Высшая математика системы линейных уравнений: Элементы высшей математики: Решение систем линейных уравнений

Содержание

Системы линейных уравнений: инструкция по применению

Добро пожаловать на проект Dr Nev!

Меня зовут Ольга, и я — Dr Nev.

Я преподавала в ВУЗах Нижнего Новгорода и Санкт-Петербурга, и сейчас являюсь научным сотрудником Университета Эксетера в Великобритании. Почему я Dr Nev? Потому что я доктор аналитических наук по фамилии Нев 🙂

Математика — не только моя основная профессия, но и увлечение, которое приносит удовольствие мне, и, хочется верить, пользу студентам, которым я помогаю обрести уверенность в этом предмете.

Мои курсы созданы для студентов нетехнических специальностей. Здесь нет места абстрактной теории, таинственным определениям и пугающим теоремам высшей математики. Только понятная практика.

Мои курсы помогут обрести уверенность в своей способности решить, как минимум, типовые практические задачи, сдать экзамен и даже, наверное, помочь сдать экзамен другу, ну а в идеале – получить от процесса обучения удовольствие.

Пройдя обучение на моих курсах, вы сможете описывать математическим языком и оптимизировать физические, экономические, химические, биологические процессы, а значит, в ваших руках появится возможность описать и предсказать … саму жизнь – впечатляет, не так ли?

Если да, тогда до встречи на курсах!

Мое образование

2001–2006 Нижегородский государственный университет, факультет вычислительной математики и кибернетики, специальность – прикладная математика и информатика, диплом специалиста с отличием

2004–2008 Нижегородский государственный университет, факультет управления и предпринимательства, специальность – экономика и управление на предприятии, диплом специалиста с отличием

2010–2012 НИУ Высшая школа экономики (Санкт-Петербург), факультет экономики, специальность – математические методы анализа экономики, диплом магистра с отличием

2011–2014 Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет, кафедра статистического моделирования, аспирантура

2015-2017 Warwick University, United Kingdom, PhD in Analytical Science / Университет Уорика, Великобритания, степень доктора аналитических наук

Мой опыт академической работы

Репетиторство — более 15 лет

2007-2008 Нижегородский государственный университет, экономический факультет

2012-2013 Санкт-Петербургский экономический университет, кафедра высшей математики

2018 — настоящее время Exeter University, United Kingdom, Postdoctoral Research Fellow / Университет Эксетера, Великобритания, научный сотрудник

Научные публикации

3 публикации на русском языке, 9 — на английском языке

Мой опыт работы в индустрии

Intel Corporation, JLC Technologies, EMC, Interresearch

Метод Крамера .

Применение для систем линейных уравнений

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

МЕТОД КРАМЕРА

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

— определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

—————————————————————

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.



——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

 

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5*4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9-40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52=10

 

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

 

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4*2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2)= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

 

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

 

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1+24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1*(-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

 

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

 

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

 

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

 

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1*(5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+(-3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2-30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+1*88=-26-2+88=60

 

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

{jcomments on}

Решение высшей математики онлайн


‹— Назад


Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

  1. перестановка строк;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами.

Читатель легко проверит, что если по матрице, полученной из выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Цель алгоритма — с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице встретилась строка с номером , в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел .

Матрицу можно записать в виде

где По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу где , . Эту матрицу снова можно записать в виде и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при  — второе решение и т.д.

Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным — нули.

Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным — нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

        Замечание 15.4   У читателя может возникнуть вопрос: «Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют.» Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи решений.                  Пример 15.2   Найдите общее решение системы уравнений где неизвестными являются .

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на .
В результате получим Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на число . Получим Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по матрице систему уравнений Переносим в правую часть неизвестные (неизвестное реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем Пусть , , , . Из уравнений находим:

Ответ: , , , , , , где , , ,  — произвольные числа.         

        Замечание 15.5   В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц и и где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере , базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, столбцах с номерами 2, 5.         
        Пример 15.3
  Найдите общее решение системы уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на : Вторую строку, умноженную на , прибавим к третьей: В третьей строке все элементы равны нулю, а элемент . Значит, система несовместна.

Ответ: Система несовместна.         

        Пример 15.4   Решите систему

Решение. Имеем:

Первую строку, умноженную на числа , , , прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам: К третьей строке прибавим вторую, умноженную на . Получим К четвертой строке прибавим третью, умноженную на : Выписываем по матрице систему уравнений: Находим последовательно значения неизвестных:

Ответ: .         

        Замечание 15.6   Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это не выполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.         

        Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку последовательно на , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор . Отсюда следует, что . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.

Переходим к системе уравнений

Неизвестные и оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:

Положим , . Получим , . Первое решение из фундаментальной системы: .

Положим , . Получим , . Второе решение из фундаментальной системы решений: .

Положим , . Получим , . Третье решение из фундаментальной системы решений: . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид

Ответ: Фундаментальная система решений:
, , , общее решение: .

        

        Замечание 15.7   Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
, , . Общее решение можно записать так: .         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Практическое занятие 1 системы линейных уравнений метод гаусса ( продолжительность – 2 часа )

3. 2. ТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗДЕЛЫ ПРАКТИЧЕских занятий

Практическое занятие 1 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

  1. Системы линейных уравнений 2, 3, n-го порядка. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. 3 типа Систем линейных уравнений.

  2. Пример Постановки задачи. Сведение текстовой задачи (Задача о фермере, 3 варианта) к системам линейных уравнений 3 типов.

  3. Приведение матрицы системы линейных уравнений к ступенчатому виду.

Практические задания

  1. Метод Гаусса. Разбор и решение задачи № 2.1.37.

  2. Постановка и решение Задачи о фермере:

Задача о фермере.

Вариант 1:

Фермер вложил в прошлом году в зерноводство, животноводство и овощеводство всего 10 млн. д.е. и получил 780 тыс.д.е. прибыли. В текущем году он собирается увеличить вложения в зерноводство в 2 раза, в животноводство в 3 раза, а вложения в овощеводство оставить на прошлогоднем уровне. На все это фермер выделяет 22 млн.д.е. Какую прибыль собирается получить фермер в текущем году, если зерноводство приносит 10% прибыли на вложенные средства, животноводство 8% и овощеводство 6%?

Вариант 2:

Рассмотрим задачу из примера 1 со следующими изменениями:

зерноводство приносит 8% прибыли на вложенные средства, животноводство 10% и овощеводство 6%.

Вариант 3:

Рассмотрим задачу из примера 2 со следующими изменениями:

Фермер получил 840 тыс.д.е. прибыли

3. Приведение матрицы системы линейных уравнений к ступенчатому виду.

Разбор и решение задач №№1.1.27, 1.1.28

4. Домашнее Задание: №№ 1. 1.79, 1.1.80, 2.1.41

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007, с.12-13, с.55-57, с.66

2. А.В.Идельсон, И.А.Блюмкина. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра.

Математика для экономистов. Том 1. Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2000 – с.27

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 2 Матрицы. Операции над матрицами.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

  1. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду.

  2. Матрицы. Операции над матрицами. Правила умножения матриц.

  3. Матричный полином. Транспонирование матриц.

Практические задания

  1. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Разбор и решение задач Домашнего задания: №№ 1.1.79, 1.1.80

  2. Операции над матрицами. Разбор и решение задач №№ 1.1.1, 1.1.2, 1.1.11, 1.1.7, 1.1.21

  3. Домашнее Задание: №№ 1.1.3, 1.1.5, 1.1.53, 1.1.17, 1.1.24, 1.1.25

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007, с.7-17

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 3 Определитель матрицы. Миноры.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Свойства умножения матриц. Примеры отсутствия коммутативности умножения матриц.

2. Определитель матрицы 2, 3, n-го порядка. Правило «треугольников» (правило

Звезды). Миноры, Теорема Лапласа. Нахождение Присоединенной матрицы.

Практические задания

1. Умножение матриц. Разбор и решение задач Домашнего задания: №№ 1.1.5,

1.1.53, 1.1.17, 1.1.24, 1.1.25.

2. Вычисление Определителей, Миноров, построение Присоединенной матрицы.

Разбор и решение задач №№ 1.2.1, 1.2.20, 1.2.13, 1.2.24, 1.2.25, 1. 4.1

3. Домашнее Задание: №№ 1.2.4, 1.2.6, 1.2.22, 1.2.23, 1.2.26, 1.2.29, 1.4.38, 1.4.9

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.18-26, с.41-44, с.48.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 4 Обратные матрицы. Метод Крамера.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

  1. Вычисление Алгебраических дополнений.

2. Построение Присоединенной матрицы, Обратной матрицы.

  1. Решение систем линейных уравнений методом Обратной матрицы.

  2. Правило Крамера.

Практические задания

  1. Вычисление Определителей, Миноров. Разбор и решение задач Домашнего задания: №№ 1.2.4, 1.2.6, 1.2.22, 1.2.23, 1.2.26, 1.2.29.

2. Построение Обратной матрицы. Разбор и решение задач Домашнего задания

№№ 1.4.38, 1.4.9

3. Решение систем линейных уравнений методом Обратной матрицы, методом

Крамера. Разбор и решение задачи №№ 2.2.2

4. Домашнее Задание: №№ 1.4.4, 1.4.39, 1.4.34, 2.2.11, 2.2.22, 2.2.23

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.18-26, с.41-44, с.70-75.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 5 Обратные матрицы. Метод Крамера.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

    1. Решение систем линейных уравнений методом Обратной матрицы.

    2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

    3. Решение Матричных уравнений.

Практические задания

1. Построение Обратной матрицы. Разбор и решение задач Домашнего задания: №№ 1.4.4, 1.4.39.

2. Разбор и решение систем линейных уравнений методом Обратной матрицы,

методом Крамера в задачах Домашнего задания: №№ 1. 4.34, 2.2.22, 2.2.23

3. Решение Матричных уравнений. Разбор и решение задачи №№ 1.4.27.

4. Домашнее Задание: №№ 1.4.10, 1.4.11, 1.4.29, 1.4.30, Варианты

Контрольных работ.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.44, с.47 .

с.52-54: №№ 1,3,4 всех Вариантов Контрольных работ,

с.87-90: №3 всех Вариантов Контрольных работ.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 6 Матрицы. Определители матриц. Метод Гаусса, метод Обратной матрицы, метод Крамера решения систем линейных уравнений.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

Контрольная работа №1.

Вычисление матричного полинома.

Вычисление определителей.

Решение определенных систем линейных уравнений 3-го порядка

а) методом Гаусса

в) методом нахождения Обратной матрицы

с) методом Крамера.

Практические задания

1. Решение индивидуального варианта Контрольной работы №1 в письменной

форме.

2. Домашнее Задание: Решение невыполненных №№ Контрольной работы

№ 1; решение невыполненных задач Домашнего задания к занятиям 1, 2, 3, 4, 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.7-17, с.18-26, с.41-48,

с.52-54, 55-57, с.66, с.70-75, с.87-90.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 7 Ранг матрицы.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

  1. Решение матричных уравнений.

  2. Нахождение ранга ступенчатой матрицы. Теорема Кронекера — Капелли.

  3. Нахождение ранга расширенной матрицы системы линейных уравнений.

  4. Разбор типичных ошибок задач Контрольной работы № 1

  5. Разбор и индивидуальное исправление ошибок в задачах Контрольной работы №1

Практические задания

1. Решение Матричных уравнений. Разбор и решение Домашнего задания: №№

1.4.10, 1.4.11, 1.4.29, 1.4.30

2. Нахождение ранга ступенчатой матрицы в задачах №№ 1.1.79, 1.1.80

3. Нахождение ранга расширенной матрицы системы линейных уравнений в Задаче

о фермере (3 варианта). Исследование совместности систем линейных

уравнений.

4. Домашнее Задание: № 2.1.47, 1.1.80.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.12-13, с.35-37, с.55-57.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н. Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 8 Общий метод решения системы линейных уравнений.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Исследование совместности систем линейных уравнений.

2. Нахождение общего решения системы линейных уравнений.

3. Нахождение частного решения системы линейных уравнений.

Практические задания

  1. Исследование совместности систем линейных уравнений. Разбор и решение

задачи Домашнего задания: № 2.1.47.

2. Нахождение общего решения системы линейных уравнений в Задаче о фермере

(3-й вариант, неопределенная СЛУ).

3. Нахождение частного решения системы линейных уравнений в Задаче о фермере

(3-й вариант, неопределенная СЛУ).

4. Домашнее Задание: с.87-90: № 2 всех Вариантов Контрольных работ.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.12-17, с.35-37, с.55-61,

с.87-90.

Практическое занятие 9 Комплексные числа и многочлены.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Понятие комплексного числа.

2. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа.

3. Операции над комплексными числами.

Практические задания

1. Нахождение алгебраической, тригонометрической, показательной форм

комплексного числа. Графическое представление комплексного числа.

Операции над комплексными числами. Разбор и решение задач №№ 10.1.1,

10.1.5 10.1.6

2. Домашнее Задание: №№ 10.2.3 а) в), 10.2.4 а) в), 10.2.5 а) в), 10.2.6 в), 10.2.12 а) в), 10.2.15

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.432-441.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. —

М.: Юнити, 2006 — 497 с.

Практическое занятие 10 Комплексные числа и многочлены.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа.

2. Операции над комплексными числами.

3. Понятие квадратичной формы.

Практические задания

1. Нахождение алгебраической, тригонометрической, показательной форм

комплексного числа. Графическое представление комплексного числа.

Операции над комплексными числами. Разбор и решение задач Домашнего

задания: №№ 10.2.3 а) в), 10.2.4 а) в), 10.2.5 а) в), 10.2.6 в), 10.2.12 а) в),

10.2.15 .

2. Разбор и решение задачи № 1 А), В), С) из Задания к Практическому занятию

№ 10.

3. Нахождение симметрической матрицы квадратичной формы.

4. Домашнее Задание: № 2 А), В), С) из Задания к Практическому занятию

№ 10:

Задание к Практическому занятию № 10

  1. Комплексные числа в алгебраической форме изобразить векторами на плоскости и представить в тригонометрической форме

.

А) Записать в алгебраической форме

.

В) Записать в алгебраической и тригонометрической формах

С) Записать в тригонометрической форме.

2) Комплексные числа в алгебраической форме изобразить векторами на плоскости и представить в тригонометрической форме

.

А) Записать в алгебраической форме

.

В) Записать в алгебраической и тригонометрической формах

С) Записать в тригонометрической форме

  1. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.

Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,

отрицательно определенной, неопределенной.

.

  1. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.

Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,

отрицательно определенной, неопределенной.

.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.432-441.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. —

М.: Юнити, 2006 — с.85-90

Дополнительная литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Лань, 2008. – 400 с.

Практическое занятие 11 Квадратичные формы.
(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Операции над комплексными числами.

2. Нахождение матрично-векторного вида квадратичной формы.

3. Положительная и отрицательная определенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Практические задания

1. Операции над комплексными числами. Разбор и решение задач Домашнего

задания.

  1. Нахождение матрично-векторной вида квадратичной формы. Положительная и

отрицательная определенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Разбор и решение задачи № 3 из Задания к Практическому занятию № 10.

3. Домашнее Задание: № 4 из Задания к Практическому занятию № 10.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.432-441.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. —

М.: Юнити, 2006 — с.85-90

Дополнительная литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Лань, 2008. – 400 с.

Практическое занятие 12 Ранг матрицы. Общий метод решения системы линейных уравнений. Комплексные числа. Квадратичные формы.

(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

Контрольная работа №2

Матричные уравнения.

Исследование систем линейных уравнений.

Решение неопределенных систем линейных уравнений.

Операции над комплексными числами.

Квадратичные формы.

Практические задания

1. Решение индивидуального варианта Контрольной работы №2 в письменной форме.

2. Домашнее Задание: Решение невыполненных №№ Контрольной работы № 2;

решение невыполненных задач Домашнего задания к Практическим занятиям 7,

8, 9, 10, 11. Подготовка индивидуального вопроса Коллоквиума по

теоретическому материалу в письменной форме.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.12-13, с.35-37, с.55-65,

с.87-90, с.432-441.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. —

М.: Юнити, 2006 — с.85-90

Дополнительная литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Лань, 2008. – 400 с.

Практическое занятие 13 Коллоквиум по теоретическому материалу. Защита индивидуального Домашнего задания.

(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

  1. Разбор типичных ошибок задач Контрольной работы №2.

  2. Разбор и индивидуальное исправление ошибок в задачах Контрольной работы №2.

  3. Коллоквиум по теоретическому материалу Лекционного курса.

(см. «Перечень Контрольных вопросов по курсу дисциплины «Линейная алгебра», стр. 16 ; «Перечень экспресс-тестов по лекционному материалу дисциплины «Линейная алгебра», стр. 17 .)

4. Обсуждение индивидуального Домашнего задания.

Практические задания

  1. Защита индивидуального вопроса Коллоквиума по теоретическому материалу семестра в устной форме.

  2. Защита индивидуального вопроса Тестов по теоретическому материалу семестра в устной форме.

  3. Защита индивидуального Домашнего задания.

Список источников и литературы

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.12-13, с.35-37, с.55-65,

с.432-441.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. —

М.: Юнити, 2006 — с.85-90

Дополнительная литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Лань, 2008. – 400 с.

Практическое занятие 14 Коллоквиум по теоретическому материалу. Защита индивидуального Домашнего задания.

(
Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Коллоквиум по теоретическому материалу Лекционного курса.

(см. «Перечень Контрольных вопросов по курсу дисциплины «Линейная алгебра», стр. 16 ; «Перечень экспресс-тестов по лекционному материалу дисциплины «Линейная алгебра», стр. 17 .)

2. Обсуждение индивидуального Домашнего задания.

Практические задания

1. Защита индивидуального вопроса Коллоквиума по теоретическому материалу

семестра в устной форме.

2. Защита индивидуального вопроса Тестов по теоретическому материалу семестра

в устной форме.

3. Защита индивидуального Домашнего задания.

Список источников и литературы

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2007 — с.12-13, с.35-37, с.55-65,

с.432-441.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. —

М.: Юнити, 2006 — с.85-90

Дополнительная литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Лань, 2008. – 400 с.

4. Методические рекомендации студенту по организации самостоятельной работы

Общая трудоемкость освоения дисциплины «Линейная алгебра» составляет 3 зачетных единицы, 108 часов, из них 54 часа аудиторных занятий и 54 часа, отведенных на самостоятельную работу студента.

Самостоятельная работа студентов направлена на приобретение новых теоретических и фактических знаний, закрепление полученных навыков, — выполняется в читальном зале библиотеки и в домашних условиях, подкрепляется учебно-методическим и информационным обеспечением (учебники, учебно-методические пособия, конспекты лекций).

Индивидуальный контроль знаний может быть осуществлен на практических занятиях, которым предшествуют лекции по данной теме.

В части УМК «Тематические разделы Практических занятий» приведены Домашние задания для каждого Практического занятия, которые помогают закреплять теоретические положения курса и навыки решения типовых задач. Приведен список основной рекомендуемой литературы с указанием страниц.

В части УМК «Структура дисциплины (тематический план)» указана трудоемкость самостоятельной работы студентов по изучению соответствующих тем дисциплины «Линейная Алгебра».

п/п

Раздел

дисциплины

Семестр

Неделя семестра

Вид

работы

Самостоя-тельная работа студентов

Формы самостоятельной работы студентов

(по неделям семестра)

Трудоем-кость

(в часах)

1

2

3

4

5

6

1

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

2

1

Подготовка к практическому занятию № 1

Изучение лекций по теме 1. Написание Теста 1 для самоконтроля.

2

Матрицы. Операции над матрицами.

2

2

Подготовка к практическому занятию № 2

2

Изучение лекций по теме 2.

Написание Теста 2 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 1 в Плане практических занятий, стр. 22-23

3

Определитель матрицы. Миноры.

2

3

Подготовка к практическому занятию № 3

2

Изучение лекций по теме 3. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 2 в Плане практических занятий, стр. 24

4

Обратные матрицы. Метод Крамера

2

4

Подготовка к практическому занятию № 4

Изучение лекций по теме 4. Написание Теста 3 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 3 в Плане практических занятий, стр. 24-25

Обратные матрицы. Метод Крамера

2

5

Подготовка к практическому занятию № 5

2

Изучение лекций по теме 4. Написание Теста 4 пп. 1,2 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 4 в Плане практических занятий, стр. 25-26

Матрицы. Определители матриц. Метод Гаусса, метод Обратной матрицы, метод Крамера решения систем линейных уравнений.

2

6

Подготовка к практическому занятию № 6

10

Подготовка к Контрольной работе №1.

Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 5 в Плане практических занятий, стр. 26-27

Составление и решение индивидуального домашнего задания.

5

Ранг матрицы.

Подготовка к практическому занятию № 7

2

Изучение лекций по теме 5.

Написание Теста 4 пп. 3.4.5 для самоконтроля.

6

Общий метод решения системы линейных уравнений.

Подготовка к практическому занятию № 8

2

Изучение лекций по теме 6. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 7 в Плане практических занятий, стр. 28

7

Комплексные числа и многочлены.

Подготовка к практическому занятию № 9

2

Изучение лекций по теме 7. Написание Теста 5 пп. 1,2,3 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 8 в Плане практических занятий, стр. 29

Подготовка к практическому занятию № 10

Изучение лекций по теме 7. Написание Теста 5 п. 4 и Теста 6 пп.1,2 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 9 в Плане практических занятий, стр. 29-30

8

Квадратичные формы.

Подготовка к практическому занятию № 11

2

Изучение лекций по теме 8. Написание Теста 6 пп.3 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 10 в Плане практических занятий, стр. 30-32

Подготовка к практическому занятию № 12

10

Подготовка к Контрольной работе 2.

Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 11 в Плане практических занятий, стр. 32-33

Коллоквиум по теоретическому материалу. Защита индивидуального Домашнего задания.

2

7

Подготовка к практическому занятию № 13

2

Изучение лекций по темам 1-8.

Написание Тестов 1- 6 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 12 в Плане практических занятий, стр. 33-34

Подготовка к Коллоквиуму по теоретическому материалу.

Коллоквиум по теоретическому материалу. Защита индивидуального Домашнего задания.

Подготовка к практическому занятию № 14

Изучение лекций по темам 1-8.

Написание Тестов 1- 6 для самоконтроля.

Подготовка к Коллоквиуму по теоретическому материалу.

Промежуточная аттестация

2

18

Подготовка к Зачету

Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система линейных уравнений — это объединение нескольких линейных равенств, каждое из которых содержит по 2 неизвестных. Решением системы уравнений называется процесс поиска таких значений неизвестных, при которых выражение превращается в верное числовое равенство.

Линейные уравнения

Линейное уравнение с двумя переменными — это выражение вида:

ax + by + c = 0,

где x и y — неизвестные корни.

Это общий вид равенства, позволяющий идентифицировать его как линейное, так как очевидно, что неизвестные икс и игрек стоят в первой степени. Если переменные имеют отличную от единицы степень или сами являются показателями степеней, то такие равенства считаются нелинейными. Система двух линейных уравнений — это классический математический объект, с которым мы впервые встречаемся в шестом классе школы.

Система линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений или СЛАУ — это совокупность n-ного количества равенств, содержащих k-ое количество неизвестных. В школьной алгебре существует негласное правило, что количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть СЛАУ с двумя переменными всегда состоят из двух равенств. Высшая математика может преподносить и другие варианты, однако в школьных примерах это правило действует неукоснительно, и наш калькулятор построен по этому принципу: 2 уравнения и 2 переменных. Выглядит это следующим образом:

  • ax + by + c = 0
  • dx + fy + g = 0

Под буквами a, b, c, d, f, g скрываются коэффициенты уравнения. Именно их следует вбивать в ячейки калькулятора для решения СЛАУ при помощи нашей программы. Важно учесть, что школьные уравнения обычно представляются в виде:

ax + by = с,

поэтому для корректного ввода данных требуется перенести свободный коэффициент в левую часть равенства с заменой знака на противоположный. Итак, у нас есть СЛАУ с двумя неизвестными. Пусть это будет:

  • 3x − y = 14
  • 5x + y = 10

Требуется найти такие значения икса и игрека, при которых уравнения превратятся в числовые тождества. При решении системы равенств возможны три варианта развития событий:

  • СЛАУ совместна, определена и имеет всего 1 решение;
  • система несовместна и решений нет;
  • СЛАУ совместна, но неопределена, поэтому существует бесконечное множество решений.

Существует 3 простых способа поиска корней СЛАУ.

Метод подстановки

Это всем известный школьный метод, согласно которому мы выражаем одну переменную через другую, после чего заменяем вторую переменную в другом уравнении и получаем банальное линейное равенство. Посмотрим на второе уравнение нашей СЛАУ:

5x + y = 10

Мы можем спокойно перенести иксы вправо с заменой знака и выразить игрек через икс:

y = 10 − 5x

Теперь подставим это значение игрека в наше первое уравнение и решим его:

  • 3x − (10 − 5x) = 14
  • 3x + 5x = 14 + 10
  • 8x = 24
  • x = 3

Теперь вернемся ко второму уравнению и подставим числовое значение икса.

  • 5x + y = 10;
  • 5 × 3 + y = 10;
  • y = 10 − 15;
  • y = −5.

Таким образом, x = 3, y = −5 — это корни системы уравнений.

Метод сложения

Данный способ предлагает умножить обе части выражений на такие коэффициенты, чтобы при сложении двух уравнений произошло взаимное уничтожение одной из переменных. После чего метод повторяет алгоритм школьного способа подстановки. Посмотрим на нашу систему:

  • 3x − y = 14
  • 5x + y = 10

Очевидно, что игреки имеют разные знаки, поэтому при сложении двух уравнений они взаимно уничтожатся, а в результате получим:

Далее алгоритм полностью повторяет школьный метод. Нам повезло, что в условии игреки изначально имели коэффициент 1 с противоположными знаками. Рассмотрим пример, когда это не так. Для этого обратим внимание на иксы и попробуем от них избавиться.

Для ликвидации иксов нам потребуется найти наименьшее общее кратное коэффициентов при иксах — НОК (3,5) = 15. Следовательно, нам потребуется умножить первое уравнение на 5, а второе на минус 3. Тогда в каждом равенстве мы получим коэффициент при иксе равный 15, но с разными знаками.

  • 15x − 5y = 70,
  • −15x − 3y = −30.

Теперь сложим эти уравнения и решим полученное равенство:

Как видим, результат идентичен полученным корням при расчете школьным методом.

Графический метод

Суть данного способа заключается в построении графиков функции уравнений на декартовой плоскости. Так как уравнения линейны, то график их функций − это всегда прямая линия. Точка пересечения прямых и будет решением СЛАУ. Если система несовместна и не имеет корней, то прямые уравнений будут параллельны, а если СЛАУ обладает бесконечным множеством решений, то графики будут совпадать и сливаться в одну прямую.

Использование СЛАУ

Системы линейных уравнений находят широкое применение во многих науках. Такие объекты встречаются в физике, экономике, электротехнике, метрологии, компьютерных играх или криптографии — везде, где используется математический аппарат. И если говорить о математике, то системы линейных уравнений используются для определения кривой регрессии в методе наименьших квадратов, в расчете собственных векторов матриц, сингулярном разложении или методе главных компонент.

Калькулятор решения СЛАУ

Наша программа решает системы линейных уравнений графическим способом. Калькулятор отрисовывает прямые, заданные линейными функциями и отыскивает их точку пересечения. Координаты этой точки вида (x; y) и есть корни системы уравнений. Для решений СЛАУ вам потребуется только ввести коэффициенты равенств в соответствующие ячейки.

Заключение

Системы линейных уравнений — наборы равенств, которые широко используются во всех областях науки. Для развязывания СЛАУ используйте наш калькулятор, который наглядно представит графическое решение системы уравнений.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в высшей математике

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

  1. Число уравнений не равно числу неизвестных.
  2. Если в правиле Крамера .

Введем следующие понятия:

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.

Матрица , состоящая из элементов матрицы и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей.

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т. е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули.

Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы, и она приобретает треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения -ую неизвестную, с помощью обратного хода получают значения всех неизвестных.

Пример №4.2.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к треугольному виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .

Подставим во второе уравнение системы: ; .

После подстановки и в первое уравнение получим: ; ; . Итак, , , .

Проверка:

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: , , .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Лекция Системы линейных алгебраических уравнений

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений

2. 1. Правило Крамера

Рассмотрим систему трёх линейных алгебраических уравнений, когда число неизвестных равно числу уравнений, т.е. систему вида

  (1)

где   коэффициенты системы,   свободные члены ,   неизвестные.

Будем считать, что определитель системы, составленный из коэффи-циентов системы (главный определитель), отличен от нуля, т.е.

Предположим, что система (1) совместна, т.е. имеет решение. Тогда умножим первое уравнение системы на , второе – на , третье – на  и сложим полученные выражения

 (2)

Первое выражение в скобках в левой части полученного соотношения (2) представляет собой разложение главного определителя  системы по элементам первого столбца. Остальные выражения в скобках равны нулю, так как представляют собой разложение определителя, имеющего два одинаковых столбца (см. свойство 4). Например,

Тогда из выражения (2) получаем , где

Аналогично можно получить

  (3)

где

 

Определители  называются вспомогательными опреде-лителями системы (1).

Покажем теперь, что полученные значения неизвестных (3) на самом деле удовлетворяют системе уравнений (1).

Подставляя выражения (3) в систему (1), получим на примере первого уравнения

Аналогично можно показать и для двух оставшихся уравнений системы.

Таким образом, получаем следующий результат (правило Крамера).

Теорема.  Система уравнений (1) с главным определителем  имеет единственное решение, определяемое по формулам

где определители  получаются из главного определителя  системы уравнений заменой соответствующего столбца на столбец свобод-ных членов.

Замечание 1. Для системы линейных однородных уравнений

 (4)

все  и тогда, если , то система (4) имеет единст-венное нулевое решение  Отсюда следует: если система (4) обладает ненулевым решением, то её определитель равен нулю.

Замечание 2. Если же главный определитель системы (1) , тогда возможны следующие два случая:

1. Система несовместна, если, по крайней мере, один из вспомога-тельных определителей отличен от нуля;

2. Если же все определители системы равны нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, что возможно из равенств

либо такая система несовместна, например, в системе уравнений

все определители равны нулю, но система несовместна, что следует из ее вида. В этом случае для решения системы уравнений более целесообразно применить метод Гаусса, который будет рассмотрен далее.

Замечание 3. Правило Крамера справедливо для любого числа уравнений системы, т.е. системы вида

Здесь, если  то 

Пример 1. Используя правило Крамера, решить систему уравнений

Здесь 

откуда получаем 

2.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Рассмотрим ту же систему уравнений (1). Пусть коэффициент , чего всегда можно достигнуть, переставляя уравнения системы или меняя нумерацию неизвестных. Первое уравнение системы (1) умножим на  и сложим со вторым. Затем первое уравнение умножим на  и сложим с третьим, тогда получим

  (5)

Здесь  новые значения коэффициентов, полу-ченные после таких преобразований. Пусть , чего можно достигнуть, переставляя два последних уравнения системы. В противном случае, т.е. когда , сразу определяем неизвестную z, или получаем несов-местную систему. При таком условии второе уравнение системы (5) умно-жим на  и сложим с третьим уравнением, тогда получим

  (6)

В системе уравнений (6)  новые значения коэффициентов и здесь возможны следующие случаи:

1.  Затем найденное значение z подставляем во второе уравнение системы (6) и определяем у. Из первого уравнения, уже зная у и z, находим х.

2.  а . Тогда система (6) решений не имеет, т.е. система несовместна.

3.  и . В этом случае система (6) принимает вид

 (7)

Число уравнений в системе (7) меньше числа неизвестных. Оставим два неизвестных слева, например, х и у, а z перенесем в правую часть системы уравнений (7) и будем считать его произвольным числом. Получим

  (8)

Из системы (8) х и у выражаются через z и система имеет беско-нечное множество решений.

Пример 2. Систему уравнений из примера 1 решить методом Гаусса

Первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым уравнением, затем первое уравнение сложим с третьим, получим

 или 

Второе уравнение умножим на 3 и сложим с третьим:

Из третьего уравнения получим, из второго  и из пер-вого уравнения 

Пример 3. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений

Первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на 3 и сложим с третьим, получим

откуда

 

Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому в этом случае (см. замечание 1) определитель данной системы уравнений должен быть равен нулю. Проверьте!

    Скачать с Depositfiles 

11.1: Системы линейных уравнений — две переменные

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он получает от продажи своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

Введение в системы уравнений

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align *} 2x + y & = 15 \\ 3x – y & = 5 \ end {align *} \]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара \ ((4,7) \) является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

\ [\ begin {align *} 2 (4) + (7) & = 15 \ text {True} \\ 3 (4) — (7) & = 5 \ text {True} \ end {align *} \ ]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. Непротиворечивая система уравнений имеет по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается , независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали. Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости.Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые точки пересечения y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

  • Независимая система имеет ровно одну пару решений \ ((x, y) \). Точка пересечения двух линий — единственное решение.
  • Несогласованная система не имеет решения.Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
  • У зависимой системы бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) сравниваются графические представления каждого типа системы.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

Для системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
  2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара \ ((5,1) \) решением данной системы уравнений.

\ [\ begin {align *} x + 3y & = 8 \\ 2x − 9 & = y \ end {align *} \]

Решение

Подставляем упорядоченную пару \ ((5,1) \) в оба уравнения.

\ [\ begin {align *} (5) +3 (1) & = 8 \\ 8 & = 8 \ text {True} \\ 2 (5) −9 & = (1) \\ 1 & = 1 \ text {True} \ end {align *} \]

Упорядоченная пара \ ((5,1) \) удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому она является решением системы.

Анализ

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, является ли упорядоченная пара \ ((8,5) \) решением следующей системы.

\ [\ begin {align *} 5x − 4y & = 20 \\ 2x + 1 & = 3y \ end {align *} \]

Ответ

Не выход.

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графика

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

\ [\ begin {align *} 2x + y & = −8 \\ x − y & = −1 \ end {align *} \]

Решение

Решите первое уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 2x + y & = −8 \\ y & = −2x − 8 \ end {align *} \]

Решите второе уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} x − y & = −1 \\ y & = x + 1 \ end {align *} \]

Изобразите оба уравнения на том же наборе осей, как на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

Кажется, что линии пересекаются в точке \ ((- 3, −2) \). Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

\ [\ begin {align *} 2 (−3) + (- 2) & = −8 \\ −8 & = −8 \ text {True} \\ (−3) — (- 2) & = — 1 \\ −1 & = −1 \ text {True} \ end {align *} \]

Решением системы является упорядоченная пара \ ((- 3, −2) \), поэтому система независима.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Решите следующую систему уравнений, построив график.

\ [\ begin {align *} 2x − 5y & = −25 \\ −4x + 5y & = 35 \ end {align *} \]

Ответ

Решением системы является упорядоченная пара \ ((- 5,3) \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

Вопросы и ответы

Можно ли использовать построение графиков, если система несовместима или зависима?

Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы для определения типа системы и решения. Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы решить для второй переменной. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как: решить систему двух уравнений с двумя переменными, используя метод подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

\ [\ begin {align *} −x + y & = −5 \\ ​​2x − 5y & = 1 \ end {align *} \]

Решение

Сначала мы решим первое уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} −x + y & = — 5 \\ y & = x − 5 \ end {align *} \]

Теперь мы можем подставить выражение \ (x − 5 \) вместо \ (y \) во втором уравнении.

\ [\ begin {align *} 2x − 5y & = 1 \\ 2x − 5 (x − 5) & = 1 \\ 2x − 5x + 25 & = 1 \\ −3x & = −24 \\ x & = 8 \ end {align *} \]

Теперь мы подставляем \ (x = 8 \) в первое уравнение и решаем относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} — (8) + y & = −5 \\ ​​y & = 3 \ end {align *} \]

Наше решение — \ ((8,3) \).

Проверьте решение, подставив \ ((8,3) \) в оба уравнения.

\ [\ begin {align *} −x + y & = −5 \\ ​​- (8) + (3) & = −5 \ text {True} \\ 2x − 5y & = 1 \\ 2 (8) −5 (3) & = 1 \ text {True} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

\ [\ begin {align *} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x − 2y \ end {align *} \]

Ответ

\ ((- 2, −5) \)

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент \ (1 \) или \ (- 1 \), чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — метод сложения. В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как: решить систему уравнений, используя метод сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную.Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

\ [\ begin {align *} x + 2y & = −1 \\ −x + y & = 3 \ end {align *} \]

Решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент при \ (x \) во втором уравнении, \ (- 1 \), противоположен коэффициенту при \ (x \) в первом уравнении, \ (1 \). Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить \ (x \), не умножая его на константу.

\ [\ begin {align *} x + 2y & = -1 \\ \ underline {-x + y} & = \ underline {3} \\ 3y & = 2 \\ \ end {align *} \]

Теперь, когда мы исключили \ (x \), мы можем решить полученное уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align *} \]

Затем мы подставляем это значение вместо \ (y \) в одно из исходных уравнений и решаем относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} −x + y & = 3 \\ −x + \ dfrac {2} {3} & = 3 \\ −x & = 3- \ dfrac {2} {3} \\ — x & = \ dfrac {7} {3} \\ x & = — \ dfrac {7} {3} \ end {align *} \]

Решение этой системы — \ (\ left (- \ dfrac {7} {3}, \ dfrac {2} {3} \ right) \).

Проверьте решение в первом уравнении.

\ [\ begin {align *} x + 2y & = −1 \\ \ left (- \ dfrac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) & = \\ — \ dfrac {7} {3} + \ dfrac {4} {3} & = — \ dfrac {3} {3} \\ −1 & = −1 \; \; \; \; \; \; \; \; \ text {True} \ end {align *} \]

Анализ

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление. См. Рисунок \ (\ PageIndex {6} \), чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

\ [\ begin {align *} 3x + 5y & = −11 \\ x − 2y & = 11 \ end {align *} \]

Решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную. Однако мы видим, что в первом уравнении есть \ (3x \), а во втором уравнении есть \ (x \).Итак, если мы умножим второе уравнение на \ (- 3 \), члены x прибавятся к нулю.

\ [\ begin {align *} x − 2y & = 11 \\ −3 (x − 2y) & = — 3 (11) \; \; \; \; \; \; \; \; \ text {Умножаем обе части на} −3. \\ −3x + 6y & = −33 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ text {Используйте свойство дистрибутива. } \ end {align *} \]

А теперь добавим их.

\ [\ begin {align *} 3x + 5y & = -11 \\ \ underline {-3x + 6y} & = \ underline {-33} \\ 11y & = -44 \\ y & = -4 \ end {align *} \]

На последнем этапе мы подставляем \ (y = −4 \) в одно из исходных уравнений и решаем относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} 3x + 5y & = −11 \\ 3x + 5 (−4) & = −11 \\ 3x − 20 & = −11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

Наше решение — упорядоченная пара \ ((3, −4) \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {7} \). Проверьте решение в исходном втором уравнении.

\ [\ begin {align *} x − 2y & = 11 \\ (3) −2 (−4) & = 3 + 8 \\ & = 11 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ text {True} \ end {align *} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Решите систему уравнений сложением.

\ [\ begin {align *} 2x − 7y & = 2 \\ 3x + y & = −20 \ end {align *} \]

Ответ

\ ((- 6, −2) \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \): Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

\ [\ begin {align *} 2x + 3y & = −16 \\ 5x − 10y & = 30 \ end {align *} \]

Решение

Одно уравнение имеет \ (2x \), а другое — \ (5x \).Наименьшее общее кратное — \ (10x \), поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Исключим \ (x \), умножив первое уравнение на \ (- 5 \), а второе уравнение на \ (2 \).

\ [\ begin {align *} −5 (2x + 3y) & = −5 (−16) \\ −10x − 15y & = 80 \\ 2 (5x − 10y) & = 2 (30) \\ 10x −20y & = 60 \ end {align *} \]

Затем мы складываем два уравнения.

\ [\ begin {align *} -10x-15y & = 80 \\ \ underline {10x-20y} & = \ underline {60} \\ -35y & = 140 \\ y & = -4 \ end {align *} \]

Подставляем \ (y = −4 \) в исходное первое уравнение.

\ [\ begin {align *} 2x + 3 (−4) & = — 16 \\ 2x − 12 & = −16 \\ 2x & = −4 \\ x & = — 2 \ end {align *} \ ]

Решение: \ ((- 2, −4) \). Проверьте это в другом уравнении.

\ [\ begin {align *} 5x − 10y & = 30 \\ 5 (−2) −10 (−4) & = 30 \\ −10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align *} \]

См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Пример \ (\ PageIndex {7} \): Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

\ [\ begin {align *} \ dfrac {x} {3} + \ dfrac {y} {6} & = 3 \\ \ dfrac {x} {2} — \ dfrac {y} {4} & = 1 \ end {align *} \]

Решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

\ [\ begin {align *} 6 \ left (\ dfrac {x} {3} + \ dfrac {y} {6} \ right) & = 6 (3) \\ 2x + y & = 18 \\ 4 \ left (\ dfrac {x} {2} — \ dfrac {y} {4} \ right) & = 4 (1) \\ 2x − y & = 4 \ end {align *} \]

Теперь умножьте второе уравнение на \ (- 1 \), чтобы мы могли исключить переменную x .

\ [\ begin {align *} −1 (2x − y) & = −1 (4) \\ −2x + y & = −4 \ end {align *} \]

Добавьте два уравнения, чтобы исключить переменную \ (x \), и решить полученное уравнение.

\ [\ begin {align *} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = −4 \\ 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align *} \]

Подставим \ (y = 7 \) в первое уравнение.

\ [\ begin {align *} 2x + (7) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ dfrac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align *} \]

Решение: \ (\ left (\ dfrac {11} {2}, 7 \ right) \).Проверьте это в другом уравнении.

\ [\ begin {align *} \ dfrac {x} {2} — \ dfrac {y} {4} & = 1 \\ \ dfrac {\ dfrac {11} {2}} {2} — \ dfrac { 7} {4} & = 1 \\ \ dfrac {11} {4} — \ dfrac {7} {4} & = 1 \\ \ dfrac {4} {4} & = 1 \ end {align *} \ ]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Решите систему уравнений сложением.

\ [\ begin {align *} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align *} \]

Ответ

\ ((10, −4) \)

Выявление несовместимых систем уравнений, содержащих две переменные

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что противоречивая система состоит из параллельных линий с одинаковым наклоном, но с разными точками пересечения по оси Y. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например \ (12 = 0 \).

Пример \ (\ PageIndex {8} \): решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

\ [\ begin {align *} x & = 9−2y \\ x + 2y & = 13 \ end {align *} \]

Решение

Мы можем подойти к этой проблеме двумя способами.Поскольку одно уравнение для \ (x \) уже решено, наиболее очевидным шагом является использование подстановки.

\ [\ begin {align *} x + 2y & = 13 \\ (9−2y) + 2y & = 13 \\ 9 + 0y & = 13 \\ 9 & = 13 \ end {align *} \]

Ясно, что это утверждение противоречит тому, что \ (9 ≠ 13 \). Следовательно, у системы нет решения.

Второй подход заключается в том, чтобы сначала манипулировать уравнениями так, чтобы они оба были в форме пересечения наклона. Мы манипулируем первым уравнением следующим образом.

\ [\ begin {align *} x & = 9−2y \\ 2y & = −x + 9 \\ y & = — \ dfrac {1} {2} x + \ dfrac {9} {2} \ end { выровнять *} \]

Затем мы преобразуем второе уравнение в форму пересечения наклона.

\ [\ begin {align *} x + 2y & = 13 \\ 2y & = −x + 13 \\ y & = — \ dfrac {1} {2} x + \ dfrac {13} {2} \ end { выровнять *} \]

Сравнивая уравнения, мы видим, что они имеют одинаковый наклон, но разные \ (y \) — точки пересечения. Следовательно, линии параллельны и не пересекаются.

\ [\ begin {align *} y & = — \ dfrac {1} {2} x + \ dfrac {9} {2} \\ y & = — \ dfrac {1} {2} x + \ dfrac {13} {2} \ end {align *} \]

Анализ

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны.Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек. Графики уравнений в этом примере показаны на рисунке \ (\ PageIndex {9} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align *} 2y − 2x & = 2 \\ 2y − 2x & = 6 \ end {align *} \]

Ответ

Нет решения. Это противоречивая система.

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию. Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или добавления результирующее уравнение будет тождественным, например \ (0 = 0 \).

Пример \ (\ PageIndex {9} \): поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения .

\ [\ begin {align *} x + 3y & = 2 \\ 3x + 9y & = 6 \ end {align *} \]

Решение

С помощью метода сложения мы хотим исключить одну из переменных, добавив уравнения. В этом случае давайте сосредоточимся на удалении \ (x \). Если мы умножим обе части первого уравнения на \ (- 3 \), то мы сможем исключить переменную x.

\ [\ begin {align *} x + 3y & = 2 \\ (−3) (x + 3y) & = (−3) (2) \\ −3x − 9y & = −6 \ end {align * } \]

Теперь сложите уравнения.

\ [\ begin {align *} -3x-9y & = -6 \\ \ underline {+ \ space 3x + 9y} & = \ underline {6} \\ 0 & = 0 \\ \ end {align *} \ ]

Мы видим, что будет бесконечное количество решений, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Анализ

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

\ [\ begin {align *} x + 3y & = 2 \\ 3y & = −x + 2 \\ y & = — \ dfrac {1} {3} x + \ dfrac {2} {3} \\ 3x + 9y & = 6 \\ 9y & = — 3x + 6 \\ y & = — \ dfrac {3} {9} x + \ dfrac {6} {9} \\ y & = — \ dfrac {1} {3 } x + \ dfrac {2} {3} \ end {align *} \]

См. Рисунок \ (\ PageIndex {10} \).Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы: \ (\ left (x, — \ dfrac {1} {3} x + \ dfrac {2} {3} \ right) \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align *} y − 2x & = 5 \\ −3y + 6x & = −15 \ end {align *} \]

Ответ

Система зависима, поэтому существует бесконечное число решений вида \ ((x, 2x + 5) \).

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела. Функция дохода производителя скейтборда — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес. Его можно представить уравнением \ (R = xp \), где \ (x \) = количество и \ (p \) = цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на рисунке \ (\ PageIndex {11} \).

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги. Функция стоимости показана синим цветом на рисунке \ (\ PageIndex {11} \).Ось \ (x \) представляет количество в сотнях единиц. Ось \ (y \) представляет затраты или доход в сотнях долларов.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \)

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности. Из графика видно, что если произведено \ (700 \) единиц, то стоимость составит \ (3,300 долларов США \), а выручка также составит \ (3,300 долларов США \). Другими словами, компания разоряется, даже если они производят и продают \ (700 \) единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль.Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записываемая как \ (P (x) = R (x) −C (x) \). Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример \ (\ PageIndex {10} \): поиск точки безубыточности и функции прибыли с помощью замены

Учитывая функцию затрат \ (C (x) = 0,85x + 35,000 \) и функцию дохода \ (R (x) = 1.55x \), найдите точку безубыточности и функцию прибыли.

Решение

Напишите систему уравнений, используя \ (y \) вместо обозначения функций.

\ [\ begin {align *} y & = 0,85x + 35,000 \\ y & = 1,55x \ end {align *} \]

Подставьте выражение \ (0.85x + 35,000 \) из первого уравнения во второе уравнение и решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} 0,85x + 35,000 & = 1,55x \\ 35,000 & = 0,7x \\ 50,000 & = x \ end {align *} \]

Затем мы подставляем \ (x = 50,000 \) либо в функцию затрат, либо в функцию дохода.

\ (1,55 (50 000) = 77 500 \)

Точка безубыточности равна \ ((50,000,77,500) \).

Функция прибыли находится по формуле \ (P (x) = R (x) −C (x) \).

\ [\ begin {align *} P (x) & = 1,55x- (0,85x + 35,000) \\ & = 0,7x-35,000 \ end {align *} \]

Функция прибыли равна \ (P (x) = 0,7x − 35 000 \).

Анализ

Стоимость производства \ (50 000 \) единиц составляет \ (77 500 долларов США \), а выручка от продажи \ (50 000 \) единиц также составляет \ (77 500 долларов США \).Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более \ (50 000 \) единиц. См. Рисунок \ (\ PageIndex {12} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

Из графика на рисунке \ (\ PageIndex {13} \) видно, что функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока \ (x = 50,000 \) не пересечет график \ (x \) — ось. Затем график переходит в положительные \ (y \) — значения и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна \ (0 \).Область слева от точки безубыточности представляет собой убыточную операцию.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

Пример \ (\ PageIndex {11} \): запись и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет \ (25 долларов США) для детей и \ (50 долларов США) для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет \ (2,000 \), а общий доход от ворот составляет \ (70,000 $ \). Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Решение

Пусть \ (c \) = количество детей и \ (a \) = количество присутствующих взрослых.

Общее количество человек \ (2,000 \). Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение количества людей в цирке в тот день.

\ (с + а = 2,000 \)

Доход от всех детей можно найти, умножив \ (25,00 $ \) на количество детей \ (25c \). Доход от всех взрослых можно найти, умножив \ (50,00 $ \) на количество взрослых \ ​​(50a \). Общий доход составляет \ (70 000 долларов). Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение дохода.

\ (25c + 50a = 70,000 \)

Теперь у нас есть система линейных уравнений с двумя переменными.

\ (с + а = 2,000 \)

\ (25c + 50a = 70,000 \)

В первом уравнении коэффициент при обеих переменных равен \ (1 \). Мы можем быстро решить первое уравнение для \ (c \) или \ (a \). Будем решать относительно \ (a \).

\ [\ begin {align *} c + a & = 2,000 \\ a & = 2,000 − c \ end {align *} \]

Подставьте выражение \ (2,000 − c \) во второе уравнение для a и решите относительно \ (c \).

\ [\ begin {align *} 25c + 50 (2,000-c) & = 70,000 \\ 25c + 100,000-50c & = 70,000 \\ -25c & = -30,000 \\ c & = 1,200 \ end {align *} \]

Подставьте \ (c = 1,200 \) в первое уравнение, чтобы найти \ (a \).

\ [\ begin {align *} 1,200 + a & = 2,000 \\ a & = 800 \ end {align *} \]

Мы обнаружили, что \ (1200 \) детей и \ (800 \) взрослых купили билеты в цирк в тот день.

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Билеты в цирк стоят \ (4 доллара США) для детей и (12 долларов США) для взрослых. Если бы было куплено \ (1650 \) билетов на питание на общую сумму \ (14 200 долларов \), сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

Ответ

\ (700 \) дети, \ (950 \) взрослые

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с системами линейных уравнений.

Ключевые концепции
  • Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
  • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. См. Пример \ (\ PageIndex {1} \).
  • Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
  • Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей. См. Пример \ (\ PageIndex {2} \).
  • Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение. См. Пример \ (\ PageIndex {3} \).
  • Третий метод решения системы линейных уравнений — это сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.См. Пример \ (\ PageIndex {4} \).
  • Часто необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений. См. Пример \ (\ PageIndex {5} \), Пример \ (\ PageIndex {6} \) и Пример \ (\ PageIndex {7} \).
  • Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются. См. Пример \ (\ PageIndex {8} \).
  • Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию. См. Пример \ (\ PageIndex {9} \).
  • Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли. См. Пример \ (\ PageIndex {10} \) и Пример \ (\ PageIndex {11} \).

3: Решение линейных систем — математика LibreTexts

3: Решение линейных систем — математика LibreTexts Перейти к основному содержанию
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
Без заголовков
  • 3. 1: Линейные системы с двумя переменными и их решения
    Реальные приложения часто моделируются с использованием нескольких переменных и более одного уравнения. Система уравнений состоит из двух или более уравнений с одинаковыми переменными. В этом разделе мы изучим линейные системы, состоящие из двух линейных уравнений с двумя переменными в каждой.
  • 3.2: Решение линейных систем с двумя переменными
    В этом разделе мы рассмотрим полностью алгебраический метод решения систем, метод подстановки11.Идея состоит в том, чтобы решить одно уравнение относительно одной из переменных и подставить результат в другое уравнение. После выполнения этого шага замены у нас остается одно уравнение с одной переменной, которое можно решить с помощью алгебры.
  • 3.3: Приложения линейных систем с двумя переменными
    Если мы переведем приложение в математическую систему с использованием двух переменных, то нам нужно сформировать линейную систему с двумя уравнениями. Создание словесных задач с двумя переменными часто упрощает весь процесс, особенно когда отношения между переменными не так ясны.
  • 3.4: Решение линейных систем с тремя переменными
    Мы можем решить системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом исключения. Если процесс решения системы приводит к ложному утверждению, то система непоследовательна и не имеет решения. Если процесс решения системы приводит к истинному утверждению, то система зависима и имеет бесконечно много решений.
  • 3.5: Матрицы и исключение Гаусса
    Линейная система в верхней треугольной форме может быть легко решена с помощью обратной подстановки.Расширенная матрица коэффициентов и метод исключения Гаусса могут использоваться для упрощения процесса решения линейных систем.
  • 3.6: Детерминанты и правило Крамера
    Квадратная матрица — это матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов. В этом разделе мы обрисовываем еще один метод решения линейных систем с использованием специальных свойств квадратных матриц. Вэнь представил определитель и показал, как правило Крамера можно использовать для эффективного определения решений линейных систем.
  • 3.7: Решение систем неравенств с двумя переменными
    Система неравенств состоит из набора из двух или более неравенств с одинаковыми переменными. Неравенства определяют условия, которые необходимо учитывать одновременно.
  • 3.E: Решение линейных систем

Алгебра — Системы уравнений

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 7: Системы уравнений

Это довольно короткая глава, посвященная решению систем уравнений.Система уравнений — это набор уравнений, каждое из которых содержит одну или несколько переменных.

Мы сосредоточимся исключительно на системах двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными, хотя методы, рассматриваемые здесь, могут быть легко распространены на большее количество уравнений. Также, за исключением последнего раздела, мы будем иметь дело только с системами линейных уравнений.

Вот список тем в этом разделе.

Линейные системы с двумя переменными — В этом разделе мы будем решать системы из двух уравнений и двух переменных.Мы будем использовать метод подстановки и метод исключения для решения систем в этом разделе. Мы также введем понятия несовместных систем уравнений и зависимых систем уравнений.

Линейные системы с тремя переменными — В этом разделе мы рассмотрим несколько быстрых примеров, иллюстрирующих, как использовать метод подстановки и метод исключения, представленные в предыдущем разделе, применительно к системам из трех уравнений.

Расширенные матрицы — в этом разделе мы рассмотрим другой метод решения систем.Мы познакомим вас с концепцией расширенной матрицы. Это позволит нам использовать метод исключения Гаусса-Жордана для решения систем уравнений. Мы будем использовать метод с системами из двух уравнений и с системами из трех уравнений.

Подробнее о расширенной матрице — В этом разделе мы еще раз рассмотрим случаи несовместимых и зависимых решений систем и способы их идентификации с помощью метода расширенной матрицы.

Нелинейные системы — В этом разделе мы кратко рассмотрим решение нелинейных систем уравнений.Нелинейная система уравнений — это система, в которой хотя бы одно из уравнений не является линейным, т.е. имеет степень два или более. Отметим также, что здесь обсуждаются не все возможные методы решения нелинейных систем. Решение нелинейных систем часто представляет собой гораздо более сложный процесс, чем решение линейных систем.

Решение линейных уравнений высшего порядка с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Часто мы хотим найти одну упорядоченную пару, которая является решением двух различных линейных уравнения.Один из способов получить такую ​​упорядоченную пару — построить график двух уравнений на одном наборе осей и определение координат точки, в которой они пересекаются.

Пример 1

Изобразите уравнения


х + у = 5


х — у = 1

на том же наборе осей и определите упорядоченную пару, которая является решением для каждого уравнение.

Решение

Используя метод построения графика с перехватом, мы обнаруживаем, что две упорядоченные пары, которые решения x + y = 5 равны

(0, 5) и (5, 0)

И две упорядоченные пары, которые являются решениями

x — y = 1

(0, -1) и (1,0)

Показаны графики уравнений.

Точка пересечения — (3, 2). Таким образом, (3, 2) должны удовлетворять каждому уравнению.

Фактически, 3 + 2 = 5 и 3 — 2 = 1

В целом графические решения являются приблизительными. Разработаем методики для точных решений в следующих разделах.

Считается, что линейные уравнения, рассматриваемые вместе таким образом, образуют систему уравнения. Как и в приведенном выше примере, решение системы линейных уравнений может быть одной упорядоченной парой. Компоненты этой упорядоченной пары удовлетворяют каждому из два уравнения.

Некоторые системы не имеют решений, в то время как другие имеют бесконечное количество решений. ции. Если графики уравнений в системе не пересекаются, то есть если линии параллельны (см. рис. 8.1a) — уравнения считаются несовместными , и не является упорядоченной парой, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Если графики уравнений имеют вид той же линии (см. рис. 8.1b), уравнения считаются зависимыми от , и каждое упорядоченная пара, удовлетворяющая одному уравнению, будет удовлетворять обоим уравнениям.Заметь когда система несовместима, наклон линий такой же, но y-перехваты разные. Когда система зависима, наклоны и пересечения по оси Y такие же.

В нашей работе нас в первую очередь будут интересовать системы, имеющие один-единственный решение, которые считаются непротиворечивыми и независимыми. График такой система показана в решении Примера 1.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ I

Мы можем решать системы уравнений алгебраически.Более того, решения, которые мы получить алгебраическими методами точны.

Система в следующем примере — это система, которую мы рассматривали в разделе 8. 1. на странице 335.

Пример 1

Решить


х + у = 5 (1)


х — у = 1 (2)

Решение
Мы можем получить уравнение с одной переменной, сложив уравнения (1) и (2)

Решение полученного уравнения относительно x дает

2x = 6, х = 3

Теперь мы можем заменить x на 3 либо в уравнении (1), либо в уравнении (2), чтобы получить соответствующее значение y.В этом случае мы выбрали уравнение (1) и получили

(3) + у = 5

г = 2

Таким образом, решение x = 3, y = 2; или (3, 2).

Обратите внимание, что мы просто применяем свойство сложения равенства, чтобы мы могли получить уравнение, содержащее единственную переменную. Уравнение с одной переменной, вместе с любым из исходных уравнений, то образует эквивалентную систему решение которого легко получить.

В приведенном выше примере мы смогли получить уравнение с одной переменной с помощью сложение уравнений (1) и (2), поскольку члены + y и -y являются отрицательными значениями каждого разное. Иногда необходимо умножить каждый член одного из уравнений на -1, чтобы члены одной переменной имели противоположные знаки.

Пример 2

Решить

2a + b = 4 (3)

а + Ь = 3 (4)

Решение


Начнем с умножения каждого члена уравнения (4) на -1, чтобы получить

2a + b = 4 (3)

-a — b = — 3 (4 ‘)

, где + b и -b отрицательны друг другу.

Символ ‘, называемый «простым», указывает на эквивалентное уравнение; то есть уравнение, которое имеет те же решения, что и исходное уравнение.Таким образом, уравнение (4 ‘) эквивалентно уравнению (4). Теперь складывая уравнения (3) и (4 ‘), получаем

Подставляя 1 вместо a в уравнении (3) или уравнении (4) [скажем, в уравнении (4)], мы получаем

1 + Ь = 3

б = 2

, и наше решение — a = 1, b = 2 или (1, 2). Когда переменные a и b, упорядоченная пара представлена ​​в виде (a, b).

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ II

Как мы видели в разделе 8. 2, решение системы уравнений сложением зависит от одна из переменных в обоих уравнениях с коэффициентами, отрицательными друг с другом.Если это не так, мы можем найти эквивалентные уравнения, которые действительно имеют переменные с такими коэффициентами.

Пример 1

Решите систему

-5x + 3y = -11

-7x — 2y = -3

Решение


Если мы умножим каждый член уравнения (1) на 2 и каждый член уравнения (2) на 3, получаем эквивалентную систему

(2) (-5x) + (2) (3y) = (2) (- ll)

(3) (-7x) — (3) (2y) = (3) (- 3)

или

-10x + 6y = -22 (1 ‘)

-21x — 6y = -9 (2 ‘)

Теперь, сложив уравнения (1 ‘) и (2’), мы получим

-31x = -31

х = 1

Подстановка 1 вместо x в уравнении (1) дает

-5 (1) + 3у = -11

3y = -6

у = -2

Решение: x = 1, y = -2 или (1, -2).

Обратите внимание, что в уравнениях (1) и (2) члены, включающие переменные, находятся в левый член, а постоянный член находится в правом члене. Мы будем ссылаться таким договоренностям, как стандартный бланк для систем. Удобно расположить системы в стандартном виде, прежде чем приступить к их решению. Например, если мы хочу решить систему

3у = 5х — 11

-7x = 2г — 3

, мы сначала напишем систему в стандартной форме, добавив -5x к каждому члену уравнения (3) и добавлением -2y к каждому члену уравнения (4).Таким образом, получаем

-5x + 3y = -11

-lx — 2y = -3

, и теперь мы можем продолжить, как показано выше.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЗАМЕНЫ

В разделах 8.2 и 8.3 мы решали системы уравнений первой степени с двумя вариациями. способностей методом сложения. Другой метод, называемый методом подстановки, также могут быть использованы для решения таких систем.

Пример 1

Решите систему

-2x + y = 1 (1)

х + 2у = 17 (2)

Решение

Решая уравнение (1) относительно y через x, получаем

y = 2x + 1 (1 ‘)

Теперь мы можем заменить y 2x + 1 в уравнении (2), чтобы получить

х + 2 (2х + 1) = 17

х + 4х + 2 = 17

5x = 15

x = 3 (продолжение)

Подставляя 3 вместо x в уравнении (1 ‘), мы получаем

у = 2 (3) + 1 = 7

Таким образом, решение системы: x = 3, y = 7; или (3, 7).

В приведенном выше примере было легко выразить y явно через x, используя Уравнение (1). Но мы также могли бы использовать уравнение (2) для явной записи x в терминах из

х = -2у + 17 (2 ‘)

Теперь подставляя — 2y + 17 вместо x в уравнении (1), мы получаем

Подставляя 7 вместо y в уравнение (2 ‘), мы получаем

х = -2 (7) + 17 = 3

Решение системы снова (3, 7).

Обратите внимание, что метод подстановки полезен, если мы можем легко выразить одну переменную с точки зрения другой переменной.

ПРИЛОЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДВЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Если две переменные связаны одним уравнением первой степени, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Но если две переменные связанных двумя независимыми уравнениями первой степени, может быть только одна упорядоченная пара, которая является решением обоих уравнений. Таким образом, для решения задач с помощью двух переменных, мы должны представить две независимые зависимости с помощью двух уравнений . Часто мы можем легче решать проблемы с помощью системы уравнений, чем с помощью используя одно уравнение с одной переменной.Мы будем следовать указанным шести шагам на стр. 115, с небольшими изменениями, как показано в следующем примере.

Пример 1

Сумма двух чисел равна 26. Чем больше число, тем больше 2, чем в три раза больше меньшее количество. Найдите числа.

Решение

Шаги 1-2
Мы представляем то, что хотим найти, в виде двух словесных фраз. Тогда мы представляют словосочетания в терминах двух переменных.
Меньшее число: x
Большое число: y

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы должны написать два уравнения, представляющих сформулированные условия.


Сумма двух чисел равна 26.

Шаг 5 Чтобы найти числа, решаем систему

х + у = 26 (1)

у = 2 + 3х (2)

Поскольку уравнение (2) показывает y явно через x, мы решим систему следующим образом: метод подстановки. Подставляя 2 + 3x вместо y в уравнение (1), мы получаем

х + (2 + 3х) = 26

4x = 24

х = 6

Подставляя 6 вместо x в уравнении (2), мы получаем

у = 2 + 3 (6) = 20

Шаг 6 Меньшее число — 6, большее — 20.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Два уравнения, рассматриваемые вместе, образуют систему уравнений . Решение обычно одна упорядоченная пара. Если графики уравнений представляют собой параллельных линии , уравнения считаются несовместимыми ; если графики представляют собой ту же линию , уравнения считаются зависимыми .

  2. Мы можем решить систему уравнений методом сложения , если сначала напишем система в стандартной форме , в которой термины, включающие переменные, находятся в левый член, а постоянный член находится в правом члене.

  3. Мы можем решить систему уравнений методом подстановки , если одна переменная в по крайней мере одно уравнение в системе сначала явно выражается через другое Переменная.

  4. Мы можем решать текстовые задачи, используя две переменные, представляя два независимых отношения двумя уравнениями.

Математика 388: Описание курса

Учебник:

Линейная алгебра, 3-е издание , Ларри Смит.

Мы обязательно рассмотрим первые четырнадцать глав текста, но иногда пропускаем несколько разделов. Мы также постараемся осветить некоторые из последующих глав (гл. 15–18), если позволит время.

Обратите внимание, что мы будем работать над развитием ваших навыков самостоятельного чтения по математике и вашей способности изучать и использовать определения и теоремы. Я определенно не смогу охватить в классе весь материал, который вам потребуется выучить. В результате вам придется много читать.Задания для чтения будут посвящены темам, которые будут обсуждаться в следующей лекции, чтобы вы могли задать конкретные вопросы в классе и лучше понять материал.



Описание курса:

Охваченные темы: Мы рассмотрим векторные пространства, линейные преобразования, матрицы, элементарные матричные операции, системы линейных уравнений, детерминанты, диагонализацию, собственные подпространства и пространства внутренних произведений. Темы могут меняться в зависимости от успеваемости в классе, а различные темы могут быть пропущены из-за нехватки времени.

Для многих из вас это будет первый курс математики, в котором используется более сложный математический подход, чем в ваших стандартных курсах по математике. Помимо курса линейной алгебры, это один из первых курсов, где вас попросят написать аргумент для решения проблемы. То есть придется писать «пруфы». Большинство, если не все, из вас должны иметь опыт работы с этим через MATH 239 или Honors Math II, Introduction to Mathematical Proof.Мы будем делать значительное количество доказательств, и к концу этого курса все должны быть довольны процессом.

Понятия линейной алгебры являются фундаментальными почти во всей высшей математике. В курсах математики понятие функции — это то, к чему приходит после изучения графиков и простого механического движения в физике и удаления информации, которая не является существенной для выполнения вычислений. Точно так же концепции векторного пространства, линейности и других тем, изучаемых в линейной алгебре, — это то, что происходит от удаления ненужной информации, связанной с решением одновременных уравнений, изучением систем дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений высшего порядка, многомерного исчисления, а также физика трехмерного (или четырехмерного) пространства и продвинутые эконометрические модели.Так же, как функция представляет собой более высокий уровень абстракции, чем величина, которую представляет функция, векторные пространства более абстрактны, чем функции, уравнения или физические или экономические ситуации, которые они представляют.



Экзамены и выставление оценок:

Ваша общая оценка будет определяться следующим образом:

  • 25% — Домашнее задание и участие в классе
  • 25% — Экзамен 1
  • 25% — Экзамен 2
  • 25% — Заключительный экзамен

Ваша общая оценка за курс будет отражать, насколько хорошо успевает класс, и будет высокой, если все усердно работают над домашним заданием и хорошо сдают экзамены. Многие вопросы на экзамене будут в том же духе, что и вопросы домашних заданий. Таким образом, понимание того, как выполнять все домашние задания, поможет вам хорошо сдать экзамены.


Домашнее задание: Будут регулярные домашние задания, которые необходимо сдать до 20:00 в установленный срок. Перейдите по этой ссылке, чтобы ознакомиться с описанием домашних заданий. Обращаем ваше внимание, что вас НАСТОЯТЕЛЬНО ПРИЗЫВАЮТ РАБОТАТЬ В ГРУППАХ по 2–3 человека. Тем не менее, каждый учащийся должен написать собственное домашнее задание.Более того, каждый студент должен набирать домашнее задание с помощью LaTeX.


Экзамены: Будет проводиться два промежуточных экзамена и один заключительный экзамен. Экзамены — это закрытая книга, закрытые заметки, закрытые друзья и открытый мозг. Калькуляторы, мобильные телефоны, плееры iPod и другие электронные устройства НЕ допускаются к экзаменам. Даты экзаменов будут определены за неделю или две.


Участие в классе: Участие в классе будет зависеть от вашей готовности ЗАДАВАТЬ и ОТВЕТИВАТЬ вопросы в классе.В определенное время будет проводиться активное обсуждение, и вам также необходимо будет представить классу некоторые доказательства. Крайне важно, чтобы вы выполняли задания по чтению. Это поможет вам ответить на мои вопросы и задать более важные, наводящие на размышления вопросы во время лекций.



Дополнительная справка:

Важно не отставать, ведь каждая лекция основана на предыдущей работе. Если у вас возникли проблемы с каким-либо материалом, НЕМЕДЛЕННО ОБРАТИТЕСЬ ЗА ПОМОЩЬЮ следующими способами:

  • СПРОСИТЕ МЕНЯ! (в классе или в частном порядке),
  • Одним из лучших ресурсов могут быть ваши сокурсники!

Если возникнут трудности, немедленно обращайтесь за помощью — не ждите пока не станет слишком поздно оправиться от отставания или непонимания концепция!

Математика

КУРС 0950 АЛГЕБРА I

Алгебра I предназначена для студентов, которые учатся на первом или втором курсе и являются обязательными для получения диплома.Этот курс является первым из нескольких курсов специальной математики. Студенты будут не только работать с действительными числами, решать уравнения, многочлены и разложить на множители, но и делать упор на алгебраические дроби и их применение. Этот курс, который является подготовительным курсом к алгебре II, будет включать линейные уравнения и системы, неравенства, рациональные и иррациональные числа, квадратные уравнения и общий язык алгебры.

КУРС 1050 ГЕОМЕТРИЯ

Пререквизиты: Алгебра I

Этот класс разработан в соответствии с выпускными экзаменами по математике.Введение в формальное доказательство начинается в самой первой главе, а за ним следуют уроки дедуктивного и индуктивного мышления, косвенных доказательств и тригонометрии. Алгебраические навыки пересматриваются и укрепляются. Геометрия важна как для студентов, готовящихся к колледжу, так и для студентов, не готовящихся к колледжу, которые интересуются технической карьерой, например электроникой.

КУРС 1150 АЛГЕБРА II

Пререквизиты: Алгебра I, геометрия

Этот курс предназначен для студентов, поступающих в колледж, и требуется большинством двух- и четырехлетних колледжей для регулярного поступления.Помимо расширения математических представлений алгебры I, упор будет сделан на подготовку к изучению высшей математики. Темы включают факторинг, систему комплексных чисел, квадратные уравнения и неравенства, построение графиков, показатели степени, биномиальную теорему, логарифмы и тригонометрию.

КУРС 1155 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Пререквизиты: алгебра I, геометрия

Этот курс предназначен для студентов, которые приобрели вычислительные навыки и некоторые алгебраические и геометрические понятия.Студенты будут применять эти концепции к нестандартным задачам, используя моделирующие и манипулятивные материалы. Темы включают те, которые относятся к реальной математике (потребительская, карьера, спорт, бизнес / промышленность) с концепциями, разработанными в процессе решения задач с использованием компьютера и / или графического калькулятора в качестве инструмента. Этот курс может быть использован для получения третьего кредита по математике, необходимого для получения диплома, но он не соответствует требованиям для поступления в колледж по алгебре II.

КУРС 1350 ТЕМ ПО РАСШИРЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ

Пререквизиты: Алгебра I, геометрия, алгебра II

Описание курса: Цель этого курса состоит в изучении, обогащении, поддержании и совершенствовании ранее приобретенных навыков перед колледжем.В этом курсе рассматривается широкий спектр тем, включая: аналитическую геометрию, геометрию пространства, отношения и функции, включая тригонометрию, матрицы, векторы, последовательности, ряды, вероятность, графики в трех измерениях, а также введение в проблемы с ограничениями и скоростью изменения. Соответствующее использование графического калькулятора будет интегрировано на протяжении всего курса.

КУРС 1120 AP CALCULUS

Уровень обучения: 11 th или 12 th

Пререквизиты: углубленные темы по математике

Этот курс охватывает дифференциацию и интеграцию алгебраических и трансцендентных функций, специальные методы дифференцирования, расширенную интеграцию техники, и применение того и другого.Исчисление рекомендуется всем студентам, планирующим карьеру, связанную с математикой. Кредит Advanced Placement может быть получен по индивидуальной договоренности.

Как решить систему линейных уравнений с дополнительным параметром?

(Для получения дополнительной информации о матрицах, векторах, векторных произведениях и других связанных темах ознакомьтесь с нашей серией электронных книг по линейной алгебре.)

Сегодня Коннор задал следующий вопрос, связанный с системой линейных уравнений с дополнительным параметром:

Учитывая что $ x_1 + hx_2 = 4 $ и $ 3x_1 + 6x_2 = 8 $, найдите все пары вида $ (x_1, x_2) $, удовлетворяющие обоим уравнениям.

Хорошо … Что нам делать с этими дополнительными $ h $? Что ж, читайте дальше!

Нам с самого начала дана эта система линейных уравнений:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (a) \\ 3x_1 + 6x_2 = 8 & (b) \ end {cases}

Что делать? Что ж, мы можем попытаться решить эту систему линейных уравнений, сначала рассматривая $ h $ как обычный коэффициент, и посмотреть, к чему это приведет нас, когда мы будем действовать разумно. Во-первых, разделив уравнение $ (b) $ на $ 3 $ с обеих сторон, получим следующую эквивалентную систему:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (1) \\ x_1 + 2x_2 = \ frac {8} { 3} & (2) \ end {ases}

Превращая уравнение 2 и в $ (2) — (1) $, получаем:

\ begin {align *} \ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 \\ (2-h) x_2 = \ frac {8} {3} -4 \ end {cases} \ qquad & \ Leftrightarrow \ qquad \ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (3) \\ ( h-2) x_2 = 4- \ frac {8} {3} = \ frac {4} {3} & (4) \ end {cases} \ end {align *}

На данный момент наша последняя система по-прежнему эквивалент исходному (т.е.е., $ (a) $ и $ (b) \ iff (3) $ и $ (4) $). А с $ (4) $ мы определенно на один шаг ближе к решению для $ x_2 $. Но прежде чем мы это сделаем, обратите внимание, что мы не можем решить для $ x_2 $, переместив $ h-2 $ вправо, если $ h-2 = 0 $ (т.е. $ h = 2 $). Тогда откроются две банки с червями…

Замените $ h $ на 2 в уравнениях $ (3) $ и $ (4) $, появится следующая система:

\ begin {cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 0 = \ frac {4} {3} \ end {cases}

Ой. Противоречие. Такого не может быть ни в коем случае, поэтому в данном случае нет решения.

На самом деле, нам даже не нужно переходить к $ (3) $ и $ (4) $, чтобы увидеть это. Это потому, что если мы просто подключим 2 к $ h $ к тому времени, когда мы дойдем до $ (1) $ и $ (2) $, мы получим следующую систему:

\ begin {cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ x_1 + 2x_2 = \ frac {8} {3} \ end {ases}

который, как мы видим, уже представляет собой систему, уравнения которой противоречат друг другу. Здесь — картинка стоит тысячи слов:

Понимаете … это потому, что они параллельны друг другу. Значит, точки пересечения нет!

Как только вышеупомянутое тривиальное препятствие будет устранено, мы можем перейти к чему-то более серьезному.Для записи, вот последняя система, которая у нас есть:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (3) \\ (h-2) x_2 = 4 — \ frac {8} {3} = \ frac {4} {3} & (4) \ end {ases}

Поскольку $ h \ ne 2 $ now, $ h-2 \ ne 0 $. Таким образом, мы можем разделить уравнение $ (4) $ на $ h-2 $ с обеих сторон, и в этом случае мы получим:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (5) \\ x_2 = \ frac {4} {3 (h-2)} & (6) \ end {ases}

Наконец, если мы превратим $ (5) $ в $ (5) -h (6) $, мы получим очень аккуратный система взамен:

\ begin {cases} x_1 = 4 — \ frac {4h} {3 (h-2)} = \ frac {8h-24} {3h-6} & (7) \\ x_2 = \ frac {4} {3 (h-2)} = \ frac {4} {3h-6} & (8) \ end {cases}

Итак, для каждые $ h \ ne 2 $ мы получаем уникальный пара решений вида $ \ left (\ dfrac {8h-24} {3h-6}, \ dfrac {4} {3h-6} \ right) $.

Некоторые иллюстрации

Например, если $ h = 0 $, то исходная система принимает вид:

\ begin {cases} x_1 = 4 \\ 3x_1 + 6x_2 = 8 \ end {ases}

В этом случае, единственное решение:

$$ \ left (\ frac {8h-24} {3h-6}, \ frac {4} {3h-6} \ right) _ {h = 0} = \ left (4 , — \ frac {2} {3} \ right) $$

Вот изображение:

Точка пересечения находится в $ (4, — \ frac {2} {3}) $.

И в случае, когда $ h = 10 $, исходная система принимает вид:

\ begin {cases} x_1 + 10x_2 = 4 \\ 3x_1 + 6x_2 = 8 \ end {ases}

В этом случае единственное решение будет:

$$ \ left (\ frac {8h-24} {3h-6}, \ frac {4} {3h-6} \ right) _ {h = 10} = \ left (\ frac {56 } {24}, \ frac {4} {24} \ right) = \ left (\ frac {7} {3}, \ frac {1} {6} \ right) $$

Еще раз изображение:

Обратите внимание, как уравнение 1 st (красная линия) повернулось против часовой стрелки примерно на $ (4,0) $ при увеличении h.Точка пересечения теперь находится в $ \ displaystyle \ left (\ frac {7} {3}, \ frac {1} {16} \ right) $.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.