Функция y=k*x2, ее свойства и график . Видеоурок. Алгебра 8 Класс

График  мы строили по точкам. Выглядел он так (см. рис. 1):

Рис. 1. График функции

Обратите внимание, что значение функции в любой точке у нас неотрицательно – это логично, т. к. при возведении в квадрат не может получиться отрицательное число, а значит, все, что под осью , нашему графику принадлежать не может.

Обратим также внимание и на то, что этот график симметричен относительно оси ординат. Есть специальное название для таких функций: они называются четными. Четные функции имеют график, симметричный относительно

, а связано это с тем, что , как и для нашей функции.

Заметим также, что до  наш график убывает, а после  – возрастает (см. рис. 2).

Рис. 2. Убывание и возрастание графика функции

Соответственно, чем больше  (при ), тем больше  и чем больше  (при ), тем больше .

Теперь попробуем поменять

, пока будем брать его только положительным.

Например, возьмем  и . Если строить графики по точкам, то можно увидеть, что при

interneturok.ru

Функция y = k/x — урок. Алгебра, 8 класс.

если x=−18, то \(y = -8\).

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).

 

 

А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков сделаем один.

 

 

Это и есть график функции y=1x, его называют гиперболой.

Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

 

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат \(O\) и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки \(O\), но на равных расстояниях от неё. Это присуще, в частности, точкам \((1; 1)\) и \((- 1; — 1)\), 2;12 и −2;−12 и т. д.

 

Значит, \(O\) — центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

 

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит всё ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции y=1x, т. е. гипербола, имеет две асимптоты: ось \(x\) и ось \(y\).

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить ещё одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»).

 

Обрати внимание!

У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую \(y = x\).

 

 

Теперь смотрите: точки 2;12 и 12;2 расположены по разные стороны от проведённой прямой, но на равных расстояниях от неё. Они симметричны относительно этой прямой. То же можно сказать о точках 4;14 и 14;4,8;18 и 18;8 и т. д.  Значит, прямая \(y =x\) — ось симметрии гиперболы y=1x (равно как и \(y = -x\)).

www.yaklass.ru

Функция y = k/x, её свойства и график. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Коэффициент обратной пропорциональности Сложность: лёгкое	1
2.	Расположение графика функции Сложность: лёгкое	1
3.	Построение графика функции Сложность: лёгкое	1
4.	Обратно пропорциональные величины Сложность: лёгкое	1
5.	Гипербола Сложность: лёгкое	1
6.	Значение обратной пропорциональности Сложность: лёгкое	1
7.	Принадлежность точки графику обратной пропорциональности Сложность: лёгкое	2
8.	Определение формулы обратной пропорциональности Сложность: лёгкое	2
9.	Задача на обратную пропорциональность Сложность: среднее	2
10.	Задача на обратную пропорциональность (количество и стоимость товара) Сложность: среднее	2
11.	Построение графика обратной пропорциональности Сложность: среднее	4
12.	Аргумент обратной пропорциональности Сложность: среднее	3
13.	Экономическая задача Сложность: среднее	4
14.	Принадлежность точки графику Сложность: среднее	2
15.	Обратная пропорциональность Сложность: среднее	2
16.	Вычисление значения Сложность: среднее	2
17.	Нахождение значения Сложность: сложное	3
18.	Значение функции Сложность: сложное	3
19.	Значение аргумента Сложность: сложное	3

www.yaklass.ru

Функция y=k/х ℹ️ свойства и график, область определения функции, коэффициент в графике функции, примеры решения задач

Общие сведения

Функцией называется некоторая зависимость переменных друг от друга. В некоторых случаях неизвестные величины могут быть выражены системой конкретных значений, интервалами, а также другими функциональными выражениями. Последний класс называется сложным или составным. Различают зависимые и независимые переменные (аргументы). Второй тип может принимать любые значения, кроме тех, которые превращают выражение в неопределенность.

Однако аргументы необходимо также обследовать, поскольку они могут обратить тождество в пустое множество. Одним из таких примеров является функция у = к / х. Ее аргумент x может принимать любые значения, кроме 0. Именно это число превращает уравнение в неопределенность, поскольку в математике существует следующее правило: запрещается делить на 0.

Следует отметить, что существует функция y = k/x и ее график — кривая, имеющая название гипербола. Многие путают его с параболой (в степени 2). Однако она является квадратичной. График строится в системе координат, которая называется декартовой. Кроме того, в математике встречается еще одно уравнение вида y = кх. Ее графиком является прямая.

Прямоугольная система координат

В математике существуют специальные инструменты для построения графиков функций. Одним из них считается распространенная прямоугольная система координат. Она может быть на плоскости и в пространстве. Поскольку y = k/x и y = kx являются элементарными, то для иллюстрации их графиков используется однородная прямоугольная декартовая система координат (рис. 1), элементом которой является точка.

Для декартовой системы на плоскости имеется только две координаты: по взаимно перпендикулярным осям ординат (ОУ) и абсцисс (ОХ). Они пересекаются в некоторой точке О, которая называется началом координат.

Рисунок 1. Прямоугольная декартова система координат (ДСК).

При указании координат нужно учитывать четверть. От нее зависит знак. Оси ординат (игрек) и абсцисс (икс) делят систему на четыре четверти. Они обозначаются римскими цифрами (рис. 1) и имеют такие свойства:

• Первая — I: координаты x и y являются положительными числами, т. е. x > 0 и y > 0.
• II: x < 0 и y > 0.
• III: x < 0 и y < 0.
• IV: x > 0 и y < 0.

Базовыми знаниями являются правильное нахождение координат произвольной точки и их запись. Например, на рисунке 1 нужно найти координаты С. Их нужно искать по следующему алгоритму:

• Опустить из точки перпендикуляры на ОУ и ОХ: b и a соответственно.
• Найти координаты по х и у (размерность шкалы деления осей нужно задавать при построении ДСК): B и С соответственно.
• Записать значения: C(В;С).

Допускается задавать одну шкалу в одних единицах, а вторую — в других. Например, при построении графика y = 100x можно задавать х в виде единичных значений, а вот уже у будут исчисляться сотнями. Чтобы приступать к дальнейшему изучению материала, математики рекомендуют потренироваться в нахождении координат любых точек.

Коэффициент пропорциональности

В математических дисциплинах бывает два типа пропорциональности — прямая и обратная. Они применяются для описания различных процессов, исследования дифференциальных уравнений, физических величин и законов.

Прямой пропорциональностью называется некоторая линейная функция вида y = kx, в которой аргументом является х, а к — коэффициент прямой пропорциональности. Иными словами, произведение к на аргумент x есть величина, определяющая прямую пропорциональную зависимость одной величины от другой. Обратной пропорциональностью называется некоторая функция вида y = k/x, значение аргумента которой никогда не равно нулю.

Графиком линейной функции вида y = kx является прямая, проходящая через начало координат в точке О(0;0). От к зависит угол наклона прямой. Если к > 0, то он является острым, т. е. его значение меньше 90 градусов. При к < 0 угол наклона больше 90 градусов (тупой).

Для обратной пропорциональности, заданной уравнением у = к / х, значение коэффициента влияет на расположение гиперболы в четвертях ДСК. Если к > 0, то она располагается в I и III. Когда к < 0, тогда ее расположение заключено во II и IV четвертях.

Исследование функции

Для полного анализа поведения функции применяется методика или алгоритм ее исследования. Это нужно прежде всего для подробного графика. Однако перед началом выполнения этой операции следует ознакомиться с основными пунктами полного исследования заданной функции. К ним относятся следующие:

• Область определения — D(f).
• Область допустимых значений — E(f).
• Нули.
• Знаковые промежутки.
• Периодичность.
• Параметры четности.
• Экстремумы (MAX и MIN).
• Монотонность (интервалы).

Однако некоторые пункты можно опускать или менять местами. После этого необходимо строить график, учитывая все необходимые материалы исследования. Следует подробно разобрать каждый пункт, поскольку только верное решение дает возможность построить правильный график. Кроме того, специалисты рекомендуют освоить интервалы и их правильную запись.

Правила записи интервалов

В некоторых пунктах алгоритма исследования функции встречается термин «промежуток» или «интервал». От правильности его задания зависит решение задачи. Во всем мире приняты обозначения, которые помогут сделать запись понятной и грамотной:

• Обозначение жесткой границы (включительно) квадратными скобками [], а значения, не входящего в интервал (не включительно), — круглыми скобками ().
• Тип границ можно комбинировать.
• Для объединения промежутков применяется специальный символ U.
• Бесконечность можно обозначать символом или inf. Например, (-inf;inf).
• Перед и после бесконечности всегда ставится круглая скобка.
• Порядок комбинации промежутков (интервалов или числовых отрезков): последовательно от большего к меньшему. Например, (-inf;-8) U (-4;0] U [5;8] U (10;15).

Обозначение inf используется в некоторых языках программирования или математических пакетах. В дисциплине «Алгебра и начало анализа» интервалы встречаются очень часто, поскольку она основана на исследовании выражений, уравнений, неравенств, функций и т. д. После ознакомления с правилами записи промежутков следует переходить к первому пункту — нахождению D(f).

Область определения и допустимые значения

Все значения аргумента, при которых существует заданная функция вида z = f(y), называется областью ее определения. Обозначается параметр комбинацией букв D(имя функции), т. е. D(z) или D(f(y)). Величина D(z) зависит от типа функции, в том числе от ее сложности. Если она состоит из нескольких простых элементов, то нужно рассматривать D(z) для каждого из них. Параметр всегда записывается в виде промежутка, на котором существует зависимая переменная.

Областью допустимых значений функции z = f(y) являются все значения, при которых она существует. Обозначается величина литерой Е(имя функции). Например, запись для z = f(y) выглядит таким образом: Е(z) или Е(f(y)). Этот параметр тоже зависит от типа выражения, как и D(z). Задается в виде интервала. Для его задания необходимо выяснить, при каких значениях функция не существует. Например, для z = 2 / y. В искомом выражении у не может быть равен 0. Следовательно, у принадлежит следующему интервалу: (-inf;0) U (0;inf). Для z = 3y параметр Е(z) = (-inf;inf), поскольку при любых значениях функция существует.

Нули и знаковые промежутки

Нулями функции называются все значения независимой переменной, при которых ее график пересекается с осями ОУ и ОХ. Для нахождения точки пересечения с ОУ необходимо подставить х = 0 в выражение и выполнить расчеты. Чтобы найти пересечение или пересечения с осью иксов, нужно решить уравнение, приравняв его к 0.

Знаковые промежутки (интервал знакопостоянства) — отрезки, на которых функция меняет знак на противоположный. Если интервал положительный, то короткая запись выглядит таким образом: f(x) > 0 при х, принадлежащим промежутку (2;6) U [8;10]. Аналогично указывается отрезок, на котором заданная функция принимает отрицательные значения (f(x) < 0). Математики рекомендуют воспользоваться методом интервалов. Он представлен таким алгоритмом:

• Найти D(z).
• Определить нули с ОХ.
• Начертить ось ОХ отдельно.
• Отложить на ней точки разрыва, нули функции.
• Определить знаки на интервалах.

Следует отметить, что на числовой прямой обозначаются только те точки, которые входят в ее область определения.

Периодичность и четность

Периодической является функция, повторяющая значения через некоторый период Т (регулярный интервал). Ее значения не меняются при добавлении к аргументу некоторого числа, неравного нулевому значению. Математическая запись для z = f(y) имеет такой вид: z = f(y + T) = f(y — T). Для любой периодической функции справедливо также следующее равенство: z = f(y + nT). Коэффициент n — любое целочисленной значение.

Для выявления признака четности следует воспользоваться очень простым соотношением f(y) = f(-y). Для этого необходимо подставить в выражение положительное, а затем отрицательное значение аргумента. Если в первом и втором случаях равенство будет выполняться, то можно сделать вывод о четности. Когда соотношение не выполняется, тогда исходная функция является нечетной.

