Сложные проценты на примерах
Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.
ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.
Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.
Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?
Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока
Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.
Разница составляет 4102 доллара.
Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?
Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу
Школьные задачи на сложные проценты
Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)
Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?
Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение
Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению
и решаем
Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.
Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?
Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через
Сложные задачи на проценты | Шевкин.Ru
Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди них есть действительно сложные задачи, но есть и такие, в которых всем учащимся разобраться полезно. Это задачи на так называемые сложные проценты — проценты начисляемые на процентные деньги. Первая задача этого раздела была дана на олимпиаде Малого мехмата МГУ для семиклассников в 1991 году. Шутливое отражение в ней политических страстей того времени не должно отвлечь учащихся от важного вопроса: что получится, если число сначала увеличить, а потом уменьшить на 50 % (на одно и то же число процентов). Полученный здесь опыт поможет решить и другие олимпиадные задачи.
344.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50
Ошибочное решение задачи 345 нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин.
345.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?
2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?
346.* Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
347.* Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?
Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.
348.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?
349.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?
350.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?
351.*
352.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
353.* Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
354.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?
355.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?
356.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).
Интересная переформулировка этой известной задачи встретилась недавно на олимпиаде.
357.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса можно оставить меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.
358.* а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
Объясняя решение задачи 358 (а), воспользуемся следующей иллюстрацией.
Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25
% массы сушеных яблок?359.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?
б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?
360.* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?
361.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?
362.* Из 40 т руды выплавили 20
363.* Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из
40 кг свежих?
364.* До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?
365.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?
I способ. Число мальчиков составляют 80 % от числа девочек (100 %). Определим, сколько процентовсоставляют 100 % от 80 % :
100/80 = 100×100/80 % = 125 %.
II
способ. Число мальчиков (m) составляют 80 % от числа девочек (d), значит, m = 0,8d. Отсюда d = 1,25m, то есть число девочек составляет 125 % от числа мальчиков.III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет 10/8 или 125 % от числа мальчиков.
366. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150% от вложенной суммы; в течение полугода — 130% годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получитьнаибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?
На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150 % годовых (через год сумма обратится в 100·2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода получим их обратно с доходом 130:2 =
100·1,65·1,65 = 272,25 (тыс. р.).
Это несколько больше полученной ранее суммы. Попросите учащихся провести расчеты для третьего случая. Пусть они убедятся, что знание процентов может быть полезным при выборе более выгодного способа вложения денег.
367.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?
368.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.
369.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.
370.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?
371.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?
372.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.
373
374.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?
375.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?
376.* Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько летвложенная сумма удвоится?
377.* В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?
Если число мальчиков принять за 100 %, то число девочек от него составляет 60 %, а число всех участников секции 160 % от числа мальчиков. 60 % от 160 % составляет 60×100/160 = 37,5 (%). Но понять это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если же число мальчиков обозначитьбуквой x, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек равно 0,6x, а число всех участников секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:
0,6x×100/1,6x = 37,5 (%).
- В некотором царстве, в некотором государстве пятиклассники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.
Эту задачу могли бы решить учителя математики всего несколько лет назад, чтобы объяснить себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с указанными в условии задачи нововведениями.
Учебное время теперь составляет 5/6×40/45 = 20/27 от прежнего. Потеря составила 1 – 20/27 =
= 7/27 = 0,2592…, или примерно 25,9 %.
379.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?
б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?
Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., тогда он продал ее за (1 – 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95а/1,14 = 5/6 а р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах):
a: 5/6 a ·100 = 120 (%).
Торговец планировал получить 120 – 100 = 20 % дохода.
Финансовая математика — задачи с решением. Основы финансовых вычислений. Актуарная математика.
В этом разделе можно найти примеры решенных задач по финансовой математике (другие названия — основы финансовых вычислений, актуарная математика). Приведены основные, чаще всего используемые на практике схемы простых и сложных процентов, дисконтирование, учет инфляции, финансовые ренты, оценка доходности финансовых операций, преобразование и эквивалентность денежных потоков и т.д. Перед решением задач приведена краткая теория.
