Y 1 4 x 2: Построить график функции y=1/4x^2 — Школьные Знания.com

Содержание

Урок 21. показательная функция - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- какая функция называется показательной;

- какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

- какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

- примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).

Функция называется монотонно убывающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Определение:

Функция вида y=ах, a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени ах можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень ах для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D

(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е(y)=R+, или Е(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

4. Монотонность.

При a>1 функция монотонно возрастает.

При 0<a<1 функция монотонно убывает.

5. При любом значении а значение функции y (0) = а0 =1.

6. График функции.

При a>1

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0<a<1

Рисунок 2 – График показательной функции при 0<a<1

Независимо от значения основания а график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0. Для 0<a<1 при х стремящемся к плюс бесконечности, для a>1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции

y=–3х+1.

Решение:

1) Область определения функции любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3х>0, то –3х<0, значит, –3х+1<1, то есть множество значений функции y=–3х+1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3х монотонно возрастает, то функция y=–3х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3х+1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3х+1=0, 3х=1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3х+1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N0·akt, N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P0·a-kh, P– давление на высоте h, P0 – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D0·akt, D– изменение количества древесины во времени, D0 – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T0+(100– T0)e-kt.

5) Закон поглощения света средой: I=I0·e-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

Рисунок 4 – График функции y=2х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

  1. y=3x-1
  2. y=(0,4)x+1
  3. y=(0,7)
  4. y=
  5. y=3-2х
  6. y=102x +1

Решение:

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Пример 2.

Найдите множество значений функции y=3x+1– 3.

Решение:

Рассмотрим функцию.

Так как 3x+1>0, то 3x+1– 3>–3, то есть множество значений:

(– 3; +∞).

Пример 3.

Найдите множество значений функции y=|2x– 2|

Рассмотрим функцию.

2x–2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2x– 2|0.

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) $Ax+By+Cz+D=0 -$ общее уравнение плоскости $P,$ где $\overline{N}=(A, B, C) -$ нормальный вектор плоскости $P.$

 

2) $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости $P,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ Вектор $\overline N$ называется нормальным вектором плоскости.

 

3) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 -$  уравнение плоскости в отрезках на осях, где $a,$  $b$ и $c -$ величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат.

 

4) $\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&x_2-x_1&x_3-x_1\end{vmatrix}=0 - $ уравнение плоскости, которая проходит через три точки $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ и $C(x_3, y_3, z_3).2}}\right|.$$

 {jumi[*3]}

Примеры:

2.180.

а) Заданы плоскость $P: -2x+y-z+1=0$ и точка $M(1, 1, 1).$ Написать уравнение плоскости $P',$ проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $P$ и вычислить расстояние $\rho(P, P').$ 

Решение.

Так как п.лоскости $P$ и $P'$ параллельны, то нормальный вектор для плоскости $P$ будет также нормальным вектором для плоскости $P'.$ Из уравнения плоскости получаем $\overline{N}=(-2, 1, -1).$

Далее запишем уравнение плоскости по формуле (2): $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ 

$-2(x-1)+(y-1)-(z-1)=0\Rightarrow -2x+y-z+2=0.$

Ответ: $-2x+y-z+2=0.$

 

 

 

2.181. 

а) Написать уравнение плоскости $P',$ проходящей через заданные точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ перпендикулярно заданной плоскости $P: -x+y-1=0.$

Решение.

Из уравнения плоскости $P,$ находим ее нормальный вектор $\overline{N}=(-1, 1, 0).$ Плоскость, перпендикулярная плоскости $P,$ параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку $M_3(x, y, z)\in P'$ такую, что что $\overline{M_1M_3}||\overline{N}.$

$\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$

Условие коллинеарности векторов $\overline{M_1M_3}$ и $\overline{N}:$ $\frac{x_{M_1M_3}}{x_N}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_N}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_N}.$

Поскольку $z_N=0,$ то есть вектор $N\in XoY,$ то $z_{M_1M_3}=0.$

$\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}.$ Пусть $x=2,$ тогда $y=1.$

Мы нашли точку $M_3=(2, 1, 0).$

Так как точка $M_1\in P',$ то и $M_3\in P'.$ Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(2, 1, 0).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\2-1&1-2&0-0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)0+(-1)z+(y-2)-(-1)z-(-1)(x-1)-(y-2)0=0\Rightarrow$ $\Rightarrow-z+y-2+z+x-1=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

2.182.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ параллельно векторам $a_1(0, 1, 2)$ и $a_2(-1, 0, 1).$ 

Решение.

Поскольку вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2$ (см. векторное произведение), то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор $[a_1, a_2]$ является нормальным для плоскости $P.$ Найдем этот вектор:

$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\0&1&2\\-1&0&1\end{vmatrix}=i(1-0)-j(0+2)+k(0+1)=i-2j+k.$

Таким образом $\overline{N}=[a_1, a_2]=(1, -2, 1).$

Теперь можно найти уравнение плоскости $P,$ по формуле (2), как плоскости, проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ перпендикулярно  вектору $\overline N=(1, -2, 1):$

$1(x-1)-2(y-1)+1(z-1)=0\Rightarrow$

$x-2y+z=0.$

Ответ: $x-2y+z=0.$

 

 

2.183.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ параллельно вектору $a=(3, 0, 1).$

Решение.

Поскольку вектор $a$ параллелен плоскости $P,$ то для всякого вектора $\overline{M_1M_3},$ параллельного вектору $a,$ точка $M_3\in P.$

Пусть $M_3=(x, y, z).$ Тогда $\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$ Так как $\overline{M_1M_3}||a,$ то $\frac{x_{M_1M_3}}{x_а}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_а}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_а}.$ $y_a=0,$ то есть вектор $a\in XoZ$ и  всякий параллельный ему вектор так же будет принадлежать этой плоскости. Таким образом, $y_{M_1M_3}=y-2=0\Rightarrow y=2.$

Из условия параллельности векторов имеем $\frac{x-1}{3}=\frac{z}{1}.$ Пусть $x=4,$ тогда $z=1.$

Мы получили точку $M_3=(4, 2, 1).$

Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(4, 2, 1).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\4-1&2-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\3&0&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+1\cdot z\cdot 0+(y-2)3-3(-1)z-0\cdot 1\cdot(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+3y-6+3z-y+2=0\Rightarrow -x+2y+3z-3=0.$

Ответ: $-x+2y+3z-3=0.$ 

 

2.184.

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(1, 2,0),$ $M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(3, 0, 1).$ 

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\3-1&0-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\2&-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+z(-2)+2(y-2)1-2(-1)z-(-2)(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+-2z+2y-4+2z+2x-2-y+2=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

 {jumi[*4]} 

var - JavaScript | MDN

Оператор var объявляет переменную, инициализируя её, при необходимости.

var varname1 [= value1 [, varname2 [, varname3 ... [, varnameN]]]];
varnameN
Имя переменной. Может использоваться любой допустимый идентификатор.
valueN
Значение переменной. Любое допустимое выражение. По умолчанию значение undefined.

Объявление переменной всегда обрабатывается до выполнения кода, где бы она ни находилась. Область видимости переменной, объявленной через var, это её текущий контекст выполнения. Который может ограничиваться функцией или быть глобальным, для переменных, объявленных за пределами функции.

Присвоение значения необъявленной переменной подразумевает, что она будет создана как глобальная переменная (переменная становится свойством глобального объекта) после выполнения присваивания значения. Различия между объявленной и необъявленной переменными следующие:

1. Объявленные переменные ограничены контекстом выполнения, в котором они были объявлены. Необъявленные переменные всегда глобальны.

function x() {
  y = 1; 
  var z = 2;
}

x();

console.log(y); 
console.log(z); 

2. Объявленные переменные инициализируются до выполнения любого кода. Необъявленные переменные не существуют до тех пор, пока к ним не выполнено присваивание.

console.log(a);    
console.log('still going...'); 
var a;
console.log(a);                
console.log('still going...'); 

3. Объявленные переменные, независимо от контекста выполнения, являются ненастраиваемыми свойствами. Необъявленные переменные это настраиваемые свойства (т.е. их можно удалять).

var a = 1;
b = 2;

delete this.a; 
delete this.b;

console.log(a, b); 

Из-за перечисленных различий, использование необъявленных переменных может привести к непредсказуемым последствиям. Рекомендовано всегда объявлять переменные, вне зависимости, находятся они внутри функции или в глобальном контексте. Присваивание значения необъявленной переменной в строгом режиме ECMAScript 5 возбуждает ошибку.

