Поделиться:   

Степенные функции y=x n и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций. Справочно: Действительные числа: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа. Понятия и обозначения. Примерно 6 или 7-класс (12-13 лет) Свойства функции y=xn Область определения Область значений Четность Промежутки знакопостоянства на которых: Промежутки монотонности: возрастания убывания Общие точки всех графиков Свойства Область определения Область значений Четность Промежутки знакопостоянства на которых: Промежутки монотонности: возрастания убывания Общие точки всех графиков Квадратичная функция. Свойства, график (парабола). Общий вид квадратичной функции: Область определения: Область значений: Вершина графика функции Справочно: Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. (Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа Свойства степеней,  Свойства арифметических корней, Справочно: Правила действий со степенями и корнями с примерами Формулы сокращенного умножения: Справочно: подробнее — формулы сокращенного умножения Примеры значений степенных функций и арифметических корней: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ≈1,41 ≈1,73 2 ≈2,34 ≈2,45 ≈2,65 ≈2,83 3 ≈3,16 1 ≈1,26 ≈1,44 ≈1,59 ≈1,71 ≈1,82 ≈1,91 2 ≈2,08 ≈2,15 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 Справочно: Степени — квадрат и куб, корни — квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Внимательно посмотрим на формулу y = x² и попытаемся описать словами примерный вид будущего графика.

1. Так как y ≥ 0, то весь график не может располагаться ниже оси OX.

2. График симметричен относительно оси OY. Нам достаточно построить график для положительных значений x, а затем зеркально отразить его для отрицательных значений x.

Найдем несколько значений y:

Построим эти точки (см. рис. 1).

Если мы попробуем соединить их пунктирной линией, как показано на рис. 1 , то некоторые значения функции не попадут на эти линии, например, точки A (x = 0,5; y = 0,25) и B (x=2,5; y=6,25). Даже если мы построим очень много точек и соединим их маленькими прямыми отрезками, всегда найдутся значения y, не попадающие на эти отрезки. Поэтому точки надо соединять плавной кривой линией (см. рис. 2).

Теперь осталось зеркально отразить график для отрицательных значений x (см. рис. 3). Такая кривая называется параболой. Точка О (0;0) называется вершиной параболы. 2 , её свойства и график» ( 7 класс)

Тест по теме «Функция , её свойства и график».

Вариант 1.

1.Из представленных ниже функций выберите квадратичную.

А) Б) В) Г)

2.Соедините график с соответствующим ему уравнением.

А) Б) В) Г) 2х

3. Определите какая из точек принадлежит графику функции .

А) ( 2;-4) Б) (-5;25) В) (9;3) Г) (4;8)

4. Определите наибольшее и наименьшее значение функции на полуинтервале .

А) 4, Б) 4,

В) нет, Г) нет,

5. Определите на каком шаге допущена ошибка, исправьте её. Дана функция

1 шаг: при значении аргумента равном 4, значение функции равно 16;

2 шаг: при значении аргумента равном -3, значение функции равно -9;

3 шаг: при значении функции равном -4, значение аргумента равно 2 или -2.

6. Оцените предложенное решение в соответствии с предложенными критериями, обоснуйте свой ответ.

Постройте график функции: = =х – 2

У = х – 2 – линейная функция, график прямая.

А) f(-6) = 36 Б) 2f(3а) = 18 В) f(-4) + 7 = 23 Г) 3f(2а) + 2= 38

8. Составьте план графического решения уравнения .

Тест по теме «Функция , её свойства и график».

Вариант 2.

1.Из представленных ниже функций выберите квадратичную.

А) Б) В) Г)

2.Соедините график с соответствующим ему уравнением.

А) Б) В) Г) 2х

3. Определите какая из точек принадлежит графику функции .

А) ( 3;-9) Б) (25;5) В) (-6;36) Г) (4;8)

4. Определите наибольшее и наименьшее значение функции на полуинтервале .

А) нет, Б) 4,

В) 4, Г) нет,

5. Определите на каком шаге допущена ошибка, исправьте её. Дана функция

1 шаг: при значении аргумента равном 4, значение функции равно -16;

2 шаг: при значении аргумента равном 5, значение функции равно 25;

3 шаг: при значении функции равном -9, значение аргумента равно 3 или -3.

6. Оцените предложенное решение в соответствии с предложенными критериями, обоснуйте свой ответ.

Постройте график функции: = =х – 2

У = х – 2 – линейная функция, график прямая.

ошибку.

А) 3f(2а) + 2= 38Б) 2f(3а) = 18 В) f(-4) + 7 = 23 Г) f(-6) = 36

8. Составьте план графического решения уравнения .

Ответы.

Вариант 1.

1. В

2. –

3. Б

4. В

5. 1 шаг

6. 1 балл. Ошибка в таблице значений, но с этой ошибкой решение доведено до конца, построен график.

7. Г

8. 1. Перенести х из левой части в правую

2. Разделить уравнение на две функции и у = 6+х

3. Построить график функции

4. Построить график функции у = 6+х в той же системе координат

5. Отметить точки пересечения графиков функций

6. Записать в ответ абсциссы точек пересечения.

( Возможен более подробный, либо более короткий план. Главное чтоб был верным).

Вариант 2.

1. А

2. –

3. В

4. А

5. 2 шаг

6. 2 балла. Все преобразования выполнены верно, верно построен график.

7. А

8. 1. Перенести х из левой части в правую

2. Разделить уравнение на две функции и у = 6+х

3. Построить график функции

4. Построить график функции у = 6+х в той же системе координат

5. Отметить точки пересечения графиков функций

6. Записать в ответ абсциссы точек пересечения.

( Возможен более подробный, либо более короткий план. Главное чтоб был верным).

3.Линейная функция вида y = kx + b

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox:  y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy:  y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0;  kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

Функции и их аргументы | Python 3 для начинающих и чайников

В этой статье я планирую рассказать о функциях, именных и анонимных, инструкциях def, return и lambda, обязательных и необязательных аргументах функции, функциях с произвольным числом аргументов.

Именные функции, инструкция def

Функция в python — объект, принимающий аргументы и возвращающий значение. Обычно функция определяется с помощью инструкции def.

Определим простейшую функцию:

def add(x, y):
    return x + y

Инструкция return говорит, что нужно вернуть значение. В нашем случае функция возвращает сумму x и y.

Теперь мы ее можем вызвать:

>>> add(1, 10)
11
>>> add('abc', 'def')
'abcdef'

Функция может быть любой сложности и возвращать любые объекты (списки, кортежи, и даже функции!):

>>> def newfunc(n):
...     def myfunc(x):
...         return x + n
...     return myfunc
...
>>> new = newfunc(100)  # new - это функция
>>> new(200)
300

Функция может и не заканчиваться инструкцией return, при этом функция вернет значение None:

>>> def func():
...     pass
...
>>> print(func())
None

Аргументы функции

Функция может принимать произвольное количество аргументов или не принимать их вовсе. Также распространены функции с произвольным числом аргументов, функции с позиционными и именованными аргументами, обязательными и необязательными.

>>> def func(a, b, c=2): # c - необязательный аргумент
...     return a + b + c
. ..
>>> func(1, 2)  # a = 1, b = 2, c = 2 (по умолчанию)
5
>>> func(1, 2, 3)  # a = 1, b = 2, c = 3
6
>>> func(a=1, b=3)  # a = 1, b = 3, c = 2
6
>>> func(a=3, c=6)  # a = 3, c = 6, b не определен
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
    func(a=3, c=6)
TypeError: func() takes at least 2 arguments (2 given)

Функция также может принимать переменное количество позиционных аргументов, тогда перед именем ставится *:

>>> def func(*args):
...     return args
...
>>> func(1, 2, 3, 'abc')
(1, 2, 3, 'abc')
>>> func()
()
>>> func(1)
(1,)

Как видно из примера, args — это кортеж из всех переданных аргументов функции, и с переменной можно работать также, как и с кортежем.

Функция может принимать и произвольное число именованных аргументов, тогда перед именем ставится **:

>>> def func(**kwargs):
...     return kwargs
...
>>> func(a=1, b=2, c=3)
{'a': 1, 'c': 3, 'b': 2}
>>> func()
{}
>>> func(a='python')
{'a': 'python'}

В переменной kwargs у нас хранится словарь, с которым мы, опять-таки, можем делать все, что нам заблагорассудится.

Анонимные функции, инструкция lambda

Анонимные функции могут содержать лишь одно выражение, но и выполняются они быстрее. Анонимные функции создаются с помощью инструкции lambda. Кроме этого, их не обязательно присваивать переменной, как делали мы инструкцией def func():

>>> func = lambda x, y: x + y
>>> func(1, 2)
3
>>> func('a', 'b')
'ab'
>>> (lambda x, y: x + y)(1, 2)
3
>>> (lambda x, y: x + y)('a', 'b')
'ab'

lambda функции, в отличие от обычной, не требуется инструкция return, а в остальном, ведет себя точно так же:

>>> func = lambda *args: args
>>> func(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 3, 4)

Сдвиги графиков функций

☰

Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).

Если же рассматривать функций, подобные перечисленным выше, у которых к переменной x или ко всей исходной функции прибавляется (или вычитается) какое-либо число, то графики этих функций остаются такими же как у исходных, однако смещаются относительно точки (0; 0).

Если обозначить исходные функции как y = f(x), то прибавление к x числа дает функции вида y = f(x+l), а прибавление ко всей исходной функции значения дает вид y = f(x) + m.

Например, если исходная функция y = 2x², то примером первого типа будет функция y = 2(x+5)², а второго — y = 2x² + 5.

Для функций вида y = f(x+l) график смещается влево на l единиц, если l прибавляется. Если же l вычитается, то график смещается вправо. Действительно, представим параболу функции y = x² и сравним ее с функцией y = (x+1)². Когда x = 1, то для первой функции y = 1, а для второй — y = 4. Когда x = 0, для первой y = 0, для второй y = 1. Когда x = –1, для первой y = 1, для второй y = 0.

То есть график второй функции касается оси x в точке (–1; 0). Это значит, что график смещен влево по сравнению с исходным на 1.

Для функций вида y = f(x) + m график соответствующей функции y = f(x) смещается на m единиц, но уже по вертикальной оси (ось y). Здесь если m прибавляется, то график сдвигается вверх. Если m вычитается, то график сдвигается вниз.

Рассмотрим ту же параболу y = x² и функцию y = x² + 1. Когда x = 0, первая принимает значение 0, а у второй y = 1. Получить у второй функции значение y, которое равно 0, вообще невозможно. Это значит, что парабола имеет точку симметрии с координатами (0; 1), т. е. сдвинута от исходной вверх на 1.

«Смешанные» функции вида y = f(x + l) + m сдвигаются вдоль оси x и y. Вдоль оси x они сдвигаются на l, а вдоль y — на значение m.

Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) — Mathplanet

Если мы в следующем уравнении y = x + 7 присвоим значение x, уравнение даст нам значение для y.

Пример

$$ y = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$$ y = 2 + 7 = 9 $$

Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y. Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

Функция — это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y.f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.

Пример

$$ f (x) = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

Функция линейна, если ее можно определить с помощью

$$ f (x) = mx + b $$

f (x) — значение функции.
м — уклон линии.
b — значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, в которой линия пересекает ось y в координатной плоскости.
x — значение координаты x.

Эта форма называется формой пересечения наклона. Если наклон m отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

$$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

$$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными. 3 — 1

— это функции, потому что каждое значение x дает другое значение y . В графических терминах функция — это отношение, в котором первые числа в упорядоченной паре имеют одно и только одно значение в качестве второго числа, другой части упорядоченной пары.

Проверка упорядоченных пар

Упорядоченная пара — это точка на координатном графике x — y со значениями x и y. Например, (2, −2) — это упорядоченная пара с 2 в качестве значения x и −2 в качестве значения y .При наличии набора упорядоченных пар убедитесь, что ни одно значение x не имеет более одного парного значения y . Когда задан набор упорядоченных пар [(2, −2), (4, −5), (6, −8), (2, 0)], вы знаете, что это не функция, потому что x -Значение — в данном случае — 2, имеет более одного значения y . Однако этот набор упорядоченных пар [(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)] является функцией, потому что y -value может иметь более одного соответствующего значения x .

Решение для Y

Относительно легко определить, является ли уравнение функцией, решив для y . Когда вам дается уравнение и конкретное значение для x , должно быть только одно соответствующее значение y для этого значения x . Например,

y = x + 1

— это функция, потому что y всегда будет на единицу больше x . Уравнения с показателями также могут быть функциями.2 = 9

имеет два возможных ответа (3 и −3).

Тест вертикальной линии

Определить, является ли отношение функцией на графике, относительно легко с помощью теста вертикальной линии. Если вертикальная линия пересекает отношение на графике только один раз во всех местах, отношение является функцией. Однако, если вертикальная линия пересекает отношение более одного раза, отношение не является функцией. При использовании теста вертикальной линии все линии, кроме вертикальных, являются функциями. Круги, квадраты и другие замкнутые формы не являются функциями, но параболические и экспоненциальные кривые — это функции.

Использование диаграммы ввода-вывода

Диаграмма ввода-вывода отображает вывод или результат для каждого ввода или исходного значения. Любая диаграмма ввода-вывода, где у входа есть два или более разных выхода, не является функцией. Например, если вы видите число 6 в двух разных входных пространствах, а результат — 3 в одном случае и 9 в другом, отношение не является функцией.Однако, если два разных входа имеют одинаковый выход, все еще возможно, что отношение является функцией, особенно если задействованы квадратные числа.

Графики основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией. Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -перехват (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определяемая как f (x) = x3., Определяемая как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности.Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень большие, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функции квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, на что указывает t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.

h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Если x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, тогда y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целочисленной функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Основные выводы

• Постройте точки для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
• Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
• Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
• Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

Часть A: Основные функции

Сопоставьте график с определением функции.

Оценить.

7. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

8. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

9. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

10. f (х) = | х |; найти f (−10), f (0) и f (a).

11. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

12. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

13. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

14. f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

15. График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон.

16. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.

Функция кубического корня.

17. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

18. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

19. Постройте график функции корня куба, определенной как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

20. Определите область и диапазон функции кубического корня.

Найдите заказанную пару, которая определяет точку P .

Часть B: кусочные функции

Постройте график кусочных функций.

25. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

26. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

27. h (x) = {xifx <0xifx≥0

28. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

29. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

30. f (x) = {xifx <1xifx≥1

31. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

32. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

33. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

34. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

35. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

36. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

37. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

38. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

39. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

40. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

Оценить.

45. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

    Найдите f (−5), f (0) и f (3).

46. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

    Найдите f (−3), f (0) и f (2).

47. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

    Найдите g (−1), g (1) и g (4).

48. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

    Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

49. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

    Найдите h (−2), h (0) и h (4).

50. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

    Найдите h (−5), h (4) и h (25).

51. f (x) = [[x − 0,5]]

    Найдите f (−2), f (0) и f (3).

52. f (x) = [[2x]] + 1

    Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

Оцените по графику f .

53. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

54. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

55. Найдите f (0), f (2) и f (4).

56. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

57. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

58. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

59. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

60. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

61. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

    1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
    2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?

62. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

    1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
    2. Какой уровень производства минимизирует стоимость единицы?

63. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0. 03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

    1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
    2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?

64. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

Часть C: Обсуждение

65. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

66. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответов

7. f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a

9. f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

13. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

15. Домен: ℝ; диапазон: {5}

17. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

45. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

47. г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

49. ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16

51. f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2

53. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

55. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

57. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

59. f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

Графические линейные функции | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Построение линейной функции путем нанесения точек
• Постройте линейную функцию, используя наклон и точку пересечения оси Y
• Построение линейной функции с помощью преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения y- и наклона. Третий — применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения.Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Как: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

1. Выберите минимум два входных значения.
2. Оцените функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
4. Нанесите пары координат на сетку.
5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуй

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не построение точек. Первая характеристика — это точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ подумать о наклоне — разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с точкой пересечения y- , так и с наклоном в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо. Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

• b — это пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
• м — наклон линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек. Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение на выходе (подъем)}} {\ text {изменение на входе (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} — {y} _ {1}} {{x} _ {2} — {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия — единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y-.
2. Определите уклон.
3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y-.
4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- .

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения и . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуй

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x .

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков — использовать преобразований для функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательно, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче наклон.

Вертикальные растяжения, сжатия и отражения на функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [латексе] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f всего на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
2. Растяните или сожмите график по вертикали в м .
3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали с помощью [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности сдвинута по вертикали на 3 единицы.

Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжата в [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] раз.

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуй

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с использованием преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на обратный?

№ Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} — \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} — \ text {3} \ hfill \\ = — \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Что это за математическая функция?

Функции подобны математическим машинам, которые выполняют операции с входными данными для получения выходных данных. Знание того, с какой функцией вы имеете дело, так же важно, как и решение самой проблемы. Приведенные ниже уравнения сгруппированы в соответствии с их функциями. Для каждого уравнения перечислены четыре возможные функции, правильный ответ выделен жирным шрифтом. Чтобы представить эти уравнения в виде викторины или экзамена, просто скопируйте их в текстовый редактор и удалите пояснения и жирный шрифт. Или используйте их в качестве руководства, чтобы помочь студентам просмотреть функции.

Линейные функции

Линейная функция — это любая функция, которая образует прямую линию, отмечает Study.ком:

«С математической точки зрения это означает, что функция имеет одну или две переменные без показателей или степеней».

г — 12x = 5x + 8

A) Линейная
B) Квадратичный
C) Тригонометрический
D) Не функция

г = 5

А) Абсолютное значение
B) Линейный
C) Тригонометрический
D) Не функция

Абсолютное значение относится к тому, насколько далеко число от нуля, поэтому оно всегда положительно, независимо от направления.

y = | x — 7 |

А) Линейный
B) Тригонометрический
C) Абсолютное значение
D) Не функция

Экспоненциальный спад описывает процесс уменьшения суммы на постоянную процентную ставку в течение определенного периода времени и может быть выражен формулой y = a (1-b) ^x , где y — окончательная сумма, a — это исходное количество, b — коэффициент затухания, а x — это количество прошедшего времени.

y = 0,25 ^x

А) Экспоненциальный рост
B) Экспоненциальный спад
C) линейный
D) Не функция

Тригонометрический

Тригонометрические функции обычно включают в себя термины, описывающие измерение углов и треугольников, такие как синус, косинус и тангенс, которые обычно сокращаются как sin, cos и tan соответственно.

y = 15 sinx

А) Экспоненциальный рост
B) Тригонометрический
C) Экспоненциальный спад
D) Не функция

y = tanx

A) Тригонометрический
B) линейный
C) Абсолютное значение
D) Не функция

Квадратичные функции представляют собой алгебраические уравнения, которые имеют вид: y = ax ² + bx + c , где a не равно нулю.Квадратные уравнения используются для решения сложных математических уравнений, которые пытаются оценить недостающие факторы, нанося их на U-образную фигуру, называемую параболой, которая является визуальным представлением квадратной формулы.

y = -4 x ² + 8 x + 5

A) Квадратичный
B) Экспоненциальный рост
C) линейный
D) Не функция

y = ( x + 3) 2

А) Экспоненциальный рост
B) Квадратичный
C) Абсолютное значение
D) Не функция

Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост — это изменение, которое происходит, когда исходная сумма увеличивается с постоянной скоростью в течение определенного периода времени. Некоторые примеры включают стоимость жилья или инвестиций, а также увеличение числа участников популярной социальной сети.

y = 7 ^x

A) Экспоненциальный рост
B) Экспоненциальный спад
C) линейный
D) Не функция

Не работает

Чтобы уравнение было функцией, одно значение на входе должно соответствовать только одному значению на выходе.Другими словами, для каждых x у вас будет уникальный y . Уравнение ниже не является функцией, потому что если вы выделите x в левой части уравнения, есть два возможных значения для y : положительное значение и отрицательное значение.

х ² + у ² = 25

А) Квадратичный
B) линейный
C) Экспоненциальный рост
D) Не функция

— пояснения и примеры

Концепция функций была разработана в семнадцатом веке, когда Рене Декарт использовал эту идею для моделирования математических отношений в своей книге « Геометрия ». Термин «функция» был введен Готфридом Вильгельмом Лейбницем через пятьдесят лет после публикации «Геометрии ».

Позже Леонард Эйлер формализовал использование функций, когда ввел понятие обозначения функций; у = f (х). Так продолжалось до 1837 года, когда немецкий математик Петер Дирихле дал современное определение функции.

Что такое функция?

В математике функция — это набор входных данных с одним выходом в каждом случае.У каждой функции есть домен и диапазон. Область — это набор независимых значений переменной x для определенного отношения или функции. Проще говоря, домен — это набор значений x, которые генерируют реальные значения y при подстановке в функцию.

С другой стороны, диапазон — это набор всех возможных значений, которые может выдать функция. Диапазон функции может быть выражен в виде интервалов или содержать информацию о неравенствах.

Что такое обозначение функции?

Нотация может быть определена как система символов или знаков, обозначающих такие элементы, как фразы, числа, слова и т. Д.

Следовательно, обозначение функций — это способ, которым функция может быть представлена ​​с помощью символов и знаков. Обозначение функций — это более простой способ описания функции без подробного письменного объяснения.

Чаще всего используется обозначение функции f (x), которое читается как «f» или «x». В этом случае буква x, помещенная в круглые скобки, и весь символ f (x) обозначают набор доменов и набор диапазонов соответственно.

Хотя f — самая популярная буква, используемая при написании обозначений функций, любая другая буква алфавита также может использоваться как в верхнем, так и в нижнем регистре.

Преимущества использования обозначения функций

• Поскольку большинство функций представлены различными переменными, такими как; a, f, g, h, k и т. д., мы используем f (x), чтобы избежать путаницы относительно того, какая функция оценивается.
• Обозначение функции позволяет легко идентифицировать независимую переменную.
• Обозначение функции также помогает нам идентифицировать элемент функции, который необходимо исследовать.

Рассмотрим линейную функцию y = 3x + 7. Чтобы записать такую ​​функцию в обозначении функции, мы просто заменяем переменную y фразой f (x), чтобы получить;

f (x) = 3x + 7.Эта функция f (x) = 3x + 7 читается как значение f для x или как f для x.

Типы функций

В алгебре есть несколько типов функций.

К наиболее распространенным типам функций относятся:

Линейная функция — это многочлен первой степени. Линейная функция имеет общий вид f (x) = ax + b, где a и b — числовые значения, а a 0.

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Общая форма квадратичной функции: f (x) = ax ² + bx + c, где a, b и c — целые числа и a 0.

Это полиномиальная функция от 3 ^rd градусов, которая имеет форму f (x) = ax ³ + bx ² + cx + d

Логарифмическая функция — это уравнение, в котором переменная выступает в качестве аргумента логарифма. Общая функция функции f (x) = log a (x), где a — основание, а x — аргумент

Показательная функция — это уравнение, в котором переменная отображается как показатель степени. Экспоненциальная функция представлена ​​как f (x) = a ^x .

f (x) = sin x, f (x) = cos x и т. Д. Являются примерами тригонометрических функций

1. Идентификационная функция:

Идентификационная функция такова, что f: A → B и f (x) = x, ∀ x ∈ A

1. Рациональная функция:

Функция называется рациональной, если R (x) = P (x) / Q (x), где Q (x) ≠ 0.

Как оценивать функции?

Оценка функции — это процесс определения выходных значений функции.Это делается путем подстановки входных значений в обозначение данной функции.

Пример 1

Запишите y = x ² + 4x + 1, используя обозначение функции, и оцените функцию при x = 3.

Решение

Учитывая, y = x ² + 4x + 1

Применяя обозначение функций, получаем

f (x) = x ² + 4x + 1

Оценка:

Заменить x на 3

f (3) = 3 ² + 4 × 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22

Пример 2

Вычислите функцию f (x) = 3 (2x + 1), когда x = 4.

Решение

Подставьте x = 4 в функцию f (x).

f (4) = 3 [2 (4) + 1]

f (4) = 3 [8 + 1]

f (4) = 3 x 9

ф (4) = 27

Пример 3

Запишите функцию y = 2x ² + 4x — 3 в обозначении функции и найдите f (2a + 3).

Решение

y = 2x ² + 4x — 3 ⟹ f ​​(x) = 2x ² + 4x — 3

Заменить x на (2a + 3).

f (2a + 3) = 2 (2a + 3) ² + 4 (2a + 3) — 3

= 2 (4a ² + 12a + 9) + 8a + 12-3
= 8a ² + 24a + 18 + 8a + 12-3
= 8a ² + 32a + 27

Пример 4

Представьте y = x ³ — 4x, используя обозначение функции, и решите относительно y при x = 2.

Решение

Учитывая функцию y = x ³ — 4x, замените y на f (x), чтобы получить;

f (x) = x ³ — 4x

Теперь оцените f (x), когда x = 2

⟹ f (2) = 2 ³ — 4 × 2 = 8-8 = 0

Следовательно, значение y при x = 2 равно 0

Пример 5

Найдите f (k + 2) при условии, что f (x) = x² + 3x + 5.

Решение

Чтобы вычислить f (k + 2), замените x на (k + 2) в функции.

⟹ f (k + 2) = (k + 2) ² + 3 (k + 2) + 5

⟹ k² + 2² + 2k (2) + 3k + 6 + 5

⟹ k² + 4 + 4k + 3k + 6 + 5

= k² + 7k + 15

Пример 6

Учитывая обозначение функции f (x) = x ² — x — 4. Найдите значение x, когда f (x) = 8

Решение

f (x) = x ² — x — 4

Заменим f (x) на 8.

8 = х ² — х — 4

х ² — х — 12 = 0

Решите квадратное уравнение, умножая на множители, чтобы получить;

⟹ (х — 4) (х + 3) = 0

⟹ х — 4 = 0; х + 3 = 0

Следовательно, значения x при f (x) = 8 равны;

х = 4; х = -3

Пример 7

Вычислите функцию g (x) = x ² + 2 при x = −3

Решение

Заменить x на -3.

г (−3) = (−3) ² + 2 = 9 + 2 = 11

Примеры обозначения функций из реальной жизни

Функциональная нотация может применяться в реальной жизни для оценки математических задач, как показано в следующих примерах:

Пример 8

Для производства определенного продукта компания тратит x долларов на сырье и y долларов на рабочую силу. Если себестоимость продукции описывается функцией f (x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy / 100.Рассчитайте стоимость производства, если фирма тратит 10 000 и 1 000 долларов на сырье и рабочую силу соответственно.

Решение

Дано x = 10 000 долларов и y = 1 000 долларов

Подставить значения x и y в функцию производственных затрат

⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40 (10000) + 30 (1000) + (10000) (1000) / 100.

⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

⟹ 4136000 долларов.

Пример 9

Мэри экономит 100 долларов в неделю на предстоящем праздновании дня рождения.Если у нее уже есть 1000 долларов, сколько у нее будет через 22 недели.

Решение

Пусть x = количество недель, а f (x) = общая сумма. Мы можем записать эту проблему в обозначении функции как;

f (x) = 100x + 1000
Теперь оцените функцию, когда x = 22
f (22) = 100 (22) +1000
f (22) = 3200

Таким образом, общая сумма составляет 3200 долларов США.

Пример 10

Стоимость разговора в двух мобильных сетях A и B составляет 34 доллара плюс 0.05 / мин и 40 долларов плюс 0,04 / мин соответственно.

1. Представьте эту проблему в обозначении функций.
2. Какая мобильная сеть является доступной с учетом того, что в среднем каждый месяц используется 1 160 минут.
3. Когда ежемесячные счета двух сетей равны?

Решение

1. Пусть x будет количеством минут, используемых в каждой сети.

Следовательно, функция сети A равна f (x) = 0,05x + 34, а функция сети B — f (x) = 0.04x + 40 долларов.

1. Чтобы определить, какая сеть доступна по цене, подставьте x = 1160 в каждую функцию

A ⟹ f (1160) = 0,05 (1160) + 34

= 58 + 34 = 92 доллара

B ⟹ f (1160) = 0,04 (1160) + 40

= 46,4 + 40

= 86,4 долл. США

Таким образом, сеть B является доступной, поскольку ее общая стоимость времени разговора меньше, чем у сети A.

1. Приравняйте две функции и решите x

⟹ 0,05x +34 = 0,04x + 40

⟹ 0.01x = 6

х = 600

Ежемесячный счет для A и B будет равен, если среднее количество минут составит 600.

Проба:

A ⟹ 0,05 (600) +34 = 64 доллара США

млрд ⟹ 0,04 (600) + 40 = 64 доллара

Пример 11

Определенное число такое, что если его добавить к 142, результат будет на 64 больше, чем в три раза, чем исходное число. Найдите номер.

Решение

Пусть x = исходное число, а f (x) — число, полученное после добавления 142.

f (x) = 142 + x = 3x + 64

2x = 78

х = 39

Пример 12

Если произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 1122, найдите два целых числа.

Решение

Пусть x будет первым целым числом;

второе целое число = x + 1

Теперь сформируйте функцию как;

е (х) = х (х + 1)

найти значение x, если f (x) = 1122

Заменить функцию f (x) на 1122

1122 = х (х + 1)

1122 = х ² + 1

х ² = 1121

Найдите квадрат обеих сторон функции

х = 33

х + 1 = 34

Целые числа 33 и 34.

Линейные уравнения — Бесплатная справка по математике

Простое определение линейного уравнения:

Уравнение, образующее прямую линию на графике.

Точнее, линейное уравнение — это уравнение, которое зависит только от констант и переменной в первой степени. Например, \ (y = 6x + 2 \) является линейным, потому что у него нет квадратов, кубов, квадратных корней, синусов и т. Д. Линейными уравнениями всегда можно манипулировать, чтобы они приняли такую ​​форму:

Вы не всегда увидите линейные уравнения, написанные точно так, но имейте в виду, что мы можем, , манипулировать уравнениями, чтобы при необходимости преобразовать их в определенную форму.

Линейные уравнения часто записываются с более чем одной переменной, обычно с x и y. В таких уравнениях будет много возможных комбинаций x и y, которые работают. Когда эти точки (известные как пары координат) нанесены на ось x-y, они образуют прямую линию. Давайте посмотрим на это графически ниже. Два нарисованных уравнения линейны. Обратите внимание, что одно уравнение имеет форму \ (y = 3 \) (оно зависит только от константы 3), а другое уравнение — \ (y = 0,75x — 0,5 \) (линейный член и — константа ).

Как узнать, линейно ли уравнение?

Включает ли уравнение (или функция) какие-либо члены в квадрате? Как насчет других членов с показателем, отличным от 1 (или, технически, нуля)? Если функция не имеет членов с порядком выше 1 (причудливый способ обозначить показатель степени), то она линейна!

Что делать, если у него есть функция журнала или триггера и т. Д.?

Это нелинейные члены. Просто они не являются константами (обычными числами) или переменными с показателем степени 1, поэтому функция не является линейной.Если бы мы могли записать sin (x) или log (x) как нечто линейное, например \ (2x + 3 \), то мы бы сделали это вместо использования сложных нелинейных функций, таких как синус и журнал! Конечно, если вы еще не рассмотрели эти концепции в своем классе, даже не беспокойтесь об этом.

Итак, как мне решить линейное уравнение?

Некоторые линейные уравнения действительно очень легко решить. А что насчет этого:

Это линейное уравнение, и оно уже решено относительно y! Это просто … здесь нечего делать.Но этот довольно тривиальный пример действительно показывает нам, что линейные уравнения могут быть довольно простыми, а также показывает нам нашу цель: переписать уравнение так, чтобы переменная, для которой мы решаем, находилась с одной стороны, а все остальное — с другой.

Сделаем крошечный шаг вперед:

В этом уравнении мы просто должны вычесть 2 из обеих частей, чтобы преобразовать наше уравнение в решенную форму с y = 2. Решение любого линейного уравнения — это просто вопрос выполнения операций по обе стороны от знака равенства до тех пор, пока уравнение не приобретет желаемую форму (обычно решается для одной переменной, например X или Y).Шаги подробно показаны ниже:

А как насчет более сложных уравнений?

К счастью, с линейными уравнениями шаги всегда относительно просты. Нет единого способа сделать это, и со временем вы сможете продумывать линейное уравнение, не записывая каждый шаг. Попробуйте следующий подход к решению уравнений и посмотрите, работает ли он для вас:

1. Собирать одинаковые термины — это означает собрать все x вместе, все y вместе и все обычные числа (известные как константы) и сложить их по отдельности.Например, выражение \ (4x + 2y + 3x-5 + 10 \) превращается в \ (7x + 2y + 5 \). Помните, что вы можете складывать, вычитать, умножать или делить, если вы делаете это до обеих сторон уравнения .
2. Выделите переменную, которую вы хотите решить. Если в задаче требуется решить для y, вам нужно поместить y по одну сторону от знака равенства, а все остальные элементы — по другую сторону. Здесь вы можете перейти от \ (2y — 6 = 4 \) к \ (2y = 10 \).
3. Удалите все коэффициенты, оставшиеся в этой переменной — если ваш ответ после шага 2 выглядит как \ (5y = 7x — 10 \), просто разделите обе стороны на 5, чтобы получить \ (y = \ frac {7x} {5} — \ гидроразрыв {10} {2} \).
4. Проверьте свой ответ. Кажется, ваш ответ имеет смысл? Сможете ли вы подставить свой ответ в исходное уравнение, и оно все еще будет работать?

Давайте рассмотрим несколько примеров решения линейных уравнений.

Следует иметь в виду, что вы не можете всегда решать уравнение к чему-то определенному, например, y = 5. Совершенно нормально иметь y = x + 5, и это просто означает, что y зависит от x. Фактически, для каждого значения x существует ровно одно значение y, и все они образуют точки, лежащие на прямой линии (как я показал в начале).

Пример 1:

Решить относительно y: \ (2y + 5 = 9 \)

Если вы снова замените y на 2 в исходной задаче, вы получите 9 = 9, так что это правильно!

Пример 2:

Решить относительно y: \ (2y-x = 4 + x + 3x \)

Пример 3:

Решить относительно y: \ (2x + 7 = \ frac {y + 6} {2} \)

Подводя итог

Помните, что линейные уравнения по своей сути просты — не пытайтесь слишком много обдумывать! Они состоят только из линейных членов (например, 3x, 2y, y / 2 и т.