Решение уравнений вида a + x = b
Урок №1
Тема: “Решение уравнений вида, а+х=в”
Цель: создание условий для способствующих расширению понятий учащихся об уравнениях.
Задачи:
- Сформировать представления учащегося об уравнении как о предложении с переменной.
- Учить находить неизвестный компонент (слагаемое) действий с комментированием о выполняемой операции по алгоритму, называя компонент действия.
- Отрабатывать вычислительные навыки.
- Познакомить с алгебраическим способом решения задач.
- Развивать мышление, математическую речь учащихся, исследовательские навыки работа в группах, парах.
Оборудование: карточки с математическими выражениями, план исследования, рабочий лист, план ответа для работы в группах, мультимедийная презентация.
Ход урока
I. Организованный момент.
Перемена пролетела,
Дверь певуче заскрипела.
Мы вошли тихонько в класс
И урок начнём сейчас.
II. Актуализация знаний с последующей мотивацией.
На доске следующая запись.
Вставьте числа, чтобы получить верные равенства и расшифруйте слово.
29-*=8у
36-*=2в
*+13=19е
78-*=5н
32+*39р
55-*=53и
77-*=72н
21+*-29е
50+*=59а
| 1 | 7 | 9 | 4 | 3 | 6 | 5 | 2 | 8 |
— Как называются выражения, записанные на доске? (Уравнения)
— Что такое уравнение? (Это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти)
III. Сообщение темы урока
— Кто из вас может назвать тему нашего урока? (Решение уравнений)
— Что значит решить уравнение? (Значит найти такое значение буквы (корень), чтобы равенство стало верным)
— Какими способами мы умеем находить корень? (Способом подбора; на основе взаимосвязи между компонентами действий; при помощи использования основных свойств равенств)
Задание №1
1. Выпишите в 1 столбик все неравенства, во 2 – все равенства, в 3 – все уравнения.
| 5+2<8 | 7-3=4 | 9-1>3+2 | |
| 3<4+5 | k+7=12 | 8<9 | 2+a=7 |
| 8+1=10-1 | 5+x=8 | k+7<9 |
2. Дополни предложения.
Числа, которые складываются, называются … (слагаемые)
Математический знак при сложении … (плюс)
Выражение со знаком “плюс” … (сумма)
Составьте по данной сумме выражение на нахождение неизвестного слагаемого.
| 4+3=7 | 5+4=9 |
| 7-4=3 | 9-5=4 |
| 7-3=4 | 9-4=5 |
Сделаем вывод: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо …
3. А сейчас научимся правильно оформлять решение уравнений вида а+х=в.
Учебник Моро 3 кл.(1-4) с. 7 № 2.
Х+6=38
Х=38-6
Х=32
Проверка:
32+6=38
38=38
Ответ: х=32
IV. Физминутка
Если это неравенство – руки вверх.
Если это уравнение – маршируем.
Если это выражение – на месте руки в стороны.
V. Работа по учебнику
1) Матем. 3(1-4) 1 ч. С. 7 №3.
Х+18=42
64+d=82
Решаем по вариантам.
Проверка у доски с объявление.
VI. Решение задач
Раздел математики, который изучает уравнение, называется … (алгеброй)
Вот определение, которое есть в математическом справочнике.
Алгебра – наука, которая изучает вопросы уравнений и неравенств.
Как вы думаете, а можно ли задачу решить уравнением. Этот способ называется. алгебраическим.
Задача.
В двух коробках лежало 48 карандашей. В одной коробке 12 карандашей. Сколько карандашей во 2-й коробке?
I к – 12 кар.
II к — ? кар.
_________
48 кар.
12+х=48
VII. Работа в группах
(У каждой группы своё задание, план исследования, рабочий лист, план ответа)
План исследования.
- Внимательно рассмотри задание. Какая в нём особенность?
- Решите уравнение. Сколько способов нашли?
- Объясните, как вы узнали, что число является корнем уравнения?
- Сделайте вывод.
Вывод.
Мы решали уравнение … и установили, что корнем этого уравнения может быть …
Задания для групп.
1 группа. Выберите уравнение и решите его.
7+2=9
8+х>10
x+16=34
2 группа решает задачу уравнением.
У кошки родилось 5 котят. З из них была чёрные, а остальные рыжие. Сколько рыжих котят у кошки.
3 группа. Решить уравнение х+26=50.
VIII. Подведение итога. Подводя итог всей работе на уроке, я прошу вас ответить на следующие вопросы:
- я знаю, что …
- для меня самым трудным было …
- о чём я могу рассказать своему другу…
- для меня самым интересным было …
IX. Домашнее задание.
Придумать 2 своих уравнения на нахождение 1 слагаемого и 2 слагаемого.
Презентация
Решите уравнение a*x+b=c (a умножить на х плюс b равно c)
Найду корень уравнения: a*x+b=c
Виды выражений
Решение
Подробное решение[LaTeX]
Дано линейное уравнение:a*x+b = c
Переносим слагаемые с неизвестным x
из правой части в левую:
b - c + a*x = 0
Разделим обе части ур-ния на (b — c + a*x)/x
x = 0 / ((b - c + a*x)/x)
Получим ответ: x = (c — b)/a Быстрый ответ
[LaTeX]
/(-im(b) + im(c))*re(a) (-re(b) + re(c))*im(a)\ (-im(b) + im(c))*im(a) (-re(b) + re(c))*re(a)
x1 = I*|---------------------- - ----------------------| + ---------------------- + ----------------------
| 2 2 2 2 | 2 2 2 2
\ im (a) + re (a) im (a) + re (a) / im (a) + re (a) im (a) + re (a) $$x_{1} = i \left(- \frac{\left(- \Re{b} + \Re{c}\right) \Im{a}}{\left(\Re{a}\right)^{2} + \left(\Im{a}\right)^{2}} + \frac{\left(- \Im{b} + \Im{c}\right) \Re{a}}{\left(\Re{a}\right)^{2} + \left(\Im{a}\right)^{2}}\right) + \frac{\left(- \Re{b} + \Re{c}\right) \Re{a}}{\left(\Re{a}\right)^{2} + \left(\Im{a}\right)^{2}} + \frac{\left(- \Im{b} + \Im{c}\right) \Im{a}}{\left(\Re{a}\right)^{2} + \left(\Im{a}\right)^{2}}$$
Решение параметрического уравнения[LaTeX]
Дано уравнение с параметром:
$$a x + b = c$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a $$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a уравнение будет
$$b — c — x = 0$$
его решение
$$x = b — c$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$b — c = 0$$
его решение
Решите уравнение a*x^2+b*x+c=0 (a умножить на х в квадрате плюс b умножить на х плюс c равно 0)
$$c + a x^{2} + b x = 0$$
Подробное решение[LaTeX]
Это уравнение видаa*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
True
True
True
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(b)^2 - 4 * (a) * (c) = b^2 - 4*a*c
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{1}{2 a} \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 a} \left(- b — \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)$$ Быстрый ответ
[LaTeX]
// ________________________________________________________________ \ / ________________________________________________________________ \ \ / ________________________________________________________________ \ / ________________________________________________________________ \
|| / 2 / / 2 2 \\| | / 2 / / 2 2 \\| | | / 2 / / 2 2 \\| | / 2 / / 2 2 \\|
|| 4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/|| | 4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/|| | | 4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/|| | 4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/||
||-im(b) + \/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *sin|--------------------------------------------------------------||*re(a) |-re(b) + \/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *cos|--------------------------------------------------------------||*im(a)| |-im(b) + \/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *sin|--------------------------------------------------------------||*im(a) |-re(b) + \/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *cos|--------------------------------------------------------------||*re(a)
|\ \ 2 // \ \ 2 // | \ \ 2 // \ \ 2 //
x1 = I*|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| / 2 2 \ / 2 2 \ | / 2 2 \ / 2 2 \
\ 2*\im (a) + re (a)/ 2*\im (a) + re (a)/ / 2*\im (a) + re (a)/ 2*\im (a) + re (a)/ $$x_{1} = \frac{\Im{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} — \Im{b}\right) + \frac{\Re{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} — \Re{b}\right) + i \left(\frac{\Re{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} — \Im{b}\right) — \frac{\Im{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} — \Re{b}\right)\right)$$
// ________________________________________________________________ \ / ________________________________________________________________ \ \ / ________________________________________________________________ \ / ________________________________________________________________ \
|| / 2 / / 2 2 \\ | | / 2 / / 2 2 \\ | | | / 2 / / 2 2 \\ | | / 2 / / 2 2 \\ |
||4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/| | |4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/| | | |4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/| | |4 / 2 / 2 2 \ |atan2\-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b), re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/| |
||\/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *cos|--------------------------------------------------------------| + re(b)|*im(a) |\/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *sin|--------------------------------------------------------------| + im(b)|*re(a)| |\/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *cos|--------------------------------------------------------------| + re(b)|*re(a) |\/ (-4*im(a*c) + 2*im(b)*re(b)) + \re (b) - im (b) - 4*re(a*c)/ *sin|--------------------------------------------------------------| + im(b)|*im(a)
|\ \ 2 / / \ \ 2 / / | \ \ 2 / / \ \ 2 / /
x2 = I*|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| / 2 2 \ / 2 2 \ | / 2 2 \ / 2 2 \
\ 2*\im (a) + re (a)/ 2*\im (a) + re (a)/ / 2*\im (a) + re (a)/ 2*\im (a) + re (a)/ $$x_{2} = — \frac{\Im{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} + \Im{b}\right) — \frac{\Re{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} + \Re{b}\right) + i \left(- \frac{\Re{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} + \Im{b}\right) + \frac{\Im{a}}{2 \left(\Re{a}\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)}\right)^{2} + \left(\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{b} \Im{b} — 4 \Im{\left(a c\right)},\left(\Re{b}\right)^{2} — 4 \Re{\left(a c\right)} — \left(\Im{b}\right)^{2} \right )} \right )} + \Re{b}\right)\right)$$
Решение параметрического уравнения[LaTeX]
Дано уравнение с параметром:
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a $$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a уравнение будет
$$b x + c — x^{2} = 0$$
его решение
$$x = \frac{b}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + 4 c}$$
$$x = \frac{b}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + 4 c}$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$b x + c = 0$$
его решение
$$x = — \frac{c}{b}$$