Поднятие переменных

Объявление переменных (как и любые другие объявления) обрабатываются до выполнения кода. Где бы не находилось объявление, это равнозначно тому, что переменную объявили в самом начале кода. Это значит, что переменная становится доступной до того, как она объявлена. Такое поведение называется "поднятием" (в некоторых источниках "всплытием").

bla = 2
var bla;




var bla;
bla = 2;

Поэтому объявление переменных рекомендовано выносить в начало их области видимости (в начало глобального кода или в начало функции). Это даёт понять какие переменные принадлежат функции (т.е. являются локальными), а какие обрабатываются в цепи областей видимости (т.е. являются глобальными).

Важно отметить, что подъем будет влиять на объявление переменной, но не на инициализацию её значения. Значение присваивается при выполнении оператора присваивания:

function do_something() {
  console.log(bar); 
  var bar = 111;
  console.log(bar); 
}



function do_something() {
  var bar;
  console.log(bar); 
  bar = 111;
  console.log(bar); 
}

Объявление и инициализация двух переменных

Присвоение двум переменным одного строкового значения

var a = "A";
var b = a;



var a, b = a = "A";

Следите за порядком присвоения значений переменным

var x = y, y = 'A';
console.log(x + y); 

В примере, x и y объявлены до выполнение кода, присвоение выполняется позже. Когда происходит присваивание "x = y", y уже существует со значением 'undefined', так что ошибка ReferenceError не генерируется. И переменной x присваивается неопределённое значение. Потом переменной y присваивается значение 'A'. Получается, что после выполнения первой строки кода x === undefined && y === 'A', отсюда и результат.

Инициализация нескольких переменных

var x = 0;

function f(){
  var x = y = 1; 
}
f();

console.log(x, y); 

Такой же пример, но в строгом режиме:

'use strict';

var x = 0;
function f() {
  var x = y = 1; 
}
f();

console.log(x, y);

Неявные глобальные переменные и внешняя область видимости

Переменные могут ссылаться на переменные внешней области видимости функции, и это может выглядеть неявно:

var x = 0;  

console.log(typeof z); 

function a() { 
  var y = 2;   

  console.log(x, y);   

  function b() {       
    x = 3;  
    y = 4;  
    z = 5;  
  }         

  b();     
  console.log(x, y, z);  
}

a();                   
console.log(x, z);     
console.log(typeof y); 

BCD tables only load in the browser

Решение уравнений

РКР №1 6-7 класс

Вариант 1

1.Упростить выражение: -2x+3-4x+11

1) 14-6x 2)2x+14 3)8-6x 4) другой ответ

2. Упростить выражение: 6-(8+3x)

1)14+3x 2)-2-3x 3) 3x-2 4)5x+4

3. Упростить выражение: -10-2(2x-7)

1) 4-4x 2)-24-4x 3)28x 4)2x-24

4. Решить уравнение: 3(x+3)- x=8

1) 1 2)-1 3)- 4)другой ответ

5. Решить уравнение: 3(x-1)-2(2-x)=6

1)7 2)4 3) 2 4)

6. Решить уравнение: 2(3x-0,5)=6-(x+8)

1) - 2)0,5 3)4,2 4) другой ответ

Вариант 2

1.Упростить выражение:0,2x-4- x+7

1)11-0,4x 2) 3 3)2x-3 4)другой ответ

2. Упростить выражение: 4x-(2-6x)

1)10x-2 2)-2x-2 3)-2x+2 4) 2x-2

3. Упростить выражение: -2(4+3x)+8x

1) 22x 2) -14x-8 3) 2x-8 4) -6x-2

4. Решить уравнение: x+6(3- x)=17

1)-8 2) 3)-2 4)2

5. Решить уравнение 2(x-3)-3(4-x)=5

1) -23 2)4 3) -11 4)-

6. Решить уравнение: 5-2(x-1)=0,5(8x-4)

1) 3,6 2)2,1 3) 1,5 4) другой ответ

Вариант 3

1.Упростить выражение: -0,4y+3y-4,2+y

1)-3,4y 2)-0,6y 3)3,6y-4,2 4)другой ответ

2. Упростить выражение: 9x-(12x-2)

1) 2-3x 2)-12x+7 3)21x-2 4)другой ответ

3. Упростить выражение: 28x-5(6x-0,2)

1) 11x-1 2)1-2x 3)-58x 4)другой ответ

4. Решить уравнение: x+8(3- x)=1

1) 2)-5 3)5 4)-

5. Решить уравнение 5(x+2)-4(3-x)=7

1)19 2) 3 3) 3 4)1

6. Решить уравнение: 0,6(x+7)=0,5(x-3)+6,8

1)11 2)0,18 3)1,8 4)3,21

Вариант 4

1.Упростить выражение: 3y- y+0,6-1,2y

1) 1,4y+0,6 2)4,6y+0,6 3)5,2y 4)другой ответ

2. Упростить выражение: -12x-(2-8x)

1)-20x+2 2)30x 3)-4x-2 4) другой ответ

3. Упростить выражение: -5(2x-1)+15

1)20-10x 2)10x 3)20x 4)7-10x

4. Решить уравнение: x+3(2- x)=5

1)1 2)-1 3)-4 4)4

5. Решить уравнение 7(3+x)-2(x-5)=8

1) 18 2)4,6 3)-18 4)-4,6

6. Решить уравнение: 0,4(x-9)-0,3(x+2)=0,7

1) 49 2)4,9 3) 0,3 4)0,8

Ответы:

РКР№1

№1

№2

№3

№4

№5

№6

В1

1

2

1

2

3

1

В2

2

1

3

2

2

3

В3

3

1

2

3

4

1

В4

1

3

1

1

4

1

РКР №2 6-7класс

Вариант 1

1.Вычислить: (2-5+7-1) :(-3) -21

1)22 2)-22 3)-20 4)20

2. Разложить на множители: ab+3ab

1)ab(1+3b) 2)a(b+3b) 3)3ab(a+b) 4) другой ответ

3. Разложить на множители: 2y+6y-4y

1)2y(1+3y-4y) 2)2(y+3y-2y) 3)2y(y+3y-2) 4) другой ответ

4. Разложить на множители: 25x-9y

1) 5xy(5 x-9y) 2)(25x-9y)(25x+9y) 3)(5x-3y)(5x+3y) 4) другой ответ

5. Сократить дробь:

1) 2)3(x-y) 3)(x-y) 4) другой ответ

6.Решить уравнение: -3x+4x=0

1) 0; 2) 0;-1 3)0,75 4) другой ответ

Вариант 2

1.Вычислить(5-3+1-6):3+7

1) 8 2)-6 3)6 4)7

2. Разложить на множители: 7x y-xy

1) 7xy(x-y) 2) xy(7x-y) 3) x y(7y-x) 4) другой ответ

3. Разложить на множители: 12c+4c

1)12c(1-4c) 2)c(12c+4c) 3)4c(3c+1) 4) другой ответ

4. Разложить на множители: 144a-25b

1) ab(144a-25b) 2)(12a-5b)(12a+5b) 3)12ab(12a-25b) 4) другойответ

5. Сократить дробь:

1) 2) 3) 4) другой ответ

6.Решить уравнение: -3 x +7x=0

1) 0;2 2)0;7 3)3,5;7 4) другой ответ

Вариант 3

1.Вычислить: (3-5+1) (-1) -12

1)12 2)-11 3)13 4)-12

2. Разложить на множители: 2cx-4cx

1)2cx(1-2x) 2)4cx(2-x) 3)2x(c-2) 4) другой ответ

3. Разложить на множители: 4b-3b

1)4b(b-3b) 2)4b(1-3b) 3)b(4-3b) 4) другой ответ

4. Разложить на множители: 1-49y

1)(1-7y)(1+7y) 2)49y(1-y) 3)(1-49y)(1+49y) 4) другой ответ

5. Сократить дробь:

