Решите неравенство x+3>=2 (х плюс 3 больше или равно 2)

Шаг 1. Введите неравенство

Укажите решение неравенства: x+3>=2 (множество решений неравенства)

Решение

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

$$x + 3 \geq 2$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$x + 3 \geq 2$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + 3 = 2$$
Решаем:
Дано линейное уравнение:

x+3 = 2

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + 3 \geq 2$$
$$- \frac{11}{10} + 3 \geq 2$$

19     
-- >= 2
10     

но

19    
-- 
Тогда
$$x \leq -1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq -1$$
         _____  
        /
-------•-------
       x1

Решение неравенства на графике

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

$$-1 \leq x \wedge x

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

$$x \in \left[-1, \infty\right)$$

Решите неравенство (x+1)*(x+3)*(x-2)

Дано неравенство:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) \left(x — 2\right) Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) \left(x — 2\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) \left(x — 2\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 2 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2$$
Получим ответ: x1 = 2
2.
$$x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x2 = -1
3.
$$x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3$$
Получим ответ: x3 = -3
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -3$$
Данные корни
$$x_{3} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) \left(x — 2\right) $$\left(- \frac{31}{10} + 1\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right) \left(- \frac{31}{10} — 2\right)

-1071     
------ 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x 
 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > -1 \wedge x 

Решите неравенство 3-x>0 (3 минус х больше 0)

Шаг 1. Введите неравенство

Укажите решение неравенства: 3-x>0 (множество решений неравенства)

Решение

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

$$- x + 3 > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$- x + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- x + 3 = 0$$
Решаем:
Дано линейное уравнение:

3-x = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

-x = -3

Разделим обе части ур-ния на -1

x = -3 / (-1)

$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{29}{10}$$
=
$$\frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$- x + 3 > 0$$

    29    
3 - -- > 0
    10    

1/10 > 0

значит решение неравенства будет при:
$$x

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Решение неравенства на графике

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

$$-\infty

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

$$x \in \left(-\infty, 3\right)$$

Решите неравенство x^3+2>0 (х в кубе плюс 2 больше 0)

Дано неравенство:
$$x^{3} + 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} + 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{3} + 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 — не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/3

Получим ответ: x = (-2)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = — \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} — \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = \sqrt[3]{-2}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$0^{3} + 2 > 0$$

2 > 0

зн. неравенство выполняется всегда

Решите неравенство 3-4*x>0 (3 минус 4 умножить на х больше 0)

Шаг 1. Введите неравенство

Укажите решение неравенства: 3-4*x>0 (множество решений неравенства)

Решение

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

$$- 4 x + 3 > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$- 4 x + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 x + 3 = 0$$
Решаем:
Дано линейное уравнение:

3-4*x = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

-4*x = -3

Разделим обе части ур-ния на -4

x = -3 / (-4)

$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{13}{20}$$
=
$$\frac{13}{20}$$
подставляем в выражение
$$- 4 x + 3 > 0$$

    4*13    
3 - ---- > 0
     20     

2/5 > 0

значит решение неравенства будет при:
$$x

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Решение неравенства на графике

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

$$-\infty

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

$$x \in \left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$$