Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения

Настоящая книга вместе с другой книгой автора, >, охватывает весь комплекс вопросов, которые изучаются в рамках курса > в высших учебных заведениях, за исключением вопросов линейной алгебры и аналитической геометрии. Она содержит следующие разделы высшей математики: >, >, > и >. Для студентов инженерно-технических и экономических специальностей вузов, а также для изучающих в том или ином объеме высшую математику. Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям в области экономики и управления, техники и технологии. begincentersooРецензенты:par д.ф.-м.н., проф. Петрушко И.М., д.ф.-м.н., проф. Смирнов Ю.М.endcenter

Автор	Геворкян Павел Самвелович
Издательство	ООО «Физматлит»
Дата издания	2007
Кол-во страниц	272
Номер тома	2
ISBN	978-5-9221-0710-5
Тематика	Математика. Прикладная математика
№ в каталоге	710

Категории: Учебная литература

(PDF) ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Присоединение каждого последующего класса чисел к предыду-

щему расширяет понятие числа и вместе с тем расширяет сферу при-

менения этого понятия. Естественно при этом потребовать, чтобы

вновь введенные числа удовлетворяли всем основным законам дей-

ствий вещественных чисел.

Такое расширение возможно

 либо за счет введения «мнимой» единицы

, являющейся корнем

уравнения

,

 либо из геометрических соотношений. Символ

введен Эйлером.

Леонард Эйлер нем. Leonhard Euler;

4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария − 7

(18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Рос-

сийская империя .

Швейцарский, немецкий и российский ма-

тематик, внёсший значительный вклад в

развитие математики, а также механики,

физики, астрономии и ряда прикладных

наук.

Эйлер − автор более чем 800 работ: по ма-

тематическому анализу, дифференциаль-

ной геометрии, теории чисел, приближён-

ным вычислениям, небесной механике, ма-

тематической физике, оптике, баллистике,

кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской

науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом

позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (в

1741 − 1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербург-

ской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники)

публиковал на русском.

1.2. Основные определения

Сначала рассмотрим первый путь. Вводим новое число

−

мнимую единицу, такое, что

.

Взаимодействие

с вещественными числами состоит в том, что

 можно умножать

на число

, т.е. необходимо появляются

числа вида

,

 и складывать такие числа с вещественными числами, т.е. появ-

ляются числа вида

, где

.

Определение. Множество объектов (выражений) вида

назы-

ваются комплексными числами,

Примеры решения интегралов

Формулы и уравнения неопределенных интегралов здесь.

Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение:
Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности

применяя тождественные преобразования подынтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество , получим следующее:

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подынтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицей интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Метод интегрирования по частям: подынтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции

dv: . Далее, используя формулу интегрирования по частям заменяем исходный интеграл другим который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем , тогда

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: , где — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования

k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции значит, . Получаем преобразованный интеграл:

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что

Ответ:

Устранение неполадок: Алгебраическое вычисление тригонометрического интеграла

(Метод интегрирования, который потенциально может заменить интегрирование по частям, и сам метод подстановки см. в разделе Метод перерегулирования .)

Да. Иногда бывает забавно наблюдать, как студенты, изучающие математический анализ, неправильно интегрируют функцию до такой степени, что дают бессмысленные ответы. Чтобы проиллюстрировать, что мы подразумеваем под этим, вот Стив, который — по крайней мере, на момент написания этой статьи — до сих пор не понял, где его вычисления пошли наперекосяк:

Как вы оцениваете $\displaystyle \int_{- 5}^5 x – \sqrt{25-x^2} \, dx$ алгебраически? Когда я беру площади геометрически, я получаю $\displaystyle -\frac{25\pi}{2}$, как $\displaystyle \int_{-5}^5 x \, dx=0$ и $\displaystyle \int_ {-5}^5 \sqrt{25-x^2} \, dx$ — площадь полукруга радиусом $5$. 2} \]

Упс. Похоже, отвратительное Цепное правило только что разрушило всю нашу схему.

Неееет!!!!!

Так есть парадокс? Не совсем. Это просто иллюстрация того, как неправильное использование правила мощности может привести к созданию аномальных первообразных производных. Для интеграла 2 ^и нам нужно использовать обратную замену с $x=5\sin(u)$. В этом случае $dx=5\cos(u)du$, и пределы интеграла теперь проходят от $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ до $\displaystyle \frac{\pi}{ 2}$.2} \, dx$, будет $\displaystyle -\frac{25\pi}{2}$, как ранее вывел Стив, используя геометрический аргумент.

И если в этой истории и есть мораль, так это то, что парадокса вообще не будет — пока мы не идем на анархическую вседозволенность! 😉

Некоторые руководства по вычислениям, которые могут вас заинтересовать

Введение в интеграцию

Интеграция — это способ добавления фрагментов для поиска целого.

Интеграцию

можно использовать для поиска площадей, объемов, центральных точек и многих других полезных вещей. Но проще всего начать с нахождения области между функцией и осью x вот так:

Какая площадь?

Срезы

Мы могли бы вычислить функцию в нескольких точках и сложить срезы шириной Δx вот так (но ответ будет не очень точным):
Мы можем сделать Δx намного меньше, а добавить много маленьких кусочков (ответ становится лучше):
И когда срезы приближаются к нулю по ширине , ответ приближается к истинному ответу . Теперь мы пишем dx , чтобы обозначить, что Δx срезов приближаются к нулю по ширине.

Столько всего!

Но складывать их не надо, так как есть «ярлык», потому что. ..

… нахождение интеграла обратное нахождению производной.

(Таким образом, вы должны действительно знать о деривативах, прежде чем читать дальше!)

Как здесь:

Пример: 2x

Интеграл от 2x равен x ² …

… потому что производная от x

2 равна 2x

(Подробнее о «+C» позже.)

Этот простой пример можно подтвердить, вычислив площадь:

Площадь треугольника = 1 2 (основание) (высота) = 1 2 (x)(2x) = x ²

Интеграция иногда может быть такой простой!

Обозначение

Символ «Интеграл» — стильная буква «S» (для «Суммы» — идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, от которой мы хотим найти интеграл (называемую интегралом),

, а затем завершите dx , что означает, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

А вот как запишем ответ:

Плюс С

Мы записали ответ как x ² но почему +C ?

Это «Постоянная интегрирования». Именно там из-за все функции, производная которых равна 2x :

• производная от x ² это 2x ,
• и производное от x ² +4 тоже 2x ,
• и производное от x ² +99 тоже 2x ,
• и так далее!

Потому что производная константы равна нулю.

Итак, когда мы обращаем операцию (чтобы найти интеграл), мы знаем только 2x , но могла быть константа с любым значением .

Итак, мы завершаем идею, просто написав + C в конце.

Практический пример: кран и бак

Давайте воспользуемся краном, чтобы наполнить бак.

Вход (до интегрирования) расход из крана.

Мы можем интегрировать этот поток (сложить все маленькие кусочки воды), чтобы получить объем воды в резервуаре.

Представьте себе Постоянный расход из 1:

При расходе 1 объем резервуара увеличивается на x . Это Интеграция !

Интеграл от 1 равен

При скорости потока 1 литр в секунду объем увеличивается на 1 литр каждую секунду, поэтому он будет увеличиваться на 10 литров через 10 секунд, на 60 литров через 60 секунд и т. д.

Скорость потока остается на уровне 1 , а объем увеличивается на x

И наоборот:

Если объем резервуара увеличивается на х , то скорость потока должна быть 1.

Производная x равна 1

Это показывает, что интегралы и производные противоположны!

 

Сейчас для увеличения расхода

Представьте, что поток начинается с 0 и постепенно увеличивается (возможно, мотор медленно открывает кран):

По мере увеличения расхода бак наполняется все быстрее и быстрее:

• Интеграция: при расходе 2x объем резервуара увеличивается на x ²
• Производная: Если объем резервуара увеличивается на x ² , то скорость потока должна быть 2x

Запишем так:

Интеграл расхода 2x говорит нам об объеме воды:		∫2x dx = x 2 + С
Производная объема x 2 +C возвращает нам расход:		д дх (х 2 + С) = 2х

 

И эй, мы даже получили хорошее объяснение этого значения «C». .. может в баке уже есть вода!

• Поток по-прежнему увеличивает объем на ту же величину
• А увеличение объема может вернуть нам скорость потока.

Что учит нас всегда помнить «+C».

Другие функции

Как интегрировать другие функции?

Если нам посчастливится найти функцию на стороне результата производной, то (зная, что производные и интегралы противоположны) у нас есть ответ.Но не забудьте добавить C.

Пример: что такое ∫cos(x) dx ?

Из таблицы правил производных мы видим, что производная от sin(x) равна cos(x), поэтому:

∫cos(x) dx = sin(x) + C

Но многое из этого «реверсирования» уже сделано (см. Правила интеграции).

Пример: Что такое ∫x

³ dx ?

В правилах интеграции есть «Правило силы», в котором говорится:

∫x ⁿ dx = x ⁿ⁺¹ n+1 + C

Мы можем использовать это правило с n=3:

∫x ³ dx = x ⁴ 4 + C

Знание того, как использовать эти правила, является ключом к успеху в интеграции.

Итак, изучите правила и побольше практики .

Изучите правила интеграции и попрактикуйтесь! Упражняться! Упражняться!
(ниже есть несколько вопросов для начала)

Определенные и неопределенные интегралы

До сих пор мы делали Неопределенные интегралы .

A Определенный интеграл имеет фактические значения для расчета между ними (они помещаются внизу и вверху буквы «S»):

Бессрочный Целый		Определенный Интегральный

Прочтите Определенные интегралы, чтобы узнать больше.

 

Высшая математика III — Прикладной анализ Рейнско-Вестфальского технического университета Аахена

Авторское право: © закрытое

По окончании курса слушатели освоят интегрирование в высших измерениях, основные понятия векторного исчисления, а также теоремы интегрирования Гаусса и Стокса. Они будут знакомы с аппроксимацией вещественных и комплексных функций рядами Фурье. Кроме того, они изучат основные понятия теории вероятностей и способы их применения при моделировании случайных явлений.

Темы

В числе прочих рассматриваются следующие темы: Функции многих переменных (продолжение): интегрирование функций многих переменных, интегралы по несобственным параметрам; теоремы интегрирования: интегралы по кривым, теорема о расходимости на плоскости и вторая фундаментальная теорема для интегралов по кривой на плоскости, теорема о преобразовании для многих переменных, теорема о неявной функции, параметризация поверхностей, поверхностные интегралы, теорема о расходимости в пространстве, теорема Стокса; обыкновенные дифференциальные уравнения (II) : точные дифференциальные уравнения, краевые задачи и задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка; ряды функций, в частности ряды Фурье: введение, равномерная сходимость, тригонометрический полином и тригонометрический ряд, основная теорема о рядах Фурье; основные понятия теории вероятностей: вероятностное пространство, условная вероятность и стохастическая независимость, закон полной вероятности и закон Байеса, случайная величина и функция распределения, среднее значение, дисперсия и отклонение, неравенство Чебышева и слабый закон больших чисел, центральная предельная теорема

Предпосылки/Оценка:

Электротехника:

Чтобы пройти курс, вы должны быть ранее зачислены в HM1 и HM2. Оценка состоит из 90-минутного экзамена.

Физика:

Для модуля нет предварительных условий. Допуск к модулю эяминирования осуществляется письменным домашним заданием. Дополнительным требованием при поступлении на модульный экзамен является регулярное присутствие на занятиях по физкультуре. Оценка состоит из 90-минутного экзамена.

Литература

1. К. Мейберг, П. Фахенауэр: Höhere Mathematik 1, 2, Берлин, 2001
2. К. Бург, Х. Хаф, Р. Вилле: Höhere Mathematik für Ingenieure, III (Gewöhnliche Differentialgleichungen), IV (Vektoranalysis, Funktionentheorie), 2002, 1994

хитрости интеграции | Блестящая математика и естественные науки вики

Интегрирование по частям позволяет напрямую изменить подынтегральное выражение, и, как и исследование обратных функций, это геометрическое утверждение.Однако это утверждение о геометрии операторов исчисления, и любая его визуализация лежала бы в совершенно другом пространстве. Однако можно применить ту же интуицию. Интегрирование по частям — очень мощный инструмент, и многие задачи на этой странице можно было бы решить этим (и более элементарными методами) без необходимости чего-либо более сложного.

Интегрирование по частям утверждает, что для любых дифференцируемых функций u(x)u(x)u(x) и v(x)v(x)v(x) выполняется следующая эквивалентность:

∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx.{n+1}\справа) \, дх \\ &= \frac{m}{n+1} B(m-1, \, n+1). \end{выровнено}B(m,n)​=∫01​xm(1−x)ndx=0−n+1m​∫01​xm−1⋅(-(1−x)n+1)dx= n+1m​B(m−1,n+1).​ Таким образом, B(m, n)=mn+1⋅m−1n+2⋯1n+mB(0,n+m)=m!n! (m+n+1)!.B(m, \, n) = \frac{m}{n+1} \cdot \frac{m-1}{n+2} \cdots \frac{1}{ n+m} B(0, n+m) = \frac{m! n!}{(m+n+1)!}.B(m,n)=n+1m​⋅n+2m−1​⋯n+m1​B(0,n+m)=(m+n +1)!м!н!​. □_\квадрат□​

Узнайте больше о бета-функции (с правильно смещенными индексами) здесь.

Отправьте свой ответ

∫01(1−x2)9×9 dx \int_0^1 \left(1-x^2\right)^9 x^9 \, dx ∫01​(1−x2)9x9dx

Пусть III обозначает значение вышеприведенного интеграла. {-1}?I−1?

Курсы бакалавриата | Кафедра математики

МАТЕМАТИКА 1010 — Семинар Патнэма	(2 кредита) Целью этого курса является развитие способности решать математические задачи, требующие значительного элемента изобретательности и настойчивости. Обучение будет включать в себя изучение задач из предыдущих соревнований Патнэма, для которых этот курс можно рассматривать как полезную подготовку.Будет предпринята попытка поиска объединяющих математических идей. Также будут обсуждаться общие стратегии решения проблем.	Согласие инструктора
МАТЕМАТИКА 1020 — Прикладная элементарная теория чисел	(3 кредита) Этот курс раскроет ключевую роль теории чисел в развитии математики. В ходе курса будут рассмотрены некоторые приложения теории чисел. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0430
МАТЕМАТИКА 1025 — Введение в математическую криптографию	(3 кредита) Курс охватывает теоретические основы криптосистем и анализ их ограничений и уязвимостей. Особое внимание будет уделено криптосистемам с открытым ключом, включая системы на основе эллиптических кривых. Будут обсуждаться приложения реального мира, такие как безопасность браузера и биткойн. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0430
МАТЕМАТИКА 1050 — Комбинаторная математика	Рассматриваемые темы включают биномиальную теорему, принцип исключения включения, рекуррентные соотношения, производящие функции и проблемы раскраски.	МАТЕМАТИКА 0413 или 0450 или 1185
МАТЕМАТИКА 1070 — Численный математический анализ	(3 кредита) Этот курс вместе с MATH 1080 образует двухсеместровое введение в численный анализ на продвинутом уровне бакалавриата и включает интерполяцию, численное дифференцирование и интегрирование, решение нелинейных уравнений, численное решение систем или обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дополнительные темы, такие как время разрешает.Акцент делается на понимании алгоритмов, а не на подробном кодировании, хотя потребуется некоторое программирование. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0240 и некоторый опыт программирования
МАТЕМАТИКА 1080 — Численная математика: линейная алгебра	(3 кредита) Этот курс представляет собой введение в числовую линейную алгебру, в котором рассматриваются численные методы решения линейных алгебраических систем и матричных задач на собственные числа, а также приложения к уравнениям в частных производных.Хотя в курсе делается упор на вычислительную точку зрения, анализ сходимости и устойчивости алгоритмов будет исследован. Пример программы	(MATH 0240 или 0245) и (MATH 0250, 0280, 1180 или 1185) и некоторый опыт программирования
МАТЕМАТИКА 1100 — линейное программирование	(3 кредита) Рассматриваемые темы будут включать проблемы линейного программирования, симплекс-метод, качество, пересмотренный симплекс-метод и транспортную задачу.	МАТЕМАТИКА 0280 или 1180 ENGCMP 0200 или 0203 или 0205 и т. д.
МАТЕМАТИКА 1101. Введение в оптимизацию	(3 кредита) Этот курс знакомит студентов с методами оптимизации. Особое внимание будет уделено приложениям, но будет рассмотрена некоторая теория и обсуждены доказательства. Кроме того, студентов научат, как использовать доступное программное обеспечение для ответов на вопросы. Темы курса будут включать линейное программирование, целочисленное программирование, нелинейное программирование, выпуклые и аффинные множества, выпуклые и вогнутые функции, оптимизацию без ограничений и комбинаторную оптимизацию (т.е. Проблемы с сетевым потоком). Пример программы	MATH 0240 и один из MATH 0280, 1180 или 1185
МАТЕМАТИКА 1103 — Математические задачи в бизнесе, промышленности и правительстве	(3 кредита) Курс семинара, посвященный проблемам бизнеса, промышленности и правительства. Пример программы	Математика 1101 или Математика 1360
МАТЕМАТИКА 1110 — Промышленная математика	(3 кредита) Этот курс посвящен приближенному численному решению задач, возникающих в производственной среде. Охватываемые темы включают физическую интерпретацию математической модели, использование библиотечного программного обеспечения, подготовку программного обеспечения, анализ результатов и отчет о результатах.	МАТЕМАТИКА 1180 и 1185
МАТЕМАТИКА 1121 — Актуарная математика II	(3 кредита) Этот курс будет охватывать материал, указанный в программе экзамена m (3) (математика непредвиденных обстоятельств жизни и финансовая экономика) общества актуариев.В частности, будут представлены актуальные темы страхования жизни и пожизненных аннуитетов, включая модели многократного уменьшения, а также ценообразование Блэка и Шоулза для производных ценных бумаг и анализ рисков. Материал будет представлен в традиционном академическом формате лекций и вспомогательных занятий, а также дополнительных занятий, специально направленных на подготовку студентов к экзамену SOA. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0240 или 1120
МАТЕМАТИКА 1122 — Актуарная математика III	(3 кредита) Непредвиденные обстоятельства жизни Пример программы	(MATH 470 или 1121) и (MATH 1119 или STAT 1151)
МАТЕМАТИКА 1123 — Актуарная математика IV	(3 кредита) Непредвиденные обстоятельства жизни, часть 2 Пример программы	Математика 1122
МАТЕМАТИКА 1126 — Предиктивная аналитика 1	(3 кредита) Это вводный курс по современной науке о данных, включая статистическое обучение и временные ряды. Будут затронуты следующие темы: линейная регрессия (проверка, методы повторной выборки, выбор модели и регуляризация, усадка, уменьшение размерности, основные компоненты), обобщенные линейные модели (модели логистической и пробит-регрессии, категориальный и подсчетный ответ, меры соответствия), Неконтролируемое обучение (деревья решений и случайные леса, начальная загрузка, бэггинг, основные компоненты, кластерный анализ), временные ряды (модели случайного блуждания, авторегрессионные модели, модели ARCH/GARCH, моделирование и прогнозирование Бокса-Дженкинса). Пример программы	МАТЕМАТИКА 0230 и 1119
МАТЕМАТИКА 1127 — Предиктивная аналитика 2	(3 кредита) Этот курс с 3 кредитами является продолжением курса «Математика 1126», «Прогнозная аналитика 1». Он будет охватывать фундаментальные знания о науке о данных с приложениями к страхованию и бизнесу. Студенты познакомятся с Basic R, сбором данных, очисткой данных, исследованием и визуализацией данных, прогнозным моделированием и профессиональной отчетностью. Он также готовит студентов к экзамену SOA Exam PA. По завершении этого курса студенты разовьют навыки прогнозной аналитики, которые позволят им: (1) сформулировать типы проблем, которые могут быть решены с помощью прогнозного моделирования, определить бизнес-проблему и то, как имеющиеся данные соотносятся с возможными анализами, использовать информация для предложения моделей, таких как обобщенная линейная модель (GLM), деревья решений, кластерный анализ и анализ основных компонентов; (2) приобрести опыт использования R для прогнозной аналитики и уметь создавать эффективные графики в RStudio, работать с различными типами данных, понимать принципы проектирования данных и создавать различные общие визуализации для изучения данных; (3) оценивать качество данных, решать проблемы с данными и выявлять нормативные и этические проблемы; (4) эффективно сообщать о результатах применения прогнозной аналитики для решения бизнес-проблемы. Пример программы	МАТЕМАТИКА 1126
МАТЕМАТИКА 1128 — Актуарная математика V	(3 кредита) Этот курс с 3 кредитами будет охватывать темы «Краткосрочной актуарной математики 1», который обеспечивает основу для последующего курса «Краткосрочная актуарная математика 2», а также готовит студентов к экзамену SOA STAM. Студенты познакомятся с различными моделями частоты, серьезности и агрегирования, которые полезны для краткосрочных актуарных приложений.Учащиеся узнают о шагах, связанных с процессом моделирования, и о том, как применять эти шаги. По окончании курса слушатели смогут: 1) анализировать данные из приложения в бизнес-контексте; 2) определить подходящую модель, включая значения параметров; 3) обеспечить меры доверия для решений, основанных на модели. Студенты познакомятся с различными инструментами для калибровки и оценки моделей. Пример программы	МАТЕМАТИКА 1119 и СТАТИСТИКА 1152
МАТЕМАТИКА 1129 — Актуарная математика VI	(3 кредита) Этот курс с 3 кредитами будет охватывать темы «Краткосрочной актуарной математики 2» (STAM 2), который основан на темах STAM 1, а также подготовит студентов к экзамену SOA STAM.Студенты познакомятся с теорией правдоподобия: априорное распределение, апостериорное распределение, прогнозирующее распределение, байесовская премия, модель Бульмана, модели Бульмана-Штрауба, премия за достоверность, фактор достоверности и эмпирические методы Байеса. По окончании курса слушатели смогут: 1) понимать и оценивать потери, используя процедуры достоверности; 2) понимать фундаментальные принципы ценообразования и резервирования некоторых из наиболее распространенных краткосрочных страховых и перестраховочных покрытий: автострахования, домовладельцев, ответственности, здоровья, инвалидности и стоматологии.Студенты познакомятся с некоторыми методами и базовыми статистическими моделями, используемыми для оценки убытков, понесенных в результате краткосрочного страхования и перестрахования. Пример программы	МАТЕМАТИКА 1128
МАТЕМАТИКА 1180 — Линейная алгебра	(3 кредита) Этот курс подчеркивает теоретическое и строгое развитие линейной алгебры. Основные темы включают теорию векторных пространств, линейных преобразований, матриц, характеристических полиномов, базисов и канонических форм.Другие темы могут быть затронуты, если позволяет время. Пример программы	Необходимый компонент: МАТЕМАТИКА 0413 или МАТЕМАТИКА 0450
МАТЕМАТИКА 1185 — Линейная алгебра с отличием	(3 кредита) Введение в вычислительные и теоретические аспекты линейной алгебры. Программа включает исключение Гаусса, матричную алгебру, треугольную факторизацию, векторные пространства, линейную независимость, базис, размерность, ортогональность, скалярный продукт, грамм-Шмидт, разложение по сингулярным числам, определители, собственные значения, матричные экспоненты, унитарные матрицы, сходство, положительную определенность, минимум принципы, конечные элементы, норма и число обусловленности, вычисление собственных значений, итерационные решения линейных систем, линейные неравенства, симплекс-метод.	Согласие инструктора
МАТЕМАТИКА 1230 — Большие идеи математики	(3 кредита) Курс «Большие идеи» предназначен для того, чтобы предоставить студентам, изучающим математику, практический опыт. Он объединит текущие математические знания учащегося в единое целое посредством принятия исторической перспективы. Он особенно предназначен для математических специальностей, интересующихся математическим образованием или историей, философией и психологией математики. Учащиеся, выбравшие факультативную стажировку MATH 1231, узнают, как историческое развитие математики связано с математикой в ​​средней школе. Заключительный опыт завершится исследовательским проектом и презентацией.	МАТЕМАТИКА 0430
МАТЕМАТИКА 1231 — Стажировка в области математического образования	(1 кредит) Эта стажировка состоит из двух компонентов: 1) опыт работы в классе по наставничеству старшеклассника, разрабатывающего исследовательский проект, и 2) семинар, на котором обсуждаются «большие идеи» математики в MATH 1230 и то, как математика развивается в учебной программе начальной и средней школы. .Стажеры будут проводить один час каждые две недели, обучая старшеклассника в местной средней школе.	МАТЕМАТИКА 1230
МАТЕМАТИКА 1250 — Абстрактная алгебра	(3 кредита) В этом курсе довольно подробно изучаются основные алгебраические системы, группы и кольца. Темы включают: подгруппы, группы перестановок, гомоморфизмы, подкольца, идеалы и фактор-кольца. Акцент делается на теорию с примерами. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0430
МАТЕМАТИКА 1270 — Обыкновенные дифференциальные уравнения 1	(3 кредита) Этот курс охватывает методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые часто встречаются в приложениях.Общие методы будут преподаваться для одиночных уравнений n-го порядка и систем нелинейных уравнений первого порядка. Это будет включать методы фазовой плоскости и анализ устойчивости. Компьютерные эксперименты будут использованы для иллюстрации поведения решений различных уравнений. Пример программы	Один из MATH 0280, 1180 или 1185
МАТЕМАТИКА 1275 – Обыкновенные дифференциальные уравнения с отличием 1	(3 кредита) Этот курс обеспечивает более тщательное математическое рассмотрение теории, чем это возможно в курсе без дипломов (MATH 1270), а также охватывает некоторые более современные приложения. В дополнение к основному материалу о точных решениях будут даны математические доказательства теорем существования и единственности, что позволит лучше понять такие важные темы, как поведение на фазовой плоскости и теория устойчивости. Кроме того, будет рассмотрено больше тем, в том числе более подробное обсуждение серийных решений и специальных функций, чем это возможно в MATH 1270. Наконец, курсовой проект, обычно выполняемый в парах, по теме, которую студенты выбирают под руководством и одобрение от инструктора, будет ключевой особенностью. Пример программы	(MATH 0230 или 0235) и (MATH 1180 или 1185) CoREQ: МАТЕМАТИКА 413 или 0450
МАТЕМАТИКА 1280 — Обыкновенные дифференциальные уравнения 2	(3 кредита) Это курс устойчивости и качественных методов анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в реалистических моделях. Изучаются методы фазовой плоскости, методы возмущений и теория бифуркаций.	МАТЕМАТИКА 1270 или 1275
МАТЕМАТИКА 1290 — Разделы по геометрии	(3 кредита) Курс, призванный дать «современный» взгляд на геометрию. Возможные подходы включают (1) связь геометрий с абстрактными алгебраическими системами и (2) дедуктивное, синтетическое развитие евклидовой и неевклидовой геометрии. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0240 и (МАТИКА 0413 или 0450)
МАТЕМАТИКА 1310 — Теория графов	(3 кредита) Концепция графа и изучение его теоретических свойств и приложений составляют основу этого курса.Темы включают пути, схемы, деревья, плоские графы, проблемы раскраски, орграфы, теорию соответствия и сетевые потоки.	МАТЕМАТИКА 0413 или 0450
МАТЕМАТИКА 1350 — Введение в дифференциальную геометрию	(3 кредита) Возможные темы: основные идеи топологии, описание кривых в пространстве, определение и локальное изучение гладких поверхностей в евклидовом пространстве (фундаментальные формы, геодезические и кривизна), глобальные свойства поверхностей, формула Гаусса-Бонне и приложения.	МАТЕМАТИКА 0240 и (МАТИКА 1180 или 1185)
МАТЕМАТИКА 1360 — Моделирование в прикладной математике	(3 кредита) Этот курс знакомит с некоторыми фундаментальными подходами прикладной математики. Акцент делается на процессе построения модели и на развитии понимания некоторых объединяющих тем прикладной математики, таких как равновесия, устойчивость, законы сохранения и т. д. Материал представлен в форме тематических исследований. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0290 или МАТЕМАТИКА 1270 или МАТЕМАТИКА 1275
МАТЕМАТИКА 1370 — Введение в вычислительную нейронауку	(3 кредита) Этот курс представляет современные математические теории нейронауки, включая одиночные нейроны и нейронные сети. Внимание будет уделено 1451 динамике и функции нервной деятельности. Пример программы	МАТЕМАТИКА 0240 или МАТЕМАТИКА 0245 или МАТЕМАТИКА 0450
МАТЕМАТИКА 1380 — Математическая биология	(3 кредита) Этот курс представляет собой широкое введение в математические методы, обычно применяемые к проблемам биологии. Будут представлены модели, использующие исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, дискретные динамические системы, стохастическую динамику или структуру клеточных автоматов, и будут описаны основные методы их анализа. Также будут рассмотрены вычислительные методы, включая вычислительные платформы, такие как XPPAUT. На протяжении всего курса у студентов будут широкие возможности для практики разработки и анализа моделей математической биологии. Пример программы	(MATH 0280 или 1180 или 1185) и (MATH 0290 или 1270 или 1275)
МАТЕМАТИКА 1410 — Введение в основы математики	(3 кредита) Этот курс знакомит с логическими основами математики; он охватывает исчисление высказываний и исчисление предикатов, формальную теорию чисел и первую теорему Гёделя о неполноте.Если позволит время, мы также рассмотрим начальную теорию множеств и начальную теорию моделей.	Математика 0413 или Математика 0450
МАТЕМАТИКА 1470 — Уравнения с частными производными 1	(3 кредита) Это первый член двучленной последовательности в элементарных УЧП. Цели курса — предоставить студентам методы, необходимые для постановки и решения задач, связанных с УЧП, и подготовиться к дальнейшему изучению УЧП.Изучаются три основных типа линейных УЧП второго порядка — параболические, эллиптические и гиперболические. Кроме того, вводятся инструменты, необходимые для решения уравнений в частных производных, такие как ряды Фурье и преобразования Лапласа.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 0240 и {[(МАТИЧЕСКИЕ 0280 или 1180 или 1185) и (МАТИЧЕСКИЕ 0290 или 1270)] или МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 0250}
Математика 1510 — Математическая теория вероятностей	(3 кредита) Этот курс является введением в математическую теорию вероятностей.Основные темы включают случайные величины, ожидания, характеристические функции, условную вероятность и введение в мартингалы и цепи Маркова.	(математика 0420 или 0450) и (математика 280, 1180 или 1185) или разрешение инструктора
МАТЕМАТИКА 1530 — Расширенное исчисление 1	(3 кредита) Этот курс содержит строгое развитие исчисления функций одной переменной, включая компактность на прямой, непрерывность, дифференцируемость, интегрирование и равномерную сходимость последовательностей и рядов функций. Могут быть включены и другие темы, такие как понятие пределов и непрерывности в метрических пространствах.	МАТЕМАТИКА 0420 или МАТЕМАТИКА 0450
МАТЕМАТИКА 1540 — Расширенный расчет 2	(3 кредита) В этом курсе, являющемся продолжением Fall Math 1530, будет строго разработана теория дифференцирования и интегрирования функций многих переменных. Темы будут включать теоремы об обратной и неявной функциях, теорему Фубини, замену переменных и теорему Стокса.	МАТЕМАТИКА 1530
МАТЕМАТИКА 1550 — Векторный анализ и приложения	(3 кредита) Рассматриваемые темы включают: векторную алгебру, векторное дифференцирование и интегрирование, дивергенцию, градиент, завиток, теоремы Грина, Гаусса и Стокса и криволинейные системы координат. Особое внимание будет уделено решению проблем и приложениям в электромагнитной теории и потоках жидкости. Пример программы Расписание семестра	MATH 0240 и (MATH 250 или 0280 или 1180 или 1185)
МАТЕМАТИКА 1560 — Комплексные переменные и приложения	(3 кредита) Этот курс охватывает следующие темы: элементарные операции с комплексными числами, производные, интегралы, теорема Коши и следствия, такие как интегральная формула, степенной ряд, теорема о вычетах, приложения к действительным интегралам и рядам.	[MATH 0240 или 245 (с B или выше)] или MATH 1550
МАТЕМАТИКА 1570 — Введение в анализ Фурье	(3 кредита) Курс представляет собой строгое введение в ряды и интегралы Фурье с приложениями к тепловому потоку, волновому движению, физике и теории чисел. Он предназначен для студентов с базовыми знаниями реального анализа, включая равномерную сходимость последовательностей и рядов функций. Знание интеграла Лебаска не предполагается. Пример программы	(Математика 0420 или 0450) и (Математика 0280 или 1180 или 1185)
МАТЕМАТИКА 1700 — Введение в топологию	(3 кредита) Будет изучена топология r1, а также топология общих метрических пространств. Основные понятия будут применены для получения фундаментальной теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Курс будет построен на доказательстве теорем и решении задач.	МАТЕМАТИКА 0420 или 0450
МАТЕМАТИКА 1800 — Дополнительные темы по математике	(3 кредита) Это вводный курс продолжительностью один семестр по квантовой теории информации. Цель состоит в том, чтобы дать введение в парадигмы квантовых вычислений и математику, лежащую в основе квантовых алгоритмов. Мы увидим, что во многих случаях они намного эффективнее своих классических аналогов. Мы начнем с краткого введения в квантовую механику, а затем обсудим основы квантовых вычислений.Затем мы рассмотрим некоторые хорошо известные квантовые алгоритмы, такие как алгоритм Шора для простой факторизации. Мы также обсудим возможное влияние появления квантового компьютера на стандарты современной криптографии. Необходимая основа для курса — линейная алгебра. Знание квантовой механики полезно, но не обязательно.	МАТЕМАТИКА 0280 или 1180 или 1185
или MATH 1900 Стажировка	(1–3 кредита) Под руководством преподавателей учащийся участвует в опыте, проекте или работе, связанной с математикой.	Свяжитесь с директором бакалавриата для получения номера разрешения
МАТЕМАТИКА 1902 Направленное исследование	(1–3 кредита) Под руководством преподавателя студент изучает взаимно согласованную тему математики.	Свяжитесь с директором бакалавриата для получения номера разрешения

Производные и интегралы

Основополагающие рабочие инструменты исчисления, производных и интегралов пронизывают все аспекты моделирования природы в физических науках. Производная функции может быть геометрически интерпретирована как наклон кривой математической функции f(x), построенной как функция от x. Но его последствия для моделирования природы гораздо глубже, чем это может подразумевать это простое геометрическое приложение. В конце концов, вы можете представить себе, как рисуете конечные треугольники, чтобы определить наклон, так почему же производная так важна? Его важность заключается в том, что многие физические величины, такие как скорость, ускорение, сила и т. д., определяются как мгновенные скорости изменения какой-либо другой величины.Производная может дать вам точное мгновенное значение для этой скорости изменения и привести к точному моделированию желаемой величины. Интеграл функции может быть геометрически интерпретирован как площадь под кривой математической функции f(x), построенной как функция от x. Вы можете увидеть, как рисуете большое количество блоков, чтобы аппроксимировать площадь под сложной кривой, получая лучший ответ, если вы используете больше блоков. Интеграл дает вам математический способ рисования бесконечного числа блоков и получения точного аналитического выражения для площади.Это очень важно для геометрии — и чрезвычайно важно для физических наук, где определения многих физических объектов могут быть выражены в математической форме, такой как площадь под кривой. Площадь маленького блока под кривой можно представить как ширину полосы, взвешенную (то есть умноженную на) на высоту полосы. Многие свойства непрерывных тел зависят от взвешенных сумм, которые, если быть точными, должны быть бесконечными взвешенными суммами — проблема, созданная специально для интеграла.Например, нахождение центра масс непрерывного тела включает взвешивание каждого элемента массы по его расстоянию от оси вращения, процесс, для которого необходим интеграл, если вы хотите получить точное значение. Огромное количество физических задач включает в свои решения такие бесконечные суммы, что делает интеграл важным инструментом для ученого-физика.

Указатель Производные концепции Интегральные концепции

Применение интегралов — примеры

Существует ряд методов вычислений, среди которых функции, дифференцирование и интегрирование.Приложения интегралов применяются в различных областях, таких как математика, наука, инженерия. Далее, для вычисления площадей или неправильных форм в двумерном пространстве мы используем в основном интегральные формулы.

Здесь дается краткое введение в интегралы, с приложениями интегралов для нахождения площадей под простыми кривыми, площадей, ограниченных кривой и прямой и площадей между двумя кривыми, а также применение интегралов в других математических дисциплинах наряду с решенными примерами .

Определение интеграла

Учитывая производную f’ функции f, возникает вопрос: «Можем ли мы определить функцию f?» Здесь функция f называется первообразной или интегралом от f’. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. С другой стороны, значение функции, найденное в процессе интегрирования, называется интегралом.

Например, производная от f(x) = x ³ равна f’(x) = 3x ² ; и первообразная g(x) = 3x ² равна f(x) = x ^3. Здесь интеграл от g(x) = 3x ² равен f(x)=x ³

Определение интеграла: Интеграл – это функция, производной которой является данная функция. Интегрирование в основном используется для нахождения площадей двумерной области и для вычисления объемов трехмерных объектов. Следовательно, нахождение интеграла функции по оси x относится к нахождению площади кривой по оси x. Интеграл также называют антипроизводной, так как это процесс, обратный дифференцированию.

Вообще есть два типа интегралов. Определенные интегралы определяются для интегралов с пределами, а неопределенные интегралы не включают никаких пределов. Здесь давайте подробнее рассмотрим определенные и неопределенные интегралы.

Типы интегралов

Определенные интегралы

Это интегралы, которые имеют ранее существовавшие значения пределов; тем самым окончательное значение интеграла становится определенным. Определенные интегралы используются для нахождения площади под кривой относительно одной из осей координат и с заданными пределами.Здесь мы стремимся найти площадь под кривой g(x) относительно оси x и иметь пределы от b до a.

Неопределенные интегралы

Это интегралы, не имеющие ранее существовавшего значения пределов; тем самым делая окончательное значение интеграла неопределенным. Неопределенные интегралы используются для интегрирования алгебраических выражений, тригонометрических функций, логарифмических и экспоненциальных функций. Здесь g'(x) — ответ производной, который при интегрировании дает исходную функцию g(x).Интегрирование не возвращает постоянное значение исходного выражения, поэтому к ответу интеграла добавляется постоянная «с».

Применение интегралов

Некоторые из многих применений интегралов перечислены ниже:

В математике интегралы используются для нахождения:

• Центр масс (центроид) площади с криволинейными сторонами
• Среднее значение кривой
• Площадь между двумя кривыми
• Площадь под кривой

В физике интегралы используются для нахождения:

• Центр тяжести
• Центр масс
• Масса и момент инерции транспортных средств
• Масса и импульс спутников
• Скорость и траектория спутника
• Тяга

Существуют две формы интегралов.Неопределенные интегралы: это интеграл функции, когда нет предела для интегрирования. Он содержит произвольную константу. Определенные интегралы: интеграл функции с пределами интегрирования.

Применение интегралов также включает нахождение площади, заключенной в затмение, площади области, ограниченной кривой, или любой замкнутой области, ограниченной по осям x и y. Применение интеграций варьируется в зависимости от полей. Графические дизайнеры используют его для создания трехмерных моделей.Физики используют его для определения центра тяжести и т. д.

Давайте посмотрим на одно из распространенных применений интегралов, т. е. на то, как найти площадь под кривой.

Как найти площадь под кривой?

Площадь под кривой можно рассчитать за три простых шага. Во-первых, нам нужно знать уравнение кривой (y = f(x)), пределы, в которых должна быть рассчитана площадь, и ось, охватывающую площадь. Во-вторых, мы должны найти интегрирование (первообразную) кривой.б_а\)

=\( г(б) — г(а)\)

Похожие темы:

Важные замечания по применению интегралов:

1. Значение функции, найденное в процессе интегрирования, называется интегралом.
2. Вообще есть два типа интегралов:
   Определенные интегралы (значение интеграла определено)
   Неопределенные интегралы (значение интеграла неопределенно)

Часто задаваемые вопросы по применению интегралов

Каковы применения интегралов в реальной жизни?

Интеграция

находит множество применений в области инженерии, физики, математики и т. д.Например, в физике очень нужна интеграция. Например, для расчета центра масс, центра тяжести и момента инерции массы внедорожника. Чтобы рассчитать скорость и траекторию объекта, предсказать положение планет и понять электромагнетизм.

Каковы реальные приложения интегралов и дифференцирования?

Дифференциация и интеграция могут помочь нам решить многие типы реальных проблем. Мы используем производную, чтобы определить максимальное и минимальное значения определенных функций (например,г. стоимость, прочность, количество материала, использованного в здании, прибыль, убыток и т. д.). А приложения интегралов полезны для нахождения площадей неправильных форм.

Какое применение интегралов в математике?

Интегралы используются для оценки таких величин, как площадь, объем, работа и вообще любая величина, которую можно интерпретировать как площадь под кривой.

Что такое интеграция простыми словами?

В математике интегрирование — это метод сложения или суммирования частей для нахождения целого.