О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице Как заказать решение задач по финансовой математике…
- Процентные ставки
- Простая процентная ставка
Изложены краткие теоретические сведения на тему простой процентной ставки и наращенной суммы простых процентов. По этой теме, в качестве примеров, решены несколько задач.
Сложная процентная ставкаИзложены краткие теоретические сведения на тему сложной процентной ставки, наращенной суммы сложных процентов и наращения процентов несколько раз в год. Решены несколько задач на тему наращения по схеме сложных процентов.
Английская, германская и французская практика начисления процентовРассматриваются английская, германская и французская практика начисления процентов, которые применяются при сроке ссуды менее года. Приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения задач.
- Простая учетная ставка
Рассматривается понятие учетной ставки, которая очень часто применяется банками при учете векселей. Кратко изложена теория и приведен образец решения задачи.
Номинальная и эффективная учетная ставкаСтраница содержит последовательное изложение понятия сложной учетной ставки, даются сведения о номинальной и эффективной учетных ставках и приведен пример решения задачи.
- Наращенная сумма с учетом инфляции
Как рассчитать наращенную сумму с учетом инфляции? Для учета влияния инфляции при наращении процентов в финансовую математику вводится понятие индекса цен. На странице приведен пример решения задачи.
Инфляция и реальная доходность процентной ставкиПод какую процентную ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность? Чтобы ответить на этот вопрос, на странице выведена формула Фишера и даны понятия реальной ставки банковского процента.
- Наращенная стоимость ренты
Кратко приведена теория и подробно разобран пример решения задачи на тему наращенная стоимость финансовой ренты постнумерандо.
Современная стоимость финансовой рентыДано определение современной стоимости финансовой ренты постнумерандо, приведены формулы вычислений современной стоимости ренты при различных условиях. Рассмотрены подробные примеры решения задач.
- Эквивалентные ставки процентов
Как определить эквивалентную ставку? На странице подробно, на примере решения задачи, рассмотрено понятие эквивалентности различных процентных ставок.
Эквивалентные платежиИзлагается понятие эквивалентных платежей, содержит краткое изложение теории по конверсии и консолидации (объединению) платежей с примером решения задачи.
Объединение финансовых рент в однуПриведены необходимые теоретические сведения, образцы решения задач на тему объединение финансовых рент (потоков платежей). Подробно рассмотрена конверсия и замена финансовых рент.
Рассматриваются понятия текущей стоимости облигации и текущей доходности — приведены необходимые теоретические сведения и образцы решения задач.
Чистая приведенная стоимость проектаДано понятие денежного потока и чистой приведенной стоимости проекта. Рассматривается пример решения задачи на эту тему.
Задачи с решением по другим предметамМатериал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) на тему: Подготовка к ЕГЭ. Задачи на сложные проценты
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Простые и сложные процентыурок составлен по учебнику Дорофеева Г.В. Алгебра.9класс…
Дидактический набор: список задач на части, проценты и процентную концентрацию; памятки по работе с задачамиМатериал содержит специальную подборку задач, решение который часто оказывается затруднительным для детей и специальные памятки для учеников, направляющие его мыслительный процесс в нужном напра…
Программа элективного курса «Проценты, сложные проценты. Смеси и сплавы»Рабочая программа данного предметно-ориентированного элективного курса расчитана на решение практических задач по теме «Проценты, сложные проценты», что способствует:1.подготовке к успешной…
Материалы по подготовке к ЕГЭ. Задачи на процентыСм. приложенный документ….
Подготовка к ОГЭ задачи с процентамиПрезентация содержит теоретический материал по теме «проценты». Представлены основные виды задач на проценты с примерами….
ПРОЕКТ «Методика подготовки выпускников решению задач по теме «Задачи на проценты» , включенных в ОГЭ по математике. Разработка системы индивидуальных заданий»Авторы проекта Майоров Петр Ивановичучитель математики МБОУ «Тоншерминская СОШ» Тетюшского муниципального района РТЕфремова Наталья Валерьевна, учитель математики МБОУ «Гимназия №1» г.Лаишев…
Пропедевтика обучения решения задач на сложные процентыМетодические рекомендации в качестве подготовки к задачам на сложные проценты….