км 2 )
    • Квадратные ярды.

    Формула площади треугольника

    Общая формула для вычисления площади треугольника:

    Площадь (A) = ½ (b × h) квадратных единиц, где; A — площадь, b — основание, h — высота треугольника. Треугольники могут быть разной природы, но важно отметить, что эта формула применима ко всем треугольникам. У разных типов треугольников разные формулы площади.

    Примечание. База и высота должны быть в одних и тех же единицах измерения, то есть в метрах, километрах, сантиметрах и т. Д.

    Площадь прямоугольного треугольника

    Площадь треугольника = (½ × основание × высота) квадратных единиц.

    Пример 1

    Найдите площадь прямоугольного треугольника с основанием 9 м и высотой 12 м.

    Решение

    A = ¹ / ₂ × основание × высота

    = ¹ / ₂ × 12 × 9

    = 54 см²

    Пример 2

    Основание и высота прямоугольного треугольника равны 70 см и 8 м соответственно.Какая площадь у треугольника?

    Решение

    A = ½ × основание × высота

    Здесь у нас 70 см и 8 м. Вы можете работать с cm или m. Давайте работать в метрах, заменив 70 см на метры.

    Разделите 70 см на 100.

    70/100 = 0,7 м.

    ⇒ A = (½ × 0,7 × 8) м 2

    ⇒ A = (½ x 5,6) м 2

    ⇒ A = 2,8 м 2

    Площадь равнобедренного треугольника

    An Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а также два угла равны. Формула площади равнобедренного треугольника:

    ⇒A = ½ (основание × высота).

    Если высота равнобедренного треугольника не указана, для нахождения высоты используется следующая формула:

    Высота = √ (a 2 — b 2 /4)

    Где;

    b = основание треугольника

    a = длина стороны двух равных сторон.

    Следовательно, площадь равнобедренного треугольника может быть;

    ⇒A = ½ [√ (a 2 — b 2 /4) × b]

    Кроме того, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника определяется по формуле:

    A = ½ × a 2 , где a = длина стороны двух равных сторон

    Пример 3

    Рассчитайте площадь равнобедренного треугольника с основанием 12 мм и высотой 17 мм.

    Решение

    ⇒A = ½ × основание × высота

    ⇒ 1/2 × 12 × 17

    ⇒ 1/2 × 204

    = 102 мм 2

    Пример 4

    Найдите площадь равнобедренного треугольника, длина сторон которого составляет 5 м и 9 м.

    Решение

    Пусть основание b = 9 м и a = 5 м.

    ⇒ A = ½ [√ (a 2 — b 2 /4) × b]

    ⇒ ½ [√ (5 2 — 9 2 /4) × 9]

    = 9 .81m 2

    Площадь равностороннего треугольника

    Равносторонний треугольник — это треугольник, в котором три стороны равны и три внутренних угла равны. Площадь равностороннего треугольника:

    A = (a 2 √3) / 4

    , где a = длина сторон.

    Пример 5

    Вычислите площадь равностороннего треугольника со стороной 4 см.

    Решение

    ⇒ A = (a 2 /4) √3

    ⇒ (4 2 /4) √3

    ⇒ (16/4) √3

    = 4√3 см 2

    Пример 6

    Найдите площадь равностороннего треугольника с периметром 84 мм.

    Решение

    Периметр равностороннего треугольника = 3a.

    ⇒ 3a = 84 мм

    ⇒ a = 84/3

    ⇒ a = 28 мм

    Площадь = (a 2 /4) √3

    ⇒ (28 2 /4) √3

    = 196√3 мм 2

    Площадь разностороннего треугольника

    Разносторонний треугольник — это треугольник с 3 разными длинами сторон и 3 разными углами. Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать по формуле Герона.
    Формула Герона дается формулой;
    ⇒ Площадь = √ {p (p — a) (p — b) (p — c)}

    , где «p» — это полупериметр, а a, b, c — длины сторон.

    ⇒ p = (a + b + c) / 2

    Пример 7
    Вычислите площадь треугольника, длина сторон которого составляет 18 мм, 20 мм и 12 мм.

    Решение

    ⇒ p = (a + b + c) / 2
    Подставьте значения a, b и c.
    ⇒ p = (12 + 18 + 20) / 2
    ⇒ p = 50/2
    ⇒ p = 25
    ⇒ Площадь = √ {p (p — a) (p — b) (p — c)}
    = √ {25 x (25 — 12) x (25 — 18) x (25 — 20)}
    = √ (25 x 13 x 7 x 5)
    = 5√455 мм 2

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Свойства треугольника — типы и формулы [Видео и практика]

    В этой статье мы узнаем о простейшей форме многоугольника: треугольник . Все многоугольники можно разделить на треугольники или, другими словами, они образованы путем объединения двух или более треугольников. Таким образом, важно понимать основные свойства треугольника и его типы.

    Всего существует шесть типов треугольников: равнобедренный, скален, равномерный, наклонный, острый и правый. Исходя из классификации по внутренним углам, различают три типа — равносторонний, равнобедренный и чешуйчатый. Принимая во внимание, что типы треугольника, которые классифицируются в зависимости от длины его стороны, — это правый, острый и наклонный.Вот виды треугольников:

    Угол Треугольник
    По углу По сторонам
    Острый угловой треугольник Равносторонний треугольник
    Наклонный угловой треугольник Треугольник Прямой угол Треугольник Прямоугольник

    Посмотрите это видео, чтобы узнать основное свойство треугольника:

    Чешуйчатый треугольник

    Треугольник, у которого все три стороны разной длины — разносторонний треугольник.

    • Поскольку все три стороны имеют разную длину, у три угла также будут разными.

    Ниже приведен пример разностороннего треугольника

    .

    Равнобедренный треугольник

    Треугольник, у которого две стороны одинаковой длины и третья сторона разной длины , является равнобедренным треугольником.

    • Углы , противоположные равным сторонам, равны.

    Ниже приведен пример равнобедренного треугольника.

    Равносторонний треугольник

    Треугольник, у которого все три стороны одинаковой длины — это равносторонний треугольник.

    • Поскольку все три стороны имеют одинаковую длину, все три угла также будут равны.
    • Каждый внутренний угол равностороннего треугольника = 60 °

    Особые случаи прямоугольных треугольников

    Давайте также рассмотрим несколько частных случаев прямоугольного треугольника

    45-45-90 треугольник

    В этом треугольнике

    • Два угла составляют 45 °, а третий угол является прямым.
    • Стороны этого треугольника будут в соотношении — 1: 1: √2 соответственно.
    • Его также называют равнобедренным прямоугольным треугольником , поскольку два угла равны.

    30-60-90 треугольник

    В этом треугольнике

    • Это прямоугольный треугольник, так как один угол = 90 °.
    • Углы этого треугольника находятся в соотношении — 1: 2: 3, а
    • Стороны , противоположные этим углам, будут в соотношении — 1: √3: 2 соответственно
    • Это разносторонний прямоугольный треугольник , поскольку все три угла разные.

    Площадь треугольника

    • Площадь любого треугольника = ½ * основание * высота
    • Площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон

    Свойства треугольника: сводка и основные выводы

    Подведем итог некоторым важным свойствам треугольника.

    • Сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180 °
    • Сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360 °
    • Внешний угол треугольник равен сумме двух его внутренних противоположных углов
    • Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше, чем длина третьей стороны
    • Аналогично, разница между длинами из любая две стороны треугольника всегда меньше длины третьей стороны
    • Сторона, противоположная наименьшему внутреннему углу, является самой короткой стороной, и наоборот.
    • Точно так же сторона, противоположная наибольшему внутреннему углу, является самой длинной стороной и наоборот.
      • В случае прямоугольного треугольника эта сторона называется гипотенузой
    • Высота треугольника равна длине перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, и эта сторона равна считается базовым

    Если вам понравилась эта статья, вы также можете прочитать следующие статьи продвинутого уровня по треугольникам

    Начинаете с подготовки к GMAT? Вот план из 5 этапов подготовки к сдаче GMAT:

    Свойства треугольника: практический вопрос

    Вопрос: 1

    В равнобедренном треугольнике DEF, если внутренний угол ∠D = 100 °, то каково значение ∠F?

    1. 20 °
    2. 40 °
    3. 60 °
    4. 80 °
    5. 100 °

    Раствор

    Шаг 1: Дано

    • ∆DEF — равнобедренный треугольник

    Шаг 2: найти

    Шаг 3: подход и разработка

    • Мы знаем, что сумма всех внутренних углов в треугольнике = 180 °
    • означает, D + ∠E + ∠F = 180 °
    • ∠E + ∠F = 180 0 — 100 0 = 80 °
    • Так как ∆DEF — равнобедренный треугольник; два его угла должны быть равны.
    • И единственная возможность — ∠E = ∠F
    • Следовательно, 2∠F = 80 °
    • Подразумевается, ∠F = 40 °

    Следовательно, правильный ответ — Вариант B.

    Вопрос 2

    В прямоугольном треугольнике ∆ABC, BC = 26 единиц и AB = 10 единиц. Если BC — самая длинная сторона треугольника, то какова площадь ∆ABC?

    1. 120
    2. 130
    3. 240
    4. 260
    5. 312

    Решение

    Шаг 1: Дано

    • ∆ABC — прямоугольный треугольник
      • до н.э. = 26 единиц
      • AB = 10 шт.
      • г. до н.э. — самая длинная сторона треугольника
      • г.

    Шаг 2: найти

    • Площадь треугольника ∆ABC

    Шаг 3: Подход и отработка

    • Нам дано, что BC — самая длинная сторона треугольника, из чего следует, что BC — гипотенуза

    Таким образом, согласно правилу Пифагора:

    • BC 2 = AB 2 + AC 2
    • 26 2 = 10 2 + AC 2
    • AC 2 = 676-100 = 576
    • Следовательно, AC = 24 шт.
    • Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон = ½ * AB * AC = ½ * 10 * 24 = 120 кв.ед.

    Следовательно, правильный ответ — Вариант А .

    Вот еще несколько статей, которые вы можете прочитать:

    Вопросы о треугольниках очень часто задают на GMAT. Ace GMAT Quant, подписавшись на бесплатную пробную версию, вы получите доступ к более чем 400 вопросам. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

    Знаете ли вы, что участники программы e-GMAT набрали на 700+ больше баллов, чем когда-либо за всю историю GMAT Club? Посмотрите это видео, чтобы понять, как e-GMAT достиг такого рекордного результата благодаря инвестициям и инновациям с единственной целью — создать платформу, которая дает учащимся возможность добиваться наилучших результатов.