Функции y=n√x, их свойства и графики. Видеоурок. Алгебра 11 Класс
Напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
Например: , т. к.
;

Из определения следует важный вывод:
На множестве значений существует функция
при
, т. е. при любом натуральном n, не равном единице.
Вспомним, что называется функцией.
Определение:
Функцией называется закон соответствия, по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие единственное значение функции у.
Рассмотрим исследуемую функцию при

Рис. 1. График функции
Очевидно, что представленный график (Рис. 1.) проходит через точки (1;1), (4;2), (9;3) и т. д.
Чтобы избавиться от корня, возведем функцию в квадрат, наложив условие на у:
Рассмотрим две функции. Первая –




interneturok.ru
Число e. Функция y=e^x, ее свойства, график, дифференцирование
Напомним, что показательной называется функция вида
Рис. 1. График показательной функции
График функции возрастает, если ; если основание
лежит в пределах
то функция убывает.
Вспомним основные свойства.
1.
2. может принимать любые положительные значения;
3. Графики всех функций при любом значении
проходят через эту точку;
4. Функция возрастает, если ;
5. Функция убывает, если .
Итак, мы вспомнили, что такое показательная функция и каковы ее основные свойства.
Число
Рассмотрим две конкретные показательные функции с основанием
Вот график функции :
Рис. 2. График функции
Вот график функции
Рис. 3. График функции
В точке , если проведем касательную к одному и второму графику, обнаружим, что касательная к первому графику наклонена к оси
примерно на
(меньше
Во втором случае касательная наклонена к оси примерно на
(больше
).
Предполагаем, и вообще это доказано, что существует между основаниями такое число
, что график



Рис. 4. Касательная к графику функции
Итак, в первом случае касательная наклонена под углом меньше , во втором случае касательная наклонена под углом больше








Теперь рассмотрим свойства показательной функции с основанием
График функции выглядит так:
Рис. 5. График функции
Свойства аналогичны свойствам функции с основанием:
;
Функция возрастает;
Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу;
Не существует ни наибольшего ни наименьшего
значений;
Функция непрерывна;
Принимает все значения, когда ;
Функция выпукла вниз;
Функция дифференцируема. Что это значит практически? Что касательную к экспоненте можно провести в любой точке.
Таковы свойства данной функции.
Поговорим о производной этой функции. Что мы на данный момент о ней знаем и без доказательства понимаем?
Мы говорили, что функция дифференцируема. Это значит, что касательная в любой точке существует, то есть производная существует в любой точке. Но как ее найти? Мы знаем, что производная в точке
Доказан важный факт:
При любом действительном значении
То есть отсюда видна особенность числа
. Производная, то есть скорость роста функции
в точке
равна значению функции в этой же точке. Это основная формула, которая позволит нам дифференцировать все показательные функции.
Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на производную функции
Пример 1.
Дано:
Найти: Производную
Решение.
Вот основная формула , мы умеем дифференцировать сложную функцию.
Ответ:=
Пример 2.
Дано:
Найти: Производную
Решение.
По тем же правилам, по которым мы дифференцируем все функции, продифференцируем и эту.
Ответ:=
Итак, зная основную формулу , мы можем решать примеры на нахождение производных.
Следующая стандартная задача на касательную.
Пример 3.
Дано:, абсцисса точки касания
;
Найти: Уравнение касательной к данной кривой с абсциссой в .
Решение.
Вспоминаем уравнение касательной и стандартную методику ее построения:
Какие действия нужно сделать, чтобы составить уравнение касательной?
Найти координаты точки касания:
Итак, точка с координатами – это точка касания (рис. 6).
Рис. 6. Точка касания
Найти производную в любой точке
Найти конкретное значение производной в точке :
У нас все есть, чтобы заполнить уравнение касательной.
Заполняем, получаем:
Ответ:
Небольшой анализ:
Тангенс угла наклона
Ордината пересечения точки с осью :
Задача решена.
Пример 4.
Найти наименьшее значение функции.
Решение.
Имеем производную произведения:
Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что , так как по свойству показательной функции
всегда больше нуля.
Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).
Рис. 7. Критическая точка
Если , то
и функция убывает. Если
, то
.
Мы уже говорили, что – единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:
Рис. 8. Точка наименьшего значения функции
И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке . Рис. 8.
Ответ:
Итак, мы познакомились с числом , показательной функцией с основанием
. На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием
.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Uztest.ru (Источник).
- Schoolife.ru (Источник).
- Terver.ru (Источник).
Домашнее задание
1. Найти производные функция в указанных точках:
а) ;
б) .
2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой
:
а) ;
б) .
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1616, 1618, 1621, 1624.
interneturok.ru
Степенная функция y=x(-2n), ее свойства и график. Видеоурок. Алгебра 9 Класс
Тема: Числовые функции
Урок: Степенная функция её свойства и график
На этом уроке мы начнем рассматривать степенную функцию с отрицательным показателем.
Сначала мы познакомимся с функцией т.е. с функциями вида:
Рассмотрим график функции
Можно воспользоваться таблицей, а можно проанализировать уже известные нам графики (рис. 1,2).
Изучая графики функций можно себе представить, как будет выглядеть график функции
(рис. 3).
Функция четная, поэтому мы можем изучить и изобразить график на луче и симметрично отобразить относительно оси y.
Если xвозрастает, то и возрастает, а
убывает.
При функция не существует.
Прочтем график.
Если то у возрастает,
Если то у убывает,
1.
2. Функция четная, График симметричен относительно оси y.
3. Функция убывает на луче и возрастает на луче
4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Функция непрерывна на луче и на луче
interneturok.ru
Функция y=x^n
Определение:
Функцию,
заданную формулой ,
называют степенной функцией с натуральным показателем, где x —
независимая переменная, а n
-
натуральное число.
Например:
Существуют два случая степенной функции: с чётным показателем и с нечётным показателем.
Рассмотрим пример: найти на рисунке степенные функции с чётным показателем и с нечётным показателем.
С чётным показателем:
С нечётным показателем:
Определение:
Областью определения любой степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.
Рассмотрим случай, когда n - чётное число. График выглядит так:
Опишем свойства этой функции:
1. Если x=0, то y=0.
2. Если x≠0, то y>0, т.к. чётная степень как положительного, так и
отрицательного числа положительна.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
4. Функция возрастает и убывает на промежутке:
5. При любых значения аргумента функция принимает неотрицательные значения. Областью значений является:
Рассмотрим случай, когда n - нечётное число (n>1).
График выглядит так:
Опишем свойства этой функции:
1. Если x=0, то y=0. Ноль в любой степени равен нулю.
Если x>0, то y>0.
Если x<0, то y<0.
2. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
4. Функция возрастает на всей области определения, принимая любые значения.
5. Областью значений является:
Рассмотрим пример: сравнить значения выражений:
Показатель степени у обоих выражений одинаковые. Рассмотрим график степенной функции с нечётным показателем:
На рисунке изображен график степенной функции с нечётным показателем, функция возрастает на всей области определения. В данном случае при любых значениях аргумента из множества всех действительных чисел, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим пример: сравнить значения выражений:
Показатель степени у обоих выражений нечётный, т.е большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим пример: сравнить значения выражений:
Рассмотрим график:
Показатель степени у обоих выражений чётный, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пример.
Сравнить значения выражений:
Данные значения принадлежат промежутку возрастания, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Пример.
Определить,
принадлежат ли графику функции точки А(2,16), В(3,9), С(-1,1).
Точка А.
Значит, точка А принадлежит графику функции.
Точка Б.
Значит, точка Б не принадлежит графику функции.
Точка С.
Значит, точка С принадлежит графику функции.
videouroki.net
линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x
Степенной называется функция вида y=xn (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.
Линейная функция y=x1 (y=x)
График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.
График представлен ниже.
Основные свойства линейной функции:
- Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
- Не имеет максимального и минимального значений.
Квадратичная функция y=x2
Графиком квадратичной функции является парабола.
Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Основные свойства квадратичной функции:
- 1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
- 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
- 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞).
- 4. Противоположным значениям х соответствует одинаковые значения y.
Кубическая функция y=x3
Графиком кубической функции называется кубическая парабола.
Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Основные свойства кубической функции:
- 1. При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
- 2. У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
- 3. Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
- 4. Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.
Функция вида y=x-1 (y=1/x)
Графиком функции y=1/x называется гипербола.
Общий вид гиперболы представлен на рисунке ниже.
Основные свойства функции y = 1/x:
- 1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.
- 2. Оси координат – асимптоты гиперболы.
- 3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.
- 4. Область определения функции все х, кроме х=0.
- 5. y>0 при x>0; y
- 6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
- 7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
- 8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
- 9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.
- 10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Четные и нечетные функции: графики и свойства
Следующая тема:   Определение корня n-ой степени: извлечение корня
Все неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
Степенная функция с четным показателем степени y=x2n, ее свойства и график
Тема: Числовые функции
Урок: Степенная функция с четным показателем степени её свойства и график
Мы уже знакомы с функцией На этом уроке мы познакомимся со степенной функцией вида
изучим свойства и графики таких функций.
Рассмотрим функцию
четная функция,
График симметричен относительно оси y.
Рассмотрим график функции при
Построим график по таблице значений функции (Рис. 1).
x |
0 |
1 |
|
2 |
|
y |
0 |
1 |
|
16 |
|
Симметрично отобразим график относительно оси y, и получим график функции (Рис. 2).
Прочтем полученный график.
1.
2. Функция четная.
3. Убывает при возрастает при
4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
5.
interneturok.ru
Главная > Учебные материалы > Математика: Функция | ||||
|
||||
1.Понятие функции. 2.Свойства функций. 3.Основные элементарные функции.
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | ||||
1. Понятие функции Понятие «функция» является одним из основных понятий в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Исходя из этого, можно дать другую формулировку: однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией.
|
||||
2. Cвойства функций1.Четность и нечетность. Функция f(x) называется четной, если ее значения симметричны относительно оси OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) называется нечетной, если ее значение изменяется на противоположное при изменении переменной х на -х , т.е. f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида. 2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1< (>) x2, f(x1) < (>) f(x2). 3.Периодичность. Если значение функции f(x) повторяется через определенный период Т, то функция называется периодической с периодом Т ≠ 0 , т.е. f(x + T) = f(x). В противном случае непериодической. 4. Ограниченность. Функция f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0 , что для любого x, принадлежащего промежутку Х, | f (x) | < M. В противном случае функция называется неограниченной.
|
||||
3. Основные элементарные функцииСтепенная функция у = х |
|
|||
у = х² область определения (-∞,∞) |
|
|||
у = х³ область определения (-∞,∞) |
|
|||
у = 1/х область определения (-∞,0)U(0,∞) |
|
|||
у = 1/х² область определения (-∞,0)U(0,∞) |
|
|||
область определения [0,∞) |
|
|||
область определения (-∞,∞) |
|
|||
Показательная функция у = а ͯ (a>0 a≠1) область определения (-∞,∞) |
|
|||
Логарифмическая функция у = log ₐ x (a>0 a≠1) область определения (0,∞) |
|
|||
Тригонометрические функции y = sin x область определения (-∞; ∞) |
|
|||
y = cos x область определения (-∞; ∞) |
|
|||
y = tg x область определения |
|
|||
y = ctg x область определения |
|
|||
y = arcsin x область определения [-1; 1] |
|
|||
y = arccos x область определения [-1; 1] |
|
|||
y = arctg x область определения (-∞; ∞) |
|
|||
y = arcctg x область определения (-∞; ∞) |
||||
Пример 1.Найти область определения функции. |
||||
Пример 2Выяснить четность или нечетность функции. |
График функции y=x³+2sin x |
|||
Пример 3 |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | ||||
www.mathtask.ru