Монотонность и экстремумы

Монотонная — функция z = f(x), которая может только возрастать или убывать (понижение) на всей области определения. Для исследования нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• Найти первую производную.
• Определить критические точки, приравняв производную к 0.
• Выяснить знаки производной на промежутках.
• Сделать выводы.

Далее нужно определить экстремумы, т. е. минимальное и максимальное значения функции на всей области ее определения. В этом случае также существуют определенные правила:

• Найти D(z) и сравнить его с отрезком, на котором нужно найти экстремумы (должен принадлежать D(z)).
• Найти производную заданной функции.
• Выполнить поиск стационарных точек (производная приравнивается к 0 и решается уравнение).
• Подставить корни уравнения в исходную функцию.
• Найти минимальное и максимальное значения.

Следует учесть все точки. Однако перед выполнением 4 пункта следует отсеять ложные корни. Для этого следует подставить в уравнение корни. Они должны соответствовать равенству. Если этого не происходит, то корень отсеивается.

Информация о свойствах

В некоторых источниках описываются свойства y = k/x и ее график. Следует отметить, что они получаются при исследовании последней. Существует два состояния. При первом коэффициент пропорциональности больше 0 (k > 0). Следовательно, она обладает такими свойствами:

• График: кривая-гипербола.
• D(y) = (-inf;0) U (0;+inf).
• Если x > 0, то y > 0.
• При отрицательных величинах аргумента функция принимает отрицательные значения.
• Она убывает на интервалах: (-inf;0) и (0;+inf).
• Точек экстремума нет.
• Непрерывна, кроме точки х = 0.
• Непериодическая.
• Нечетная.

Когда к < 0, тогда ее свойства отличаются только в 3 и 4 пунктах: y > 0 при отрицательных значениях аргумента, а y < 0 при x > 0. Функция y = kx обладает такими свойствами (k > 0):

• График: прямая.
• D(y) = (-inf;+inf).
• Если x > 0, то y > 0. Когда x < 0, то y < 0.
• Всегда возрастает по всей D(y).
• Минимумов и максимумов нет.
• Непрерывна.
• Нечетная.
• Непериодическая.

При k < 0 она обладает такими же свойствами, но есть такие отличия в пункте 3: y > 0 при x < 0. Следует отметить, что в высшей математике уравнения гиперболы отличаются. Каноническая форма имеет такой вид: [x^2 / a] — [у^2 / b] = 1 (a и b — некоторые целые числа).

Пример решения

Существует некоторый тип задач, в которых нужно исследовать и построить график функции y = k/x. Разобрать решение можно на примере y = 5 / (x — 3). Следует воспользоваться алгоритмом:

• D(5 / (x — 3)) = (-inf;3) U (3;+inf).
• Нули функции. По ОУ: y = 5 / (0 — 3) = — 5/3. По ОХ: 5 / (x — 3) = 0. Если решить уравнения, то у него нет корней.
• Знаковые промежутки: (-inf;3) и (3;+inf).
• Непериодическая.
• Четность: 5 / (-x — 3) = — 5 / (x + 3). Нечетная: — 5 / (x + 3) не равно 5 / (x — 3).
• Экстремумы: y’ = [5 / (x — 3)] = — 5 / (x — 3)^2 = 0. Уравнение не имеет решений, а это значит, что максимума и минимума нет.
• Не является монотонной.

Чтобы построить график функции y = k / x + 3 (к = 5), нужно составить таблицу для его построения.

х	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
у	-5/7	-5/6	-1	-1,2	-5/3	-2,5	-5	нет	5

Таблица 1. Зависимость значения функции от ее аргумента.

После составления таблицы нужно начертить ДСК. На ней следует отмечать точки, а затем их плавно соединить (рис. 2).

Рисунок 2. График обратной пропорциональности y = k / x — 3 при к = 5.

Математики рекомендуют для проверки применять специализированные веб-приложения. Одним из них является онлайн-сервис, который называется yotx.

Таким образом, графиком обратной пропорциональности является гипербола, а прямой пропорциональности — прямая. Поведение функции исследуется по специальному алгоритму, который позволяет легко построить ее график и выяснить некоторые свойства.

nauka.club

Функция y=k/x — урок. Алгебра, 9 класс.

если x=−18, то \(y = -8\).

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).

 

 

А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков сделаем один.

 

 

Это и есть график функции y=1x, его называют гиперболой.

Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

 

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат \(O\) и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки \(O\), но на равных расстояниях от неё. Это присуще, в частности, точкам \((1; 1)\) и \((- 1; — 1)\), 2;12 и −2;−12 и т. д.

 

Значит, \(O\) — центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

 

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит всё ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции y=1x, т. е. гипербола, имеет две асимптоты: ось \(x\) и ось \(y\).

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить ещё одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»).

 

Обрати внимание!

У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую \(y = x\).

 

 

Теперь смотрите: точки 2;12 и 12;2 расположены по разные стороны от проведённой прямой, но на равных расстояниях от неё. Они симметричны относительно этой прямой. То же можно сказать о точках 4;14 и 14;4,8;18 и 18;8 и т. д.  Значит, прямая \(y =x\) — ось симметрии гиперболы y=1x (равно как и \(y = -x\)).

www.yaklass.by

Свойства линейной функции y=kx+m и y=kx2 (k ≠ 0). Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Тема: Числовые функции

 Урок: Свойства линейной функции  и  

На этом уроке рассматриваются основные свойства двух видов функции: линейной и квадратичной. Решаются типовые задачи. 

Определение. Линейной называется функция вида , где

 — независимая переменная, аргумент;

 — зависимая переменная, функция;

 — константы.    

Примеры.

а. , (естественная область определения).

б.   

а. Функция  (см. Рис.1).

Рис. 1. График функции

.

.

.

Монотонно возрастает, непрерывна, не ограничена.

График иллюстрирует свойства.

б. Функция  (см. Рис.2).

Рис. 2. График функции

.

Монотонно возрастает, непрерывна, ограничена.

График иллюстрирует свойства.

interneturok.ru

Линейная функция y = kx — урок. Алгебра, 7 класс.

Рассматривая линейную функцию вида \(y=kx + m\), особо выделяют случай, когда \(m=0\).

Тогда линейная функция принимает вид \(y=kx\).

Графиком линейной функции \(y=kx\) является прямая, проходящая через начало координат.

Важно уметь переходить от аналитической модели \(y=kx\) к геометрической и, наоборот, от геометрической к аналитической модели.

 

Например, рассмотрим прямую, изображённую на рисунке.

 

 

Эта прямая является графиком линейной функции \(y=kx\), так как проходит через начало координат. Нужно лишь определить значение коэффициента \(k\).

Из формулы линейной функции \(y=kx\) получим, что k=yx.

 

Поэтому для определения коэффициента \(k\) достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к её абсциссе.

 

Прямая проходит через точку \(M(4; 2)\), а для этой точки имеем 24=0,5. Значит, \(k=0,5\), и данная прямая является графиком линейной функции \(y=0,5x\).

 

График линейной функции \(y=kx\) обычно строят так: берут точку \((1; k)\) (если \(x = 1\), то из равенства \(y=kx\) выводим, что \(y=k\)) и проводят прямую через эту точку и начало координат.

Иногда вместо точки \((1; k)\) можно взять другую точку, более удобную.

От коэффициента \(k\) зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси \(x\).

 

Если \(k>0\), то этот угол острый (как на первом рисунке), а

если \(k<0\), то этот угол тупой (как на втором рисунке).

 

Поэтому коэффициент \(k\) в записи \(y=kx\) называют угловым коэффициентом.

 

Обобщая сведения о линейных функциях, можно сделать вывод:

прямая, служащая графиком линейной функции \(y=kx + m\), параллельна прямой, служащей графиком линейной функции \(y=kx\).

 

На рисунке показаны параллельные прямые с одним и тем же коэффициентом \(k = 4\).

Поэтому коэффициент \(k\) в записи \(y=kx + m\) также называют угловым коэффициентом, и

если \(k>0\), то прямая \(y=kx + m\) образует с положительным направлением оси \(x\) острый угол;

если \(k<0\), то этот угол тупой.

www.yaklass.ru