в математике я могу решить x + 1 < 2 с помощью: Reduce[x + 1 < 2, x] Могу ли я сделать то же самое с SymPy? И как я могу это сделать?

Sympy работает с комплексными числами, поэтому есть возможность решать уравнения типа sin(z)=2 . Однако я не могу этого понять. У кого-нибудь есть идея, как решить эту проблему в симпатии? BTW,…

Предположим, у меня есть следующая система уравнений: x = 1/y + b y = 2*x Отсюда следует, что b = x-1/(2*x) Однако если я попытаюсь определить эти выражения в SymPy, from sympy import * b =. 3, + sys3d=contour,level=0,from=c(-10,-10),to=c(10,10), +…

Я пытаюсь найти решение уравнения x = a * tan (x) на Python. Симпатия, кажется, может решить такое уравнение, так что если я напишу import sympy as sym x = sym.Symbol(‘x’) sym.solveset(x/sym.tan(x)…

Я думаю, что это хорошо, что SymPy возвращает log(x) при интеграции 1/x, вместо log(abs(x)). Это делает его простым и позволяет пользователю беспокоиться о знаках. Однако бывают ситуации, когда это…

Я хочу решить следующие уравнения: (x-1)**2+y**2=0 , я хочу получить результат типа: x = 1, y = 0, но приведенный ниже код не работает. from sympy import * x = symbols(x) y = symbols(y) expression =…

Я пытаюсь использовать python для решения уравнений: x**2*y**2 + x**2 -10*x*y + 4*y**2 + 9.0=0 , из-за уравнений ,равных (x*y-3)**2+(x-2*y)**2=0 , поэтому надеюсь получить реальное решение: x =…

y x 1 x 2 x 3 6

y x 1 x 2 x 3 6 6, 9 83, 6 222 3 18 6, 5 32 6, 5 107, 9 50, 4 82 3, 3 16, 7 15, 4 45, 2 0, 1 79, 6 299, 3 3, 6 16, 2 13, 3 41, 6 1, 5 5, 9 17, 8 5, 5 53, 1 27, 1 151 2, 4 18, 1 11, 2 82, 3 3 35, 3 16, 4 103 4, 2 71, 9 32, 5 225, 4 2, 7 93, 6 25, 4 675 1, 6 10 6, 4 43, 8 2, 4 31, 5 12, 5 102, 3 36, 7 14, 3 105 1, 8 13, 8 6, 5 49, 1 2, 4 64, 8 22, 7 50, 4 1, 6 30, 4 15, 8 480 1, 4 12, 1 9, 3 71 0, 9 31, 3 18, 9 43 Множественная линейная регрессия Множественная нелинейная регрессия Лекция 7 4

Множественная нелинейная регрессия y x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 12 6 6, 9 83, 6 222 576, 84 1531, 8 18559, 2 47, 61 6988, 96 49284 3 18 6, 5 32 117 576 208 324 42, 25 1024 6, 5 107, 9 50, 4 82 5438, 16 8847, 8 4132, 8 11642, 41 2540, 16 6724 3, 3 16, 7 15, 4 45, 2 257, 18 754, 84 696, 08 278, 89 237, 16 2043, 04 0, 1 79, 6 299, 3 2356, 16 23824, 28 8859, 28 6336, 16 876, 16 89580, 49 3, 6 16, 2 13, 3 41, 6 215, 46 673, 92 553, 28 262, 44 176, 89 1730, 56 1, 5 5, 9 17, 8 34, 81 105, 02 34, 81 316, 84 5, 5 53, 1 27, 1 151 1439, 01 8018, 1 4092, 1 2819, 61 734, 41 22801 2, 4 18, 1 11, 2 82, 3 202, 72 1489, 63 921, 76 327, 61 125, 44 6773, 29 3 35, 3 16, 4 103 578, 92 3635, 9 1689, 2 1246, 09 268, 96 10609 4, 2 71, 9 32, 5 225, 4 2336, 75 16206, 26 7325, 5 5169, 61 1056, 25 50805, 16 2, 7 93, 6 25, 4 675 2377, 44 63180 17145 8760, 96 645, 16 455625 1, 6 10 6, 4 43, 8 64 438 280, 32 100 40, 96 1918, 44 2, 4 31, 5 12, 5 102, 3 393, 75 3222, 45 1278, 75 992, 25 156, 25 10465, 29 3, 3 36, 7 14, 3 105 524, 81 3853, 5 1501, 5 1346, 89 204, 49 11025 1, 8 13, 8 6, 5 49, 1 89, 7 677, 58 319, 15 190, 44 42, 25 2410, 81 2, 4 64, 8 22, 7 50, 4 1470, 96 3265, 92 1144, 08 4199, 04 515, 29 2540, 16 1, 6 30, 4 15, 8 480, 32 14592 7584 924, 16 249, 64 230400 1, 4 12, 1 9, 3 71 112, 53 859, 1 660, 3 146, 41 86, 49 5041 0, 9 31, 3 18, 9 43 591, 57 1345, 9 812, 7 979, 69 357, 21 1849 Лекция 7 x 22 x 32 6

Регрессионная статистика Множественный R 0, 839141 R-квадрат 0, 704157 Нормированный R-квадрат 0, 437898 Стандартная ошибка 1, 255112 Наблюдения Дисперсионный анализ Регрессия 20 Коэффициенты df SS MS 9 37, 49494 4, 166105 Остаток 10 15, 75306 1, 575306 Итого 19 53, 248 Стандартная ошибка t-статистика F Значимость F 2, 644632 0, 072909 P-Значение Y-пересечение 1, 652758 1, 441981 1, 146172 0, 278411 x 1 0, 136992 0, 101489 1, 349824 0, 206834 x 2 -0, 13307 0, 219249 -0, 60692 0, 557431 x 3 -0, 01089 0, 024572 -0, 44303 0, 667175 x 1 x 2 0, 006021 0, 003123 1, 928017 0, 082705 x 1 x 3 0, 000327 0, 000293 1, 115429 0, 290754 x 2 x 3 -0, 00075 0, 001155 -0, 64964 0, 530562 x 12 -0, 00382 0, 001851 -2, 06491 0, 065843 x 22 0, 003756 0, 003162 1, 188081 0, 262253 x 32 1, 69 E-05 2, 83 E-05 0, 596647 0, 564005 Лекция 7 7

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) — возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак — как у числа Y.

math.fabs(X) — модуль X.

math.factorial(X) — факториал числа X.

math.floor(X) — округление вниз.

math.fmod(X, Y) — остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) — возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) — X * 2ⁱ. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) — сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) — является ли X числом.

math.isinf(X) — является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) — является ли X NaN (Not a Number — не число).

math.modf(X) — возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) — усекает значение X до целого.

math.exp(X) — e^X.

math.expm1(X) — e^X — 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) — логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) — натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) — логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) — логарифм X по основанию 2. Новое в Python 3.3.

math.pow(X, Y) — X^Y.

math.sqrt(X) — квадратный корень из X.

math.acos(X) — арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) — арксинус X. В радианах.

math.atan(X) — арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) — арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math. cos(X) — косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) — синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) — тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) — вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) — конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) — конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) — вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) — вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) — вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) — вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) — вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) — вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) — функция ошибок.

math.erfc(X) — дополнительная функция ошибок (1 — math.erf(X)).

math.gamma(X) — гамма-функция X.

math.lgamma(X) — натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi — pi = 3,1415926…

math.e — e = 2,718281…

Найдите точку минимума функции

В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на нахождение точек максимума (минимума) иррациональной функции. Алгоритм решения был уже неоднократно изложен в статьях с подобными заданиями, посмотрите его в одной из прошлых статей. 

У вас может возникнуть вопрос – а чем рациональная функция отличается от иррациональной? У иррациональной функции, говоря простыми словами, аргумент находится под корнем, или степень у него это дробное число (несокращаемая дробь). Другой вопрос —  в чём отличия в нахождении их точек максимума (минимума)? Да ни в чём. 

Сам принцип и алгоритм решения заданий на определения точек максимума (минимума) един. Просто для удобства и систематизации материала я разбил его на несколько статей – отдельно рассмотрел рациональные, логарифмические, тригонометрические и прочие, осталось ещё несколько примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения иррациональной функции на отрезке. Их мы тоже рассмотрим.

Традиционно рекомендую ознакомится со статьёй «Исследование функций. Это нужно знать!», там же имеется таблица производных элементарных функций.

Давайте здесь подробно опишу нахождение производной, когда у аргумента имеется степень, во всех примерах ниже это используется.

Сама формула:

То есть, если у нас аргумент стоит в некоторой степени и требуется найти производную, то мы записывает это значение степени, умножаем его на аргумент, а его степень будет на единицу меньше, например:

Если же степень дробное число, то всё тоже самое:

Следующий момент! Конечно же, вы должны помнить свойства корней и степеней, а именно:

То есть, если в примере вы увидите, например, выражение (или подобное с корнем):

То при решении, чтобы вычислить производную, его необходимо представить как х в степени, будет так:

Остальные табличные производные и правила дифференцирования вы должны знать!!!

Правила  дифференцирования:

Рассмотрим примеры:

77451. Найдите точку минимума функции y = x^3/2 – 3x + 1

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решаем уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:

В точке х = 4, производная меняет знак с отрицательного на положительный, это означает, что данная точка является точкой минимума.

Ответ: 4

77455. Найдите точку максимума функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решаем уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:

В точке х = 4, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума. 2

Wolfram | Примеры альфа: пошаговые дифференциальные уравнения

Разделимые уравнения

Посмотрите, как решаются разделяемые уравнения:

Другие примеры

Линейные уравнения первого порядка

Решите линейные уравнения первого порядка:

См. Шаги, которые используют преобразования Лапласа для решения ОДУ:

Другие примеры

Точные уравнения первого порядка

Превратите в точное уравнение:

Другие примеры

Уравнения Бернулли

Научитесь решать уравнения Бернулли:

Другие примеры

Замены первого порядка

Примените линейную замену:

Решите однородное уравнение первого порядка с помощью замены:

Сделайте общие замены:

Другие примеры

Уравнения типа Чини

Решите уравнение Риккати:

Решите уравнение Абеля первого рода с постоянным инвариантом:

Решите уравнение Чини с постоянным инвариантом:

Другие примеры

Общие уравнения первого порядка.

См. Шаги для решения уравнения Клеро:

Решите уравнение Даламбера:

Посмотрите, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка:

Другие примеры

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решите линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Решите линейное уравнение с постоянными коэффициентами несколькими методами:

См. Шаги, которые используют преобразования Лапласа для решения ОДУ:

Другие примеры

Снижение порядка

Сведите к уравнению первого порядка:

Выведите уравнение цепной линии:

Другие примеры

Уравнения Эйлера – Коши.

Решите уравнения Эйлера – Коши:

Другие примеры

Общие уравнения второго порядка

Посмотрите, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:

Другие примеры

Уравнения высшего порядка

См. Шаги для уравнений высшего порядка:

Другие примеры

Графические экспоненциальные функции: другие примеры

Эскиз кривой

В процессе построения кривой выполняются следующие шаги:

\ (1.\) Домен

Найдите область определения функции и определите точки разрыва (если есть).

\ (2. \) Перехватывает

Определите точки пересечения \ (x- \) и \ (y — \) функции, если возможно. Чтобы найти точку пересечения \ (x — \), мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем уравнение для \ (x. \). Аналогично, мы устанавливаем \ (x = 0 \), чтобы найти \ (y- \ ) перехват. Найдите интервалы, в которых функция имеет постоянный знак \ (\ left ({f \ left (x \ right) \ gt 0} \ right. {- (2x + 3y)} & \ quad x, y \ geq 0 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.{-5y} dy \\ \ nonumber & = \ frac {3} {5}. \ end {align}

1. Найдите совместный PDF-файл $ f_ {XY} (x, y) $.3) $.

• Решение
  • 1. Прежде всего отметим, что по предположению \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {Y | X} (y | x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2x} & \ quad -x \ leq y \ leq x \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы имеем \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {XY} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 1 & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, -x \ leq y \ leq x \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.3} {2x} \ right) 2x dx \ hspace {20pt} \ textrm {поскольку} Y | X = x \ hspace {5pt} \ sim \ hspace {5pt} Uniform (-x, x) \\ \ nonumber & = \ frac {1} {2}. \ end {align}

1. Показать $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.
2. Найдите $ f_X (x) $ и $ f_Y (y) $.
3. Независимы ли $ X $ и $ Y $?
4. Найдите условную PDF $ X $ при $ Y = y $, $ f_ {X | Y} (x | y) $.
5. Найдите $ E [X | Y = y] $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
6. Найдите $ \ textrm {Var} (X | Y = y) $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.

• Решение
  • 1. Рисунок 5.9 показывает $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.

       Рисунок 5.2 \ leq 1 \}. \ end {align} Предположим, что мы выбираем точку $ (X, Y) $ равномерно случайным образом в $ D $. То есть совместная PDF $ X $ и $ Y $ задается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {XY} (x, y) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {\ pi} & \ quad (x, y) \ in D \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Пусть $ (R, \ Theta) $ — соответствующие полярные координаты, как показано на рисунке 5.10. Обратное преобразование дается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber \ left \ { \ begin {array} {l} X = R \ cos \ Theta \\ Y = R \ sin \ Theta \ end {array} \ right.\ end {уравнение} где $ R \ geq 0 $ и $ — \ pi

       Рисунок 5.10: Полярные координаты

       • Решение
         • Здесь $ (X, Y) $ совместно непрерывны и связаны с $ (R, \ Theta) $ взаимно однозначным соотношением. Воспользуемся методом преобразований (теорема 5.1). Функция $ h (r, \ theta) $ задается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber \ left \ { \ begin {array} {l} х = h_1 (г, \ тета) = г \ соз \ тета \\ у = ч_2 (г, \ тета) = г \ грех \ тета \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы имеем \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (h_1 (r, \ theta), h_2 (r, \ theta)) | J | \\ \ nonumber & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J |.\ end {align} где \ begin {align} \ nonumber J = \ det \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_1} {\ partial \ theta} \\ & \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_2} {\ partial \ theta} \\ \ end {bmatrix} = \ det \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\ & \\ \ sin \ theta & r \ cos \ theta \\ \ end {bmatrix} = г \ соз ^ 2 \ тета + г \ грех ^ 2 \ тета = г. \ end {align} Мы делаем вывод, что \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J | \\ \ nonumber & = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {r} {\ pi} & \ quad r \ in [0,1], \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {align} Обратите внимание, что сверху мы можем написать \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) = f_R (r) f _ {\ Theta} (\ theta), \ end {align} где \ begin {уравнение} \ nonumber f_R (r) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 2r & \ quad r \ in [0,1] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение} \ begin {уравнение} \ nonumber f_ \ Theta (\ theta) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2 \ pi} & \ quad \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы заключаем, что $ R $ и $ \ Theta $ независимы.
       
       

       % PDF-1.4 % 193 0 объект> эндобдж xref 193 86 0000000016 00000 н. 0000003434 00000 н. 0000003572 00000 н. 0000003756 00000 н. 0000003807 00000 н. 0000003935 00000 н. 0000004412 00000 н. 0000004438 00000 н. 0000004576 00000 н. 0000004645 00000 н. 0000004763 00000 н. 0000005133 00000 п. 0000005905 00000 н. 0000006421 00000 н. 0000006917 00000 н. 0000007180 00000 н. 0000007647 00000 н. 0000007969 00000 п. 0000008043 00000 н. 0000008411 00000 н. 0000008527 00000 н. 0000008619 00000 п. 0000008711 00000 н. 0000008803 00000 н. 0000008895 00000 н. 0000009071 00000 н. 0000009912 00000 н. 0000010428 00000 п. 0000010496 00000 п. 0000010818 00000 п. 0000011667 00000 п. 0000012146 00000 п. 0000012212 00000 п. 0000012587 00000 п. 0000012797 00000 п. 0000013064 00000 п. 0000013369 00000 п. 0000013612 00000 п. 0000013911 00000 п. 0000014211 00000 п. 0000014478 00000 п. 0000014776 00000 п. 0000015554 00000 п. 0000016326 00000 п. 0000016770 00000 п. 0000017418 00000 п. 0000018016 00000 п. 0000018254 00000 п. 0000018729 00000 п. 0000019120 00000 н. 0000019173 00000 п. 0000019291 00000 п. 0000019637 00000 п. 0000020029 00000 н. 0000020121 00000 п. 0000020213 00000 н. 0000020305 00000 п. 0000020481 00000 п. 0000020573 00000 п. 0000020665 00000 п. 0000020756 00000 п. 0000020847 00000 п. 0000020938 00000 п. 0000021114 00000 п. 0000021230 00000 н. 0000021712 00000 п. 0000022293 00000 п. 0000023045 00000 п. 0000027176 00000 п. 0000028404 00000 п. 0000033813 00000 п. 0000036524 00000 п. 0000037418 00000 п. 0000039664 00000 н. 0000042460 00000 п. 0000042731 00000 н. 0000044504 ​​00000 п. 0000044787 00000 п. 0000044874 00000 н. 0000045157 00000 п. 0000045441 00000 п. 0000045514 00000 п. 0000045809 00000 п. 0000045872 00000 п. 0000045925 00000 п. 0000002060 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 278 0 obj> поток ߶2 K-7 # hS

       Линейные комбинации, линейная независимость

       Линейные комбинации, линейная независимость

       Дифференциальные уравнения второго порядка включают в себя вторую производную неизвестной функции (и, вполне возможно, также и первую производную), но не содержат производных более высокого порядка.Почти для каждого уравнения второго порядка, встречающегося на практике, общее решение будет содержать две произвольные константы, поэтому IVP второго порядка должна включать два начальных условия.

       Для двух функций y ₁ ( x ) и y ₂ ( x ) любое выражение в форме

       , где c ₁ и c ₂ — константы, называется линейной комбинацией из y ₁ и y ₂ . Например, если y ₁ = e ^x и y ₂ = x ² , то

       — все конкретные линейные комбинации y ₁ и y ₂ . Итак, идея линейной комбинации двух функций такова: умножьте функции на любые константы, которые вам нужны; затем добавьте продукты.

       Пример 1 : y = 2 x является линейной комбинацией функций y ₁ = x и y ₂ = x ² ?

       Любое выражение, которое можно записать в форме

       — это линейная комбинация x и x ² .Поскольку y = 2, x соответствует этой форме, принимая c ₁ = 2 и c ₂ = o, y = 2, x действительно является линейной комбинацией x и х ² .

       Пример 2 : Рассмотрим три функции: y ₁ = sin x, y ₂ = cos x и y ₃ = sin ( x + 1). Покажите, что y ₃ представляет собой линейную комбинацию y ₁ и y ₂ .

       В формуле сложения для функции Since говорит

       Обратите внимание, что это соответствует форме линейной комбинации sin x и cos x ,

       , взяв c ₁ = cos 1 и c ₂ = sin 1.

       Пример 3 : Может ли функция y = x ³ быть записана как линейная комбинация функций y ₁ = x и y ₂ = x ² ?

       Если бы ответ был утвердительным, тогда были бы константы c ₁ и c ₂ такие, что уравнение

       справедливо для всех значений x . Положив в этом уравнении x = 1, получим

       и положив x = −1, получим

       Сложение этих двух последних уравнений дает 0 = 2 c ₂ , поэтому c ₂ = 0. А поскольку c ₂ = 0, c ₁ должно быть равно 1. Таким образом, общая линейная комбинация (*) сокращается до

       , что явно означает , а не , для всех значений x .Следовательно, невозможно записать y = x ³ как линейную комбинацию y ₁ = x и y ₂ = x ² .

       Еще одно определение: две функции y ₁ и y ₂ называются линейно независимыми , если ни одна из функций не является постоянным кратным другой. Например, функции y ₁ = x ³ и y ₂ = 5 x ³ не являются линейно независимыми (они линейно зависимы ), поскольку y ₂ явно является постоянным, кратным y ₁ .Проверить, что две функции зависимы, несложно; проверка их независимости требует немного больше работы.

       Пример 4 : Являются ли функции y ₁ ( x ) = sin x и y ₂ ( x ) = cos x линейно независимыми?

       Если бы это было не так, то y ₁ было бы постоянным кратным y ₂ ; то есть уравнение

       будет выполняться для некоторой константы c и для всех x .Но замена, например, x = π / 2 дает абсурдное утверждение 1 = 0. Следовательно, вышеприведенное уравнение не может быть верным: y ₁ = sin x равно , а не , являющемуся постоянным кратным y ₂ = cos x ; таким образом, эти функции действительно линейно независимы.