Линейная функция

y = kx + b, (1)

где k и b — определенные числа (k ≠ 0).

При заданных k и b значение y зависит от значения x. Следовательно, мы можем считать x аргументом, а y — его функцией. Функция такого вида называется линейной. Так как правая часть равенства (1) — многочлен первой степени относительно x, то линейной функции можно дать такое определение.

Определение. Многочлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента.

Так как при b = 0 функция имеет вид y = kx, то рассмотренная в предыдущем параграфе функция является частным случаем линейной функции.

В § 75 было показано построением, что графиком линейной функции является прямая. Докажем это.

Теорема. Графиком линейной функции является прямая.

Доказательство. Построим сначала прямую

y = kx (2)

(черт. 63; k = 2). Дадим абсциссе x произвольное значение x = a. Тогда ордината точки прямой (2) будет равна

y = ka, (3)

а ордината точки графика функции (1) будет равна:

y = ka + b. (4)

Так как абсциссу x мы взяли произвольно, то ордината любой точки графика функции y = kx + b равна значению b, сложенному с ординатой точки прямой y = kx, имеющей ту же абсциссу.

Установив это, легко построим график функции y = kx + b. Пусть b > 0 (на чертеже 63 b = 4). Дадим x произвольное значение, например x = 0. Тогда из (1) получим:

y = k * 0 + b; y = b.

Получили одну точку графика функции y = kx + b. Построим ее и проведем через нее вторую прямую, параллельную прямой y = kx. Это вторая прямая и будет графиком функции y = kx + b. Действительно, ордината любой точки M этой прямой равна сумме MN = b и NA ординаты точки прямой y = kx с той же абсциссой. Значит, координаты любой точки второй прямой удовлетворяют уравнению (4).

С другой стороны, если координаты какой-либо точки удовлетворяют уравнению (4), то ордината y = kx плюс b. Значит, рассматриваемая точка лежит на второй прямой. Эта прямая, параллельная прямой y = kx, и отсекает на оси ординат отрезок, равный по величине b.

Если b < 0, то графиком функции y = kx + b будет прямая, лежащая ниже графика функции y = kx (из ординат точек прямой y = kx вычитается |b|).

Рассмотрим некоторые частные случаи функции

y = kx + b.

1) Пусть b = 0. Тогда y = kx. Мы знаем, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат O (0; 0).

2) Пусть k = 0, b ≠ 0. Тогда y = b.

Из этого равенства видно, что при любом значении x ордината точки графика функции y = b будут равна b. Это значит, что все точки графика находятся на одном и том же расстоянии |b| от оси абсцисс. При b > 0 график лежит выше, а при b < 0 ниже оси абсцисс. Другими словами, графиком функции y = b является прямая, параллельная оси абсцисс. Эта прямая проходит через точку (0; b). На чертеже 64 построены графики функций: y = 3 и y = –2.

3) Пусть k = 0 и b = 0, тогда при любом значении x ордината y = 0. Очевидно, что этому условию удовлетворяют только все точки оси абсцисс, и только они. Значит графиком функции y = 0 является ось абсцисс.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — это… Что такое ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ?

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

ЛИНЕЙНАЯ функция, функция вида y = kx+b. График линейной функции — прямая, наклоненная к оси абсцисс (x) под углом a, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат (y) отрезок b, а на оси абсцисс — отрезок — b/k.

Современная энциклопедия. 2000.

Смотреть что такое «ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

• линейная функция — Математическое соотношение, содержащее сумму переменных в степени не выше первой. Линейная функция имеет следующий вид: alX1 + a2X2 + … + anXn = b, где Xi переменные, аi и b константы. Графиком линейной функции является прямая линия. (Словарь… …   Справочник технического переводчика

• Линейная функция —         функция вида у = kx + b. Основное свойство Л. ф.: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Графически Л. ф. изображается прямой линией. При равных масштабах на осях коэффициент k; (угловой коэффициент) равен тангенсу угла …   Большая советская энциклопедия

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — (linear function) Функция вида у = а+b, где а и b являются константами. Линейная функция называется так потому, что ее график всегда является прямой линией. Уравнение y=0 всегда может быть решено линейной функцией при b≠0 с использованием формулы …   Экономический словарь

• Линейная функция — Линейная функция. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = kx+b. График линейной функции прямая, наклоненная к оси абсцисс (x) под углом a, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат (y) отрезок b, а на оси абсцисс отрезок b/k.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая функция МНОГОЧЛЕНА, не включающая в себя производных переменных выше, чем единица. Например, f(x)=7x+3. Графически линейная функция в двухмерной системе представляется прямой линией …   Научно-технический энциклопедический словарь

• Линейная функция — [linear function] функция вида ax + b = y. Основное ее свойство: приращение функции пропорционально приращению ар­гумента. Л.ф. изображается на графике прямой линией  Коэффициент а. характеризует ее наклон. Если b = 0, функция называется… …   Экономико-математический словарь

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — простейшая функция, изображаемая на графике прямой линией (рисунок). Выражается формулой y?kx+b, где k тангенс угла ?, под которым прямая пересекает ось абсцисс …   Большой Энциклопедический словарь

• ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — числовая функция 1 й степени относительно всех её переменных (аргументов), изображаемая на графике прямой линией; выражается формулой у = kx + b, где число k называется угловым коэффициентом (k равен тангенсу угла наклона, tga = k), b есть… …   Большая политехническая энциклопедия

• Линейная функция — Примеры линейных функций. Линейная функция  функция вида (для функций одной переменной). Основное свойство линейных функций: приращение функции п …   Википедия

• линейная функция — простейшая функция, изображаемая на графике прямой линией . Выражается формулой y = kx + b, где k  тангенс угла φ, под которым прямая пересекает ось абсцисс. * * * ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, простейшая функция, изображаемая на графике… …   Энциклопедический словарь

Линейная функция и её график

Зачет по теме: « Линейная функция и её график»

Вариант 1

1. Продолжите предложения: Уравнение вида у = kх + b называется _____, где __________.

2. Какая из данных функций является линейной?

1) у = -2,8х² — 5,4х + 11,2 ; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .

3. Какая из данных функций не является линейной?

1) у = -2х + 9; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = 9 – 0,2х.

4. Графиком прямой пропорциональности является _________ .

5. Формулой какого вида задается прямая пропорциональность?

6. Графиком какой функции является ось абсцисс?

7. Что является графиком функции у = b?

8. Графиком какой из данных функций является горизонтальная прямая?

1) у = ; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .

9. Для функции у = 2 – 8х найдите k и b. Как называют k?

10. Функции заданы формулами. Какая из функций является прямой пропорциональностью?

1) у = x + 5; 2) у = ; 3) у = 3 – x; 4) у = .

11. Графиком какой из данных функций является прямая, проходящая через начало координат?

1) у = 20 + x; 2) у = 20 – x; 3) у = 20х; 4) у = x – 20.

12. В каких координатных четвертях проходит график прямой пропорциональности у = -16х?

13. Угол, который прямая у = kx образует с положительным направлением оси OX, зависит от _____.

    Если k > 0, то этот угол _______, если k < 0, то угол _____________________.

14. Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой параллелен графику функции

у = -2х + 4. В каких координатных четвертях расположен её график?

15. Укажите ординату точки пересечения графика линейной функции с осью OY:

а) у = 0,2х + 3 у = ________; б) у = -5х – 4 у = ________ .

16. Как выяснить пересекаются ли графики функций, заданных формулами у = 0,9х – 1 и у = 0,8х + 1.

17. Подберите a, b, c и d так, чтобы графики функций:

а) у = -2х + 5 и у = ах – 5 пересекались;

б) у = -bх – 1 и у = 3 – 7х были параллельны;

в) у = -6х +2 и у = сх + d совпадали.

18. Укажите формулу, задающую линейную функцию, график которой параллелен оси OX:

а) у = 6х; б) у = х – 7; в) у = — 5.

19. График функции у = kх + b параллелен оси абсцисс и проходит через

точку А(2; -1). Найдите значения k и b.

20. Укажите функцию, изображенную на рис.1.

1) у = — 0,5х – 2; 3) у = 0,5х – 2;

2) у = 0,5х + 2; 4) у = — 0,5х +2.

21. Не выполняя построений и вычислений, определите, графики каких функций изображены на рис. 2.

1) (а) у = -0,8х + 4, (b) у = 2х + 4; 2) (а) у = 3х + 2, (b) у = 3х + 3; 3) (а) у = -3х + 3, (b) у = 3х + 2; 4) (а) у = 2х + 4, (b) у = 0,8х + 4.

22. Изобразите схематично график линейной функции, для

которой выполнены условия: b<0, k>0.

23. Постройте график линейной функции у = , с его помощью найдите:

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;

б) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

24. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = -11х – 8 и у = -6х +6.

Зачет по теме: « Линейная функция и её график»

Вариант 2

1. Что является графиком линейной функции?

2. Какая из данных функций является линейной?

3. 1) у = ; 2) у = 8х² + 5,4х — 11; 3) у = ; 4) у = .

4. Какая из данных функций не является линейной?

1) у = ; 2) у = 0,3х -7; 3) у = -1; 4) у = .

5. Коэффициент k у функции у = kx называется ___________.

6. Какая из формул соответствует прямой пропорциональности?

1) у = 7х + 2; 2) у = ; 3) у = 5,9х; 4) у = 6х³

7. Что является графиком функции х = а?

8. В каких координатных четвертях проходит график функции у = -8х?

1) у = 7х + 2; 2) у = ; 3) у = 5,9х; 4) у = 6х³

9. Графиком линейной функции у = kx является __________________.

10. Какая из формул задает прямую пропорциональность?

1) у = ; 2) у = 2х²; 3) у = 2х + 1; 4) у = -0,5х.

11. В каких четвертях лежит график функции у = kx, если k>0?

1) I и II ; 2) I и IV; 3) I и III; 4) II и IV.

12. Определите вид угла, образованного графиком функции у = -7,5х с ось х?

13. Как расположены графики функций у =-11х + 12 и у =-15х + 12?

14. Пересекаются ли графики данных функций: а) у = -6х + 9 и у = 2х – 7? б) у = 0,2х – 9 и у = ?

15. Подберите a, b, c и d так, чтобы графики функций:

а) у = -2х + 5 и у = ах – 5 пересекались;

б) у = -bх – 1 и у = 3 – 7х были параллельны;

в) у = -6х +2 и у = сх + d совпадали.

16. Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой параллелен графику функции

у = -3х + 2. В каких координатных четвертях расположен её график?

17. Укажите функцию, изображенную на рисунке.

1) у = х – 2; 2) у = х + 2; 3) у = -х – 2; 4) у = -х + 2.

18. Прямая пропорциональность задана формулой у = 3,6х. Найдите значение этой функции, соответствующее значению аргумента 8.

19. Изобразите схематично график линейной функции, для которой выполнены условия b>0, k<0.

20. График функции у = kх + b параллелен оси абсцисс и проходит через

точку А(-1; 2). Найдите значения k и b.

21. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = -7х + 1 и у = 4х + 7.

22. Постройте график линейной функции у = , с его помощью найдите:

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;

б) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

23. Не выполняя построений и вычислений определите, графики каких функций изображены на рисунке

1) (а) у = -5х + 3, (b) у = -3х + 2; 2) (а) у = -5х + 2, (b) у = -5х + 3;

3) (а) у = 3х + 2, (b) у = -5х + 2; 4) (а) у = -5х + 2, (b) у = -3х + 2.

24. Укажите формулу, задающую линейную функцию, график которой параллелен оси ОХ:

а) у = 2; б) у = -4х – 7; в) у = 9х

Алгебра «Линейная функция и ее график» 7 Класс

Алгебра 7 класс

Тема урока: «Линейная функция и ее график»

Цели урока: обобщить и систематизировать изученный материал; упражнять учащихся в построении графиков линейной функции и прямой пропорциональности; проверить усвоение учащимися материала.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока.

1. Проверка вопросов теории, устная работа.

    1)   Какую функцию называют линейной?

Что является графиком линейной функции?

(Линейной функцией называется функция вида у=кх+b, где к-угловой коэффициент( число), b— свободное число, х- аргумент, у- функция).

2) Какое из уравнений задает линейную функцию?

 

1. У=  5х + 3          

2. У=  — 6

3. У=  х² + 0,5

4. У= — 5/х -9

5. У= 16 — 99х         ответ:1,2,5.

 3)      Какую переменную называют аргументом?

(Аргумент- это независимая переменная х)

       Какую переменную называют функцией?

(функция – это зависимая переменная у)

       Когда линейная функция является возрастающей ( убывающей)?

(Линейная функция у=кх+b является возрастающей, если к>0 ( по графику-«идем в гору»))

(Линейная функция у=кх+b является возрастающей, если к

ущащиеся определяют на каком из рисунков изображена возрастающая линейная функция?

6)Что показывает свободное число b    линейной функции у=kx+b?

( свободное число  b показывает ординату точки пересечения графика линейной функции с осью у)

7) Что является графиком  функции у=b ( является прямая, параллельная оси абсцисс)

Какую функцию называют прямой пропорциональностью?

8)Что является графиком  функции у= кх (является прямая, проходящая через начало системы  координат. )

9)В каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?

10) В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?

На доске пять рисунков: (устно)

 

а б в

г д

(устно) 2.На рисунке изображены графики следующих функций:  y= x -3 y=3x y=-3x    у=8    

Под каким номером изображён график функции
 y= -3x y= x -3 y=3x ?. у=8

2

4

3 1

(устно) 3. Назовите функции , графики которых : а) параллельны ; б)пересекаются? в) пересекаются в одной точке?

1) y=-2x-1 ; y=-2x-3,5 ; y=-2x+5

2) y= — 0,5x ; y=0,5x-3 ; y=1,5x+5

3) y= — 0,3x-4 ; y=0,3x-4 ; y=3x-4

4 Задайте формулой линейную функцию , график которой параллелен прямой y=- 8x — 11 и проходит через начало координат.

 5 .При каком значении x значение функции y=-0,5x + 1 равно 5

  а).x=8                               б).x=-8                                  в)x=-9

2 Практическая работа

1 Какие точки принадлежат графику линейной функции

y= -0,5x+1 :

а) A(-1;0)                      б) B(-2;2,5)                       в) .C(-2;0)                     г) .D(0;1)

y= — 2x+6;

1. C( — 8; — 22) б) A(- 3;4) в) B(5; — 16) г) D (5;8)

№360

2) Найдите координаты точек пересечения графика линейной функции у= 2х+2 с осями координат

Найдите координаты точек пересечения графика линейной функции y = -4x-4с осями координат

3) найдите координаты точки пересечения графиков функции двумя способами

У=8х и у= — 2х- 10

У= 5х+16 и у= — 3х или

1. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций

   у= -х+1   и    у=х-3.   Ответ : (2;-1)

2. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций

   у= 2х   и    у=-х+3  .  Ответ : (1;2)

3. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций

   у= х-2   и    у=-3х-6  Ответ : (-1;-3)

4. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций

   у= х-6   и    у=-0,5х  Ответ : (4;-2)

(проверка с помощью программы графики )

4)Найдите линейную функцию у= kx — 3,если известно, что ее график проходит через точку М( 2; — 9)

Найдите линейную функцию у= kx + 3,если известно, что ее график проходит через точку А( — 2; 4)

5) В одной системе координат постройте указанные прямые. В ответе запишите координаты точек пересечения

У=5х -9 у= -5х -7

У=х+3 у=-3х -1

У= -3х -1 у= -х -3

(проверка с помощью программы графики )

6) Построить график функции у= 6 -2х и определите площадь треугольника, образованного началом координат и точками пересечения графика с осями координат

Построить график функции у= -2 -0,5х и определите площадь треугольника, образованного началом координат и точками пересечения графика с осями координат

7)Составьте уравнение прямой у= kх +b,  изображенной на рисунке.

Итоги урока.

Д/З

№341

№ 364, 365

1.График какой функции лишний? 2.На каком рисунке изображён график прямой пропорциональности? 3.На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент?

Графиком линейной функции является прямая линия.

Линейная функция и ее график

Линейной функцией называется функция вида

В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :

2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:

· если , то график наклонен вправо

· если , то график наклонен влево

Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

· если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси

· если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси

На рисунке ниже изображены графики функций ; ;

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ;

На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций ; ;

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если k<0 и b>0,то график функции имеет вид:

Если k>0 и b>0,то график функции имеет вид:

Если k>0 и b<0,то график функции имеет вид:

Если k<0 и b<0,то график функции имеет вид:

Если k=0 ,то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции равны

Еслиb=0, то график функции проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельную оси все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения выглядит так:

Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

 

Точки пересечения графика функциис осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):

Урок – сказка

Урок – сказка

Урок – сказка для 7 класса.

Тема: обобщающий урок по теме «Линейная функция».

Элементы игры.

Учитель математики

Лыгина Нина Алексеевна

Цель: Систематизировать знания по данной теме.

Ход урока.

        В некотором царстве, в некотором государстве жил был Иван Царевич.

И было у него три сестры – Марья, Ольга, Анна. Отец и мать умерли. Отдал Иван Царевич сестер замуж за царей медного, серебряного и золотого царства, и сделалось ему скучно. Решил он проведать сестриц и отправился в путь. По дороге он повстречал Елену Прекрасную. Они полюбили друг друга, но злой Кощей Бессмертный похитил Елену Прекрасную. Иван Царевич берет три дружины верных воинов и едет выручать свою любимую. Вышли войска к реке, а там огромный камень закрыл дорогу на мост.

На камне написаны три вопроса. Если правильно ответить на эти вопросы, то камень повернется и освободит дорогу. Иван Царевич предлагает своим дружинам ответить на вопросы:

1)     а) Сформулируйте определение линейной функции.

                б) В каком случае графики линейных функций параллельны?

2)     а) Сформулируйте определение прямой пропорциональности.

                б) Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?

3)     а) Что является графиком прямой пропорциональности?

                 б) В каком случае графики двух линейных функций (параллельны) пересекаются.

Долго они ехали по лесу, пока дорога не привела их к избушке бабы Яги. Они давно враждовали с Кощеем, и баба Яга согласилась помочь Ивану Царевичу, но только в том случае, если его воины построят шесть графиков функций, написанных на стенах избушки.

Построить графики функций:

 

 

 

Прощаясь с Иваном Царевичем, баба Яга рассказала о силе линейной функции. Коль нужно отпереть какой-то запор в Кощеевом дворце, надо знать:

1)   Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

2)   Проходит график функции через точку с заданными координатами или принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции, заданному по формуле.

3)   Найти значение функции, если известно значение аргумента и, наоборот, найти значение аргумента, если известно значение функции.

    Черный ворон подслушал этот разговор и рассказал обо всем Кощею. Тот подстерег Ивана Царевича и его воинов, схватил их, сбросил в подземелье и замкнул на 12 замков. Узники подземелья, чтобы открыть 12 замков, начали выполнять следующие задания.

— Найти точку пересечения с осями координат:

		Ось Х	Ось У
1)		(-4; 0)	(0; 2)
2)		(-14; 0)	(0; 6)
3)		(0; 0)	(0; -31,5)

— Принадлежит ли точка графику функции

1)		К(10; 6)
2)		В(2; 4)
3)		С(7; 5)

— Найти значение функции:

1)		если
2)		если
3)		если

— Найти значение аргумента, если значение функции

1)		3,2
2)		2
3)		-10

Иван Царевич с воинами с честью выполнили все задания, и двери подземелья открылись.   И встали воины перед воротами Кощеева дворца. На воротах была написана формула у=5. Надо было построить график этой функции. Иван Царевич строит график этой функции.

Ворота открылись, и воины освободили Елену Прекрасную, и в тот же день сыграли свадьбу. После этого Иван Царевич вместе с Еленой Прекрасной проведали сестриц, приехали домой, и стали жить – поживать да добра наживать и многие более трудные задачи решать.

На главную страницу        На учебную работу

График линейной функции.

Линейная функция и ее график.

1. Экспресс-опрос

• Какую функцию называют линейной?
• Что является графиком линейной функции?
• Какую функцию называют прямой пропорциональностью?
• В каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?
• В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?
• В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?

• На каком рисунке у графика линейной функции положительный угловой коэффициент? Ответ обоснуйте.
• На каком рисунке изображен график прямой пропорциональности? Ответ обоснуйте.
• На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент? Ответ обоснуйте.
• График какой функции мы не изучали? Ответ обоснуйте.

А

В

С

Д

2. Кто быстрее запишет?

• За минуту составьте самое длинное слово, связанное с темой нашего урока, из данных букв

У, Т, Я, П, И, М, А, Р, К, Ф,Г,Ц, Н,Я,Ч,О

3. Найди на рисунке ошибку.

А

у

у

у=1,5х

у =х-2

2

0

х

-2

х

0

у

Д

у

С

у= -х+1

у =2

2

2

х

х

0

2

0

4. Найди правильный ответ.

• Под каким номером изображен график функции, заданной формулой
• у = О,5х + 3
• у = — 4
• у = 0,5х -3
• х = — 4

у

В

А

С

0

х

Д

5. Кто быстрее решит?

• Найдите значение у, соответствующее х=-14, если линейная функция задана формулой у=0,5х+5.

6. Выбери правильный ответ.

• Линейная функция задана формулой у=-4х+7. Найдите значение х, при котором у=-13.
• А. 1,5 В. –5 С. 5 Д. -1,5

7. Постройте правильно.

• Необходимо построить графики функций и выделить ту ее часть, для точек которого выполняется соответствующее неравенство

• у = х + 6, 4 ≤ х ≤ 6;
• у = -х + 6, -6 ≤ х ≤-4;
• у = — 1/3 х + 10, -6 ≤ х ≤ -3;
• у = 1/3 х +10, 3 ≤ х ≤ 6;
• у = -х + 14, 0 ≤ х ≤ 3;
• у = х + 14, -3 ≤ х ≤ 0;
• у = 9х – 18, 2 ≤ х ≤ 4;
• у = — 9х – 18 -4 ≤ х ≤ -2;
• у = 0, -2 ≤ х ≤ 2.

Тюльпан

у

• Культура тюльпанов возникла в Турции.

х

0

• Мировую известность растение обрело в Голландии, по праву названной Страной тюльпанов

Известно около 120 видов тюльпанов, распространенных главным образом в Средней, Восточной и Южной Азии и Южной Европе.

• Легенда о тюльпане.
• В золотистом бутоне желтого тюльпана было заключено счастье.
• До этого счастья никто не мог добраться, ибо не было такой силы, которая смогла бы открыть его бутон.

• Но однажды по лугу шла женщина с ребенком.
• Мальчик вырвался из рук матери, со звонким смехом подбежал к цветку, и золотистый бутон раскрылся.
• Беззаботный детский смех совершил то, чего не смогла сделать никакая сила.
• С тех пор и повелось дарить тюльпаны только тем, кто испытывает счастье.

• Творческое задание на дом:
• нарисовать рисунок
• с помощью прямых

линейных функций

линейных функций

---

Линейная функция популярна в экономике. Это привлекательно, потому что это просто и легко обрабатывать математически. У него много важных приложений.

Линейные функции — это функции, график которых представляет собой прямую линию.

Линейная функция имеет следующий вид

y = f (x) = a + bx

Линейная функция имеет одну независимую переменную и одну зависимую переменную. Независимая переменная — это x, а зависимая переменная — это y.

a — постоянный член или точка пересечения по оси y. Это ценность зависимого переменная при x = 0.

b — коэффициент независимой переменной. Он также известен как наклон и дает скорость изменения зависимой переменной.

Построение линейной функции

Чтобы построить график линейной функции:

1. Найдите 2 точки, которые удовлетворяют уравнению

2. Участок

3. Соедините точки прямой линией

Пример:

у = 25 + 5х

пусть x = 1
, тогда
y = 25 + 5 (1) = 30

пусть x = 3
, тогда
y = 25 + 5 (3) = 40

Простой пример линейного уравнения

Компания имеет постоянные затраты на установку и оборудование в размере 7000 долларов, а также переменные стоимость 600 долларов за каждую единицу продукции.
Какова общая стоимость при различных уровнях выпуска?

пусть x = единицы продукции
пусть C = общая стоимость

C = постоянные затраты плюс переменные затраты = 7000 + 600 x

выход	Итого
15 шт.	C = 7000 + 15 (600) = 16000
30 шт.	C = 7000 + 30 (600) = 25000

Комбинации линейных уравнений

Линейные уравнения можно складывать, умножать или делить.

Простой пример сложения линейных уравнений

C (x) — функция стоимости

C (x) = фиксированные затраты + переменные затраты

R (x) — функция дохода

R (x) = продажная цена (количество проданных единиц)

прибыль равна выручке за вычетом затрат

P (x) — функция прибыли

P (x) = R (x) — C (x)

x = количество произведенных и проданных единиц

Данные:

Компания получает 45 долларов за каждую проданную единицу продукции. Имеет переменную стоимость 25 долларов США за единицу и фиксированная стоимость 1600 долларов США.
Какова его прибыль, если он продаст (а) 75 предметов, (б) 150 предметов и (в) 200 предметов?

R (x) = 45x	C (x) = 1600 + 25x
P (x) = 45x — (1600 + 25x)
= 20x — 1600

пусть x = 75	П (75) = 20 (75) — 1600 = -100 А потеря
пусть x = 150	П (150) = 20 (150) — 1600 = 1400
пусть x = 200	П (200) = 20 (200) — 1600 = 2400

[индекс]

---

Графические линейные функции | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Построение линейной функции путем нанесения точек
• Постройте линейную функцию, используя наклон и точку пересечения оси Y
• Построение линейной функции с помощью преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения y- и наклона. Третий — применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения.Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

1. Выберите минимум два входных значения.
2. Оцените функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
4. Нанесите пары координат на сетку.
5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуй

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не построение точек. Первая характеристика — это точка пересечения y- , которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон, м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ думать о наклоне — разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы встретили точку пересечения y- и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо. Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере у нас есть [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

• b — точка пересечения y графика и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
• м — наклон линии, обозначающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение на выходе (рост)}} {\ text {изменение на входе (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} — {y} _ {1}} {{x} _ {2} — {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия — единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Имея уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

y и наклон.

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y- .
2. Определите уклон.
3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y- .
4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- .

Показать решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y- . Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения и . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуй

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x .

Показать решение

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [латекс] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков — использовать преобразования в функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex]. Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex] m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательное, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.

Вертикальные растяжения, сжатия и отражения функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [латексе] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f всего на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц вниз, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в форме [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
2. Растяните или сожмите график по вертикали в м .
3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали с помощью [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы.

Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжимается в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] раз.

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуй

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с использованием преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный?

№ Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.

[латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} — \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} — \ text {3} \ hfill \\ = — \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Сделайте вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

График линейных функций | Колледж алгебры

В «Линейных функциях» мы увидели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике. Таким образом, построив графики двух функций, мы сможем легче сравнивать их характеристики.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения и наклона y- . И третий — с помощью преобразований функции идентичности [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения.Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2 , который представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

1. Выберите минимум два входных значения.
2. Оцените функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
4. Нанесите пары координат на сетку.
5. Проведите линию через точки.

Пример 1: Построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {case} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left (0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ right) \ \ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {case} [/ латекс]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На рисунке 1 показан график функции [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Рисунок 1

Попробуй 1

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения

y- и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не построение точек. Первая характеристика — это точка пересечения y- , которая является точкой, в которой входное значение равно нулю.Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить в уравнении x = 0.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон функции равен отношению изменения выходов к изменению входов. Другой способ думать о наклоне — это разделить разницу по вертикали, или подъем, на разницу по горизонтали, или бег.Мы встретили точку пересечения y- и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо. Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения y .Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Итак, начиная с нашего интервала y (0, 1 ), мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1. Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

• b — точка пересечения y графика и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
• м — наклон линии, обозначающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек. Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение на выходе (рост)}} {\ text {изменение на входе (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} — {y} _ {1}} {{x} _ {2} — {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ?

Да.Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси Y, не имеет точки пересечения оси Y, но это не функция. )

Практическое руководство. Имея уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

y и наклон.

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y- .
2. Определите наклон как скорость изменения входного значения.
3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y- .
4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
5. Нарисуйте линию, проходящую через точки.

Пример 2: Построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- .

Решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y- .Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex]. Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на –2 единицы «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения и на рисунке 3. От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы.Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Рисунок 3

Попробуй 2

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере 2, с отрицательным значением x .

Решение

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков — использовать преобразования функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex] m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательное, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание на рис. 4, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1 и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон.

Рис. 4. Вертикальные растяжения, сжатия и отражения на функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [латексе] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание на рис. 5, что добавление значения b к уравнению [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f всего на b единиц, если b положительный и | b | единиц вниз, если значение b отрицательное.

Рис. 5. Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ latex].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в форме [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
2. Растяните или сожмите график по вертикали в м .
3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример 3: Построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали с помощью [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что b = –3, поэтому тождественная функция сдвинута по вертикали на 3 единицы. Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Рисунок 6. Функция, y = x , сжатая с коэффициентом [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex].

Тогда покажите вертикальный сдвиг.

Рис. 7. Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуй 3

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Решение

Вопросы и ответы

Можно ли в примере 3 изобразить граф, изменив порядок преобразований на противоположный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие.Например, следуя порядку: пусть ввод будет 2.

[латекс] \ begin {case} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} — \ text {3} \ hfill \ \ = \ text {1} — \ text {3} \ hfill \\ = — \ text {2} \ hfill \ end {case} [/ latex]

Почему график линейной функции представляет собой прямую линию?

Уильям МакКаллум

В моем последнем посте я написал о следующем стандарте и упомянул, что могу написать целый пост в блоге о первой запятой.2 $, дающая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейным, потому что его график содержит точки $ (1,1) $, $ (2,4) $ и $ (3,9) $, которые не на прямой .

Запятая указывает на то, что предложение «чей график представляет собой прямую линию» не является существенным для определения существительной фразы «линейная функция». Это превращает предложение в дополнительную информацию: «Кстати, знаете ли вы, что график линейной функции представляет собой прямую линию?» Этот факт часто представляется очевидным; в конце концов, если вы начертите график или построите его с помощью графической утилиты, он определенно будет выглядеть как прямая линия.

Когда я спросил будущих учителей, почему это так, я получил примерно такие ответы:

Мы знаем, что линейная функция имеет постоянную скорость изменения, $ m $. Если вы перейдете на 1 на графике, вы всегда подниметесь на $ m $, например:

Итак, график похож на лестницу. Он всегда идет вверх ступенями одинакового размера, так что это прямая линия.

Это нормально. Он определяет определяющее свойство линейной функции — то, что она имеет постоянную скорость изменения — и связывает это свойство с геометрической особенностью графика.Но это «Вот, смотри!» доказательство. В конце концов, он показывает , что что-то правда, а не показывает , почему это правда. То есть это не доказательство.

Тем не менее, переход к геометрическому свойству линейных функций — это шаг в правильном направлении, потому что он фокусирует наши умы на основной концепции. Все мы знаем, что любые две точки лежат на одной линии, а три точки могут не лежать. Что такого особенного в трех точках на графике линейной функции, из которого следует, что они должны лежать на прямой линии?

Линия от $ A $ до $ B $ до $ C $ пунктирна, потому что мы еще не знаем, что это линия

Поскольку линейная функция имеет постоянную скорость изменения, наклон между любыми двумя из трех точек $ A $, $ B $ и $ C $ одинаков.Итак, $ | BP | / | AP | = | CQ | / | AQ | $, что означает наличие масштабного фактора $ k = | AQ | / | AP | = | CQ | / | BP | $, так что расширение с центром $ A $ и масштабным фактором $ k $ переводит $ P $ в $ Q $, а вертикальный отрезок $ BP $ переводит в вертикальный отрезок на основе $ Q $ той же длины, что и $ CQ $. Это означает, что это должно занять от $ B $ до $ C $.

Но (барабанная дробь) это означает, что есть расширение с центром $ A $, которое переводит $ B $ в $ C $. Расширения всегда принимают точки на луче от центра к другим точкам того же луча.Итак, $ A $, $ B $ и $ C $ лежат на одной линии.

Я действительно не ожидаю, что студенты получат все это, по крайней мере, не сразу. Я был бы счастлив, если бы они поняли, что здесь играет роль геометрический факт; что видеть не всегда означает верить.

Уильям МакКаллум

Билл МакКаллум, основатель «Иллюстративной математики», является заслуженным профессором математики Университета Аризоны.Он работал как в области математических исследований, в области теории чисел и арифметической алгебраической геометрии, так и в области математического образования, писал учебники и консультировал исследователей и политиков. Он является одним из основателей Гарвардского консорциума по исчислению и ведущим автором его учебников по алгебре и многомерному исчислению. В 2009–2010 годах он был одним из ведущих авторов Общих государственных стандартов по математике. Он имеет докторскую степень по математике Гарвардского университета и степень бакалавра наук. из Университета Нового Южного Уэльса.

2. Графики линейных функций

Для многих математических тем очень важно уметь быстро рисовать прямые линии. Когда мы используем математику для решения реальных задач model , стоит иметь представление о том, как прямые линии «работают» и как они выглядят.

Мы уже встречались с этой темой в «Прямой линии». Следующий раздел служит для вас напоминанием.

а. Форма прямой линии наклона-пересечения: `y = mx + c`

Если наклон (также известный как градиент) линии составляет м , а точка пересечения y составляет c , то уравнение прямой записывается:

`у = mx + c`

Пример 1

Прямая y = 2x + 6 имеет наклон m = 6/3 = 2 и точку пересечения с y и c = 6.

График линейного уравнения `y = 2x + 6`.

г. Форма пересечения прямой: `ax + by = c`

Часто прямая линия записывается в виде ax + на = c . Один из способов сделать набросок — найти точки перехвата x и y и затем объединить эти перехваты.

Пример 2

Нарисуйте линию 3 x + 2 y = 6.

Ответ

Перехват x (то есть, когда y = 0):

3 х = 6

Это дает:

х = 2.

Перехват y (то есть, когда `x = 0`):

2 и = 6

Это дает:

y = 3.

Объединение точек пересечения `(2, 0)` и `(0, 3)` дает график прямой 3 x + 2 y = 6:

График линейного уравнения `3x + 2y = 6`.

Уклон прямой

Наклон (или уклон) прямой линии определяется по формуле:

`m ​​= текст (вертикальный подъем) / текст (горизонтальный бег)`

Мы также можем записать наклон прямой, проходящей через точки ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) как:

`m ​​= (y_2-y_1) / (x_2-x_1)`

Используя это выражение для наклона, мы можем получить следующее.

г. Форма точечного уклона прямой: `y — y_1 = m (x — x_1)`

Если линия проходит через точку ( x ₁ , y ₁ ) и имеет наклон м , то уравнение прямой имеет вид:

`y — y_1 = m (x — x_1)`

Пример 3

Найдите уравнение прямой с наклоном `−3`, проходящей через` (2, −4) `.

Ответ

Здесь,

`m = −3`,

`x_1 = 2` и

`y_1 = −4`.

Итак, используя формулу `y — y_1 = m (x — x_1)`, уравнение равно

y — (−4) = −3 ( x -2)

y + 4 = — 3 x + 6

y = — 3 x + 2

График:

График линейного уравнения `y = -3x + 2`.

Бесплатный калькулятор для линейных функций

Что такое линейная функция?

Линейная функция — это функция, график которой представляет собой линию.Общий вид линейной функции таков, где m — наклон, а b — пересечение оси y. Вот пример:

Ваше упражнение: Это график вашей функции. Dein Browser использует HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. : P Корни в -1,333 пересечение оси Y в (0 | 4)

График линейной функции всегда представляет собой линию.

Слово, похожее на линейную функцию, — это линейная корреляция.

Каков наклон линейной функции?

Наклон линейной функции соответствует числу перед x. Он говорит, как могут единицы вы должны идти вверх / вниз, если вы идете на одну единицу вправо. Пример:

Ваше упражнение: Это график вашей функции. Dein Browser использует HTML-Canvas-Tag nicht.Hol dir einen neuen. : P Корни в 2,5 пересечение оси Y в (0 | -5)

Мы видим, что эта функция имеет наклон. Если мы переместимся на один квадрат вправо от любой точки графика, мы должны пройти два квадрата вверх, чтобы снова оказаться на графике.

Другой пример, на этот раз с отрицательным наклоном:

Ваше упражнение: Это график вашей функции. Dein Browser использует HTML-Canvas-Tag nicht.Hol dir einen neuen. : P Корни в 1,333 пересечение оси Y в (0 | 4)

Эта линейная функция имеет наклон. Это означает, что всякий раз, когда мы идем на один квадрат вправо, нам нужно пройти на три квадрата вниз, чтобы снова оказаться на графике.

Что такое отрезок оси Y у линейной функции?

Линия пересечения Y — это номер в конце функции. Как следует из названия, в нем указано, где функция пересекает ось Y. Если вы посмотрите на графики функций, вы увидите, что пересекает ось Y в точке, пересекает ось Y в точке.

Как рассчитать уравнение прямой из точки и наклона?

Вы должны вставить точку в уравнение, то есть одну координату для x, а другую для f (x). Вот пример: Предположим, мы знаем, что наша функция имеет наклон и проходит через (-2 | 5).

Как вычислить уравнение линейной функции из двух заданных точек?

Во-первых, мы должны вычислить наклон m, подставив координаты x и y точек в формулу. Это означает: вы вычисляете разность y-координат и делите ее на разность x-координат.Вот пример:
Как видим, сначала был рассчитан уклон. Чтобы найти уравнение функции, вы должны вставить точку и получить уравнение, которое дает пересечение оси y.

Можно посмотреть еще примеры?

Конечно. Просто введите свои примеры выше, и они будут рассчитаны сразу, шаг за шагом. (Это идея Mathepower: Вы не просто смотрите на некоторые уже сделанные объяснения, но и получаете объяснение своих собственных расчетов!)

Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) — Mathplanet

Линейное уравнение — это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию.График линейного уравнения — это набор точек на координатной плоскости, которые все являются решениями уравнения. Если все переменные представляют собой действительные числа, можно изобразить уравнение, нанеся на график достаточно точек, чтобы распознать шаблон, а затем соединить точки, чтобы включить все точки.

Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.

---

Пример

Постройте функцию y = x + 2

Начните с выбора пары значений для x, например. -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислите соответствующие значения y.

X	Y = x + 2	Заказанная пара
-2	-2 + 2 = 0	(-2, 0)
-1	-1 + 2 = 1	(-1, 1)
0	0 + 2 = 2	(0, 2)
1	1 + 2 = 3	(1, 3)
2	2 + 2 = 4	(2, 4)

Теперь вы можете просто построить пять упорядоченных пар в координатной плоскости

На данный момент это пример дискретной функции.Дискретная функция состоит из изолированных точек.

Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получаем противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.

Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка, в которой график пересекает ось x, называется отрезком x, а точка, в которой график пересекает ось y, называется отрезком y.Пересечение по оси x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а точка пересечения по оси y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).

Стандартная форма линейного уравнения —

$$ Ax + By = C, \: \: A, B \ neq 0 $$

Прежде чем вы сможете построить линейное уравнение в его стандартной форме, вы сначала должны решить уравнение относительно y.

$$ 2y-4x = 8 $$

$$ 2y-4x \, {\ color {green} {+ \, 4x}} = 8 \, {\ color {green} {+ \, 4x}} $$

$$ 2y = 4x + 8 $$

$$ \ frac {2y} {{\ color {green} 2}} = \ frac {4x} {{\ color {green} 2}} + \ frac {8} {{\ color {green} 2}}

$

$$ y = 2x + 4 $$

Отсюда вы можете построить уравнение, как в примере выше.