Формула подобия треугольников – Формула подобия треугольников

Коэффициент подобия треугольников — интернет энциклопедия для студентов

Определение и формула коэффициента подобия треугольников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольники называются подобными, если они имеют равные углы, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рис.1

На рисунке 1 показаны аналогичные треугольники ABC и \(\ A_{1} B_{1} C_{1} \) , в которых

\(\ \frac{A B}{A_{1} B_{1}}=\frac{B C}{B_{1} C_{1}}=\frac{C A}{C_{1} A_{1}}=k, \quad \angle A=\angle A_{1}, \angle B=\angle B_{1}, \angle C=\angle C_{1} \)

Число k, равное отношению соответствующих сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 см, BC = 6 см на стороне переменного тока, точка K была отмечена, так что треугольники ABC и AKB аналогичны коэффициенту подобия k = 3. Найдите AC и KB.

  • Решение

    Поскольку треугольники ABC и AKB аналогичны, их соответствующие стороны пропорциональны, т.е.

    \(\ \ \frac{A B}{A K}=\frac{B C}{K B}=\frac{A C}{A B}=3 \)

    затем

    \(\ \frac{B C}{K B}=\frac{6}{K B}=3 \Rightarrow K B=2 \mathrm{cm} \)

    а также

    \(\ \frac{A C}{A B}=\frac{A C}{3}=3 \Rightarrow A C=9 \mathrm{cm} \)

  • Ответ: AC = 9 см, КБ = 2 см

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Стороны MK и DE, KT и EF являются соответствующими сторонами одинаковых треугольников MKT и DEF, MK = 18 см, KT = 16 см, MT = 28 см, MK: DE = 4: 5. Найдите стороны треугольника отсроченный

  • Решение

    Сделайте снимок.

    Треугольники MKT и DEF аналогичны, а отношение их сторон равно MK: DE = 4: 5. Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников \(\ k=\frac{4}{5} \).Как следствие,

    \(\ M K=\frac{4}{5} \cdot D E \Rightarrow D E=22,5 \mathrm{cm}, K T=\frac{4}{5} \cdot E F \Rightarrow E F=20 \mathrm{cm} \)

    а также

    \(\ M T=\frac{4}{5} \cdot D F \Rightarrow D F=35 \mathrm{cm} \)

  • Ответ

    DE = 22,5 см, EF = 20 см, DF = 35 см

  • sciterm.ru

    Первый признак подобия треугольников

    Решение Рассмотрим треугольники и . Углы и равны как вертикальные, углы и равны как разносторонние при параллельных прямых и и секущей . Следовательно, по двум углам. Значит,

       

    Поскольку средняя линия трапеции равна см, то см.

    Пусть – коэффициент пропорциональности, тогда см, а см. Имеем . Значит,

    см см

    ru.solverbook.com

    Определение подобных треугольников

    Два треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны. Отношение \(k\) соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.

    $$ \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} \Leftrightarrow \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}; $$ $$ k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} $$

    Первый признак подобия треугольников

    Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.

    $$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}, \, \angle{A}=\angle{A_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

    Второй признак подобия треугольников

    Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

    $$ \angle{A}=\angle{A_1}, \, \angle{B}=\angle{B_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

    Третий признак подобия треугольников

    Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.

    $$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

    Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников

    Отношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников. (Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)

    $$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

    Параллельные прямые и подобие треугольников

    Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны. В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.

    $$ AB || A_1B1, \, AC || A_1C_1, \, BC ||B_1C_1 \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}; $$ $$ AB || A_1B_1, \, D=AA_1 \cap BB_1 \Rightarrow \triangle{ABD} \backsim \triangle{A_1B_1D} $$

    Трапеция и подобные треугольники

    При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.

    $$ \triangle{AOD} \backsim \triangle{COB}, \quad k=\frac{AD}{BC}; $$ $$ \triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}, \quad k=\frac{AD}{BC} $$

    tmath.ru

    Отношение площадей подобных треугольников

    Теорема об отношении площадей подобных треугольников

    Для подобных треугольников и с коэффициентом подобия справедлива следующая теорема:

    ТЕОРЕМА

    Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

    Доказательство.

    Обозначим через и площади треугольников и с коэффициентом подобия . Так как , то

       

    Из свойств подобных треугольников следует, что . Тогда

       

    Что и требовалось доказать.

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1
    Задание Треугольники и подобны. Площадь треугольника равна 100 см, а площадь треугольника равна 25 см. Найти сторону , если см.
    Решение Найдем отношение площадей треугольников и

       

    т.е. . Тогда из подобия треугольников следует

       

    Ответ см
    ПРИМЕР 2
    Задание Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Найти площадь треугольника , если см.
    Решение Найдем площадь треугольника по формуле

       

    Поскольку треугольники и подобные, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е.

       

    откуда см

    Ответ см
    Читайте также:

    Свойства подобных треугольников

    Отношение периметров подобных треугольников

    Радиус вписанной окружности треугольника

    Гипотенуза прямоугольного треугольника

    ru.solverbook.com

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.