1) 2)8x-1 3) 4) другой ответ

6.Решить уравнение: 1 x-5x=0

1) 0;4 2)3;5 3)0;5 4) другой ответ

Вариант 4

1.Вычислить: (7-5+3-18):13-4

1) 9 2)-4 3)4 4)-6

2. Разложить на множители:ab+5a b

1)a b (a+5) 2)b (a+5b) 3)ab(b+5a) 4) другойответ

3. Разложить на множители: 2c-4c+2c

1) 2c(1-4c+2c) 2) 2c(c-2c+1) 3)2(c-2c+1) 4) другой ответ

4. Разложить на множители: 9a-16b

1)(9a-16b)(9a+16b) 2)(3a-4b)(3a+4b) 3)9a (1-16b ) 4) другойответ

5. Сократить дробь:

1) 2) 3)1+10x 4) другой ответ

6.Решить уравнение: 121-100x=0

1) 10;-10 2)0;11 3)1,1;-1,1 4) другой ответ

Ответы:

РКР№2

№1

№2

№3

№4

№5

№6

В1

3

1

2

3

1

2

В2

1

2

3

2

3

1

В3

2

1

3

1

3

1

В4

1

3

2

2

1

3

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/23621-reshenie-uravnenij

Уравнение прямой

Прямая (прямая линия) - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

A x + B y + C = 0

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y = k x + b

где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

k = tg φ

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M(x1, y1) и N(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x - x1  =  y - y1
x2 - x1 y2 - y1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x0y = m t + y0

где N(x0, y0) - координаты точки лежащей на прямой, a = {l, m} - координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N(x0, y0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = {l; m} (l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Пример 1. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 7) и N(2, 3).

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x - 12 - 1 = y - 73 - 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

x - 11 = y - 7-4

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

y - 7 = -4(x - 1)

y = -4x + 11

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.

MN = {2 - 1; 3 - 7} = {1; -4}

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1y = -4t + 7

Пример 2. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 3) и N(2, 3).

Решение. Так как My - Ny = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.

MN = {2 - 1; 3 - 3} = {1; 0}

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1y = 3

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M(x1, y1, z1) и N(x2, y2, z2), такие что x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x - x1  =  y - y1  =  z - z1
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x0
y = m t + y0
z = n t + z0

где (x0, y0, z0) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M(x0, y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x - x0  =  y - y0  =  z - z0
l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что не имеет место равенство

A1  =  B1  =  C1 .
A2 B2 C2

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 5 мин. Просмотров 6.8k. Опубликовано




data-ad-client="ca-pub-8602906481123293"
data-ad-slot="8834522701"
data-ad-format="auto">
  • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
  • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
  • Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.
  • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
  • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

  • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
  •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  •   а=1/ax
  •  (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2xНайдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;                   Точка А.

x=1, y=21=2;                   Точка В.

x=2, y=22=4;                   Точка С.

x=3, y=23=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3x=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

 

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

 

Ответ: 1.

 

 

 

 

2) 0,5х=х+3.

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

(y=(1/2)x )

 и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

 

 

Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

Решение.

 1) y=-2

Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

 2) y=(1/3)x+1;

0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

1<(1/3)x+1<+∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

 3) y=3x+1-5.

Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.

0<3x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

0∙3<3x3<(+∞)∙3;

0<3x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5<3x∙3-5<+∞-5;

— 5<3x∙3-5<+∞.

Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

Как найти уравнение перпендикулярной прямой

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Графические уравнения с программой «Пошаговое решение математических задач»

Язык математики особенно эффективен для представления отношений между двумя или более переменными.В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние через определенный промежуток времени автомобилем, движущимся с постоянной скоростью 40 миль в час. Мы можем представить эту взаимосвязь как

  1. 1. Словесное предложение:
    Пройденное расстояние в милях равно сороккратному количеству пройденных часов.
  2. 2. Уравнение:
    d = 40r.
  3. 3. Таблица значений.
  4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений; В этой главе мы будем иметь дело с табличным и графическим представлениями.

7.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

Уравнение d = 40f объединяет расстояние d для каждого момента времени t. Например,


если t = 1, то d = 40
, если t = 2, то d = 80
, если t = 3, то d = 120

и так далее.

Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением уравнение d = 40r, потому что когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении, мы получаем верное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные номера в указанном порядок, в котором первое число относится ко времени, а второе число относится к расстояния, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и скоро.Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами и ссылаемся на первую и вторые числа в парах как компоненты. В соответствии с этим соглашением решения Уравнение d - 40t - это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению. Некоторые упорядоченные пары для t, равного 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

.

(0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

Такие пары иногда отображаются в одной из следующих табличных форм.

В любом конкретном уравнении, включающем две переменные, когда мы присваиваем значение одной переменных определяется значение другой переменной и, следовательно, зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с первый компонент упорядоченной пары как независимая переменная и переменная связанный со вторым компонентом упорядоченной пары в качестве зависимой переменной. Если в уравнении используются переменные x и y, подразумевается, что заменить - элементы для x являются первыми компонентами и, следовательно, x - независимая переменная и замены y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной. Например, мы можем получить пары для уравнения

, подставив конкретное значение одной переменной в уравнение (1) и решив для другая переменная.

Пример 1

Найдите недостающий компонент, чтобы заказанная пара стала решением для

2x + y = 4

а. (0 ,?)

г. (1 ,?)

г. (2 ,?)

Решение

если x = 0, то 2 (0) + y = 4
y = 4

если x = 1, то 2 (1) + y = 4
y = 2

если x = 2, то 2 (2) + y = 4
y = 0

Три пары теперь могут отображаться как три упорядоченные пары

(0,4), (1,2) и (2,0)

или в табличной форме

ЯВНО ВЫРАЖАЮЩИЙ ПЕРЕМЕННУЮ

Мы можем прибавить -2x к обоим членам 2x + y = 4, чтобы получить

-2x + 2x + y = -2x + 4
y = -2x + 4

В уравнении (2), где y есть само по себе, мы говорим, что y явно выражается через из х.Часто бывает проще получить решения, если сначала выразить уравнения в такой форме потому что зависимая переменная явно выражается через независимые Переменная.

Например, в уравнении (2) выше,

, если x = 0, то y = -2 (0) + 4 = 4
, если x = 1, то y = -2 (1) + 4 = 2
, если x = 2, то y = -2 (2) + 4 = 0

Мы получаем те же пары, что и с помощью уравнения (1)

(0,4), (1,2) и (2,0)

Мы получили уравнение (2) добавлением одинаковой величины -2x к каждому члену уравнения (1), получая таким образом y само по себе.В общем, мы можем написать эквивалент уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3, где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

Уравнения эквивалентны, если:

  1. Одно и то же количество прибавляется к равным количествам или вычитается из них.
  2. Равные количества умножаются или делятся на одинаковое ненулевое количество.

Пример 2

Решите 2y - 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0, х = 1 и х = 2.

Решение
Во-первых, добавив 3x к каждому члену, мы получим

2y - 3x + 3x = 4 + 3x
2y = 4 + 3x (продолжение)

Теперь, разделив каждый член на 2, получим

В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Иногда мы используем специальные обозначения для наименования второго компонента упорядоченного пара, которая связана с указанным первым компонентом.Символ f (x), который часто бывает используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, также может использоваться для обозначения значение выражения для конкретных значений x. Например, если

f (x) = -2x + 4

, где f (x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на странице 285, тогда f (1) представляет значение выражения -2x + 4, когда x заменяется на 1

f (l) = -2 (1) + 4 = 2

Аналогично

f (0) = -2 (0) + 4 = 4

и

f (2) = -2 (2) + 4 = 0

Символ f (x) обычно называют обозначением функции.

Пример 3

Если f (x) = -3x + 2, найти f (-2) и f (2).

Решение

Замените x на -2, чтобы получить
f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

Замените x на 2, чтобы получить
f (2) = -3 (2) + 2 = -4

7.2 ГРАФИК ЗАКАЗАННЫХ ПАР

В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке в строке. Simi- Как правило, каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К граф упорядоченной пары чисел, мы начинаем с построения пары перпендикулярных числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось называется осью Y, а точка их пересечения называется началом координат. Эти топоры разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рисунке 7.1.

Теперь мы можем назначить упорядоченную пару чисел точке на плоскости, указав на перпендикулярное расстояние точки от каждой из осей. Если первый составляющая положительная, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, это лежит слева.Если второй компонент положительный, точка находится выше Горизонтальная ось; если отрицательный, он находится внизу.

Пример 1

График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

Решение
График (3, 2) находится на 3 единицы правее ось y и на 2 единицы выше оси x; график (-3,2) лежит на 3 единицы слева от ось y и на 2 единицы выше оси x; график (-3, -2) лежит на 3 единицы слева от ось y и на 2 единицы ниже оси x; график (3, -2) лежит на 3 единицы правее ось y и на 2 единицы ниже оси x.

Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой. точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником. Гулярные или декартовы координаты точки (см. рисунок 7.2).

7.3 ИЗОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

В разделе 7.1 мы увидели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным пара.В разделе 7.2 мы видели, что компонентами упорядоченной пары являются координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить график уравнения с двумя переменными, мы Изобразите набор упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Например, мы может найти некоторые решения уравнения первой степени

у = х + 2

, положив x равным 0, -3, -2 и 3. Затем

для x = 0, y = 0 + 2 = 2
для x = 0, y = -3 + 2 = -1
для x = -2, y = -2 + 2-0
для x = 3, y = 3 + 2 = 5

и получаем решения

(0,2), (-3, -1), (-2,0) и (3,5)

, который может отображаться в табличной форме, как показано ниже.

Если мы изобразим точки, определенные этими упорядоченные пары и проведите прямую линию через их, мы получаем график всех решений y = x + 2, как показано на рисунке 7.3. Это, каждое решение y = x + 2 лежит на прямой, и каждая точка на линии является решением у = х + 2.

Графики уравнений первой степени в двух переменные всегда прямые; следовательно, такие уравнения также называются линейными уравнения.

В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для x были выбраны случайным образом; мы могли бы использовать любые значения x, чтобы найти решения уравнения.Графики любых других упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения, также будут быть на линии, показанной на рисунке 7.3. Фактически каждое линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное количество решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только нужно найти два решения, потому что для определения прямая линия. Третий балл можно получить как проверку.

Чтобы изобразить уравнение первой степени:

  1. Постройте набор прямоугольных осей, показывающих масштаб и переменную, представляющую отправляется каждой осью.
  2. Найдите две упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения для построения графика присвоение любого удобного значения одной переменной и определение соответствующего соответствующее значение другой переменной.
  3. Изобразите эти упорядоченные пары.
  4. Проведите прямую линию через точки.
  5. Проверьте, построив график третьей упорядоченной пары, которая является решением уравнения и убедитесь, что он лежит на линии.

Пример 1

Изобразите уравнение y = 2x - 6.

Решение
Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y.
Мы будем использовать 1 и 4 для x.
Если x = 1, y = 2 (1) - 6 = -4
, если x = 4, y = 2 (4) - 6 = 2
Таким образом, два решения уравнения:
(1, -4) и (4, 2).
Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и проводим прямую линию через точки, как показано на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что линия тянется бесконечно далеко в обоих направлениях. Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая Уравнение можно использовать в качестве проверки:
, если x = 5, y = 2 (5) -6 = 4
Затем отметим, что график (5, 4) также лежит на линии
. Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить явно для y через x.

Пример 2

График x + 2y = 4.

Решение
Сначала решаем y через x, чтобы получить

Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать 2 и 0 для x.

Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и проведите через точки прямую, как показано на рисунке.

Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая уравнение можно использовать как проверку:

Затем отметим, что график (-2, 3) также лежит на линии.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение y = 2 можно записать как

0x + y = 2

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменные, у которых коэффициент при x равен 0. Некоторые решения 0x + y = 2 равны

(1,2), (-1,2) и (4,2)

Фактически, любая упорядоченная пара вида (x, 2) является решение (1). Графическое изображение решений дает горизонтальную линию, как показано на рисунке 7.4.

Точно так же уравнение, такое как x = -3, может записывается как

х + 0у = -3

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменные, у которых коэффициент при y равен 0.

Некоторые решения x + 0y = -3 являются (-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). Фактически любой упорядоченная пара вида (-3, y) является решением из (2). Графическое изображение решений дает вертикальную линия, как показано на рисунке 7.5.

Пример 3

График

а. у = 3
б. х = 2

Решение
а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
Некоторые решения: (1, 3), (2,3) и (5, 3).

б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
Некоторые решения: (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

7.4 МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА

В разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, которые как правило, легче всего найти те, в которых первый или второй компонент 0. Например, если мы заменим 0 на x в уравнении

3x + 4y = 12

у нас

3 (0) + 4y = 12
y = 3

Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3).Мы также можем найти упорядоченные пары, которые решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения соответствующие значения x. В частности, если мы подставим 0 вместо y в уравнение (1), мы получить

3x + 4 (0) = 12
x = 4

и второе решение уравнения (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары (0, 3) и (4, 0) для построения графика уравнения (1). График представлен на рисунке 7.6. Уведомление что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число 4 называется пересечением по оси x графа, а число 3 - точкой пересечения по оси y.

Этот метод построения графика линейного уравнения называется пересечением. метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графиков линейного уравнение, нет никакого преимущества в том, чтобы сначала явно выразить y через x.

Пример 1

График 2x - y = 6 методом пересечения.

Решение
Мы находим точку пересечения с x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

2x - (0) = 6
2x = 6
x = 3

Теперь мы находим точку пересечения по оси Y, подставляя для x в уравнении, чтобы получить

2 (0) - y = 6
-y = 6
y = -6

Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x - y = 6.Графическое изображение этих точки и соединив их прямой линией, получим график 2x - y = 6. Если график пересекает оси в или около начала координат, метод перехвата не работает. удовлетворительно. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, которая является решением уравнения и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

Пример 2

График y = 3x.

Решение
Мы можем заменить 0 на x и найти
y = 3 (0) = 0
Аналогичным образом, заменив 0 на y, мы получим
0 = 3.x, x = 0
Таким образом, 0 является пересечением по оси x и точкой пересечения по оси y.

Так как одной точки недостаточно для графического = 3x, мы прибегаем к методам, описанным в Раздел 7.3. Выбирая любое другое значение для x, скажем 2, мы получаем

у = 3 (2) = 6

Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями уравнение. График y = 3x показан на верно.

7,5 НАКЛОН ЛИНИИ

ФОРМУЛА НАКЛОНА

В этом разделе мы изучим важное свойство линии.Мы назначим число к линии, которую мы называем уклоном, что даст нам меру "крутизны" или «направление» линии.

Часто бывает удобно использовать специальные обозначения для различения прямоугольников. Гулярные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат на (x 1 , y 1 (читается «x sub one, y sub one»), связанный с точкой P 1 , и второй пара координат по (x 2 , y 2 ), связанная со второй точкой P 2 , как показано на рисунке 7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P 1 к P 2 вертикальное изменение (или расстояние по вертикали) между двумя точками составляет y 2 - y 1 , а изменение по горизонтали (или расстояние по горизонтали) составляет x 2 - x 1 .

Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется крутизной линия, содержащая точки P 1 и P 2 . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

Пример 1

Найдите наклон прямой, содержащей два точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как показано на рисунке справа.

Решение
Мы обозначаем (3, 5) как (x 2 , y 2 ) и (-4, 2) как (x 1 , y 1 ). Подставляя в уравнение (1) дает

Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x 2 и y 2 и 3 и 5 для x 1 и y 1

Линии с различным уклоном показаны на Рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые вверх вправо положительны (рисунок 7.8а) и наклоны спускающихся вниз справа отрицательны (рис. 7.8b). Обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y 2 - y 1 равно нулю для любых двух точек, а наклон линии просто

Также обратите внимание (рисунок 7.8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x, x 2 - x 1 равняется нулю для любых двух точек. Однако

не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим линии, показанные на рисунке 7.9. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 3, а линия l 2 имеет уклон м 2 = 3. В данном случае

Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим линии показано на рисунке 7.10. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 1/2, а линия l 2 имеет наклон m 2 = -2. В данном случае

Эти линии пересекаются, образуя прямой угол, и называются перпендикулярными линиями.

Как правило, если две линии имеют уклон и м2:

    а. Линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. Е. если m 1 = m 2 .
    г. Линии перпендикулярны, если произведение их уклонов равно -1, то есть если m 1 * m 2 = -1.

7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ОПОРНО-СКЛОННАЯ ФОРМА

В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.1а), наклоном формула

Таким образом, уравнение (1) - это уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3), и имеет уклон 2.

В общем, допустим, мы знаем, что линия проходит через точку P 1 (x 1 , y 1 и имеет уклон м. Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.11 b), то через формула наклона

Уравнение (2) называется формой точечного уклона для линейного уравнения.В уравнении (2), m, x 1 и y 1 известны, а x и y - переменные, которые представляют координаты любая точка на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точку на линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

Пример 1

Прямая имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

Решение
Замените -2 вместо m и (2, 4) вместо (x 1 , y 1 ) в уравнении (2)

Таким образом, прямая с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентной форме y + 2x = 8, 2x + y = 8 или 2x + y - 8 = 0.

ФОРМА НАКЛОНА

Теперь рассмотрим уравнение прямой с наклоном m и точкой пересечения оси y b, как показано на Рисунок 7.12. Подставляя 0 вместо x 1 и b вместо y 1 в форме точечного наклона линейного уравнение, имеем

y - b = m (x - 0)
y - b = mx

или

y = mx + b

Уравнение (3) называется формой пересечения наклона для линейного уравнения.Наклон и пересечение по оси Y можно получить непосредственно из уравнения в эта форма.

Пример 2 Если линия имеет уравнение

, то наклон линии должен быть -2, а точка пересечения оси Y - 8. Аналогично, график

г = -3x + 4

имеет наклон -3 и точку пересечения по оси Y 4; и график

имеет наклон 1/4 и точку пересечения по оси Y -2.

Если уравнение не записано в форме x = mx + b, и мы хотим знать наклон и / или точку пересечения с y, мы переписываем уравнение, решая относительно y через x.

Пример 3

Найдите наклон и точку пересечения оси Y 2x - 3y = 6.

Решение
Сначала мы решаем y через x, добавляя -2x к каждому члену.

2x - 3y - 2x = 6 - 2x
- 3y = 6 - 2x

Теперь, разделив каждого члена на -3, мы получим

Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, отметим, что наклон m (величина коэффициент при x) равен 2/3, а точка пересечения оси y равна -2.

7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными дается

y = kx (k - постоянная)

Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y изменяется прямо как x.

Пример 1

Мы знаем, что давление P в жидкости изменяется прямо пропорционально глубине d ниже поверхность жидкости. Мы можем обозначить это соотношение в символах как

P =

кД

В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных, и если мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение вторая переменная для этого нового набора условий.

В приведенном выше примере мы можем решить для константы k, чтобы получить

Поскольку отношение P / d постоянно для каждого набора условий, мы можем использовать соотношение для решения задач, связанных с прямым изменением.

Пример 2

Если давление P напрямую зависит от глубины d и P = 40, когда d = 10, найдите P, когда d = 15.

Решение
Поскольку отношение P / d является постоянным, мы можем подставить значения для P и d и получить пропорция

Таким образом, P = 60 при d = 15.

7,8 НЕРАВЕНСТВА В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

В разделах 7.3 и 7.4 мы построили уравнения с двумя переменными. В этом разделе мы построит график неравенств по двум переменным. Например, рассмотрим неравенство

у ≤ -x + 6

Решения - это упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.Это, (a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы заменим a на x и b на y.

Пример 1

Определите, является ли данная упорядоченная пара решением y = -x + 6.

а. (1, 1)
б. (2, 5)

Решение
Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x, а 1 подставив вместо y, мы получим

(1) = - (1) + 6, или 1 = 5

, что является правдой. С другой стороны, (2, 5) не является решением, потому что когда 2 заменяется на x и 5 заменяется на y, мы получаем

(5) = - (2) + 6, или 5 = 4

, что является ложным заявлением.

Чтобы изобразить неравенство y = -x + 6, сначала построим уравнение y = -x + 6 показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. Д., Связанные с точками, находящимися на линии или под ней, являются решениями неравенства y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками над линии не являются решениями неравенства. Фактически, все упорядоченные пары, связанные с точки на линии или ниже являются решениями y = - x + 6. Таким образом, каждая точка на или под линией находится на графике.Мы представляем это, закрашивая область под линия (см. рисунок 7.14).

В общем, чтобы построить график неравенства первой степени с двумя переменными в виде Ax + By = C или Ax + By = C, сначала строим график уравнения Ax + By = C и затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит решения. Затем закрашиваем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C) и тестирование, чтобы увидеть, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением учитывая неравенство.Если это так, закрашиваем полуплоскость, содержащую контрольную точку; иначе, заштриховываем вторую полуплоскость. Часто (0, 0) - удобная контрольная точка.

Пример 2

График 2x + 3y = 6

Решение
Сначала построим линию 2x + 3y = 6 (см. График a). Используя начало координат как контрольную точку, мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

2 (0) + 3 (0) = 6

ложно, (0, 0) не является решением и мы закрашиваем полуплоскость, не содержащую начало координат (см. график b).

Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом точка, так как она находится на линии.

Пример 3

График y = 2x.

Решение
Начнем с построения линии y = 2x (см. График a). Поскольку линия проходит через начало координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей тестовой точки. Мы будем используйте (0, 1). Поскольку выписка

(1) = 2 (0)

верно, (0, 1) - решение, и мы закрашиваем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см. график б).

Если символ неравенства - ', точки на графике Ax + By = C не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика Ax + By = C.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Решение уравнения с двумя переменными - это упорядоченная пара чисел. в упорядоченная пара (x, y), x называется первым компонентом, а y называется вторым составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой компонент решения называется независимой переменной, а переменная связанный со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f (x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в символ f (x) заменяется определенным значением, символ представляет значение выражения для этого значения x.

  2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые делится плоскость называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанной с точки на плоскости называются координатами точки; x называется абсциссой точки, а y называется ординатой точки.

  3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый упорядоченная пара, которая является решением уравнения, имеет график, лежащий на линии, и каждая точка в строке связана с упорядоченной парой, которая является решением уравнение.

    Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными могут быть использованы для получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух переменные, которые обычно легче всего найти, - это те, в которых либо первая, либо второй компонент равен 0.Координата x точки, в которой линия пересекает ось x. называется пересечением по оси x линии, а координата y точки, в которой линия пересекает ось ординат и называется пересечением линии. Использование точек пересечения для построения графика уравнение называется методом построения графика с пересечением.

  4. Наклон линии, содержащей точки P 1 (x 1 , y 1 ) и P 2 (x 2 , y 2 ), определяется как

    Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон (m 1 = m 2 ).

    Две прямые перпендикулярны, если произведение их уклонов равно - l (m 1 * m 2 = -1).

  5. Форма точки-наклона прямой с наклоном m, проходящей через точку (x 1 , y 1 ) это

    y - y 1 - m (x - x 1 )

    Форма пересечения наклона линии с наклоном m и точкой пересечения оси y b равна

    y = mx + b

  6. Взаимосвязь, определяемая уравнением вида

    y = kx (k постоянная)

    называется прямой вариацией.

  7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая, при подстановке в неравенство делает неравенство истинным утверждением. В График линейного неравенства от двух переменных представляет собой полуплоскость. Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

Прямолинейные уравнения: форма точечного уклона | Purplemath

Purplemath

На предыдущем уроке мы видели форму пересечения наклона для прямых линий.Другой формат для линейных уравнений называется формой «точка-наклон». Для этого они дают вам точку ( x 1 , y 1 ) и уклон м , и вы должны подставить его в эту формулу:

Пусть вас не пугают индексы. Они просто предназначены для того, чтобы указать на то, что они вам дают. У вас есть универсальные « x » и « y », которые всегда присутствуют в вашем уравнении, а затем у вас есть конкретные x и y с той точки, которую они вам дали; конкретные x и y - это то, что указано в формуле.

MathHelp.com

Вот как можно использовать формулу "точка-наклон":

  • Найдите уравнение прямой, имеющей наклон
    м = 4 и проходящей через точку (–1, –6).

Это та же строка, которую я нашел на предыдущей странице, поэтому я уже знаю ответ (а именно, y = 4 x - 2). Но давайте посмотрим, как этот процесс работает с формулой точки-наклона.

Мне дали м = 4, x 1 = –1 и y 1 = –6. Я вставляю эти значения в форму углового коэффициента и решаю для " y =":

y - y 1 = м ( x - x 1 )

y - (–6) = (4) ( x - (–1))

y + 6 = 4 ( x + 1)

y + 6 = 4 x + 4

y = 4 x + 4-6

y = 4 x -2

Это совпадает с результатом, который я получил, когда подключился к форме пересечения наклона.Это показывает, что на самом деле не имеет значения, какой метод вы используете (если только текст или учитель не укажут это). В любом случае вы можете получить один и тот же ответ, поэтому используйте тот метод, который вам удобнее.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске линейного уравнения с использованием формулы точечного уклона. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите «Ответить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув по «View Steps» на экране ответа виджета, вы попадете на сайт Mathway, где вы можете зарегистрироваться для получения бесплатной семидневной пробной версии программного обеспечения.)


Вы можете найти уравнение прямой, используя форму точки наклона, если они просто дадут вам пару баллов:

  • Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (–2, 4) и (1, 2).

Я уже ответил на этот вопрос, но давайте посмотрим на процесс. Я должен получить тот же результат; а именно:

y = (- 2 / 3 ) x + 8 / 3 ).

Учитывая два балла, всегда могу найти уклон:

Затем я могу использовать любую точку в качестве моей ( x 1 , y 1 ) вместе с этим наклоном, который я только что рассчитал, и вставить эти значения в форму «точка-наклон».Используя (–2, 4) как ( x 1 , y 1 ), я получаю:

y - y 1 = м ( x - x 1 )

y - (4) = (- 2 / 3 ) ( x - (–2))

y - 4 = (- 2 / 3 ) ( x + 2)

y - 4 = (- 2 / 3 ) x - 4 / 3

y = (- 2 / 3 ) x - 4 / 3 + 4

y = (- 2 / 3 ) x - 4 / 3 + 12 / 3

y = (- 2 / 3 ) x + 8 / 3

Это тот же ответ, который я получил, когда вставил ту же информацию в форму пересечения наклона на предыдущей странице.Итак, если ваш текст или учитель не укажут метод или формат для использования, вы можете (и должны!) Использовать любой формат, соответствующий вашему вкусу, потому что в любом случае вы получите один и тот же ответ.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении линейного уравнения по двум точкам. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите «Ответить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув «Просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы попадете на сайт Mathway, где вы можете зарегистрироваться для получения бесплатной семидневной пробной версии программного обеспечения.)


В рабочих примерах в следующем разделе я буду использовать формулу «точка-наклон», потому что именно так меня учили и этого хотят большинство книг. Но мой опыт показывает, что многие студенты предпочитают вставлять наклон и точку в форму линии пересечения наклона и решать для b . Если это работает лучше для вас, используйте вместо этого этот метод.


URL: https: // www.purplemath.com/modules/strtlneq2.htm

Поиск параллельных и перпендикулярных прямых

Как использовать алгебру для поиска параллельных и перпендикулярных прямых.

Параллельные линии

Как узнать, что две прямые параллельны ?

Их склоны одинаковые!

Пример:

Найдите уравнение прямой:

  • параллельно y = 2x + 1
  • и проходит через точку (5,4)

Наклон y = 2x + 1 равен: 2

У параллельной прямой должен быть одинаковый наклон, равный 2.

Мы можем решить это, используя уравнение "точка-наклон" прямой:

y - y 1 = 2 (x - x 1 )

И затем ставим точку (5,4):

у - 4 = 2 (х - 5)

И этот ответ в порядке, но давайте также запишем его в форме y = mx + b:

г - 4 = 2х - 10

у = 2х - 6

Вертикальные линии

Но это не работает для вертикальных линий... Объясняю почему в конце.

Не та же строка

Будьте осторожны! Они могут быть той же линией (но с другим уравнением), и поэтому не параллельны .

Как мы узнаем, действительно ли это одна и та же линия? Проверьте их точки пересечения оси Y (где они пересекают ось Y), а также их наклон:

Пример: y = 3x + 2 параллельно y - 2 = 3x?

Для y = 3x + 2 : наклон равен 3, а пересечение оси y равно 2

Для y - 2 = 3x : наклон равен 3, а пересечение оси y равно 2

На самом деле это одна и та же линия, поэтому они не параллельны

Перпендикулярные линии

Две прямые перпендикулярны, когда они встречаются под прямым углом (90 °).

Чтобы найти перпендикулярный уклон:

Когда одна линия имеет наклон м, перпендикулярная линия имеет наклон −1 м

Другими словами отрицательное обратное

Пример:

Найдите уравнение прямой, равной

.
  • перпендикулярно y = −4x + 10
  • и проходит через точку (7,2)

Наклон y = −4x + 10 равен: −4

Отрицательная обратная величина этого наклона равна:

м = −1 −4 = 1 4

Таким образом, перпендикулярная линия будет иметь наклон 1/4:

y - y 1 = (1/4) (x - x 1 )

А теперь ставим точку (7,2):

у - 2 = (1/4) (х - 7)

И этот ответ нормальный, но давайте также запишем его в форме «y = mx + b»:

у - 2 = х / 4 - 7/4

у = х / 4 + 1/4

Быстрая проверка перпендикуляра

Когда мы умножаем наклон m на его перпендикулярный наклон −1 m , мы получаем просто −1.

Итак, чтобы быстро проверить, перпендикулярны ли две линии:

Умножая их наклон, получаем −1

Как это:

Эти две прямые перпендикулярны?

Линия Наклон
y = 2x + 1 2
y = −0,5x + 4 -0,5

Когда мы умножаем два угла наклона, получаем:

2 × (−0.5) = −1

Да, мы получили −1, поэтому они перпендикулярны.

Вертикальные линии

Предыдущие методы работают нормально, за исключением вертикальной линии :

В данном случае градиент undefined (так как мы не можем разделить на 0):

m = y A - y B x A - x B = 4 - 1 2 - 2 = 3 0 = undefined

Так что просто положитесь на тот факт, что:

  • вертикальная линия параллельна другой вертикальной линии.
  • вертикальная линия перпендикулярна горизонтальной линии (и наоборот).

Сводка

  • параллельных прямых: тот же наклон
  • перпендикулярных линий: отрицательный обратный наклон (-1 / м)

Учебное пособие по калькулятору алгебры

- MathPapa

Это руководство по использованию калькулятора алгебры , пошагового калькулятора для алгебры.

Решение уравнений

Сначала перейдите на главную страницу Калькулятора алгебры.В текстовом поле калькулятора вы можете ввести математическую задачу, которую хотите вычислить.

Например, попробуйте ввести уравнение 3x + 2 = 14 в текстовое поле.

После того, как вы введете выражение, Калькулятор алгебры распечатает пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.


Примеры

Чтобы увидеть больше примеров задач, которые понимает калькулятор алгебры, посетите Страница примеров. Вы можете попробовать их прямо сейчас.2.


Вычисление выражений

Калькулятор алгебры может вычислять выражения, содержащие переменную x.

Чтобы оценить выражение, содержащее x, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и значение, которое вы хотите вставить для x. Например, команда 2x @ 3 вычисляет выражение 2x для x = 3, что равно 2 * 3 или 6.

Калькулятор алгебры также может вычислять выражения, содержащие переменные x и y.Чтобы оценить выражение, содержащее x и y, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y. Вот пример вычисления выражения xy в точке (3,4): xy @ (3,4).

Проверка ответов для решения уравнений

Так же, как калькулятор алгебры можно использовать для вычисления выражений, Калькулятор алгебры также можно использовать для проверки ответов на решение уравнений, содержащих x.

В качестве примера предположим, что мы решили 2x + 3 = 7 и получили x = 2.Если мы хотим вставить 2 обратно в исходное уравнение, чтобы проверить нашу работу, мы можем сделать это: 2x + 3 = 7 @ 2. Поскольку ответ правильный, калькулятор алгебры показывает зеленый знак равенства.

Если вместо этого мы попробуем значение, которое не работает, скажем, x = 3 (попробуйте 2x + 3 = 7 @ 3), вместо этого калькулятор алгебры покажет красный знак «не равно».

Чтобы проверить ответ на систему уравнений, содержащую x и y, введите два уравнения, разделенные точкой с запятой, за которыми следует знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y.Пример: x + y = 7; х + 2у = 11 @ (3,4).


Режим планшета

Если вы используете планшет, например iPad, войдите в Режим планшета, чтобы отобразить сенсорную клавиатуру.


Статьи по теме

Вернуться к калькулятору алгебры »

Написать уравнение линии, параллельной заданной линии и точке - демонстрация в стиле You-Tube и пройти через нее с дополнительной практикой ...

Студентов часто просят найти уравнение линии, параллельной другой линии и проходящей через точку.Посмотрите видеоинструкцию ниже, чтобы понять, как решать эти проблемы, и, если хотите, загрузите этот бесплатный рабочий лист, если вам нужна дополнительная практика.

Видеоурок
по уравнению прямой, параллельной и проходящей через точку

Метод 1: Использование формы пересечения уклона

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная $$ y = 3x + 5 $$ и проходящая через точку $$ (1, 7) $$?

Многим ученикам удобнее использовать форму пересечения наклона, но на самом деле этот тип задачи намного проще, если использовать форму точки наклона (показано сразу ниже)

Шаг 1 Шаг 2 Подставьте заданную точку (1, 7) в значения x и y

$ у = \ красный 3 х + Ь \\ 7 = \ красный 3 (1) + b $

Шаг 3

Решить относительно b (точка пересечения с y)

$ \ begin {align *} 7 & = 3 (1) + b \\ 7 & = 3 + b \\ -3 и -3 \\ \ hline \\ 4 & = b \\ \ end {выровнять *} $

Шаг 4

Замените это значение на 'b' в уравнении формы пересечения наклона $ у = 3х + 4 $

Метод 2: Использование формы после откоса

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная y = 3x + 5 и проходящая через точку (1, 7)?

Если вам удобна форма точечного склона, это то, что вам нужно! Вы только посмотрите, как мало осталось работы! Фактически, все, что вам нужно сделать, это дважды заменить!

Шаг 1

Подставьте наклон исходной линии (в данном случае 3) в уравнение точечного наклона y - y 1 = m ( x - x 1 )
y - y 1 = 3 ( x - x 1 )

Шаг 2

Подставьте заданную точку (1, 7) в значения x 1 и y 1 y -7 = 3 ( x -1)

Задача 1 - Метод 1

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная $$ y = 4x + 3 $$ и проходящая через точку $$ (5, 9) $$?

Использование формы пересечения уклона - метод 1

Покажи ответ Шаг 2

Подставьте заданную точку $$ (5, 9) $$ в значения x и y.

Отвечать

$ у = 4х + Ь \\ 9 = 4 (5) + b $

Шаг 3 Отвечать

$ \ begin {align *} 9 & = 4 (5) + b \\ 9 & = 20 + b \\ -20 и -20 \\ \ hline \\ -11 & = b \\ \ end {выровнять *} $

Проблема 1 - Метод 2

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная y = 4x + 3 и проходящая через точку (5, 9)?

Использование формы наклона точки - метод 2

Покажи ответ Шаг 1 Отвечать

y - y 1 = m ( x - x 1 )
y - y 1 = 4 ( x - x 1 )

Шаг 2

Подставьте заданную точку (5, 9) в значения x 1 и y 1 .

Проблема 2 - Метод 1

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная y = ¾x +22 и проходящая через точку (-8, 11)?

Форма пересечения откоса - метод 1

Покажи ответ Шаг 2

Подставьте заданную точку (-8, 11) в значения x и y.

Отвечать

у = ¾x + b
11 = ¾ (-2) + Ь

Шаг 3 Отвечать

Проблема 2 - Метод 2

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная y = ¾x + 22 и проходящая через точку (-8, 11)?

Использование формы наклона точки - метод 2

Покажи ответ Шаг 1 Отвечать

y - y 1 = m ( x - x 1 )
y - y 1 = ¾ ( x - x 1 )

Шаг 2

Подставьте заданную точку (-8, 11) в значения x 1 и y 1 .

Задача 3 - Метод 1

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная y = -x + 21 и проходящая через точку (32, -4)?

Форма пересечения откоса - метод 1

Покажи ответ Шаг 2

Подставьте заданную точку (32, -4) в значения x и y.

Отвечать

у = -¼x + b
-4 = -¼ (32) + Ь

Шаг 3 Отвечать
Проблема 3 - Метод 2

Какое уравнение представляет собой прямая, параллельная y = -x + 21 и проходящая через точку (32, -4)?

Использование формы наклона точки - метод 2

Покажи ответ Шаг 1 Отвечать

y - y 1 = m ( x - x 1 )
y - y 1 = - ( x - x 1 )

Шаг 2

Подставьте заданную точку (32, -4) в значения x 1 и y 1 .

Решенных проблем | Предельная PMF | Независимость



5.1.6 Решенные проблемы

Проблема
Рассмотрим две случайные величины $ X $ и $ Y $ с совместной PMF, приведенной в таблице 5.3.
  1. Найдите $ P (X \ leq 2, Y \ leq 4) $.
  2. Найдите предельные PMF $ X $ и $ Y $.
  3. Найдите $ P (Y = 2 | X = 1) $.
  4. Независимы ли $ X $ и $ Y $?
$ $ $ долл. США долл. США долл. США долл. США $ долл. США долл. США долл. США долл. США долл. США долл. США долл. США
$ Y = 2 $ Y = 4 $ Y = 5
долл. США X = 1 $ \ frac {1} {12} $ \ frac {1} {24} $ \ frac {1} {24}
$ X = 2 $ \ frac {1} {6} $ \ frac {1} {12} $ \ frac {1} {8}
долл. США X = 3 $ \ frac {1} {4} $ \ frac {1} {8} $ \ frac {1} {12}
  • Решение
      1. Чтобы найти $ P (X \ leq 2, Y \ leq 4) $, мы можем написать \ begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X \ leq 2, Y \ leq 4) & = P_ {XY} (1,2) + P_ {XY} (1,4) + P_ {XY} (2,2) + P_ {XY} (2,4) \\ \ nonumber & = \ frac {1} {12} + \ frac {1} {24} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {12} = \ frac {3} {8}.\ end {align}
      2. Примечание из таблицы, что \ begin {align}% \ label {} \ nonumber R_X = \ {1,2,3 \} \ textrm {и} R_Y = \ {2,4,5 \}. \ end {align} Теперь мы можем использовать уравнение 5.1, чтобы найти предельные PMF: \ begin {уравнение} \ nonumber P_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {6} & \ quad x = 1 \\ & \ quad \\ \ frac {3} {8} & \ quad x = 2 \\ & \ quad \\ \ frac {11} {24} & \ quad x = 3 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение} \ begin {уравнение} \ nonumber P_Y (y) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2} & \ quad y = 2 \\ & \ quad \\ \ frac {1} {4} & \ quad y = 4 \\ & \ quad \\ \ frac {1} {4} & \ quad y = 5 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение}
      3. Используя формулу условной вероятности, имеем \ begin {align}% \ label {} \ nonumber P (Y = 2 | X = 1) & = \ frac {P (X = 1, Y = 2)} {P (X = 1)} \\ \ nonumber & = \ frac {P_ {XY} (1,2)} {P_X (1)} \\ \ nonumber & = \ frac {\ frac {1} {12}} {\ frac {1} {6}} = \ frac {1} {2}.\ end {align}
      4. Независимы ли $ X $ и $ Y $? Чтобы проверить, независимы ли $ X $ и $ Y $, нам нужно проверить, что $ P (X = x_i, Y = y_j) = P (X = x_i) P (Y = y_j) $ для всех $ x_i \ in R_X $ и все $ y_j \ in R_Y $. Глядя на таблицу и результаты предыдущих частей, мы находим \ begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X = 2, Y = 2) = \ frac {1} {6} \ neq P (X = 2) P (Y = 2) = \ frac {3} {16}. \ end {align} Таким образом, мы заключаем, что $ X $ и $ Y $ не независимы.


Проблема
У меня есть сумка, содержащая синие шарики за 40 долларов и красные шарики за 60 долларов.Я выбираю шарики по 10 долларов (без замены) наугад. Пусть $ X $ - количество синих шариков, а $ y $ - количество красных шариков. Найдите совместный PMF $ X $ и $ Y $.
  • Решение
    • На самом деле это гипергеометрическое распределение. Во-первых, обратите внимание, что у нас должно быть $ X + Y = 10 $, поэтому \ begin {align}% \ label {} \ nonumber R_ {XY} & = \ {(i, j) | i + j = 10, i, j \ in \ mathbb {Z}, i, j \ geq 0 \} \\ \ nonumber & = \ {(0,10), (1,9), (2,8), ..., (10,0) \}. \ end {align} Тогда мы можем написать \ begin {уравнение} \ nonumber P_ {XY} (i, j) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {{40 \ choose i} {60 \ choose j}} {{100 \ choose 10}} & \ quad i + j = 10, i, j \ in \ mathbb {Z}, i, j \ geq 0 \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение}


Проблема
Пусть $ X $ и $ Y $ - две независимые дискретные случайные величины с одинаковыми CDF $ F_ {X} $ и $ F_Y $. Определять \ begin {align}% \ label {} \ nonumber Z = \ max (X, Y), \\ \ nonumber W = \ min (X, Y). \ end {align} Найдите CDF $ Z $ и $ W $.
  • Решение
    • Чтобы найти CDF $ Z $, мы можем написать \ begin {align}% \ label {} \ nonumber F_Z (z) & = P (Z \ leq z) \\ \ nonumber & = P (\ max (X, Y) \ leq z) \\ \ nonumber & = P \ bigg ((X \ leq z) \ textrm {and} (Y \ leq z) \ bigg) \\ \ nonumber & = P (X \ leq z) P (Y \ leq z) & (\ textrm {поскольку} X \ textrm {и} Y \ textrm {независимы}) \\ \ nonumber & = F_X (z) F_Y (z).\ end {align} Чтобы найти CDF для $ W $, мы можем написать \ begin {align}% \ label {} \ nonumber F_W (w) & = P (W \ leq w) \\ \ nonumber & = P (\ min (X, Y) \ leq w) \\ \ nonumber & = 1-P (\ min (X, Y)> w) \\ \ nonumber & = 1-P \ bigg ((X> w) \ textrm {and} (Y> w) \ bigg) \\ \ nonumber & = 1-P (X> w) P (Y> w) & (\ textrm {поскольку} X \ textrm {и} Y \ textrm {независимы}) \\ \ nonumber & = 1- (1-F_X (w)) (1-F_Y (w)) \\ \ nonumber & = F_X (w) + F_Y (w) -F_X (w) F_Y (w). {\ min (i, j)}}, \ hspace {10pt} \ textrm {for} (i, j) \ в R_ {XY}.2 \ leq 5) $.
    • Найдите $ P (X = Y) $.
    • Найдите $ E [X | Y = 2] $.
    • Найдите Var $ (X | Y = 2) $.
      • Решение
          1. Рисунок 5.5 показывает $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.

            Рисунок 5.5: На рисунке показаны $ R_ {XY} $ для $ X $ и $ Y $ в задаче 4.

          2. Во-первых, симметрично отметим, что $ X $ и $ Y $ имеют одинаковые PMF. Далее мы можем написать \ begin {align} \ label {} \ nonumber & P_X (0) = P_ {XY} (0,0) + P_ {XY} (0,1) = \ frac {1} {6} + \ frac {1} {6} = \ frac {1} {3}, \\ \ nonumber & P_X (1) = P_ {XY} (1,0) + P_ {XY} (1,1) + P_ {XY} (1,2) = \ frac {1} {6} \ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ right) = \ frac {1} {3}, \\ \ nonumber & P_X (2) = P_ {XY} (2,1) + P_ {XY} (2,2) + P_ {XY} (2,3) = \ frac {1} {6} \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right) = \ frac {1} {6}, \\ \ nonumber & P_X (3) = P_ {XY} (3,2) + P_ {XY} (3,3) + P_ {XY} (3,4) = \ frac {1} {6} \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ right) = \ frac {1} {12}. 2 \ leq 5) & = P_ {XY} (0,1) + P_ {XY} (1,0) + P_ {XY} (1,1) + P_ {XY} (1,2) + P_ {XY} (2,1) \\ \ nonumber & = \ frac {1} {6} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {12} + \ frac {1} {12} + \ frac {1} {12} \\ \ nonumber & = \ frac {7} {12}.я}\\ \ nonumber & = \ frac {1} {3}. \ end {align}
          3. Чтобы найти $ E [X | Y = 2] $, нам сначала понадобится условная PMF для $ X $ при $ Y = 2 $. У нас есть \ begin {align} \ label {} \ nonumber P_ {X | Y} (k | 2) & = \ frac {P_ {XY} (k, 2)} {P (Y = 2)} \\ \ nonumber & = 6P_ {XY} (k, 2), \ end {align} так что мы получаем \ begin {уравнение} \ nonumber P_ {X | Y} (k | 2) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2} & \ quad k = 1 \\ & \ quad \\ \ frac {1} {4} & \ quad k = 2,3 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.2 \\ \ nonumber & = \ frac {15} {4} - \ frac {49} {16} \\ \ nonumber & = \ frac {11} {16}. \ end {align}


      Проблема
      Предположим, что количество клиентов, посещающих ресторан быстрого питания в заданный день, равно $ N \ sim Poisson (\ lambda) $. k} {k!}, \ hspace {40pt} \ textrm {for} k = 0,1,2 ,.2 pq + \ lambda + 1). \ end {align}


Проблема
У меня есть монета с $ P (H) = p $. Я подбрасываю монету несколько раз, пока не увижу две последовательные орла. Пусть $ X $ будет общим количеством подбрасываний монеты. Найдите $ EX $.
  • Решение
    • Мы решаем эту проблему, используя тот же подход, что и в примере 5.6. Пусть $ \ mu = EX $. Сначала мы ставим условие на результат первого подбрасывания монеты. Конкретно, \ begin {align} \ nonumber \ mu = EX & = E [X | H] P (H) + E [X | T] P (T) \\ \ nonumber & = E [X | H] p + (1+ \ mu) (1-p).\ end {align} В этом уравнении $ E [X | T] = 1 + EX $, потому что броски независимы, поэтому, если первый бросок - решка, это похоже на начало второго броска. Таким образом, \ begin {align} \ label {alhh} p \ mu = pE [X | H] + (1-p) \ hspace {100pt} (5.14) \ end {align} Нам все еще нужно найти $ E [X | H] $, поэтому мы ставим условие при втором подбрасывании монеты \ begin {align} \ nonumber E [X | H] & = E [X | HH] p + E [X | HT] (1-p) \\ \ nonumber & = 2p + (2+ \ mu) (1-p) \\ \ nonumber & = 2 + (1-р) \ му.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск