Коэффициент подобия треугольников — интернет энциклопедия для студентов
Определение и формула коэффициента подобия треугольников
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольники называются подобными, если они имеют равные углы, а соответствующие стороны пропорциональны.
Рис.1
На рисунке 1 показаны аналогичные треугольники ABC и \(\ A_{1} B_{1} C_{1} \) , в которых
\(\ \frac{A B}{A_{1} B_{1}}=\frac{B C}{B_{1} C_{1}}=\frac{C A}{C_{1} A_{1}}=k, \quad \angle A=\angle A_{1}, \angle B=\angle B_{1}, \angle C=\angle C_{1} \)
Число k, равное отношению соответствующих сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 см, BC = 6 см на стороне переменного тока, точка K была отмечена, так что треугольники ABC и AKB аналогичны коэффициенту подобия k = 3. Найдите AC и KB.
Поскольку треугольники ABC и AKB аналогичны, их соответствующие стороны пропорциональны, т.е.
\(\ \ \frac{A B}{A K}=\frac{B C}{K B}=\frac{A C}{A B}=3 \)
затем
\(\ \frac{B C}{K B}=\frac{6}{K B}=3 \Rightarrow K B=2 \mathrm{cm} \)
а также
\(\ \frac{A C}{A B}=\frac{A C}{3}=3 \Rightarrow A C=9 \mathrm{cm} \)
ПРИМЕР 2
Стороны MK и DE, KT и EF являются соответствующими сторонами одинаковых треугольников MKT и DEF, MK = 18 см, KT = 16 см, MT = 28 см, MK: DE = 4: 5. Найдите стороны треугольника отсроченный
Сделайте снимок.
Треугольники MKT и DEF аналогичны, а отношение их сторон равно MK: DE = 4: 5. Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников \(\ k=\frac{4}{5} \).Как следствие,
\(\ M K=\frac{4}{5} \cdot D E \Rightarrow D E=22,5 \mathrm{cm}, K T=\frac{4}{5} \cdot E F \Rightarrow E F=20 \mathrm{cm} \)
а также
\(\ M T=\frac{4}{5} \cdot D F \Rightarrow D F=35 \mathrm{cm} \)
DE = 22,5 см, EF = 20 см, DF = 35 см
sciterm.ru
| Решение | Рассмотрим треугольники и . Углы и равны как вертикальные, углы и равны как разносторонние при параллельных прямых и и секущей . Следовательно, по двум углам. Значит,
Поскольку средняя линия трапеции равна см, то см. Пусть – коэффициент пропорциональности, тогда см, а см. Имеем . Значит, см см |
ru.solverbook.com
Определение подобных треугольников
Два треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны. Отношение \(k\) соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.
$$ \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} \Leftrightarrow \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}; $$ $$ k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} $$
Первый признак подобия треугольников
Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.
$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}, \, \angle{A}=\angle{A_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$
Второй признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
$$ \angle{A}=\angle{A_1}, \, \angle{B}=\angle{B_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$
Третий признак подобия треугольников
Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.
$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$
Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников
Отношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников. (Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)
$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$
Параллельные прямые и подобие треугольников
Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны. В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.
$$ AB || A_1B1, \, AC || A_1C_1, \, BC ||B_1C_1 \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}; $$ $$ AB || A_1B_1, \, D=AA_1 \cap BB_1 \Rightarrow \triangle{ABD} \backsim \triangle{A_1B_1D} $$
Трапеция и подобные треугольники
При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.
$$ \triangle{AOD} \backsim \triangle{COB}, \quad k=\frac{AD}{BC}; $$ $$ \triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}, \quad k=\frac{AD}{BC} $$
tmath.ru
Отношение площадей подобных треугольников
Теорема об отношении площадей подобных треугольников
Для подобных треугольников и с коэффициентом подобия справедлива следующая теорема:
ТЕОРЕМАОтношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство.
Обозначим через и площади треугольников и с коэффициентом подобия . Так как , то
Из свойств подобных треугольников следует, что . Тогда
Что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Треугольники и подобны. Площадь треугольника равна 100 см, а площадь треугольника равна 25 см. Найти сторону , если см. |
| Решение | Найдем отношение площадей треугольников и
т.е. . Тогда из подобия треугольников следует
|
| Ответ | см |
| Задание | Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Найти площадь треугольника , если см. |
| Решение | Найдем площадь треугольника по формуле
Поскольку треугольники и подобные, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е.
откуда см |
| Ответ | см |
Свойства подобных треугольников
Отношение периметров подобных треугольников
Радиус вписанной окружности треугольника
Гипотенуза прямоугольного треугольника
ru.solverbook.com