Y x 3 y x 1 x e: Исследование функции y=x-3/x+1. Построение графика.

2 — x – 1 и построение графика.

Решение.

  1. Функция определяется для любых значений аргумента х, поэтому ее область определения от —\pi до +\pi.
  2. Точки, в которых функция пересекается с координатными осями.

Ось Ох: при у = 0 нужно решить уравнение:

   

Преобразуем данное выражение, вынеся из двух первых слагаемых множитель х в квадрате, а из вторых двух слагаемых — минус:

   

Общий множитель выносим за скобки:

   

Решим полученное уравнение, разбив его на два более простых:
или

   

   

Получили две точки пересечения (—1; 0) и (1; 0).
Ось Оу:  при х = 0. Подставим это значение в уравнение функции:

   

  1. Определим четность функции:

   

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Степенные функции непериодичны.
  2. Вычислим промежутки возрастания или убывания, а также точки экстремумов:

   

Найдем критические точки:

   

   

   

   

Рассмотрим поведение производной функции на трех полученных промежутках:

От —\pi до—1:
— функция возрастающая
От —1 до 1/3:
— функция убывает
От 1/3 до +\pi:
— функция возрастает
Получаем в точке —1 — точку максимума, а в точке 1/3 — точку минимума.
Найдем координату у этих точек:

   

   

  1. Вычислим промежутки выпуклости или вогнутости и точку ее перегиба:

   

   

   

Рассмотрим знак 2-й производной на промежутках:
От —\pi до —1/3:
— функция выпукла вверх
От —1/3 до +\pi:
— функция выпукла вниз
Найдем координаты точки перегиба:

   

  1. Функция не имеет точек разрыва.
  2. Строим график функции.

Содержание

1) y=-x 2 +7x-14 2) y=x 2-7x+14 3) y=x 2 +7x+14 4) y=-x 2-7x-14

Степенная функция.

Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Функция вида y=ax +bx+c, где а 0, называется квадратичной. Значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями функции. Если b=c=0, то функция принимает вид

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

11.1. Функции Базовый уровень.

111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Подробнее

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

Задание 18. Задачи с параметром

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

Подробнее

Пусть задано числовое множество D

Пусть задано числовое множество D R.

Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x D. Множество D, называется

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

М- 8 класс Рабочая тетрадь 8 глава стр. 1 Глава 8 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-801 Установление вида зависимостей в физических формулах и законах Т-80 Выражение одной переменной через другие Т-803 Вычисление

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

16.2.Н. Производная.

6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, [email protected], (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

1 Корни и их количество

1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество. ..1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Подробнее

ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ 3

ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл. заполнить первую строку табл. затем выписать соответствующие вашему номеру варианта данные из табл.. Например

Подробнее

1. Решите графически систему уравнений: ( )

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 9 класс

ВЕ Бачурин Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра: Учеб для 9 кл общеобразоват учреждений / ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова; Под ред СА Теляковского 0-е изд М: Просвещение,

Подробнее

Инструкция по выполнению работы

Проект Экзаменационная работа для проведения государственной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 009 года (в новой форме) по АЛГЕБРЕ Демонстрационный вариант 009 года

Подробнее

Чтение графиков функций

Материалы для выполнения внеаудиторной (домашней самостоятельной работы) нацеленные на устранение пробелов знаний и умений по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

Подробнее

Как я могу решить y = (x+1)**3 -2 для x в sympy?



Я хотел бы решить y = (x+1)**3 - 2 для x в sympy, чтобы найти его обратную функцию.
Я попробовал использовать solve, но не получил того, что ожидал.

Вот что я написал в консоли IPython в cmd (sympy 1.0 на Python 3.5.2):

In [1]: from sympy import *
In [2]: x, y = symbols('x y')
In [3]: n = Eq(y,(x+1)**3 - 2)
In [4]: solve(n,x)
Out [4]: 
[-(-1/2 - sqrt(3)*I/2)*(-27*y/2 + sqrt((-27*y - 54)**2)/2 - 27)**(1/3)/3 - 1,
 -(-1/2 + sqrt(3)*I/2)*(-27*y/2 + sqrt((-27*y - 54)**2)/2 - 27)**(1/3)/3 - 1,
 -(-27*y/2 + sqrt((-27*y - 54)**2)/2 - 27)**(1/3)/3 - 1]

Я смотрел на последний элемент в списке в Out [4], но он не равен x = (y+2)**(1/3) - 1 (чего я и ожидал).
Почему sympy выдал неправильный результат и что я могу сделать, чтобы sympy выдал решение, которое я искал?

Я попробовал использовать solveset, но получил те же результаты, что и при использовании solve .

In [13]: solveset(n,x)
Out[13]: {-(-1/2 - sqrt(3)*I/2)*(-27*y/2 + sqrt((-27*y - 54)**2)/2 - 27)**(1/3)/
3 - 1, -(-1/2 + sqrt(3)*I/2)*(-27*y/2 + sqrt((-27*y - 54)**2)/2 - 27)**(1/3)/3 -
 1, -(-27*y/2 + sqrt((-27*y - 54)**2)/2 - 27)**(1/3)/3 - 1}
python sympy
Поделиться Источник DragonautX     29 сентября 2016 в 00:32

2 ответа


  • Как заменить x и y в уравнении на x[0] и x[1]?

    У меня есть функция x и y . Я хочу преобразовать это в функцию x[0] и x[1] соответственно ( заменить ). как действовать дальше ? import sympy as s x,y = s.symbols('x,y') def f(x,y): return (-x + 67)**2/(y**2)

  • Sympy, как решить уравнение с 2 неизвестными в заданном диапазоне

    Предположим, я определяю два символа x и y . import sympy as sp x = sp.symbols('x', integer=True) y = sp.symbols('y', integer=True) Я знаю, что могу решать уравнения с одной переменной как таковой: expr = 3*x**2 - 12 result = sp. solve(expr, x) print(result) [-2, 2] и я могу ограничить диапазон...



4

Sympy дал вам правильный результат: ваш последний результат эквивалентен (y+2)**(1/3)-1.

То, что вы ищете, это simplify :

>>> from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
>>> x, y = symbols("x y")
>>> n = Eq(y, (x+1)**3 - 2)
>>> s = solve(n, x)
>>> simplify(s[2])
(y + 2)**(1/3) - 1

edit: работал с sympy 0.7.6.1, после обновления до 1.0 он больше не работает.

Поделиться L3viathan     29 сентября 2016 в 00:38



3

Если вы объявите, что x и y положительны, то есть только одно решение:

import sympy as sy
x, y = sy.symbols("x y", positive=True)
n = sy.Eq(y, (x+1)**3 - 2)
s = sy.solve(n, x)
print(s)

доходность

[(y + 2)**(1/3) - 1]

Поделиться unutbu     29 сентября 2016 в 01:05


Похожие вопросы:


Как я могу решить x + 1 < 2 в Sympy?

в математике я могу решить x + 1 < 2 с помощью: Reduce[x + 1 < 2, x] Могу ли я сделать то же самое с SymPy? И как я могу это сделать?


Как решить sin (z)=2 в Sympy?

Sympy работает с комплексными числами, поэтому есть возможность решать уравнения типа sin(z)=2 . Однако я не могу этого понять. У кого-нибудь есть идея, как решить эту проблему в симпатии? BTW,...


Как определить и решить взаимно ссылающиеся выражения в SymPy

Предположим, у меня есть следующая система уравнений: x = 1/y + b y = 2*x Отсюда следует, что b = x-1/(2*x) Однако если я попытаюсь определить эти выражения в SymPy, from sympy import * b =. 3, + sys3d=contour,level=0,from=c(-10,-10),to=c(10,10), +...


Как решить x - a tan(x) = 0 с помощью Sympy

Я пытаюсь найти решение уравнения x = a * tan (x) на Python. Симпатия, кажется, может решить такое уравнение, так что если я напишу import sympy as sym x = sym.Symbol('x') sym.solveset(x/sym.tan(x)...


Интеграция 1/x в SymPy

Я думаю, что это хорошо, что SymPy возвращает log(x) при интеграции 1/x, вместо log(abs(x)). Это делает его простым и позволяет пользователю беспокоиться о знаках. Однако бывают ситуации, когда это...


Как я могу решить следующие уравнения паттерна в SymPy, например (x-1)**2+y**2=0?

Я хочу решить следующие уравнения: (x-1)**2+y**2=0 , я хочу получить результат типа: x = 1, y = 0, но приведенный ниже код не работает. from sympy import * x = symbols(x) y = symbols(y) expression =...


я хочу решить уравнения: x**2*y**2 + x**2 -10*x*y + 4*y**2 + 9.0=0,Is есть ли какой-нибудь способ получить реальные решения?

Я пытаюсь использовать python для решения уравнений: x**2*y**2 + x**2 -10*x*y + 4*y**2 + 9.0=0 , из-за уравнений ,равных (x*y-3)**2+(x-2*y)**2=0 , поэтому надеюсь получить реальное решение: x =...

y x 1 x 2 x 3 6

y x 1 x 2 x 3 6 6, 9 83, 6 222 3 18 6, 5 32 6, 5 107, 9 50, 4 82 3, 3 16, 7 15, 4 45, 2 0, 1 79, 6 299, 3 3, 6 16, 2 13, 3 41, 6 1, 5 5, 9 17, 8 5, 5 53, 1 27, 1 151 2, 4 18, 1 11, 2 82, 3 3 35, 3 16, 4 103 4, 2 71, 9 32, 5 225, 4 2, 7 93, 6 25, 4 675 1, 6 10 6, 4 43, 8 2, 4 31, 5 12, 5 102, 3 36, 7 14, 3 105 1, 8 13, 8 6, 5 49, 1 2, 4 64, 8 22, 7 50, 4 1, 6 30, 4 15, 8 480 1, 4 12, 1 9, 3 71 0, 9 31, 3 18, 9 43 Множественная линейная регрессия Множественная нелинейная регрессия Лекция 7 4

Множественная нелинейная регрессия y x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 12 6 6, 9 83, 6 222 576, 84 1531, 8 18559, 2 47, 61 6988, 96 49284 3 18 6, 5 32 117 576 208 324 42, 25 1024 6, 5 107, 9 50, 4 82 5438, 16 8847, 8 4132, 8 11642, 41 2540, 16 6724 3, 3 16, 7 15, 4 45, 2 257, 18 754, 84 696, 08 278, 89 237, 16 2043, 04 0, 1 79, 6 299, 3 2356, 16 23824, 28 8859, 28 6336, 16 876, 16 89580, 49 3, 6 16, 2 13, 3 41, 6 215, 46 673, 92 553, 28 262, 44 176, 89 1730, 56 1, 5 5, 9 17, 8 34, 81 105, 02 34, 81 316, 84 5, 5 53, 1 27, 1 151 1439, 01 8018, 1 4092, 1 2819, 61 734, 41 22801 2, 4 18, 1 11, 2 82, 3 202, 72 1489, 63 921, 76 327, 61 125, 44 6773, 29 3 35, 3 16, 4 103 578, 92 3635, 9 1689, 2 1246, 09 268, 96 10609 4, 2 71, 9 32, 5 225, 4 2336, 75 16206, 26 7325, 5 5169, 61 1056, 25 50805, 16 2, 7 93, 6 25, 4 675 2377, 44 63180 17145 8760, 96 645, 16 455625 1, 6 10 6, 4 43, 8 64 438 280, 32 100 40, 96 1918, 44 2, 4 31, 5 12, 5 102, 3 393, 75 3222, 45 1278, 75 992, 25 156, 25 10465, 29 3, 3 36, 7 14, 3 105 524, 81 3853, 5 1501, 5 1346, 89 204, 49 11025 1, 8 13, 8 6, 5 49, 1 89, 7 677, 58 319, 15 190, 44 42, 25 2410, 81 2, 4 64, 8 22, 7 50, 4 1470, 96 3265, 92 1144, 08 4199, 04 515, 29 2540, 16 1, 6 30, 4 15, 8 480, 32 14592 7584 924, 16 249, 64 230400 1, 4 12, 1 9, 3 71 112, 53 859, 1 660, 3 146, 41 86, 49 5041 0, 9 31, 3 18, 9 43 591, 57 1345, 9 812, 7 979, 69 357, 21 1849 Лекция 7 x 22 x 32 6

Регрессионная статистика Множественный R 0, 839141 R-квадрат 0, 704157 Нормированный R-квадрат 0, 437898 Стандартная ошибка 1, 255112 Наблюдения Дисперсионный анализ Регрессия 20 Коэффициенты df SS MS 9 37, 49494 4, 166105 Остаток 10 15, 75306 1, 575306 Итого 19 53, 248 Стандартная ошибка t-статистика F Значимость F 2, 644632 0, 072909 P-Значение Y-пересечение 1, 652758 1, 441981 1, 146172 0, 278411 x 1 0, 136992 0, 101489 1, 349824 0, 206834 x 2 -0, 13307 0, 219249 -0, 60692 0, 557431 x 3 -0, 01089 0, 024572 -0, 44303 0, 667175 x 1 x 2 0, 006021 0, 003123 1, 928017 0, 082705 x 1 x 3 0, 000327 0, 000293 1, 115429 0, 290754 x 2 x 3 -0, 00075 0, 001155 -0, 64964 0, 530562 x 12 -0, 00382 0, 001851 -2, 06491 0, 065843 x 22 0, 003756 0, 003162 1, 188081 0, 262253 x 32 1, 69 E-05 2, 83 E-05 0, 596647 0, 564005 Лекция 7 7

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) - возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак - как у числа Y.

math.fabs(X) - модуль X.

math.factorial(X) - факториал числа X.

math.floor(X) - округление вниз.

math.fmod(X, Y) - остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) - возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) - X * 2i. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) - сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) - является ли X числом.

math.isinf(X) - является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) - является ли X NaN (Not a Number - не число).

math.modf(X) - возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) - усекает значение X до целого.

math.exp(X) - eX.

math.expm1(X) - eX - 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) - логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) - натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) - логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) - логарифм X по основанию 2. Новое в Python 3.3.

math.pow(X, Y) - XY.

math.sqrt(X) - квадратный корень из X.

math.acos(X) - арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) - арксинус X. В радианах.

math.atan(X) - арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) - арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math. cos(X) - косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) - синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) - тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) - вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) - конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) - конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) - вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) - вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) - вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) - вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) - вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) - вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) - функция ошибок.

math.erfc(X) - дополнительная функция ошибок (1 - math.erf(X)).

math.gamma(X) - гамма-функция X.

math.lgamma(X) - натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi - pi = 3,1415926...

math.e - e = 2,718281...

Найдите точку минимума функции

В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на нахождение точек максимума (минимума) иррациональной функции. Алгоритм решения был уже неоднократно изложен в статьях с подобными заданиями, посмотрите его в одной из прошлых статей. 

У вас может возникнуть вопрос – а чем рациональная функция отличается от иррациональной? У иррациональной функции, говоря простыми словами, аргумент находится под корнем, или степень у него это дробное число (несокращаемая дробь). Другой вопрос -  в чём отличия в нахождении их точек максимума (минимума)? Да ни в чём. 

Сам принцип и алгоритм решения заданий на определения точек максимума (минимума) един. Просто для удобства и систематизации материала я разбил его на несколько статей – отдельно рассмотрел рациональные, логарифмические, тригонометрические и прочие, осталось ещё несколько примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения иррациональной функции на отрезке. Их мы тоже рассмотрим.

Традиционно рекомендую ознакомится со статьёй «Исследование функций. Это нужно знать!», там же имеется таблица производных элементарных функций.

Давайте здесь подробно опишу нахождение производной, когда у аргумента имеется степень, во всех примерах ниже это используется.

Сама формула:

То есть, если у нас аргумент стоит в некоторой степени и требуется найти производную, то мы записывает это значение степени, умножаем его на аргумент, а его степень будет на единицу меньше, например:

Если же степень дробное число, то всё тоже самое:

Следующий момент! Конечно же, вы должны помнить свойства корней и степеней, а именно:

То есть, если в примере вы увидите, например, выражение (или подобное с корнем):

То при решении, чтобы вычислить производную, его необходимо представить как х в степени, будет так:

Остальные табличные производные и правила дифференцирования вы должны знать!!!

Правила  дифференцирования:

Рассмотрим примеры:

77451. Найдите точку минимума функции y = x3/2 – 3x + 1

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решаем уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:

В точке х = 4, производная меняет знак с отрицательного на положительный, это означает, что данная точка является точкой минимума.

Ответ: 4

 

77455. Найдите точку максимума функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решаем уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:

В точке х = 4, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума. 2

Wolfram | Примеры альфа: пошаговые дифференциальные уравнения


Разделимые уравнения

Посмотрите, как решаются разделяемые уравнения:

Другие примеры


Линейные уравнения первого порядка

Решите линейные уравнения первого порядка:

См. Шаги, которые используют преобразования Лапласа для решения ОДУ:

Другие примеры


Точные уравнения первого порядка

Превратите в точное уравнение:

Другие примеры


Уравнения Бернулли

Научитесь решать уравнения Бернулли:

Другие примеры


Замены первого порядка

Примените линейную замену:

Решите однородное уравнение первого порядка с помощью замены:

Сделайте общие замены:

Другие примеры


Уравнения типа Чини

Решите уравнение Риккати:

Решите уравнение Абеля первого рода с постоянным инвариантом:

Решите уравнение Чини с постоянным инвариантом:

Другие примеры


Общие уравнения первого порядка.

См. Шаги для решения уравнения Клеро:

Решите уравнение Даламбера:

Посмотрите, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка:

Другие примеры


Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решите линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Решите линейное уравнение с постоянными коэффициентами несколькими методами:

См. Шаги, которые используют преобразования Лапласа для решения ОДУ:

Другие примеры


Снижение порядка

Сведите к уравнению первого порядка:

Выведите уравнение цепной линии:

Другие примеры


Уравнения Эйлера – Коши.

Решите уравнения Эйлера – Коши:

Другие примеры


Общие уравнения второго порядка

Посмотрите, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:

Другие примеры


Уравнения высшего порядка

См. Шаги для уравнений высшего порядка:

Другие примеры

Графические экспоненциальные функции: другие примеры

Графики Экспоненциальные функции: примеры (стр. 4 из 4)

Разделы: Вводные концепции, пошаговые инструкции по построению графиков, Работал примеров


    Это может показаться немного сложнее построить график, потому что почти все мои значения и будут десятичные приближения.Но если я округлюсь до разумного числа десятичных знаков (один или два, как правило, подходят для построение графиков), то этот график будет довольно простым. Мне просто нужно сделать уверен, что нарисовал красивый аккуратный график с последовательным масштабом на моем топоры.

Если степень в экспоненте не линейный (например, " x "), но вместо этого является квадратичным (например, "2 x 2 ") или что-то еще, тогда график может выглядеть иначе. Также, если есть если в функции больше одного экспоненциального члена, график может выглядеть иначе. Ниже приведены несколько примеров, чтобы показать вам, как они работают.

    Потому что сила является отрицательной квадратичной функцией, степень всегда отрицательна (или равна нулю). Тогда этот график обычно должен быть довольно близок к оси x .

    Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены


    Есть здесь очень мало точек, которые разумно изобразить.Больной присоединяйтесь к набранным мною пунктам и убедитесь, что я не забываю рисовать график в виде кривой линии:


  • Изобразите следующее:

    Это на самом деле полезный функция (называемая "функцией гиперболического синуса"), но вы вероятно, не увижу его снова до исчисления.В любом случае я подсчитываю очки и сюжет, как обычно:

Иногда вы увидите более сложные экспоненциальные функции, подобные этим. На этом этапе в ваша математическая карьера, скорее всего, вы будете в основном иметь дело со стандартной экспоненциальной формой. Так что убедитесь, что вам удобно с его общей формой и поведением.


Для просмотра: некоторые из них различные вариации одной и той же базовой экспоненциальной функции с соответствующий график под каждым уравнением. Обратите внимание, что даже если график перемещен влево или вправо, вверх или вниз, или перевернут вверх ногами, он все еще отображает ту же кривую. Убедитесь, что вы знакомы с этой формой!


<< Предыдущий Топ | 1 | 2 | 3 | 4 | Возвращаться в Индекс

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Графические экспоненциальные функции: примеры». Purplemath . Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/graphexp4.htm . Проверено [Дата] [Месяц] 2016 г.

Эскиз кривой

В процессе построения кривой выполняются следующие шаги:

\ (1.\) Домен

Найдите область определения функции и определите точки разрыва (если есть).

\ (2. \) Перехватывает

Определите точки пересечения \ (x- \) и \ (y - \) функции, если возможно. Чтобы найти точку пересечения \ (x - \), мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем уравнение для \ (x. \). Аналогично, мы устанавливаем \ (x = 0 \), чтобы найти \ (y- \ ) перехват. Найдите интервалы, в которых функция имеет постоянный знак \ (\ left ({f \ left (x \ right) \ gt 0} \ right. {- (2x + 3y)} & \ quad x, y \ geq 0 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.{-5y} dy \\ \ nonumber & = \ frac {3} {5}. \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ - непрерывная случайная величина с PDF \ begin {уравнение} \ nonumber f_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 2x & \ quad 0 \ leq x \ leq 1 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Мы знаем, что при $ X = x $ случайная величина $ Y $ равномерно распределена на $ [- x, ​​x] $.
  1. Найдите совместный PDF-файл $ f_ {XY} (x, y) $.3) $.
  • Решение
      1. Прежде всего отметим, что по предположению \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {Y | X} (y | x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2x} & \ quad -x \ leq y \ leq x \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы имеем \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {XY} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 1 & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, -x \ leq y \ leq x \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.3} {2x} \ right) 2x dx \ hspace {20pt} \ textrm {поскольку} Y | X = x \ hspace {5pt} \ sim \ hspace {5pt} Uniform (-x, x) \\ \ nonumber & = \ frac {1} {2}. \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ и $ Y $ - две совместно непрерывные случайные величины с совместной PDF \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {X, Y} (x, y) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 6xy & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, 0 \ leq y \ leq \ sqrt {x} \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение}
  1. Показать $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.
  2. Найдите $ f_X (x) $ и $ f_Y (y) $.
  3. Независимы ли $ X $ и $ Y $?
  4. Найдите условную PDF $ X $ при $ Y = y $, $ f_ {X | Y} (x | y) $.
  5. Найдите $ E [X | Y = y] $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  6. Найдите $ \ textrm {Var} (X | Y = y) $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  • Решение
      1. Рисунок 5.9 показывает $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.

        Рисунок 5.2 \ leq 1 \}. \ end {align} Предположим, что мы выбираем точку $ (X, Y) $ равномерно случайным образом в $ D $. То есть совместная PDF $ X $ и $ Y $ задается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {XY} (x, y) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {\ pi} & \ quad (x, y) \ in D \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Пусть $ (R, \ Theta) $ - соответствующие полярные координаты, как показано на рисунке 5.10. Обратное преобразование дается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber \ left \ { \ begin {array} {l} X = R \ cos \ Theta \\ Y = R \ sin \ Theta \ end {array} \ right.\ end {уравнение} где $ R \ geq 0 $ и $ - \ pi

        Рисунок 5.10: Полярные координаты

        • Решение
          • Здесь $ (X, Y) $ совместно непрерывны и связаны с $ (R, \ Theta) $ взаимно однозначным соотношением. Воспользуемся методом преобразований (теорема 5.1). Функция $ h (r, \ theta) $ задается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber \ left \ { \ begin {array} {l} х = h_1 (г, \ тета) = г \ соз \ тета \\ у = ч_2 (г, \ тета) = г \ грех \ тета \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы имеем \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (h_1 (r, \ theta), h_2 (r, \ theta)) | J | \\ \ nonumber & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J |.\ end {align} где \ begin {align} \ nonumber J = \ det \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_1} {\ partial \ theta} \\ & \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_2} {\ partial \ theta} \\ \ end {bmatrix} = \ det \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\ & \\ \ sin \ theta & r \ cos \ theta \\ \ end {bmatrix} = г \ соз ^ 2 \ тета + г \ грех ^ 2 \ тета = г. \ end {align} Мы делаем вывод, что \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J | \\ \ nonumber & = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {r} {\ pi} & \ quad r \ in [0,1], \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {align} Обратите внимание, что сверху мы можем написать \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) = f_R (r) f _ {\ Theta} (\ theta), \ end {align} где \ begin {уравнение} \ nonumber f_R (r) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 2r & \ quad r \ in [0,1] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение} \ begin {уравнение} \ nonumber f_ \ Theta (\ theta) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2 \ pi} & \ quad \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы заключаем, что $ R $ и $ \ Theta $ независимы.

        % PDF-1.4 % 193 0 объект> эндобдж xref 193 86 0000000016 00000 н. 0000003434 00000 н. 0000003572 00000 н. 0000003756 00000 н. 0000003807 00000 н. 0000003935 00000 н. 0000004412 00000 н. 0000004438 00000 н. 0000004576 00000 н. 0000004645 00000 н. 0000004763 00000 н. 0000005133 00000 п. 0000005905 00000 н. 0000006421 00000 н. 0000006917 00000 н. 0000007180 00000 н. 0000007647 00000 н. 0000007969 00000 п. 0000008043 00000 н. 0000008411 00000 н. 0000008527 00000 н. 0000008619 00000 п. 0000008711 00000 н. 0000008803 00000 н. 0000008895 00000 н. 0000009071 00000 н. 0000009912 00000 н. 0000010428 00000 п. 0000010496 00000 п. 0000010818 00000 п. 0000011667 00000 п. 0000012146 00000 п. 0000012212 00000 п. 0000012587 00000 п. 0000012797 00000 п. 0000013064 00000 п. 0000013369 00000 п. 0000013612 00000 п. 0000013911 00000 п. 0000014211 00000 п. 0000014478 00000 п. 0000014776 00000 п. 0000015554 00000 п. 0000016326 00000 п. 0000016770 00000 п. 0000017418 00000 п. 0000018016 00000 п. 0000018254 00000 п. 0000018729 00000 п. 0000019120 00000 н. 0000019173 00000 п. 0000019291 00000 п. 0000019637 00000 п. 0000020029 00000 н. 0000020121 00000 п. 0000020213 00000 н. 0000020305 00000 п. 0000020481 00000 п. 0000020573 00000 п. 0000020665 00000 п. 0000020756 00000 п. 0000020847 00000 п. 0000020938 00000 п. 0000021114 00000 п. 0000021230 00000 н. 0000021712 00000 п. 0000022293 00000 п. 0000023045 00000 п. 0000027176 00000 п. 0000028404 00000 п. 0000033813 00000 п. 0000036524 00000 п. 0000037418 00000 п. 0000039664 00000 н. 0000042460 00000 п. 0000042731 00000 н. 0000044504 ​​00000 п. 0000044787 00000 п. 0000044874 00000 н. 0000045157 00000 п. 0000045441 00000 п. 0000045514 00000 п. 0000045809 00000 п. 0000045872 00000 п. 0000045925 00000 п. 0000002060 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 278 0 obj> поток ߶2 K-7 # hS

        Линейные комбинации, линейная независимость

        Линейные комбинации, линейная независимость

        Дифференциальные уравнения второго порядка включают в себя вторую производную неизвестной функции (и, вполне возможно, также и первую производную), но не содержат производных более высокого порядка.Почти для каждого уравнения второго порядка, встречающегося на практике, общее решение будет содержать две произвольные константы, поэтому IVP второго порядка должна включать два начальных условия.

        Для двух функций y 1 ( x ) и y 2 ( x ) любое выражение в форме

        , где c 1 и c 2 - константы, называется линейной комбинацией из y 1 и y 2 . Например, если y 1 = e x и y 2 = x 2 , то

        - все конкретные линейные комбинации y 1 и y 2 . Итак, идея линейной комбинации двух функций такова: умножьте функции на любые константы, которые вам нужны; затем добавьте продукты.

        Пример 1 : y = 2 x является линейной комбинацией функций y 1 = x и y 2 = x 2 ?

        Любое выражение, которое можно записать в форме

        - это линейная комбинация x и x 2 .Поскольку y = 2, x соответствует этой форме, принимая c 1 = 2 и c 2 = o, y = 2, x действительно является линейной комбинацией x и х 2 .

        Пример 2 : Рассмотрим три функции: y 1 = sin x, y 2 = cos x и y 3 = sin ( x + 1). Покажите, что y 3 представляет собой линейную комбинацию y 1 и y 2 .

        В формуле сложения для функции Since говорит

        Обратите внимание, что это соответствует форме линейной комбинации sin x и cos x ,

        , взяв c 1 = cos 1 и c 2 = sin 1.

        Пример 3 : Может ли функция y = x 3 быть записана как линейная комбинация функций y 1 = x и y 2 = x 2 ?

        Если бы ответ был утвердительным, тогда были бы константы c 1 и c 2 такие, что уравнение

        справедливо для всех значений x . Положив в этом уравнении x = 1, получим

        и положив x = −1, получим

        Сложение этих двух последних уравнений дает 0 = 2 c 2 , поэтому c 2 = 0. А поскольку c 2 = 0, c 1 должно быть равно 1. Таким образом, общая линейная комбинация (*) сокращается до

        , что явно означает , а не , для всех значений x .Следовательно, невозможно записать y = x 3 как линейную комбинацию y 1 = x и y 2 = x 2 .

        Еще одно определение: две функции y 1 и y 2 называются линейно независимыми , если ни одна из функций не является постоянным кратным другой. Например, функции y 1 = x 3 и y 2 = 5 x 3 не являются линейно независимыми (они линейно зависимы ), поскольку y 2 явно является постоянным, кратным y 1 .Проверить, что две функции зависимы, несложно; проверка их независимости требует немного больше работы.

        Пример 4 : Являются ли функции y 1 ( x ) = sin x и y 2 ( x ) = cos x линейно независимыми?

        Если бы это было не так, то y 1 было бы постоянным кратным y 2 ; то есть уравнение

        будет выполняться для некоторой константы c и для всех x .Но замена, например, x = π / 2 дает абсурдное утверждение 1 = 0. Следовательно, вышеприведенное уравнение не может быть верным: y 1 = sin x равно , а не , являющемуся постоянным кратным y 2 = cos x ; таким образом, эти функции действительно линейно независимы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск