Задача эйлера: задачи, которые может решить только настоящий программист

Содержание

задачи, которые может решить только настоящий программист

Разработчику практически всегда нужно решать разнообразные задачи и нет ничего лучше, чем практика. В Проекте Эйлер есть огромное количество различных заданий, которые помогут держать свой мозг в тонусе.

Особенности платформы:

  • Задачи можно решить на любом языке программирования, и они показывают, как хорошо вы знаете базовые операции выбранного языка.
  • Вы научитесь писать надёжный, стандартный, классический код. Никаких библиотек, так что опираться на чужой код не получится.
  • Вам придётся думать о том, как хранить данные в памяти и получать к ним доступ.
  • Вам предстоит оптимизировать скорость обработки и хорошо подумать над используемыми алгоритмами.

Однако сначала несколько слов о самом проекте.

Проект Эйлер

Это некоммерческая площадка с набором задач по математике и программированию, которая позволяет (и зачастую требует) расширить свои знания в различных областях и просто пораскинуть мозгами.

Есть задачи разного уровня сложности, поэтому каждый, если постарается, найдёт ту, с которой сможет справиться. Сложность можно приблизительно оценить по количеству пользователей, решивших задачу. Не возбраняется пользоваться поисковиками, однако авторы предупреждают, что между поиском нужной информации и копипастой чужого решения есть тонкая грань, за которую не стоит заступать — ведь в чём тогда ваше достижение?

Вот пример простой задачи, самой первой в списке:

Если выписать все натуральные числа меньше 10, кратные 3 или 5, то получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих чисел равна 23.

Найдите сумму всех чисел меньше 1000, кратных 3 или 5.

А вот сложная задача, которую решило всего 157 участников:

Пусть G(a, b) — наименьшее неотрицательное целое число n, для которого НОД(n3 + b, (n + a)3 + b) имеет наибольшее возможное значение.

Например, G(1, 1) = 5, так как НОД(n3 + 1, (n + 1)3 + 1) достигает максимального значения 7 при n = 5 и имеет меньшие значения при 0 ≤ n < 5.

Пусть H(m, n) = Σ G(a, b) для 1 ≤ a ≤ m, 1 ≤ b ≤ n.

Известно, что H(5, 5) = 128878 и H(10, 10) = 32936544.

Найдите H(18, 1900).

Прим. перев. На платформе задачи представлены на английском языке. Впрочем, на этом сайте можно посмотреть переводы для большинства из них.

Процесс отправки решения довольно простой. Вам не нужно загружать код или делать ещё что-то в таком духе — просто введите ответ и код подтверждения, после чего вы мгновенно узнаете, правы ли вы. Такой подход позволяет участникам не привязываться к конкретному языку программирования, а использовать любой.

У некоторых задач есть разбор, который становится доступен после отправки ответа. В нём вы можете посмотреть на общий подход к решению, а также почерпнуть новые идеи из оптимизированных вариантов. Кроме того, после успешного выполнения открывается доступ к индивидуальному для каждой задачи форуму, где можно посмотреть на решения других участников на различных языках и обсудить задачу.

Для любителей визуального отражения успехов на платформе предусмотрена система достижений.

Всё начинается с основ

Любое соревнование по программированию проверяет ваше умение использовать переменные, условные конструкции, циклы, структуры данных и прочие особенности языков программирования. Однако Проект Эйлер — ещё более тщательная проверка понимания и владения основами. Вам придётся комбинировать базовые инструменты разными способами для решения задач.

Если вы писали веб-приложения, игры или ещё что-нибудь, то скорее всего привыкли работать с разными библиотеками, решающими типичные задачи. Проект Эйлер заставляет забыть про эти библиотеки и проверяет вашу способность размышлять над

 простыми логическими задачами и самостоятельно писать простой код для их решения.

Развиваем шестое чувство

Есть причина, по которой каждая специальность в университете, связанная с Computer Science, содержит в своей программе изучение алгоритмов и структур данных, и по которой так много компаний проверяют алгоритмическое мышление при приёме на работу. По сути, написание хорошего кода заключается в поиске лучшего алгоритма для рассматриваемой логической задачи. Сложность заключается в том, чтобы понять, когда нужно тратить время на оптимизацию, а когда лучше обойтись простым решением.

Интуитивное решение, которое другим людям легче всего понять, часто является лучшим.

Первые несколько задач помогут вам усвоить эту мысль. Они включают в себя простые вычисления с относительно низким порогом вхождения. Компьютеры работают быстро, поэтому не нужно создавать себе лишнюю работу, пытаясь оптимизировать ваши первые решения. Со временем опытные разработчики развивают шестое чувство для реализации решений, близких к оптимальным. Эта интуиция появится у вас с опытом, а дальнейшие задачи Проекта Эйлер ясно дадут понять, что значит чувствовать эффективность.

Улучшаем навыки программирования

Решение даже нескольких задач сотворит чудо с вашей уверенностью в используемом языке. Также это отличный способ освежить в памяти детали языка или изучить новый.

Учимся документировать и впечатляем работодателя

Если вы хотите добавить в своё портфолио что-нибудь впечатляющее, создайте репозиторий на GitHub и сохраняйте в него решения задач.

Прим. перев. В портфолио следует включать исключительно архивные задачи; по правилам свежие задачи можно только обсуждать на форуме после их решения, да и в целом распространение готовых решений не приветствуется.

После написания решения проверьте, что имена переменных и функций понятны, уберите весь ненужный код и красиво всё отформатируйте.

Затем добавьте комментарии в код, объясняющие принятые вами решения. Умение писать хорошие комментарии — это навык. Помните, любой хороший разработчик поймёт, что делает код, поэтому комментарии должны объяснять, почему он делает именно так.

Помните, что пытливый ум — залог успеха профессионального разработчика. Чем больше разнообразных задач вы решаете, тем быстрее и лучше вы сможете справиться с преобразованием бизнес-тасков в код. А это, как вы понимаете, послужит вам огромным плюсом при устройстве на работу или попытках увеличения зарплаты.

Смотрите также: Задачи для программистов

На основе статьи «Consider Yourself a Developer? You Should Solve the Project Euler Problems»

Задача Эйлера — Энциклопедия по машиностроению XXL

Задачу определения критической силы впервые чисто математически решил Эйлер в 1744 г. Экспериментальное подтверждение этого решения было получено в 1840 г. Решение задачи Эйлера подробно изложено, например, в учебниках [14, 29]. Здесь же приведен лишь ее окончательный результат.  [c.252]

Согласно теореме о последнем множителе Якоби задача Эйлера может быть решена квадратурами. Это будет показано в 145.  [c.416]


Если при исследовании прямого стержня (задача Эйлера) все перечисленные методы приводят к одинаковому результату, то для более сложных систем и задач этого сказать нельзя [101].[c.257]

Для выяснения условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия, рассмотрим пример (задача Эйлера) о сжатии стержня (рис. 14.5). Критическая сила в этой задаче будет равна такой осевой силе, при которой стержень может находиться в слегка изогнутом состоянии.  

[c.234]

Решение задачи Эйлера , лежащее в основе теории устойчивости упругих систем, в течение долгого времени не находило себе практического применения, чему в большой мере способствовали неудовлетворительно проведенные с целью проверки этого решения опыты, особенно опыты английских ученых в первой половине XIX в. Эти опыты, не подтвердившие теории Эйлера, почти совсем подорвали к ней доверие инженеров и вызвали появление ряда эмпирических, научно не обоснованных, формул для расчета сжатых стоек .  [c.328]

Предположив, что продольная сила N= P в изгибе не участвует, мы ввели в формулу изгибающий момент Ж ах только от действия поперечных сил. Однако, как мы уже видели при решении задачи Эйлера ( 155), продольная сжимающая сила Р в случае искривления оси стержня создает добавочный изгибающий момент Мс.об= Ру > вызывающий дополнительные напряжения и перемещения вследствие дополнительного изгиба стержня (рис. 402). Формула для наибольших напряжений в опасном сечении примет вид  

[c.480]

Пусть балка загружена поперечными силами Pj, 2, Яз и продольной сжимающей силой Р (рис. 403). Помня, что при решении задачи Эйлера мы получили изогнутую ось в виде синусоиды, зададимся такой же формой упругой линии для нашей балки от действия поперечных сил, т. е.  [c.481]

Таким образом, для выявления особых точек во многих случаях может быть использована зависимость (13.1), вполне аналогичная закону упругости. В этом смысле соотношение (13.1) служит упругим эквивалентом в проблеме определения особых точек процесса, сводящим последнюю к задаче Эйлера о бифуркации состояния (БО) для фиктивного упругого материала с модулем Е.

В частности, для модели стержня, критическое условие в рамках любой из рассматриваемых сред получается автоматически из условия БО при линейной упругости  [c.34]

Если условия закрепления стержня, его геометрия и жест-костные характеристики и/или нагрузка отличаются от тех, которые имеют место в задаче Эйлера, то формула (11.19) не будет справедливой. В общем случае она модифицируется следующим образом  [c.379]


Понятие об устойчивости. Задача Эйлера  [c.146]

В чем заключается суть задачи Эйлера  [c.157]

Описанная механическая модель представляет собой полную аналогию тем задачам, с которыми мы встречаемся при исследовании устойчивости упругих систем. Возьмем простейшую из них — задачу Эйлера (рис. 37).  

[c.260]

Задача Эйлера. Пусть концы стержня закреплены шарнирно, причем нижний шарнир неподвижен, а верхний может перемещаться вертикально к верхнему концу прикладывается вертикальная сила Р (рис. 136). Предположим, что сечения стержня одинаковы, длина его равна /, момент инерции I и модуль Юнга Е.  [c.365]

Отметим, что величина Л амплитуды прогиба стержня в приведенном выше решении задачи Эйлера никак не определяется и теоретически может быть сколь угодно большой. Этот противоречащий действительности вывод является следствием линеаризации задачи. На самом деле при больших прогибах перестает быть обоснованным приближенное выражение для кривизны, которым мы пользовались при выводе уравнения (1). В этом случае надо использовать точное выражение  [c.366]

О применении энергетического метода в задаче об устойчивости формы изгиба стержня. Обсуждается применение энергетического метода при определении критической силы и оценке устойчивости прямолинейной формы в классической задаче Эйлера об изгибе  [c.174]

Все последующие вычисления не отличаются от тех, которые были произведены при решении задачи Эйлера. Точно так же для промежутка времени, соответствующего изменению угла О от О до я/2, найдем  [c. 430]

Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя при Tafi, при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости прямоугольная пластина длиной а в направлении оси х , шириной Ъ в направлении оси Хг равномерно сжимается вдоль оси Xi усилием Тц = —Т. Уравнение (12.11.1) примет вид  [c.416]

Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простейшей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатого силой Р, линия действия которой совпадает с осевой линией стержня (рис. 13.9, а). Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине XVIII века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения задача Эйлера или устойчивость стержня по Эйлеру .  [c.513]

Теперь ясно, почему этот вопрос поднимается при определении критической силы по Эйлеру, но не при выводе обычных уравнений теории изгиба балок. В задаче Эйлера сте )жеиъ весь, целиком, в результате предварительного  [c.447]

П ример 11.4 [задача Эйлера). Найдем критическую силу для стержня, изображенного на рис. 11.5, полагая EJz = onst.  [c.376]

Это соотношение является решением известной задачи Эйлера о нахождении сжимающей силы, приводящей к прогабу пластины с защемленными концами. Различие эйлеровской потери устойчивости и адгезионной, при которой происходит увеличение ширины поднятий, аналогично различию между раскрытием и ростом трещины в теории разрушения.[c.83]

В работе Натяжение нити, перекинутой через неподвижный круглый шероховатый цилиндр Минаков решает задачу, обобш,аю-щую задачу Эйлера о натяжении нити. Он исследует общий случай касания звена цепи двумя точками поверхности круглого, негладкого цилиндра и определяет натяжение произвольного звена. В работе даны простые графические способы построения решения поставленной задачи. Автор показывает, что из его общих формул получается как частный случай классическая формула Эйлера для натяжения нити.  [c.149]



Решение задач с помощью кругов Эйлера

Пояснительная записка

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение простым и наглядным.

В данной разработке приведены примеры решения задач с помощью кругов Эйлера. Это не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Они помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

С данным способом решения задач учащихся можно познакомить как на уроках, так и на кружковых занятиях.

Главной целью этой работы является помощь учителям математики для подготовки учащихся к олимпиадам, а также к экзаменам.

Основные понятия

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т.д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников.

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера
2.1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек — фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

1. 15 — 6 = 9 — человек, которые смотрели только «Обитаемый остров»,

2. 11- 6 = 5 — человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:

Ответ: 5 человек.

2.2. Задача про библиотеки

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной.

Сколько шестиклассников:

  1. Являются читателями обеих библиотек;
  2. Не являются читателями районной библиотеки;
  3. Не являются читателями школьной библиотеки;
  4. Являются читателями только районной библиотеки;
  5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

1) 20+ 25 — 35 = 10 (человек) — являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2) 35 — 20 = 15 (человек) — не являются читателями районной библиотеки,

3) 35 — 25 = 10 (человек) — не являются читателями школьной библиотеки,

4) 35- 20 = 10 (человек) — являются читателями только районной библиотеки,

5) 35- 20 = 15 (человек) — являются читателями только школьной библиотеки.

Очевидно, что вопросы 2 и 5, а также 3 и 4 — равнозначны и ответы на них совпадают.

Ответ: 10 человек; 15 человек; 10 человек; 10 человек; 15 человек.

2.3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги — Гермиона, то 11 — 4 — 2 = 5 — книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 — 7 — 2 — 5 — 4 = 8 — книг прочитал только Рон.

Ответ: 8 книг.

2.4. Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Чертим три круга, таким образом:

Из условия знаем, что трем ученикам нравиться и «Белоснежка и семь гномов», и «Волк и теленок», шестерым — «Белоснежка и семь гномов» и «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма.

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу, т.е. 5 — 3 = 2 — ученика выбрали «Волк и теленок» и «Губка Боб Квадратные Штаны».

1) 21 — 3 — 1 — 6 = 11 — учеников выбрали только «Белоснежка и семь гномов»,

2) 13 — 3 — 1 — 2 = 7 — учеников выбрали — «Волк и теленок»,

3) 38 — (11 + 3 + 1 + 2 + 6 + 7) = 8 — ребят выбрали «Губка Боб Квадратные Штаны».

4) 8 + 2 + 1 + 6 = 17 — человек выбрали мультик «Губка Боб Квадратные Штаны».

Ответ: 17 учеников.

2.5. Задача про Крейсер и Линкор

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос

Найдено страниц, тыс.

Крейсер и Линкор

7000

Крейсер

4800

Линкор

4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? (Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.)

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи.

1) 4800 + 4500 — 7000 = 2300 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер и Линкор,

2) 4800 — 2300 = 2500 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер,

3) 4500 — 2300 = 2200 (тыс. страниц) — найдено по запросу Линкор.

Ответ: 2300 тыс. страниц.

2.6. Задача про блондинок

Каждый ученик класса — либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, но одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика — блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Изобразим с помощью кругов Эйлера данные из задачи:

1) 12 — 1 = 11 (учеников) — девочек блондинок,

2) 12 — 1 = 11 (учеников) — блондины и любят математику,

3) 6 — 1 = 5 (учеников) — девочек, которые любят математику,

4) 20 — 11 — 1 — 5 = 3 (ученика) — девочки,

5) 24 — 11 — 1 — 11 = 1 (ученик) — блондин,

6) 17- 5 — 1 — 11 = 0 (учеников) — любят математику,

7) 3 + 1 + 0 + 5 + 11 + 11 + 1 = 32 (ученика) — всего в классе.

Ответ: 32 ученика.

2.7. Задача про кружки

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

1) 10 — 3 = 7 (ребят) — посещают драмкружок и хор,

2) 6 — 3 = 3 (ребят) — поют в хоре и занимаются спортом,

3) 8 — 3 = 5 (ребят) — занимаются спортом и посещают драмкружок,

4) 27 — 7 — 3 — 5 = 12 (ребят) — посещают драмкружок,

5) 32 — 7 3 — 3 = 19 (ребят) — поют в хоре,

6) 22 — 5 — 3 — 3 = 11 (ребят) — увлекаются спортом,

7) 70 — (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) — не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задачи для самостоятельного решения

1. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 — фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

6. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 — черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 — яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 — умных и 9 — добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по истории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и истории — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

9. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 — в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Франции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Список использованных источников

1. Баженов И.И, Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков: учеб. пособие / Сыктывкар: Сыктывкарский университет, 2006.

2. Марков И.С. Новые олимпиады по математике — Ростов н/Д: Феникс, 2005.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/

4. http://logika.vobrazovanie.ru

5. http://www.otvet-prost.ru/load/diskretnaja_matematika/na_krugi_ehjlera/zadacha_na_krugi_ehjlera/18-1-0-22

6. http://urok.1sept.ru/articles/550092/

7. http://www.tutoronline.ru/blog/reshit-zadachu-pomogut-krugi-jejlera

Круги Эйлера в информатике

Сегодня разберём задачи на круги Эйлера в информатике.

Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, сыгравший огромную роль в развитии этих наук.


Задача (Простая)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Пушкин 3500
Лермонтов 2000
Пушкин | Лермонтов 4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Пушкин & Лермонтов? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.


Решение:

Видим, что по запросу «Пушкин» в поисковике нашлось 3500 страниц. По запросу «Лермонтов» — 2000 страниц.

Запрос «Пушкин | Лермонтов» обозначает, что поисковик выдаст страницы, где есть слова про «Пушкина», и страницы, где есть слова про «Лермонтова», а так же могут быть страницы, где написано и про «Пушкина», и про «Лермонтова» одновременно.

Если сложить страницы, в которых написано про «Пушкина» и про «Лермонтова» получается 3500 + 2000 = 5500 страниц. Но почему же при запросе «Пушкин | Лермонтов» получается меньше страниц, всего 4500 ?

Этот факт обозначает то, что когда мы подсчитывали страницы про «Пушкина» (3500 страниц), мы подсчитали и те страницы, где было написано и про «Пушкина», и про «Лермонтова» одновременно.

Тоже самое и для количества страниц, где написано про «Лермонтова» (2000 страниц). В этом числе находятся и те, в которых одновременно упоминается и про «Пушкина», и про «Лермонтова».

В вопросе спрашивается, сколько страниц будет по запросу «Пушкин & Лермонтов«. Это обозначает, что как раз нужно найти количество страниц, где будет одновременно написано и про «Пушкина», и про «Лермонтова».

Отсюда получается:


Пушкин & Лермонтов = (3500 + 2000) — 4500 = 5500 — 4500 = 1000 страниц.

Это и будет ответ!


Теперь решим эту задачу с помощью Кругов Эйлера!

У нас всего есть две сущности: «Пушкин» и «Лермонтов». Поэтому рисуем два пересекающихся круга, желательно разными цветами.

Объединение двух кругов в общую фигуру (показано фиолетовым цветом), показывает операцию «Пушкин | Лермонтов». Эта операция всегда стремится увеличить площадь, объединить площади других фигур!

Обратите внимание, что круги пересекаются, из-за этого сумма площадей двух кругов по отдельности (3500 + 2000 = 5500) больше чем у фигуры, которая характеризует логическую операцию «ИЛИ» «Пушкин | Лермонтов» (4500).

Нужно найти площадь фигуры Пушкин & Лермонтов, которая закрашена золотистым цветом. Данная логическая операция «И» стремится уменьшить площадь. Она обозначает общую площадь других фигур.

Найдём сначала заштрихованную часть синего круга. Она равна: площадь фиолетовой фигуры (4500) минус площадь красного круга (3500).


Теперь легко найти площадь золотистой фигуры. Для этого нужно от площади синего круга вычесть площадь заштрихованной части. Получается:


Пушкин & Лермонтов (Количество страниц) = 2000 — 1000 = 1000

Получается, что по запросу Пушкин & Лермонтов будет найдено 1000 страниц.


Ответ: 1000

Рассмотрим ещё одну не сложную разминочную задачу.


Задача (Разминочная)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Кокос | Ананас 3400
Кокос & Ананас 900
Кокос 2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Ананас?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.


Решение:

У нас две сущности: Кокос и Ананас. Нарисуем два круга Эйлера, которые пересекаются между собой. Так же отменим все имеющееся данные.


Найдём заштрихованную часть красного круга.

Весь красный круг 2100. Золотистая область равна 900. Заштрихованная часть равна 2100 — 900 = 1200.


После того, как нашли заштрихованную часть (такой полумесяц), можно найти уже площадь синего круга. Для этого нужно от площади фиолетовой фигуры отнять площадь заштрихованной части!


Ананас (Количество страниц) = 3400 — 1200 = 2200
Ответ: 2200

Разберём классическую задачу из информатики по кругам Эйлера.


Задача (Классическая)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
(Космос & Звезда) | (Космос & Планета) 1100
Космос & Планета 600
Космос & Планета & Звезда 50

Какое количество страниц (в тыс. ) будет найдено по запросу Космос & Звезда?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.


Решение:

В этой задаче у нас три сущности: Космос, Планета, Звезда. Поэтому рисуем три круга Эйлера, которые пересекаются между собой.

Могут ли круги не пересекаться ? Могут! Если мы докажем, что площади по отдельности двух кругов в сумме дают площадь фигуры, которая получается при применении операции логического «ИЛИ».


Теперь отметим на нашем рисунке запрос (Космос & Звезда) | (Космос & Планета).

Сначала отменим для себя то, что находится в скобках. Первое Космос & Звезда


Теперь отметим вторую скобку Космос & Планета.


В выражении (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) две скобки соединяет знак логического «ИЛИ». Значит, эти две области нужно объединить! Область (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) отмечена фиолетовым цветом!


Отметим Космос & Планета ещё раз, т. к. для этого выражения известно количество страниц.


Площадь фигуры для выражения Космос & Планета & Звезда будет очень маленькая. Это общая часть для всех трёх кругов. Отметим её оранжевым цветом! Каждая точка этой фигуры должна одновременно быть в трёх кругах!


Найти нужно Космос & Звезда. Отменим на рисунке чёрным цветом ту область, которую нужно найти. Мы эту область уже отмечали салатовым цветом.


Теперь у нас есть все компоненты, чтобы решить эту задачу.

Найдём заштрихованную область.


Вся область Космос & Планета равна 600. А заштрихованная часть равна: область Космос & Планета (600) минус оранжевая область (50).


Количество страниц в заштрихованной части = 600 — 50 = 550

Тогда черная область легко находится: фиолетовая область (1100) минус заштрихованная область (550).


Количество страниц (при запросе Космос & Звезда) = 1100 — 550 = 550
Ответ: 550

Закрепляем материал по задачам на Круги Эйлера.


Задача (На закрепление)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Море & Солнце 290
Море & Пляж 355
Море & (Пляж | Солнце) 465

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Море & Пляж & Солнце? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.


Решение:

В задаче используются три сущности: Море, Пляж, Солнце. Поэтому нарисуем три пересекающихся круга Эйлера.


Отметим все области для которых нам даны количество страниц.

В начале отметим Море & (Пляж | Солнце). Для начало нарисуем область, которая в скобках (Пляж | Солнце)

Теперь нужно очертить общую часть фиолетовой области и зелёного круга и получится Море & (Пляж | Солнце). Отметим оранжевым цветом.


Теперь отметим Море & Пляж.


Теперь отметим Море & Солнце.


Найти нужно ту область, которая получается в результате выделения общей части для всех трёх кругов! Обозначим её чёрным цветом!


Найдём заштрихованную область!



Количество страниц (в заштрихованной области) =
= Количество страниц (В оранжевой области) — Море & Солнце =
= 465 — 290 = 175

Чтобы найти искомую чёрную область, нужно из Море & Пляж (355) вычесть заштрихованную область (175).


Количество страниц (Море & Пляж & Солнце) =
= Море & Пляж (355) — Количество страниц (в заштрихованной области) 175 =
= 355 — 175 = 180
Ответ: 180

Решим ещё одну тренировочную задачу из информатики на Круги Эйлера.


Задача (с 4 сущностями)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) 450
Англия & Уэльс & Шотландия 213
Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия 87

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу


Англия & Ирландия?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.


Решение:

Нужно нарисовать 4 пересекающихся круга. Сначала нарисуем три круга, как обычно, оставив немного места для четвёртого круга.


Четвёртый круг для Ирландии нужно нарисовать так, чтобы он проходил через область (Англия & Уэльс & Шотландия). Это нам подсказывает сама таблица, где есть количество страниц для Англия & Уэльс & Шотландия, а так же для Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия.


Нужно отметить на рисунке Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Это будем делать, как всегда поэтапно.

Область Уэльс & Шотландия выглядит так:


Добавим к этой области Ирландию через логическое «ИЛИ». Получается область (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Произошло объединение серой области и жёлтого круга!


Теперь нужно сделать операцию логического «И» получившийся области с «Англией». Тогда область Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) примет вид:


Т.е. это общее между предыдущем серым контуром и красным кругом!

Отметим Англия & Уэльс & Шотландия — это общая территория трёх кругов: Красного, Синего и Зелёного. Отмечено оранжевым цветом.


Отметим Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия — это общая территория четырёх кругов. Область получается ещё меньше. Если взять точку в этой области, то мы будем находится сразу в четырёх кругах одновременно. Отмечено фиолетовым цветом.

Отметим то, что нужно найти Англия & Ирландия чёрным цветом.


Искомую чёрную область легко найти, если из серой области вычесть кусочек, окрашенный в бирюзовый цвет!


Найдём, сколько страниц приходится на бирюзовый кусочек:


Количество страниц (для бирюзового кусочка) =
= Англия & Уэльс & Шотландия (213) — Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия (87) =
= 213 — 87 = 126

Найдём искомую чёрную область.


Количество станиц (для чёрной области) =
= Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) (450) — Количество (для бирюзового кусочка) =
450 — 126 = 324

Это и будет ответ!


Ответ: 324.

Разберём задачу из реального экзамена по информатике, которая была в 2019 году в Москве! (Сейчас в 2021 задачи не встречаются на Круги Эйлера)


Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета:


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Суфле 450
Корзина 200
Эклер 490
Суфле & Корзина 70
Суфле & Эклер 160
Корзина & Эклер 0

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу


Суфле | Корзина | Эклер
Решение:

Видим, что у нас три поисковых разных слова, поэтому будет три разных круга Эйлера!

Так же видим, что логическое «И» между словами Корзина и Эклер даёт 0 страниц. Это значит, что эти круги не пересекаются! Так же круги бы не пересекались, если бы операция логического «ИЛИ» совпадала бы с суммой этих кругов.


Видим, что Суфле имеет с двумя кругами пересечения, а Корзина и Эклер не пересекаются.

Отметим всё, что нам дано в условии.


Жёлтым цветом отмечено Суфле | Корзина | Эклер . Объединение всех трёх кругов. Это то, что нужно найти.


Искомая жёлтая фигура складывается из заштрихованных областей и красного круга! Площадь красного круга мы знаем. Нужно найти площади заштрихованных частей.

Левая заштрихованная область находится просто:


Количество страниц (лев. заштрих. область) =
= Эклер (490) — Суфле & Эклер (160) = 330

Так же найдём площадь правой заштрихованной области:


Количество страниц (прав. заштрих. область) =
= Корзина (200) — Суфле & Корзина (70) = 130

Теперь можно найти искомую жёлтую область

Количество страниц (Суфле | Корзина | Эклер) =
= Красный круг (450) + лев. заштрих. область (310) + прав. заштрих. область (130) =
= 450 + 330 + 130 = 910

Задача решена, можно писать ответ.


Ответ: 910

Разберём ещё одну задачу из реального ЕГЭ уже 2020 года


Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета:


Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Аврора 50
Крейсер 45
Заря 23
Аврора & Заря 9
Заря & Крейсер 0
Заря | Крейсер | Аврора 93

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу


Аврора & Крейсер
Решение:

Количество страниц при запросе Заря & Крейсер равно нулю. Значит, эти два круга не будут пересекаться.


Нарисуем все данные на рисунке.

Нужно найти для начала заштрихованную правую часть.



Количество страниц (для двух заштрих. частей) =
З | К | А (93) — Красный круг (50) = 43

Левую заштрихованную область легко найти.


Количество страниц (для левой заштрих. части) =
Синий круг (23) — А & З (9) = 14

Тогда для правой заштрихованной области получается:


Колич. страниц (для правой заштрих. части) =
Колич. страниц (для двух заштрих. частей) (43) — Колич. страниц (для лев. заштрих. части) (14) =
= 43 — 14 = 29

Тогда искомую область легко найти:


Колич. страниц (А & K) =
Зелёный круг (45) — Колич. страниц (для правой заштрих. части) (29) =
45 — 29 = 16
Ответ: 16

На этом всё! Надеюсь, вы теперь будете с удовольствием решать задачи по информатике с помощью Кругов Эйлера.

почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз с ними сталкивались, просто не знали, как это называется. Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему).

Давайте вместе разберемся, что же это за круги, почему они так называются и почему ими так удобно пользоваться для решения многих задач.

Происхождение термина

Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Ну что, так стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки.

До него подобным принципом при построении своих умозаключений руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале статьи.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

Вот на этом сайте — http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых потребуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем одну из них.

Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

А еще давайте рассмотрим задачу, которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник — http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор 7000
Крейсер 4800
Линкор 4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

  1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
  2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
  3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4исла».

Используйте это полезный и наглядный метод для решения задач. И обязательно расскажите о нем друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Contest — Проект Эйлера. Решение задачи № 3.

Третья задача проекта Эйлера на первый взгляд кажется простой и решается в три действия.
  1. Находим все делители заданного натурального числа.
  2. Среди всех делителей оставляем только простые делители.
  3. Среди простых делителей находим наибольший — это число и будет являться ответом на задачу.

Сразу в голове вырисовывается вложенный цикл, который объединяет два первых действия и находит простые делители любого введённого с клавиатуры числа (не только того, что задан в условии).
Реализация такого алгоритма на python3 ваыглядит следующим образом:

Код:

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
print("{}\033[31m{}\033[0m{}". format("##" * 10,  " Задача 3 ", "##" * 10))
print("#  https://euler.jakumo.org/problems/view/3.html #")
print("##" * 25)
print(u"Каков самый большой делитель числа 600851475143, являющийся простым числом? ")
n = int(input(u"Введите число: "))
#Находим все делители данного числа
for x in range(1, n + 1):
    if n % x == 0:
        k = 0
        for y in range(1, x + 1):
            if x % y == 0:
                k += 1
        if k == 2:
            print(y, "- простой делитель. ")
Этот код легко справляется с нахождением простых делителей числа 13195, которое указано в условии в качестве примера.
Осталась самая малость: найти наибольшее число среди полученных простых делителей.

Но не тут — то было, я рано обрадовался.
Как только я попробовал ввести заданное в условии задачи число 600851475143, программа задумалась и на очень длительное время.
Процесс вычисления изложенным выше алгоритмом занимает внушительное время.

Для решения третьей задачи навыков программирования явно недостаточно.
Нужно включать знания математики и переписывать алгоритм.
Алгоритм должен максимально экономить ресурсы компьютера ))

 

круги Эйлера — Основы логики и логические основы компьютера

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор?Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800


Задача 3

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка
5100
Пироженое
9700
Пироженое | Выпечка
14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение 

Для решения задачи отобразим множестваПироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти секторВ, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4500+5100 =9600

Задача 4
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».
1
спаниели | (терьеры & овчарки)
2
спаниели | овчарки
3
спаниели | терьеры | овчарки
4
терьеры & овчарки

Решение 

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4


Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
барокко | классицизм | ампир
2
барокко | (классицизм & ампир)
3
классицизм & ампир
4
барокко | классицизм

Решение 

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1




Задача 6
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».
1
канарейки | щеглы | содержание
2
канарейки & содержание
3
канарейки & щеглы & содержание
4
разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение 

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

канарейки | терьеры | содержаниеканарейки & содержаниеканарейки & щеглы & содержаниеразведение & содержание & канарейки & щеглы




Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

 

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

 В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&». 

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. 
ЗапросНайдено страниц
(в тысячах)
Фрегат | Эсминец3400
Фрегат & Эсминец900
Фрегат2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ответ: 2200

Решение: Запрос «Фрегат» обозначим символом «Ф», «Эсминец» — символом «Э».

Э=(Ф|Э)-Ф+(Ф&Э)=3400-2100+900=2200.








Разбор задачи B12 (демо ЕГЭ 2012)

Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

ЗапросНайдено страниц
(в тысячах)
Шахматы | Теннис7770
Теннис5500
Шахматы & Теннис1000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Шахматы?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ответ: 3270

Решение: Изобразим запросы в виде диаграмм Эйлера-Венна.

Запрос «Шахматы» обозначим символом «Ш», «Теннис» — символом «Т».

Ш=(Ш|Т)-Т+(Ш&Т)=7770-5500+1000=3270.


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
принтеры & сканеры & продажа
2
принтеры  & продажа
3
принтеры | продажа
4
принтеры | сканеры | продажа

Задача 2

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
физкультура
2
физкультура & подтягивания & отжимания
3
физкультура & подтягивания
4
физкультура | фитнесс


#13 Крупная сумма — Project Euler

Определите первые десять цифр суммы следующих ста 50-значных чисел.

37107287533

27987979982208375

510135740250
463769376774
712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154

0
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
642462741

9101432445813822663347944758178
925758677183372176619637515239728245598838407
5820356532535939
02633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
353986643728271126538299872407844730531
293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
7169388870771546649911559348760 3532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
532826541087568284431911694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
174237061860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386

57945140806229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
803862875928784

521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129179

187953273644756755030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793 950679652694742597709739166693763042633987085
4105268470829

11399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
358217434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88

25717332296191766687138199318110487701
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
240744861174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
344130655780161278159218150055618688364684200
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154

0424020138335124462181441773470
637832994259666498587618221225225512486764533
6772018697169854431241957240991395
52310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
377742425354112916842768655389262050 24910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
624679571944012677107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530

9967519
8618808822587531452958409925120382
07770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
829591747671403631980081871275491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501

6945765883352399886
7550616496 5184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
995186714302352196288948
423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
7132961247478246453863699300

10363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
666278919814880877979418768761442300309844411
6066182629368283676474477923918033511098



857869440895529640447425576083659976645795096
66024396409

96071201982199760475994

230297
649139826800329731560371200413775566085089252
16730939319872750275468906

7539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710 598436791
7863916702118749243199570064191796977759 00699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
4488991150144064802036

63960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
812348806732101467368557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
771585425020165450245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690

О проекте — Проект Эйлер

О проекте Эйлер

Что такое проект Эйлера?

Project Euler — это серия сложных задач по математике/компьютерному программированию, для решения которых потребуется нечто большее, чем просто математическое понимание. Хотя математика поможет вам найти элегантные и эффективные методы, для решения большинства задач потребуется использование компьютера и навыки программирования.

Мотивация для запуска Project Euler и его продолжения состоит в том, чтобы предоставить пытливому уму платформу для погружения в незнакомые области и изучения новых концепций в веселой и развлекательной обстановке.


На кого нацелены проблемы?

Целевая аудитория включает студентов, для которых базовая учебная программа не утоляет жажду к учебе, взрослых, чье образование не было в основном математическим, но проявляло интерес к математическим вещам, и профессионалов, которые хотят, чтобы их решение задач и математика были на переднем крае.

В настоящее время у нас есть 1036783 зарегистрированных участника, решивших хотя бы одну задачу, представляют 220 мест по всему миру и совместно используют 108 различных языков программирования для решения задач.


Кто-нибудь может решить проблемы?

Задачи различаются по сложности, и для многих опыт представляет собой обучение по индуктивной цепи. То есть, решив одну проблему, вы откроете для себя новую концепцию, которая позволит вам взяться за ранее недоступную проблему.Таким образом, целеустремленный участник будет медленно, но верно решать каждую проблему.


Что дальше?

Чтобы отслеживать ваш прогресс, необходимо настроить учетную запись и включить файлы cookie.

Если у вас уже есть учетная запись, войдите в нее. В противном случае, пожалуйста, зарегистрируйтесь – это совершенно бесплатно!

Однако, поскольку задачи сложные, вы можете просмотреть их перед регистрацией.

«Проект Эйлер существует, чтобы поощрять, бросать вызов и развивать навыки и получать удовольствие от любого, кто интересуется увлекательным миром математики.»

Метод Эйлера — исчисление 2

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

11. Метод Эйлера – численное решение дифференциальных уравнений

Почему численные решения?

Для многих дифференциальных уравнений, которые нам нужно решить в реальном мире, не существует «хорошего» алгебраического решения. То есть мы не можем решить ее, используя приемы, с которыми мы познакомились в этой главе (разделение переменных, интегрируемые комбинации или использование интегрирующего множителя), или другие подобные средства.

В результате приходится прибегать к численным методам решения таких ДУ. Эта концепция аналогична численным подходам, которые мы видели в предыдущей главе об интеграции (правило трапеций, правило Симпсона и суммы Римана).

Даже если мы можем решить некоторые дифференциальные уравнения алгебраически, решения могут быть довольно сложными и поэтому не очень полезными.В таких случаях численный подход дает нам хорошее приближенное решение.

Общая задача с начальными значениями

Мы пытаемся решить проблемы, представленные следующим образом:

`dy/dx=f(x,y)`; и

`y(a)` (начальное значение) известно,

, где `f(x,y)` – это некоторая функция переменных `x` и `y`, которые участвуют в задаче.

Примеры задач с начальными значениями

(а) `dy/dx=6-2y/x`

`у(3)=1`

(б) `dy/dx=(y ln y)/x`

`у(2)=е`

(c) `dy/dx=(50x^2-10y)/3`

`у(0)=0`

Обратите внимание, что правая часть является функцией `x` и `y` в каждом случае. («iv»)(x))/(4!)` `+…`

Это дает нам достаточно хорошее приближение, если мы возьмем много терминов и если значение `h` достаточно мало.

Для Метода Эйлера мы берем только первые 2 члена.

`y(x+h)` `~~y(x)+h y'(x)`

Последний член просто умножен на `h` на наше выражение `dy/dx`, поэтому мы можем записать метод Эйлера следующим образом:

`y(x+h)` `~~y(x)+h f(x,y)`

Как мы используем эту формулу?

Мы начинаем с некоторого известного значения для `y`, которое мы могли бы назвать `y_0`.Он имеет это значение, когда `x=x_0`. (Мы используем начальное значение `(x_0,y_0)`.)

Результатом использования этой формулы является значение для `y`, на один шаг `h` справа от текущего значения. Назовем его `y_1`. Итак имеем:

`y_1` `~~y_0+h f(x_0,y_0)`

где

`y_1` — следующее оценочное значение решения;

`y_0` — текущее значение;

`h` — интервал между шагами; и

`f(x_0,y_0)` — это значение производной в начальной точке, `(x_0,y_0)`.

Следующее значение: Чтобы получить следующее значение y_2, мы должны использовать только что найденное значение y_1 следующим образом:

`y_2` `~~y_1+h f(x_1,y_1)`

где

`y_2` — следующее оценочное значение решения;

`y_1` — текущее значение;

`h` — интервал между шагами;

`x_1 = x_0+h`; и

`f(x_1,y_1)` — значение производной в текущей точке `(x_1,y_1)`.

Мы продолжаем этот процесс столько шагов, сколько необходимо.

Что происходит?

Правая часть приведенной выше формулы означает: «Начните с известного значения `y`, затем переместитесь на один шаг `h` единиц вправо в направлении наклона в этой точке, что `dy/dx = f(x,y)`. Мы получим хорошее приближение к значению кривой y в этой новой точке».

Мы проделаем это для каждой подточки, кроме `h`, от некоторого начального значения `x=a` до некоторого конечного значения `x=b`, как показано на графике ниже.

Давайте посмотрим, как это работает на примере.

Пример: метод Эйлера

Решим пример (b) сверху. У нас была проблема с начальным значением:

`dy/dx=(y ln y)/x`

`у(2)=е`

Шаг 1

Мы начнем с точки `(x_0,y_0)=(2,e)` и используем размер шага `h=0,1` и продолжим 10 шагов. То есть мы аппроксимируем решение от t=2 до t=3 для нашего дифференциального уравнения. Мы закончим с набором точек, которые представляют решение в числовом виде.

Мы уже знаем первое значение, когда `x_0=2`, то есть `y_0=e` (начальное значение).

Теперь вычислим значение производной в этой начальной точке. (Это указывает нам направление движения.)

`dy/dx = f(2,e)` `=(eln e)/2` `= e/2~~1.3591409`

Это означает, что наклон линии от t=2 до t=2.1 приблизительно равен 1,3591409.

Шаг 2

Теперь для второго шага (поскольку `h=0.1`, следующая точка будет `x+h=2+0. 1=2.1`), мы подставляем то, что мы знаем, в формулу метода Эйлера, и мы имеем:

`y(x+h)` `~~y(x)+h f(x,y)`

`y_1 = y(2.1)` ` ~~ e + 0.1(e/2)` `= 2,8541959`

Это означает приблизительное значение решения, когда `x=2.1` равно `2,8540959`.

Давайте посмотрим, что мы сделали на графике.

В этом месте нам понадобится новый склон, чтобы мы знали, куда двигаться дальше.

`dy/dx = f(2.1,2.8541959)` `=(2.8541959 ln 2,8541959)/2,1` ` = 1,4254536`

Это означает, что наклон линии аппроксимации от `x=2.1` до `x=2.2` составляет `1,4254536`. Так что это немного круче, чем первый склон, который мы нашли.

Шаг 3

Теперь мы пытаемся найти значение решения при `x=2.2`. Подставляем наши известные значения:

`y(x+h)` `~~y(x)+h f(x,y)`

`y(2.2) ~~` `2,8540959 + 0,1(1,4254536)` `= 2,99664126`

С этим новым значением наш график теперь:

В этом месте нам понадобится новый склон, чтобы мы знали, куда двигаться дальше.

`f(2.2,2.99664126)` `=(2.99664126 ln 2.99664126)/2.2` `= 1.494`

Это означает, что наклон линии аппроксимации от `x=2.2` до `x=2.3` составляет `1,494`. Так что это немного круче, чем первые 2 склона, которые мы нашли.

Шаг 4

Теперь мы пытаемся найти значение решения при `x=2.3`. Подставляем наши известные значения:

`y(x+h)` `~~y(x)+h f(x,y)`

`y(2.3) ~~` `2,99664126 + 0,1(1,494)` `= 3.1461317`

С этим новым значением наш график теперь:

Последующие шаги

Мы представляем все значения до `x=3` в следующей таблице.

Конечно, большую часть времени мы будем использовать компьютеры для нахождения этих приближений. Я использовал электронную таблицу, чтобы получить следующие значения. Не используйте калькулятор для решения этих задач — это очень утомительно и чревато ошибками. Вы можете использовать онлайн-калькулятор или поиск Google.

`х` `у` `dy/dx`
2.0 и = 2,7182818285 ( e ln e )/2 = 1,3591409142
2.1 е +0,1( е /2) = 2,8541959199 (2,8541959199 ln 2,8541959199)/2 = 1,4254536226
2,2 2,9967412821 1.4949999323
2,3 3.1462412754 1,5679341197
2.4 3.3030346873 1,6444180873
2,5 3,4674764961 1.7246216904
2,6 3,6399386651 1.8087230858
2,7 3,8208109737 1,8969091045
2,8 4.0105018841 1,9893756448
2. 9 4.2094394486 2.08632809
3,0 4.4180722576  

(Окончательного значения dy/dx нет, потому что оно нам не нужно. Мы нашли все необходимые значения y.)

Вот график наших оценочных значений решения от `x=2` до `x=3`.

Насколько это хорошо?

Этот конкретный вопрос на самом деле легко решить алгебраически, и мы сделали это еще в разделе «Разделение переменных».(x»/»2)` пурпурного (розоватого) цвета. Мы видим, что они очень близки.

В этом случае график решения лишь слегка искривлен, поэтому методу Эйлера «легко» получить довольно близкий результат.

На самом деле, при `x=3` фактическое решение равно `y=4,48168`, и мы получили приближение `y=4,4180722576`, так что ошибка всего лишь:

`(4,48168 — 4,4180722576)/4,48168` `= 1,42%`.

Упражнение

Следующий вопрос нельзя решить с помощью алгебраических методов, которые мы изучили ранее в этой главе, поэтому единственный способ решить его — численно.0,1`

`=-1.8103864498`

Снова подставляем нашу текущую точку и только что найденную производную, чтобы получить следующую точку.

`y(x+h)~~y(x)+hf(x,y)`

`y(0.2)~~3.82431975047+` `0.1(-1.8103864498)`

`~~3.64328110549`

Проходим нужное количество шагов и получаем такие значения:

`х` `у` `dy/dx`
0 4 -1.7568024953
0,1 3,8243197505 -1,8103864498
0,2 3,6432811055 -1,8669109257
0,3 3,4565
9
-1,926815173
0,4 3,263
  • 56
  • -1,92334
    0. 5 3.0648371723 -2,0594421065
    0,6 2,8588929616 -2,1341215746
    0,7 2,6454808042 -2,2162311734
    0,8 2,4238576868 -2.3077132045
    0,9 2.1930863664 -2.4111158431
    1 1,9519747821  

    Вот график этого решения.

    В следующем разделе мы видим более сложный численный метод решения дифференциальных уравнений, называемый методом Рунге-Кутты .

    Нужна помощь в решении другой задачи исчисления? Попробуйте решение проблем.

    Отказ от ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.

    Колонка функций

    из AMS


    Латинские квадраты на практике и в теории II

    Архив тематических рубрик


    Алекс Богомольный Разруби узел! На веб-сайте есть страница об ортогональных латинских квадратах с несколькими хорошими примерами использования поля Галуа порядка 4. Есть хорошая статья Эдит Паркер Вудрафф о работе ее брата Э. Т. Паркера над гипотезой Эйлера.На странице Роба Бизера, посвященной греко-латинским квадратам, показан «спойлер Эйлера» размером 10 x 10. Обзорная статья Чарльза Колборна и Джеффа Диница, из которой воспроизведена таблица нижних оценок N(n), доступна онлайн.

    1. Головоломка Леонарда Эйлера о 36 офицерах. В нем участвуют 36 офицеров из шести полков. На этой иллюстрации мы будем различать полки по их цветам: черный, красный, синий, зеленый, фиолетовый и коричневый.Каждый полк представлен офицерами шести разных рангов, которые здесь мы будем характеризовать как Король, Королева, Ладья, Слон, Конь, Пешка.

    Вот они (установлены в Chess Alpha Эрика Бенцена):

    Задача состоит в том, чтобы выстроить их в ряд шесть на шесть так, чтобы каждая строка и каждый столбец содержали по одному офицеру каждого ранга и по одному офицеру от каждого полка.

    Попробуйте. Это невозможно.

    Но если мы заменим «шесть» на «пять»

    или на «семь» (добавив желтый как дополнительный полк и Джокер как дополнительный ранг)

    , проблема может быть решена, как показано на рисунке. .

    Что случилось с шестью? Дело не только в том, что оно составное, потому что задача может быть решена для 4, 8 и 9, а на самом деле для любого числа , кроме 2 (очевидно невозможного) и 6. Эйлер на самом деле не доказал, что 6 невозможно. ( Или, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnoître qu’un tel договоренность est absolument, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démostration rigoureuse. ) доказательство ждало с 1782 по 1900 год, когда оно было разработано Г. Тарри. Эйлер показал, что для любого числа полков (и рангов) существует решение, отличное от вида 4s+2. Он заметил, что его метод не работает для чисел такой формы. После его смерти это замечание превратилось в предположение о том, что для этих чисел нет решения; эта гипотеза просуществовала до 1959 г., когда Э. Т. Паркер, Р. К. Бозе и С. Шрикханде, работая по отдельности, а затем вместе, показали, что она ложна для всех s, больших единицы.

    В этой колонке мы рассмотрим тему взаимно ортогональных латинских квадратов, современной постановки проблемы офицеров и ее обобщений.

    Тони Филипс
    Стоуни Брук


    Рождение теории графов: Леонард Эйлер и проблема Кенигсбергского моста

    Обзор

    Добрые люди из Кенигсберга загадка, над которой они любили размышлять во время воскресных дневных прогулок по деревне. Река Прегер полностью окружила центральную часть Кёнигсберга, разделив его на два острова. Эти острова были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Загадка, сбившая с толку жителей Кенигсберга, заключалась в следующем: можно ли выбрать отправную точку в городе и найти пешеходный маршрут, который проведет их по каждому мосту ровно один раз? Такого маршрута еще никто не находил; но значит ли это, что его не было? Проблема привлекла внимание великого швейцарского математика Леонарда Эйлера. Эйлер смог доказать, что такого пути не существует, и в процессе начал изучение того, что впоследствии было названо теорией графов.

    Фон

    Леонард Эйлер (1707-1783) считается самым плодовитым математиком в истории.Первоначально получив образование для служения, чтобы пойти по стопам своего отца, Эйлер обнаружил свои таланты в математике во время учебы в Базельском университете. К 1726 году 19-летний Эйлер закончил свою работу в Базеле и опубликовал свою первую статью по математике. В 1727 году Эйлер занял пост в Санкт-Петербурге, Россия, где он провел четырнадцать лет, работая над своей математикой. Покинув Петербург в 1741 г. , Эйлер занял пост в Берлинской академии наук. Эйлер наконец вернулся в Санкт-Петербург.в 1766 году в Санкт-Петербурге, где он провел остаток своей долгой и плодотворной жизни.

    Эйлер работал, писал и публиковался с бешеной скоростью на протяжении всей своей жизни. Хотя последние семнадцать лет своей жизни он был слеп, он продолжал работать и писать (с помощью различных помощников и секретарей) с поразительной скоростью. Эйлер работал почти во всех разделах математики, как чистой, так и прикладной, и о его способности производить сложные математические вычисления в уме ходили легенды.Поддерживаемый большую часть своей жизни Берлинской академией и Санкт-Петербургской академией, Эйлер работал со знаменитой семьей Бернулли (Иоганн, Даниил и Николаус), а также со многими другими известными математиками. Поэтому неудивительно, что, когда Эйлер решил проанализировать проблему кенигсбергских мостов, он не только нашел ответ, но и положил начало изучению совершенно новой области математики.

    Вот как Эйлер решил проблему Кенигсбергского моста. Первым шагом было преобразование фактической схемы города и его мостов в граф .Использование графа слов в этом контексте может отличаться от того, что думает большинство людей, когда они видят граф слов. В этом случае граф должен иметь вершины и ребра . Кроме того, граф должен иметь правило, которое сообщает, как ребра соединяются с различными вершинами. В задаче о Кенигсбергском мосту вершины представляют участки суши, соединенные мостами, а сами мосты представлены ребрами графа. Наконец, путь представляет собой последовательность ребер и вершин, так же как путь, по которому идут люди в Кенигсберге, представляет собой последовательность мостов и массивов суши.Задача Эйлера заключалась в том, чтобы доказать, что в графе нет путей, содержащих каждое ребро (мост) только один раз.

    На самом деле Эйлер имел в виду более крупную проблему, когда занимался проблемой Кенигсбергского моста. Он хотел определить, возможна ли эта прогулка по любому количеству мостов, а не только по семи в Кенигсберге. Чтобы ответить на этот вопрос, Эйлер изучил другие графы с различным количеством вершин и ребер. Эйлер пришел к нескольким выводам. Во-первых, он обнаружил, что если к двум участкам земли ведет нечетное количество мостов, то путешествие невозможно.Во-вторых, Эйлер показал, что если бы ровно два участка суши имели нечетное число мостов, ведущих к ним, то путешествие было бы возможным, если бы оно начиналось в любой из этих двух областей. Наконец, Эйлер пришел к выводу, что если не было земельных участков с нечетным числом ведущих к ним мостов, путешествие можно было начинать из любого района. На первый взгляд кажется, что работа Эйлера применима только к тривиальному вопросу прогулки по городу, соединенному мостами через реку. Конечно, его выводы были на самом деле более общими, когда участки земли считались вершинами графа, а мосты — ребрами графа.Так родилось современное математическое исследование теории графов. Путь, в котором можно «пройти» по каждому ребру ровно один раз, стал называться «эйлеровым путем», а «эйлеровым графом» называется граф, в котором такой путь существует.

    Воздействие

    То, что такая, казалось бы, тривиальная задача может привести к возникновению целой области математики, не является чем-то необычным. Хотя некоторые области математики были разработаны для ответа на очевидно важные вопросы (например, исчисление было разработано Исааком Ньютоном (1642-1727) для помощи в ответах на вопросы физики и астрономии), другие области математики возникли по гораздо менее благородным причинам. происхождение вероятности прослеживается в письмах, которыми Пьер де Ферма (1601–1665) и Блез Паскаль (1623–1662) обменивались, в которых они обсуждали вопросы азартных игр).Хотя раздел математики, известный сегодня как теория графов, берет свое начало в простодушной головоломке, которая развлекала жителей Кенигсберга, ее конечная полезность для математики полностью затмила ее скромное начало. Например, химики используют графические обозначения для представления химических соединений; а физики и инженеры используют графическую нотацию для представления электрических цепей. Теория графов используется в сложных компьютерных программах, управляющих системами телефонной коммутации.

    Теория графов является частью более крупной области математики, называемой топологией.Топология — это изучение свойств геометрических фигур, которые остаются неизменными (не изменяются) при таких преобразованиях, как растяжение или сжатие. Представьте, что вы рисуете геометрическую фигуру, например, квадрат или круг, на листе гибкого материала, такого как резина, а затем растягиваете или сжимаете лист резины. Свойства квадрата и круга, которые не изменяются при этом растяжении или сжатии, подпадают под изучение топологии. По этой причине топологию иногда называют «геометрией резинового листа».

    Эйлер назвал этот тип математики «геометрией положения», потому что он не обращался к величине, как это делала традиционная геометрия. Топология и теория графов исследуют положение без использования измерений (не имеет значения, какой длины мосты или насколько далеко друг от друга находятся массивы суши. ) В дополнение к своей работе над проблемой Кенигсбергского моста Эйлер доказал, что для любого многогранника количество вершин минус количество ребер плюс количество граней всегда равно двум (v -e+f=2).Например, куб имеет восемь вершин, двенадцать ребер и шесть граней (8-12+6=2). Общепризнанно, что решение Эйлера проблемы Кенигсбергского моста и его знаменитая формула для многогранника составляют основу области топологии.

    Есть и другие задачи, похожие на задачу Кенигсбергского моста, которые относятся к теории графов. Эйлер работал над другой из этих знаменитых задач, которая называлась «Проблема о путешествии коня». В этой задаче спрашивается, можно ли последовательно переместить коня на шахматной доске (известные две клетки в одном направлении, а затем одну в перпендикулярном направлении) так, чтобы он посетил каждую клетку на доске только один раз, а затем остановился на той же клетке, с которой начал.Другая из этих задач известна как «задача коммивояжера». В этой задаче продавец должен посетить определенное количество городов, выбрав путь, который будет означать кратчайшее общее расстояние, и вернуться в город, в котором он начал. Когда города представлены вершинами, а пути к каждому городу представлены ребрами, это становится графом, очень похожим на Кенигсбергские мосты.

    Возможно, самым известным применением теории графов является задача четырех цветов.Эта проблема была впервые предложена Фрэнсисом Гатри через своего брата Фредерика лондонскому математику Августу Де Моргану (1806–1871) почти через столетие после смерти Эйлера. Задача четырех цветов задает, казалось бы, простой вопрос: «Сколько цветов нужно использовать для раскраски любой карты, чтобы никакие две соседние области суши (страна, штат и т. д.) не были одного цвета?» Задача может быть поставлена ​​как задача теории графов, если участки земли представлены вершинами, а смежные области соединены ребрами.Хотя ответ четырех цветов подозревался более века, только в 1976 году было найдено доказательство, подтверждающее, что четыре цвета необходимы. Проблема четырех цветов была первой крупной математической теоремой, доказательство которой частично зависело от современных компьютеров.

    Каждая из этих задач, хотя и тривиальная на первый взгляд, привела к невероятным достижениям в математической теории и приложениях. С самого невинного начала в спекуляциях жителей Кенигсберга, новаторской работе Эйлера, благодаря современным приложениям, теория графов оказала глубокое влияние на математику и ее приложения на протяжении более 250 лет.

    TODD TIMMONS

    Дополнительная литература

    Книги

    Bell, E.T. Мужчины-математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1937.

    Биггс, Н.Л., Лойд, Э.К., и Уилсон, Р.Дж. Теория графов 1736-1936 . Оксфорд: Clarendon Press, 1976.

    Эйлер, Леонхард. «Из задачи о семи мостах Кенигсберга». В Classics of Mathematics , Рональд Калинджер, изд. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1995.

    Периодические статьи

    Sachs, H., Steibitz, M., and Wilson, R.J. «Историческая справка: Кенигсбергские письма Эйлера». в Journal of Graph Theory 12 1 (1988): 133-39.

    Наука и ее время: понимание социальной значимости научных открытий

    Project Euler: Задача 1 с Javascript

    Вот и мы, пытаемся пройти испытания по кодированию Dark Souls. Сегодня мы начнем с довольно простого: получения кратных 3 и 5.

    Если мы перечислим все натуральные числа до 10, кратные 3 или 5, мы получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих кратных равна 23.

    Найдите сумму всех чисел, кратных 3 или 5, ниже предоставленного значения параметра числа .

    Если вы любите смотреть, а не читать, посмотрите видео, сопровождающее эту статью. Если нет, продолжайте читать!

    На первый взгляд это кажется сложнее, чем есть на самом деле.В целях обучения я собираюсь быть как можно более подробным, а затем провести рефакторинг позже.

    Разбор проблемы на простом английском языке

    Важно разбить все элементы проблемы, чтобы мы полностью понимали, что мы пытаемся сделать.

    Натуральное число

    положительные целые числа (целые числа) 1, 2, 3 и т. д., а иногда и нуль.

    Кратно

    x

    Когда мы говорим,

    «6 кратно 3?»

    просим, ​​

    «это 6 число, которое можно вычислить, умножив 3 на число (в нашем случае целые числа)»

    В данном случае да, 3 х 2 = 6.

    Шаги

    Теперь, когда мы поняли нашу проблему, давайте сделаем несколько логических утверждений.

    1. Дано число, проверить, кратно ли оно 3
    2. Если верно, добавить к общему числу
    3. По заданному числу проверить, кратно ли оно 5
    4. Если верно, добавить к общему числу

    Давайте разберем это в коде. Опять же, это очень многословно.

      функция multiplesOf3and5(число) {
            // устанавливаем глобальный итог и устанавливаем начальное значение на 0
            пусть сумма = 0
            // цикл по всем значениям от 0 до заданного числа
          for (пусть я = 0; я <= число; я ++) {
                // Получить остаток от i и 3
                пусть restFor3 = i % 3;
                // Получить остаток от i и 5
                пусть restFor5 = i % 5;
    
                // проверяем остаток на 3 или 5
                если(остатокFor3 == 0 || остатокFor5 == 0) {
                    // Если true, это означает, что i кратно 3
                    // прибавляем к сумме
                    всего = всего + я
                }
            }
            // возвращаем наше общее число
            общая сумма возврата
        }
      

    Объяснение по модулю

    %

    Эта строка делает что-то интересное:

    Оператор в середине называется модулем. Возвращает остаток от двух чисел. Мы можем использовать его, чтобы увидеть, является ли одно число четным кратным другому числу.

    Рефакторинг

    Мы можем значительно сократить код, не теряя контекста того, что мы пытаемся сделать. Вот мое окончательное решение.

      функция multiplesOf3and5(число) {
          пусть сумма = 0;
          for (пусть я = 0; я <= число; я ++) {
            если (я % 3 == 0 || я % 5 == 0) {
              всего += я;
            }
          }
          общая сумма возврата;
        }
      

    Всегда есть место для улучшения, однако мне нравится, как это настроено.Это просто и не слишком далеко абстрагируется от того, чего мы пытаемся достичь. Я уверен, что если я вернусь к этому через два года, я все еще буду знать, что происходит.

    Если вы хотите увидеть код, посмотрите мой репозиторий Github с проблемами, которые я уже решил.

    DarthOstrich/проектEuler

    Представляем вызов #ProjectEuler100: «Dark Souls» достижений в области кодирования