Решите неравенство 1-x>=0 (1 минус х больше или равно 0)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: 1-x>=0 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели[TeX]
[pretty]
[text]
$$- x + 1 \geq 0$$
Подробное решение[TeX]
Дано неравенство:$$- x + 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- x + 1 = 0$$
Решаем:
Дано линейное уравнение:
1-x = 0
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-x = -1
Разделим обе части ур-ния на -1
x = -1 / (-1)
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$- x + 1 \geq 0$$
1 - 9/10 >= 0
1/10 >= 0
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 1$$
_____
\
-------•-------
x1Решение неравенства на графике
Быстрый ответ[TeX]
[pretty]
[text]
$$x \leq 1 \wedge -\infty
Быстрый ответ 2[TeX]
[pretty]
[text]
$$x \in \left(-\infty, 1\right]$$
Решите неравенство (x-y+1)*(x+2*y-2)
Дано неравенство:$$\left(x — y + 1\right) \left(x + 2 y — 2\right) Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — y + 1\right) \left(x + 2 y — 2\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x — y + 1\right) \left(x + 2 y — 2\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + x y — x — 2 y^{2} + 4 y — 2 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = y — 1$$
$$c = — 2 y^{2} + 4 y — 2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1 + y)^2 - 4 * (1) * (-2 - 2*y^2 + 4*y) = 8 + (-1 + y)^2 - 16*y + 8*y^2
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
_____________________________
/ 2 2
1 \/ 8 + (-1 + y) - 16*y + 8*y y 1
- + -------------------------------- - - - --
2 2 2 10=
$$- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} — 16 y + \left(y — 1\right)^{2} + 8} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — y + 1\right) \left(x + 2 y — 2\right)
/ _____________________________ \ / _____________________________ \ | / 2 2 | | / 2 2 | |1 \/ 8 + (-1 + y) - 16*y + 8*y y 1 | |1 \/ 8 + (-1 + y) - 16*y + 8*y y 1 | |- + -------------------------------- - - - -- - y + 1|*|- + -------------------------------- - - - -- + 2*y - 2|/ _____________________________ \ / _____________________________ \ | / 2 2 | | / 2 2 | | 8 \/ 8 + (-1 + y) - 16*y + 8*y 3*y| |7 \/ 8 + (-1 + y) - 16*y + 8*y 3*y|
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 y^{2} - 16 y + \left(y - 1\right)^{2} + 8} + \frac{1}{2} \wedge x_____ / \ -------ο-------ο------- x1 x2
Решите неравенство (x-y)*(x*y-1)>=0 ((х минус у) умножить на (х умножить на у минус 1) больше или равно 0)
Дано неравенство:$$\left(x — y\right) \left(x y — 1\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — y\right) \left(x y — 1\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x — y\right) \left(x y — 1\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} y — x y^{2} — x + y = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = y$$
$$b = — y^{2} — 1$$
$$c = y$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1 - y^2)^2 - 4 * (y) * (y) = (-1 - y^2)^2 - 4*y^2
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} — \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} — \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} — \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 y} \left(y^{2} — \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
___________________
/ 2
2 / / 2\ 2
1 + y + \/ \-1 - y / - 4*y 1
-------------------------------- - --
1 10
2*y =
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
подставляем в выражение
$$\left(x — y\right) \left(x y — 1\right) \geq 0$$
/ ___________________ \ // ___________________ \ \ | / 2 | || / 2 | | | 2 / / 2\ 2 | || 2 / / 2\ 2 | | |1 + y + \/ \-1 - y / - 4*y 1 | ||1 + y + \/ \-1 - y / - 4*y 1 | | |-------------------------------- - -- - y|*||-------------------------------- - --|*y - 1| >= 0 | 1 10 | || 1 10| | \ 2*y / \\ 2*y / /
/ / ___________________\\ / ___________________\
| | / 2 || | / 2 |
| | 2 / / 2\ 2 || | 2 / / 2\ 2 |
| | 1 1 + y + \/ \-1 - y / - 4*y || | 1 1 + y + \/ \-1 - y / - 4*y | >= 0
|-1 + y*|- -- + --------------------------------||*|- -- - y + --------------------------------|
\ \ 10 2*y // \ 10 2*y /
Тогда
$$x \leq \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{2 y} \left(y^{2} + \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right) \wedge x \leq \frac{1}{2 y} \left(y^{2} — \sqrt{- 4 y^{2} + \left(- y^{2} — 1\right)^{2}} + 1\right)$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2Решите неравенство x^2+x*y+y^2
Дано неравенство:$$y^{2} + x^{2} + x y \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$y^{2} + x^{2} + x y = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = y$$
$$c = y^{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(y)^2 - 4 * (1) * (y^2) = -3*y^2
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
$$x_{2} = — \frac{y}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
_____
___ / 2
y \/ 3 *\/ -y 1
- - + -------------- - --
2 2 10=
$$- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$y^{2} + x^{2} + x y \leq 0$$
2
/ _____ \ / _____ \
| ___ / 2 | | ___ / 2 |
| y \/ 3 *\/ -y 1 | | y \/ 3 *\/ -y 1 | 2
|- - + -------------- - --| + |- - + -------------- - --|*y + y 2
/ _____\ / _____\
| ___ / 2 | | ___ / 2 |
2 | 1 y \/ 3 *\/ -y | | 1 y \/ 3 *\/ -y |
Тогда
$$x \leq - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}} \wedge x \leq - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{- y^{2}}$$ _____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2