Элементарные функции. Линейная функция | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Линейная функция – функция вида , где и – некоторые числа.

Число называется угловым коэффициентом прямой (и равняется тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс). Число

называется свободным членом. График линейной функции является прямой линией, откуда и вытекает название.

Графики линейных функций, имеющие один и тот же угловой коэффициент, параллельны друг другу ( см. рис. слева (ниже)).

Графики функций, коэффициенты  и  которых связаны следующим образом: 

, перпендикулярны друг другу (рис. справа).

Частные случаи:

1)
Тогда , графиком является прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая, в частности, через точку

(рис. слева (ниже))
2)
Тогда (прямая пропорциональность), графиком является прямая, проходящая через начало координат (рис. справа).

Строить график линейной функции можно двумя основными способами:

1) Через две точки

Одну из точек обычно берут . Эта точка сразу же видна, ведь свободный член в формуле задает ординату точки пересечения с осью (оy). Вторую точку выбираем любую (), лишь бы удобно было в ней считать соответствующее значение .

2) По угловому коэффициенту

Строим на координатной плоскости произвольную точку прямой. Проводим через эту точку прямую, образующую с осью (OX) угол, тангенс которого равен k

 

egemaximum.ru

Линейная функция — это… Что такое Линейная функция?

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от  —
  неоднородных линейных функций.

Свойства

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция переменных  — функция вида

где  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё -мерное пространство переменных вещественных или комплексных. При линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные и коэффициенты  — вещественные числа, то графиком линейной функции в -мерном пространстве переменных является -мерная гиперплоскость

в частности при  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства над некоторым полем в это поле, то есть для такого отображения , что для любых элементов и любых справедливо равенство

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную

однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция называется линейной, если существуют такие , где , что для любых имеет место равенство:

.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям , где , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае и . Например, нелинейной зависимостью считают для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

academic.ru

Линейная функция и её график

График линейной функции — прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

\[kx+b=0\] \[x=-\frac{b}{k}\]

Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

1. Область определения — все числа.
2. Область значения — все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f’\left(x\right)={\left(kx+b\right)}’=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
2. $f^{»}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
4. График (рис. 2).

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

1. Область определения — все числа.
2. Область значения — все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f’\left(x\right)={\left(kx\right)}’=k
2. $f^{»}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
4. График (рис. 3).

Рис. 3. Графики функции $y=kx+b$, при $k

Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти две точки и провести прямую через эти точки.

Задача на построение графиков функции прямой пропорциональности

spravochnick.ru

Урок алгебры в 7-м классе по теме «Линейная функция и ее график»

Цель: Закрепить полученные знания и умения, превращая их в навык.

Ход урока

1. Сообщение темы и цели урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Устная работа:

1. Определение линейной функции.
2. Что является графиком линейной функции?
3. Функция какого вида называется прямой пропорциональностью?
4. Как расположен в координатной плоскости график функции y= kx, если k > 0 (k < 0)?
5. Как построить график функции y= b?
6. В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?
7. В каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?

4. Тренировочные упражнения:

№ 1. Работа по вариантам (проверка задания в парах).

№ 2. Что можно сказать о взаимном расположении графиков данных функций?

Найдите координаты точки пересечения графиков функций.

№ 3. Доска: y = 3x; y = — 2x; y = 1,5 – 5; y = 4

1. Укажите в каких четвертях проходит график функции y = 3x.
2. Укажите в каких четвертях проходит график функции y = — 2x.
3. Составьте формулу функции, график которой параллелен прямой y = 1,5-3.
4. Составьте формулу функции, график которой пересекает прямую y = 3х.
5. Составьте формулу функции, график которой параллелен графику функцииy = — 2х и пересекает ось Оyв точке (0;5).
6. Постройте в одной системе координат графики данных функций.
7. Запишите координаты точек пересечения прямых с осями координат.

5. Домашнее задание.

6. Самостоятельная работа (по карточкам).

Пример карточки:

1. Функция задана формулой y = — 2х + 4.
   Принадлежит ли графику функции точка А(0; -2)?
2. Подберите число а так, чтобы функции
   а) y = 8x+12 и y = ах-3 пересекались;
   б) y = 3х+1 и y = ах-1 были параллельны.
3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = -0,5х + 2 и y = 2,5 – 10, если они существуют.

7. Дополнительные задания:

1. График функции y = kx + 5 проходит через точку М( -7; 12). Найдите k.
2. График функции y = kx + b проходит через точку А( -3; 2) и параллелен прямой у = — 4х. Найдите k и b.

8. Итог урока.

urok.1sept.ru

Графиком линейной функции является прямая линия.

Линейная функция и ее график

Линейной функцией называется функция вида

В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :

2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:

· если , то график наклонен вправо

· если , то график наклонен влево

Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

· если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси

· если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси

На рисунке ниже изображены графики функций ; ;

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ;

На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций ; ;

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если k<0 и b>0,то график функции имеет вид:

Если k>0 и b>0,то график функции имеет вид:

Если k>0 и b<0,то график функции имеет вид:

Если k<0 и b<0,то график функции имеет вид:

Если k=0 ,то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции равны

Еслиb=0, то график функции проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения выглядит так:

Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

 

Точки пересечения графика функциис осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru