Элементарные функции. Линейная функция | Подготовка к ЕГЭ по математике
Категория: Справочные материалыФункции и графики
Линейная функция – функция вида , где и – некоторые числа.
Число называется угловым коэффициентом прямой (и равняется тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс). Число
Графики линейных функций, имеющие один и тот же угловой коэффициент, параллельны друг другу ( см. рис. слева (ниже)).
Графики функций, коэффициенты и которых связаны следующим образом:
, перпендикулярны друг другу (рис. справа).Частные случаи:
1)
Тогда , графиком является прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая, в частности, через точку
2)
Тогда (прямая пропорциональность), графиком является прямая, проходящая через начало координат (рис. справа).
Строить график линейной функции можно двумя основными способами:
1) Через две точки
Одну из точек обычно берут . Эта точка сразу же видна, ведь свободный член в формуле задает ординату точки пересечения с осью (оy). Вторую точку выбираем любую (), лишь бы удобно было в ней считать соответствующее значение .2) По угловому коэффициенту
Строим на координатной плоскости произвольную точку прямой. Проводим через эту точку прямую, образующую с осью (OX) угол, тангенс которого равен k
egemaximum.ru
Линейная функция — это… Что такое Линейная функция?
Примеры линейных функций.Линейная функция — функция вида
- (для функций одной переменной).
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.
График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.
- Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от — неоднородных линейных функций.
Свойства
Линейная функция нескольких переменных
Линейная функция переменных — функция вида
где — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё -мерное пространство переменных вещественных или комплексных. При линейная функция называется однородной, или линейной формой.
Если все переменные и коэффициенты — вещественные числа, то графиком линейной функции в -мерном пространстве переменных является -мерная гиперплоскость
в частности при — прямая линия на плоскости.
Абстрактная алгебра
Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства над некоторым полем в это поле, то есть для такого отображения , что для любых элементов и любых справедливо равенство
причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную
Алгебра логики
Булева функция называется линейной, если существуют такие , где , что для любых имеет место равенство:
- .
Нелинейные функции
Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.
То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.
В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям , где , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае и . Например, нелинейной зависимостью считают для материала с упрочнением (см. теория пластичности).
См. также
Ссылки
- Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.
academic.ru
Линейная функция и её график
График линейной функции — прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.
При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.
Рассмотрим рисунок 1.
Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой
Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:
\[kx+b=0\] \[x=-\frac{b}{k}\]С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.
Таким образом, можно сделать следующий вывод:
Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график
Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.
- Область определения — все числа.
- Область значения — все числа.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
- При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.
Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$
- $f’\left(x\right)={\left(kx+b\right)}’=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
- $f^{»}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
- График (рис. 2).
Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.
Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k
- Область определения — все числа.
- Область значения — все числа.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
- При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.
Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$
- $f’\left(x\right)={\left(kx\right)}’=k
- $f^{»}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
- График (рис. 3).
Рис. 3. Графики функции $y=kx+b$, при $k
Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти две точки и провести прямую через эти точки.
Задача на построение графиков функции прямой пропорциональности
spravochnick.ru
Урок алгебры в 7-м классе по теме «Линейная функция и ее график»
Цель: Закрепить полученные знания и умения, превращая их в навык.
Ход урока
1. Сообщение темы и цели урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Устная работа:
- Определение линейной функции.
- Что является графиком линейной функции?
- Функция какого вида называется прямой пропорциональностью?
- Как расположен в координатной плоскости график функции y= kx, если k > 0 (k < 0)?
- Как построить график функции y= b?
- В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?
- В каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?
4. Тренировочные упражнения:
№ 1. Работа по вариантам (проверка задания в парах).
№ 2. Что можно сказать о взаимном расположении графиков данных функций?
Найдите координаты точки пересечения графиков функций.
№ 3. Доска: y = 3x; y = — 2x; y = 1,5 – 5; y = 4
- Укажите в каких четвертях проходит график функции y = 3x.
- Укажите в каких четвертях проходит график функции y = — 2x.
- Составьте формулу функции, график которой параллелен прямой y = 1,5-3.
- Составьте формулу функции, график которой пересекает прямую y = 3х.
- Составьте формулу функции, график которой параллелен графику функцииy = — 2х и пересекает ось Оyв точке (0;5).
- Постройте в одной системе координат графики данных функций.
- Запишите координаты точек пересечения прямых с осями координат.
5. Домашнее задание.
6. Самостоятельная работа (по карточкам).
Пример карточки:
- Функция задана формулой y = — 2х + 4.
Принадлежит ли графику функции точка А(0; -2)? - Подберите число а так, чтобы функции
а) y = 8x+12 и y = ах-3 пересекались;
б) y = 3х+1 и y = ах-1 были параллельны. - Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = -0,5х + 2 и y = 2,5 – 10, если они существуют.
7. Дополнительные задания:
- График функции y = kx + 5 проходит через точку М( -7; 12). Найдите k.
- График функции y = kx + b проходит через точку А( -3; 2) и параллелен прямой у = — 4х. Найдите k и b.
8. Итог урока.
urok.1sept.ru
Графиком линейной функции является прямая линия.
Линейная функция и ее график
Линейной функцией называется функция вида
В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции .
Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:
· если , то график наклонен вправо
· если , то график наклонен влево
Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :
· если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси
· если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси
На рисунке ниже изображены графики функций ; ;
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; ;
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; ;
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0,то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0,то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0,то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0,то график функции имеет вид:
Если k=0 ,то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Еслиb=0, то график функции проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Точки пересечения графика функциис осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):
Читайте также:
Рекомендуемые страницы:
Поиск по сайту
poisk-ru.ru