| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) |
|
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) |
|
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | ||
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) |
|
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) |
|
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) |
|
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) |
|
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) |
|
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) |
|
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) |
|
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | cos((7pi)/6) | ||
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) |
|
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Внеклассный урок — Простейшие тригонометрические уравнения cos t = a, sin t = a, tg x = a, ctg x = a
Простейшие тригонометрические уравненияТригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).
Уравнение cos x = a.
Принцип:
arccos a = x. Следовательно, cos x = a. Условия: модуль а не больше 1; x не меньше 0, но не больше π (| a | ≤ 1; 0 ≤ x ≤ π) |
Формулы:
arccos (-a) = π – arccos a, где 0 ≤ a ≤ 1 |
Пример 1: Решим уравнение
√3
cos x = ——.
2
Решение.
Применим первую формулу:
√3
x = ± arccos —— + 2πk
2
Сначала находим значение арккосинуса:
√3 π
arccos —— = —
2 6
Осталось подставить этот число в нашу формулу:
π
x = ± —— + 2πk
6
Пример решен.
Пример 2: Решим уравнение
√3
cos x = – ——.
2
Решение.
Сначала применим первую формулу из таблицы:
√3
x = ± arccos (– —) + 2πk
2
Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:
√3 √3 π π π 6π π 5π
arccos (– ——) = π – arcos —— = π – — = — – — = — – — = ——
2 2 6 1 6 6 6 6
Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.
Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:
5π
x = ± —— + 2πk
6
Пример решен.
Уравнение sin x = a.
Принцип:
arcsin a = x, следовательно sin x = a. Условия: модуль а не больше 1; x в отрезке [-π/2; π/2] (| a | ≤ 1; –π/2 ≤ x ≤ π/2) |
Формулы.
(1 из 3)
x = π – arcsin a + 2πk
Эти две формулы можно объединить в одну:
(k – любое целое число; n – любое целое число; | a | ≤ 1) Значение четного n: n = 2k Значение нечетного n: n = 2k + 1 Если n – четное число, то получается первая формула. Если n – нечетное число, то получается вторая формула. |
√3
Пример 1: Решить уравнение sin x = ——
2
Решение.
Применяем первые две формулы:
√3
1) x = arcsin —— + 2πk
2
√3
2) x = π – arcsin —— + 2πk
2
Находим значение арксинуса:
√3 π
arcsin —— = —
2 3
Осталось подставить это значение в наши формулы:
π
1) x = — + 2πk
3
π 2π
2) x = π – — + 2πk = —— + 2πk
3 3
Пример решен.
Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.
Решение.
π
x = (–1)n — + πn
3
Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.
Пример решен.
(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:
Если sin x = 0, то x = πk Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πk Если sin x = –1, то x = –π/2 + 2πk |
Пример 1: Вычислим arcsin 0.
Решение.
Пусть arcsin 0 = x.
Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].
Синус 0 тоже равен 0. Значит:
x = 0.
Итог:
arcsin 0 = 0.
Пример решен.
Пример 2: Вычислим arcsin 1.
Решение.
Пусть arcsin 1 = x.
Тогда sin x = 1.
Число 1 на оси ординат имеет имя π/2.
Значит:
arcsin 1 = π/2.
Пример решен.
(3 из 3)
|
Пример: Решить уравнение
√3
sin x = – ——
2
Решение.
Применяем формулы:
√3
1) x = arcsin (– ——) + 2πk
2
√3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
2
Находим значение арксинуса:
√3 √3 π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
2 2 3
Подставляем это значение arcsin в обе формулы:
π
1) x = – — + 2πk
3
π π 4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π + — + 2πk = —— + 2πk
3 3 3
Пример решен.
Уравнение tg x = a.
Принцип:
arctg a = x, следовательно tg x = a. Условие: x больше –π/2, но меньше π/2 (–π/2 < x < π/2) |
Формулы.
(1)
x = arctg a + πk где k – любое целое число (k ∈ Z) |
(2)
|
Пример 1: Вычислить arctg 1.
Решение.
Пусть arctg 1 = x.
Тогда tg x = 1, при этом x ∈ (–π/2; π/2)
Следовательно:
π π
x = — при этом — ∈ (–π/2; π/2)
4 4
π
Ответ: arctg 1 = —
4
Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.
Решение.
Применяем формулу:
x = arctg (–√3) + πk
Решаем:
arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.
Подставляем:
x = –π/3 + πk.
Пример решен.
Уравнение ctg x = a.
Принцип:
arcctg a = x, следовательно ctg x = a. Условие: x больше 0, но меньше π (0 < x < π) |
Формулы.
(1)
x = arcctg a + πk (k ∈ Z) |
(2)
|
Пример 1: Вычислить arcctg √3.
Решение.
Следуем принципу:
arcctg √3 = х
ctg х = √3.
х = π/6.
Ответ: arcctg √3 = π/6
Пример 2: Вычислить arcctg (–1).
Решение.
Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:
arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.
Пример решен.
Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы
Арксинус, arcsin
Определение и обозначения
- Арксинус ( y = arcsin x )
- – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений –π/2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Арксинус иногда обозначают так:
.
График функции арксинус
График функции y = arcsin xГрафик арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccos
Определение и обозначения
- Арккосинус ( y = arccos x )
- – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График функции арккосинус
График функции y = arccos xГрафик арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Четность
Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Область определения и непрерывность | – 1 ≤ x ≤ 1 | – 1 ≤ x ≤ 1 |
| Область значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы | ||
| Минимумы | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
Таблица арксинусов и арккосинусов
В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| – 1 | – 90° | – | 180° | π |
| – | – 60° | – | 150° | |
| – | – 45° | – | 135° | |
| – | – 30° | – | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формулы
См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
См.
Вывод формул
Выражения через гиперболические функции
Производные
;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Интегралы
Делаем подстановку x = sin t. Интегрируем по частям, учитывая что –π/2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.
Выразим арккосинус через арксинус:
.
Разложение в ряд
При |x| < 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия
Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арксинусом числа a и обозначают x = arcsin a, если выполнены два условия:
Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арккосинусом числа a и обозначают x = arccos a, если выполнены два условия:
Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают x = arctg a, если выполнены два условия:
Рассмотрим произвольное число a .
Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают x = arcctg a, если выполнены два условия:
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:
| arcsin (– a) = – arcsin a , |
| arccos (– a) = = π – arccos a , |
| arctg (– a) = – arctg a , |
| arcctg (– a) = = π – arcctg a . |
Обратными тригонометрическими функциями называют функции:
Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.
Рис. 1. График функции y = arcsin x
Таблица значений функции y = arcsin x
Рис.
2. График функции y = arccos x
Таблица значений функции y = arccos x
Рис. 3. График функции y = arctg x
Таблица значений функции y = arctg x
Рис. 4. График функции y = arcctg x
Таблица значений функции y = arcctg x
Пример. Решить уравнение
2 arcsin 2x = arccos 7x .
Решение. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:
cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .
cos ( 2 arcsin 2x ) =
= 1 – 2sin2( arcsin 2x ) =
= 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .
В правой части уравнения получим:
cos ( arccos 7x ) = 7x.
Следовательно, возникает квадратное уравнение:
В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций y = arcsin x и y = arccos x имеет вид: , второй корень должен быть отброшен.
Ответ:
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
определение, формула, таблица, график, свойства
Определение
Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.
Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.
Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:
arcsin x = sin-1 x = y
Примечание: sin-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.
Например:
arcsin 1 = sin-1 1 = 90° (π/2 рад)
График арксинуса
Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤
Свойства арксинуса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.
Таблица арксинусов
| x | arcsin x (рад) | arcsin x (°) |
| -1 | -π/2 | -90° |
| -√3/2 | -π/3 | -60° |
| -√2/2 | -π/4 | -45° |
| -1/2 | -π/6 | -30° |
| 0 | 0 | 0° |
| 1/2 | π/6 | 30° |
| √2/2 | π/4 | 45° |
| √3/2 | π/3 | 60° |
| 1 | π/2 | 90° |
microexcel.ru
Урок 6. обратные тригонометрические функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №6. Обратные тригонометрические функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;
- Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;
- Объяснять расположение промежутков монотонности;
- Определять наибольшее и наименьшее значение функции;
- Применять знания при решении задач.
Глоссарий по теме
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений
Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений .
Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Актуализация знаний
Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.
Объяснение нового материала
Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).
Свойства | Функции y=arcsin х |
E(f) | |
D(f) | |
Чётность | Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x |
Промежутки монотонности | Возрастающая |
Рис.1 График функции y=arcsin х
Рассмотрим свойства функции y=arcos x и построим ее график.
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ).
Свойства | Функции y=arccos х |
E(f) | |
D(f) |
|
Чётность | Ни чётная, ни нечётная |
Промежутки монотонности | Убывающая |
Рис.2 График функции y=arccos х
Рассмотрим свойства функции y=arctgx и y=arcctgx и построим их графики.
Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).
Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ).
Свойства | y=arctg х | y=arcctg х |
E(f) | R | R |
D(f) | ||
Чётность | Нечётная | Нечётная |
Промежутки монотонности | Возрастающая | Убывающая |
Рис.3 График функции y=arctgx
Рис.4 График функции y=arcсtgx
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1.
Найдите значение выражения
Обозначим , по определения арктангенса получаем х=60°, т.е. нам нужно найти
Ответ:
Пример 2.
Решите неравенство
;
;
;
;
Накладываем ограничения по свойствам арксинуса:
;
Ответ:
Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2
Арксинусом числа \(a\) (\(a∈[-1;1]\)) называют число \(x∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\) синус которого равен \(a\) т.е.\(\arcsin a=x\) \(<=>\) \(\sin x=a\)
Примеры:
\(\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{π}{4}\) потому что \(\sin \frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}]\)
\(\arcsin 1=\frac{π}{2}\) потому что \(\sin\frac{π}{2}=1\) и \(\frac{π}{2}∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\)
\(\arcsin 0=0\) потому что \(\sin 0=0\) и \(0∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}] \)
\(\arcsin\sqrt{3}\) – не определен, потому что \(\sqrt{3}>1\)
Проще говоря, арксинус обратен синусу.
На круге это выглядит так:
Как вычислить арксинус?
Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac{π}{2}\) до \(\frac{π}{2}\) ) равен аргументу арксинуса?
Например, вычислите значение арксинуса:
а) \(\arcsin(-\frac{1}{2})\)
б) \(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})\)
в) \(\arcsin(-1)\)
а) Синус какого числа равен \(-\frac{1}{2}\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin x=-\frac{1}{2}\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac{π}{2}\) и \(\frac{π}{2}\). Ответ очевиден:
\(\arcsin(-\frac{1}{2})=-\frac{π}{6}\)
б) Синус какого числа равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac{π}{3}\).
\(\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{π}{3}\)
в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin x=-1\), \(x=\) ?
\(\arcsin(-1)=-\frac{π}{2}\)
Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:
Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)
Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin x=\frac{1}{2}\).
Это не вызывает затруднений:
\( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{6}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{5π}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.
А теперь решите уравнение: \(\sin x=\frac{1}{3}\).
Что тут будет ответом? Не \(\frac{π}{6}\), не \(\frac{π}{4}\), даже не \(\frac{π}{7}\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?
Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin\frac{1}{3}\), потому что известно, что синус равен \(\frac{1}{3}\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin\frac{1}{3}\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin\frac{1}{3}\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin\frac{1}{3}\).
Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{3}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{3}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) Без арксинусов решить уравнение \(\sin x=\frac{1}{3}\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin x=0,125\), \(\sin x=-\frac{1}{9}\), \(\sin x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:
С арксинусом – бесконечное количество.
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Решение:
Ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}\) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, получаем:
\(\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{π}{4}\)
Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac{π}{4}\).
Ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{4}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{3π}{4}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=\frac{7}{6}\).
Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin \frac{7}{6}+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac{7}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin\frac{7}{6}\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.
Ответ: решений нет.
Думаю, вы уловили закономерность.
Если \(\sin x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
Арксинус отрицательного числа
Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:
\(\arcsin({-a})=-\arcsin a\)
Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:
Примеры:
\(\arcsin(-0,7)=-\arcsin 0,7\)
\(\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{π}{6}\)
\(\arcsin(-\frac{\sqrt{7}}{2}) \neq -\arcsin\frac{\sqrt{7}}{2}\)
Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin(-\frac{\sqrt{7}}{2})\) в принципе неверна, ведь \(-\frac{\sqrt{7}}{2}<-1\), а значит арксинус от \(-\frac{\sqrt{7}}{2}\) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как \(\sqrt{-5}\) или \(\frac{3}{0}\).
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:
\( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
\( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
Но я фанатка круга, поэтому:
Ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.
Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения
2-1}) #
Две мнимые части являются отрицанием друг друга! Это означает, что # z # входят в комплексно сопряженные пары.
Учитывая # k = 0 #, когда мы сложим два корня вместе, мы получим # pi. # Другими словами, эти два корня, даже если они сложны, являются дополнительными углами, которые имеют один и тот же синус, как и действительные углы. Как и в случае реальных углов, мы можем добавлять или вычитать # 2pi # сколько угодно раз и получать другое число с тем же синусом.
Хорошо, давайте подключим # a = 2 # для большой отделки.2}}}}} = {\ frac {{\ frac {\ pi} {2}}} {1} — \ frac {0} {1}} = {\ frac {\ pi} {2}.} \ ]
Пример 9.
Используя цепное правило, выведите формулу производной обратной синусоидальной функции.Решение.
Функция \ (y \ left (x \ right) = \ arcsin x \) определена на открытом интервале \ (\ left ({- 1,1} \ right). \) Синус обратного синуса равен
\ [\ sin \ left ({\ arcsin x} \ right) = x. \]
Возьмем производную от обеих частей (левая часть рассматривается как составная функция).2}}}} = {\ frac {2} {5} \ text {sign} \ left ({- 3} \ right)} = {\ frac {2} {5} \ cdot \ left ({- 1} \ right)} = {- \ frac {2} {5}.} \]
КалькуляторArcsin. Нахождение обратной функции синуса.
С помощью этого калькулятора арксинуса (или калькулятора обратного синуса) у вас не будет проблем с поиском арксинуса в вашей задаче. Просто введите значение синуса для треугольника, и появится нужный угол. Единственное, что вам нужно запомнить, это ограниченная область арксинуса (−1 ≤ sine ≤ 1). Если вам интересно, , что такое арксинус или , как выглядит график arcsin x , не ждите больше — прокрутите вниз, и вы найдете ответы ниже! Мы также включили короткий абзац об отношениях арксинусов, таких как отношения между интегралом арксинуса и производной.И так, чего же ты ждешь?
Что такое арксинус?
Арксинус — это функция, обратная синусоиде. Другими словами, это помогает найти угол треугольника, который имеет известное значение синуса. Поскольку область синуса для действительных чисел равна [-1, 1], мы можем вычислить арксинус только для чисел в этом интервале.
Синус — периодическая функция, поэтому существует несколько чисел, которые имеют одинаковое значение синуса. Например, sin (0) = 0, но также sin (π) = 0, sin (2π) = 0, sin (-π) = 0 и sin (-326π) = 0.Следовательно, если кто-то хочет вычислить arcsin (0), ответ может быть 0, 2π (360 °) или -π (-180 °), чтобы назвать несколько вариантов! Все они верны, но обычно мы даем только одно число, называемое основным значением .
| Сокращение | Определение | Домен arcsin x для реального результата | Диапазон обычных основных значений |
|---|---|---|---|
| arcsin (x) sin -1 x, asin | х = грех (у) | -1 ≤ х ≤ 1 | -π / 2 ≤ y ≤ π / 2 -90 ° ≤ y ≤ 90 ° |
Arcsin (x) — наиболее распространенное обозначение, так как sin -1 x может привести к путанице (потому что sin -1 x ≠ 1 / sin (x)).Аббревиатура asin обычно используется в языках программирования.
График arcsin x
Поскольку синус основной функции не является взаимно однозначным, ее область должна быть ограничена, чтобы гарантировать, что арксинус также является функцией. Обычно выбирается область -π / 2 ≤ y ≤ π / 2. Это означает, что диапазон обратной функции будет равен диапазону основной функции; таким образом, диапазон функции arcsin равен [−π / 2, π / 2], а область arcsine находится между [−1,1]. Ниже вы можете найти график arcsin (x), а также некоторые часто используемые значения арксинуса:
| х | арксин (х) | График | |
|---|---|---|---|
| ° | рад | ||
| -1 | -90 ° | -π / 2 | Компьютерщик 3, CC BY-SA 4.0 через Wikimedia Commons |
| -√3 / 2 | -60 ° | -π / 3 | |
| -√2 / 2 | -45 ° | -π / 4 | |
| -1/2 | -30 ° | -π / 6 | |
| 0 | 0 ° | 0 | |
| 1/2 | 30 ° | π / 6 | |
| √2 / 2 | 45 ° | π / 4 | |
| √3 / 2 | 60 ° | π / 3 | |
| 1 | 90 ° | π / 2 | |
Хотите знать, откуда взялся этот график arcsin x? Его можно найти, отразив график sin (x) в диапазоне [-π / 2 π / 2] через линию y = x:
Jaro.p CC BY-SA 3.0, через Wikimedia CommonsОбратный синус, тригонометрические функции и другие отношения
Отношения между тригонометрическими функциями и арксинусом могут помочь вам лучше понять тему. Прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 — хорошая отправная точка.
Просто быстрое напоминание: для прямоугольного треугольника функция синуса принимает угол θ и возвращает отношение противоположности / гипотенузы, которое равно x в нашем примерном треугольнике.Функция обратного синуса, арксинус, принимает отношение противоположности / гипотенузы (x) и возвращает угол θ. Итак, зная, что для нашего треугольника arcsin (x) = θ, мы также можем записать, что:
- Синус:
sin (arcsin (x)) = x - Косинус:
cos (arcsin (x)) = √ (1-x²) - Касательная:
tan (arcsin (x)) = x / √ (1-x²)
Другие полезные отношения с арксинусом:
-
arcsin (x) = π / 2 - arccos (x) -
arcsin (-x) = -arcsin (x)
Иногда также нужны интеграл и производная от arcsin:
интеграл от arcsin:
arcsin (x) dx = x arcsin (x) + √ (1 - x²) + Cпроизводная от arcsin:
d / dx arcsin (x) = 1 / √ (1 - x²)где x ≠ -1, 1
Пример использования калькулятора arcsin
Арксинус — полезная функция e.грамм. в нахождении угла прямоугольного треугольника. Если вы ищете углы в прямоугольном треугольнике и знаете длины сторон, известная теорема Пифагора не будет столь полезной. Чтобы найти углы прямоугольного треугольника, нужно применить арксинус:
- для α:
sin (α) = a / c, поэтому α = arcsin (a / c) - для β:
sin (β) = b / c, поэтому β = arcsin (b / c)
Итак, предположим, что у нас есть два значения, заданные в прямоугольном треугольнике, a = 6 и c = 10, и мы хотели бы найти значение угла α:
- Введите значение, по которому вы хотите найти арксинус .В нашем случае это 6/10. Таким образом, вы можете ввести значение 0,6, но форма 6/10 также будет работать. Просто помните, что значение должно быть между -1 и 1.
- И … все! Калькулятор arcsin выполнил свою работу, и вы нашли арксинус своего значения . Теперь вы знаете, что арксинус (6/10) = 36,87 °
Отлично! Теперь, когда вы понимаете, что такое арксинус, может быть, вы захотите познакомиться с более продвинутыми приложениями тригонометрии? Например, закон синусов (тесно связанный с законом косинусов) является обязательным при решении задач треугольника.
Калькулятор — arcsin (2) — Solumaths
Описание:
Функция arcsin позволяет вычислять арксинус числа. Функция арксинуса является обратной функцией функции синуса.
arcsin онлайнОписание:
arcsine функция является обратной функцией синусоидальная функция, это позволяет вычислить арксинус числа онлайн .
Число, к которому вы хотите применить функцию арксинуса, должно принадлежать диапазону [-1,1].
- Расчет арксинуса
Чтобы вычислить арксинус числа, просто введите число и примените функция arcsin . Таким образом, для при вычислении арксинус числа, следующего за 0,4, необходимо ввести arcsin (`0,4`) или напрямую 0.2) `.
Функция arcsin позволяет вычислять арксинус числа. 2)`
Первоначальный арксинус:
Калькулятор первообразной функции арксинуса.2) `
Предел арксинуса:
Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арксинуса.
Предел для arcsin (x) равен limit_calculator (`» arcsin «(x)`)
Арксинус обратной функции:
Функция, обратная арксинусу , является синусоидальной функцией, отмеченной как sin.
Графическая арксинус:
Графический калькулятор может строить функцию арксинуса в интервале ее определения.
Свойство функции arcsine:
Функция арксинуса — нечетная функция.Расчет онлайн с помощью arcsin (арксинус)
кол-во номеров.arcsin — NumPy v1.20 Manual
Обратный синус, поэлементно.
- Параметры
- x array_like
y — координата на единичной окружности.
- из ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательно
Местоположение, в котором сохраняется результат. Если предусмотрено, оно должно иметь форма, которой транслируются входы. Если не указано или Нет, возвращается только что выделенный массив.Кортеж (возможно только как аргумент ключевого слова) должен иметь длину, равную количеству выходов.
- , где array_like, необязательно
Это условие транслируется по входу. В местах, где Условие равно True, массив out будет установлен в результат ufunc. В другом месте массив из сохранит свое исходное значение. Обратите внимание, что если неинициализированный массив из создается по умолчанию
out = None, местоположения внутри него, где условие False будет оставаться неинициализированным.- ** kwargs
Для других аргументов, содержащих только ключевые слова, см. ufunc docs.
- Возвращает
- angle ndarray
Обратный синус каждого элемента в x , в радианах и в закрытый интервал
[-pi / 2, pi / 2]. Это скаляр, если x — скаляр.
Банкноты
arcsin — многозначная функция: на каждые x приходится бесконечно
много чисел z таких, что.Конвенция заключается в
вернуть угол z , действительная часть которого лежит в [-pi / 2, pi / 2].
Для типов входных данных с действительным знаком arcsin всегда возвращает действительный вывод.
Для каждого значения, которое не может быть выражено действительным числом или бесконечностью,
он дает nan и устанавливает флаг ошибки с плавающей запятой недопустимый .
Для комплексных входных данных arcsin — это комплексная аналитическая функция, которая
по соглашению ветвь разрезает [-inf, -1] и [1, inf] и является
сплошной сверху на первом и снизу на втором.{-1}.
Список литературы
Абрамовиц М., Стегун И. А., Справочник по математическим функциям , 10-е издание, Нью-Йорк: Довер, 1964, стр. 79 и далее. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/
Примеры
>>> np.arcsin (1) # pi / 2 1,5707963267948966 >>> np.arcsin (-1) # -pi / 2 -1,5707963267948966 >>> np.arcsin (0) 0,0
Мощность Икс.
экспоненциальный / Логарифмический
Тригонометрический Тригонометрический Результат обратный Тригонометрический обратный Тригонометрический результат
Гиперболический Нажмите на доказательство для доказательства / обсуждения теоремы. |
Arcsin
Arcsine, записанный как arcsin или sin -1 (не путать с), является функцией обратного синуса. Синус имеет инверсию только в ограниченной области ≤x≤. На рисунке ниже часть графика, выделенная красным, показывает часть графика sin (x), которая имеет инверсию.
Область должна быть ограничена, потому что для того, чтобы функция имела инверсию, функция должна быть взаимно однозначной, что означает, что ни одна горизонтальная линия не может пересекать график функции более одного раза.Поскольку синус является периодической функцией, без ограничения области определения, горизонтальная линия будет периодически пересекать функцию бесконечно много раз.
Одно из свойств обратных функций состоит в том, что если точка (a, b) находится на графике функции f, точка (b, a) находится на графике ее обратной функции. Это фактически означает, что график обратной функции является отражением графика функции через линию y = x.
График y = arcsin (x) показан ниже.
Как видно из рисунка, y = arcsin (x) является отражением sin (x) в ограниченной области ≤x≤ через линию y = x.Область arcsin (x), -1≤x≤1, является диапазоном sin (x), а ее диапазон, ≤y≤, является областью sin (x).
Калькулятор арксинуса
Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение arccos числа от -1 до 1 или значение косинуса угла.
Использование специальных углов для поиска arcsin
Хотя мы можем найти значение арксинуса для любого значения x в интервале [-1, 1], существуют определенные углы, которые часто используются в тригонометрии (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° и их кратные и радианные эквиваленты), значения синуса и арксинуса которых, возможно, стоит запомнить.Ниже приведена таблица, показывающая эти углы (θ) как в радианах, так и в градусах, и их соответствующие значения синуса sin (θ).
Один из методов, который может помочь запомнить эти значения, — это выразить все значения sin (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° до 90 °, sin (0 °) = 0 =. Последующие значения sin (30 °), sin (45 °), sin (60 °) и sin (90 °) следуют шаблону, так что использование значения sin (0 °) в качестве эталона для нахождения значений синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже.
Значения синуса от 0 ° до -90 ° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin (θ) на основе положения θ в единичном круге, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный. в квадрантах III и IV.
После того, как мы запомнили значения или если у нас есть какая-то ссылка, становится относительно просто распознать и определить значения синуса или арксинуса для особых углов.
Обратные свойства
Как правило, функции и обратные им функции демонстрируют взаимосвязь
f (f -1 (x)) = x и f -1 (f (x)) = x
при условии, что x находится в области определения функции. То же самое верно для sin (x) и arcsin (x) в их соответствующих ограниченных областях:
sin (arcsin (x)) = x, для всех x в [-1, 1]
и
arcsin (sin (x)) = x для всех x в [,]
Эти свойства позволяют нам оценивать состав тригонометрических функций.
Состав арксинуса и синуса
Если x находится в пределах домена, вычислить комбинацию арксинуса и синуса относительно просто.
Состав других тригонометрических функций
Мы также можем составлять композиции, используя все другие тригонометрические функции: косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс.
Пример:
Найдите cos (arcsin ()).
Так как это не одно из соотношений для специальных углов, мы можем использовать прямоугольный треугольник, чтобы найти значение этой композиции.Учитывая arcsin () = θ, мы можем найти, что sin (θ) =. Правый треугольник ниже показывает θ и отношение его противоположной стороны к гипотенузе треугольника.
Чтобы найти косинус, нам нужно найти смежную сторону, так как cos (θ) =. Пусть b — длина соседней стороны. Используя теорему Пифагора,
3 2 + b 2 = 5 2
9 + b 2 = 25
б 2 = 16
б = 4
Мы знаем, что arcsin () = θ, поэтому мы можем переписать задачу и найти cos (θ), используя построенный выше треугольник и тот факт, что cos (θ) =:
cos (arcsin ()) = cos (θ) =
Тот же процесс можно использовать с выражением переменной.
Пример:
Найдите загар (arcsin (2x)).
Учитывая arcsin (2x) = θ, мы можем найти, что sin (θ) =, и построить следующий треугольник:
Чтобы найти касательную, нам нужно найти смежную сторону, так как tan (θ) =. Пусть b — длина соседней стороны. Используя теорему Пифагора,
(2x) 2 + b 2 = 1 2
4x 2 + b 2 = 1
b 2 = 1 — 4x 2
б =
и
tan (arcsin (2x)) = tan (θ) =, где Арксинус также можно использовать для решения тригонометрических уравнений, включающих синусоидальную функцию. Использование арксинуса для решения тригонометрических уравнений